Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Sammanfattning av förra föreläsningen 2 w(t) r(t) Regulator u(t) System y(t) Återkoppling Konstruera en regulator (matematiskt uttryck datorkod) som beräknar styrsignalen u(t) så att systemet (enligt mätsignalen y(t)) beter sig som önskat (referenssignalen r(t)) trots störningar w(t)
Sammanfattning av förra föreläsningen 3 Öppen styrning: Regulatorn använder sig ej av utsignalen y(t) Sluten styrning: Regulatorn använder sig av utsignalen y(t) Återkoppling: ett annat namn på sluten styrning P-reglering: återkoppling med styrlagen u(t)=k(r(t)-y(t)) Modell: en matematisk beskrivning (differentialekvation) av ett system
Farthållaren från förra föreläsningen 4 Vi utvärderade farthållaren genom att lösa differentialekvationen och relatera till önskat beteende (snabbhet, stationärt fel, ) Reglerteknik handlar i princip om att ta fram, lösa, och analysera differentialekvationer samt dess lösningar! (vi kommer dock ta genvägar...)
Generella fallet 5 Ett reglersystem beskrivs, i denna kurs, med en differentialekvation i insignaler och utsignaler Vi kallar detta ett n:te ordningens system (n m, kallas propert system) koefficienterna a i och b i konstanta (linjär differentialekvation) u(t) och begynnelsevillkor givna Lösning ges av homogen+partikulär lösning
Karakteristiska ekvationen 6 Homogena lösningen ges av (antag enkla rötter) λ 1,, λ n är lösningar till den karakteristiska ekvationen Partikulära lösningen fås genom ansättning (dvs kvalificerad gissning)
Karakteristiska ekvationen 7 Det viktiga är inte den exakta lösningen (konstanter osv), utan det faktum att rötterna till karakteristiska ekvationen beskriver karaktären hos alla tänkbara lösningar. Vi studerar ett andra ordningens system drivet av ett steg (ett s.k stegsvar) Lösning av karakteristiska ekvationen och partikulärlösning ger
Karakteristiska ekvationen 8 Fall 1: λ 1 och λ 2 reella och negativa, t.ex λ 1 =-1 och λ 1 =-2 C 1 och C 2 fås från begynnelsevillkor
Karakteristiska ekvationen 9 Fall 1: λ 1 och λ 2 reella men en positiv, t.ex λ 1 =-1 och λ 1 =2
Karakteristiska ekvationen 10 Fall 1: λ 1 och λ 2 komplexa med negativ realdel
Karakteristiska ekvationen 11 Fall 1: λ 1 och λ 2 komplexa med positiv realdel
Karakteristiska ekvationen 12 Sammanfattning Lösningarnas karaktär bestäms av rötternas position i det komplexa talplanet imag(λ) real(λ) Alla rötter i vänstra halvplanet garanterar att y h (t) 0 (kallas stabilt) Någon rot i högra halvplanet leder till y h (t) (kallas instabilt) Komplexa rötter kan ge oscillationer
Karakteristiska ekvationen 13 Ett antal rötter i -1, samt ett antal komplexa -0.5±0.86i Mer behöver vi inte veta för att dra slutsatsen att utsignalen går mot 0, möjligtvis med lite oscillationer (om u(t) är 0)
Laplacetransform 14 Ett sätt att förenkla arbete med linjära differentialekvationer Beteckning: tidsfunktion (en signal): signaltransform: Definition:
Laplacetransform 15 Viktigaste räkneregler (sidan 232 i boken) Slutvärdesteoremet (om f(t) konvergerar)
Laplacetransform 16 Exempel: Laplacetransform av ett steg
Laplacetransform 17 Exempel: Farthållare med icke definierad styrsignal antag alla begynnelsevärden noll bryt ut Y(s)
Laplacetransform 18 I en beskrivning kallar vi G(s) systemets överföringsfunktion Definition: Poler till G(s) = rötter till nämnaren i G(s) = rötter till karakteristiska ekvationen Nollställen till G(s) = rötter till täljaren i G(s) Inom reglerteknik arbetar vi ofta med systemets överföringsfunktion, istället för de underliggande differentialekvationerna
