Linköpings tekniska högskola, ISY, Fordonssystem Formelsamling Elektriska drivsystem TSFS04 Linköping 2018
Innehåll 1 Magnetiska Kretsar och Material 7 1.1 Storheter, enheter och konstanter................... 7 1.1.1 Storheter............................ 7 1.1.2 Konstanter........................... 8 1.2 Ekvationer och samband........................ 8 1.2.1 Amperes kretslag........................ 8 1.2.2 Flöde, ödestäthet och fältstyrka............... 8 1.2.3 Reluktans............................ 8 1.2.4 Magnetisk motsvarighet till Kcl och Kvl......... 8 1.2.5 Faradays lag, sammanlänkat öde och induktans...... 9 1.2.6 Sammanlänkat öde i kretsar med er spolar........ 9 1.2.7 Induktans och ömseinduktans för enkel magnetisk krets.. 10 1.2.8 Eektivvärde för sinusformat öde.............. 10 2 Transformatorn 11 2.1 Beteckningar och nomenklatur.................... 11 2.1.1 Exempel på beteckningar för eektivvärde, toppvärde och komplex representation.................... 11 2.1.2 Benämningar på transformatorns lindningar......... 11 2.2 Ekvationer och samband........................ 12 2.2.1 Transformator utan last.................... 12 2.2.2 Omsättning........................... 12 2.2.3 Ekvivalent impedans...................... 12 2.3 Transformatormodell.......................... 13 2.3.1 Approximativ transformatormodell............. 13 2.3.2 Impedans vid kortslutningsprov, sett från primärsidan... 13 2.3.3 Impedans för tomgångsprov, sett från primärsidan..... 13 2.3.4 Parametersättning....................... 14 2.3.5 Förlusteekter......................... 14 3
4 3 Elektromekaniska Energiöverföringsprinciper 15 3.1 Grundläggande ekvationer....................... 15 3.1.1 Moment............................. 15 3.1.2 Lorentz kraftlag........................ 15 3.2 Moment från energibetraktelse.................... 15 3.2.1 Kraft och moment från energi................ 15 3.2.2 Kraft och moment från komplementenergi......... 16 3.2.3 Energi och komplementenergi för system med två spolar.. 17 4 Grundläggande Principer för Elmaskiner 19 4.1 Elektriska och Mekaniska vinkelstorheter............... 19 4.2 Mmk och magnetfält för cylindrisk rotor............... 19 4.3 Spännings- och ström-samband.................... 21 4.3.1 Inducerad spänning vid ström i fältlindning......... 21 4.3.2 Spänningar över stator och rotor............... 21 4.4 Momentsamband............................ 22 4.4.1 Cylindrisk rotor (non-saliant), kretsresonemang....... 22 4.4.2 Cylindrisk rotor (non-saliant), fältresonemang........ 22 5 Likströmsmotorer 23 5.1 Mmk och magnetfält.......................... 23 5.2 Modell.................................. 23 5.2.1 Spännings- och moment-samband för likströmsmotorn... 23 5.2.2 Eektsamband......................... 25 5.2.3 Inverkan av stora ankarströmmar.............. 25 5.2.4 Likströmsmotorer med permanentmagnet.......... 26 5.3 Varvtalsstyrning av dc-motorer.................... 26 5.4 Eektivitet............................... 27 6 Synkronmaskiner med Cylindrisk Rotor 29 6.1 Mmk och magnetfält.......................... 29 6.2 Modell.................................. 29 6.2.1 Samband mellan moment, öden och spänningar...... 29 6.2.2 Ekvivalent krets för synkronmotor.............. 30 6.2.3 Eektvinkelkaraktäristik vid jämvikt............. 30 6.2.4 Driftskaraktäristik vid jämvikt................ 30 6.2.5 Karaktäristik för öppen och kortsluten krets......... 31 6.3 Varvtalsstyrning av synkronmotorn.................. 31 6.4 Eektivitet............................... 31 7 Asynkronmaskinen / Induktionsmaskinen 33 7.1 Modell.................................. 33 7.1.1 Frekvenssamband........................ 33 7.1.2 Ekvivalent kretsschema.................... 33 7.1.3 Momentsamband........................ 34 7.1.4 Arbetsgång för bestämning av modellparametrar...... 34 7.2 Momentsamband vid konstant V/Hz reglering............ 35
