Metodbeskrivning och tillämpning i Strut-and-Tie metoden vid höga balkar

AKADEMIN FÖR TEKNIK OCH MILJÖ Avdelningen för bygg-, energi- och miljöteknik Metodbeskrivning och tillämpning i Strut-and-Tie metoden vid höga balkar Josefine Larsson & Isabelle Åström 2018 Examensarbete, Grundnivå (högskoleexamen), 15 hp Byggnadsteknik Byggnadsingenjör Handledare: Göran Hed Examinator: Johan Norén

Förord Detta examensarbete avslutar vår treåriga högskoleingenjörsutbildning med inriktning byggnadsteknik på Högskolan i Gävle under vårterminen 2018. Detta arbete har varit givande och har gett oss kompletterande kunskap inom konstruktion. Vi vill rikta ett stort tack till vår handledare Göran Hed som har tagit sig tid och väglett oss under detta arbete. Vi vill även passa på att tacka WSP Gävle för tillhandahållande av ritningar. i

SAMMANFATTNING Höga balkar har tidigare beräknats med tidigare erfarenhet och förenklade uppskattningar. Strut-and-Tie metoden går ut på att designa en fackverksmodell med trycksträvor, dragstag och knutpunkter och beräkna dessa. Metoden är av Eurokod 2 rekommenderad att använda vid beräkningar av höga balkar och den gör att konstruktioner alltid är på den säkra sidan då den faktiska kapaciteten är lika med eller större än fackverksmodellen. Syftet med studien är att göra en stegvis metodbeskrivning i hur man använder metoden och att sedan applicera den på en hög betongbalk i en femvåningsbyggnad. Arbetet inkluderar en FE-analys av skivan och fackverksmodellen. Därefter görs handberäkningar för att kontrollera hållfasthet och att dimensionera armering. Väggskivan har tre stöd och är 12 m lång, 3 m hög och 0,2 m tjock. Resultatet visar på att nätarmering FS9150 behövs tillsammans med 4 lager 2Ø16 i nedre delen av den höga balken och 5 lager 2Ø12 i övre delen av balken. Det är även nödvändigt att mittenstödet förlängs med 400 mm för att knutpunkten ska klara belastningen. En svårighet med metoden som upptäcktes var att ta fram en optimal fackverksmodell. Det var svårt att ta fram modeller som stämde överens med kraftriktningarna i skivan och samtidigt få till rätt vinklar mellan strävorna. Förutom det finns även en rekommendation om sa få strävor som möjligt. Att göra en modell där alla dessa tas hänsyn till är en svår uppgift. Det är sannolikt att metoden ger ett bättre resultat ju mer erfarenhet konstruktören har av att arbeta med den. ii

ABSTRACT Deep beams have traditionally been calculated through experiments and estimations. The purpose of the Strut-and-Tie method is to design a truss with struts, ties and nodes and to calculate these. The method is by Eurocode 2 recommended to use for deep beams and the result will always be on the safer side because the actual capacity will always be equal to or greater than the truss. The purpose of the study is to create a step by step method description on how to use the method and then apply it in a deep beam for a five-story building. The study includes an FE-analysis of the sheet and of the truss. After that hand calculations will be made to control the strength and to dimension the reinforcement. The wall sheet have three supports and the length is 12 m, 3 m high and 0.2 m thick. The result shows that the area reinforcement FS9150 will be needed along with 4 layers of 2Ø16 in the bottom of the deep beam and 5 layers of 2Ø12 in the top of the deep beam. It is also necessary to extend the middle support by 400 mm for the node to have enough capacity. One difficulty with the method was to develop an optimal truss model. It was difficult to produce models that matched the direction of the forces in the sheet while getting the right angle between the struts and ties. In addition to that, there is also a recommendation to have as few struts and ties as possible. Making a model where all of these are taken into account is a difficult task. It is likely that the method gives a better result, the more experience the structural engineer has with the method. iii

Innehållsförteckning Förord..... i Sammanfattning....ii Abstract....iii Innehållsförteckning.....iv 1 Inledning.....1 1.1 Syfte och problemformulering...1 1.2 Förutsättningar för väggskivan... 1 1.3 Bakgrund. 3 1.3.1 Dragband och trycksträvor.4 1.3.2 Knutpunkter....4 1.3.3 Fackverkets uppbyggnad....6 1.3.4 FEM-design... 7 2 Allmän metodbeskrivning..8 3 Genomförande och resultat av objekt...18 4 Diskussion....31 Referenser...32 iv

