Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera en spännande samling vektorer till en bas, att komplettera en oberoende samling vektorer till en bas, att bestämma komponenterna av en vektor med avseende på en godtycklig bas, att bestämma standardmatrisen för en linjär avbildning Speciellt i fallen då avbildningen är en rotation, projektion eller spegling Det är även dags att påbörja tentamensförberedelserna genom att lösa problem på gamla tentor Glöm inte att studera lösningarna till kryssproblemen Reella vektorrum Vi inskränker oss till de geometriska vektorerna i planet (som kan identifieras med R ) och rummet (som kan identifieras med R 3 ) samt rummen R m, m > 3, bestående av alla kolonnmatriser (ibland radmatriser) med m element Dessutom betraktar vi alla delrum till dessa vektorrum Delrum En icke-tom delmängd W av R m sägs vara ett delrum till R m om det för alla u, v W och varje λ R gäller att u + v W λu W W är slutet under vektoraddition W är slutet under multiplikation med skalärer Om L och W är delrum till R m och dessutom L W så säger vi att L är ett delrum till W Eftersom W inte är tomt innehåller det en vektor u Av ovanstående definition följer att då innehåller W även alla multipler λu Väljer vi speciellt λ fås λu Varje delrum till R m måste alltså innehålla nollvektorn Mängden M { }, bestående av enbart nollvektorn, är ett delrum till R m ty + M λ M M är det minsta delrummet till R m Det största delrummet till R m är R m självt Linjärkombinationer Låt a,, a n vara vektorer i R m Summan x a + + x n a n a x + + a n x n är en linjärkombination av a,, a n med koefficienterna x,, x n
Mängden av alla linjärkombinationer av a,, a n kallas för det linjära höljet av vektorerna a,, a n och betecknas som [a,, a n ] Om A (a,, a n ) är m n-matrisen med a,, a n som kolonner och x (x,, x n ) T R n så gäller att Ax (a,, a n ) x x n a x + + a n x n x a + + x n a n Det betyder att [a,, a n ] {Ax x R n } Linjära höljen är delrum Låt W [a,, a n ] Då är W ett delrum till R m Bevis Två godtyckliga vektorer u, v W kan skrivas Av följer att W är ett delrum u Ax, v Az, (där A (a,, a n ) och x, z R n ) u + v Ax + Az A(x + z) W λu λax A(λx) W Nollrummet till en matris Låt A (a,, a n ) vara en m n-matris Mängden N(A) {x R n Ax } kallas för nollrummet till A N(A) är ett delrum till R n Bevis Låt x, z vara två godtyckliga vektorer i N(A) Av följer att N(A) är ett delrum A(x + z) Ax + Az + A(λx) λax λ Linjärt beroende och oberoende Vektorerna a,, a n R m sägs vara linjärt oberoende om det homogena ekvationssystemet Ax bara har lösningen x Eftersom Ax (a,, a n ) x x n a x + + a n x n x a + + x n a n kan detta uttryckas som att a,, a n R m är linjärt oberoende om och endast om det enda sättet att skriva nollvektorn som en linjärkombination av a,, a n är att ta samtliga koefficienter lika med noll Vektorerna a,, a n R m sägs vara linjärt beroende om de inte är linjärt oberoende Alltså är a,, a n R m linjärt beroende om och endast om det homogena ekvationssystemet Ax har en lösning x