5 7.3 Eektivitet............................... 35 A Matematiska Samband 37 A.1 Trigonometriska relationer....................... 37
Kapitel 1 Magnetiska Kretsar och Material 1.1 Storheter, enheter och konstanter 1.1.1 Storheter Storhet Beteckning Enhet (ex.) Magnetiskt öde φ [Wb] eller [Vs] Magnetisk ödestäthet B [Wb/m 2 ] eller [T] Magnetisk fältstyrka H [A/m] Reluktans R [A-varv / Wb] Resistans R [Ω] Induktans L [H], [Wb/A], [Ωs] eller [Vs/A] Reaktans X [Ω] Impedans Z [Ω] Sammanlänkat öde λ [Wb-varv] Magnetomotorisk kraft F [A-varv] Strömtäthet J [A/m 2 ] Alternativ för engelska storhetsbeteckningar Magnetisk ödestäthet, B T.ex. magnetic ux density, magnetic induction och magnetic eld. Magnetisk fältstyrka, H T.ex. magnetic eld intensity, magnetic eld strength, auxiliary magnetic eld och magnetizing eld. 7
8 1.1.2 Konstanter Storhet Beteckning Värde Magnetisk vakuum permeabilitet µ 0 4π 10 7 Relativ magnetisk permeabilitet µ r - Magnetisk permeabilitet µ - Järnkärnans tvärsnittsarea A c - Järnkärnans medellängd l c - Luftgapslängd g - Lindningsvarv N - 1.2 Ekvationer och samband 1.2.1 Amperes kretslag C Hdl = Jdā S }{{} F (1.1) där Hdl ofta förenklas till C i H il i medan den magnetomotoriska kraften F ofta förenklas till F = Ni vilket ger H i l i = F = Ni (1.5, 1.21) 1.2.2 Flöde, ödestäthet och fältstyrka vilket ofta förenklas till φ = BA 1.2.3 Reluktans i φ = S Bdā (1.3) B = µh = µ r µ 0 H (1.7) För en förenklad magnetisk krets med olika segment i olika material gäller F = Ni = i H i l i = φ i l i A i µ i (1.21) och vi denierar reluktansen R för respektive segment i enligt R i = l i A i µ i (1.13, 1.14) 1.2.4 Magnetisk motsvarighet till Kcl och Kvl Kirchhos ström- och spänningslagar för elektriska kretsar kan översättas till en magnetisk motsvarighet enligt nedan (Tänk: öde φ ström I, samt magnetomotorisk kraft F spänning U)
9 Kcl Totala ödet in i en punkt är alltid 0. φ i = 0 (1.24) Kvl Summan av magnetomotorisk kraft i en sluten slinga är alltid 0. i F i = 0 (1.21) i 1.2.5 Faradays lag, sammanlänkat öde och induktans Ē ds = δ B da C δt (1.25) S där C Ē ds ofta förenklas till spänningen e och δ B δt da ofta förenklas S till N dϕ dt med ϕ som tidsvarierande öde. I sambandet som följer så denieras sammanlänkat öde, λ, så att vi får e = N dϕ dt = dλ dt (1.26) där alltså λ = Nϕ (1.27) denierar sammanlänkat öde. För en magnetisk krets uppbyggd av linjära material eller med dominerande luftgap denieras sedan induktans L och reaktans X enligt L = λ i och X = wl (1.28) där w är strömmens frekvens i radianer per sekund. 1.2.6 Sammanlänkat öde i kretsar med er spolar Sammanlänkat öde för spole k givet ett magnetiskt öde genom grenen som spolen omsluter skrivs λ k = N k φ k där alla källor till ödet φ k räknas med. Speciellt har vi för ett enkelt system med två spolar på en slinga med dominerande luftgap λ 1 = N 1 φ = N1 2 µ 0 A c µ 0 A c i 1 + N 1 N 2 i 2 = L 11 i 1 + L 12 i 2 (1.33, 1.34) g g λ 2 = N 2 φ = N 2 2 µ 0 A c g µ 0 A c i 2 + N 2 N 1 i 1 = L 22 i 2 + L 21 i 1 (1.37, 1.38) g
10 1.2.7 Induktans och ömseinduktans för enkel magnetisk krets För en magnetisk krets med en spole och dominerande luftgap fås L = N 2 µ 0 A g g (1.30) För en enkel magnetisk krets med två spolar på en slinga med dominerande luftgap fås L 11 = N 2 1 µ 0 A g g L 12 = N 1 N 2 µ 0 A g g (1.35) (1.36) L 21 = L 12 L 22 = N 2 2 µ 0 A g g (1.39) 1.2.8 Eektivvärde för sinusformat öde ϕ = φ peak sin ωt e rms = 1 2 ωnφ peak = 2πfNφ peak (1.47, 1.51)
