Speciell relativitetsteori

Kapitel 1 Speciell relativitetsteori Därute låg denna väldiga värld, som existerar oberoende av oss mänskliga varelser och som framstår för oss som en stor, evig gåta, åtminstone delvis tillgänglig för vårt studium och vårt tänkande. Kontemplationen av denna värld lockade som en befrielse... Albert Einstein 1949 Självbiografiska anteckningar INLEDNING Fysiken studerar och beskriver olika naturfenomen, kvalitativt och kvantitativt. Även i allra enklaste fall innefattar detta en beskrivning av var och när någonting inträffar. Begreppen tid och rum blir därmed fundamentala. Newton försöker redan i början av sitt stora verk Principia definiera vad som ska menas med dessa begrepp. Om tiden säger han Den absoluta, sanna och matematiska tiden, i och för sig och till sin natur utan relation till något yttre, flyter likformigt, och kallas med ett annat namn varande. Tydligen ansåg han att tiden inte låter sig påverkas. Einstein gjorde i sitt arbete Zur Elektrodynamik bewegter Körper 1905 en noggrann analys av begreppen rum, tid och rörelse. De historiska skälen till detta återkommer vi till, men reultatet av denna analys blev insikten om att begreppen rum, tid och rörelse är relativa, alltså beroende av ob- 4

servatören. Senare - i den allmänna relativitetsteorin 1915 - visade Einstein slutligen att tid och rum är beroende av materien. Relativitetsteorin svarar inte på alla frågor, t ex vad är tid, men Einsteins teorier har gett oss en insikt i hur sådana begrepp som samtidighet, före, efter, rörelse kan definieras fysikaliskt och att de varken är självklara eller absoluta. Från att ha varit den från början givna scen på vilken naturfenomenen utspelar sig har tiden och rummet blivit studieobjekt för fysiken liksom tidigare materia, gravitation, elektriska och magnetiska fält. 1.1 Begreppen rum och tid 1.1.1 Samtidighet Vi börjar med ett tankeexperiment. Två lampor, en röd r och en grön g, är monterade i varsin ände av en stav. De kan då anses vara på konstant avstånd från varandra. Mitt på staven sitter en tredje lampa m, som sänder ut ljus i alla riktningar då den tänds. Figur 1.1: Observatör i vila i förhållande till staven. Vid r och g finns vidare fotomotstånd, relä och batterier hopkopplade så att respektive lampa tänds då fotomotståndet träffas av ljus. Om nu m tänds så kommer ljuset att samtidigt nå r och g och tända dem. r och g tänds alltså samtidigt. Närmare bestämt, om stavens längd är l och ljusets fart betecknas c, så tänds r och g tiden l/(2c) efter m. Hur kommer det hela att se ut för en observatör, som rör sig åt vänster längs staven? Jämfört med observatören rör sig hela apparaten åt höger. 5

Figur 1.2: Observatör i rörelse i förhållande till staven. Om m tänds just när observatören passerar S så är det klart att ljuset från m har kortare sträcka att gå till r än till g. För att r och g ska tändas samtidigt måste ljuset från m ha olika fart i olika riktningar, c v åt vänster och c+v åt höger om staven rör sig med farten v i förhållande till observatören. Om vi förutsätter att samtidigheten är absolut, alltså densamma för alla observatörer, så måste ljusets fart påverkas av ljuskällans rörelse. Men erfarenheten har visat att detta inte är fallet. Ljusets fart kan inte påverkas, varken av ljuskällans eller av observatörens rörelse. Samtidigheten är inte absolut. 1.1.2 Ljusets egenskaper Alltsedan Ole Römers mätningar 1676 har man känt till att ljusets fart i vakuum, vanligen betecknad c, är hög men ändlig. Römer 1676: 214000 km/s Bradley 1726: 301000 km/s Fizeau 1849: 313000 km/s Foucault 1862: 298000 km/s Michelson 1882: 299000 ± 60 km/s Michelson 1926: 299796 ± 4 km/s 1974: 299792459,0 ± 0,8 m/s Enheten 1 meter definieras sedan 1983 som den sträcka ljuset rör sig i vakuum på 1/299792458 sekunder. Alltså är c=299792458 m/s exakt! Med 6