1. Inledning 1.1 Syfte och problemformulering Hittills har delar med geometriska och statiska avbrott i konstruktionen beräknats med tidigare erfarenhet, vilket har visat sig vara en bristande lösning som i vissa fall lett till dåliga konstruktionslösningar och även misslyckade konstruktioner. Detta kan undvikas genom att dimensionera med Strut-and-Tie metoden. Metoden ger en bra inblick i de krafter som verkar inuti konstruktionen (Schlaich, Schäfer & Jennewein, 1987). Det är av Eurokod 2 (2005) rekommenderat att beräkna med metoden, som där kallas fackverksmodellen, vid beräkning av höga balkar och konstruktioner med avbrott. Det är därför av intresse för branschen med en genomgång i hur metoden tillämpas. Syftet med studien är att skapa en metodbeskrivning i hur man går tillväga för att beräkna höga balkar med Strut-and-Tie metoden och sedan att utföra metodbeskrivningen på ett verklighetsbaserat objekt som är en trestödsväggsskiva i ett femvåningsbostadshus. Metoden som används är en fallstudie på ett verklighetsbaserat objekt. Beräkningarna kommer att göras med hjälp av FE-analys och med handberäkningar. Studien kommer att valideras mot Eurokod 2. All dimensionering syftar till att minska materialåtgången. 1.2 Förutsättningar för väggskivan Byggnaden är ett femvånings bostadshus placerat i Täby kommun, Stockholm. Den är byggd av betong med betongkvalitet C30/37. Det som kommer beräknas i denna studie är en väggskiva som ligger i nedre delen av byggnaden. Väggens mått är 12,6 m lång, 2,77 m hög och 0,2 m tjock. De laster som verkar på väggskivans överkant är egentyngd på ovanliggande yttertak, bärande betongvägg, bjälklag, nyttig last och även väggens egentyngd. Bjälklaget, den nyttiga lasten och innerväggar på plan 2 belastar väggskivan i underkant i och med att bjälklaget hänger i väggen. Innerväggarna kommer att beräknas med ett antaget schablonvärde på 0,5 kn/m 2. Yttertaket antas vara 0,4 kn/m 2. Bjälklaget i underkant ingår i väggskivan och väggskivan är endast i ett plan, se Fig.2. Ena stödets mått är 450x200 mm 2 och de två andra stöden har måtten 600x300 mm 2. En sektion på väggskivan kan ses i Fig. 1 och i 3D Fig. 2. 1

Fig. 1. Väggskivan i sektion. Fig. 2. Väggskivan i 3D. 2

1.3 Bakgrund En ökning av höga byggnader har på senare år kunnat observeras, speciellt i storstäder, där det är brist på mark. Därför har betydelsen av armerade höga betongbalkar drastiskt ökat eftersom att det är den viktigaste konstruktionsdelen i dessa typer av byggnader (Kopanska & Nagrodzka-Godycka, 2015). Definitionen på en hög balk är att spännvidden är mindre än tre gånger tvärsnittets höjd (Eurokod 2, 2005). Höga balkar är ett armerat betongelement vars hela spännvidd eller skjuvspänningsdjup är kortare än höjden. De senaste årtionden har höga betongbalkar designats genom experiment, formler eller förenklade uppskattningar. I och med att det är en väldigt komplex komponent är hållfasthetsberäkningar av hög svårighetsgrad. Strut-and-Tie metoden är en rekommenderad metod att använda vid beräkning av höga balkar (Shariat, Eskandari- Naddaf, Tayyebinia & Sadeghian, 2017). Vid dimensionering av höga balkar gäller inte beräkningar med den klassiska balkteorin, även kallad Bernoullis hypotes. Istället tillämpas Strut-and-Tie metoden, som även kallas fackverksmetoden. Konstruktionselementet delas in i två olika områden: B- och D- regioner vilket kan ses i Fig. 3, där balkteorin gäller på B-regionerna men inte på D- regionerna. D-regioner är områden där spänningsfördelningen inte är linjär. Tidigare har konstruktionsdelar som utgörs av B-regioner beräknats med nästan överdriven noggrannhet medan D-regionerna har beräknats utifrån äldre erfarenhet, fastän varje område är lika viktigt. På grund av detta är det viktigt med en metod som hanterar både B- och D-regioner. Metoden går ut på att ta fram en fackverksmodell med dragband, trycksträvor och knutpunkter (Schlaich & Schäfer, 1991). Metoden är inte använd i så stor utsträckning och en av orsakerna till det kan vara svårigheten i att designa en gynnsam fackverksmodell för en viss konstruktionsdel. Konstruktören behöver kunskap för att förutspå konstruktionens respons. Detta gör att resultatet varierar med konstruktörens kunskap och tidigare erfarenhet (Nagarajan & Pillai, 2008). Den faktiska kapaciteten för en konstruktion är lika med eller större än den förenklade fackverksmodellen eftersom att Strut-and-Tie metoden underskattar styrkan. På grund av det kommer konstruktioner som är baserade på metoden alltid att vara på den säkra sidan (Nagarajan & Pillai, 2008). 3