Kapitel 2 Transformatorn 2.1 Beteckningar och nomenklatur 2.1.1 Exempel på beteckningar för eektivvärde, toppvärde och komplex representation Im För sinusformad spänning gäller U peak = 2U rms Û = Ue jϕ = U(cos(ϕ) + isin(ϕ)) U rms Oftast gäller U = U rms ϕ Re Notera att beteckningarna används för att förtydliga om det rör sig om vektorer eller absolutbelopp för ström och spänning medans det för kretselementen, X, R och Z = R+jX, är underförstått att Z alltid representerar den komplexa vektorn. 2.1.2 Benämningar på transformatorns lindningar Man skiljer på primärlindning och sekundärlindning genom att primärlindningen tar emot eekt från källan medan sekundärlindningen avger eekt till lasten. Vidare använder man ibland hög- och låg-spänningslindning eller analogt upplindning och nedlindning. 11
12 2.2 Ekvationer och samband 2.2.1 Transformator utan last Antag att strömmen i genom primärspolen ger ett sinusformat öde ϕ = φ max sin(ωt) då blir spänningen på primärsidan och på sekundärsidan e 1 = dλ 1 dt = N 1 dϕ dt = N 1ωφ max cos(ωt) (2.1, 2.4) e 2 = dλ 2 dϕ = N 2 (2.9) dt dt För en spänning med eektivvärde E 1 på primärsidan och sinusformat öde gäller att φ max = E 1 2 N 1 ω = E 1 (2.6) 2πfN1 2.2.2 Omsättning Omsättningen eller turns ratio, t.ex. här betecknad k oms, kopplar spänningar och strömmar på primär och sekundärsidan enligt V 1 V 2 = N 1 N 2 = k oms, i 1 i 2 = N 2 N 1 = k 1 oms (2.10, 2.13) 2.2.3 Ekvivalent impedans För en ideal transformator kan en last Z på sekundärsidan ersättas med en ekvivalent last på primärsidan eller tvärtom enligt Z 2 = ( N1 N 2 ) 2 Z 2 och Z 1 = ( N2 N 1 ) 2 Z 1 (2.19) där Z 1 härstammar från primärsidan och Z 2 från sekundärsidan. Konceptet kan användas för att helt eliminera en ideal transformator ur en krets genom att även ersätta spänning och strömmar enligt V 2 = N 1 N 2 V 2 (2.28) I 2 = N 2 N 1 I 2 (2.23)
13 2.3 Transformatormodell Transformatorn brukar modelleras enligt följande kretsschema R 1 X l1 R 2 X l 2 Î ϕ Î 1 Î 2 ˆV 1 ˆV R c X m 2 där alltså omsättningsförhållandet har används för att eliminera den ideala transformatorn ur kretsen. 2.3.1 Approximativ transformatormodell Beroende på driftstillstånd kan man approximera transformatormodellen med kretsar enligt X eq R eq R eq X eq ˆV 1 R c X m ˆV 2 ˆV 1 ˆV R c X m 2 där X eq = X l1 + X l 2 och R eq = R 1 + R 2. 2.3.2 Impedans vid kortslutningsprov, sett från primärsidan Eftersom Z ϕ = R c //X m är stor i förhållande till Z 2 = R 2 + jx l2 så gäller att Z sc = R 1 + jx l1 + Z ϕ(r 2 + jx l2 ) Z ϕ + R 2 + jx l2 R 1 + jx l1 + R 2 + jx l2 (2.29, 2.30) vilket alltså svarar mot kortslutning av den högra kretsen ovan. 2.3.3 Impedans för tomgångsprov, sett från primärsidan Eftersom Z ϕ = R c //X m är stor i förhållande till Z 1 så blir spänningsfallet över Z 1 litet så att eekten P oc i princip motsvarar järnförlusterna. Därför gäller att Z oc = R 1 + jx l1 + Z ϕ Z ϕ (2.34) vilket alltså svarar mot en öppen variant av den vänstra kretsen ovan.
14 2.3.4 Parametersättning Parametrarna för transformatormodellen bestäms enligt R c = V 2 oc P oc R eq = P sc I 2 sc (2.36) (2.32) Z eq = V sc (2.31) I sc X eq = Z eq 2 Req 2 = (V sc /I sc ) 2 (P sc /Isc) 2 2 (2.33) X m = ( Z ϕ 2 R 2 c ) 1/2 = ((V oc /I oc ) 2 (V 2 oc/p oc ) 2 ) 1/2 (2.37, 2.38) där Z ϕ är parallellkopplingen mellan R c och X m. I de fall där X l1, X l2, R 1 och R 2 behövs så brukar man anta R 1 = R 2 = 1 2 R eq samt X l1 = X l2 = 1 2 X eq men eftersom R 1 och R 2 är direkt mätbara så kan man även använda dessa värden direkt. 2.3.5 Förlusteekter P winding = R eq,h I 2 H, P core = V 2 H R c,h där alla storheter refererats till högspänningssidan.