tre värdesiffror har vi c 3,00 10 8 m/s. Får man nu samma värde om ljuskällan och/eller observatören rör sig? För att avgöra detta krävs tydligen en ljuskälla som rör sig med hög fart. Vi ska se på två experiment som visar att värdet, inom felgränserna i mätningarna, alltid är detsamma. 1.1.3 Observation av dubbelstjärnor Betrakta två stjärnor A och B som för enkelhets skull antas röra sig i en och samma cirkelbana runt varandra och så att jorden ligger i banplanet. Figur 1.3: Ljus från dubbelstjärna. Om ljusets fart verkligen ökas respektive minskas med stjärnans fart så kommer ljuset, som utsänds från A och B i det läge figuren visar att nå jorden med olika fart, med differensen 2v. Denna skillnad mäts, eftersom det är enklare än att mäta farten hos varje ljusstråle var för sig. Resultatet av sådana mätningar är att det inte finns någon skillnad. 1.1.4 π 0 -sönderfall Ett helt annat sätt att få tillgång till ljus som utsänts från en ljuskälla i snabb rörelse är att utnyttja sönderfall av partikeln π 0. Denna sönderfaller i två fotoner, dvs ljuspaket, som rör sig i rakt motsatta riktningar. 7

Figur 1.4: π 0 -sönderfall. π 0 produceras i partikelacceleratorer på ett sådant sätt att den rör sig med en fart v 0,999c och vid sönderfallet fungerar den alltså som en ljuskälla som rör sig med denna fart. Mätningar visar att de bildade fotonerna rör sig med samma fart. Om ljusets fart hade ökats respektive minskats med π 0 -partikeln fart, så skulle ju däremot den ena fotonen få farten 1,999c och den andra 0,001c. 1.1.5 Den speciella relativitetsteorins grundpostulat P I Relativitetsprincipen: Om två observatörer i inbördes likformig rörelse utför likadana experiment så får de samma resultat. Med likformig rörelse menas rätlinjig rörelse med konstant fart eller, enklare uttryckt, konstant hastighet. P II Principen om ljusfartens invarians eller L-principen: Ljusets fart i vakuum är invariant, det vill säga oberoende av såväl ljuskällans som observatörens rörelse. Ljusfarten är även konstant, dvs oberoende av tiden. Observatörernas referenssystem förutsätts utgöra så kallade inertialsystem, varom mer senare. Om man exempelvis utför ett experiment ombord på en båt och får ett annat resultat än på land så kan man alltid finna en fysikalisk orsak till skillnaden. Kanske båten gungar och då är rörelsen ju inte likformig. Eller det kanske förekommer vinddrag och i så fall är ju betingelserna annorlunda så experimentn är inte precis likadana. Resonemang av detta slag gör att relativitetsprincipen verkar närmast omöjlig att betvivla. Enklare men 8

mera oprecist uttryckt så finns det ingen rörelse i och för sig. Belägg för L-principen behandlades i föregående kapitel. 1 De båda postulaten stöds av all erfarenhet och utgör grunden för Einsteins speciella relativitetsteori som publicerades 1905. Teorin byggs upp med hjälp av dessa båda postulat. Det enda som kan observeras med fysikaliska medel är relativ likformig rörelse, alltså den rörelse två föremål har i förhållande till varandra. Detta är den ena anledningen till att den teori vi just har börjat studera kallas relativitetsteorin. Den andra anledningen är att vissa storheter som man tidigare trodde hade ett absolut värde är beroende av observatörens rörelse. Vi ska närmast finna exempel på detta. Det visar sig även det omvända inträffar, dvs att storheter vars värde man hade trott var relativa visar sig vara absoluta. Ett exempel är (naturligtvis!) ljusets fart i vakuum. Slutligen, adjektivet speciell syftar på att denna teori endast behandlar observatörer i vila i inertialsystem (alltså exempelvis inte roterande referenssytem) varom mera senare. 1.1.6 Tidens relativitet Som en första tillämpning av L-principen ska vi visa att de tidsintervall som olika observatörer uppmäter för ett händelseförlopp i allmänhet är olika. En observatör S mäter tiden t som det tar för ljuset att röra sig sträckan l exempelvis från en lampa till ett fotomotstånd. Således c = l/ t eller t = l/c. En annan observatör S mäter sträckan och tidsintervallet för samma ljussignal att röra sig från lampan till fotomotståndet. Om S får värdena l respektive t gäller t = l /c med samma c enligt L-principen. Således t t = l l. Men l och l kan uppenbarligen vara olika, t ex om lampan och fotomotståndet ligger i vila i förhållande till S medan däremot S rör sig längs förbindelselinjen mellan dem. Högerledet i den sista ekvationen är då 1 1 Benämningen infördes eller, i varje fall användes, av Einstein ([43], s 9). 9

