Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst. Men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst. När det gäller solfångare kan det vara naturligt att man vill maximera verkningsgraden, att man fångar upp så många W/m som möjligt. en optimeringen är vettig om det är så att kostnaden för solstrålarna är det dyraste i systemet! Bättre att optimera uteffekt eller nyttiga kwh/år i förhållande till investeringskostnaden. Observera att det är oftast en kvot man vill optimera: Något nyttigt En nackdel För motorn: För solfångarsystemet: Axeleffekt Bränsleförbrukning Nyttig värme Investeringskostnad Ofta är det lätt att hitta en bra täljare, men tyvärr är det inte lika lätt att hitta den rätta nämnaren. I vissa fall beror det på att det finns flera nackdelar. Maximerar man verkningsgraden för en motor, blir den kanske tyngre, dyrare, svagare etc. Optimering ur matematiskt perspektiv Ett optimeringsproblem består av: En målfunktion, f(x), vars maximum, eller minimum ska sökas. En eller flera x-variabler (beslutsvariabler som man styr över). Eventuellt också ett antal bivillkor som ska uppfyllas (likheter och/eller olikheter). et vill säga begränsningar eller samband mellan x-variablerna. Saknas den sista punkten är det ett maximeringsproblem eller ett minimeringsproblem. e matematiska modeller av verkligheten vi ofta använder har normalt ett antal begränsningar som vi kanske inte tänker på. En negativ isoleringstjocklek? ivision med noll? Etc.. H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energisystem\lagrange\föreläsning Lagrange.doc --5
Optimering analytiska metoder En funktions maximum kan finnas dels inom målfunktionens domän, men också längs dess rand. Vi måste undersöka målfunktionens värde både mellan begränsningarna och vid dessa. En x-variabel: max yf(x) Om vi har ett problem med en x-variabel och inga bivillkor uppfyller kritiska punkter: dy dx I kritiska punkter har målfunktionen ett lokalt maximum, minimum eller en platå. Funktionens andraderivata kan oftast avgöra om punkten är ett maximum, eller minimum. Observera att maximum även kan fås när x och x-. Funktionens maximum är det största funktionsvärdet vid de kritiska punkterna samt f( ) och f(- ). För funktioner som inte är kontinuerliga eller inte har kontinuerlig derivata kan maximum även inträffa vid brytpunkterna för funktionen och dess derivata. max yf(x), a x b Undersök funktionens värde för de kritiska punkter som uppfyller bivillkoret, samt f(a) och f(b). en största är lösningen. Vid design av vindkraftverk finns ett centralt samband för effektfaktorn Utvunnen energi C 4a( a) P där a beskriver hur mycket av den ostörda vindens Vindens energi hastighet som bromsas vid vindturbinen. (<a<,5).7.5.6 Effektkoefficient.5.4.. Effektkoefficient.5.....4.5.6.7.9 Axiell induktionsfaktor.5.5 Axiell induktionsfaktor H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energisystem\lagrange\föreläsning Lagrange.doc --5
Flera x-variabler Utan bivillkor Exempel: Karta med höjdkurvor Om vi har en funktion som beror på flera x-variabler, hittas kritiska punkter när funktionens gradient är nollvektorn, dvs när samtliga partiella förstaderivator är noll. ( x, x, x,, ) max U, Kritsiska punkter när U dvs,,, x x Observera att funktionens maximum även kan uppnås vid någon kombination av stora värden på ett antal av x-variablerna, eller när diskontinuiteter för funktionen eller dess gradient. Med ett likhetsbivillkor Om vi har ett maximeringsproblem med ett bivillkor enligt: ( x, x, x,, ) då ( x, x, x,,, ) max U, (Umålfunktion, villkorsfunktion) Kan