Inledning till algebran-maa701 Hans Frisk, MSI, VXU 14/8 2005 0. Inledning. Under de två första föreläsningarna skall jag upp en del av det som står i kapitel 1-5 i kursboken samt något om matematikens historia. Min förhoppning är att ni efteråt skall fått en klarare uppfattning om vad matematik är, och inte är. Läs också de inledande dialogerna i boken (kapitel 0). Först dock lite om växelspelet mellan matematiken och andra vetenskaper. Matematiska aktiviter har i historien oftast haft sitt ursprung i praktiska problem. Jordbruket, handeln, byggnadskonsten, planeternas rörelse, tämja elektriciteten och magnetismen, värme- och fukt-utbredning, datortomografi (skiktröntgen)..., listan kan göras lång! Förr i tiden behärskade de stora vetenskapsmännen och ingenjörerna både matematiken och andra ämnen. Den traditionen är bruten sedan minst 100 år och därför kan idag ibland matematiker och ingenjörer titta snett på varandra. Matematiker är världsfrånvända typer som håller på medproblemutannågon praktisk nytta och Ingenjörer slår och skruvar på sina burkar utan att fatta vad som egentligen händer är dumheter som man ibland kan få höra. Under kursens gång skall jag göra vad jag kan för att ta död på sådana myter. 1. Matematikens historia är lång! Ett 30 000 år gammalt vargben hittades 1937 i Mähren (nuvarande Tjeckien). Det var föresett med skåror, ordnade i grupper om fem. Antagligen har en förfäder till oss försökt hålla koll på sittförråd av skinn eller nerlagda hjortar. Talbegreppet fanns alltsåredansålångt tillbaka men siffrorna kom långt senare. Vad vi vet idag så startar den matematiska utvecklingen på allvar cirka 3000 år f.kr. Speciellt i Egyptien och Mesopotamien (nuvarande Irak). Praktiska problem i jordbruket och byggnadskonsten drev utvecklingen framåt men också religösa motiv kan ha spelat en roll. Problem 1. Egyptierna skrev ==== och då menade de att 2 = 1 + 1. Ett lodrät streck markerade ental och 7 4 28 tiotal. Ett streck över ett tal visar att man skall ta det inverterade värdet, 1/ talet. Egyptierna vill helst ha 1 i täljaren och sådana bråktal kallar man stambråk. Täljaren 2 var i vissa fall acceptabel (man drog då två streck över talet) men större täljare förekom inte. Att se 2 som 1 + 1 är faktiskt helt naturligt. 7 4 28 Förklara hur man på ett smidigt sätt delar 2 pizzor på 7personer!Skriv 3 som en 11 summa av stambråk. Att som i våra dagar se 2 som 2 1 började man göra långt senare 7 7 (Diophantus, 300 e. kr.). Problem 2. Babylonierna använde basen 60 istället för 10 som vi använder. Hur skriver du 121 i basen 60? 1 1 blev i latinsk översättning pars prima minuta (första lilla delen) och 60 3600 blev pars secunda minuta (andra lilla delen). Det är alltså därifrån vi har fått våra minuter och sekunder. Skriv 1 i basen 60. Räkna först ut hur många hela sextiondelar det är och sedan 8 hur många 3600-delar resten är. I Indien och Kina pågick samtidigt och även långt senare avancerade matematiska aktiviteter. De är från indierna via araberna vi fått våra siffror men nollan som är en förvånansvärt sen uppfinning 1
kan vara av kinesiskt ursprung. Vårt talsystembestår av tre delar: 1) Positionssystemet, 2) Sifforna, 3) Ett tecken för tom plats, nollan. Under åren 600 f kr - 400 e kr sker en fantastisk utveckling av matematiken i och omkring Grekland. En av de stora matematikerna från denna tid var Pythagoras. Hans berömda sats: a 2 + b 2 = c 2 ( a, b är kateter och c hypotenusan i en rätvinklig triangel) var känd redan för egyptierna men kanske var han den första som bevisade den. Problem 3. Studera ett bevis för Pythagoras sats så attdukan presentera det. Se kapitel 0 i boken eller sök på webben. En annan upptäckt