Optimering av ett patientflöde inom svensk veterinärvård

DEGREE PROJECT, IN APPLIED MATHEMATICS AND INDUSTRIAL ECONOMICS, FIRST LEVEL STOCKHOLM, SVERIGE 2015 Optimering av ett patientflöde inom svensk veterinärvård HANS DE GEER KKTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY SCI SCHOOL OF ENGINEERING SCIENCES

Optimering av ett patientflöde inom svensk veterinärvård HANS DE GEER Examensarbete inom teknik: Tillämpad matematik och industriell ekonomi (15 credits) Civilingenjörsutbildning i industriell ekonomi (300 credits) Kungliga Tekniska Högskolan 2015 Handledare på KTH Johan Karlsson och Anna Jerbrant Examinator Boualem Djehiche TRITA-MAT-K 2015:30 ISRN-KTH/MAT/K--15/30--SE Kungliga Tekniska Högskolan SCI Skolan för Teknikvetenskap KTH SCI SE-100 44 Stockholm, Schweden URL: www.kth.se/sci

Sammanfattning Detta arbete syftar till att undersöka hur patientflödet på Mälaren Hästklinik ser ut, och hur det kan förbättras. Kliniken har i dagsläget långa köer i vissa delar av processen och det görs en matematisk metod för att förbättra denna process. Först genomförs en undersökning av kliniken varpå lämpliga matematiska teorier väljs ut. Utifrån dessa beräknas sedan patientflödet ur ett matematiskt perspektiv som sedan jämförs med verkligheten. Slutligen görs en förbättring av flödet på matematisk väg. Resultaten som framkommer är att det är tdligt att med hjälp av matematiska teorier och modelleringar få en klar bild av flödet i dagsläget. Det framgår också att en teoretisk optimering är möjlig som minskar kötiden och tiden i systemet. Vidare presenteras även metoder och teorier för hur ett svenskt småföretag inom veterinärbranschen bör angripa en effektiviseringsprocess ur ett hållbarhetsperspektiv. III

Abstract This thesis aims to examine the patient flow through the Swedish veterinary clinic Mälaren Hästklinik. The thesis also examines how this flow can be improved. The clinic has, as of today, long patient queues in certain parts of the process, and a mathematical model is made to improve this process. Firstly, an examination of the clinic is made and suitable mathematical theories are selected. The patient flow is then modelled from this mathematical perspective and this modelling is compared to the reality. Finally, a mathematical improvement of the patient flow is made. The results presented are that it is clearly possible to represent the current patient flow with mathematical models and theories. It is also shown that there is some theoretical optimization to be made that reduces the queuing time, and the total time in the system. Lastly, there are also presented methods and theories for how a Swedish SME active in the veterinary business should consider an efficiency process through a sustainability perspective. IV

Förord Detta kandidatexamensarbete påbörjades ursprungligen tillsammans med Andrea Strand. Således utgår detta arbete från samma situation, och samma data som dennes kandidatexamensarbete. Dock är metoder och resultat åtskilda och separata. Ett stort tack riktas till mina handledare Per Enqvist och Anna Jerbrant för kontinuerligt stöd och ovärderlig input och feedback under processen. Hans De Geer V

Innehållsförteckning SAMMANFATTNING ABSTRACT FÖRORD III IV V 1. INTRODUKTION 1 1.1 BAKGRUND 1 1.2 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNING 2 1.3 BEGRÄNSNINGAR 3 2. MATEMATISK TEORI 4 2.1 KÖTEORI 4 2.1.1 KÖTEORETISKA BETECKNINGAR 4 2.2 MATEMATISKA FÖRDELNINGAR 5 2.2.1 POISSONFÖRDELNING 5 2.2.2 EXPONENTIALFÖRDELNING 5 2.2.3 POISSONPROCESS 6 2.2.4 MARKOVEGENSKAPEN 7 2.2.5 ERLANGFÖRDELNING 7 2.3 KENDALLS NOTERING 8 2.4 MATEMATISKA KÖSYSTEM 9 2.4.1 D D 1 K- SYSTEM 9 2.4.2 M M 1- SYSTEM 9 2.4.3 M D 1- SYSTEM 10 2.4.4 M E K 1- SYSTEM 10 2.5 JACKSONNÄTVERK 11 3. METOD 12 3.1 DATA 12 3.2 ANALYS AV KLINIKEN I DAGSLÄGET 13 3.2.1 PATIENTERNA 13 3.2.2 VETERINÄRERNA 13 3.2.3 PROCESSEN 13 3.3 UPPDELNING AV KLINIKENS SAMMANLAGDA FLÖDE 15 3.4 VAL AV MATEMATISKA MODELLER FÖR KLINIKENS ARBETSFLÖDE 16 3.4.1 RÖRELSEKONTROLLSPROCESSEN 16 3.4.2 BILDDIAGNOSEN (BLOCK 2) 19 3.5 MATEMATISK OPTIMERING AV PATIENTFLÖDET 25 3.6 SAMMANFATTNING AV BERÄKNINGSMETODER 28 4. RESULTAT 29 4.1 RESULTAT AV BLOCK 1 29 4.2 RESULTAT AV BLOCK 2 31 4.3 SAMMANLAGD PATIENTTID I SYSTEMET 32 4.4 RESULTAT AV EN MER LÄMPLIG BETJÄNINGSPROCESS 33 5. DISKUSSION 35 VI

5.1 MODELLENS TILLFÖRLITLIGHET 35 5.1.1 DATARELEVANS 35 5.1.2 MODELLANTAGANDEN 35 5.1.3 KÖTIDERNA I BLOCK 1 37 5.1.4 BORTFALL AV PATIENTER 37 5.1.5 BORTRÄKNANDE AV VISSA PATIENTER 38 5.1.6 SLUTSATS 38 5.2 ANALYS AV RESULTATET 38 6. SLUTSATS 40 7. HÅLLBAR UTVECKLING I SMÅ- OCH MEDELSTORA FÖRETAG INOM VETERINÄRBRANSCHEN 42 7.1 METOD 42 7.1.1 LITTERATURSTUDIE 42 7.1.2 INTERVJUER 44 7.1.3 OBSERVATIONER 44 7.2 HÅLLBAR UTVECKLING PÅ MÄLAREN HÄSTKLINIK IDAG 44 7.3 TEORETISKT RESULTAT 45 7.3.1 BEGREPPET HÅLLBARHET 45 7.3.2 BEGREPPET SMF - SMÅ- OCH MEDELSTORA FÖRETAG 46 7.3.3 HÅLLBART ARBETE INOM SMF IDAG 47 7.3.4 FÖRDELAR MED HÅLLBARHETSARBETE 48 7.3.5 HÅLLBARA ORGANISATIONSFÖRÄNDRINGAR 48 7.3.6 KÖNSSTRUKTURER I VETERINÄRBRANSCHEN 49 7.4 DISKUSSION 50 7.4.1 DISKUSSION AV DET MATEMATISKA RESULTATET UR ETT HÅLLBARHETSPERSPEKTIV 50 7.4.2 TROVÄRDIGHET OCH TILLÄMPBARHET 51 7.5 SLUTSATS 52 8. LITTERATURFÖRTECKNING 54 9. BILAGOR 56 VII