Vi har tidigare sett att varje matris A är radekvivalent med en unik reducerad trappmatris C Ekvationssystemen Ax och Cx har samma lösningar Systemet Cx har den entydiga lösningen x om och endast om samtliga kolonner i C är pivotkolonner I detta fall måste C ha formen In C O där, om m > n, O är en matris med enbart nollor Speciellt gäller att om a,, a n R m är linjärt oberoende så måste m n I fallet då m n så är a,, a n R n linjärt oberoende om och endast om matrisen A (a,, a n ) är radekvivalent med enhetsmatrisen I n Detta är, som vi tidigare sett, ekvivalent med att A är inverterbar Baser Låt W vara ett delrum till R m Vi säger att b (b,, b r ) är en bas i W om b,, b r W och b,, b r är linjärt oberoende, b,, b r spänner upp W, dvs W [b,, b r ] Detta innebär att för varje w W är ekvationssystemet (b,, b r w) entydigt lösbart och när vi löser systemet får vi Ir h (b,, b r w) O En viktig detalj är här att om b,, b r är linjärt oberoende och så måste H ha minst r nollskilda rader (b,, b r ) H Sats Antag att a,, a n, b,, b r är vektorer i delrummet W, sådana att W spänns upp av a,, a n och b,, b r är linjärt oberoende Då gäller n r och n r om och endast om både a (a,, a r ) och b (b,, b r ) är baser i W Bevis Av förutsättningarna följer att matrisekvationen (a,, a n b,, b r ) (A B) är lösbar Alltså har vi C H (A B) ( ) O O där matrisen till höger är en reducerad trappmatris (O:na står för nollmatriser och alla raderna i C är nollskilda) Eftersom H har minst r nollskilda rader, C har minst lika många nollskilda rader som H och C har högst n nollskilda rader följer att n r C har lika många pivotkolonner som den har rader Alltså har C (och därmed A) minst r pivotkolonner Om n r är därför alla kolonner i C pivotkolonner, vilket innebär att a,, a r är linjärt oberoende och därmed en bas i W I den situationen gäller att C I r och H är en inverterbar r r-matris Genom att starta med (B A) och göra exakt samma följd av radoperationer som vi gjorde i ( ) och sedan avsluta med den följd av radoperationer som man gör vid beräkningen av H får vi ( H Ir Ir H (B A) ) O O O O 3
Detta visar att varje vektor i basen a är en linjärkombination av b,, b r Alltså spänner b,, b r upp W och följaktligen är b (b,, b r ) en bas i W Om slutligen både a (a,, a n ) och b (b,, b r ) är baser i W så får vi, som ovan, att n r Eftersom b spänner upp W och a är linjärt oberoende måste vi även ha r n Två baser i ett delrum W måste alltså innehålla samma antal vektorer Detta antal sägs vara W:s dimension och betecknas med dimw Eftersom ingen bas får innehålla nollvektorn tvingas vi definiera dim{ } Satsen säger också att om n dim W och a,, a n är linjärt oberoende vektorer i W så är a (a,, a r ) en bas i W I R m är e (e,, e m ), där e e e m en bas som kallas för standardbasen Det innebär att dimr m m Av ovanstående följer att varje äkta delrum till R m har lägre dimension än m Sats Om a,, a n är linjärt oberoende vektorer i R m och a / [a,, a n ] så är a,, a n, a linjärt oberoende Bevis Antag att Om λ så gäller λ a + + λ n a n λa a λ λ a + + λ n λ a n, vilket strider mot förutsättningen att a / [a,, a n ] Alltså måste λ Men då har vi λ a + + λ n a n, vilket, eftersom a,, a n är linjärt oberoende, medför att λ λ n Detta innebär att den enda lösningen till vektorekvationen ( ) är Alltså är a,, a n, a linjärt oberoende λ λ n λ Komplettering till en bas Om a,, a r är linjärt oberoende vektorer i W och [a,, a r ] W så finns det vektorer a r+,, a n i W, sådana att a (a,, a n ) är en bas i W Bevis Eftersom [a,, a r ] W måste det finnas en vektor a r+ W sådan att a r+ / [a,, a r ] Av föregående sats följer att a,, a r, a r+ är linjärt oberoende Om nu [a,, a r, a r+ ] W så är (a,, a r+ ) en bas i W Om inte så får förfarandet upprepas Eftersom R m inte innehåller fler än m linjärt oberoende vektorer måste vi få en bas i W efter högst m r steg ( ) 4