Generella fallet 19 Generella fallet: Ett insignal-utsignalsamband transformeras till (antag att alla begynnelsevillkor är 0) Överföringsfunktionen från u till y blir sålunda
Specifikationer 20 Reglerteknikens kärna: Välj insignal så att utsignalen beter sig som önskat Vi behöver sätt att beskriva vad vi menar, specifikationer
Specifikationer 21 Regulator System r(t) Σ e(t) F u(t) G y(t) -1 Hur skall vi välja regulatorn F? (nästa föreläsning) Oftast ges specifikationer i form av krav på stabilitet samt respons på stegsvar i termer av snabbhet och svängighet. Vi vill relatera dessa specifikationer till reglersystemets överföringsfunktioner
Specifikationer 22 Stabilitet: Absolut viktigaste specifikationen! Definition 1: Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal leder till en begränsad utsignal. Definition 2: Inversa Laplacetransformen av en överföringsfunktion kallas för viktsfunktionen Sats 2.1: Ett system är insignal-utsignalstabilt om och endast om viktsfunktionen uppfyller
Specifikationer 23 Sats 2.2: Ett system med proper (m<=n) överföringsfunktion G(s) är insignal-utsignalstabil om och endast om alla poler till G(s) has strikt negativa realdelar
Specifikationer 24 Snabbhet: Hur snabbt konvergerar lösningarna till slutvärdet Studera ett första ordningens system med en pol i Med ett steg som insignal (ett stegsvar) och begynnelsevärde noll blir lösningen Konstanten T kallas systemets tidskonstant och är inversen av G(s) pol Poler långt till vänster in i vänstra halvplanet ger liten tidskonstant vilket ger ett snabbt system
Specifikationer 25 Svängighet: Studera ett fjäder-dämparsystem y(t) y(t): Upphängningspunktens position [m] u(t): Kraft verkande i fäste [N] Dämpningskonstant α [Ns/m] Fjäderkonstant k [N/m] Upphängd massa m [kg] u(t)
Specifikationer 26 Svängighet: Studera ett normaliserat andra ordningens system Om relativa dämpningen ξ är mindre än 1 fås komplexa poler Med ett steg som insignal (ett stegsvar) och begynnelsevärde noll blir lösningen
Specifikationer 27
Specifikationer 28 Större ger ett snabbare system Mindre ger ett svängigare system Poltolkning: Poler längre bort från origo ger ett snabbare system. Poler relativt längre upp/ner i komplexa talplanet ger ett svängigare system
Specifikationer 29 y(t) u(t)
Sammanfattning 30 Sammanfattning av dagens föreläsning Vi modellerar system med linjära differentialekvationer. Lösningarna till differentialekvationerna ges av en summa exponentialfunktioner, framtagna via karakteristiska ekvationens rötter. Vi använder Laplacetransformer som ett verktyg för att hantera differentialekvationer (varför blir mycket mer tydligt nästa föreläsning). När vi Laplacetransformerat våra ekvationer får vi en överföringsfunktion, och denna kommer vi använda mycket. Specifikationer på ett stegsvar kan tolkas i termer av polernas position. Poler långt till vänster = snabbt, mycket komplexdel = svängigt
Sammanfattning 31 Viktiga begrepp Stegsvar: Utsignal när insignalen är ett steg. Används ofta (i teori och praktik) för att studera ett systems kvalitativa beteende. Överföringsfunktion: Transformsambandet mellan in- och utsignal. Poler: Rötterna till överföringsfunktionens nämnare. Innehåller mycket information om systemets egenskaper. Nollställen: Rötterna till överföringsfunktionens täljare. Stabil: Homogena lösningen går mot noll. Kräver att polerna är i vänstra halvplanet.