som brukar förknippas med Pythagoras är upptäckten av de irrationella talen, alltså desominteär bråktal. Nu för tiden slår vi allt på våra minräknare men matematikern är noga med vad för slags tal hon jobbar med. Decimaltal med periodisk decimalutveckling kallas för rationella och de kan skrivas som bråk p där p och q är två heltal.några exempel q 0.333333333... = 1 3 0.666666666... = 2 3 0.999999999... =1.0 = 1 1 0.142857142857... = 1 7 0.199999999... =0.2 = 1 5 0.2142857142857... = 3 14 = 1 5 + 1 70 0.456456... = 152 333 och vi har idag inga som helst problem att skriva ner vilket decimaltal som helst t.ex π = 3.14159265358979323846... utan någon periodicitet men Pythagoras känd inte till allt detta. Han trodde att diagonalen i en kvadrat med sidan 1, den längd som vi idag betecknar med 2, kunde skrivas som ett bråktal p där heltalen p och q saknar gemensamma delare men fann till q sin bestörtning att så inte var fallet. Beviset är ett sk motsägelsebevis; man antar att det går och visar sedan att det leder till en orimlighet. En annan av giganterna under grekiska epoken är Euklides. Han skrev 13 böcker som på latin heter Elementa och som har haft stort inflytande på matematiken fram till våra dagar. Verken som skrevs på grekiskaöversattes sedan till arabiskan och först sedan till latinet. Den första latinska tryckningen gavs ut i Venedig 1505 och då skallman veta att Euklides levde cirka 300 f kr!! När man skall bygga ett hus så startar man med en fast grund som man kan bygga vidare i från. Euklides är berömd för att ha infört samma tankegångar inom matematiken, speciellt för geometerin i planet. Den fast grunden utgörs av axiom (satser som tas för givna) och definitioner (talar om vad begreppen innebär). Ett axiom hos Euklides är: Givet två skilda punkter i planet så finns det precis en linje som går genom båda punkterna. Utifrån dessa fundament kunde han bygga vidare med satser eller teorem som de också kallas. som har en ändlig decimalutveck- Problem 4. Iexemplenovanpå decimaltal är det bara 1 och 1 5 1 ling. 2
En oändlig följd av 9:or kan strykas om man ökar siffran till vänster med 1. Vilka bråktal har en ändlig decimalutveckling? Problem 5. Antag att 2= p där p och q är två för oss okända heltal som q inte har någon gemensam faktor ( I så fallförkortar vi bort den). Kvadera nu båda sidor och visa sedan att både p och q måste vara jämna vilket alltså strider mot antagandet att täljare och nämnare saknade gemensam faktor. Problem 6. Ett exempel på en sats hos Euklides är att vinkelsumman i en triangel är ett halvt varv (2 räta vinklar =180 grader). Studera ett bevis så att du kan presentera det. Det finns axiom för de reella talen också men det bygget blev inte helt färdigt förrän på 1800- talet. Jag skall inte trötta er med alla 14 axiomen utan bara ange några som ni känner igen från gymnasiet (a, b, c är reella tal) a + b = b + a och a b = b a (a + b)+c = a +(b + c) och(a b) c = a (b c) a (b + c) =a b + a c Självklara saker för alla som målat plank och summerat inkomster kan tyckas men matematikern måste ta det mera seriöst. Genom att ändra på ett axiom kan nya spännande världar öppna sig. Ett exempel är parallellpostulatet i Euklides geometri som säger att Givet en godtyckligt vald linje, l, och en punkt, P,sominte ligger på denna linje så finns det precis en linje som går genom punkten och inte skär den givna linjen. l P Uppenbart för alla som suttit och ritat i sandlådan men om man byter ut precis en mot minst två öppnar sig en underbar värld som heter hyperbolisk geometri. Är denna geometri användbar för oss jordvarelser? Ja, t ex använder man sk Smith diagram i mikrovågstekniken och de förstår man bättre om man