Kapitel 3 Elektromekaniska Energiöverföringsprinciper 3.1 Grundläggande ekvationer 3.1.1 Moment Momentet kring en axel denieras som en vektor i axelns riktning. Positivt moment i axelns riktning för ett högersystem avser moment moturs enligt följande 3.1.2 Lorentz kraftlag vilket ofta förenklas enligt T = r F F = q(ē + v B) [N] (3.1) F v = J B [N/Volymsenhet] eller (3.6) F l = Ī B [N/m] 3.2 Moment från energibetraktelse 3.2.1 Kraft och moment från energi Eftersom λ och x är tillståndsvariabler kan vi skriva dw fld = W fld λ dλ + W fld x x dx λ eller (3.24) Energin kan därmed skrivas som dw fld = i dλ f fld dx (3.22) W fld (λ, x) = λ 0 15 i(λ, x)dλ (3.18)
16 För linjära system, tex system med dominerande luftgap gäller som vi vet att λ = L(x)i och vi kan därför skriva W fld (λ, x) = Uttryck för kraft och moment λ2 2L(x) = 1 2 L(x)i2 (3.19) För roterande system kan x och f fld ersättas med θ och T fld i uttrycken nedan. Antag att vi har ett uttryck för W fld. Vi kan då använda att f fld = W fld x och i = W fld λ λ (3.25, 3.26) x och för linjära system får vi då f fld = ( 1 λ 2 λ x 2 L(x)) = λ2 dl(x) 2L(x) 2 dx = i2 dl 2 dx (3.27, 3.28) Det är av yttersta vikt att x och λ hålls konstanta i respektive uträkning av de partiella derivatorna ovan. Detta är svårare än många tror och det kan därför nnas anledning att istället titta på komplementenergin. 3.2.2 Kraft och moment från komplementenergi Komplementenergi denieras och vi får därmed W fld = iλ W fld (3.34) dw fld = λ di + f fld dx (3.37) Komplementenergin beräknas analogt med energin enligt W fld(i, x) = vilket för linjära system förenklas till i 0 λ(i, x)di (3.41) W fld(i, x) = 1 2 L(x)i2 (= W fld ) (3.42) Uttryck för kraft och moment För roterande system kan x och f fld ersättas med θ och T fld i uttrycken nedan. På samma sätt som tidigare kan komplementenergins dierential uttryckas enligt dw fld = W fld i di + W fld x x dx (3.38) i
17 och vi kan identiera f fld = W fld x och λ = W fld i i (3.39, 3.40) x Det är av yttersta vikt att i och x hålls konstanta i resp uträkning av de partiella derivatorna ovan. Detta är dock betydligt enklare än att hålla x och λ konstanta i motsvarande uttryck för energi. 3.2.3 Energi och komplementenergi för system med två spolar För en enkel magnetisk krets med två spolar på en slinga fås följande energiuttryck dw fld (λ 1, λ 2, θ) = i 1 dλ 1 + i 2 dλ 2 T fld dθ vilket ofta integreras enligt (3.52) W fld (λ 1, λ 2, θ) = λ2 0 i 2 (λ 1 = 0, λ 2, θ = θ)dλ 2 + och motsvarande uttryck för komplementenergin blir λ1 0 i 1 (λ 1, λ 2 = λ 2, θ = θ)dλ 1 (3.56) dw fld(i 1, i 2, θ) = λ 1 di 1 + λ 2 di 2 + T fld dθ vilket ofta integreras enligt (3.65) W fld(i 1, i 2, θ) = i2 0 λ 2 (i 1 = 0, i 2, θ = θ)di 2 + i1 0 λ 1 (i 1, i 2 = i 2, θ = θ)di 1 (3.69) För linjära system, typiskt med dominerande luftgap, blir uttrycket för komplementenergi speciellt enkelt W fld(i 1, i 2, θ) = 1 2 L 11(θ)i 2 1 + L 12 (θ)i 1 i 2 + 1 2 L 22(θ)i 2 2 (3.70)
18
Kapitel 4 Grundläggande Principer för Elmaskiner 4.1 Elektriska och Mekaniska vinkelstorheter ( ) poles θ ae = θ a där θ a mäts i förhållande till statorn (4.1) 2 ( ) poles n f e = elektrisk frekvens med varvtal n i rpm (4.2) 2 60 ω e elektrisk vinkelhastighet ( ) 2 ω s = ω e synkron vinkelhastighet (4.42) poles n s = 120 poles f e [rpm] (4.44) ( ) poles ω me = ω m mekanisk rotorhastighet i elektriska [rad/s] 2 4.2 Mmk och magnetfält för cylindrisk rotor Grundton för luftgaps-mmk hos koncentrerade och distribuerade lindningar F ag1 = 4 ( ) Ni cos(θ a ) π 2 ( ) Ni (F ag1 ) peak = 4 π F ag1 = 4 π 2 ( ) ( ) kw N ph poles i a cos poles 2 θ a för koncentrerad lindning med två poler för distribuerad lindning med generellt poltal (4.4) (4.5) (4.6) Här är k w är lindningsfaktor, N ph är varv per fas och i a är strömmen i lindningen. 19
