Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.

Kap 13.2 13.3. Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor. A 1001. Sök det största och minsta värdet av funktionen f(x,y) = x 2 + 2y 2 x på cirkeln x 2 + y 2 = 1. A 1002. Vilka värden kan funktionen f antaga om f(x,y) är given av a. x 2 + 2y 2 då 2x 2 + y 2 = 1. b. 1 1 + x 2 + 1 1 + y 2 då x2 + y 2 = 1. c. xy 2 då 5x 2 + y 2 = 15. A 1003. Bestäm det största och minsta värde funktionen antar om f(x,y) är given av a. x 2 y 2 xy då x 2 + y 2 = 1. b. xy då x 2 + 4y 2 = 1. A 1004. Vilka värden antar f(x,y) = x 2 + 2y 2 10y på cirkeln x 2 + y 2 = 6y? A 1005. Bestäm värdemängden till funktionen f om f(x,y) är given av a. x 2 + 4y 2 om x 4 + y 4 = 17 b. x 2 2x + y 2 2y om x 2 + y 2 = 1 c. x 4 y 4 om x 4 + y 4 = 16. A 1006. Vilka värden antar funktionen f(x,y,z) = xyz då x + 2y + z = 2 och x 0, y 0, z 0? A 1007. Bestäm största och minsta värdet av f(x,y,z) = x 2 + 2y 2 + z 2 när x 2 + y 2 + 2z 2 2 = 0. A 1008. a. Vilken är den maximala produkten av tre positiva tal med summan 6? b. Vilken är den maximala arean av en rätvinklig triangel med omkretsen 2? 1

A 1009. En parallellepiped har sju hörn på koordinatplanen och det åttonde hörnet på ellipsoiden x2 2 + y2 3 + z2 = 9. Vad är den maximala volymen? 4 A 1010. Kan summan av tre positiva tal vara 5 om deras produkt är 10? B 1011. Sök största och minsta värdet av x 2 + y 2 då x 4 y 2 + x 2 y 4 = 2. B 1012. Beräkna minimum av 4x 2 + 3y 2 + 5z 2 om xy + 2yz + 3zx = 6. B 1013. Bestäm största och minsta värdet av f(x,y,z) = xy + yz + zx på sfären x 2 + y 2 + z 2 = 1. B 1014. En triangel har vinklarna x, y och z. Vilka värden kan antas av a. f(x,y,z) = sin 2 x + sin 2 y + sin 2 z b. f(x,y,z) = sin x sin y sin z? B 1015. Vilka punkter på kurvan 5x 2 + 4xy + 2y 2 6 = 0 ligger närmast origo? B 1016. Vilka värden antar funktionen f(x,y) = x + y 1 då (x,y) ligger på ellipsen x 2 + xy + y 2 = 3. B 1017. Undersök om ekvationssystemet har någon lösning. x 3 + 3x + y 3 + 3y = 7 2 x 2 + y 2 = 1 2 B 1018. Låt f(a,b) betyda minsta värdet av funktionen g(x) = arctan (x 2 + ax + b). Bestäm största värdet av f under bivillkoret a 2 + b 2 = 1. B 1019. I ett klot inskrivs en rät cirkulär cylinder. Bestäm förhållandet mellan höjden och bottendiametern i denna cylinder, så att den får största möjliga totala begränsningsyta. 2

B 1020. Genom en given punkt (a,b,c) i första oktanten läggs ett plan, som tillsammans med koordinatplanen begränsar en tetraeder. Bestäm planets ekvation då tetraederns volym blir så liten som möjligt. A 1021. Bestäm det största och minsta värdet av funktionen f given av f(x,y) = a. x 2 + 2y 2 då 2x 2 + y 2 1 b. x 2 + 2y 2 x då x 2 + y 2 1 c. 3xy + 4y 2 då x 2 + y 2 1 d. xy då x 2 + 4y 2 1 e. x 2 10x + y 2 14y då x 2 + y 2 20y f. x 2 2xy + 2y 2 2y i den slutna triangeln med hörnen i punkterna (2, 2), (2,3) och ( 3, 2) g. x 2 2x 2y i den slutna kvadraten med hörnen i (0,0), (1,0), (1,1) och (0,1) h. x 2 + y 2 då x + y 10, xy 9 och x > 0 i. 1 + x (1 4y) då x 0, y 0 och x + 2y 4 2 j. xy + 3x 5y i mängden x 2 y 2 x k. x 2 y 4xy + 2y 2 i mängden 0 x 4 och 0 y x 2 l. x 2 + 2xy + 2y 2 10x 16y + 34 i den slutna triangeln med hörnen i (0,0), (3,0) och (0,3) m. xy då x 2 y 2 9 och 0 < x 5 n. x 2 y 2 + 4y då x 2 + y 2 9 och y 1 B 1022. Bestäm det största och minsta värdet som funktionen f(x,y) = 5x + 12y x 2 + y 2 kan anta i området x 2 + y 2 1 och x 1 2. B 1023. Bestäm det största och minsta värde som funktionen f given av f(x,y) = xe (x2 + y 2 ) antar i första kvadranten. B 1024. Sök största och minsta värdet av f(x,y) = x + y + 30 2x 2 y 2. B 1025. Visa att 1 + x 2 + 1 + y 2 6 om x 2 + y 2 1. B 1026. För vilka värden på a har ekvationen x 2 + xy + y 2 + a = 1 x 2 y 2 någon lösning (x,y)? 3