1.3.1 Dragband och trycksträvor Fig. 3. Exempel på D-regioner. (Schlaich & Schäfer, 1991) Dragbanden i fackverksmodellen illustreras av de dragkrafter som uppstår i konstruktionselementen och där armeringsstängerna vanligtvis placeras ut. Trycksträvorna representerar de tryckta spänningsfälten i betongen. Se Fig. 4. Eurokod 2 (2005) rekommenderar att höga balkar normalt utrustas med nätarmering nära båda ytor med en area av minst A s,dbmin. Rekommenderat värde på A s,dbmin är 0,1 % av tjockleken, dock minst 150 mm 2 /m i varje yta och i vardera riktningen. Avståndet mellan stänger bör vara det minsta av två gånger balktjockleken eller 300 mm. Armering som placeras vid dragband som ingår i fackverksmodellen rekommenderas att vara förankrad i knutpunkten genom bockning, U-slingor eller speciella förankringsanordningar, om inte en förankringslängd får plats mellan noden och balkens kant. Om upplaget ligger vid konstruktionens kant är det inte möjligt att armeringen dras fram genom hela noden på grund av kraven för täckande betongskikt. Upplagskraften kan därför inte avledas med hjälp av armering utan dragspänningar i betongen kommer hjälpa till att avleda dessa krafter, det är dock inte fördelaktigt för nodens bärförmåga och därför är det rekommenderat att armeringen fördelas i flera lager (Svenska betongföreningen, 2012 Volym 1 avsnitt 6.5.4). 1.3.2 Knutpunkter Knutpunkterna eller noder som det också kallas är den skärningspunkt där trycksträvor och dragband möts och lasterna överförs mellan dessa. Det är viktigt att kontrollera att hållfastheten i noden är tillräckligt hög för att klara lasterna som den utsätts för. Det finns fyra olika typer av knutpunkter och dessa beror på kombinationen av tryck- och dragkrafter. En nod som endast består av tryckkrafter kallas CCC-knut. Till exempel knutpunkt 9 i Fig. 4 och en detaljbild på en sådan nod i Fig. 5. CCT-knut korsas av tryckkrafter och ett dragband. Punkt 1 är en sådan nod i Fig. 4 och en närmare bild i Fig. 4

6. CTT-knut träffas av dragband och en trycksträva. Ett exempel på en sådan nod är knutpunkt 14 i Fig. 4 eller Fig. 7. TTT-knut är en knutpunkt som enbart träffas av dragband. Till exempel punkt 5 och 12 i Fig. 4 (Schlaich, Schäfer & Jennewein, 1987). C står för compression, vilket är trycksträvorna. T står för tension, vilket är dragbanden. Fig. 4. Fackverksmodell. (Fernandez-Ruiz, Gil-Martin & Hernandez-Montes, 2018) Fig. 5. CCC-knut. (Eurokod 2, 2005) Fig. 6. CCT-knut. (Eurokod 2, 2005) Fig. 7. CTT-knut. (Eurokod 2, 2005) 5

Yun (2006) hävdar att det som påverkar geometrin och storleken på noden är de bredder och vinklar på strävor och dragband som träffar knutpunkten. Enligt Yun och Ramirez (1996) påverkar även dimensionen på upplaget knutpunktens storlek. En viss last ger en större spänning i knutpunkten ju mindre upplaget är. Eurokod 2 (2005) nämner att koncentrerade noder kan förekomma vid bärverk där t.ex. punktlaster angriper eller noder vid upplag. Enligt Svenska Betonghandboken kan både trycksträvor, dragband och noder kategoriseras som antingen koncentrerade eller utbredda. Utbredda noder förekommer där utbredda spänningsfält möts. Det är inte nödvändigt att kontrollera utbredda noder eftersom att de aldrig kan överbelastas, däremot måste koncentrerade noder kontrolleras så att inte spänningarna överbelastas. 1.3.3 Fackverkets uppbyggnad En trycksträvas lutning begränsas av 1,0 tanθ 2,5, vilket innebär att vinkeln ska ligga inom värdet 45 till 68,2. Däremot om det är en trycksträva som är placerad mellan två dragband bör den ha en vinkel omkring 45 och bör inte vara under 30 på någon sida (Svenska betongföreningen, 2012 Volym 1 avsnitt J.2-J.3). Exempel på lämpliga val av vinklar mellan tryck- och dragband visas i Fig. 8. Fig. 8. Svenska Betongföreningen, 2012 Volym 1 avsnitt X1.5 Det föredras att vinkeln mellan trycksträva och dragstag är större än 55, att armeringen läggs in i mer än ett lager och att armeringen till stor del fästs bakom noden och att knutpunkten innesluts av byglar, upplagsdetaljer eller friktion. Förankringen bedöms börja vid den punkt där armeringen går in i nodområdet (Svenska betongföreningen, 2012 Volym 1). Enligt Eurokod 2 (2005) får tillåten tryckspänning ökas med 10 % om minst ett av följande villkor uppfylls: Treaxlig tryckspänning Alla vinklar mellan strävor och dragband är större än 55 Lasten vid upplag är jämnt utbrett och noden är omsluten av byglar Armeringen är lagd i flera lager Knutpunkten är säkert utsatt genom lageranordning eller friktion. 6

1.3.4 FEM-design Den programvara som kommer användas för att beräkna snittkrafter i skivan och normalkrafterna i fackverket är FEM-design och står för finita elementmetoder. Där företaget StruSoft har tagit fram ett program som har gjort det möjligt att lätt beräkna konstruktioners hållfasthet där flervariabla differentialekvationer kan förekomma (Rask & Öberg, 2015). 7