tänker hyperboliskt. Den grekiska kulturen gick tillbaka kring år 400 e kr och nästa storhetsperiod inom matematiken sker hos araberna, speciellt kring Bagdad, under åren 800-1100 ungefär. Den siste store grekiske matematikern var Diophantus han hade liksom araberna en mer praktisk syn på matematiken. En av de stora araberna var al-khwarizmi som elegant löste problem som Problem 7. Utgå från en kvadrat med given sida. Lägg till två rektanglar med sidorna 5 respektive kvadratens sida, en ovanpå och en till höger om kvadraten. Den sammanlagda arean skall nu vara 39. Vilken måste kvadratens sida vara? Endast geometriskt resonemang tillåtet, inga x 2 och andra modernare påfund 3
som på 1600-talet. Problem 8. Man vet inte exakt när Diophantus levde men man tror sig veta hans ålder från vad som som stod på hans gravsten: Han levde 1 av sitt liv i barndom, 6 1 i ungdom och 1 som ungkarl. Fem år efter giftemålet föddes en son som blev 12 7 hälften så gammal som sin far och dog fyra år före fadern. Hur gammal blev Diophantus? Ok nu får du använda x! På 1200-talet kommer matematiken till Europa (Italien, Frankrike, England) och på 1600-talet skjuter det riktigt fart och det har hållt i sig ända fram till våra dagar med många framstående matematiker (nu även kvinnor!) i inte bara Europa utan även USA, Ryssland Japan. Det som hände på 1600-talet var att matematiken blev symbolisk, man började använda x, x 2,x 3 etc.( Ställ upp Problem 7 som en andragradsekvation och lös den). En fördel med de abstrakta symbolerna är att räkningarna underlättades enormt. Nackdelen är att matematiken kan bli för mekanisk, speciellt i skolundervisningen. Det blir lätt att man använder sin formel för t ex lösningarna till en andragradare slaviskt utan att veta vad man håller på med. På 1600-talet började också analysen (derivera och integrera) växa fram, mycket tack vare Newton och hans önskan att kunna beskriva planetbanorna matematiskt. Analysen kommer i en senare kurs. 2.Logik är ett ämne i gränslandet mellan matematik och filosofi som handlar om konsten att göra slutledningar, dvs utgående från ett antal premisser (förutsättningar) göra korrekta slutsatser. Det gör vi dagligen i vardagslivet utan tänka på detmenäven inom matematiken när vi skall bevisa något. I vardagsspråket har ordet logisk samma betydelse som konsekvent, rimlig och naturlig men det kan vi glömma här, det är slutledningarna det handlar om. Problem 9. Om premisserna är att: Alla Växjöbor är snåla och inga lokförare är snåla kanmanmandågöra en logisk slutledning och komma fram till slutsasen: Inga Växjöbor är lokförare? Samma fråga då premisserna är: Det finns växter med ätbara rötter och Det finns växter med ätbara blad. Slutsats: Det finns växter med ätbara rötter och blad? För att få lite struktur på dethelasåinförde man i slutet av 1800-talet en symbolisk logik, sekapitel1iboken. Viklararossiallmänhet utan denna men den kan vara av intresse vid en del bevis. T ex kontrapositionen på sidan 55, A B B A. Med ord: om man vill visa att påståendet A medför påståendet B så kan man istället visa att negationen (omvändningen) till B medför negationen till A. Den del av logiken som handlar om matematiska slutledningar och vad man kan bevisa i matematiken kallas naturligtvis matematisk logik. En smart man som hette Gödel visade 1931 att det finns satser inom den del av matematiken som handlar om heltalen, {... 2, 1, 0, 1, 2, 3...}, som inte kan avgöras med hjälp av axiomen. En chock som matematikerna inte har hämtat sig från ännu! En sådan sats är kanske Goldbachs förmodan som säger att varje jämnt postitivt heltal kan skrivas som en summa av två primtal, {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...} alltså de som bara har sig själva och 1 som delare. Vi testar: 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10 = 7 + 3, 12 = 7 + 5...Hur som helst så har ingen lyckats bevisa den trots flera hundra år av ihärdiga försök. Ja det här är spännande men komplicerade saker så vi rundar av detta avsnitt men två tankenötter. Problem 10. Du kommer till ett vägskäl där den ena vägen går till Växjö 4