och alltså t / t 1, dvs t t. Händelseförloppet tar alltså olika tid för S och för S. Tiden är relativ; de tidsvärden fysikaliska händelseförlopp tilldelas måste bero på observatören. Detta att storheter som tidigare ansetts vara absoluta är, som tidigare nämnts, en anledning till benämningen relativitetsteori. En bestämning av ett allmänt samband mellan t och t kommer att genomföras i avsnitt 1.4. Samtidighetens relativitet är ett specialfall ( t = 0, t 0). Ett annat specialfall behandlas i nästa avsnitt. 1.1.7 Tidsdilatationen Antag att S sänder iväg en ljussignal, som reflekteras mot en spegel på avståndet l och återvänder till S efter tiden t, allt uppmätt av S. Tydligen är t = 2l/c. Figur 1.5: Ljusklocka i vila. Händelseförloppet observeras också av S som rör sig rakt åt vänster (parallellt med spegeln) med hastigheten v. I förållande till S rör sig då hela apparaturen åt höger med hastigheten v och ljussignalens avsändande och återkomst äger rum i olika punkter. 10

Figur 1.6: Ljusklocka i rörelse. Den sträcka ljuset har rört sig är längre enligt S än enligt S men ljusets fart är densamma (L-principen). Om S:s tid för hela händelseförloppet betecknas t får vi en rätvinklig triangel med mått enligt figur. Lägg särskilt märke till att hypotenusans längd c t/2 är en följd av L-principen. Pythagoras sats ger ( ) 2 ( ) 2 c t v t = + l 2. 2 2 Eliminering av l med hjälp av sambandet t = 2l/c ger ( ) 2 ( ) 2 ( ) c t v t c t 2 = + 2 2 2 som efter någon förenkling kan skrivas t = t 1 v2 /c 2. (1.1) Uttrycket i högerledet visar att t > t då v 0. S uppmäter alltså ett större tidsintervall för S, som rör sig i förhållande till S än vad S själv uppmäter. Effekten kallas tidsdilatation. 2 Vi antar nu att det väsentliga i det erhållna sambandet (1.1) är tidsintervallens storlek, inte vilka händelser de hänför sig till. Med andra ord, om två händelser vilka som helst inträffar i samma punkt för en observatör S med tidsintervallet t så kan händelsernas tidsintervall t för vilken observatör som helst beräknas ur (1.1). 2 Ordet dilatation betyder utvidgning. 11

Sambandet (1.1) kan också skrivas t = t 1 v 2 /c 2. (1.2) Under tidsintervallet t, uppmätt av S, mäter S den kortare tiden t för händelser som för S inträffar i samma punkt. Tiden går långsammare för S än för S, enligt S:s mätning. Vid vardagliga hastigheter är v 2 /c 2 av storleksordningen 10 12 eller mindre. Det krävs alltså hög fart eller hög precision för att kunna mäta effekten. Fenomenet har dock iakttagits med hjälp av muoner, instabila elementarpartiklar som i vila lever 2,2 10 6 s och år 1972 med hjälp av atomklockor som transporterades runt jorden i flygplan. I det senare fallet jämfördes klockorna med en stationär klocka på marken, varvid man iaktog en skillnad av omkring 10 7 s, i överensstämmelse med uttrycket för tidsdilatationen. 3 1.1.8 Längdkontraktion Även rummet har enligt relativitetsteorin nya och oväntade egenskaper, som hänger direkt samman med tidens relativitet. Vi ska visa detta i ett enkelt tankeexperiment. En instabil partikel bildas vid ena änden av en stav, rör sig längs denna med hastigheten v och sönderfaller då den når stavens andra ände. Om partikelns livstid är t uppmätt av en medföljande observatör S och t enligt en observatör S i vila på staven så gäller (1.2). Stavens vilolängd, dvs dess längd uppmätt av S, betecknas l 0 och längden i rörelse, dvs längd uppmätt av S, betecknas l. Figur 1.7: Längdkontraktion. 3 Man måste även räkna med hur tiden påverkas av gravitationen. Vi återkommer till detta i kapitel 2, allmän relativitetsteori. 12

