När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst.

Relevanta dokument
När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst.

1. Vad är optimering?

Olinjärt med Whats Best!

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

Optimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.

Optimering med bivillkor

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08

Optimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper

Optimering med bivillkor

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Optimering Linjär programmering

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

4. Olinjärt med Whats Best!

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl

Tentamen: Lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

MICROECONOMICS Mid Sweden University, Sundsvall (Lecture 2) Peter Lohmander &

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Funktionsstudier med derivata

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

EXTREMVÄRDESPROBLEM MED BIVILLKOR. LAGRANGES MULTIPLIKATORMETOD. Problem. Bestäm lokala (eller globala) extremvärden till

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

Tentan , lösningar

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

1 Ickelinjär optimering under bivillkor

5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Provtentamen i Matematik 2, 5B1116, för B,E,I,IT,M,Media och T, ht 2001

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

MA2001 Envariabelanalys

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht Block 5, översikt

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

Campus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)

De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Sätt t = (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1). Då är f(x, y) = log(t + 1) = t 1 2 t t3 + O(t 4 ) 1 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 3

Lösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t.

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 2

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

MMA127 Differential och integralkalkyl II

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

MMA127 Differential och integralkalkyl II

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

Extrempunkt. Polyeder

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.

5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Optimalitetsvillkor för problem med linjära bivillkor.

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

Laboration 1: Optimalt sparande

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Lösning till kontrollskrivning 1A

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Transkript:

Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst. Men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst. När det gäller solfångare kan det vara naturligt att man vill maximera verkningsgraden, att man fångar upp så många W/m som möjligt. en optimeringen är vettig om det är så att kostnaden för solstrålarna är det dyraste i systemet! Bättre att optimera uteffekt eller nyttiga kwh/år i förhållande till investeringskostnaden. Observera att det är oftast en kvot man vill optimera: Något nyttigt En nackdel För motorn: För solfångarsystemet: Axeleffekt Bränsleförbrukning Nyttig värme Investeringskostnad Ofta är det lätt att hitta en bra täljare, men tyvärr är det inte lika lätt att hitta den rätta nämnaren. I vissa fall beror det på att det finns flera nackdelar. Maximerar man verkningsgraden för en motor, blir den kanske tyngre, dyrare, svagare etc. Optimering ur matematiskt perspektiv Ett optimeringsproblem består av: En målfunktion, f(x), vars maximum, eller minimum ska sökas. En eller flera x-variabler (beslutsvariabler som man styr över). Eventuellt också ett antal bivillkor som ska uppfyllas (likheter och/eller olikheter). et vill säga begränsningar eller samband mellan x-variablerna. Saknas den sista punkten är det ett maximeringsproblem eller ett minimeringsproblem. e matematiska modeller av verkligheten vi ofta använder har normalt ett antal begränsningar som vi kanske inte tänker på. En negativ isoleringstjocklek? ivision med noll? Etc.. H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energisystem\lagrange\föreläsning Lagrange.doc --5

Optimering analytiska metoder En funktions maximum kan finnas dels inom målfunktionens domän, men också längs dess rand. Vi måste undersöka målfunktionens värde både mellan begränsningarna och vid dessa. En x-variabel: max yf(x) Om vi har ett problem med en x-variabel och inga bivillkor uppfyller kritiska punkter: dy dx I kritiska punkter har målfunktionen ett lokalt maximum, minimum eller en platå. Funktionens andraderivata kan oftast avgöra om punkten är ett maximum, eller minimum. Observera att maximum även kan fås när x och x-. Funktionens maximum är det största funktionsvärdet vid de kritiska punkterna samt f( ) och f(- ). För funktioner som inte är kontinuerliga eller inte har kontinuerlig derivata kan maximum även inträffa vid brytpunkterna för funktionen och dess derivata. max yf(x), a x b Undersök funktionens värde för de kritiska punkter som uppfyller bivillkoret, samt f(a) och f(b). en största är lösningen. Vid design av vindkraftverk finns ett centralt samband för effektfaktorn Utvunnen energi C 4a( a) P där a beskriver hur mycket av den ostörda vindens Vindens energi hastighet som bromsas vid vindturbinen. (<a<,5).7.5.6 Effektkoefficient.5.4.. Effektkoefficient.5.....4.5.6.7.9 Axiell induktionsfaktor.5.5 Axiell induktionsfaktor H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energisystem\lagrange\föreläsning Lagrange.doc --5