och den andra till Alvesta. Vägskyltar finns ej men istället sitter där två gubbar, den ena talar ALLTID sanning och den andra talar ALDRIG sanning och du vet inte vem som är vem. Gubbarna känner till varandras egenheter. Du får endast ställa en fråga till en av dem. Vilken fråga skall du ställa för att ta reda på vägen till Växjö? Problem 11. På bifogat blad finner du sommarens fluga, den japanska sifferleken Sudoku. En utmärkt övning i slutledningsförmåga! 3. Mängder. En mängd är en samling objekt. Dessa kan vara i princip vad som helst; bandyspelare, kantareller, örnar, delmängder av talen från ett till hundra...i matematiken är man speciellt intresserad av talmängder. Kolla in de viktigaste på sidan 111 N = {0, 1, 2, 3,...} Z = {... 2, 1, 0, 1, 2,...} Q = { a a Z b Z b b 0} R mängden av rella tal (se avsnitt 1 ovan) Det finns fler! Redan i kapitel 7 skall ni få träffa på C, mängden av alla komplexa tal. Deras historia är en rejäl smocka (!) till alla dem som säger att matematikerna är världsfrånvända och inte håller på med praktiska saker. I Italien på 1400-talet fanns några entusiaster som tyckte om att lösa 2:a- och 3:e-gradsekvationer. De såg att teorin skulle vara snyggare om man införde komplexa tal i sådana att i 2 = 1. De brydde sig inte om nytta utan drevs av rent matematiskt intresse. Tänka sig, nu 600 år senare läser ingenjörer över hela världen om komplexa därför att de har visat sig så nyttiga. Det svänger i naturen (växelström, broar i vinden...) och där behövs de komplexa talen för den matematiska beskrivningen av sådana fenomen. Mängder är ett centralt begrepp i statistikkursen som flera av er skall läsa så ägna lite tid för att vänja er vid symbolerna. På sid 107-109 finns nyttiga samband och bevis för några av dem. 4. Talteori, induktion. Talteori är den del av matematiken som handlar om de hela talen Z. En juvel inom matematiken tycker många. För att skicka hemliga meddelanden på ettsäkert sätt (kryptering) så använder man sig idag (t ex på internet) av talteoretiska resultat. En sats du skall känna till är aritmetikens (matematiken om de fyra räknesätten) huvudsats. Den säger att varje heltal 2 kan skrivas som en produkt av primtal på ett, så när som på ordningen, unikt sätt. T ex 15 = 5 3, 36 = 2 2 3 2, 81 = 3 4, 9295 = 5 11 13 2. För riktigt stora tal med 100 siffror eller mer tar denna faktorisering förskräckligt lång tid att göra på en dator. Detta använder man sig av vid krypteringen, tjuvlyssnaren hinner inte dekryptera meddelandet. Kapitel 5 handlar om induktionsbevis. En bevismetod som påminner om att bygga en trappa. Först visar man att man står stadigt på ettstegsedanvisarmanattommanstår stadigt på ett steg så är även nästa steg stadigt. Då måste varje steg vara stadigt! Problem 12. Visa med ett induktionsbevis att följande formel gäller för varje positivt heltal n 1+2+3+... + n = n (n +1). 2 5
Man kan bevisa induktionsprincipen om man i stället utgår från en speciell egenskap hos de positiva hela talen Z +,nämligen välordningsprincipen. Den säger att varje icke-tom delmängd av Z + innehåller ett minsta element. T ex {15, 3, 99, 989} har 3 som minsta element. Så är det ju inte för R + eftersom t ex {x 1 <x 3} inte har ett minsta element. 1.001 < 1.01 men 1.0001 < 1.001 osv. 6