C 1027. Sök största och minsta värdet av a. f(x,y) = (x y)e (x + 2y) då x 1 och y 1. b. f (x,y) = (x + y)e (x + 2y) då x 1 och y 1. C 1028. Visa att x 4 + 4xy + 2y 4 3y 4/3 + 4 0 för alla punkter i xy-planet. C 1029. Funktionen M(R) definieras som det största värdet funktionen f(x,y,z) = x + 2y 1 + x 2 + y 2 + z 2 antar i området x 2 + y 2 + z 2 R 2. Bestäm M(R). 4

Ledningar till uppgifterna1001 1029. 1001 På cirkeln x 2 + y 2 = 1 gäller det att y = ± 1 x 2, där x 1. Vi får f(x,y) = x 2 + 2( ± 1 x 2 ) 2 x = 2 x 2 x = betecknas g(x). Det gäller att minsta resp största värdet av f är = minsta resp största värdet av g. Dessa värden kommer att antas antingen i en lösning till ekvationen g (x) = 0 eller i någon av ändpunkterna på intervallet x 1. 1002 Sök det största och minsta värdet av f. Jämför med1001. Om dessa värden är M resp m, så gäller det att f antar alla värden i intervallet [m,m]. Detta på grund av att den tillåtna mängden är sammanhängande och f är kontinuerlig. 1003 a. Parametrisera den tillåtna mängden genom x = cos t, y = sin t där 0 t 2π. Vi får f(x,y) = x 2 y 2 xy = cos 2 t sin 2 t cos t sin t = betecknas g(t). Det gäller att minsta resp största värdet av f är = minsta resp största värdet av g. Dessa värden kommer att antas antingen i en lösning till ekvationen g (x) = 0 eller i någon av ändpunkterna på intervallet 0 t 2π. b. Parametrisera den tillåtna mängden genom x = cos t, y = 1 2 sin t där 0 t 2π. Vi får f(x,y) = xy = 1 4 sin 2t största värdet = 1 4 och mista värdet = 1 4. 1004 Se exempel10.15 sid174. Använd Lagranges metod: 2x + 2λx = 0 (A) 4y 10 + λ(2y 6) = 0 (B) x 2 + y 2 6y = 0 2x = 0 2y 6 = 0 x 2 + y 2 6y = 0. (B) saknar lösning då cirkeln inte har några singulära punkter. (A) ger (0,0), (0,6) och (± 5,1). Den tillåtna mängden är sluten och begränsad och f är kontinuerlig. Största och minsta värden antas i dessa punkter. 5

1005 Sök det största och minsta värdet av f. Jämför med1001. Om dessa värden är M resp m, så gäller det att f antar alla värden i intervallet [m,m]. Detta på grund av att den tillåtna mängden är sammanhängande och f är kontinuerlig. 1006 Använd Lagranges metod. Man får fyra intressanta punkter (2,0,0), (0,1,0), (0,0,2) och 1 3, 2 3, 1. Den tillåtna mängden är sluten och begränsad och f är kontinuerlig största och minsta värden antas i 3 dessa punkter. Om dessa värden är M resp m, så gäller det att f antar alla värden i intervallet [m,m]. Detta på grund av att den tillåtna mängden är sammanhängande och f är kontinuerlig. 1007 Använd Lagranges metod. Man får sex intressanta punkter (± 2, 0, 0), (0,± 2,0) och (0,0,±1). Den tillåtna mängden är sluten och begränsad och f är kontinuerlig största och minsta värden antas i dessa punkter. 1008 a. Sök största värdet av xyz då x + y + z = 6, (x > 0, y > 0, z > 0). Använd Lagranges metod. b. Placera triangeln i xy planet, så att dess hörnpunkter är (0,0), (0,x) och (y,0). Sök största värdet av arean = största värdet av xy 2 under bivillkoret att omkretsen = x + y + x 2 + y 2 = 2. 1009 Om (a,b,c) är den hörnpunkt som ligger på ellipsoiden volymen är = abc. Sök största värdet av abc då (a,b,c) satisfierar ellipsoidens ekvation. Använd Lagranges metod. 1010 Sök minsta värdet av x + y + z då xyz =10, (x > 0, y > 0, z> 0). Använd Lagranges metod. 1011 Är den tillåtna mängden sluten och begränsad? Låt M r vara skärningen mellan cirkelskivan x 2 + y 2 r 2 och den tillåtna mängden. M r är sluten och begränsad och f antar där ett största och ett minsta värde. Detta inträffar i någon av punkterna (±1,±1) (Lagrange metod med bivillkoret x 4 y 2 + x 2 y 4 = 2) eller på cirkelns rand. För varje r 2 finns det punkter i den tillåtna mängden, sådana att x 2 + y 2 = r 2, varför f(x,y) = r 2 kan göras hur stor som helst, men 2. 6

