Lektionsblad 9, tis 16/2 2010 Först en gång till optimering med bivillkor. Lös uppgifterna 4.25 (om du har problem med denna väldigt typiska uppgift, så studera även lösningen till 4.24), 4.26 (nästan ingen räkning, men en varning för att inte glömma funderingen över existensen först...) och (4.27) (typisk uppgift, fast lite annorlunda formulerad). Lös uppgift 4.28 (en uppgift med tre variabler). Den implicita funktionssatsen ger tillräckliga villkor för att kunna lösa ut en variabel (som funktion av de andra) från en ekvation. Lös uppgifterna 3.25, 3.26 och (3.31). Fler dubbelintegraler, nu kan ett varabelbyte vara lämpligt. Gör uppgift 6.18 (inledningsuppgift med lösning). Gör uppgifterna 6.21 (en uppgift som "kräver" planpolära koordinater (varför??), vid problem studera lösningen till 6.20), 6.22 (av samma typ, fast med lite mer intressanta gränser...), 6.25 (igen planpolära koordinater, fast med en annan medelpunkt (vid problem: 6.24)) och 6.27 (Vilket koordinatbyte passar här? Om du inte har någon idé, kolla lösningen till 6.26.). Generaliserade dubbelintegraler. Först exempel där integrationsområdet är obegränsat. Lös uppgifterna 6.33, 6.34, 6.35, (6.36).
Lektionsblad 10, to 18/2 2010 Igen Generaliserade dubbelintegraler, nu uppgifter, då funktionen är obegränsad. Lös uppgifterna 6.37 och (6.38). Och nu en uppgift med både och: 6.41. Blandade uppgifter med dubbelintegraler. Gör uppgifterna 6.45 och 6.49 (Beräkna integralen i a) och sen tänk efter för att få resultaten i b) och c)) och (6.55). Nu trippelintegraler. Även om det blir nu svårare att rita integrationsområdet (som är en delmängd i rummet R 3 ), så är det ännu viktigare att ha en bild framför sig, hur det ser ut! Ett exempel med enkelt integrationsområde som uppvärmning. Lös uppgift 7.1. Oftast förekommer i beskrivningen av integrationsområdet bara kombinationen x 2 + y 2 (inte variablerna x och y var för sig). Vad betyder detta geometriskt sett? Vilka koordinater kan då vara lämpliga? Lös uppgifterna 7.2 och (7.3). Nu är det rymdpolära koordinater som passar problemet. Varför? Gör uppgift 7.7. Gör uppgifterna 7.8a(bc utan att räkna!) och (7.9). En generaliserad trippelintegral. Kanske passar här ännu andra koordinater... Gör uppgift (7.17).
Lektionsblad 11, tis 23/2 2010 Fler trippelintegraler, nu tolkade som volymer. Glöm aldrig att tänka på eventuella symmetrier (t.ex. rotationssymmetri)!!! Gör uppgifterna 8.2 och (8.4). Gör uppgifterna 8.5. (Lägg märke till hur man får skärningen!) Gör uppgifterna 8.6, (8.11) och 8.13 (väldigt kort, om man välja lämpliga koordinater). Annu fler trippelintegraler, nu inom användningar... Gör uppgifterna 8.24, 8.29, (8.31, 8.34, 8.38, 8.40), 8.43 och (8.44) (OBS: Det finns ett skrivfel i facit: π 3 ).. 2 Innan du börjar med att beräkna kurvintegraler kan det vara nyttigt att påminna sig kurvor. De följande uppgifterna är tänkta som funderings- och diskussionsunderlag. Hoppa inte över dem!!! F15 a) Ange ett exempel på en kurva i parameterform. Hur många parametrar behövs för att beskriva en kurva? b) Är din kurva sluten? c) Ange en parametrisering för din kurva, fast med motsatt orientering. d) Hur beräknar man en normalvektor till en kurva som är given i parameterform? F16 a) Ange ett exempel på en kurva i planet i implicit form, dvs.som en nivåkurva. Kan du på så sätt fixera orienteringen? b) Hur beräknar man en normalvektor till en nivåkurva? F17 Låt f vara en funktion av en variabel och a en punkt i definitionsintervallet. Funktionens graf utgör uppenbarligen en kurva i planet. a) Ange en parametrisering för kurvan. Bestäm vidare kurvans tangent i punkten som har x-koordinat a. b) Ange en funktion g av två variabler, sådan att grafen är en nivåkurva till g. Ange normalvektorn till kurvan och bestäm med hjålp av den tangenten (igen i punkten (på kurvan) som har x-koordinat a). c) Ange Taylorpolynomet av ordning 1 till funktionen f i punkten x = a. Nu bör du ha fått tre gånger - mer eller mindre - samma formel för tangenten! Till slut de första uppgifterna om kurvintegraler. Gör uppgifterna 9.1 och (9.2).
Lektionsblad 12, to 25/2 2010 Fler kurvintegraler. Gör uppgifterna 9.3, 9.4, 9.5 och (9.6). Kurvintegraler och Greens formel. Först uppgifter med en sluten kurva. Gör uppgifterna 9.7 och 9.9. Oftast kan man använda Greens formel även för en icke-sluten kurva, nämligen genom att sluta den... Tänk på rätt orientering! Gör uppgifterna 9.11 och 9.14. Några funderingar kring beviset av Greens formel (som är ett av de "viktiga" bevisen...). F18 Hur är beviset (sidan 335 (upplaga 2005) i läroboken) strukturerat? Dvs. Förklara med dina egna ord (kortfattat!) det logiska resonemanget, utan att gå in i detaljerna! (F19) På sidan 337 sägs att man "på liknande sätt" får x dxdy = Q dy. Genomför detailjerna (för den biten). D D Fler integraler, där Greens formel hjälper vidare. Gör uppgifterna 9.18 och 9.22 (vid problem se 9.21), 9.41 och (9.47)).
Lektionsblad 13, ti 2/3 2010 Greens formel används även för areaberäkningar. Gör uppgifterna 9.24 och 9.25. I Kapitlet 9.4 (i boken) infördes många nya begrepp och egenskaper. Börja med att skaffa dig överblicket. F20 Vilka objekt (listan på vänster sidan) kan ha vilka egenskaper (lista på högersidan). Se till att du även vet vad egenskaperna betyder! vektorfält område differentialform kurvintegral oberoende av vägen potentialfält exakt konservativt bågvis sammanhängande har en potential enkel sammanhängande I de första uppgifterna ska du hitta en potential. Gör uppgifterna 9.30 (vid problem se lösningen av 9.29), (9.31) och 9.33. Magnetfältet och det elektriska fältet (kring en oändlig lång ledare) utgör viktiga exempel! Gör uppgifterna 9.35 och 9.36. Nu kommer det centrala sambandet mellan existensen av en potential och kurvintegraler. Gör uppgifterna 9.39 (vid problem se 9.38) och 9.40. F21 Sätt implikationspilar mellan de följande utsågorna. Skriv även ner dina motiveringar. a) Kurvintegralen är oberoende av vägen. Kurvintegralen längs varje sluten kurva är noll. b) Fältet F = (P, Q) är konservativt. Differentialformen P dx + Q dy är exakt. c) F = (P,Q) är ett potentialfält. Kurvintegralen γ F dr är oberoende av vägen. d) F = (P,Q) är ett potentialfält. e) F = (P,Q) är ett potentialfält. x = P y. x = P y i ett enkelt sammanhängande område Ω. Blandade uppgifter. Gör uppgifterna 9.48, 9.45 och (9.49).