Ovanstående visar att det finns baser i varje delrum W { } till R m Reducering till en bas Antag att a,, a n är vektorer i delrummet W till R m och att [a,, a n ] W dvs a,, a n spänner upp W (vilket även kan uttryckas som att a,, a n är en spännande samling av vektorer) Då kan man bland vektorerna a,, a n plocka ut en bas a (a j,, a jr ) i W Standardmetoden för att göra detta har vi redan använt många gånger: Vi bildar m n- matrisen A (a, a,, a n ) med vektorerna som kolonner Därefter gör vi radoperationer tills vi får en reducerad trappmatris C: A (c, c,, c n ) C Om c j,, c jr är pivotkolonnerna i C så är a (a j,, a jr ) en bas i W Basen består alltså av pivotkolonnerna i A, alltså av de kolonner i A som inte kan skrivas som linjärkombinationer av kolonnerna i A som ligger till vänster om kolonnen i fråga Som vi vet gäller även att de homogena ekvationssystemen Ax och Cx har samma lösningar Lösningarna kan skrivas x x k v k + + x ks v ks där x k,, x ks är de fria obekanta (svarande mot icke-pivotkolonnerna), r + s n och v k,, v ks (vektorer i R n ) är de lösningar som fås då en av de fria obekanta sätts till medan resten av de fria obekanta sätts till Vektorerna v k,, v ks blir automatiskt linjärt oberoende och ( ) betyder att de spänner upp N(A) Alltså är v (v k,, v ks ) en bas i N(A) Exempel Låt W {(x, y, z) T R 3 x + y z } Visa att W är ett delrum till R 3 Bestäm en bas i W bestående av sinsemellan vinkelräta vektorer Lösning Eftersom W N(A), där A (,, ), följer direkt att W är ett delrum till R 3 För vektorerna i W gäller att x y + z, där y, z är godtyckliga Sätter vi y, z får vi vektorn b (,, ) T W Vi ska nu hitta en vektor b (x, y, z) T W som är vinkelrät mot b Det betyder att x y + z samtidigt som b b x y y x y + z x y z Enklast är här att välja x y z, vilket ger oss b (,, ) T Då W är ett äkta delrum till R följer att antalet basvektorer i W är högst två Å andra sidan har vi redan funnit två linjärt oberoende vektorer b och b i W så antalet basvektorer i W är minst två Det betyder att b (b, b ) är en bas i W bestående av sinsemellan vinkelräta vektorer ( ) Exempel Låt A 4 5 3 3 3 8 4 5 7 7 3 3 4 5 5 7 7 5 4 5
Ett delrum W, till R 6, spänns upp av kolonnerna a, a,, a 8, i A Bestäm en bas a i W bland vektorerna a, a,, a 8 Bestäm även en bas v i A:s nollrum N(A) Utvidga a till en bas i R 6 och v till en bas i R 8 genom att tillfoga standardbasvektorer Lösning Genom att göra en följd radoperationer får vi 3 4 4 3 A C 6 Pivotkolonnerna i C är c, c, c 5, c 7 En bas i W är därför a (a, a, a 5, a 7 ) Vi ska nu komplettera a med två standardbasvektorer till en bas i R 6 För att slippa jobba så mycket chansar vi på att två av e, e, e 3 duger och sätter upp matrisen (a, a, a 5, a 7 e, e, e 3 ) 3 5 Efter ett antal radoperationer får vi trappmatrisen (ej reducerad) 3 5 5 7 48 73 De sex första kolonnerna är pivotkolonner Av detta