2D1212 NumProg för P1, VT2006 PROJEKTUPPGIFT

Relevanta dokument
2D1212 NumProg för BD2, Bio2 & K2 Laboration 7 PROJEKTUPPGIFT - HT2005

LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel

Lennart Edsberg Nada,KTH Mars 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 02/03. Laboration 3 4. Elmotor med resonant dämpare

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

f(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h

TMA226 datorlaboration

Envariabelanalys 5B Matlablaboration

SF1513 (tidigare DN1212) Numeriska metoder och grundläggande programmering. för Bio3, 9 hp (högskolepoäng)

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

2D1210, Numeriska Metoder, GK I för V 2.

SF1513 NumProg för Bio3 HT2013 LABORATION 4. Ekvationslösning, interpolation och numerisk integration. Enkel Tredimensionell Design

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

MEKANIK LABORATION 2 KOPPLADE SVÄNGNINGAR. FY2010 ÅK2 Vårterminen 2007

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

5B1134 Matematik och modeller

Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10

Introduktion. Torsionspendel

0.31 = f(x 2 ) = b 1 + b 2 (x 3 x 1 ) + b 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = ( ) + b 3 ( )(

Chalmers Tekniska Högskola och Mars 2003 Göteborgs Universitet Fysik och teknisk fysik Kristian Gustafsson Maj Hanson. Svängningar

Uppgift 1 R-S. Uppgift 2 R-M. Namn:...

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys,

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 9, Numme-delen. Stabilitet vid numerisk behandling av diffekvationer Linjära och icke-linjära ekvationssystem

Laboration 2 Ordinära differentialekvationer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996

Laboration 6. Ordinära differentialekvationer och glesa system

ODE av andra ordningen, och system av ODE

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

Uppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar.

Vågrörelselära och optik

Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),

LAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup

DN1240, numo08 Stefan Knutas, Fredrik Båberg, B.10: Nalle-Maja gungar

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 26 november 2015 Sida 1 / 28

SKALNING OCH RESONANS

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,

x p,1 = X 1 sin ωt + C 1 x p,2 = X 2 sin ωt + C 2, m 1 =20.0 kg m 2 =1.0 kg F 0 =10N k 1 = 4000 N/m m 1 =20.0 kg k 1 = 4000 N/m l 01 =0.

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

Rapportexempel, Datorer och datoranvändning

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20

Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A. 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen

Kursinformation i Partikeldynamik för M (TMME08)

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

m 1 =40kg k 1 = 200 kn/m l 0,1 =0.64 m u 0 =5.0 mm x p,1 = X 1 sin ωt + C 1 x p,2 = X 2 sin ωt + C 2,

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Matlab övningsuppgifter

Laboration 1. Ekvationslösning

R LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN. ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 16 januari Bordsnummer:

Laboration 1 i SF1544: Öva på Matlab och konstruera en optimal balk Avsikten med denna laboration är att:

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Fel- och störningsanalys

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20

Sammanfattning (Nummedelen)

Svängningar. Innehåll. Inledning. Litteraturhänvisning. Förberedelseuppgifter. Svängningar

LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

2D1240, Numeriska metoder gk2 för F2 och CL2 MATLAB-introduktion, minstakvadratmetoden, differensapproximationer,

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Datorlaboration i differentialekvationer

SF1544 LABORATION 2 INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Fel- och störningsanalys

(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.

DN1212 för M: Projektrapport. Krimskramsbollen. av Ninni Carlsund

y(0) = e + C e 1 = 1

dy dx = ex 2y 2x e y.

TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

TENTAMEN HF1006 och HF1008

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 671, Extraexempel

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Föreläsning 5. Approximationsteori

Transkript:

1 Lennart Edsberg Beatrice Frock Katarina Gustavsson NADA, mars 2006 2D1212 NumProg för P1, VT2006 PROJEKTUPPGIFT A I detta projekt ska du tillämpa de metoder som du lärt dig under kursens gång för att lösa ett mekaniskt svängningsproblem. Uppgifter som bygger på samma problem görs även i mekanik- och matematikkurserna. Projektet görs med samma gruppindelning som laborationerna och redovisning sker dels genom en skriftlig rapport, dels med en muntlig presentation inför en grupp studenter och lärare. Rapporten Den skriftliga rapporten ska vara lättbegriplig och sammanfatta problemet, metoder, resultat samt slutsatser. Texten ska vara så utförlig och begriplig att läsaren enkelt ska kunna följa med i resonemangen och förstå hur metoderna som använts fungerar. Rapporttexten bör vara mellan sex och tio A4-sidor och illustrerad med formler, figurer och grafer (ev kan graferna placeras längst bak i rapporten) med markeringar av variabel och enhet på axlarna samt en lämplig rubrik. Resultaten av alla deluppgifter ska finnas med, redigerade så att de passar in i rapporttexten. Matlabkod läggs med i slutet av rapporten som bilaga. Den skriftliga rapporten ska vara inlämnad till kursledaren SENAST den 16 maj 2006. Muntlig presentation Tillsammans ska hela gruppen under ett ca 10 min långt redovisningspass muntligt redogöra för någon/några av projektets deluppgifter inför klassen. Preliminära tider för dessa redovisningar är vid lab-tillfället tisdag 9/5 och tisdag 16/5. Gruppen kommer att kunna boka in sig på förhand till den/de deluppgifter som den vill redovisa muntligt. Betygshöjning Slutbetyget på kursen är det betyg du får på tentan, som maximalt ger betyget B (4). Om du vill höja slutbetyget ett steg uppåt (dock ej från underkänt till godkänt) kan du göra det genom att göra en extrauppgift till projektet. Anmäl till kursledaren om du vill göra en extrauppgift. Extrauppgiften görs och redovisas INDIVIDUELLT. Slutdatum är den 15 juni, inga redovisningar tas emot efter detta datum!

2 Numerisk Modellanalys av Svängningsekvationen Målet med detta projekt är att * knyta ihop problemställningar om svängningsekvationen från mekanik, matematik och numeriska metoder * tillämpa olika numeriska metoder för att undersöka egenskaper hos lösningar till svängningsekvationen * skriva ett större Matlabprogram där egen programmering blandas med användning av färdiga Matlabfunktioner från Matlabs bibliotek * presentera problem, metoder, resultat och slutsatser i en skriftlig sammanställning som uppfyller de krav som ställs på en teknisk rapport * göra en muntlig presentation av någon del av rapporten Svängningsekvationen är en differentialekvation som har grundläggande betydelse i många tillämpningar: mekanik, elektroteknik, akustik, optik, vibrationslära m.m. Denna projektuppgift ska ses som en fortsättning av de uppgifter som ingår i vårterminens matematikoch mekanikkurser. Den differentialekvation som ska behandlas i detta projekt är: m d2 x dt 2 + cdx dt dx dt p 1 + kx = F (t) (1) där x(t) är den vertikala rörelse som funktion av tiden som rummet utsätts för m, c och k är kända positiva konstanter (massan, dämpningskonstanten resp fjäderkonstanten) p är en parameter, p > 1, som inför en icke-linjäritet i modellen. F (t) är den vertikala kraft som vibratorn utsätter rummet för. Vi antar här att F (t) = F 0 sin (ωt), där F 0 är kraftens amplitud och ω är vibratorns vinkelfrekvens. Differentialekvationen (1) är icke-linjär för p 1, vilket gör att analytisk lösning inte kan erhållas. Då p = 1, däremot, övergår differentialekvationen till den kända formen m d2 x dt 2 + cdx + kx = F (t) (2) dt dvs den linjära differentialekvation för vilken analytisk lösning är tillgänglig.