1. Introduktion En ofta debatterad fråga i Sverige idag är frågan om vård- och patientköer. Ofta diskuteras sjukvårdens allahanda problem, och lösningar på dessa. Denna debatt väcker mångas intresse, men är ofta komplicerad och snårig. Någonting som ofta glöms bort är att liknande situationer uppstår även inom andra former av patientvårdande verksamheter och inte enbart begränsat till mänskliga sådana. En annan bransch som dras med dessa köer, behandlingstider och liknande är de svenska veterinärklinikerna. Patientflödet på dessa kliniker liknar till viss del patientflödet på ordinära vårdenheter för människor. Dock är de annorlunda, då reglerna och kraven för djurvård är mindre strikta än för vanlig vård. Således är en granskning och optimering av en veterinärverksamhet mer rimlig, och lättare att genomföra än motsvarande undersökning på en vanlig vårdinrättning ur ett tillgänglighetsperspektiv. Detta arbete kommer inrikta sig på den svenska veterinärvården, med primärt fokus på veterinärkliniker för hästar. Resultaten och analyserna från en studie av processer inom veterinärvård kan dock fortfarande vara relevanta för eventuell analog applicering på allmän sjukvård i Sverige, och ge ett perspektiv på huruvida matematisk optimering kan användas för att granska patientflöden, och därmed minska vårdköerna. 1.1 Bakgrund Mälaren Hästklinik är en veterinärklinik specialiserad på vård av skadade hästar. Med svenska mått mätt är kliniken relativt stor, ungefär 20-30 hästar behandlas dagligen, och kliniken har runt 40 anställda. Hästar som ankommer till kliniken kan ha flertalet olika åkommor, och kliniken har specialiserade avdelningar för de särskilda åkommorna. Allmänt för hästar gäller att den vanligaste medicinska åkomman är hälta, och en majoritet av patienterna på Mälaren Hästklinik lider av detta problem. (Croon, 2015)I dagsläget har kliniken problem med köbildning på flera ställen i 1

processen, och detta leder till att kunder ofta får vänta oproportionerligt länge på att få vård. Denna överdrivna köbildning riskerar att leda till att kliniken tappar kunder, eftersom mycket av kunderna besöker kliniken efter positiva lovord från vänner och bekanta. Hästägare är inte en särskilt geografiskt känslig kundgrupp, och många av klinikens patienter kommer långväga, bland annat från Skåne och Göteborg. Klinikens affärsmodell är således baserad runt veterinärernas kompetens. Att kliniken har för långa köer riskerar att leda till ett kundtapp som är svårt att återfå. (Butler, 2015) Vidare har kliniken i dagsläget inte koll på hur processen för en patient ser ut på kliniken. Det finns till exempel ingen förväntad tid det bör ta för en patient att bli behandlad, och det är inte heller bekant, varken för ägarna, eller den enskilda veterinären, hur patienterna rör sig i flödet. (Croon, 2015) 1.2 Syfte och Frågeställning Syftet med detta arbete är dels att undersöka och klargöra hur patientflödet på Mälaren Hästklinik ser ut i dagsläget. Dels är syftet att undersöka hur detta flöde kan förbättras och optimeras ur ett matematiskt perspektiv. Frågeställningen som används är således: Hur ser patientflödet på Mälarens Hästklinik ut i dagsläget, och vilka parametrar kan ändras för att detta flöde ska gå så snabbt som möjligt? I den andra delen av arbetet behandlas ett hypotetiskt effektivitetsarbete på kliniken utifrån ett hållbarhetsperspektiv. Frågeställningen som används är: Hur sker hållbar utveckling på små och medelstora företag inom veterinärbranschen? 2

1.3 Begränsningar För att utföra arbetet enligt ett visst teoretiskt ramverk behöver vissa begränsningar för verkligheten genomföras. Dessa begränsningar är av sådan art att de märkbart preciserar modellen till en mer anpassningsbar sort, samt att de minskar risken för fel i sagda modell. Begränsningarna baseras på vad som anses vara rimligt att inkludera i modellen, dels ur ett allmänt perspektiv, men även efter information från ägare och veterinärer. Enbart hästar betecknas som patienter. Arbetet utförs enbart på en särskild klinik. Denna klinik är Mälaren Hästklinik. Arbetet rör enbart ortopedavdelningen på sagda klinik Arbetet betraktar enbart en form av sjukdomsfall. Det valda sjukdomsfallet är hälta. Detta på grund av en kraftig överrepresentation av dessa fall. Patientflödet börjar när patienten inkommer till kliniken, och slutar när en behandling har genomförts. Ingen hänsyn tas till återbesök, operationer eller liknande. Den valda veckodagen för modellen är onsdag. Antalet inbokade patienter varierar från dag till dag, men den mest stereotypa dagen är en onsdag. Det antas att alla veterinärer jobbar med samma hastighet, och följer samma process. 3

2. Matematisk teori I följande avsnitt presenteras de teoretiska begrepp som har använts i arbetet. 2.1 Köteori Köteorin är en matematisk teorigren som förklarar hur individer anländer till ett system, står i kö, blir betjänade och till slut lämnar systemet. Dessa former av köer är något som är vanligt förekommande i dagens samhälle. Exempel på sådana köer kan vara. Kunder som köar till kassan i en livsmedelsaffär Trafikanter vid ett trafikljus Inkommande samtal till ett call- center Patientköer i vården Definitionerna av ett kösystem stipulerar att : (Enger & Grandell, 2014) En kund anses befinna sig i systemet från och med det kunden anländer till systemet tills den har blivit betjänad. Därefter lämnar kunden systemet Kunder ankommer till systemet med en ankomstintensitet λ. Kunder betjänas med en ankomstintensitet µ När kunden har fått betjäning lämnar kunden systemet 2.1.1 Köteoretiska beteckningar λ - Ankomstintensitet b - Betjäningstid µ - Betjäningsintensiteten (1/µ) L - Antalet kunder i systemet W Tid i systemet 4

