ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje n uppgift på n sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på varje inlämnat blad.. Lös ekvationen A = b, där 3 A = och b = 3 5 och =. (a) Beräkna absolutbeloppet och argumentet till = 3 + i (b) Om = 3 och arg = π/6 skriv på rektangulär form = a + bi. (c) Förenkla 3i 9 3i+ (d) Lös ( ) 4 = 3. Beräkna matrisen för den avbildning som först speglar alla vektorer i planet i -aeln och sedan roterar vektorerna moturs π/. Identifiera vad denna avbildgningsmatris betder geometriskt för vektorerna i planet. I de följande två uppgifterna (uppgift 4 och 5) så låter vi W = Col(A) där och b A = 3 3 3 och b = (,, ) 4. Beräkna projektionen av b i W genom att först beräkna en ON-bas mha Gram-Schmidts metod. 5. Beräkna projektionen av b i W genom att använd minsta kvadratmetoden. 6. Beräkna baser för radrum, kolonnrum och nollrum till matrisen 3 3 5 M 6 = 3 4 3 3 4
7. Låt A[t] = 4 t 3 6 t och = Beräkna de värden på t som gör att sstemet A(t) = b (a) har en unik lösning. (b) saknar lösning (c) har oändligt många lösningar. och b = 8. Beräkna egenvärden och egenvektorer till följande matris. Beräkna en diagonaliserande matris om det är möjligt att diagonalisera matrisen. 7 4 5 4 4
Svar till tentamen i Linjär algebra,.. = t +. 3. [ som vi kan identifiera som en spegling i linjen =. 4. 5. 6. 7. (a) Sstemet har unik lösning för alla t utom t = och t = 3 8. (b) För t = och t = 3 så är sstemet inkonsistent och saknar lösning. (c) Det finns inga värden på t som gör att sstemet får oändligt många lösningar. ]
Lösningar till tentamen i Linjär algebra,.. Ställ upp den utvidgade matrisen och Gausseliminera 3 3 5, från vilket vi ser att = t är en fri variabel och för de övriga variablerna så får vi att = t + (från rad ) och = t + från rad : Vi får m.a.o. = t + 3. Mha av bilden så ser vi att avbildningen verkar på standardbasvektorerna [ ] [ ] [ ] [ ] och Från detta får vi alltså direkt att matrisen för avbildningen blir [ ] som vi kan identifiera som en spegling i linjen =. Spegling i -aeln Rotation med 9 moturs Figure : Bild till uppgift 3 som illustrerar vad som händer med standardbasvektorerna då vi först speglar i -aeln och sedan roterar med π/, dvs rotation med 9.
4. Vi börjar med att beräkna en bas. Här väljer vi att nttja att Col(A) = Row(A T ) och då kan vi beräkna en bas för W genom att radeliminera A T : 3 3 3 så vi ser att vektorerna v = (,, ) och v = (,, ) bildar en bas för kolonnrummet. Dessa vektorer är dock inte ortogonala så vi använder Gram-Schmidts metod för att skapa oss en ortogonal bas {ō, ō }: Vi väljer ō = v = (,, ) och då får vi att vi ō blir ō = v v ō ō ō = (,, ) (,, ) = [(,, ) (,, )] = (,, ) En ortonormal bas får vi nu genom normering: e = (,, ), e = 6 (,, ) Projektionen av vektorn b = (,, ) till W blir nu proj W b = (b e ) e }{{} + (b e ) e }{{} = = =/ 6 = (,, ) + 3 (,, ) = 3 (3,, 3) + (,, ) = (,, 4) 3 5. Här ställer vi direkt upp normalekvationen A T A = A T b, där = Som på matris form blir 4 7 7 7 4 7 7 7 4 6 4 som ger oss lösningarna = t + Här duger vilken som helst av dessa lösningar och enklast är att ta t = så att den vektor som anger projektionens linjärkombination av kolonnvektorerna är o = Projektionen får vi genom att utföra multiplikationen A o : A o = 3 5
6. Börja med att radeliminera matrisen: 3 3 5 3 4 3 3 4 Från detta får vi att de tre första raderna i den reducerade matrisen är en bas för radrummet. Eftersom pivotelementen står i kolonn, och 3 så är dessa tre kolonner i M 6 en bas för kolonnrummet. En bas för nollrummet får vi genom att lösa M 6 =. Vi får då att 4 = s och 5 = t är fria variabler och då kan nollrumet skrivas som = 3 4 5 = där de två vektorerna bildar nollrummets bas. [ t s ] = 7. Vi börjar med att beräkna matrisens determinant och får då s + t det A(t) = t t = (t + 5t + 6) = (t + )(t + 3) där faktoriseringen i det sista steget gjordes genom att beräkna andragradspolnomets nollställen som blir t = och t = 3. Dessa två värden gör att matrisen saknar invers. Alla andra värden på t gör alltså att A(t) har en invers och då kan vi uttrcka sstemets unika lösning som = A(t) b, t, t 3. När t = eller t = 3 så har sstemet antingen oändligt många lösningar eller så saknas det lösningar. För att ta reda på vilket som gäller så behöver vi lösa sstemet för dessa två värden. Vi får: t = : Sstemet blir då på matrisform 4 3 6 t = 3: Detta sstem är uppenbarligen inkonsistent så sstemet saknar alltså lösningar då t = Sstemet blir då på matrisform 4 3 3 6 3 3 5 5 5/ 5 Detta sstem är uppenbarligen inkonsistent så sstemet saknar alltså lösningar då t = 3 För båda våra värden så blir alltså sstemet inkonsistent vilket betder att inget värde på t ger oss ett sstem med oändligt många lösningar. 8. Egenvärden:,,3 Egenvektorer/Diagonaliserande matris: 6