1012 Observera först att f(x,y,z) = 4x 2 + 3y 2 + 5z 2 antar ett minsta värde på den tillåtna mängden xy + 2yz + 3zx = 6: Låt M r vara den del av den tillåtna mängden som ligger inom klotet x 2 + y 2 + z 2 r 2. M r är sluten och begränsad och f är kontinuerlig alltså antar f ett minsta värde på M r. Existensen av f:s minsta värde på den tillåtna mängden följer nu av det att f(x,y,z) då x 2 + y 2 + z 2 = r 2. Vi kan bestämma detta värde med hjälp av Lagranges metod: F(x,y,z,λ) = 4x 2 + 3y 2 + 5z 2 + λ(xy + 2yz + 3zx 6) = f(x,y,z) + λg(x,y,z). (A) F x =10x + λy + 3λz = 0 F ý = λx + 6y + 2λz = 0 (B) g x = y + 3z = 0 g ý = x + 2z + 3x = 0. F ź = 3λx + 2λy + 10z = 0 F λ = xy + 2yz + 3xz 6 = 0 g ź = 3x + 2y = 0 (B) saknar lösningar. (A) är ett ekvationssystem med triviala lösnin- 8 λ 3λ gen (0,0,0) om determinanten λ 6 2λ 3λ 2λ 10 0. Undersök när determinanten är = 0: 4100 + 12λ 3 96λ 2 λ 1 = 2 och λ 2,3 = 5 ± 5. Man får xf x + yf ý + zf ź = 2(4x 2 + 3y 2 + 5z 2 ) + 2λ(xy +2yz + 3zx ) = 2f + 12λ = 0 f = 6λ. Då f 0 λ < 0. Alltså duger endast λ 1 = 2 som ger f = 12. 1013 Använd Lagranges metod. 1014 Sök största och minsta värdet av f under bivillkoret x + y + z = π, där x 0, y 0, z 0. Använd Lagranges metod. Om dessa värden är M resp m, så gäller det att f antar alla värden i intervallet [m,m]. Detta på grund av att den tillåtna mängden är sammanhängande och f är kontinuerlig. 1015 Avståndet = x 2 + y 2. Sök punkter där funktionen x 2 + y 2 antar ett minsta värde under bivillkoret 5x 2 + 4xy + 2y 2 = 6. 1016 Sök extremvärden till funktionerna x + y 1 respektive 1 x y under det givna bivillkoret. Om dessa värden är M resp m, så gäller det att f antar alla värden i intervallet [m,m]. Detta på grund av att den tillåtna mängden är sammanhängande och f är kontinuerlig. 1017 Sök extremvärden till funktionen f(x,y) = x 3 + 3x + y 3 + 3y på mängden x 2 + y 2 = 1 2. Om dessa värden är M resp m och m 7 2 M finns minst en lösning. Detta på grund av att den tillåtna mängden är sammanhängande och f är kontinuerlig. 7