3 A. Lösningskurvor till svängningsekvationen 1. Det linjära problemet, p = 1 Den linjära differentialekvationen (2) kan lösas analytiskt och den allmänna lösningen blir (se matematikuppgiften): x(t) = x h (t) + x p (t) där x h (t) är den homogena lösningen och x p (t) den partikulära lösningen. Den homogena lösningen ges av x h (t) = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t, där C 1, C 2 är godtyckliga konstanter och λ 1, λ 2 är rötterna till den karakteristiska ekvationen. Den partikulära lösningen ges av x p (t) = A sin (ωt) + B cos (ωt), där A = B = Antag att systemet startar från vila, dvs F 0 (k mω 2 ) (k mω 2 ) 2 + (c ω) 2 F 0 c ω (k mω 2 ) 2 + (c ω) 2 x(0) = 0, dx dt (0) = 0 C 1 och C 2 satisfierar då följande linjära ekvationssystem ( ) ( ) 1 1 C1 = λ 1 λ 2 C 2 ( ) B ωa Vidare visas i matematikuppgiften att x h (t) 0 då t, dvs den homogena lösningen dör ut då t går mot större värden. Eftersom den homogena lösningen dör ut, är det bara den partikulära lösningen som överlever. Denna lösning brukar därför även kallas den stationära lösningen. Den kan skrivas (A och B ges av uttrycken ovan) x p (t) = A sin (ωt) + B cos (ωt) = r sin (ωt φ) där r är den stationära amplituden för rummets vertikala rörelse och φ fasvinkeln. Amplituden r ges av r = A 2 + B 2 UPPGIFT 1. Genom att sätta in uttrycken för A och B ovan i r = A 2 + B 2 erhålles (kontrollera och visa detta i rapporten) r = F 0 (k mω 2 ) 2 + (c ω) 2 (3)

4 Den stationära amplituden r för laborationshallens vertikala vibrationer beror alltså av parametrarna i problemet (2): m, c, k, F 0 och ω. För givna värden på m, c och k blir r störst för (kontrollera och visa detta i rapporten) k ω = ω kr = m c2 2m 2 (4) där ω kr brukar kallas den kritiska vinkelfrekvensen. Om dämpningen är liten leder detta till resonanseffekter, se matematikuppgiften. Slut uppgift 1 UPPGIFT 2. Skriv om differentialekvationen (2) som ett system på vektorform av två första ordningens differentialekvationer med tillhörande begynnelsevärden (systemet startar från vila). Redovisa också motsvarande Matlabkod för högerledsfunktionen. Slut uppgift 2 I projektuppgiftens programmeringsdel ska följande värden användas på de parametrar som ingår i problemet: m = (150 + uv) 10 3 c = (72 + wx) 10 4 k = (1100 + yz) 10 5 F 0 = 10 4 där uvwxyz är de sex första siffrorna i en av gruppmedlemmarnas personnummer. Ex: om de sex första siffrora är 830218 är uv=83, wx=2, yz=18. Parametern ω ges olika värden i de olika deluppgifterna. Ett värde som förekommer ofta är ω = ω kr. De enheter som variabler och parametrar mäts i är x [m], t [s], F 0 [N], m [kg], c [Ns/m], k [N/m) och ω [rad/s]. UPPGIFT 3. Skriv ett Matlabprogram som för ω = 5, 10, ω kr, 40 ritar den exakta lösningen x(t) och den numeriska lösningen (x i, t i ) erhållen med ode45 i en och samma graf. Använd tidsintervallet [0, 5]. Rita en annan graf som visar approximationsfelet, dvs skillnaden mellan exakt lösning och numerisk lösning. Notera värdena längs de vertikala axlarna. Slut uppgift 3 UPPGIFT 4. Skriv ett Matlabprogram som beräknar approximationsfelet, för t = 10 (låt ω = 10). Undersök hur felets absolutbelopp beror av de toleransparameter som ka ges i anropet av ode45. Rita en lämplig graf som visar sambandet för tol = 10 q, där q = 3, 4, 5, 6, 7, 8