följer att vi kan komplettera a (a, a, a 5, a 7 ) med e, e till en bas b (a, a, a 5, a 7, e, e ) i R 6 Nollrummet N(A) utgörs av lösningarna till Cx, alltså x x 3 + 3x 4 + x 6 + 4x 8 x + x 3 + 4x 4 x 6 + 3x 8 x 5 + 6x 6 + x 8 x 7 + x 8 där vi underlåtit att skriva upp två triviala ekvationer (av typ ) Här ser vi att de bundna obekanta är x, x, x 5, x 7 och att dessa kan uttryckas i de fria obekanta x 3, x 4, x 6, x 8 enligt x x 3 3x 4 x 6 4x 8 x x 3 4x 4 + x 6 3x 8 x 5 6x 6 x 8 x 7 x 8 6
Lösningarna till det homogena ekvationssystemet Ax kan därför skrivas x x 3 3x 4 x 6 4x 8 x x 3 4x 4 + x 6 3x 8 x 3 x 3 + x 4 + x 6 + x 8 x x 4 x 5 x 3 + x 4 + x 6 + x 8 x 3 + x 4 6x 6 x 8 x 6 x 3 + x 4 + x 6 + x 8 x 7 x 3 + x 4 + x 6 x 8 x 8 x 3 + x 4 + x 6 + x 8 x 3 + x 4 3 4 + x 6 6 + x 8 4 3 x 3 v 3 + x 4 v 4 + x 6 v 6 + x 8 v 8, där x 3, x 4, x 6, x 8 kan väljas fritt (det är därför de kallas för fria) Det följer att en bas i N(A) är v (v 3, v 4, v 6, v 8 ) Vi kan komplettera dessa fyra vektorer med standardbasvektorerna e, e, e 5, e 7 till en bas c (e, e, v 3, v 4, e 5, v 6, e 7, v 8 ) i R 8 Att detta verkligen är en bas i R 8 framgår direkt av att matrisen 3 4 4 3 6 med kolonnerna e, e, v 3, v 4, e 5, v 6, e 7, v 8, är uppåt triangulär, med ettor i diagonalen, och därför inverterbar Komponenter Antag att a (a,, a n ) är en bas i delrummet W till R m För varje w W finns det då entydiga tal λ,, λ n sådana att a λ + + a n λ n w Talen λ,, λ n kallas för w:s komponenter (eller koordinater) i basen a och kolonnvektorn λ λ n w a w a (w) a (w) a sägs vara w:s komponentvektor (eller koordinatvektor) i basen a För räkning med komponentvektorer gäller 7
(u + v) a u a + v a (λu) a λu a För att i praktiken bestämma komponentvektorn w a löser man ekvationssystemet med matrisformen (a,, a n w) och får där O som vanligt står för en nollmatris In w (a,, a n w) a O Exempel Låt W vara delrummet till R 6 i föregående exempel Visa att vektorn w (,, 4,,, 6) T tillhör W och bestäm komponentvektorn för w i basen a (a, a, a 5, a 7 ) Lösning Vi sätter upp ekvationssystemet (a, a, a 5, a 7 w): (a, a, a 5, a 7 w) och får med några radoperationer Det följer att w W och w a (,,, ) T 3 4 5 6 Exempel Låt W vara delrummet till R 4 som spänns upp av a (, 4,, 4) T, a (, 5,, 3) T, a 3 (3, 9,, 7) T, a 4 (, 3,, 5) T och a 5 (3, 5,, ) T Bestäm en bas i W bland dessa vektorer och utvidga denna bas till en bas i R 4, med hjälp av vektorer ur standardbasen i R 4 Lösning Vi bildar matrisen (A I 4 ) (a,, a 5 e,, e 4 ) 8 3 3 4 5 9 3 5 4 3 7 5
vilken, med några radoperationer, transformeras till (C H) 5 8 5 Av denna reducerade trappmatris ser vi att a, a och a 5 bildar en bas i W Ytterligare ser vi att om denna bas i W kompletteras med en (men bara en) av vektorerna e, e 3 eller e 4 så får vi en bas i R 4 Däremot kan vi inte komplettera med e, ty e a + a a 5 (vilket direkt framgår av andra kolonnen i matrisen H) Linjära avbildningar En funktion (avbildning, transformation, operator) f : R n R m sägs vara linjär om det finns en matris A R m n sådan att f (x) Ax för alla x R n A sägs vara f :s matris (eller standardmatris) Matrisen för f brukar betecknas som [ f ] Att f : R n R m är linjär är ekvivalent med att f (u + v) f (u) + f (v) och f (λu) λ f (u) för alla u, v R n, λ R För matrisen A gäller att A ( f (e ),, f (e n )), där e (e,, e n ) är standardbasen i R n Ofta kan man visa att en avbildning f : R n R m är linjär genom att direkt visa att f (v) Av för alla v R n, där A R m n Se nedan och, till exempel, redovisningsuppgift till lektion Exempel För avbildningen f : R 3 R gäller att f (x) x x + x 3 3 x + x + 3x 3 x x x x 3 R 3 Visa att f är linjär och bestäm f :s standardmatris Lösning Eftersom f (x) 3 ( 3 ) följer direkt att f är linjär med standardmatrisen A x x x 3 Ax Rotation i planet Avbildningen f som utför jobbet att rotera (vrida) en godtycklig vektor moturs vinkeln α har matrisen cos α sin α [ f ] sin α cos α För att inse detta tar vi en godtycklig vektor v (v, v ) T och sätter w cos α sin α v v cos α v w f (v) sin α sin α cos α v sin α + v cos α w 9 v
Vi har då w w + w v (cos α + sin α) + v (sin α + cos α) v + v v Varje vektor avbildas alltså på en en vektor med samma längd Alltså gäller v w v cos α v v sin α + v v sin α + v cos α (v + v ) cos α v w cos α cos α v w v w Vinkeln mellan v och w f (v) är därför alltid α Slutligen gäller det(v, w) v v cos α v sin α v v sin α + v cos α v v sin α v sin α v sin α > v för < α < π Det innebär att w fås genom att rotera v moturs vinkeln α Projektionen längs en vektor Vi har tidigare visat att projektionen w n av en vektor w längs en vektor n ges av w n n n (nnt )w Qw, där Q n n nnt Enligt ovan är det klart att funktionen g som ges av g(w) Qw är linjär med matrisen Q I planet har vi n (a, b) T, vilket ger n n a + b och Q ( a a + b b ) (a b) ( a a + b ab ab b I rummet har vi n (a, b, c) T, vilket ger n n a + b + c och Q a + b + c a b c (a b c) a + b + c ) a ab ac ab b bc ac bc c Projektion på en linje i planet Linjen L, som går genom origo och är vinkelrät mot n (a, b) T, har ekvationen ax + by Låt w vara en godtycklig vektor i R och låt v Qw vara projektionen av w längs n Enligt definitionen av projektionen av en vektor längs en vektor är då vektorn u w v vinkelrät mot n och därför parallell med L Vektorn u sägs vara projektionen av w på L Funktionen f, som avbildar w på u, är linjär ty f (w) u w v w Qw Iw Qw (I Q)w, w R
Det framgår också att matrisen för f är P I Q Alltså har vi P I Q a + b a + b ( a + b a + b b ab ab a ) ( a ab a + b ab b ) Projektion på ett plan i rummet På samma sätt får vi att den ortogonala projektionen f på planet ax + by + cz är linjär med matrisen P I Q n a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c b + c ab ac ab a + c bc ac bc a + b n a ab ac ab b bc ac bc c där n a + b + c Vid dessa beräkningar behöver man bara memorera formeln för Q och att P I Q För matriserna P och Q gäller att P + Q I, PQ QP O, P P T P och Q Q T Q Speglingen i en linje i planet eller i ett plan i rummet Denna linjära funktion h definieras (både i planet och rummet) av att dess matris är S [h], där S I Q För S gäller att S S T och S (I Q) I 4Q + 4Q I 4Q + 4Q I S är alltså inverterbar med sig själv som invers Speglingen i en linje i rummet Det går även att definiera speglingen r i en linje L, genom origo, i rummet Antag att L är parallell med vektorn n (a, b, c) T Speglingen r definieras som den linjära operatorn på R 3 som har matrisen där P, Q och S är som ovan R [r] I P I (I Q) Q I S,