UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text och figurer. Varje problem ger högst 5 poäng. Vill du räkna din poäng från delprovet ska du ej lämna in lösning på problem och. Väljer du att redovisa lösning på något av dessa problem, räknas istället poängen från slutprovet för både problem och. För godkänt krävs minst 8 poäng, för väl godkänt minst 8 poäng, inklusive din poäng från delprovet.. Beräkna gränsvärdena Gå till lösningen sin x arctan x a lim x tan x ln + x x b lim x + x x. x. Visa att funktionen f x = x x + e x har en invers och beräkna derivatan f. Gå till lösningen. Undersök funktionen f x = x + e /x med avseende på lokala extrempunkter och asymptoter. Skissera grafen. Gå till lösningen. Beräkna integralerna a Gå till lösningen dx x + x + x +, b x arctan x dx. 5. Vad är den största möjliga volymen av en rak cirkulär kon vars generatris har längd? En generatris är en linje från konens topp till en punkt på periferin på bascirkeln. Gå till lösningen 6. Lös differentialekvationen y + y = cos ax för alla reella värden på parametern a. Gå till lösningen
7. Undersök för vilka värden på den reella konstanten m serien k= k k m cos k är konvergent, respektive absolut konvergent. Gå till lösningen 8. Bestäm, för alla reella värden på konstanten a, antalet reella lösningar till ekvationen Gå till lösningen x = ae x. Några MacLaurin-utvecklingar e x = + x + x! + x! + + xn n! + Oxn sin x = x x! + x5 5! + n n! xn + Ox n+ cos x = x! + x! + n n! xn + Ox n+ ln + x = x x + x n n + x a = + ax + aa x + +! x n + Ox n+ aa a n + x n + Ox n+ n! arctan x = x x + x5 5 + + n n xn + Ox n+ f x = f + f x + f! x + + f n x n + Ox n+ n!
Lösning till problem a: Vi använder MacLaurin-utvecklingar: sin x arctan x tan x ln + x x = x x /6 + Ox 5 x 8x / + Ox 6 x + x / + Ox 5 x x / + 8x / + Ox x / + 8/ x + Ox 5 = / 8/ x + Ox = 7/ + Ox + Ox 7 6 b Sätt x = /t x t +. Vi får t + + t t t = t / = t + Ot t / = t / + O t / då t +. Lösning till problem : Derivatan till funktionen f x = x x + e x ges av f x = e x x x + + x = e x x x + = e x x / + / > för alla x. Detta medför att f är strängt växande och har således en invers funktion. Vi ser vidare att f = dvs f =. Derivatan av invers funktion ger nu f = f = =. Lösning till problem : Definitionsmängden är x = och vi kan skriva { x + e /x för x x = f x = x + e /x för x < Vi ser enkelt att lim f x = och lim f x = x + x dvs x = är en lodrät asymptot. För att bestämma sneda asymptoter skriver vi för stora positiva x f x = x + + x + x + O/x = x + + 5 x + O/x vilket ger att y = x + + är asymptot då x. På analogt sätt visas att y = x + är asymptot då x. Derivatan beräknas till x + e /x f x = x = x x x e /x x >, x = + x + e /x x = x x x e /x x < med nollställen och. Ett teckenstudium för derivatan ger x f x odef + / + f x /e / e Lokala extrempunkter är således, och, e lok. minima samt, e lokalt maximum. Grafen får följande utseende
Lösning till problem : I a gör vi en partialbråksuppdelning med ansats vilket ger ekvationssystemet Integralen blir således x + x x + x + I b gör vi substitutioner x + x + x + = A x + + Bx + C x + x + = x : A + B = x : A + B + C = x : A + C = = Ax + x + + Bx + Cx + = A = / B = / C = dx = x + x + x + dx + = ln x + lnx + x + + arctanx +. [ ] x arctan x t = x dx = = [ t ] arctan t dt = dt = x dx arctan t = π 8 [ ] ln + t = π 8 ln. t + t dt Lösning till problem 5: Om r är basradien och h höjden i konen så gäller r + h = enligt Pythagoras. Volymen kan skrivas som V = πr h = π h h = π h h definierad för h. I ändpunkterna gäller V = V =. Det finns inga singulära punkter. Kritiska punkter bestäms av V h = π h = = h = /. Detta h-värde ger maximum Vmax = V/ = π/9. Lösning till problem 6: Karakteristiska ekvationen till den homogena ekvationen är m + = med rötter m = ±i. Lösningen till den homogena ekvationen är således y H = A cos x + B sin x.
Om a = så ansätter vi partikulärlösning y P = C cos ax + D sin ax vilket insatt i ekvationen ger Ca cos ax Da sin ax + C cos ax + D sin ax = cos ax Detta är uppfyllt om D = och C = / a och den fullständiga lösningen är y = y H + y P = A cos x + B sin x + cos ax. a Om a = måste vi modifiera ansatsen till y P = C cos x + D sin xx. Nu blir y P + y P = C sin x + D cos x = cos x vilket ger C = och D = /. Den fullständiga lösningen blir i detta fall y = y H + y P = A cos x + B sin x + x sin x. Lösning till problem 7: MacLaurin-utveckling ger att cos k = k + O/k = k + O/k och termerna i serien kan skrivas a k = k k m k + O/k = k k m + O/k. Om m så gäller a k dvs serien divergerar. Om m < så ger Leibniz kriterium att serien är betingat konvergent. Om m < så är serien absolut konvergent jämför a k med standardserie av typ /k p. Lösning till problem 8: Vi konstaterar först att ekvationen x = ae x är ekvivalent med xe x = a. Vi jämför nu graferna y = xe x och y = a och ser hur många skärningspunkter de har. För y = xe x blir derivatan y = xe x med nollställe x =. Funktionen är växande för x och avtagande för x >, maximum i, /e. Vidare gäller Grafen får följande utseende lim x xe x = och lim xe x =. x y = a y = xe x Från detta ser vi enkelt att a > /e = inga rötter a = /e = en dubbelrot o < a < /e = två rötter a = en rot 5