L q Antalet kunder i kö W q Kötid ρ - betjäningsfaktor (λ/µμ) c Antalet betjäningsstationer K Kösystemets storlek (Hillier & Liberman, 2010) 2.2 Matematiska fördelningar 2.2.1 Poissonfördelning En Poissonfördelning är diskret sannolikhetsfördelning som beskriver sannolikheten att en händelse inträffar givet en begränsad tidsram, intensiteten med vilken händelserna inträffar, samt att de händer oberoende av varandra. För att en variabel ska vara Poissonfördelad måste följande kriterium uppnås!!!! p X (k) = e!!, k = 0,1,2,.. Flertalet händelser kan uppskattas med en poissonfördelning. Exempel på detta är antalet ankomna kunder till en akutmottagning, eller antalet bilar vid ett trafikljus. I detta fall anger λ ankomstintensiteten. (Enger & Grandell, 2014) En viktig egenskap hos poissonfördelningen är att summan av två oberoende Poissonfördelade variabler är Poissonfördelad enligt nedan: (Koski, 2014) X Po λ, Y Po μ Z = X + Y, Z Po(λ + μ) 2.2.2 Exponentialfördelning En stokastisk variabel X sägs vara exponentialfördelad (X Exp(λ)) om den har täthetsfunktionen: f(x) = λe λx, x 0. 5

Detta innebär att X är exponentialfördelad med intensitet λ. En viktig egenskap hos exponentialfördelningen är att den är minneslös, och därmed uppvisar markovegenskapen. Nedan visas en graf för vissa olika värden på λ i en exponentialfördelning. (Koski, 2014) Figur 1: Exponentialfördelningen 2.2.3 Poissonprocess En Poissonprocess är en stokastisk process som används för att vid en given tidpunkt generera slumpmässiga datapunkter. Poissonprocessen är en Markovprocess, och således följer det att poissonprocessen är minneslös. För att en stokastisk process {N(t), t 0} ska klassas som en poissonprocess måste följande egenskaper vara uppfyllda: N(0)=0 N(t) har ökningar som ej beror av varandra 6

Ökningarna är stationära, och sannolikhetsfördelningen är beroende av vilket tidsintervall som undersöks. (Enger & Grandell, 2014) 2.2.4 Markovegenskapen En markovprocess är en stokastisk process som uppfyller markovegenskapen. Rent matematiskt kan Markovegenskapen formuleras som: P T > t + t T > t} = P{T > t} Markovegenskapen är minneslös, vilket innebär att föregående steg i processen inte är relevant för det aktuella steget. Exempelvis är en slantsingling en markovprocess, eftersom det inte blir mer sannolikt att resultatet blir en krona om föregående resultat var en klave. Sannolikheten är 50 % oavsett tidigare utfall. Ett exempel på en process som inte är en markovprocess är dragning av kort ur en vanlig kortlek. Ifall ett ess blir draget minskar sannolikheten för att nästa kort är ett ess, eftersom det är urplockat ur kortleken. (Enger & Grandell, 2014) 2.2.5 Erlangfördelning Erlangfördelningen är en variant av Gammafördelningen. Ett specialfall av Erlangfördelningen är exponentialfördelningen. Erlangfördelningens täthetsfunktion ges av: f t = μk! k 1! t!!! e!!"# Där t 0 Vidare är µ och k parametrar sådana att µμ > 0, k > 0. Dessutom måste k vara ett heltal. Erlangfördelningens medelvärde och standardavvikelse ges av: Medelvärde=!! 7

Standardavvikelse=!!! (Hillier & Liberman, 2010) Figur 2: Erlangfördelningen 2.3 Kendalls Notering Kendalls notering kallas den nomenklatur som används vid klassificering av kösystem. Ett kösystem kan enligt detta skrivsätt formuleras som: A B c K Där A är ankomstintensiteten. Exempel på olika sådana är: M då ankomster sker enligt en Poissonprocess. Bokstaven M symboliserar markovegenskapen hos Poissonprocessen. D vid en deterministisk ankomstprocess B är betjäningsintensiteten. M vid exponentialfördelade betjäningsintensiteter D vid deterministiskt fördelade betjäningsintensiteter E k vid Erlang(k)- fördelade betjäningsintensiteter. c är antalet betjäningsstationer, och är ett heltal enligt: c=1,2,, 8

K är kösystemets storlek. Detta leder till att ankomstintensiterna begränsas enligt: (Hillier & Liberman, 2010) λ! = λ, n = 0,1,2 K 1 0, n K 2.4 Matematiska kösystem 2.4.1 D D 1 K- system I detta kösystem ankommer kunderna med en deterministisk ankomstprocess λ, och betjänas enligt en deterministisk betjäningsintensitet µ. Eftersom ett sådant system enbart baserar sig på numeriska metoder fås det att kötiden i systemet är betjäningsintensiteten subtraherad från ankomstintensiteten. Om λ < μ resulterar detta följaktligen i att systemet inte har någon kötid överhuvudtaget. Om λ > μ kommer systemet att ha obegränsat lång kö. Det sista K- et indikerar att modellen är begränsad till en maximal population i systemet med storlek K. Detta leder till att betjäningsintensiteten inte kan bli oändlig, eftersom ankomsterna till systemet hindras när systemet uppnår storlek K. 2.4.2 M M 1- system Eftersom ankomsterna i denna process följer en poissonprocess, samt att betjäningsintensiteterna är exponentialfördelade leder detta till att både ankomsterna och betjäningsintensiteterna besitter markovegenskapen. De är således minneslösa. Förväntat antal kunder i systemet, och den tid det förväntas ta att passera systemet kan beräknas med: (Enger & Grandell, 2014) L = ρ 1 ρ 9

1 W = µμ(1 ρ) 2.4.3 M D 1- system Detta kösystem har betjäningsintensiteter som är deterministiskt fördelade, men ankomstintensiteterna följer en Poissonprocess. Tiden en kund står i kö, samt tiden det tar för kunden att gå igenom systemet är: (Hillier & Liberman, 2010) L! = ρ 2(1 ρ) L = ρ + L! där ρ =!! 2.4.4 M E k 1- system I detta kösystem sker ankomsterna enligt en Poissonprocess och betjäningsintensiteterna är Erlang(k)- fördelade. Det finns enbart en betjäningsstation. Erlangfördelade betjäningsintensiteter innebär att variansen för betjäningsintensiteterna är mindre än i ett M M 1- system, men att de är större än i ett M D 1- system. I ett M E k 1- system är det möjligt att beräkna kötid, antal kunder i kön, tid i systemet och totalt antal kunder i systemet enligt nedanstående formler: (Hillier & Liberman, 2010). L! = λ! kμ! + ρ! 2(1 ρ) W! = 1 + k 2k λ μ(μ λ) 10

W = W! + 1 μ L = λw 2.5 Jacksonnätverk Ett könätverk med m stycken noder kallas för ett Jacksonnätverk om följande villkor gäller för systemet. Alla betjäningsstationer har exponentialfördelade betjäningstider. Kunder som anländer utifrån gör det enligt en Poissonprocess med intensitet λ a. Kunder kan även anlända till en betjäningsstation från andra stationer i systemet När kunden har fått betjäning i station a går kunden till station b med sannolikheten p ab för b=1,2,,m eller lämnar systemet med sannolikhet! p! = 1!!! p! Alla förflyttningar i systemet sker omedelbart Betjäningstiderna, ankomstprocesserna och förflyttningarna är helt oberoende av varandra. Ankomstintensiteten till station a ges av:! Λ! = λ! + p!" Λ!!!! För a=1,2,3,m (Enger & Grandell, 2014) 11