Således eller l 0 = v t, l = v t t = l 0 /v, t = l/v. Insättning av detta i (1.2) ger l v = l 0 1 v2 v c 2 eller l = l 0 1 v2 /c 2. (1.3) Tydligen är l < l 0 då v 0. Effekten kallas relativistisk längdkontraktion 4 eller, av historiska skäl, lorentzkontraktion 5. Föremål i rörelse förkortas alltså i sin rörelseriktning (däremot inte i riktningar vinkelräta mot rörelseriktningen). Som vår härledning visar är fenomenet en konsekvens av tidens relativitet. Det är alltså inte fråga om någon mekanisk sammanpressning och effekten är helt oberoende av vilket material föremålet består av. Klockor i rörelse går långsammare och måttstockar förkortas, inte på grund av sin fysikaliska sammansättning utan som ett uttryck för tidens och rummets relativitet. Vår omvärld kan förväntas ha ett egendomligt utseende om vi betraktar den i snabb rörelse. 1.1.9 Relativistisk aberration Vi har konstaterat att ljusets fart i vakuum (c) är invariant. Däremot är ljusets rörelseriktning beroende av ljuskällans och observatörens relativa rörelse. Då man betraktar en ljuskälla i rörelse måste man titta något vid sidan om den punkt där ljuskällan för ögonblicket befinner sig. 4 kontraktion = sammandragning 5 Efter den holländske fysikern Lorentz, som före Einstein föreslog att effekten skulle finnas, dock på helt andra grunder än i relativitetsteorin. 13

Figur 1.8: Relativistisk aberration. Om vinkelskillnaden är α och farten v så gäller sin α = v/c. (1.4) Tydligen är α vanligen en liten vinkel men dock 0 eftersom c är ändlig. Detta kallas aberration och upptäcktes av Bradley 1727 vid mätning av stjärnors lägen. Fenomenet förstärks i relativitetsteorin där det kan ses som en kombinerad effekt av ljusets rörelse och lorentzkontraktionen. Vid snabb rörelse kommer vi därför inte bara att se omgivningen kontraherad utan dessutom deformerad på ett egendomligt sätt. En anmärkningsvärd följd av den relativistiska aberrationen är att små föremål ser helt oförändrade ut men däremot tycks de vara roterade i förhållande till sitt verkliga läge. Betrakta som exempel en kub med kantlängden l som rör sig med farten v, i ett ögonblick då kubens mittpunkt just syns mitt i en synlinje vinkelrät mot kubens rörelseriktning. 14

Figur 1.9: Kubens läge. Ljusets ändliga fart (aberrationen) gör att hörnet A syns en sträcka vl/c till vänster om B. På grund av lorentzkontraktionen syns sidan BC förkortad till l 1 v 2 /c 2. Figur 1.10: Kubens utseende. Men en kub i vila, roterad en vinkel α sådan att sin α = v/c, ser ut på precis samma sätt. 15

Figur 1.11: Roterad kub i vila. Lorentzkontraktionen kamoufleras alltså som en rotation! 1.1.10 Sammanfattning av avsnitt 1.1 Erfarenheten visar att ljusets fart i vakuum är invariant, alltså oberoende av såväl ljuskällans som observatörens rörelse. En konsekvens av detta är rummets och tidens relativitet. Olika observatörer tilldelar, med samma rätt, händelseförlopp olika tidsinervall och ger rumsintervall olika värden. Föremål i rörelse åldras långsammare och förkortas i sin rörelseriktning. 1.1.11 Problem 1-7 1. Om v = c blir uttrycket för tidsdilatationen odefinierat. Vad innebär detta? 2. Vid vilken fart är ett föremål i rörelse förkortat till halva sin längd i rörelseriktningen? 3. Hur länge lever en muon vars livstid i vila är 2,2 10 6 s om den rör sig med farten 0,99c? 4. Rita graferna till funktionerna γ(v) = 1/ 1 v 2 /c 2 och γ(v) = 1 v2 /c 2. 5. Beräkna förkortningen l 0 ( 1 1 v 2 /c 2 ) för ett föremål med vilolängden l 0 = 1,3 10 7 m som rör sig med farten 3,0 10 4 m/s. 16