2. Allmän metodbeskrivning I Fig. 9 ses en metodmodell som visar de steg som kan göras för att beräkna en hög balk med Strut-and-Tie metoden. Fig. 9. Metodmodell. 8

Steg 1 Först görs en analys av väggskivans geometri som innehåller antaganden om upplaget, den teoretiska spännvidden samt tvärsnittets form och mått. Därefter bestäms lastmodellen efter de laster som verkar på konstruktionsdelen. Materialmodellen beskriver betongens kvalitet. Exempel på balkens förutsättningar ses i Fig. 10. Fig. 10. Balkens förutsättningar. Steg 2 En lastnedräkning görs för hand i excel ned till väggskivan för att se vilka linjelaster den utsätts för. Brottlasterna beräknas enligt Eurokod och EKS. Steg 3 I skivberäkningsprogrammet FEM-design ritas väggen upp tillsammans med stöd och den linjelast som belastar skivan. Detta analyseras och normalkraft hämtas ur programmet. Resultatet av analysen visar vilka kraftriktningar som finns i konstruktionen, det vill säga vart och hur drag- och tryckkrafterna verkar. Även reaktionskrafterna beräknas i detta steg. I Fig. 11 ses exempel på hur normalkrafter kan se ut i skivan där rött representerar tryck och grönt representerar drag. Fig. 11. Normalkrafter i skivan. 9

Steg 4 Nästa steg är att rita upp fackverket baserat på de krafter som verkar inuti betongväggen. För detta behövs avstånden från skivans kant till fackverket som kan ses i Fig. 12 som a c och a s. Dessa avstånd beräknas: Avståndet mellan balkens överkant och den horisontella strävan i överkant: a c = Trycksträvans tjocklek 2 [mm] (1) Avståndet mellan balkens underkant och armeringsfältets tyngdpunkt: a s = C nom + Armeringsfältets tyngdpunkt [mm] (2) För att beräkna armeringsfältets tyngdpunkt antas en armeringsdiameter och antal lager. Knutpunkterna vid upplagen placeras i mitten av varje stöd vilket visas i Fig. 12. Fig. 12. Kantavstånd till fackverk. Fackverksmodellen bildas av att snedsträvor placeras där tryckkrafterna visades i skivberäkningen och raka strävor ritas där dragkrafterna visades. Ett krav är att fackverket måste vara stabiliserad och detta kan ske genom snedsträvor eller stöd som är låsta. Enligt betonghandboken är så få strävor och dragband som möjligt det bästa. Vinklarna rekommenderas ligga vid 60. Linjelasterna räknas om till punktlaster som träffar knutpunkterna på den höga balken. Ett exempel visas i Fig. 13. Därefter beräknar programmet ut normalkrafterna i form av tryck- och drag och dess storlek. 10

Fig. 13. Visar hur punktlasterna träffar varje knutpunkt. Steg 5 De längsgående armeringsbehov som krävs vid dragbanden beräknas enligt: A s = F f yd [mm 2 ] (3) där As = Erforderlig armeringsarea i dragbandet F = Dragkraften i dragbandet f yd = Stålets draghållfasthet Därefter väljs en lämplig armeringsdiameter Ø. Stångens area beräknas: A = π 2 4 [mm 2 ] (4) Sedan beräknas antalet stänger: n = A s A [ ] (5) Centrumavståndet mellan stängerna ska enligt Eurokod 2 (2005) vara största värdet av: Stångdiametern Ballastens maximala storlek+5 20mm Även täckskiktet beräknas. Därefter beräknas antalet lager armering genom att kontrollera hur många järn som får plats i varje lager. 11

Vid denna beräkning framgår om antalet lager armering stämmer överens med det antagandet som gjordes vid utritandet av fackverket, om inte ritas nu ett nytt fackverk och beräkningen görs om. För höga balkar beräknas minimiarmeringen som utgörs av ett rutnät enligt Eurokod 2 (2005) som det största av: A s,bdmin = ρ min tb [mm 2 /m] 150mm 2 /m i varje riktning och i varje yta där ρmin = 0,1/100 t = väggskivans tjocklek b = bredden, beräknas som en meter. Det är den minsta armeringen som krävs. Men om det krävs mer nätarmering på grund av de sneda dragsträvorna måste kontrolleras. Genom komposantuppdelning och trigonometri kan den vertikala dragkraften beräknas och det är den som ska tas upp av nätarmeringen. Den kraften dividerat med stålets dimensionerande draghållfasthet, som i ekvation (3), bestämmer den armeringsarea som krävs. Steg 6 Nodens höjd u beräknas enligt Svenska betongföreningen (2012) volym 1 avsnitt 6.5.4: u=0 om det är ett lager armering och den inte förankras bakom nodområdet. u=2s 0 om det är ett lager armering som förankras minst S 0 bakom nodområdet. u=2s 0 +(n-1)s. där S 0 = avståndet från balkens kant till första lagret av armeringens tyngdpunkt n = antalet lager s = centrumavståndet mellan armeringslagren. Trycksträvans bredd som träffar noden beräknas: a 2 = a 1 sin +ucos [mm] (6) där a 1 = upplagets längd α= vinkeln mellan den sneda trycksträvan och dragbandet u = nodens höjd (Svenska betongföreningen, 2012 Volym 1 avsnitt 6.5.4) S 0, u och a 2 kan ses i Fig. 14. 12