3. Metod 3.1 Data För att en matematisk modell av verkligheten ska gå att anpassa till klinikens flöde behöver vissa parametrar vara kända. För att ta reda på dessa olika parametrar, och dessutom få en förbättrad bild av hur flödet på Mälaren Hästklinik ser ut i dagsläget genomfördes en datainsamling. Denna skedde på två sätt. Dels gjordes intervjuer med veterinärer för att få en uppskattning om hur lång tid varje steg tar i processen. Dessa muntliga intervjuer gav även en bild om hur veterinärerna uppskattade flödet i dagsläget, samt vilka problem de betecknade som viktiga. Vidare vidimerades dessa resultat senare vid ett anonymt studiebesök. Datainsamlingen baseras således på två källor: Dels en muntlig intervju med veterinärer Ett studiebesök på en onsdag Den muntliga intervjun med veterinärerna genomfördes 2015-02- 27. I denna intervju erhölls data om förväntade betjäningstider, sannolikheter för patientförflyttningar, processteg och allmän information om patienterna och behandlingsprocessen. Syftet med studiebesöket var att dels få en större inblick i processen, men även att vidimera de givna tiderna, och se ifall de passade in, samt göra egna tidsobservationer. Studiebesöket utfördes på plats på ortopedavdelningen på Mälarens Hästklinik tre veckor efter intervjuerna. De data som erhölls sammanställdes i ett flödesschema. De viktigaste data var tidsåtgången i varje process, samt procentsatserna som patienterna följer flödet med. 12

3.2 Analys av kliniken i dagsläget 3.2.1 Patienterna En typisk patient som anländer till Mälaren Hästklinik är halt. Detta är den enskild vanligaste åkomman hos hästar och upp till 80 % av alla patienter är halta. En halt häst har ett förändrat rörelsemönster, och en ej behandlad hälta riskerar att leda till allvarliga komplikationer för hästen. (Croon, 2015). En häst har även en form av beteendefaktor. En häst är en levande varelse, och således måste hänsyn tas till emotionella aspekter. Typexempel på en sådan är att inte alla patienter beter sig på samma sätt, eller är lika bekväma vid en klinikmiljö. Därmed varierar behandlingstiderna för patienter något, vilket som även ses i Bilaga 1 som de angivna tidsintervallen. Vid en snäll och lugn patient går behandlingen relativt fort, och således är den nedre delen av tidsintervallet en bättre uppskattning. Vid patienter som är mer emotionellt komplicerade innebär det att den övre delen av intervallet bättre speglar behandlingstiden för en sådan patient. 3.2.2 Veterinärerna På kliniken i dagsläget arbetar flertalet veterinärer med tillhörande assistenter. Dock arbetar aldrig fler än 2 veterinärer samtidigt. Vidare har veterinärerna olika arbetsprocesser, så en uppgift som går på 10 minuter för en kan ta 5 minuter för en annan. Antalet patienter en veterinär tar emot under en dag varierar således beroende på vad veterinären är bekväm med. (Butler, 2015) 3.2.3 Processen En grafisk beskrivning av processen kan ses i bilaga 1. Grundproblemet är att man på kliniken vill undersöka var patienten har en skada för att på så sätt kunna göra en röntgen/bildundersökning och därmed se vilken typ av skada detta rör sig om. Denna skada kan sedan behandlas. I dagsläget följer patientflödet på Mälaren Hästklinik i dagsläget följande process: (Butler, 2015) (Croon, 2015) 13

En patient (häst) först anländer till kliniken. Ifall en veterinär är ledig behandlas patienten omedelbart. Om så inte är fallet får patienten vänta i någon av de 11 designerade boxplatserna som existerar. När veterinären väl kan ta emot patienten undersöks den initialt av veterinären. Detta kallas för anamnes, och är en snabb diagnos som används för att bättre fastställa hästens problem. Exempel på observationer som kan göras är hur hästen har mått innan, och vad dess normala bruksområde är. Efter detta görs en snabb rörelsekontroll för att därmed observera patientens rörelser. Sedan tas hästen till ett stall där den observeras medan den springer (detta kallas på fackspråk för longering). När detta sedan är klart har veterinären ofta en uppfattning om vilket ben som är drabbat av hälta. Utifrån denna uppfattning gör veterinären en bedövning i ett av benen. Hästen måste sedan stå stilla i 20 minuter och vänta på att bedövningen ska verka. Sedan upprepar veterinären föregående process (illustrerad i figuren som återkopplingspilen ifrån bedövning till anamnes i Bilaga 1). Detta är nödvändigt för att se ifall bedövningen är korrekt applicerad. I de fall bedövningen är lagd på rätt ställe kommer inte patienten uppvisa symptom på hälta, och således är rätt ben lokaliserat för skadan. Om fel ben är lokaliserat för skadan måste veterinären lägga en ny bedövning på det ben veterinären nu bedömer vara det skadade benet. Hästen gör sedan ytterligare en rörelsekontrollsprocess. Ifall hästen inte uppvisar symptom på hälta nu, med två bedövade ben, går den vidare till nästa fas. Denna process upprepas till rätt ben för skadan är lokaliserat. Efter patientens skada lokaliserats till rätt område på patienten förs patienten till en bilddiagnos för att därmed bringa klarhet i vilken form av skada patienten dras med. Den vanligaste formen av undersökning, som även ger den mest kompletta bilden, är en röntgenundersökning. I vissa fall används en ultraljudsundersökning, och ibland måste en patient genomgå både röntgen- och ultraljudsundersökning. Det är dock ytterst ovanligt att en patient först behöver besöka röntgenavdelningen för att sedan gå vidare till ultraljudsavdelningen. I denna modell vals dessa patienter bort, då antalet är så pass få. Att en patient först måste gå till ultraljudsavdelningen 14

och sedan till röntgenavdelningen är mer vanligt, och detta scenario är med i modellen. Slutligen ges patienten en behandling för sin skada tillsammans med ett hemgångsråd, där man beskriver för ägaren hur läkandeprocessen bör se ut. Efter denna beskrivning är det möjligt att dela upp Mälarens hästkliniks samlade arbets- och patientflöde i två mindre beståndsdelar. Den första delen är då veterinären undersöker patienten, och den andra är där patienten går in för bilddiagnos till och med det att patienten lämnar kliniken. I dagsläget existerar det enbart en röntgenapparat samt en ultraljudsapparat. Detta gör att det lätt uppstår köbildning vid denna del i systemet, eftersom det, som tidigare nämnts, finns två veterinärer som behandlar patienter. Under patientens gång genom detta flöde är dock veterinären inte alltid närvarande. Veterinären behöver vara närvarande i alla processer fram till och med bilddiagnosen förutom i det stadiet hästen väntar på att bedövningen ska börja verka. Under denna tid är det möjligt för veterinären att börja arbeta med en ny patient. (Croon, 2015) 3.3 Uppdelning av klinikens sammanlagda flöde Hela patientflödet på Mälaren Hästklinik är långt, och vissa delar är dessutom återkopplade till varandra. Dock är huvudsaken att en patient måste gå från ankomst till färdigbehandling. Eftersom det finns en sannolikhet att en patient måste gå flera gånger igenom samma delar av processen är det således lämpligt att separera dessa delar där detta sker. I Bilaga 1 visas uppdelningen av patientflödet i olika delar. Den första delen (benämnd Block 1) är den del där patienten genomgår en rörelsekontrollsprocess, delvis under veterinärens översikt, och förbereds för bilddiagnosen. Den andra delen 15

