Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2., 4.2.4 Viktiga exempel 4.1, 4., 4.4, 4.5, 4.6, 4.1, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4., 4.4, 4.5, 4.7 Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen kan beskrivas med ett enda tal. Som till exempel omkretsen hos en triangel, summan av en serie eller massan hos en kropp. I stället för tal kommer vi här ofta att använda ordet skalär. Det finns dock andra objekt, som kräver flera tal för att låta sig beskrivas en kraft eller en förflyttning från en punkt till en annan. Dessa objekt beskrivs med en vektor. Det mest klassiska exemplet för att visa skillnaden mellan en skalär och en vektor är skillnaden mellan fart och hastighet. Fart ges som en skalär, 60 km/tim eller 10 m/s, medan hastighet både kräver en storlek, farten, och en riktning, rakt norr ut. I denna föreläsning ska vi studera geometriska vektorer, som kommer att dyka upp i planet eller rummet. Figur 1: Sträckor Riktad sträcka och vektor I figur 1 ser vi två punkter, P 1 och P 2 i rummet. Linjestycket mellan två punkter kallas sträcka. Sträckan i figur 1 betecknas P 1 P 2. Om hänsyn tas till ordningen mellan punkterna är sträckan P 1 P 2 inte samma sträcka som P 2 P 1. Eftersom ordningen är viktig för oss kommer vi fortsättningsvis att tala om riktad sträcka, som vi betecknar P P 4 och ritar med en pil, som i figuren. Den riktade sträckan P 5 P 5 kallar vi i en nollsträcka. I rummet finns förstås oändligt många riktade sträckor, med samma storlek och riktning, som sträckan P P 4. Definition 1. Vektor. En vektor v är mängden av riktade sträckor med samma längd och riktning. Två riktade sträckor hör till samma vektor, om den ena kan överföras till den andra, genom en parallellförflyttning Som ett extra förtydligande betonar vi. Håkan Strömberg 1 KTH Syd
Figur 2: 16 riktade sträckor men bara en vektor! En riktad sträcka har längd, riktning, startpunkt och slutpunkt. En vektor har endast längd och riktning. Kör man rakt söder ut med 100 km/tim i Haparanda är det i vektoriellt sammanhang samma sak, som att köra rakt söder ut med 100 km/tim i Ystad. Koordinatsystem i planet För att kunna räkna med vektorer på det sätt vi vill analytiskt måste vi införa ett koordinatsystem. Låt v vara en vektor i planet. Ofta, kommer vi att välja den representant för v som har sin startpunkt i origo i ett vanligt rektangulärt koordinatsystem. Koordinaterna för slutpunkten, (v 1,v 2 ), kallas vektorns komponenter. Vi skriver så vektorn som v = (v 1,v 2 ). Två vektorer v och w är identiska då och endast då v 1 = w 1 och v 2 = w 2, då komponenterna är identiska. Räkneoperationer för vektorer i planet. Definition 2. Vi adderar två vektorer v = (v 1,v 2 ) och u = (u 1,u 2 ) genom v+ u = (v 1 +u 1,v 2 +u 2 ) Vi subtraherar två vektorer v = (v 1,v 2 ) och u = (u 1,u 2 ) genom v u = (v 1 u 1,v 2 u 2 ) När vi multiplicerar en vektor v med en skalär k, får vi k v = (kv 1,kv 2 ) Koordinatsystem i rummet Precis som vektorer i planet kan uttryckas med hjälp av två reella tal, kan vektorer i rummet uttryckas med tre reella tal. Vi väljer först en punkt som origo och sedan tre koordinataxlar, genom origo som är parvis vinkelräta. Håkan Strömberg 2 KTH Syd