Fig. 14. CCT-nod. (Eurokod 2, 2005) Hållfastheten behöver beräknas för den sneda trycksträvan och även för upplaget. Om det är en knutpunkt där två trycksträvor möts i samma nod görs det istället två knutpunkter nära varandra och en trycksträva i vardera knutpunkt. Då bildas en huvudspänning som är horisontell mellan dessa. Knutpunktens hållfasthet med hänsyn till den sneda trycksträvan beräknas: σ Ed = F a 2 t [MPa] (7) Knutpunktens hållfasthet med hänsyn till upplaget beräknas: σ Ed = R A a 1 t [MPa] (8) Knutpunktens hållfasthet med hänsyn till huvudspänningen beräknas: σ Ed = F ut [MPa] (9) Eurokod 2 (2005) beräknar den maximala hållfastheten som knutpunkten klarar av att utsättas för som: σ Rd = kv f cd [MPa] (10) k sätts till 1 om det är tryck i alla riktningar, 0.85 om det är drag i en riktning och 0.75 om det är drag i mer än en riktning. 13

v = 1 f ck 250 [ ] (11) σ Rd > σ Ed för att det ska vara okej. Steg 7 Förankring av dragstag i noder dimensioneras enligt Svenska Betongföreningen (2012) Volym 2 avsnitt I1.4: Vidhäftningshållfastheten f bd : f bd = 2,25η 1 η 2 f ctd [MPa] (12) där f ctd = dimensionerande värdet för betongens draghållfasthet η 1 = koefficient som är relaterad till vidhäftningsförhållandena och stångens läge under gjutning η 1 =1,0 vid goda vidhäftningsförhållanden η 1 =0,7 for alla övriga fall, samt för stänger i glidformsgjutna bärverksdelar, om det inte kan påvisas att goda vidhäftningsförhållanden gäller η 2 = stångdiametern η 2 = 1,0 för Ø 32 mm η 2 = (132-Ø)/100 för Ø> 32 mm Grundförankringslängd l b,rqd : l b,rqd = σ sd 4f bd [m] (13) där σsd = dimensionerande värdet på spänningen i stången i den punkt där överföringen antas börja fbd = ges från (9) Dimensionerande förankringslängd lbd: l bd = 1 2 3 4 5 l b,rqd [m] (14) där α1*α2*α3*α4*α5 = koefficienter. Se eurokod 2, avsnitt 8.4.4 lb,rqd = ges från (13) 14

Förankring vid upplag A: Tillgänglig förankringslängd för understa lagret: l b,prov1 = L A + (C nom + 2 ) tanθ Tillgänglig förankringslängd för översta lagret: C nom [m] (15) l b,prov2 = L A + (C nom + + 0,02) tanθ Förankring vid upplag B: Tillgänglig förankringslängd för understa lagret: C nom [m] (16) l b,prov1 = L B + (C nom + 2 ) tanθ Tillgänglig förankringslängd för översta lagret: C nom [m] (17) l b,prov2 = L B + (C nom + + 0,02) tanθ Minsta erforderlig förankringslängd i mm: lb,min={0,3lb,req; 10*Ø; 100mm} C nom [m] (18) Upphängningsarmering: Den upphängningsarmering som behövs beräknas enligt Svenska Betongföreningen (2012) Volym 2 avsnitt I3.3.2: A s = qd 2 f yd [mm 2 /m] (19) där qd 2 = linjelasten som verkar på skivans underkant fyd = stålets draghållfasthet 15

Fig. 15 visar ett exempel på upphängningsarmering för en balk där bjälklag ansluter i nederkant. Fig. 15. Upphängningsarmering. (Svenska Betongföreningen, 2012 Volym 1 avsnitt X1.11.3) 16

3. Genomförande och resultat av objekt Sektion på byggnaden ses i Fig. 16. Fig. 16. Mått på väggskiva och upplag. Steg 1 Säkerhetsklassen valdes till 3. Snözonen i Täby kommun är 2. Allting ovanför plan 2 påverkar den övre delen av den höga balken och det som ligger på plan 2 påverkar underkanten av väggskivan. Därför beräknades dessa laster separat. Resterande information hittas i avsnitt 1.1.5. 17

Steg 2 Tabell 1 visar resultatet på lastnedräkningen som gjordes. 6.10a blev den dimensionerande brottlasten. Tabell 1. Lastnedräkning Steg 3 Balken är statiskt obestämd på grund av att den har tre stöd. Den beräknades med fem stöd för att den inte ska ramla i programmet. Fyra stöd i underkant och en i den övre vänstra kanten, som är fri i z-led och x-led. Det vänstra stödet i underkant är låst i alla led och de tre högra är fri i x-led. Figur på stöden ses i Fig. 17. 18

