Lösningsförslag, preinär version 0.3, 9 december 07 Reservation för fel. Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 07-08- kl 8:30-3:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. English version follows after the Swedish. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg (3) krävs minst 7 poäng från uppgifterna 0, varav minst 3 poäng från uppgifterna 8 0. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället vt 07 (duggaresultatlista bifogas). Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. Uppgift 7 kan ersättas med aktivt deltagande vid räkneövningar under kursens gång (markera med S). För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från 0 minst 50% ( poäng) från uppgift 4, för betyg 5 minst 75% (8 poäng). Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Numeriska värden kan anges som uttryck där faktorer som π och logaritmer ingår utöver rena siffror om så behövs. Del I. Uppgift 0 räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt (betyg 3 5) krävs minst 7 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 8 0. Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng, uppgift 7 genom att ha deltagit i räkneövningar.. Låt f(x) = x 3 (a) Ange en (största möjliga) definitionsmängd (domain) D f för f så att funktionen blir inverterbar. (Givet att vi kräver reella tal som argument och värden.) Svar räcker. (b) Bestäm ett uttryck för f (x), där f är den inversa funktionen till f, definierad enligt (a). (c) Vilken är definitionsmängden för f? Svar räcker. Lösningsförslag: (a) Vi noterar först att f(x) är definierad för x 3. Vi ser också att om x < 3 < x så är f(x ) < 0 < f(x ). Dessutom, eftersom x 3 växer strängt med x på intervallet (, 3) såväl som på (3, ) så avtar f(x) = (x 3) strängt med x på respektive intervall, dvs att om 3 < x < x så är f(x ) > f(x ) och om x < x < 3 så är f(x ) > f(x ). Sammantaget ger det att om x x (och ingen av dem lika med 3) så är f(x ) f(x ). Alltså är f inverterbar på hela tallinjen undantaget 3, eller uttryckt i mängdformalism, (b) Vi har y = f (x) x = f(y) och D f = (, ) \ 3 = (, 3) (3, ). x = f(y) x = y 3 y 3 = x y = 3 + x,
alltså är (c) Inversen f (x) är definierad för x 0. f (x) = 3 + x = 3x +. x. Låt f(x) = sin x x (x π). Bestäm följande gränsvärden, om de existerar. Ett gränsvärde kan vara ett tal, + eller. Korrekt värde räcker. Om ett gränsvärde inte skulle finnas, ange detta. (Tips: Se formelbladet för gränsvärden som kan behövas.) (a) f(x) x 0 (b) (c) x (π/) f(x) f(x) x + Lösningsförslag: (a) (b) sin(π/) f(x) = x (π/) π/ sin x f(x) = x 0 x 0 x π = π = π x (π/) x π = π x (π/) x π =, eftersom faktorn /π är positiv, x π < 0 för x < π/, och x π 0 då x π/. (c) Eftersom sin x så är f(x) x (x π) för alla x och eftersom 0 då x +, så är x (x π) f(x) = 0. x + 3
3. Ekvationen ln y + x y = 4 definierar en kurva i xy-planet och innehåller punkten (x, y) = (, ). Bestäm kurvans tangentlutning dx i denna punkt. Lösningsförslag: Vi har, för vänsterledet, att d ( ln y + x y ) = d ln y dx dx + dx dx y + x dx = + xy + x y dx dx = ( ) y + x dx + xy som ska vara lika med derivatan av konstant 4, dvs noll. Med (x, y) = (, ) får vi då ekvationen ( + ) + = 0 dx dx = 4 5. Kurvans tangentlutning är alltså dx = 4/5. 4. Betrakta funktionen f(x) = x x 3, definierad på (, ) (a) Bestäm eventuella lokala extremvärden till f(x), för vilka x de antas och om de är lokala minima eller maxima. (b) Utred ifall f(x) har något absolut maximum eller minimum på intervallet 3 x <, dvs ett största och/eller minsta värde på det intervallet, och vad de i så fall är. Lösningsförslag: Funktionen f(x) = x x 3 är kontinuerlig och deriverbar på hela (, ) så eventuella lokala extremvärden kan bara antas där f (x) = 0. Vi har att f (x) = 3x = 3(x 4), som har x = ± som nollställen. Vi studerar tecken för derivatan: x < x = < x < x = x > f (x) 0 + 0 f(x) (a) Teckentabellen ger att f(x) har ett lokalt minimum f( ) = 6 då x = och ett lokalt maximum f() = 6 då x =. (b) För att utreda om f(x) har något absolut minimum eller maximum på intervallet [ 3, ) kan vi notera att f( 3) = 9 och att x + f(x) =, dvs f(x) har ingen nedre begränsning och därmed inget absolut minimum. Kandidater till absolut maximum är f( 3) = 9 och f() = 6. f(x) har alltså absolut maximum f() = 6.. 4