20 Luftgapsmagnetfält för utbredd lindning, cylindrisk rotor H ag1 = F ag1 g = = / tvåpolig / = 4 ( ) Ni cos(θ a ) π 2g = / generell / = 4 ( kw N ph π g poles ) i a cos ( ) poles 2 θ a (4.13-4.16) Mmk-våg för 1-fas sinusformad ström När i a = I a cos(ω e t) sätts in i (4.17) erhålles F ag1 = 4 ( ) ( ) kw N ph poles I a cos π poles 2 θ a cos(ω e t) = ( 1 = F max 2 cos (θ ae w e t) + 1 ) 2 cos (θ ae + w e t) = F + ag1 + F ag1 (4.19-4.21) F + ag1 = 1 2 F max cos (θ ae w e t) (4.22) F ag1 = 1 2 F max cos (θ ae + w e t) (4.23) Mmk-våg 3-fas sinusformad ström För 3-fas 120 med strömmarna i a = I m cos(ω e t), i b = I m cos(ω e t 120 ) och i c = I m cos(ω e t + 120 ) fås F a1 = 1 2 F max (cos (θ ae w e t) + cos (θ ae + w e t)) F b1 = 1 2 F max (cos (θ ae w e t) + cos (θ ae + w e t + 120 )) F c1 = 1 2 F max (cos (θ ae w e t) + cos (θ ae + w e t 120 )) vilket ger en roterande Mmk våg enligt F(θ ae, t) = 3 ( ) poles 2 F max cos 2 θ a w e t (4.41)
21 4.3 Spännings- och ström-samband 4.3.1 Inducerad spänning vid ström i fältlindning Magnetöde för cylindrisk rotor med ström i fältlindning ( poles B = H ag µ 0 = B peak cos 2 θ = 4 π µ 0 g ( kf N f poles ) I f cos Φ p = / ux per pole / = l = ) = ( ) poles 2 θ +π/poles π/poles ( ) poles B peak cos 2 θ rdθ = (4.45-4.46) ( ) 2 2B peak lr sett från rotorn (4.47) poles Detta ger ett sammanlänkat öde och spänning enligt (( ) ) poles λ a = k w N ph Φ p cos ω m t = k w N ph Φ p cos(ω me t) (4.48) 2 e a = dλ a dφ p = k w N ph dt dt cos(ω met) ω me k w N ph Φ p sin(ω me t) (4.49) e a = ω me k w N ph Φ p sin(ω me t) för konstant luftgapsöde (4.50) Notera att uttrycket för λ a förutsätter att strömmen i statorn är noll. 4.3.2 Spänningar över stator och rotor Samband mellan strömmar och sammanlänkade öden är: [ ] [ ] [ ] λs L = ss L sr (θ me ) is λ r L sr (θ me ) L rr i r (4.60) Spänningarna över lindningarna ges av v s = R s i s + dλ s dt v r = R r i r + dλ r dt (4.61) (4.62) Eliminering av de sammanlänkade ödena ger v s = R s i s + L ss di s dt + d dt L sr(θ me )i r (4.63) v r = R r i r + L rr di r dt + d dt L sr(θ me )i s (4.64)
22 4.4 Momentsamband 4.4.1 Cylindrisk rotor (non-saliant), kretsresonemang W fld = 1 2 L ssi 2 s + 1 2 L rri 2 r + L sr i s i r cos θ me = = 1 2 L ssi 2 s + 1 (( ) ) poles 2 L rri 2 r + L sr i s i r cos θ m 2 (4.66) T = W fld θ m = poles W fld is,i r 2 θ me = is,i ( ) r poles = L sr i s i r sin(θ me ) (4.67) 2 4.4.2 Cylindrisk rotor (non-saliant), fältresonemang F s och F r är längden på vektorerna F s och F r som representerar mmk-vågorna F s och F r. Vinklarna δ sr, δ s och δ r representerar riktningen på dessa vektorer. W fld = πdlµ 0 (Fs 2 + Fr 2 + 2F s F r cos δ sr ) (4.73) 4g ( ) ( ) poles µ0 πdl T = F s F r sin(δ sr ) uttryckt i F s och F r (4.75) 2 2g ( ) ( ) poles πdl T = B sr F r sin(δ r ) uttryckt i B sr och F r (4.80) 2 2 ( ) Med Φ p = B peak från (4.47) fås 2Dl poles ( ) 2 poles Φ srf r sin δ r (4.81-4.83) T = π 2 2