Kallar vi axlarna x-axeln, y-axeln och z-axeln, vilket är vanligt, kan vi säga att varje par av koordinataxlar spänner upp ett plan, som i tur och ordning kallas xy-planet, xz-planet och yz-planet. Läget hos en punkt P i rummet kan bestämmas med hjälp av en taltrippel, (x,y,z), som förstås kallas koordinaterna till punkten P. Figur : fig 5 Precis som för vektorer i planet fastslår vi nu för vektorer i rummet: Låt v vara en vektor i rummet. Om vi väljer den representant för v som har sin startpunkt i origo, så får slutpunkten koordinaterna (v 1,v 2,v ), vilket vi kallar vektorns komponenter och skriver vektorn som v = (v 1,v 2,v ). Två vektorer v och w är identiska då och endast då v 1 = w 1, v 2 = w 2 och v = w då komponenterna är identiska. Figur 4: Figuren visar att u+ v = v+ u vilket betyder att vektoraddition är kommutativ! Vektorn 0 = (0, 0, 0) kallas nollvektorn. Håkan Strömberg KTH Syd
Räkneoperationer för vektorer i rummet Definition. Vi adderar två vektorer v = (v 1,v 2,v ) och u = (u 1,u 2,u ) genom v+ u = (v 1 +u 1,v 2 +u 2,v +u ) och subtraherar vektorerna genom v u = (v 1 u 1,v 2 u 2,v u ) När vi multiplicerar en vektor v med en skalär k, får vi k v = (kv 1,kv 2,kv ) En vektors längd och avståndet mellan punkter Sats 1. Längden av en vektor i planet. En vektor v = (v 1,v 2 ) i planet är given. Vektorns längd, skrivs v och bestäms genom v = v 2 1 +v2 2 Sats 2. Längden av en vektor i rummet. En vektor v = (v 1,v 2,v ) i rummet är given. Vektorns längd bestäms genom v = v 2 1 +v2 2 +v2 Sats. Avståndsformeln. Om P 1 (x 1,y 1,z 1 ) och P 2 (x 2,y 2,z 2 ) är två punkter i rummet är avståndet, d, mellan dessa punkter lika med längden av vektorn med en representant P 1 P 2. Eftersom P 1 P 2 = (x 2 x 1,y 2 y 1,z 2 z 1 ) är d = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 Parallella vektorer Definition 4. Vi säger att vektorerna v och u är parallella, v u, om u kan skrivas som u = t v. Alla vektorer anses vara parallella med nollvektorn 0. Punkten i rummet Varje punkt P i rummet bestäms av en vektor OP, en så kallad ortsvektor för P med avseende på origo O. En punkt i rummet bestäms genom tre koordinater. Vi skriver punkten P = (x,y,z) och motsvarande ortsvektor OP = (x,y,z). Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Normerad vektor Definition 5. En vektor v = (v 1,v 2,v ) har längden v. Vektorn r som bestäms genom r = v ( v = v1 v, v 2 v, v ) v kallas normerad och har samma riktning som v men längden 1. Figur 5: fig Linjärt beroende Med hjälp av de två vektorerna u och v i figur 5 kan vi uttrycka vilken vektor a som helst i planet. Det finns en linjärkombination a = c 1 u+c 2 v där c 1 och c 2 är skalärer. Förutsättningen för att två vektorer v och u i planet ska ha denna egenskap är att de inte är parallella. Två parallella vektorer i planet är linjärt beroende. Vilket betyder att vi kan finna två skalärer λ u och λ v, så att λ u u+λ v v = 0 utan att både λ u = 0 och λ v = 0. För samma resonemang i rummet krävs tre vektorer. Med tre vektorer u, v och w i rummet kan man uttrycka alla vektorer a det finns en linjärkombination a = c 1 u+c 2 v+c w om λ u u+λ v v+λ w w = 0 endast då λ u = λ v = λ w = 0. Då sägs vektorerna vara linjärt oberoende. Tre vektorer i rummet är linjärt oberoende då inte alla tre ligger i samma plan. Definition 6. Linjärt beroende. Vektorerna v 1, v 2... v n, sägs vara linjärt beroende om någon av dem kan skrivas som en linjärkombination av de övriga. Annars sägs de vara linjärt oberoende. Sats 4. Att vektorerna v 1, v 2... v n är linjärt beroende är detsamma som att det finns skalärer λ 1, λ 2...λ n, av vilka minst en är skild från noll sådana att λ 1 v 1 +λ 2 v 2 +...+λ n v n = 0 Tre eller fler vektorer i planet är alltid linjärt beroende. Fyra eller fler vektorer i rummet är alltid linjärt beroende. Två vektorer i planet kan vara linjärt oberoende. Två eller tre vektorer i rummet kan vara linjärt oberoende Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Exempel Figur 6: Exempel 1. a) Uttryck g med hjälp av a och b b) Uttryck f med hjälp av b och c c) Uttryck e med hjälp av c och d d) Uttryck e med hjälp av f, g och h a) g = a+ b c) e = d c b) f = b c d) e = f g+ h Figur 7: Exempel 2. En kraft F har storleken 60 N. En annan kraft G har storleken 75 N. Vinkeln mellan krafterna är 45. Bestäm resultanten till storlek och riktning. Vi ska alltså ta reda på längden hos OC. Då vi känner sträckorna ON och NC kan vi enkelt bestämma OC med hjälp av Pythagoras sats. Först konstaterar vi att CN = AC sin45. Eftersom AC = 75 får vi CN = 75 1 2. På liknande sätt kan vi så bestämma AN = AC cos45 = 75 1 2. Till sist OC 2 = OC = OC 124.86 ( ) 75 2 ( + 60+ 75 ) 2 2 2 ( 5625 + 60+ 75 ) 2 2 2 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Exempel. Bestäm avståndet d, mellan punkterna P 1 = (1,0,5) och P 2 = (, 2,6). d((1,0,5),(, 2,6)) = ( 1) 2 +( 2 0) 2 +(6 5) 2 = 4+4+1 = Exempel 4. Bestäm den normerade vektorn r till v = (2,, 6). Vi startar med att bestämma v v = 2 2 + 2 +( 6) 2 = 49 = 7 r blir då r = ( 2 7, ) 7, 6 7 Exempel 5. Är vektorerna v = (,9, 21) och w = ( 4, 12,28) parallella? Det vill säga finns det ett reellt tal t sådant attt v = w? Vi får ett överbestämt ekvationssystem (vi kommer att tala mer om dem längre fram), tre ekvationer med endast en obekant. t = 4 9t = 12 21t = 28 För t = 4 gäller likheten för alla tre ekvationerna. Vektorerna är visserligen parallella men riktade åt olika håll! Exempel 6. Är u = (1, 2,), v = (5,6, 1) och w = (,2,1) linjärt oberoende? Om vi lyckas hitta en uppstättning av λ u, λ v, λ w där alla inte är noll, så att λ u u+λ v v+λ w w = 0 så är vektorerna linjärt beroende. Efter instättning får vi (λ u +5λ v +λ w, 2λ u +6λ v +2λ w,λ u λ v +λ w ) = (0,0,0) vilket leder till ekvationssystemet: λ u +5λ v +λ w = 0 2λ u +6λ v +2λ w = 0 λ u λ v +λ w = 0 En av många lösningar till ekvationssystemet är λ u = 1, λ v = 1, λ w = 2, vilket alltså betyder att vektorerna är linjärt beroende Håkan Strömberg 7 KTH Syd