Fig. 17. Väggskivans fem stöd. Balken beräknades som en skiva i FEM-design och analyserades med hjälp av linjelasten. Reaktionskrafter och de huvudkraftriktningar som verkade i konstruktionen hämtades, där rött representerar tryck och grönt representerar drag. Se Fig. 18 för kraftriktningar och Fig. 19 för reaktionskrafter. Fig. 18. Kraftriktningar i skivan. Fig. 19. Upplagskrafter i skivan. 19

Steg 4 Avståndet mellan balkens överkant och fackverkets övre del beräknades som väggens halva tjocklek, alltså 200/2=100 mm. Avståndet mellan balkens underkant och fackverkets underkant beräknades som täckskiktet plus armeringsfältets tyngdpunkt. För detta krävdes ett antagande om armeringsdiametern och antalet lager armering. Detta antagande gjordes till Ø16 och 4 lager armering. Centrumavståndet mellan dessa lager förväntas vara 20 mm. Täckskiktet beräknades enbart med hänsyn till vidhäftning då det är en inomhuskonstruktion. Det är då stångens diameter, som i detta fall är 16mm, plus ett dimensioneringstillägg, som är 10 mm. Täckskiktet blev då 26 mm. Avståndet mellan balkens och fackverkets underkant beräknades då: a s = 26 + 3(16 + 20) + 16 2 = 88 mm (19) Ett fackverk baserat på normalkrafterna ritades ut och punktlaster placerades på knutpunkterna FEM-design. 5036 kn fördelades på 4 knutpunkter och därmed belastades dessa med 1259 kn.1060 kn fördelades på 5 knutpunkter och det blev 212 kn per knutpunkt. Detta kan ses i Fig. 20. Fig. 20. Punktlaster och upplagskrafter i fackverket. Resultatet analyserades och krafternas storlek kunde hämtas ur programmet. Se Fig. 21. 20

Fig. 21. Normalkrafterna i fackverket. Grön illustrerar tryck och rött illustrerar drag. Steg 5 Armeringsarean beräknades som största dragkraften genom stålets draghållfasthet: A s = 678000 435 = 1559 mm2 m (20) Arean för en Ø16 beräknades: A = 162 4 = 201 mm2 (21) Antalet stänger beräknades som 1559/201 8st. Dessa 8 stänger antas utgöra 4 lager med 2 stänger i vardera lager. Fackverket behöver därmed inte räknas om. Armeringsbehovet beräknades: T4: A s4 = T4 A f s4 = 463000 = 1064 mm 2 (22) yd 435 Armeringen valdes till 10Ø12 K500C-T (As=1131mm 2 ) T7: A s7 = T7 A f s7 = 678000 = 1559 mm 2 (23) yd 435 Armeringen valdes till 8Ø16 K500C-T (As=1608mm 2 ) Minimiarmering beräknades: A s,bdmin = ρ min tb A s,bdmin = 0,1 mm2 200 1000 = 200 100 m (24) 21

De sneda dragstagen kontrollerades för att se att nätarmeringen kan ta upp den vertikala komposanten: T2 i Fig. 22 beräknar den vertikala kraften B: Fig. 22. T2. B = 364sin62 = 321 kn (25) A s = B 321 mm2 = 739 f yd 435 m (26) T6 kan ses i Fig. 23 och med hjälp av den beräknades vertikala kraften B: 22

Fig. 23. T6. B = 353sin60 = 306 kn (27) A s = B 306000 = 703 mm2 f yd 435 m (28) T2 kräver mest armering och därför dimensioneras rutnätet baserat på den kraften. 739/2 370mm 2 /m i båda ytor. Detta ger rutnätet FS 9150 enligt BE Group (u.å.) på vardera sida i väggskivan. Steg 6 Nodens höjd u beräknas: u = 2s 0 + (n 1)s u = 2 34 + (4 1) 20 = 128 mm (29) Knutpunkt 1 I Fig. 24 ses de krafter som påverkar knutpunkt 1. 23

Nod 1 i fackverket är en CCT-knut. Trycksträvans bredd beräknades: Fig. 24. Knutpunkt 1. a 2 = a 1 sin +ucos a 2 = 450sin62 + 128cos62 = 457 mm (30) Den maximala spänningen som nodens kanter kan utsättas för beräknades: σ Rd = kv f cd σ Rd = 0,85 (1 30 250 ) (30 ) = 14,96 MPa (31) 1,5 På grund av att alla vinklar är större än 55 ökas hållfastheten med 10 %. Noden klarar därför av en hållfasthet på: Snedsträvan S1: Upplagskraft RA: σ Ed = σ Rd = 14,96 1,1 = 16,45 MPa (32) F a 2 t σ Ed = 1308000 457,4 200 = 14,3 MPa < σ Rd OK! (33) σ Ed = R A a 1 t σ Ed = 952000 450 200 = 10,6 MPa < σ Rd OK! (34) 24