5. Bestäm värdet av integralen ln 0 e x (e x ) 4 dx. Lösningsförslag: Vi gör lämpligen variabelsubstitutionen u = e x. Vi har då du dx = ex, så du = e x dx, och att ln 0 e x (e x ) 4 dx = 6. Utveckla den obestämda integralen e ln e 0 u 4 du = (6x + 5) cos 3x dx. 0 u 4 du = [ ] u= 5 u5 = u=0 5. Lösningsförslag: Vi gör lämpligen först en partiell integration, där vi integrerar faktorn cos 3x (6x + 5) cos 3x dx = (6x + 5) d sin 3x dx dx 3 = (6x + 5) [ d 3 sin 3x dx = 6x + 5 sin 3x 3 = 6x + 5 3 6 sin 3x dx 3 sin 3x + cos 3x + C. 3 ] (6x + 5) sin 3x dx 3 5
7. Skissa området som begränsas av kurvan 4x+y = och linjen x = y i xy-koordinatsystemet, samt bestäm arean av området, uttryckt i koordinatsystemets areaenheter, genom att integrera antingen med avseende på x eller y. Lösningsförslag: Vi behöver hitta skärningspunkterna mellan kurvan 4x + y = och linjen x = y. Genom att substituera y = x i 4x + y = får vi att 4x + y = x + 4x = 0 x = y x = y x = ± 4 + (x, y) = ( 6, 6) eller (x, y) = (, ) x = y Skärningspunkterna är alltså (x, y) = ( 6, 6) och (x, y) = (, ). Det blir enklast att använda y som integrationsvariabel. Vi behöver då uttrycka områdets bredd i x-led som en funktion av y. Vi har att så arean blir y= y= 6 4x + y = x = 3 4 y, (3 y=6 4 y ) y = y= 6 ( 3 ) 4 y y = [3y y3 ] y= y y= 6 = 3 3 ( 6)3 3 ( 6) + + ( 6) = 3 3 + 3 6 6 3 + 6 3 = 6 3 + 8 = 3 = + 3 = 64 3. Den sökta arean är alltså 64 3 (= + /3) areaenheter. 6
8. Bestäm en lösning y = f(x) till differentialekvationen som uppfyller villkoret f(0) = 0. dx = 8x3 e y Lösningsförslag: Differentialekvationen är separabel: dx = 8x3 e y e y = 8x 3 dx e y = x 4 + C y = ln ( x 4 + C ), där C är en allmän konstant. Vi vill bestämma C så att f(x) = ln ( x 4 + C ) har egenskapen f(0) = 0. Vi har att f(0) = 0 ln C = 0 C = så vår sökta lösning är y = ln ( x 4 + ). 9. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen för x > 0. dx + y x = + x Lösningsförslag: Differentialekvationen är linjär, vi försöker lösa den genom att multiplicera med en integrerande faktor e G(x), där G (x) = x (för x > 0), t.ex. G(x) = ln x. Vi har då en integrerande faktor e ln x = x och dx + y x = + x d ( yx ) = ( + x)x dx yx = (x + x 3 ) dx yx = 3 x3 + 4 x4 + C y = 3 x + 4 x + Cx, där C är en allmän konstant. Den sökta allmänna lösningen är alltså y = 3 x + 4 x + Cx. 7
0. (a) [p] Bestäm den allmänna lösningen y = y(x) till den homogena differentialekvationen y 4y + 3y = 0. (b) [p] Bestäm lösningen y = y(x) till begynnelsevärdesproblemet y 4y + 3y = 6x, y(0) = 0, y (0) = 0. Lösningsförslag: (a) Om r = r och r = r är två olika nollställen till den karakteristiska ekvationen till differentialekvationen, så är den allmänna lösningen y = C e r x + C e r x, () där C och C är allmänna kostanter. I det här fallet är den karakteristiska ekvationen Den allmänna lösningen till () är alltså där C och C är allmänna konstanter. r 4r + 3 = 0 r = ± ( 3 = ±. y = C e x + C e 3x, (b) För att bestämma den sökta lösningen bestämmer vi först den allmänna lösningen till den inhomogena differentialekvationen y 4y + 3y = 6x. () Den får vi genom att addera den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation (), som vi bestämt i (a), till en partikulärlösning till (). För att hitta en partikulärlösning kan vi pröva en ansats y = y p = ax + b. Då