Flera x-variabler Utan bivillkor Exempel: Karta med höjdkurvor Om vi har en funktion som beror på flera x-variabler, hittas kritiska punkter när funktionens gradient är nollvektorn, dvs när samtliga partiella förstaderivator är noll. ( x, x, x,, ) max U, Kritsiska punkter när U dvs,,, x x Observera att funktionens maximum även kan uppnås vid någon kombination av stora värden på ett antal av x-variablerna, eller när diskontinuiteter för funktionen eller dess gradient. Med ett likhetsbivillkor Om vi har ett maximeringsproblem med ett bivillkor enligt: ( x, x, x,, ) då ( x, x, x,,, ) max U, (Umålfunktion, villkorsfunktion) Kan detta lösas analytisk med Lagrange Multiplikatormetod. Kritiska punkter för ett sådant system är de kombinationer av x-variabler som uppfyller: U λ är λ är Lagrange multiplikator, även kallad känslighetskoefficienten eftersom: λ vid optimum. Metoden är analytiskt snygg så här långt, men att använda den är tyvärr ganska jobbigt. En geometrisk tolkning: kan tolkas som en vektor som i varje punkt, där uppfylls, är vinkelrät mot linjen. U är en vektor som i varje punkt är vinkelrät mot höjdkurvan U k. et innebär att U λ uppfylls när linjen är parallell med en höjdkurva U k. Tänker man sig att man i det läget följer kurvan så kan man inse att vid punkter när de är helt parallella så har U ett maximum eller minimum. H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energisystem\lagrange\föreläsning Lagrange.doc --5

Exempel P8.7: Konvektionskoefficienten, h, ges av: där är diametern på en sfärisk reaktor..7. h +.55θ () är vi har θ Ts Ta () där T s är reaktorns yttemperatur och T a är omgivningstemperaturen. Värmeförlusten ges av q ha T s T ) () där A π är ytan på den sfäriska reaktorn. ( a Pga hållfasthetskrav har vi villkoret: θ 75 (4) Bestäm de och som ger den minsta värmeförlusten mha Lagrange multiplikatormetod. Målfunktionen, U, som funktion av och är U haθ +.7..7 ( +.55θ ) π θ π θ.55πθ med villkoret θ 75 (6) (5) Langrange multipliers. U λ ger (7) och (8) (7) -(8): U.7 λ πθ + πθ. 4.44 λθ (7) U.7. λ π +.6985πθ λ θ θ (8) θ 75 (9) 4 πθ +.44πθ.7 πθ.7. 8 (.6985π.44π ) θ πθ.6985πθ.7 λθ λθ () θ 75.7. 47 : 5π (.6985π.44π ) 75 () (.6985π.44π ).7.47 75 () 5π (.6985.44) 5 75.7 /.47 θ 75 75/.5495 6.5 C.7 U π θ +.55πθ 4πθ +.44πθ λ θ.7..5495m 89.9W.8 W/m C Känslighetskoefficienten, λ, anger hur en förändring av talet 75 påverkar värmeförlusterna hos reaktorn. Heat transfer 8 6 4....4.5.6.7.9 iameter H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energisystem\lagrange\föreläsning Lagrange.doc --5 4

5 5 5 5..4.6 U(,) med linjen (,) Målfunktionen, U, som funktion av och är U haθ +.7..7 ( +.55θ ) π θ π θ.55πθ med villkoret θ 75 H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energisystem\lagrange\föreläsning Lagrange.doc --5 5

Med flera likhetsbivillkor Antag att vi har ett maximeringsproblem med flera likhetsbivillkor enligt: U ( x, x, x,,, ) ( x, x, x,,, ) ( x x, x,,, ) max, :,,, ( x x, x ) m, Även detta kan analytisk lösas med Lagrange Multiplikatormetod, vi har då: U m i λ i i för i,,..,m i Vi får alltså n+m ekvationer med n x-variabler och m multiplikatorer. Med olikhetsbivillkor När vi har ett maximeringsproblem med bivillkor enligt: U ( x, x, x,,, ) ( x, x, x,,, ) ( x x, x,,, ) max, :,,, ( x x, x ) m, Karta med flera raka gränser Kan optimum i finnas inne i volymen, på någon av begränsningsytorna, begränsningskanter eller hörn. et vill säga alla kombinationer där olikheterna ovan ersätts med likheter. Arbetsgången blir alltså följande: Först söker vi reda på alla kritsiska punkter för målfunktionen, U, och sorterar bort de som inte uppfyller bivillkoren. Sedan tar vi och ersätter olikheterna med likheter och testar alla kombinationer av bivillkor. e eventuella punkter som inte uppfyller något av bivillkoren förkastas givetvis. Problemets värde är det största värdet man hittar när man beräknar målfunktionen, U, vid alla tillåtna kritiska punkter. Vi måste alltså lösa m stycken Lagrange-problem med varierande antal likhetsbivillkor! Har vi fyra olikheter, så innebär det 6 stycken Lagrange problem! H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energisystem\lagrange\föreläsning Lagrange.doc --5 6