(benämnd Block 2) är den del där patienten genomgår en bilddiagnos, och även där patienten får slutgiltig behandling. 3.4 Val av matematiska modeller för klinikens arbetsflöde 3.4.1 Rörelsekontrollsprocessen Till Block 1 anländer patienter enligt en deterministisk tid, var 45:e minut, eftersom tidsbokningarna sker med dessa mellanrum. Därmed sker ankomsterna med regelbundna intervall med fixa tider emellan. Patienterna genomgår sedan en rörelsekontrollsprocess för att därmed undersöka var patienten lider av hälta. Eftersom alla patienter lider av samma åkomma, och behandlingen för denna, enligt intervjuer med veterinärer, är i stort sett likadan för alla patienter är det rimligt att anta att behandlingstiderna för olika patienter inte skiljer sig särskilt mycket åt. Det föreligger alltså både deterministiska ankomsttider och betjäningsintensiteter. Slutsatsen av detta är att det därmed på ett teoretiskt plan går att formulera Block 1 som ett D D 1 11 system. Enligt Kendalls beteckningssystem innebär detta: Deterministiska ankomsttider Deterministiska betjäningstider. 1 servicestation (anledningen till detta är att det är separata köer till varje veterinär, och patienter som ankommer till den ena kommer inte att gå till den andra) 11 är den maximala storleken på kön (detta kopplas till att det finns 11 boxar som patienten kan vänta i) Eftersom det är känt hur ofta patienterna ankommer till kliniken är det således möjligt att formulera ankomsten till Block 1 som b = 45 min λ = 1/b 16

I nästa steg bestäms betjäningsintensiteten. Det är viktigt att uppmärksamma att patientflödet i Block 1 inte motsvarar veterinärens arbetsflöde. Patienten står nämligen still i 20 minuter medan veterinären har möjlighet att jobba på en ny patient. Således kommer betjäningsintensiteten i ett visst stadie ges som summan av den förväntade tiden som veterinären arbetar med patienten. Nedanstående tabell 1 visar förväntad betjäningsintensitet för de tre olika stadierna. Anledningen till att dessa verkar något kortare än vad som först misstänks är att enbart den första rörelsekontrollsprocessen tar tid. Snittiden för denna är lite över 30 minuter. Följande gånger patienten behöver genomgå denna process tar den enbart 10 minuter. Bedövningsstadiet tar dock alltid lika lång tid. Stadie Betjäningstid Sannolikhet 1 42 min 25% 2 52 min 68% 3 62 min 7% Tabell 1: Tidsåtgång för de tre stadierna Vidare tillkommer ett 4:e stadie. Ifall patienten är ny måste veterinären göra vissa extramoment som inte behöver göras om patienten är gammal (exempelvis tidigare sjukdomshistorik, samt samtal med ägaren). Detta leder till att en ny patient får en något längre betjäningstid jämfört med en gammal. Sannolikheten att detta inträffar är 35% och den extra betjäningstiden är 5 minuter. Då det är givet vilken betjäningstid olika stadier har, och med vilken sannolikhet de inträffar är det sedan möjligt att beräkna ett medelvärde för förväntad betjäningstid. Denna beräknas med: Sannolikheten att en patient befinner sig i ett visst stadie Den genomsnittliga betjäningstiden för detta stadie Summan av den särskilda sannolikheten multiplicerat med den genomsnittliga betjäningstiden för motsvarande kommer resultera i ett 17

medelvärde för betjäningsintensiteten. Detta är sedan D- betjäningsintensiteten i modellen. Matematiskt formulerat fås! μ = p! μ!!!! p! är sannolikheten att ett visst stadie inträffar. De fyra stadierna n=1,2,3,4 ges av 1. Patienten behöver enbart en bedövning 2. Patienten behöver två bedövningar 3. Patienten behöver tre bedövningar 4. Patienten är en ny patient Sannolikheten att dessa inträffar, samt tidsåtgången syns i Tabell 1. Eftersom ankomsterna är fasta är det sedan möjligt att beräkna hur lång tid de första två kunderna förväntas stå i kö. Den genomsnittliga kötiden beräknas med:!!! W!! = μ λ + W!!!!! W!! är väntetiden för den i:te patienten och W!! = 0 eftersom den första patienten som anländer till kliniken inte behöver köa. Ifall förhållandet λ > μ föreligger ges det, enligt teorin, att kön kommer bli oändligt lång givet oändlig tid. Dock finns det bara 11 boxplatser, vilket begränsar den maximala kön i oändlig tid till 11. Dock är inte kliniken öppen konstant, och kön nollställs således i slutet på varje dag då behandlingarna avslutas för dagen, och detta leder till att i början på nästa dag kommer systemet att vara köfritt. Detta leder till att låta systemet gå mot oändlig tid (d.v.s. en stationär fördelning) inte är optimalt. Den lösningen som väljs är att istället genomföra en simulering av 18

antal ankomna och antal betjänade patienter under en dag. Med hjälp av denna begränsning är det sedan möjligt att analysera följande två viktiga variabler: Förväntad kölängd efter ett visst tidsintervall Förväntad tid i kön för en enskild patient givet en viss ankomsttid 3.4.2 Bilddiagnosen (Block 2) 3.4.2.1 Beräkningar av fördelningen vid ankomster till Bilddiagnosen Som synes av Bilaga 1 ger en första anblick en uppskattning om att denna del i patientflödet har potential att formuleras som ett kösystem. För att veta vilken form av teoretisk modell av kösystem som passar bäst in på bilddiagnossystemet granskas denna del i detalj. En av de mer centrala delarna är att undersöka vilken form fördelningen ankomsterna till Block 2 har. Eftersom patienterna inte har någon möjlighet att gå till något annat steg i processen efter Block 1 ges det att de ankommer till Block 2 med samma intensitet som de lämnar Block 1. För att undersöka vilken fördelning utflödet från Block 1 skapas det ett program i MATLAB. Syftet med detta program är att generera ett diagram på utflödesintensiteten från Block 1 (rörelsekontrollsprocessen). Denna utflödesintensitet är sedan lika med ankomstintensiteten till Block 2. Som tidigare beskrivits förekommer det en viss chans att en patient får gå igenom rörelsekontrollsprocessen flera gånger än en, beroende på om veterinären lyckas ge en korrekt bedövning första gången eller inte. Genom att använda den uppskattade tiden det tar för en patient att genomgå en viss fas, och med vilken sannolikhet detta sker är det möjligt att generera ett histogram över hur sannolikt det är att en viss patient tar en viss tid. Efter detta histogram är genererat används MATLAB:s olika fit - funktioner för att på så sätt få ut vilken fördelning dessa tider har. När denna fördelning är bestämd är 19