Kapitel 5 Likströmsmotorer 5.1 Mmk och magnetfält Toppvärde för Mmk-våg, sågtand respektive dess grundton (F ag ) peak = ( Ca ) i a = 2m poles (F ag1 ) peak = 8 π 2 ( Na poles ( ) Na i a (4.10-4.11) poles ) i a för grundtonen (4.12) där C a är antal ledare i ankarlindningen, N a antal ledare i serie och m antalet parallella vägar genom lindningen. 5.2 Modell 5.2.1 Spännings- och moment-samband för likströmsmotorn Flödena i en likströmsmotor är i princip ortogonala och man denierar fältens riktningar enligt kvadratur respektive direkt axel för ankar- respektive fält-lindningarna. Vi har att Φ d = Φ p Φ d = R 1 d Momentsamband öde per pol från fältlindningen, dvs i direkt-axelns riktning Nf i f där endast inverkan av fältströmmen tagits med (7.12) T mech = K a Φ d (I f )I a med K a = poles C a 2πm (7.5, 7.6) 23
24 Spänningssamband Medelvärdesbildning av (4.50) över en halv period ger π E a = 1 ω me NΦ p sin(ω me t)d(ω me t) = 2 π 0 π ω menφ p = ( ) ( ) ( ) ( poles Ca poles Ca = Φ p ω m = 2π m 60 m / med N = Na och för multipol fås / ) Φ p n (4.53-4.55) När konstruktionskonstanterna klumpas ihop och Φ d används för att understryka riktningen på ödet Φ p kan vi därför skriva E a = K a Φ d (I f )ω m med K a = poles C a 2πm (7.6, 7.7) För ett givet Φ d (I f ) och ett E a0 uppmätt vid varvtalet ω m0 fås därmed ( ) ωm E a = E a0 (7.10) Samband för det linjära området ω m0 I det linjära området för en likströmsmotor kan man sätta K a Φ d (I f ) = K f I f så att E a = K a Φ d (I f )ω m = K f I f ω m T mech = K f I f I a
25 Likströmsmotorns ekvivalenta kretsschema I a R a I f V f E V a R f Figur 5.1: Generell DC-motorkrets. För serie-, shunt- och kompund-kopplingar så används olika inkopplingar av fältlindningen. För kompund-motorn används två fältlindningar, kopplade både i serie och parallellt. 5.2.2 Eektsamband Kombineras uttrycken för spänning och moment så inses att följande gäller E a I a = K a Φ d (I f )I a ω m = T mech ω m (7.19) vilket ger eektsambandet P mech = E a I a 5.2.3 Inverkan av stora ankarströmmar En typisk magnetiseringskurva ger ett samband mellan fältström och elektromotorisk kraft enligt ( ) ωm E a = E a0 (I f ) där E a0 (I f ) = K a Φ d (I f ) ω m0 ω m0 Med användning av begreppet shunt-ekvivalent fältström, här kallat I f,net, för att fånga samverkan mellan serie-lindning och shunt-lindning samt tillägg av påverkan av ankarström får vi I f,net = I f,shunt + N serie I f,serie (7.24) N ( ) shunt ωm E a = E a0 (I f,net, I a ) = K a Φ d (I f,net, I a )ω m ω m0 vilket t.ex. kan modelleras enligt ( ) ωm E a = E a0 (I f,eff ) = K a Φ d (I f,eff )ω m ω m0 med I f,eff = I f,net f(i a ) eller I f,eff = I f,net f(i a, I f,net )
26 5.2.4 Likströmsmotorer med permanentmagnet När fältlindningen ersätts med en permanentmagnet så kan ödet Φ d bakas ihop med konstanten K a till K m = K a Φ d. Detta kan skrivas / Φ d konst. = /med K m = K a Φ d = E a = K m ω m T mech = E ai a ω m = K m I a 5.3 Varvtalsstyrning av dc-motorer Varvtalsformeln för linjär motor (T mech = K f I f I a = EaIa ω m ) blir ω m = (V a I a R a ) K f I f = ( ) V a T loadr a K f I f där typiskt I a R a = T loadr a K f I f är liten i förhållande till V a. Fältstyrning sker genom att ändra v f och därmed i f K f I f (10.4) i f Ac S v f R f L f Likriktare Glättning Pulsbreddsmodulerare Fältlindning För switch med tillslagstid D fås V f = D V dc I f = V f R f = D och ) ( Vdc Styrning med hjälp av ankarresistans sker genom att ändra R a. Det är lätt att inse att man för stora R a får ett kraftigt lastberoende varvtal. Styrning med hjälp av ankarspänning sker genom att ändra V a, med samma typ av krets som för fältstyrning där v f ändras. Med en switchad H-brygga kan vi för en given likspänning V dc uppnå V dc V a V dc. R f
