VERSION A TENTAMEN Daum: mars 7 Kurs: MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK 6H, 6L, 6A TEN (Maemaisk saisik ) Skrivid: 8:5-:5 Lärare: Armin Halilovic Kurskod 6H, 6L, 6A Hjälpmedel: Miniräknare av vilken yp som hels och formelsamling Formler och abeller i saisik Införda beeckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uräkningar skall vara så uförliga och väl moiverade a de är läa a följa. Numeriska svar skall anges med mins vå siffrors noggrannhe. Poängfördelning och beygsgränser: Tenamen besår av 6 uppgifer á poäng. För beyg, 4, 5 krävs, 4 respekive poäng. För kompleering krävs 5 poäng. Denna enamenslapp får ej behållas. Uppgif ) a) För händelserna A och B gäller P ( A B) =. 5, och B) =. 4 och P ( A B) =. 8. a) Besäm P (A). a) Besäm A C B) b) Vad är sannolikheen a de blir konak mellan punkerna P och P i nedansående schema om reläkonakerna x, y, z och w slues med sannolikheerna.8,.7,.6 resp..5 och händelserna a de olika konakerna slus är oberoende. Uppgif ) Vid en illverkningsprocess konrolleras de illverkade enheerna i en daorsyrd sensor. Härvid klassificeras defeka enheer som defeka med sannolikheen.9 och som korreka med sannolikheen.. Vidare klassificeras korreka enheer som korreka med sannolikheen.85 och som defeka med sannolikheen.5. Vad är den beingade sannolikheen a en enhe är defek give a den klassificeras som defek i en serie där % av illverkade enheerna är defeka? Var god vänd!
Uppgif ) en sokasisk variabel ξ har frekvensfunkionen, x < f ( x) = a( x), x, x > Besäm a) konsanen a b) vänevärde E (ξ ) c) percenilen p 9 för variabeln ξ. Uppgif 4) I e konorshus finns en hiss med anslage max 6 personer eller 48 kg. Vi vill därför vea hur sor sannolikheen är a hissen överlasas. Anag a viken av en ansälld är normalfördelad med vänevärde 78 kg och sandardavvikelse 8 kg. Olika personers vik är oberoende. Beräkna sannolikheen a viken av 6 personer överskrider 48 kg. (p) Uppgif 5) En korlek med 5 kor besår av fyra färger ( hjärer, spader, klöver, ruer) och valörer: ess,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, knek, dam, kung. Ur en korlek på 5 kor väljer man slumpvis 5 kor. Vad är sannolikheen för b. e par och e riss ( ex 5,5, 7,7,7) b. vå olika par ( ex 5,5,8,8,) b. alla kor i samma färg ( ex 5 hjärer) ( Du svarar med hjälp av binomiska koefficiener) Uppgif 6) En forskare gjorde mäningar av en lösnings fryspunk och fick följande resula:, 7, 6, 8,, 4, 5, 8,, 9 Normalfördelningen kan anas och sandardavvikelse är kän, σ=. a) Besäm e 9 % konfidensinervall (e våsidig konfin. av ypen [a,b] ) för fryspunkens medelvärde. b) Hur många mäningar behövs för a få e konfidensinervall (av ypen [a,b] ) som har 95 % konfidensgrad och som är hälfen så bre. c) Besäm en ensidig konfidensinervall av ypen (, c) med konfidensgraden 96 %. Lycka ill!