Utför polynomdivisionen x 2x+1 x 1 Vi ställer upp för en division enligt skolboken x x x 2 x 2 x 2 2x +1 : x 1 = x 2 +x 1 2x x x +1 x +1 0 Detta kan vara hämtat från en realistisk situation. Man har lyckats gissa sig till en rot x 1 = 1. Genom att dividera ekvationen med (x 1) får vi en andragradsekvation x 2 + x 1 = 0 som vi sedan kan lösa. 1 Addera vektorerna v = (, 5,6), w = ( 2,7, 8) och u = ( 1, 2,2) 2 Vi har en riktad sträcka som startar i P 1 = (1,,5) och slutar i P 2 = (1,1,1). Vi söker representanten för motsvarande vektor v, som har sin startpunkt i origo. Placera en kub, med kantlängden 1, med ett hörn i origo och alla kanter parallella med koordinataxlarna. I vilka koordinater kan det hörn som ligger längst från origo befinna sig? Hur lång är kubens, så kallade, rymddiagonal? 4 Välj a så att vektorerna v = (a, 2, 1) och w = (5, 10, 5a) blir parallella. 5 Är vektorn v = (2,6,4) dubbelt så lång som u = (1,,2)? Läxa 1. 4.1 a) Läxa 2. 4.1 b) a+ b = (1,1,0) +(2,2,1) = (,,1) a+ b 2 +2 c = (1,1,0) + 1 (2,2,1)+2(0,1,1) = (1,1,0) + 2 ( 1,1, 1 ) ( +(0,2,2) = 2,4, 5 ) 2 2 Läxa. 4.1 c) Läxa 4. 4.1 d) Läxa 5. 4.1 e) b 2 a = (2,2,1) 2(1,1,0) = (0,0,1) a = b = 1 2 +1 2 +0 2 = 2 2 2 +2 2 +1 2 = 9 = Håkan Strömberg 8 KTH Syd
Läxa 6. 4.1 f) a b = (1,1,0) (2,2,1) = ( 1, 1, 1) = Läxa 7. 4.1 g) Läxa 8. 4.1 h) ^a = a a = 1 ( ) 1 1 (1,1,0) = 2,,0 2 2 ^b = b b = 1 ( 2 (2,2,1) =, 2, 1 ) ( 1) 2 +( 1) 2 +( 1) 2 = Läxa 9. 4.2. Tre vektorer i, j och k all med längden 1 och sinsemellan vinkelräta mot varandra (kommer vi att kunna bevisa senare) kan med fördela användas för att beskriva vilken vektor eller punkt som helst i rummet. Då i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) får vi punkternas koordinater till P = (1,0,0) +(0,1,0) 7(0,0,1) = (1,, 7) Q = 5(1,0,0) 2(0,1,0) +4(0,0,1) = (5, 2,4) Vektorn PQ = (5, 2,4) (1,,7) = (4, 5,11) och dess längd PQ = 4 2 +( 5) 2 +11 2 = 9 2 Den normerade vektorn med samma riktning som PQ ( ) 4 9 2, 5 9 2, 11 9 2 Läxa 10. 4.. Det tre enhetsvektorerna är i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1). Med dess hjälp kan vi närmare bestämma F 1 = i 2 j+5 k F 2 = i+7 j k F = 5 i j+4 k F 4 = 2 j+ k = (, 2,5) = ( 1,7, ) = (5, 1,4) = (0, 2,) Vi adderar de fyra vektorerna för att få reda på resultanten och kan sedan ta reda på hur långt partikeln har förflyttat sig. F = F 1 + F 2 + F + F 4 = (7,2,9) F = F 1 + F 2 + F + F 4 = 7 2 +2 2 +9 2 = 14 med beteckningen ^F menar vi den normerade vektorn (har längden 1) med samma riktning som F. ( ) 7 2 9 ^F =,, 14 14 14 Läxa 11. 4.4 a = i 2 j+ k = (, 2,1) b = 2 i+5 j+4 k = ( 2,5,4) c = 4 i+ j 2 k = ( 4,1, 2) d = 2 i j+4 k = (2, 1,4) Håkan Strömberg 9 KTH Syd