är y p 4y p + 3y = 0 4a + 3(ax + b) = 3ax 4a + 3b. Genom att identifiera koefficienterna ser vi att y = y p är en partikulärlösning till () om 3a = 6 och 4a + 3b =, dvs om a =, b = Den allmänna lösningen till () är alltså 4a 3 = 8 3 y = 6x + C e x + C e 3x. =. För att bestämma den partikulärlösning som uppfyller begynnelsevillkoren y(0) = 0, y (0) = 0 sätter vi in dessa värden i uttrycken för allmänna lösningen. Om y = x +C e x +C e 3x så är y = + C e x + 3C e 3x. Vi har då att y(0) = 0 + C + C = 0 C + C = y (0) = 0 + C + 3C = 0 C + 3C = C = 5 [3(i) (ii)] C = 5/ C = 3 [ (i) + (ii)] C = 3/ Den sökta lösningen är alltså y = x + 5 ex 3 e3x. 8 (i) (ii)
Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 4. Även presentationen bedöms.. Låt funktionen f definieras av f(x) = x(x 3). Vad är den maximala definitionsmängden för f bland de reella talen? Skissa grafen till funktionen så att relevanta delar kommer med. Ange särskilt asymptoter och lokala extrempunkter, med motivering och relevanta beräkningar. Lösningsförslag: Funktionen f är definierad för alla reella tal utom där det är noll i nämnaren, dvs för 0 och 3. Vi kan skriva definitionsmängden som Vi har att D f = (, 0) (0, 3) (3, ). f(x) = 0 och f(x) = 0 x x dvs y = 0 är en (horisontell) asymptot till grafen y = f(x) då x ±, samt att x 0 x(x 3) = 9 x 0 x =, x 3 + x(x 3) = 3 x 3 (x 3) = +, x 0 + x(x 3) = 9 x 0 + x = +, och vilket beskriver (de vertikala) asymptoterna x = 0 och x = 3. För att bestämma eventuella lokala extrempunkter och funktionens växande/avtagande studerar vi derivatan f (x) = d dxx(x 3) (x(x 3) ) dx = dx (x 3) + x d(x 3) dx (x(x 3) ) = (x 3) + x (x 3) (x(x 3) ) = (x 3)(x 3 + x) (x(x 3) ) = 3(x 3)(x ) (x(x 3) ) Notera att nämnaren är positiv på hela definitionsmängden, så täljarens tecken bestämmer tecknet. Vi ser att nämnaren blir noll då x = 3 och då x =, och att f (x) > 0 då < x < 3, men f (x) < 0 i övrigt. Vi kan sammanfatta i en tabell: x 0 3 f (x) 0 + f(x) 4 Vi har alltså ett lokalt minimum f() = 4 då x =. 9
. Låt kurvan y = x+a, (a > 0) i xy-planet rotera kring x-axeln. Ytan som kurvan sveper mellan x = 0 och x = L innesluter då en rotationskropp. (a) Vad blir volymen av rotationskroppen, mellan x = 0 och x = L, uttryckt i koordinatsystemets volymenheter? (b) Har volymen ett gränsvärde då L, och hur stort är det i så fall? (c) För ett fixt L, har volymen ett gränsvärde då a 0 +, och vad är det i så fall? Lösningsförslag: (a) Volymen av kroppen som bildas då y = x+a mellan x = 0 och x = L (för a > 0) är, enligt skivmetoden L 0 ( ) L π dx = π (x + a) dx = [ π (x + a) ] x=l x + a 0 x=0 = π (L + a) + πa = π roterar kring x-axeln ( a ) L + a (b) Vi har att ( π a ) π L + a a så volymens gränsvärde då L är då x, 0 ( ) π dx = π x + a a. (c) Om a 0 + så a, medan L+a L, så volymen divergerar mot då a 0+. 0
3. Bestäm en lösning till differentialekvationen d y dx + dx = e x som uppfyller villkoren y = och = 0. x dx x=0 Tips: Se standardgränsvärden i formelsamlingen för gränsvärdesvillkoret. Lösningsförslag: Låt z = dx. Då är ekvationen d y dx + dx = e x (3) ekvivalent med dz dx + z = e x, (4) en linjär första ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter. Med integrerande faktor e x har vi att (4) d dx (ex z) = e x e x z = e x dx e x z = e x + C z = e x ( e x + C) = e x + Ce x Villkoret ger att C =, så vi har alltså att Vi integrerar och får då y = = 0 dx x=0 dx = e x + e x ( e x + e x) dx = e x e x + D. För att bestämma konstanten D så att villkoret x y = gäller konstaterar vi att ( ) y = x x e x e x + D = D, så vi får vår sökta lösning med D =. Slutsats: Den sökta lösningen är y = e x e x +. (Alternativt kan man integrera båda led i den ursprungliga ekvationen så man får ekvationen dx + y = e x + C, och lösa för y ur denna differentialekvation.)