27 5.4 Eektivitet Eektiviteten ges av η = P ut P in = P mech P rot V a I a + V f I f
28
Kapitel 6 Synkronmaskiner med Cylindrisk Rotor 6.1 Mmk och magnetfält Sammanlänkade öden λ a = L s i a + L af i f (5.18) λ f = L fa i a + L fb i b + L fc i c + L ff i f (5.5) L s = 3 2 L aa0 + L a1, L af = L fa = L af cos (ω e t + δ e0 ) (5.10, 5.17) 6.2 Modell 6.2.1 Samband mellan moment, öden och spänningar Från (4.81) fås att ( ) 2 poles Φ R F f sin δ RF (5.1) T = π 2 2 där Vi har även att Φ R E R ω Φ R = resulterande luftgapsöde per pol F f = mmk för dc-lindningen δ RF = elektrisk fasvinkel mellan axlarna för Φ R och F f luftgapspänningen genereras av den resulterande luftgapsvågen 29
30 6.2.2 Ekvivalent krets för synkronmotor Ekvivalent krets, motorreferensriktning X ϕ X al Îa R a ˆV a = R a Î a + jx s Î a + Êaf (5.25) Ê af ~ Ê R ˆV a Ê af = j ( ωe L af I f 2 ) e jδe0 (5.24) Ê R = ˆV a Îa (R a + jx al ) X s = X al + X ϕ (5.26) Här är X al = ωl al läckreaktansen och X ϕ = ω ( 3 2 L aa0) är magnetiseringsreaktansen medan ÊR är luftgapsspänningen. 6.2.3 Eektvinkelkaraktäristik vid jämvikt Överförd eekt mellan två 3-faskällor Ê1 och Ê2 vid induktiv koppling är P 1 = P 2 = 3 E 1E 2 X P 1,max = P 2,max = 3 E 1E 2 X sin(δ) (5.45) (5.44) där δ är fasvinkeln mellan Ê1 och Ê2 med δ positiv om Ê1 ligger före Ê2. Tillämpat på en 3-fasig synkronmaskin kopplad till ett nät med induktansen X EQ och spänningen ˆV EQ fås P = 3 E afv EQ X s + X EQ sin(δ) (5.47) vilket kallas eektvinkelkaraktäristiken för en synkronmaskin och δ för eektvinkeln. 6.2.4 Driftskaraktäristik vid jämvikt Eektbegränsningarna för en synkronmaskin kan tecknas som S = P 2 + Q 2 - skenbara eekten begränsas av ankarlindningen (5.48) P 2 + (Q + V a 2 ) 2 ( ) 2 Va E af = - begränsning från fältlindningen (5.51) X s X s Ofta speciceras märkeekten som fasvinkel och skenbar eekt där de två kurvorna möts.
31 6.2.5 Karaktäristik för öppen och kortsluten krets Vi har att X s,u = V a,ag I a,sc (5.29) där X s = V a,rated I a (5.30) SCR = AFNL AFSC = 1 X s med X s i per unit (5.34, 5.36) X s,u - Unsaturated synchronous reactance X s - Saturated value of synchronous reactance at rated voltage, V a,rated V a,ag - Spänning från air gap conditions I a,sc - Ström från short circuit conditions I a - Ankarström vid kortslutning som motsvarar den fältström som ger V a,rated för öppen krets SCR - Short circuit ratio AFNL - Amperes Field No Load, den fältström som ger V a,rated för öppen krets AFSC - Amperes eld short circuit, den fältström som ger I a,rated vid kortslutning 6.3 Varvtalsstyrning av synkronmotorn Frekvensberoendet hos ödestätheten och dess inverkas på lämplig spänning och ström ges av ( ) frated B peak = B rated om V a = V rated (10.11) f e ( ) fe V a = V rated för f e f rated ger B peak = B rated (10.12) f rated I a = I a,rated dvs strömmen I a kan väljas till I a,rated Typiskt ger detta att maxmomentet bibehålles för f e f rated medan istället maxeekten bibehålles för f e f rated. 6.4 Eektivitet Eektiviteten bestäms av där η = P out P in = P in P loss P in = P in P Ra P stray P Rf P fric P core P in
32 P in - Total ineekt, till både fält och ankar P Ra - Förluster i ankarlindningen, typiskt R a Ia 2 P Rf - Förluster i fältlindningen, typiskt R f If 2 P stray - Förluster i ankarlindningen på grund av skin-eekt och virvelströmmar, typiskt R stray Ia, 2 temperaturoberoende P fric - Totala friktionsförluster, typiskt ωt fric P core - Järnförluster för ommagnetisering av järnet i statorn, typiskt Vt 2 men egentligen mer korrekt ER 2 Ibland slår man ihop eektförlusterna för skin-eekt och virvelströmmar samt för ankarresistansen enligt R a,eff = P loss,sc,load I 2 a,sc (5.40) P Ra,eff = R a,eff I 2 a