detta lösas analytisk med Lagrange Multiplikatormetod. Kritiska punkter för ett sådant system är de kombinationer av x-variabler som uppfyller: U λ är λ är Lagrange multiplikator, även kallad känslighetskoefficienten eftersom: λ vid optimum. Metoden är analytiskt snygg så här långt, men att använda den är tyvärr ganska jobbigt. En geometrisk tolkning: kan tolkas som en vektor som i varje punkt, där uppfylls, är vinkelrät mot linjen. U är en vektor som i varje punkt är vinkelrät mot höjdkurvan U k. et innebär att U λ uppfylls när linjen är parallell med en höjdkurva U k. Tänker man sig att man i det läget följer kurvan så kan man inse att vid punkter när de är helt parallella så har U ett maximum eller minimum. H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energisystem\lagrange\föreläsning Lagrange.doc --5
Exempel P8.7: Konvektionskoefficienten, h, ges av: där är diametern på en sfärisk reaktor..7. h +.55θ () är vi har θ Ts Ta () där T s är reaktorns yttemperatur och T a är omgivningstemperaturen. Värmeförlusten ges av q ha T s T ) () där A π är ytan på den sfäriska reaktorn. ( a Pga hållfasthetskrav har vi villkoret: θ 75 (4) Bestäm de och som ger den minsta värmeförlusten mha Lagrange multiplikatormetod. Målfunktionen, U, som funktion av och är U haθ +.7..7 ( +.55θ ) π θ π θ.55πθ med villkoret θ 75 (6) (5) Langrange multipliers. U λ ger (7) och (8) (7) -(8): U.7 λ πθ + πθ. 4.44 λθ (7) U.7. λ π +.6985πθ λ θ θ (8) θ 75 (9) 4 πθ +.44πθ.7 πθ.7. 8 (.6985π.44π ) θ πθ.6985πθ.7 λθ λθ () θ 75.7. 47 : 5π (.6985π.44π ) 75 () (.6985π.44π ).7.47 75 () 5π (.6985.44) 5 75.7 /.47 θ 75 75/.5495 6.5 C.7 U π θ +.55πθ 4πθ +.44πθ λ θ.7..5495m 89.9W.8 W/m C Känslighetskoefficienten, λ, anger hur en förändring av talet 75 påverkar värmeförlusterna hos reaktorn. Heat transfer 8 6 4....4.5.6.7.9 iameter H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energisystem\lagrange\föreläsning Lagrange.doc --5 4
5 5 5 5..4.6 U(,) med linjen (,) Målfunktionen, U, som funktion av och är U haθ +.7..7 ( +.55θ ) π θ π θ.55πθ med villkoret θ 75 H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energisystem\lagrange\föreläsning Lagrange.doc --5 5
Med flera likhetsbivillkor Antag att vi har ett maximeringsproblem med flera likhetsbivillkor enligt: U ( x, x, x,,, ) ( x, x, x,,, ) ( x x, x,,, ) max, :,,, ( x x, x ) m, Även detta kan analytisk lösas med Lagrange Multiplikatormetod, vi har då: U m i λ i i för i,,..,m i Vi får alltså n+m ekvationer med n x-variabler och m multiplikatorer. Med olikhetsbivillkor När vi har ett maximeringsproblem med bivillkor enligt: U ( x, x, x,,, ) ( x, x, x,,, ) ( x x, x,,, ) max, :,,, ( x x, x ) m, Karta med flera raka gränser Kan optimum i finnas inne i volymen, på någon av begränsningsytorna, begränsningskanter eller hörn. et vill säga alla kombinationer där olikheterna ovan ersätts med likheter. Arbetsgången blir alltså följande: Först söker vi reda på alla kritsiska punkter för målfunktionen, U, och sorterar bort de som inte uppfyller bivillkoren. Sedan tar vi och ersätter olikheterna med likheter och testar alla kombinationer av bivillkor. e eventuella punkter som inte uppfyller något av bivillkoren förkastas givetvis. Problemets värde är det största värdet man hittar när man beräknar målfunktionen, U, vid alla tillåtna kritiska punkter. Vi måste alltså lösa m stycken Lagrange-problem med varierande antal likhetsbivillkor! Har vi fyra olikheter, så innebär det 6 stycken Lagrange problem! H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energisystem\lagrange\föreläsning Lagrange.doc --5 6