4. (a) Bestäm en lösning y = y(x) till differentialekvationen som uppfyller begynnelsevillkoret y(0) = 0. dx = y + 4 x 4 (b) På vilket intervall blir denna funktion definierad (så att den är kontinuerlig i hela intervallet)? (c) Bestäm en lösning till samma differentialekvation som istället uppfyller begynnelsevillkoret y(0) =. Lösningsförslag: Differentialekvationen dx = y + 4 x 4 (5) är separabel. Vi har, dx = y + 4 x 4 y + 4 = (6) dx x 4. (7) Vi utvecklar integralerna var för sig. För vänsterledet har vi att y + 4 y=u = du 4u + 4 = du u + = [ ] arctan u = [ arctan y ] För högerledet behöver vi göra en partialbråksuppdelning av den rationella integranden Vi ansätter x 4 = (x )(x + ). (x )(x + ) = a x + b x +. Vi kan bestämma a och b genom handpåläggning. efter multiplikation med (x ) har vi att Med x = ger det att a + b (x ) x + a = 4 = x +. Motsvarande procedur med multiplikation med (x + ) följt av att sätta x = ger b = 4. Alltså har vi att ( dx /4 x 4 = x /4 ) [ dx = x + 4 ln x ] ln x +. 4
Sätter vi samman har vi att dx = y + 4 x (8) 4 arctan y = 4 ln x ln x + + C (9) ( 4 y = tan ln x ) ln x + + C (0) ( y = tan ln x ) ln x + + C () ( ) x y = tan ln c, () x + där c = e 4C är en allmän positiv konstant. Med begynnelsevillkoret y(0) = 0 har vi från ekvation (9) att C = 0, så den sökta lösningen är ( y = tan ln x ) ( ) x ln x + = tan ln. x + (b) Observera singulariteter (funktionen odefinierad) i x = och x =. Den kontinuerliga lösningens definitionsmängd är alltså intervallet (, ). (c) Om vi istället har begynnelsevillkoret y(0) = ger ekvation (9) att C = arctan = π 8 och lösningen ( y = tan ln x ln x + + π ) ( ) x = tan ln eπ/ 4 x + /SK 3
The exam is graded 5, 4, 3 or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result (grade 3) at least 7 points are needed from problems 0 (Part I), among these at least 3 points from problems 8 0. Each of these 0 problems may yield 3 points. From each of problems 6 you may choose to use the results from the pre-tests (dugga) instead of giving a solution to the exam problems. (The results from the pre-tests are found appended.) In case the pre-test result is used no solution shall be given to the exam problem, and you shall write a D instead of an X in the corresponding square on the envelope. If you have been active in the tutorials during the course, the points for problem seven will be awarded for free (mark with an S). For grade 4 the requirements for grade 3 shall be met, and further at least 50% ( points) in part II (problems 4). For grade 5 at least 75% (8 points) in part II is required. Give full solutions to all problems. Don t write more than one problem at each page, use only one side of the sheet. Numerical values may be given as expressions including factors like π and logarithms, if needed. Part I. Problems 0 is for passing. Each problem can give up to 3 points. To pass the course (grade 3 5) at least 7 points are required, whereof at least 3 points from problems 8 0. Problems 6 may one by one be substituted for by pre-test grades, problem 7 by participating in seminars during the course.. Let f(x) = x 3 (a) State a (largest possible) domain D f for f such that the function f is invertible. (Given that both argument and function value are real numbers.) An answer is sufficient, you are not obliged to present the deduction (b) Find an expression for f (x), where f is the inverse function of f, defined as in to (a).. Let (c) Which is the domain of f? An answer is sufficient. f(x) = sin x x (x π). Find the following its, if they exist. A it may be a number; + or. Correct value is sufficient as an answer. If a it would not exist, state this. (Hint: See cheat sheet för standard its.) (a) f(x) x 0 (b) (c) x (π/) f(x) f(x) x + 4
