max/min Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 5 Johan Lindström 25 september 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 1/25 max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 2/25 max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 3/25
max/min Resultat 218-9-24 19: Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 4/25 max/min 1. För att kontrollera kvaliteten på ett stort parti väljs 1 enheter ut och om antalet felaktiga av dessa överstiger 1 enhet avskiljs partiet. Antag att partiets felandel är 5/1. Beräkna sannolikheten att partiet kommer att godkännas. 2. Orterna A och B ligger på var sin sida av ett vattendrag och förbinds av en bro. Antalet fordon som under en minut färdas från A till B är poissonfördelat med väntevärde 3 medan antal fordon i andra riktningen är poissonfördelat med väntevärde 5. Beräkna sannolikheten att det under en minut kommer minst 12 fordon på bron. Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 5/25 max/min 2D stokastisk variabel Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 6/25
max/min 2D stokastisk variabel (Kap. 4) En 2D (bivariate) stokastisk variabel beskrivs av en Simultan fördelnings-, sannolikhets- eller täthetsfunktion F X,Y (x, y) = P(X x, Y y) (Def. 4.2) p X,Y (j, k) = P(X = j, Y = k) (Def. 4.3) f X,Y (x, y) = 2 x y F X,Y(x, y) (Def. 4.4) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 7/25 max/min 2D stokastisk variabel Sannolikheten att hamna i A är integral av tätheten över A P(X A) = A f X (x) dx P((X, Y) A) = A f X,Y (x, y) dxdy f X (x) A x Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 8/25 max/min 2D stokastisk variabel Fler egenskaper (för täthetsfunktioner) (Kap. 4) Marginella tätheten f Y (y) = f X,Y (x, y) dx Betingad täthetsfunktion för X givet att Y = y f X Y (x y) = f X,Y(x, y) f Y (y) X och Y är oberoende f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) för alla (x, y) Satsen om total sannolikhet Bayes sats f X (x) = f Y X (y x) = f X Y (x y)f Y (y)dy f X Y (x y)f Y (y) f X Y(x z)f Y (z)dz Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 9/25
f(y) y y max/min 2D stokastisk variabel 1 1 f(x,y) 8 8 6 6 4 4 2 2.2.1 f(y).2 2 4 6 8 1 x.1 2 4 6 8 1 x Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 1/25 max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 11/25 max/min Summa av två oberoende s.v., Z = X + Y (Kap. 4.7) Diskret: p Z (k) = k p X (i) p Y (j) = p X (i)p Y (k i) i+j=k i= Kontinuerlig: F Z (z) = f X (x) f Y (y) dxdy = f Z (z) = x+y z f X (x)f Y (z x) dx f X (x)f Y (z x) dx sv.wikipedia.org/wiki/faltning Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 12/25
max/min av tärningskast Summa av tärningar.2 p X (k).1 1 2 3 4 5 6 Antal tärningar 7 8 1 2 k 3 4 5 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 13/25 max/min : Summa av diskreta stokastiska variabler Vad blir sannolikhetsfunktionen för summan av två Poisson fördelade stokastiska variabler X Po (μ x ) och Y Po ( μ y )? p X (k) = μk X k! e μx, k =, 1,... Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 14/25 max/min : Summa av kontinuerliga stokastiska variabler Vad blir tätheten för Z = X + Y om X, Y Exp(λ), där X och Y är oberoende? { λe λx x > f X (x) = f Y (x) = f.ö. Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 15/25
max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 16/25 max/min Maximum (Kap. 4.6) Störst av två oberoende Z = max(x, Y) F Z (z) =P(Z z) = P(max(X, Y) z) = P(X z Y z) =F X (z)f Y (z) Störst av fler oberoende Z = max(x 1,..., X n ) n F Z (z) = F Xi (z) i=1 Jfr. alla (Kap. 2.7): P(A 1 A n ) = n i=1 P(A i) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 17/25 max/min Minimum (Kap. 4.6) Minst av två oberoende Z = min(x, Y) F Z (z) =P(Z z) = P(min(X, Y) z) = 1 P(min(X, Y) > z) =1 P(X > z Y > z) = 1 [1 F X (z)][1 F Y (z)] Minst av fler oberoende Z = min(x 1,..., X n ) n [ ] F Z (z) = 1 1 F Xi (z) i=1 Jfr. minst en (Kap. 2.7): P(A 1 A n ) = 1 n i=1 (1 P(A i)) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 18/25
max/min : Server belastning Belastningen på en server utgörs av oberoende förfrågningar från ett stort antal (n st) användare. Antag att tiden mellan förfrågningar från en användare är exponentialfördelad med parameter λ i. X i Exp (λ i ) Vad är fördelningen för tiden mellan de förfrågningar som inkommer till servern från alla användare? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 19/25 max/min E(X) & V(X) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 2/25 max/min E(X) & V(X) Väntevärde, E(X), μ, μ X (Def. 5.1) Väntevärdet anger tyngdpunkten för fördelningen och kan tolkas som det värde man får i medeltal i långa loppet. { k E(X) = k p X(k) Diskr. x f X(x) dx Kont. Varians, V(X), σ 2, σ 2 X (Def. 5.2) Variansen anger hur utspridd X är kring sitt väntevärde. [ ] } 2 V(X) = E{ X E(X) = E(X 2 ) E(X) 2 Standardavvikelse (Def. 5.3), D(X), σ, σ X D(X) = V(X) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 21/25
max/min E(X) & V(X) Väntevärde för f X,Y (x, y) (Kap. 5.2c) För det kontinuerliga fallet ges väntevärdet ges av E(X) = = x f X (x) dx = x f X,Y (x, y) dy dx x f X,Y (x, y) dy dx } {{ } =f X (x) För ett mer komplicerat väntevärde har vi E(g(X, Y)) = g(x, y) f X,Y (x, y) dy dx Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 22/25 max/min E(X) & V(X) Betingat väntevärde för f X,Y (x, y) (Kap. 5.2c) Det betingade väntevärdet för X givet att Y = y blir (inget nytt) E(X Y = y) = x f X Y (x y) dx Satsen om total sannolikhet för väntevärde: E(E(X Y)) = { E(X Y = y)fy (y) dy E(X Y = y) py (k) = E(X) en.wikipedia.org/wiki/law_of_total_expectation Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 23/25 max/min E(X) & V(X), C(X, Y) (Def. 5.7) en anger hur mycket linjärt beroende som finns mellan X och Y. C(X, Y) = E{ [X E(X) ][ Y E(Y) ] } = E(XY) E(X)E(Y) Ur definitionen fås C(X, X) = V(X) X och Y oberoende = C(X, Y) = Obs. C(X, Y) = X och Y oberoende Korrellationskoefficient, ρ, ρ X,Y (Def. 5.8) ρ X,Y = C(X, Y) D(X)D(Y) 1 ρ X,Y 1 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 24/25
max/min E(X) & V(X) Korrellation (Kap. 5.4) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 25/25