FACIT Uppgif ) a) För händelserna A och B gäller P ( A B) =. 5, och B) =. 4 och P ( A B) =. 8. a) Besäm P (A). a) Besäm A C B) b) Vad är sannolikheen a de blir konak mellan punkerna P och P i nedansående schema om reläkonakerna x, y, z och w slues med sannolikheerna.8,.7,.6 resp..5 och händelserna a de olika konakerna slus är oberoende. Lösning: a) P ( A B) =.5 = =. B).4 a) A B) = A) + B).8 = p( A) +.4. A) =.6 a) A C B) = B) =.4. =. C C P ([ A B ] ) =. 7 b) v = x y z =.6 v = w =.5 p = v + v v v =.668 Svar: ) a).6 a). b).668
Uppgif ) Vid en illverkningsprocess konrolleras de illverkade enheerna i en daorsyrd sensor. Härvid klassificeras defeka enheer som defeka med sannolikheen.9 och som korreka med sannolikheen.. Vidare klassificeras korreka enheer som korreka med sannolikheen.85 och som defeka med sannolikheen.5. Vad är den beingade sannolikheen a en enhe är defek give a den klassificeras som defek i en serie där % av illverkade enheerna är defeka? ) Inför följande beeckningar: K=en enhe är korrek, D=en enhe är defek, =en enhe klassificeras som korrek, och =en enhe klassificeras som defek. Give ör D)=., k)=.8, D)=.9, D=.), K)=.85 och K)=.5 Vi söker D ) och beräknar denna som D )= D)/ )= [ D) D)]/[ )] Förs beräknar vi den oala sannolikheen ) Vi får nu )= D) D)+D ) K)=.9.+.5.8=. D )=[.9.]/[.]=.6 Uppgif ) en sokasisk variabel ξ har frekvensfunkionen, x < f ( x) = a( x), x, x > Besäm a) konsanen a b) vänevärde E ( ξ ) c) percenilen p 9 för variabeln ξ. Lösning: x a) a ( x) dx = a(x ) = = a b) E( ξ ) = x( x) dx = ( x x ( ) = = ) dx = (5x x ) c)
Percenilen p 9 är ale som saisfierar ekvaionen (, ( x) dx =. 9 x) dx =.9 x (x ) =. 9 ( ) =.9 = 45 + 9 = = ± Efersom ligger mellan och ar vi endas =. Svar p = 6.877 9 Svar: a) a = b) Uppgif 4) c) p = 6.877 9 I e konorshus finns en hiss med anslage max 6 personer eller 48 kg. Vi vill därför vea hur sor sannolikheen är a hissen överlasas. Anag a viken av en ansälld är normalfördelad med vänevärde 78 kg och sandardavvikelse 8 kg. Olika personers vik är oberoende. Beräkna sannolikheen a viken av 6 personer överskrider 48 kg. (p) Lösning: m = E( ξ ) = 78, k s = 8 Lå ξ = ξ + ξ +... + ξ6. Då gäller ξ + ξ +... + ξ6 N (6 m, s 6) (formelblad) d v s ξ + ξ +... + ξ6 N(468, 8 6) N(468, 9.5959)
48 468 ξ > 48) = F(48) = Φ( ) = 8 6 Φ(.6).79 =.7 ) Svar:.7 Uppgif 5) En korlek med 5 kor besår av fyra färger ( hjärer, spader, klöver, ruer) och valörer: ess,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, knek, dam, kung. Ur en korlek på 5 kor väljer man slumpvis 5 kor. Vad är sannolikheen för b. e par och e riss ( ex 5,5, 7,7,7) b. vå olika par ( ex 5,5,8,8,) b. alla kor i samma färg ( ex 5 hjärer) ( Du svarar med hjälp av binomiska koefficiener) Svar: b. 5 5 b. 5 5 b. 4 5 5 5 Uppgif 6) En forskare gjorde mäningar av en lösnings fryspunk och fick följande resula:, 7, 6, 8,, 4, 5, 8,, 9 Normalfördelningen kan anas och sandardavvikelse är kän, σ=. a) Besäm e 9 % konfidensinervall (e våsidig konfin. av ypen [a,b] ) för fryspunkens medelvärde. b) Hur många mäningar behövs för a få e konfidensinervall (av ypen [a,b] ) som har 95 % konfidensgrad och som är hälfen så bre.
c) Besäm en ensidig konfidensinervall av ypen (, c) med konfidensgraden 96 %. Lösning: a) x = ( λ α / = λ. 5 =.6449) Konfidensinervall: σ σ ( x λα /, x + λα / ) = (.6449, +.6449 ) n n (-.4,+.4) (8.95,.5) ( Vi avrundar ill e bredare inervall.) Svar a) (8.95,.5) b) Inervalles längd=d=.8 d Hälfen = 4 =.. ( λ α / = λ. 5 =.96) Från formeln för konfidensinervall får vi σ λ α / =.4.96 =.4 n n.96 n =.4 n 57 n =.96.4 Svar b) : De behövs 57 mäningar ( +47). c) ( λ α. 4 = λ =.57 Konfidensinervall: σ (, x + λ α ) = (, +.75 ) = (,.) n
Svar c) (,.)