Kapitel 7 Asynkronmaskinen / Induktionsmaskinen 7.1 Modell 7.1.1 Frekvenssamband Både magnetfältet från statorn och rotorn roterar i det synkrona varvtalet. w s = 2πf e poles/2 den synkrona vinkelhastigheten som funktion av elektrisk frekvens s = ω s ω m slippet är skillnaden i vinkelhastighet (6.1) ω s delat med den synkrona vinkelhastigheten ω m = (1 s)ω s mekaniska hastigheten på rotorn (6.2, 6.3) ω r = sω s relativa hastigheten mellan statorvåg och rotor f r = sf e frekvensen på den i rotorn inducerade spänningen (6.4) 7.1.2 Ekvivalent kretsschema R 1 X 1 X 2 R 1,eq X 1,eq X 2 Î 1 Î ϕ Î2 Î 2 ˆV 1 R c X m R 2 s ˆV 1,eq R 2 s (a) Ekvivalent kretsschema (b) Theveninekvivalent kretsschema 33
34 Samband mellan spänningarna och kretselementens storlekar för de två varianterna är ˆV 1,eq = ˆV jx m 1 R 1 + j(x 1 + X m ) (6.32) Z 1,eq = jx m(r 1 + jx 1 ) R 1 + j(x 1 + X m ) = R 1,eq + jx 1,eq (6.33, 6.34) 7.1.3 Momentsamband Momentet kan uttryckas som funktion av theveninekvivalenta spänningar och kretselement enligt [ ] T mech = 1 n ph V1,eq(R 2 2 /s) (6.36) ω s (R 1,eq + (R 2 /s)) 2 + (X 1,eq + X 2 ) 2 T max = 1 0.5n ph V1,eq 2 och fås vid (6.39) ω s R 1,eq + R1,eq 2 + (X 1,eq + X 2 ) 2 s maxt = R 2 R 2 1,eq + (X 1,eq + X 2 ) 2 (6.38) 7.1.4 Arbetsgång för bestämning av modellparametrar i) Utför tomgångsprov och prov med låst rotor. Mät P nl/bl, V a,nl/bl och I 1,nl/bl. Mät sedan R 1 medan motorn är varm. ii) Räkna ut P rot = P nl n ph R 1 I 2 1,nl (6.40) iii) Räkna ut Q nl/bl enligt S = n ph U F I L och S 2 = P 2 + Q 2 iv) Räkna ut motorparametrar enligt X nl = Q nl n ph I1,nl 2, X bl = Q bl f rated n ph I1,bl 2, R bl = P bl f bl n ph I1,bl 2 (6.48, 6.52, 6.53) v) Sätt i det k som svarar mot motortyp och lös ut X 1 och X 2 enligt X 2 = (X bl X 1 ) X nl X 1 X nl X bl, X 1 = kx 2 (6.61) vi) Använd slutligen lösningen för att räkna ut de sökta storheterna ( ) 2 X2 + X m X m = X nl X 1, R 2 = (R bl R 1 ) (6.59, 6.62) X m
7.2 Momentsamband vid konstant V/Hz reglering Generellt beteende för momentkurvan då frekvensen ändras vid konstant V/Hz reglering fås genom att försumma R 1. Detta ger T mech = [( 2ω e0 poles 35 n ph [(V 1,eq ) 0 ] 2 (R 2 / ω) ) ] 2 [ ] (10.52) 2 (R 2 / ω) + (X1,eq + X 2 ) 0 där ω = ω s ω m och (V 1,eq ) 0 och (X 1,eq + X 2 ) 0 fås ur ( ) ωe ˆV 1,eq = ( ω ˆV 1,eq ) 0 (10.50) e0 ( ) ωe X 1,eq + X 2 = (X 1,eq + X 2 ) 0 (10.48) ω e0 ( ) ˆV 1,eq = ˆV Xm 1 (10.45) X 1 + X m 7.3 Eektivitet X 1,eq = X mx 1 X 1 + X m (10.47) Den totala verkningsgraden utgörs av den avgivna eekten i förhållande till den instoppade eekten. Följande samband beskriver eektförlusterna på vägen från instoppad till uttagen eekt. P in = n ph U F I L cos ϕ Tillförd elektrisk n ph -faseekt P stator = n ph R 1 I1 2 Kopparförluster i statorn P gap = P input P stator = n ph I2 2 R2 s Överförd luftgapseekt P rotor = n ph I2 2 R 2 = sp gap = s 1 s P mech Kopparförluster i rotorn P mech = P gap P rotor = (1 s)p gap Mekanisk eekt innan friktion P shaft = P mech P rot Avgiven mekanisk eekt efter friktion η = P shaft P input = Pinput Pstator Protor Prot P input (6.17, 6.19, 6.22, 6.30)
36
Bilaga A Matematiska Samband A.1 Trigonometriska relationer sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) sin(x + π 2 ) = cos(x) cos(x + π 2 ) = sin(x) sin(x + π) = sin(x) cos(x + π) = cos(x) 37