Nod 1 i Fig. 19 är OK! Knutpunkt 5 I Fig. 25 ses de krafter som påverkar knutpunkt 5. Fig. 25. Knutpunkt 5. CCC-Knut. Den tillåtna spänningen som noden har beräknades: σ Rd = kv f cd σ Rd = 1 (1 30 250 ) (30 ) = 17,6 MPa (35) 1,5 Hållfastheten får ökas med 10 % eftersom alla vinklar är större än 55 och därmed blir den: Snedsträva S4: Trycksträvans bredd beräknades: σ Rd = 17,6 1,1 = 19,36 MPa (36) a 2 = a 1 sin +ucos a 2 = 600sin61 + 128cos61 = 587 mm (37) σ Ed = F a 2 t σ Ed = 1795000 587 200 = 15,3 MPa < σ Rd OK! (38) 25

Snedsträva S5: Trycksträvans bredd beräknades: a 2 = a 1 sin +ucos a 2 = 600sin60 + 128cos60 = 584 mm (39) σ Ed = Huvudspänning: F a 2 t σ Ed = 1809000 584 200 = 15,5 MPa < σ Rd OK! (40) Upplagskraft RB: σ Ed = F ut σ Ed = 463000 128 200 = 18,1 MPa < σ Rd OK! (41) σ Ed = R B1 + R B2 a 1 t σ Ed = 3826000 600 200 = 31,9 MPa > σ Rd Ej OK! (42) b = 3826000 = 988 mm (43) 200 19,36 För att noden i Fig. 25 ska klara av spänningen den utsätts för måste stödet ökas till 1000 mm. Knutpunkt 9 I Fig. 26 ses de krafter som påverkar knutpunkt 9. 26

Trycksträvans bredd beräknades: Fig. 26. Knutpunkt 9. CCT-nod. a 2 = a 1 sin +ucos a 2 = 600sin60 + 88cos60 = 564 mm (44) Den maximala spänningen som nodens kanter kan utsättas för beräknades: σ Rd = kv f cd σ Rd = 0,85 (1 30 250 ) (30 ) = 14,96 MPa (45) 1,5 På grund av att alla vinklar är större än 55 ökas hållfastheten med 10 %. Noden klarar därför av en hållfasthet på: Snedsträvan S8: Upplagskraft RC: σ Ed = σ Rd = 14,96 1,1 = 16,45 MPa (46) F a 2 t σ Ed = 1349000 564 200 = 11,96 MPa < σ Rd OK! (47) σ Ed = Rc a 1 t σ Ed = 1304000 600 200 = 10,9 MPa < σ Rd OK! (48) Nod 9 i Fig. 26 är OK! 27

Steg 7 Förankring av dragstag Dimensionerande vidhäftningshållfasthet: f bd = 2,25η 1 η 2 f ctd f bd = 2,25 1,0 1,0 1,33 = 2,99 MPa (49) Erforderlig förankringslängd: där l b,rqd = σ sd 0,016 422 l 4f b,rqd = = 0,565 m (50) bd 4 2,99 σ sd = T7 σ na sd = 678000 = 422 MPa (51) 8 201 Dimensionerande förankringslängd: l bd = α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 l b,rqd l bd = 1 1 1 1 0,7 0,565 = 0,4 m (62) där α 1 =1,0 α 2 =1-0,15(10-16)/16 =1,05 men 0,7 α2 1,0 α 3 =1,0 α 4 =1,0 α 5 =1-0,04p = 1-0,04*10,6 = 0,576 men 0,7 α5 1,0 där p = σ Ed i knutpunkt 1 Förankring vid upplag A Tillgänglig förankringslängd för understa lagret: l b,prov1 = L A + (C nom+ 2 ) C tanθ nom 0,016 (0,026 + l b,prov1 = 0,450 2 ) 0,026 = 0,443 m (63) tan61 Tillgänglig förankringslängd för översta lagret: l b,prov2 = L A + C nom + + 0,02 tanθ C nom 28

l b,prov2 = 0,450 + 0,026 + 0,016 + 0,02 tan61 Förankring vid upplag C Tillgänglig förankringslängd för understa lagret: 0,026 = 0,458 m (64) l b,prov1 = L B + C nom + 2 tanθ l b,prov1 = 0,600 + C nom 0,026 + 0,016 2 tan60 Tillgänglig förankringslängd för översta lagret: 0,026 = 0,594 m (65) l b,prov2 = L B+ C nom + + 0,02 tanθ l b,prov2 = 0,600 + C nom 0,026 + 0,016 + 0,02 tan60 Minsta erforderlig förankringslängd i mm, största av: lb,min={0,3*lb,req; 10*Ø; 100mm} lb,min={0,3*565; 10*16; 100mm}=169,5mm Upphängningsarmeringen beräknades: 0,026 = 0,610 m (66) A s = qd 2 f yd A s = 84000 435 = 193 mm2 /m (67) 29