α 2β 4γ = 2 2α+5β+γ = 1 α+4β 2γ = 4 Detta är ett ekvationssystem med tre obekanta jobbigt att lösa. Vi kommer senare i kursen att berätta mer om ekvationssystem. Nu tar vi Maple till hjälp. solve({-2*a+5*b+c=-1, a+4*b-2*c=4, *a-2*b-4*c=2}) ger svaret Läxa 12. 4.5 α = 4,β = 1,γ = 2 a = 2 i 4 j k = (2, 4, 1) b = i+2 j 2 k = (,2, 2) c = 5 i 2 j k = (5, 2, ) Vi testar och ser att a+ b = c Vi beräknar de tre vektorerna längder (2, 4, 1)+(,2, 2) = (5, 2, ) a = 2 2 +( 4) 2 +( 1) 2 = 21 b = 2 +2 2 +( 2) 2 = 17 c = 5 2 +( 2) 2 +( ) 2 = 8 Pythagoras sats ger oss a 2 + b 2 = c 2, som leder till 21+17 = 8 och vi har bevisat att de tre vektorerna bildar en rätvinklig triangel. Läxa 1. 4.7 Vi bildar två vektorer P(1,,4) Q(2,2,1) R(,7, 2) PQ = (2,2,1) (1,,4) = (1,5, ) QR = (,7, 2) (2,2,1) = (1,5, ) PQ = QR vilket betyder att de tre punkterna ligger på en linje och att avstånden är lika. PQ : QR = 1 Håkan Strömberg 10 KTH Syd
För att få tillgång till de funktioner som tillhör den linjära algebran öppnar man ett bibliotek genom with(linearalgebra); Här får man samtidigt en lista över samtliga funktioner som ingår i biblioteket. Avslutar man med kolon (:) slipper man denna lista. Nu kan vi definiera till exempel vektorer genom a:=<1,-2,>; b:=<2,,-4>; Vill man addera två vektorer skriver man bara c:=a+b; Vi kan nu tar reda på längden hos c genom Norm(a,2); 2:an här är viktig för att ange att det handlar om den Euklidiska normen, som vi alltid kommer att använda. Vi ska så lösa läxa 12 med hjälp av Maple i:=<1, 0, 0>; j:=<0, 1, 0>; k:=<0, 0, 1>; a:=2*i-4*j-k; b:=*i+2*j-2*k; c:=5*i-2*j-*k; a+b; c; Norm(a, 2)^2+Norm(b, 2)^2; Norm(c, 2)^2; 8 8 Vi definierar de tre enhetsvektorerna, som går direkt in i uttrycken för att bestämma a, b och c. Nu kan vi bestämma a+ b och jämföra resultatet med c. Det stämmer! Återstår att använda Pythagoras sats, där c är hypotenusa. Eftersom summan kateterna i kvadrat är lika med hypotenusan i kvadrat så stämmer det hela. Håkan Strömberg 11 KTH Syd
Svar till: De fyra korten Vi översätter de fem satserna till lika många pusselbitar Valörbitarna kan endast sättas samman på ett sätt. Färgbitarna likaså. När vi sedan passar in färgkorten över raden av valörkort, finns det även här endast en möjlighet och vi har svaret: hjärterdam, hjärterkung, spaderkung och spaderdam. Dagens problem: Finn skeppen 4 2 4 4 0 2 1 6 1 4 2 1 1 2 I figuren ovan till vänster ser vi ett hav bestående av 10 10 rutor. I havet finns ett antal fyrar markerade med cirklar. Inuti cirklarna finns ett tal, som berättar hur många skepp man kan se från fyren. Alla dessa skepp finns i samma rad eller kolumn som fyren. De åtta rutor som maximalt kan omge ett skepp kan aldrig innehålla vare sig ett annat skepp eller en fyr. Alla skepp syns från åtminstone en fyr. Var finns skeppen? Samma fråga för havet till höger i figuren. Håkan Strömberg 12 KTH Syd
1 Det är riktigt, den resulterande vektorn är (0,0,0) 2 v = (1 1,1,1 5) = (0, 2, 4) Det finns8möjligheter :(1,1,1), (1,1, 1), (1, 1,1), (1, 1, 1), ( 1,1,1), ( 1,1, 1), ( 1, 1,1), ( 1, 1, 1). Rymddiagonalen är ( 1) 2 +1 2 +( 1) 2 =, förstås oavsett vilken av de tre punkterna för det motsatta hörnet man väljer. 4 Som sagt, det är frågan om huvudräkning, och det bör vara enkelt att se att a = 1 5 v = 2 2 +6 2 +4 2 = 48 och u = 1 2 + 2 +2 2 = 14, då vi ser att Så svaret är nej 2 14 48 Håkan Strömberg 1 KTH Syd