1018 g (x) = 0 ger x = a 2. Verifiera att minsta värdet av g(x) är = g a 2 = = arctan b a2. Sök största värdet av f(a,b) = arctan b a2 4 4 bivillkoret a 2 + b 2 = 1. under 1019 2x = höjden, 2y = bottendiametern, y 2 + 2xy = begränsningsytan. Om R = klotets radie x 2 + y 2 = R 2. Sök extrempunkter till y 2 + 2xy under bivillkoret x 2 + y 2 = R 2. 1020 Ett plan som skär koordinataxlarna i punkterna (A,0,0), (0,B,0) och (0,0,C) har ekvationen x A + y B + z C = 1. Sök minsta värdet av 1 ABC under bivillkoret a A + b B + c C = 6 1. 1021 Aktuella punkter (anges nedan) är inre punkter (som fås ur ekvationssystemet f x = f ý = 0), randpunkter (kan fås med hjälp av Lagranges metod) och hörnpunkter (= skärningspunkter mellan begränsningskurvorna). I någon av dessa punkter antar f ett största resp minsta värdet eftersom området är sluten och begränsad och målfunktionen är kontinuerlig. a. (0,0), ±(0,1), ± 1, 0. 2 1 Kritiska punkter i det inre av området, 2x 2 + y 2 < 1: f x = f ý = 0 ger punkten (0,0). 2 Kritiska punkter på områdets rand, g(x,y) = 2x 2 + y 2 1 = 0: F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y). Lagranges metod ger F x = 0 F ý = 0 F λ = 0 ±(0,1), ± 1 2, 0, g x = 0 g ý = 0 g = 0 saknar lösning. Kontrollera att de erhållna punkterna (0,0), ±(0,1), ± 1 2, 0 tillhör det tillåtna området. I någon av dessa punkter antar f ett största resp minsta värdet eftersom området är sluten och begränsad och målfunktionen är kontinuerlig. Vi har f(0,0) = 0, f(0,±1) = 2 och f ± 1,0 2 = 1 alltså det största värdet är 2 och det minsta är 0. 2 b. 1 2,0, ±(1,0), 1 2, ± 3 2. 8

1021 c. (0,0), ± 1, 3 10 10, ± 3, 1 10 10. d. (0,0), ± 1, ± 1. 2 2 2 e. (4,7), (8,4), ( 8,16). f. (1,1), 3, 2, ( 2, 2), (0,1), hörnen. 2 g. hörnen. h. (3,3), (5,5), (1,9), (9,1). Vid undersökning av randen sök: Kritiska punkter på linjen x + y = 10, kritiska punkter på hyperbeln xy = 9, skärningspunkter mellan linjen och hyperbeln. i. 1 2, 1, (2,1), (0,0), (4,0), (0,2). 4 j. ( 2,4), (1,1), 1 3, 1 9. k. (2,1), (1,1), (0,0), (4,0), (4,16). l. hörnen. m. (5,±4). n. (2,0), (0,1), (±2 2,1). 1022 Se1021. Intressanta punkter är 1 2, 1 3, 1 2, 3 4, 1 2, ± 3 2. 1023 Det är inte säkert att extremvärden finns eftersom den tillåtna mängden inte är begränsad. Bestäm kritiska punkter. Undersök vad som händer när x och/eller y. 1024 Sök största och minsta värden av f på ellipsen 30 2x 2 y 2 0. 1025 Sök största värdet av f(x,y) = vänsterledet i området x 2 + y 2 1. 1026 Bestäm värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 x 2 y 2 x 2 xy y 2 på dess definitionsmängd x 2 + y 2 1. Talet a skall tillhöra värdemängden. 1027 ab. Sök lokala extrempunkter. Undersök vad som händer med f när x och/eller y. 9

1028 Sök lokala extrempunkter. Undersök vad som händer när x och/eller y. 1029 Observera att f(x,y,z) = x + 2y om (x,y,z) tillhör randen. 1 + R2 10

Svar till uppgifterna1001 1029. 1001 Största värdet = 9 4 i 1 2, ± 3 2 och minsta värdet = 0 i (1,0). 1002 a. 1 2, 2 3 2, 4 3 c. [ 10, 10]. 1003 a. 1 4, 3 4. b. 1 4, 1 4. 1004 [ 1, 24]. 1005 a. [ 17, 17]. b. [1 2 2, 1 + 2 2]. c. [ 16, 16]. 1006 0, 4 27. 1007 4 och 1. 1008 a. 10. b. 3 2 2. 1009 18 2. 1110 Nej. 1111 Minsta värdet = 2, största värdet antas inte. 1112 Min = 12. 1113 1 2 ; 1. 1114 a. 0, 9 4. b. 0, 3 3 8. 1115 ± 2, 1 5. 5 1116 Alla värden i [0, 3]. 11

1117 Saknar lösning. 1118 π 4. 1119 5 1 2. 1120 Den minsta volymen är 9 2 abc då planet är x a + y b + z c = 3. 1121 a. 0 ; 2. b. 1 4 ; 9 4. c. 1 2 ; 9 2. d. 1 4 ; 1 4. e. 65 ; 160. f. 1 ; 24. g. 3 ; 0. h. 18 ;102. 1121 i. 9 2 ; 7. 2 j. 34 ; 13 27. k. 2 ; 512. l. 4 ; 34. m. 20 ; 20. n. 3 ; 11. 1122 8 ; 18. 1123 0 ; 1 2e. 1124 5 3 ; 3 5. 1126 3 2 a 1. 1127 a. e 4 ; 1 2 e 4. b. Största värdet = 2e 3, minsta värdet antas inte. 1129 M(R) = 5R 1 + R 2 om R 1 5 2. om R 1 12