4. Diskussion Om en nods kapacitet inte är tillräcklig för den spänning som den träffas av måste ändringar göras beroende på vilken kraft den inte klarar. Om det är en trycksträva kan väggens tjocklek eller antalet armeringslager ändras. Den bästa lösningen är att lägga i fler lager armering för att höja u och i sin tur göra a2, vilket är tryckstävans bredd, större. Detta eftersom det ger en mindre materialåtgång. Om det istället är en upplagskraft som noden inte klarar måste antingen väggens tjocklek ändras eller göra stödet längre. I det fallet är ett förlängt stöd det bästa alternativet. Resultatet, en nätarmering FS 9150 på båda sidor av väggskivan och i nedre delen av väggskivan 4 lager armering Ø16 med 2 stycken i varje lager och i övre väggskivan 5 lager armering Ø12 med 2 i varje, verkar vara rimligt. Tanken var att följa rekommendationen att hellre ha ett mindre armeringsjärn men flera lager. Om de 8 armeringsjärnen istället hade fördelat sig med 4 i varje lager och 2 lager skulle u, som är armeringens höjd och därför även nodens höjd, blivit för låg och knutpunkt 5 skulle inte ha klarat huvudspänningen. Knutpunkt 5 klarade inte hållfastheten med hänsyn till upplaget och därför behövs stödet förlängas med 400mm. Det är möjligt att det hade blivit ett annat resultat med en annan fackverksmodell. För att få en optimal fackverksmodell och i sin tur ett säkrare resultat hade fler fackverksmodeller behövts ta fram. Det fanns det inte tid för under detta arbete. Beräkningarna gjordes med de reaktionskrafter som hämtades ur skivberäkningen istället för fackverksmodellen, hade de beräknats med fackverksmodellens reaktionskrafter hade resultatet blivit annorlunda. Reaktionskrafterna borde dock inte skilja sig så mycket från varandra som i detta fall. En svårighet med metoden som upptäcktes var att ta fram en optimal fackverksmodell. Det var svårt att ta fram modeller som stämde överens med kraftriktningarna i skivan och samtidigt få till rätt vinklar mellan strävorna. Förutom det finns även en rekommendation om sa få strävor som möjligt. Att göra en modell där alla dessa tas hänsyn till är en svår uppgift. Det är sannolikt att metoden ger ett bättre resultat ju mer erfarenhet konstruktören har av att arbeta med den. 30

Referenser BE Group. (u.å.). Armeringsnät. Hämtad 2018-05-05, från: http://www.begroup.com/sv/be-groupsverige/produkter/armering/produktinformation/armeringsnat/ Fernandez-Ruiz, M.A., Gil-Martin, L.M., & Hernandez-Montes, E. (2018). Structural Performance of RC Beams containing Tension-Only Nodes. International Journal of Concrete Structures and Materials, 12(1), 12-19. doi: 10.1186/s40069-018-0228-9 Kopanska, A., & Nagrodzka-Godycka, K. (2015). The influence of reinforcement on load carrying capacity and cracking of the reinforced concrete deep beam joint. Elsevier Ltd, 107(2016), 23-33. Nagarajan, P., & Pillai, T. M. M. (2008). Analysis and Design of Simply Supported Deep Beams Using Strut and Tie Method. Advances in Structural Engineering, 11(5), 491-499. Nagarajan, P., & Pillai, T. M. M. (2008). Development of strut and tie models for simply supported deep beams using topology optimization. Songklanakarin Journal of Science and Technology, 30(5), 641-647. Panjehpour, M., Chai, H. K., & Voo, Y. L. (2015). Refinement of Strut-and-Tie Model for Reinforced Concrete Deep Beams. PLoS ONE, 10(6). 1-17. doi:10.1371/journal.pone.0130734 Rask, S., & Öberg, R. (2015). En modell att räkna med: att koppla samman BIM med beräkningsprogram. (Examensarbete, Chalmers Tekniska Högskola, Institutionen för byggoch miljöteknik). Från http://publications.lib.chalmers.se/records/fulltext/220311/220311.pdf Schlaich, J., & Schäfer, K. (1991). Design and detailing of structural construction using strut-and-tie models. The structural engineer, 69(6). 113-124. Schlaich, J., Schäfer, K., and Jennewein, M. (1987). Toward a consistent design of structural concrete. Journal of the Prestressed Concrete Institute, 32(3), 74 150. Shariat, M., Eskandari-Naddaf, H., Tayyebinia, M., & Sadeghian, M. (2017). Finite Element Modeling of Shear Strenght for Concrete Deep Beams (Part II). Elsevier Ltd, 5(2018), 5521-5528. 31

SS-EN 1992-1-1:2005. Eurokod 2: Dimensionering av betongkonstruktioner - Del 1-1: Allmänna regler och regler för byggnader. Svenska betongföreningen. (2012). Svenska betongföreningens handbok till Eurokod 2 Volym 1. Svenska betongföreningen. (2012). Svenska betongföreningens handbok till Eurokod 2 Volym 2. Yun, Y.M. (2006). Strength of two-dimensional nodal zones in strut--tie models. Journal of structural engineering, 132(11), 1764-1783. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9445(2006)132:11(1764) Yun, Y.M., & Ramirez, J.A. (1996). Strength of Struts and Nodes in Strut-Tie Model. Journal of structural engineering, 122(1), 20-29. 32