GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Utforskande aktivitet med GeoGebra GeoGebra 0
Utforskande aktivitet med GeoGebra 1 Börja med att ta bort koordinataxlarna genom att avmarkera Axlar under Visa : Konstruera en likbent triangel genom att först lägga in en punkt A:, och utifrån denna konstruera två segment med längden 5. Tips: För att få segmentens längder utskrivna, klicka först på triangeln uppe till höger i GeoGebra: Markera ett segment. Nu visas följande meny ovanför ritområdet: Klicka här, välj Värde. Gör färdig den likbenta triangeln genom att förbinda punkterna B och C. (Välj Segment mellan två punkter se menyn ovan). Skriv ut längden även på detta segment. 1 Idén till aktiviteten är hämtad från Computer Mediated Learning: An example of an Approach (A. Arcavi and N. Hadas, 2000) 1
1a) När längden på sidan BC ändras, så ändras naturligtvis även triangelns area. Frågan är hur arean varierar som en funktion av längden på sidan BC. Börja med att göra en grov skiss av hur du tror grafen ser ut i koordinatsystemet nedan. Gradera axlarna på lämpligt vis. Nu är det dags att rita grafen i GeoGebra. För att få mätvärden på arean, måste en polygon konstrueras. Skapa en polygon med hörnen A, B och C med hjälp av verktyget:. Polygonens area anges i algebrafönstret: För att få polygonens area utskriven gör man på motsvarande sätt som när värdena på segmentens längder skrevs ut. 2
Genom att markera Ritområde 2 i menyn Visa fås ytterligare ett ritområde: Lägg in en punkt D med längden av BC som x-koordinat och triangelns area som y-koordinat genom att markera Ritområde 2 och mata in följande vid Input längst ned till vänster: Sätt spår på punkten D genom att högerklicka på punkten och välja Spår på. Dra i punkten C, så att funktionsgrafen växer fram. 1b) Rita, för hand, av GeoGebra-grafen i samma koordinatsystem och jämför! Reflektera kring likheter och skillnader t.ex. när det gäller definitionsmängd, värdemängd och maximipunkt. 1c) Härled en formel för funktionen: Markera Ritområde 2 och mata in formeln i Input -fönstret. Jämför denna graf med spåret! 3
Nu skall vi istället studera hur arean varierar som funktion av höjden mot sidan BC. 2a) Börja med att gissa hur grafen kommer att se ut. Gradera axlarna på lämpligt vis och gör en skiss över grafen: Konstruera höjden mot sidan BC, genom att först rita en vinkelrät linje mot sidan BC genom punkten A med hjälp av verktyget: Ta därefter fram skärningspunkten mellan linjen och sidan BC med hjälp av verktyget: Konstruera segmentet mellan punkten A och den nya punkten. Dölj därefter den vinkelräta linjen och skärningspunkten. Detta görs genom att bollarna som finns framför linjen respektive punkten i algebrafönstret avmarkeras. Använd GeoGebra för att rita grafen som visar arean som funktion av höjden på motsvarande sätt som tidigare. 4
2b) Rita, för hand, av grafen i samma koordinatsystem och jämför! Reflektera kring likheter och skillnader. Nu skall vi studera hur arean varierar som funktion av vinkeln BAC. Mät vinkeln BAC med hjälp av verktyget: Ändra vinkelmåttet till radianer genom att under Inställningar välja Inställningar. Välj därefter Avancerat och scrolla ned till Vinkelmått och markera Radianer. 3a) Börja med att gissa hur grafen kommer att se ut. Gradera axlarna på lämpligt vis och gör en skiss över grafen: Använd GeoGebra för att rita grafen som visar arean som funktion av vinkeln på motsvarande sätt som tidigare. 3b) Rita, för hand, av grafen i samma koordinatsystem och jämför! Reflektera kring likheter och skillnader. 5
3c) Föreslå en formel för funktionen och testa om dess graf stämmer överens med spåret. Vad händer om triangeln inte är likbent? Låt oss studera en triangel där en av de givna sidorna är lite kortare än den andra. Ändra längden på sidan AC till 4 genom att dubbelklicka på punkten C i algebrafönstret och ändra från 5 till 4. 4a) Hur varierar nu arean som en funktion av längden på sidan BC? Börja med att gissa hur grafen kommer att se ut. Gradera axlarna på lämpligt vis och gör en skiss över grafen: Använd GeoGebra för att rita grafen som visar arean som funktion av längden på sidan BC på motsvarande sätt som tidigare. 6
4b) Rita, för hand, av grafen i samma koordinatsystem och jämför! Reflektera kring likheter och skillnader. 5a) Nu skall vi studera hur arean varierar för olika värden på höjden mot sidan BC. Börja med att gissa hur grafen kommer att se ut. Gradera axlarna på lämpligt vis och gör en skiss över grafen: Använd GeoGebra för att rita upp grafen som visar hur arean beror av höjden mot sidan BC på motsvarande sätt som tidigare. OBS! Om trianglar där höjden mot sidan BC ligger utanför själva triangeln inte finns representerade i grafen beror detta på att höjden dragits endast mot segmentet BC. Rita i så fall en linje genom punkterna B och C. Konstruera därefter höjden i triangeln genom att rita en vinkelrät linje mot den nya linjen och som går genom punkten A. Slutför därefter konstruktionen på samma sätt som under uppgift 2 ovan. 5b) Rita, för hand, av grafen i samma koordinatsystem och jämför! Reflektera kring likheter och skillnader. 7