3. The equation ln y + x y = 4 defines a curve in the xy plane and includes the point (x, y) = (, ). Find the slope dx of this curve at that point. 4. Consider the function f(x) = x x 3, defined in (, ) (a) Find any local extrema of f(x), for which values of x they are taken and whether they are local maxima or minima. (b) Examine if f(x) has any absolute (global) maxima or minima in the interval 3 x <, that is, if f has a least and/or a greatest value in that intervakl, and, if so, what these values are. 5. Find the value of the integral 6. Evaluate the indefinite integral ln 0 e x (e x ) 4 dx. (6x + 5) cos 3x dx. 7. Sketch the region enclosed by the curve 4x+y = and the line x = y in the xy coordinate system, and find the area of this region, expressed in area units of the coordinate system, by integrating either with respect to x or y. 8. Find a solution y = f(x) to the differential equation dx = 8x3 e y which satisfies the initial condition f(0) = 0. 9. Find the general solution to the differential equation for x > 0 dx + y x = + x. 0. (a) [p] Find the general solution y = y(x) to the homogeneous differential equation y 4y + 3y = 0. (b) [p] Find the solution y = y(x) to the inhomogeneous initial value problem y 4y + 3y = 6x, y(0) = 0, y (0) = 0. 5
Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 4. Även presentationen bedöms.. Let the function f be difined as f(x) = x(x 3). Which is the largest possible domain for f among the real numbers? Sketch the graph y = f(x) so that relevant parts are included. Especially, mark asymptotes and local extrema, with motivation and relevant calculations.. Let the curve y = x+a, (a > 0) in the xy plane rotate around the x axis. The surface that the curve sweeps between x = 0 och x = L will enclose a solid of revolution. (a) What is the volume of this solid, between x = 0 and x = L, expressed in units of volume of the coordinate system. (b) Does this volume have a it as L, and in that case, what is its value? (c) For a fixed L, does the volume have a it as a 0 +, and in that case, which is its valuue? 3. Find a solution of the differential equation which satisfies the conditions (Hint: See cheat sheet for standard its.) d y dx + dx = e x y = och = 0. x dx x=0 4. (a) Find a solution y = y(x) to the differential equation dx = y + 4 x 4 which satisfies the initial condition y(0) = 0. (b) In which interval is this solution defined (so that it will be continuous in every point of the interval)? (c) Find a solution to the same differential equation which instead satisfies the initial condition y(0) =. Good luck! /SK 6
Formelsamling för matematisk analys Trigonometriska identiteter sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β ( ) ( ) sin α + sin β = sin α+β cos α β ( ) ( ) cos α + cos β = cos α+β cos α β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β ( ) ( ) sin α sin β = cos α+β sin α β ( ) ( ) cos α cos β = sin α+β sin α β sin α sin β = (cos(α β) cos(α + β)) cos α cos β = (cos(α β) + cos(α + β)) sin α cos β = (sin(α β) + sin(α + β)) sin α = sin α cos α cos α + sin α = cos α = cos α sin α = cos α = sin α ) = +cos α sin ( α ) = cos α cos ( α Eulers formel: e iθ = cos θ + i sin θ cos θ = (eiθ + e iθ ), sin θ = i (eiθ e iθ ) Standardgränsvärden x ± x ( + x) x = e x ± x p a x = 0 om a > xp (ln x) q = 0 om p > 0 x 0 + sin x x 0 x = x 0 ( + t x) x = e t x x x = x xp e qx = 0 om q > 0 m a m m! a x x Elementära derivator och integraler f(x) f (x) = 0 för heltal m x (ln x) p x q = 0 om q > 0 ln( + x) = ln a om a > 0 = x 0 x f(x) dx x a ax a a+ xa+ + C om a /x /x ln x + C e x e x e x + C ln x /x x ln x x + C sin x cos x cos x + C cos x sin x sin x + C tan x cos x = + tan x arcsin x x arccos x x ln cos x + C x arcsin x + x + C x arccos x x + C arctan x +x x arctan x ln( + x ) + C a x a x ln a ln a ax + C log a x x ln a a +x a x a+x cos x sin x Derivering och integrering x ln x x ln a + C a arctan ( ) x a + C arcsin ( ) x a + C ln x + a + x + C tan x + C cot x + C d dx (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x), d dx (f(x)/g(x)) = f (x)g(x) f(x)g (x) d, (g(x)) dx (f(g(x)) = f (g(x))g (x) f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] f (x)g(x)dx, f(g(x))g (x)dx = f(u)du