det möjligt att modellera bilddiagnosfasen som ett kösystem (Block 2) utifrån vilken fördelning utflödet från Block 1 visar sig ha. För denna beräkning slumpades ett stort antal (n=100000) patienter fram, och med de givna sannolikheterna och betjäningstiderna (enligt föregående) framträdde följande histogram. Denna fördelning kan misstänkas vara Poissonfördelad, och en beräkning med MATLABS- poissfit - funktion ger ett λ på 73. Detta innebär således att patienterna lämnar Block 1 efter ett snitt på 73 minuter. Två veterinärer jobbar parallellt, och de antas arbeta med samma hastighet, enligt tidigare. Därmed ankommer det två patienter var 73: minut. Figur 3: Histogram för utflödet från Block 1 λ = 73 Anledningen till att det förekommer en viss bredd i staplarna är att den slumpmässiga beteendefaktorn är medräknad. Som tidigare nämnts är detta ett mått på ifall en patient är lättbehandlad eller inte. En lättbehandlad och lugn patient tar kortare tid att behandla än en patient som är temperamentsfull och oberäknelig. 20

Beteendefaktorn är en slumpmässig variabel då patientens beteende inte är beroende av ifall den har besökt kliniken tidigare, eller hur många gånger patienten måste genomgå bedövningsprocessen. Resultatet är som sådant att utflödesintensiteterna kan antas vara Poissonfördelade. Detta är ett viktigt resultat som lägger grunden till att Block 2 kan formuleras som ett kösystem med där ankomsterna sker enligt en Poissonprocess. Dock är utflödesintensiteten från Block 1 inte riktigt samma som den intensitet som de betjänas med i detta steg. Detta är på grund av att patienten inte behandlas av veterinären under den tid det tar för bedövningen att verka. En patient kan alltså bli betjänad under 42 minuter, men lämnar systemet först efter 62 minuter (då det tar ungefär 20 minuter för bedövningen att verka). Att veterinären har möjlighet att arbeta på andra patienter under denna tid leder till att utflödet för en godtycklig patient kan beräknas som summan av alla behandlingstider och enbart en bedövningstid. Veterinären kan under alla bedövningsprocesser, förutom den absolut sista för varje patient, arbeta med en annan patient tills bedövningen för den första har börjat verka. Således blir utflödestiden för en patient lika med den totala betjäningstiden samt enbart en bedövningstid. (under de resterande bedövningstiderna antas arbete göras på en annan häst, och dess kötid förkortas således med denna tid för bedövning). Eftersom ankomstintensiteterna till Block 2 sker enligt en Poissonprocess är det således möjligt att formulera Block 2 som ett M x x- system enligt Kendalls notering. För att beräkna detta system bättre undersöks betjäningsintensiteterna i denna fas för att på så sätt skapa en uppfattning om vilket form av kösystem som bör användas. 21

3.4.2.2 Betjäningsintensiteterna i Block 2 En av de mer grundläggande modellerna inom köteorin är ett M M 1 system. I ett sådant anländer kunder med enligt en poissonprocess, betjäningstiderna är exponentialfördelade, och det existerar enbart en betjäningsnod. Ett system med exponentialfördelade betjäningstider kan med fördel användas då kunder ankommer till systemet med okända diagnoser eller problem (t.ex. vid kundsupport, eller en akutmottagning på ett sjukhus). Eftersom problemet inte initialt är känt är det rimligt att anta att majoriteten av kunderna blir betjänade inom en viss given tidpunkt, och ju längre tid det går desto mindre är sannolikheten att problemet kvarstår. På Mälaren Hästklinik råder dock andra förhållanden. Patienterna anländer till Bilddiagnosen med en känd skada, efter detta ska patienten genomgå röntgen och ultraljudsundersökningar (och ibland båda). Eftersom patienterna enbart lider av hälta är diagnosen redan känd, och det kan med fördel antas att arbetet som utförs inte skiljer sig särskilt mycket åt från olika patienter. Denna teori styrks även i intervjuer med de anställda. Eftersom behandlingstiderna är någorlunda likadana är det således tveksamt att utgå ifrån att Block 2 har exponentialfördelade behandlingstider. Detta hade kunnat vara fallet om Bilddiagnosen hade varit en form av akutmottagning där patienternas åkommor initialt var okända, men eftersom detta inte är fallet, utan alla patienterna ska genomgå samma form av behandling är det istället rimligt att förpassa tanken om ett M M c- system till förmån för ett M D 1- system. I ett sådant system ankommer, enligt teorin, kunderna enligt en Poissonprocess (vilket redan är känt) och betjänas enligt en deterministisk tid. Eftersom tiden för behandling redan är känd, skulle denna modell fungera. Dock dras den med vissa problem. 22

Att anta fasta betjäningstider skapar egentligen ett fel i modellen och dess uppskattningar, eftersom helt identiska betjäningstider (σ=0) i stort sett är möjligt enbart i de situationer som involverar maskiner som arbetar med konstant hastighet. Eftersom veterinärerna är människor kommer varje patient inte att ha exakt samma betjäningstid, utan den kommer att ha små variationer. En bättre uppskattning av betjäningstiderna ges istället av Erlangfördelningen. Som förklaras i teorin är detta en fördelning som ligger emellan exponentialfördelningen och den deterministiska fördelningen. En uppskattning med en Erlangfördelning ger också ett mer exakt resultat än en deterministisk modell (eftersom den ligger närmare verkligheten). Erlangfördelningen har, enligt teorin, två parametrar µ och k. Dessa är initialt okända, men är möjliga att beräkna. Enligt teorin ges µ av värdet på 1/medelvärdet, och k ges av!. Eftersom de är känt med vilken tid patienterna förväntas betjänas i!" de två olika stationerna (röntgen och ultraljud) är därmed medelvärdet känt. Genom att använda empiriska data som fås fram genom observationer och intervjudata är det möjligt att uppskatta Erlangfördelningens parametrar. (Hillier & Liberman, 2010) Eftersom det också är känt inom vilket intervall en betjäning förväntas ligga är det därmed även möjligt att beräkna variansen. Med dessa två parametrar är det sedan möjligt att beräkna µ och k. 3.4.2.3 Block 2 som kösystem Vid ett antagande om Erlangfördelade betjäningsintensiteter, och Poissonfördelade ankomstintensiteter bestäms slutligen antalet betjäningsstationer i systemet. Patienterna ankommer till Block 2, och kan sedan gå till antingen Röntgenavdelningen eller till Ultraljudsavdelningen. Inget annat alternativ är möjligt, och således får systemet antas ha två betjäningsstationer. Patienterna går omedelbart till nästa betjäningsstation, och är avdelningen upptagen får de helt enkelt köa. 23

Dock arbetar inte de två avdelningarna med samma intensitet, som tidigare nämndes är en ultraljudsundersökning mer avancerad, och tar således längre tid. Vidare är sannolikheten att en kund går till antingen Röntgen eller till ultraljud inte lika stor. Dessutom finns det en sannolikhet att en patient går från ultraljudsavdelningen till röntgenavdelningen. Således är majoriteten av de krav som ställs på ett Jacksonnätverk uppfyllda på kösystemet i Block 2. Det enda krav som inte är uppfyllt är det om betjäningsintensitet. Ett av kraven är att betjäningsintensiteterna är exponentialfördelade. På Mälarens Hästklinik är, som tidigare diskuterats, inte detta fallet, men nedanstående resonemang förklarar varför ett Jacksonnätverk kan ge trovärdiga resultat ändå, och således appliceras analogt på detta problem. En exponentialfördelning är, som tidigare nämnts, ett extremfall av en Erlangfördelning. Att anta att ett system med Erlangfördelade betjäningsintensiteter kommer bete sig liknande ett system där betjäningsintensiteterna är exponentialfördelade anses således vara någorlunda rimligt för att en modellering ska kunna genomföras. Vidare är antalet patienter som går från ultraljud till röntgen en relativt liten del av det totala antalet patienter, så påverkansgraden får inte betraktas som särskilt hög. Eftersom systemet i övrigt uppfyller kraven för ett Jacksonnätverk görs ett försök att modellera Bilddiagnosen som ett sådant. Resultaten granskas sedan och jämförs med faktiska observationer samt intervjudata från anställda. Ifall avvikelsen inte är märkbar eller påtaglig anses det vara trovärdigt att formulera Bilddiagnosen som ett Jacksonnätverk. Ankomstintensiteterna i systemet kan således, enligt teorin och med procentsatserna från Bilaga 1 skrivas som: λ tot λ U =0.2*λ tot λ R =0.8*λ tot +0.2*λ U 24

Här är λ tot den totala ankomstintensiten till systemet. Som tidigare visats är denna samma som utflödesintensiteten från Block 1. λ U är intensiteten med vilken patienterna ankommer till ultraljud med, och λ R är den intensitet de ankommer till röntgen med. 3.5 Matematisk optimering av patientflödet Eftersom patientflödet i dagsläget på kliniken dras med avsevärda problem görs en ansats att på matematisk väg bättre kunna förbättra processen ur ett teoretiskt perspektiv. Den mer lämpliga betjäningsprocessen delas upp i en optimering av Block 1 och Block 2 tillsammans. I dagsläget återstår det två huvudproblem: Det första är att kliniken betjänar sina kunder långsammare än de anländer. Följaktligen uppstår det köbildning i början av processen. Det andra huvudproblemet är att kunder ankommer till bilddiagnosen snabbare än de kan betjänas i denna fas. Därmed finns det två lösningar som kan appliceras på båda blocken. Den första är att öka betjäningsintensiteterna för de olika blocken. Hur detta görs i praktiken är dock relativt svårt att konkretisera. Rent praktiskt innebär detta att veterinärerna jobbar mer effektivt med varje kund, och att varje steg i processen tar mindre tid. Ett sådant effektiviseringsarbete rör området operations management och är ett avsnitt som diskuteras senare i arbetet. Ifall utgångspunkten istället är att veterinärerna jobbar så effektivt som det går, och att det inte är möjligt att påskynda denna process återstår det andra alternativet. Detta är att ändra ankomstintensiteten till de olika blocken, och är något som är lättare att göra. Att ändra ankomstintensiteterna till Block 1 är inte mer komplicerat än att byta ut bokningstiderna till en mer passande tid som mer matchar tiden det tar att behandla en patient. Ifall den förväntade ankomstintensiteten är lika stor som den förväntade betjäningstiden för en patient kommer det inte att uppstå någon form av köbildning, men veterinären behöver inte heller vänta på att en ny patient ska anlända. 25

Att ändra ankomstintensiteterna till Block 2 görs enligt att ändra utflödeshastigheterna från Block 1. Enligt tidigare resonemang antas det inte möjligt att ändra på den hastighet som patienterna betjänas med i Block 1. Problemet som uppstår i dagsläget är att patienter anländer från båda veterinärerna med samma intensitet. En lösning skulle således vara att låta en av veterinärerna jobba långsammare och därmed minska köbildningen in till Bilddiagnosen. Dock resulterar detta i att kliniken inte kan betjäna lika många patienter, och ur ett företagsperspektiv är detta inte önskvärt. Således återstår en lösning, och det är att ändra den relativa intensiteten med vilken patienter ankommer till Block 2. Ett sådant förslag skulle kunna vara att en av veterinärerna bokar patienter en viss tid (till exempel 10 minuter) efter sin kollega. Det vill säga att då den första veterinären bokar in en patient kl. 08.00 kommer den andra att ta emot nästa patient kl. 08.10. Detta leder till en relativ förskjutning av patienterna, och kommer att påverka flödet ut ifrån Block 1. Således innebär detta att den genomsnittliga betjäningstiden för en patient kommer att vara 52 min som vanligt för den veterinär som inte ändrar sina betjäningstider. För den veterinär som ändrar sin betjäningstid kommer utflödet från Block ett istället ske med 52+10 (i de fall veterinären bokar 10 minuter efter sin kollega). För att visa förändringarna i intensitet görs samma beräkningar som i det fallet utflödesintensiteten från de två veterinärerna beräknades, men skillnaden är att det nu läggs till en tidsförskjutning på en av dem. Med den antagna tidsförskjutningen 10 minuter fås följande graf. 26

Figur 4: Utflödet från Block 1 med tidsförskjutning λ = 78 Som synes ovan har en förskjutning av tiden resulterat i att värdet λ på har ökat från 73 till 78. Detta innebär att intensiteten som patienterna ankommer till Block 2 med har minskat. Denna ankomstintensitet är fortfarande summan av två oberoende poissonfördelade variabler. Precis som i den ordinära beräkningen för utflödet från Block 1 innebär detta att även denna fördelning kommer vara Poissonfördelad, dock med ändrad intensitet. Det är värt att notera att det inte är möjligt att låta förskjutningen i tid bli allt för stor. Vid en tidsförskjutning på 40 minuter kommer skillnaden mellan betjäningsintensiteterna enbart att vara 10 minuter (eftersom det tar ca 50 minuters behandling för en patient att passera veterinärdelen av Block 1). För att få reda på den mest optimala skillnaden i bokningsintensitet görs beräkningarna för kötiden i Block 2 som genomfördes i 3.4.2.3 för flera värden på λ som fås fram enligt metoden ovan. Utifrån dessa beräkningar är det sedan möjligt att hitta den tidsförskjutning som ger den minsta förväntade kötiden i systemet. 27