5 Slut uppgift 4 2. Det icke-linjära problemet (p 1) För det icke-linjära problemet har vi ingen analytisk lösning och kan därför inte beräkna approximationsfelet genom att bilda skillnaden mellan exakt och numerisk lösning. Vi förlitar oss på att den numeriska lösningen erhållen med Matlabfunktionen ode45 får ungefär samma kvalitet som för det linjära problemet, dvs, för denna Matlabfunktion, ungefär samma relativfel i lösningen. UPPGIFT 5. Skriv om differentialekvationen (1) som ett system på vektorform med två första ordningens differentialekvationer med tillhörande begynnelsevillkor. Redovisa också den Matlabkod som svarar mot högerledsfunktionen. UPPGIFT 6. Slut uppgift 5 Skriv ett Matlabprogram som för ω = 10, 20, ω kr, 40 beräknar och ritar en graf över den numeriska lösningen erhållen med ode45 för p = 1.5, 2 Använd gärna kommandot subplot för att rita alla fyra lösningskurvor i samma figurfönster. Använd tidsintervallet [0, 10]. Speciellt för p = 2 visar graferna ett intressant fenomen, vilket inte uppträder då p = 1, dvs den linjära modellen. I fallet ω = 20 ser man särskilt tydligt att vibrationerna byggs upp av två vinkelfrekvenser, dels av ω = 20 dels av ω 0 < ω kr. Uppskatta ω 0 ur grafen. Icke-linjära modeller för svängningsekvationen skiljer sig från den linjära på så vis att andra frekvenser än den i den drivande kraften F (t) uppstår i vibrationerna. B. Den stationära amplitudens beroende av vinkelfrekvensen Slut uppgift 6 I denna del av projektet ska amplituden r för laborationshallens vertikala vibrationer för olika vinkelfrekvenser ω beräknas och ritas upp i grafer. Då p = 1 finns ett algebraiskt uttryck för r(ω), nämligen formel (3). Då p 1, däremot, måste en numerisk metod användas för att bestämma r för olika ω-värden. UPPGIFT 7. Skriv ett Matlabprogram som för p = 1 och givna värden på m, c, k och F 0 ritar upp en graf över r(ω), då 1 ω 60 genom att utnyttja det algebraiska uttrycket (3). Rita i samma graf upp approximativa värden på r i beräknade för olika ω i och markerade med ringar. Använd följande numeriska metod: För givet ω-värde lös differentialekvationen (2) på tidsintervallet [0, 10]. I en graf kan man se att den stationära lösningen har uppnåtts efter mindre än halva sluttiden. Genom att

6 använda Matlabs max- funktion på x i -värden svarande mot t > 5 kan amplituden för den stationära lösningen beräknas. Det kan vara lämpligt att använda ca tio ω-värden i intervallet [1, 60] samt ω-värdet ω kr. Rita även här en graf över felet, dvs skillnaden mellan exakt värde och approximativt värde. Ge en uppskattning av absolutfelet och relativfelet (med en signifikant siffra och rätt tiopotens) i de numeriskt bestämda amplituderna. Överensstämmelsen bör bli mycket god, och visar i så fall att den numeriska metoden kan användas och ge samma goda noggrannhet även i det icke-linjära fallet, dvs p 1. UPPGIFT 8. Beräkna och rita grafer över amplitudvärden r i för samma ω i - värden som i uppgift 7 för de icke-linjära fallen p = 1.5, 2. Rita med Matlabs subplot-kommando fyra grafer, ett för varje p-värde, i samma figurfönster. Markera amplitudvärdena med ringar. För att rita en heldragen snygg kurva genom de markerade punkterna, experimentera med olika anpassningsförfaranden: a) interpolera ett polynom genom alla punkterna (använd Matlabs polyfit och polyval) b) minstakvadratanpassa polynom av lägre grad till punkterna (använd Matlabs polyfit och polyval) c) pröva splineinterpolation gradtal 1 (styckvis linjär interpolation) och gradtal 3 (pröva funktionen spline i Matlab) d) pröva egna idéer! Den anpassade funktionen f(ω) ska ha åtminstone följande egenskaper: * f(ω) > 0 * f (ω) > 0 då ω < ω kr och f (ω) < 0 då ω > ω kr. Vilken grupp fixar till de snyggaste anpassningsfunktionerna som ger bra noggrannhet i de markerade punkterna? UPPGIFT 9. Skriv en teknisk rapport som beskriver problemet, metoderna, resultaten och slutsatserna som du kommit fram till. Följ anvisningarna i Folkeson, Meyer Kommunikation för ingenjörer (kursbok i Maskinteknik, 4A1101) Hur många timmar ungefär har det här projektet tagit? En fråga på kursutvärderingen i slutet av kursen kommer att gälla tidsåtgång och laborationsomfång. Redovisa denna uppgift i rapporten!