3.6 Sammanfattning av beräkningsmetoder Sammanfattningsvis gör följande beräkningsmetoder: 1. Beräkningar av förväntad betjäningsintensitet och ankomstintensitet i Block 1. 2. Beräkningar av förväntad kötid i Block 1. 3. Beräkningar av utflödesintensitet från Block 1. 4. Beräkningar av Förväntad kötid för Block 2 5. Beräkningar av antalet patienter i kön. 6. Total tid för patienten i systemet. För den matematiska optimeringen görs: 1. Beräkningar för förväntad kötid i Block 1. 2. Beräkningar av utflödesintensisteter med tidsförskjutningar i Block 2. 3. Beräkningar av förväntad kötid 4. Beräkningar av total tid i Block 2 5. Beräkningar av total tid för patienten genom flödet. 28

4. Resultat 4.1 Resultat av Block 1 Inledningsvis presenteras resultatet för rörelsekontrollsprocessen formulerad som ett D D 1 K- system. Först visas ett diagram på totalt antal inkomna patienter tillsammans med totalt antal betjänade. Antal patienter 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Timme Antal ankomna patienter Antal Betjänade patienter Figur 5: Kötiden och betjäningstiden i Block 1 Ovanstående graf visar tydligt att skillnaden mellan antal ankomna patienter och antal betjänade ökar ju längre tiden går. Denna skillnad kan formuleras som kötiden en patient måste vänta i systemet innan den betjänas. Detta stämmer överens med teorin som säger att kötiden kommer bli oändlig given oändlig tid. Grafen är tvådelad, antal inkomna slutar tidigare än antal betjänade, och detta beror på att alla patienter som ankommer till systemet, 12 st., måste bli betjänade och lämna. Detta tar dock ungefär två timmar längre. Under dessa två timmar kan inte kliniken ta in någon ny patient, eftersom de inte skulle hinna bli behandlade innan kliniken stänger. Eftersom en patients kötid i systemet kommer att succesivt öka under dagen innebär det att en patient som anländer sent på dagen kommer fått stå en betydligt längre tid i kön än en patient som anländer på morgonen. Den första patienten varje dag 29

(patient 0) behöver inte köa. Nedan ritas den förväntade kötiden upp för patienter givet en viss ankomsttimme: 60 Väntetid i minuter 50 40 30 20 10 Väntetid i minuter 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Patient nr Figur 6: Väntetid i minuter för ankomna patienter Som synes i grafen ovan föreligger det ett linjärt samband mellan patientens ankomsttid och patientens kötid. Detta är förväntat, eftersom modellen grundar sig på ett linjärt samband mellan ankomst och betjäning. För att tydligare illustrera detta exempel visas nedanstående tabell 2 för förväntad kötid. Väntetid i minuter Patient Nr Ankomsttid 0 0 08.00 6,95 1 08.45 11,15 2 09.30 15,35 3 10.15 19,55 4 11.00 23,75 5 11.45 27,95 6 12.30 32,15 7 13.15 36,35 8 14.00 40,55 9 14.45 44,75 10 15.30 48,95 11 16.15 Tabell 2: Väntetider för patienter givet en viss ankomsttid 30

Som visas ovan ges de förväntade kötiderna i minuter givet en patientsankomsttid. Det syns att alla patienter förutom den först anländande behöver köa. Vidare ökar kötiden succesivt ju längre tiden går. Genom hela processen är det dock enbart en patient som behöver köa, fram till sista ankomsten. Under ca 4 minuter befinner sig två patienter i kön. Vidare visas det att kliniken måste sluta ta emot kunder vid 16.15, annars kommer de inte hinna betjäna alla köande patienter innan kliniken stänger. 4.2 Resultat av Block 2 Flödet in till block 2 har redan tidigare ritats upp och konstaterats ske enligt en Poissonprocess. Användandet av de givna ankomstintensiteterna λ från Block 1 tillsammans med modelleringen av ett Jacksonnätverk enligt metoden resulterar i följande ankomstintensiteter till Röntgen- respektive Ultraljudsavdelningen. λ R =1,4 λ! =0,33 Detta innebär att i snitt ankommer det 1,4 patienter i timmen till röntgenavdelningen, och 0,33 patienter i timmen till ultraljudsavdelningen. Användandet av dessa två intensiteter i kösystemet med Erlangfördelade betjäningsintensiteter genererar värden på de förväntade kötiderna, samt hur många patienter som förväntas stå i kön. Variabel Antal Enhet 31

λ(tot) 1,64 patient/h λ(rönt) 1,38 patient/h λ(ultra) 0.3288 patient/h Wq(Rönt) 25.0885 min Lq 1.3798 stycken Wq 25.5253 min Tabell 3: Variabler för Block 2 4.3 Sammanlagd patienttid i systemet Då den tidigare gjorda uppdelningen av patientflödet i två kompletterande Block är det således möjligt att beräkna den förväntade totala tiden på kliniken för en enskild patient. Detta är på grund av att de två blocken tillsammans innefattar hela patientflödet. En summering av förväntad tid i Block 1 tillsammans med den förväntade tiden i Block 2 kommer således resultera i den totala förväntade tiden för en patient på kliniken. Då detta är i stort sett okänt i dagsläget är det önskvärt att känna till denna siffra. Stadie Förväntad tid Förväntad kötid Block 1 73 min 25 min Block 2 25 min 25 min Tabell 4: total kötid och tid i systemet. Som synes ovan är den totala tiden i systemet ungefär 145 minuter i dagsläget. Detta stämmer väl överens med de observationer och intervjuer som anger att en genomsnittlig patient får lämna kliniken efter lite mer än 2 timmar på kliniken. 32

4.4 Resultat av en mer lämplig betjäningsprocess Först görs ankomstintensiteterna till Block 1 om enligt metoden, så att patienter istället ankommer var 50:e minut. Detta leder till följande tabell 5 för värden på förväntade kötider givet en viss ankomsttid på dagen. Ankomsttid Väntetid i minuter Patient Nr 08.00 0 1 08.50 2 2 09.40 4 3 10.30 6 4 11.20 8 5 12.10 10 6 13.00 12 7 13.50 14 8 14.40 16 9 15.30 18 10 16.20 20 11 17.10 22 12 Tabell 5: Resultatet av annorlunda deterministiska ankomsttider Med hjälp av MATLAB fås nedanstående värdena ur tabell 6 fram för en tidsförskjutning av patientmottagningstiderna. Tabellvärdena visar olika λ för olika tidsförskjutningar. Tidsförskjutning Lambda 0 73 5 75,5 10 78 15 80,5 20 83 25 85,5 30 83 Tabell 6: Ankomstintensiteter givet tidsförskjutning 33