Introduktion Med hjälp av dator kan man utföra omfattande matematiska beräkningar, men också få datorn att producera lösningar på icke-triviala uppgifter. I det här momentet av kursen ska vi bekanta oss med två verktyg för detta ändamål, Mathematica och Wolfram Alpha. Mathematica är en programvara för att utföra både numeriska och symboliska beräkningar med hjälp av dator. Wolfram Alpha är en sorts sökmotor på Internet, se http://www.wolframalpha.com, som bygger på kod från Mathematica. Detta arbetsblad är uppdelat i fyra olika avsnitt. I slutet av varje avsnitt följer en serie uppgifter som ska utföras på egen hand i Mathematica eller i Wolfram Alpha. En hel del av det man behöver veta för att lösa uppgifterna får man veta om man läser exemplen. Men inte allt! Inte heller är alla kommandon som används i exemplen utförligt förklarade. Det är i stället meningen att man ska använda sig av den inbyggda hjälpen i Mathematica för att själv hitta nödvändig information. Texten är en omarbetning av en text skriven av Rikard Bögvad för kursen Matematik I (30 hp). 1. Mathematica som miniräknare Genom att forma uttryck med siffor, parenteser samt operationerna +, -, * och / (för addition, subtraktion, multiplikation, respektive division) kan man använda Mathematica ungefär som en vanlig miniräknare. När man har skrivit sitt uttryck använder man tangentkombinationen Skift+Retur för att utföra beräkningen. Alla matematiska uttryck som står på egen rad i det här arbetsbladet kan evalueras i Mathematica genom denna tangenkombination. Prova! 3 H2^21 + 17L Notera att tecknet för multiplikation kan utlämnas vid parenteser. Potenser skrivs med hjälp av tecknet ^. 2^10 En skillnad mot att använda en miniräknare är att Mathematica beräknar allting exakt. Detta gäller exempelvis stora tal och bråk. Bråk förkortas automatiskt så långt det är möjligt. 2^H2^8L 135 ê 30 Vill man i stället ha ett närmevärde på decimalform kan man använda funktionen N. Om man matar in ett decimaltal tolkar Mathematica detta automatiskt som ett närmevärde och svarar också med ett sådant. Decmaltecknet anges, enligt anglosaxisk standard, med en punkt. N@135 ê 30D 135.0 ê 30 N@2^H2^8LD För att beräkna kvadratrötter kan man använda standardfunktionen Sqrt[...]. Argumentet till funktionen, d.v.s. det tal man drar roten ur, skrivs inom hakparenteser (dessa skriver man genom att använda tangentkombinationerna Alt Gr+7 respektive Alt Gr+8 på ett svenskt Windows-tangentbord, och tangentkombinationen Alt + 7, Alt + 8 på ett tangentbort på en Mac).
2 Arbetsblad1.nb N@1 ê 7, 10D NBSinBJ1 + 2 N 20 FF Även här utförs beräkningarna exakt. Sqrt@2D * Sqrt@2D Vill man få ett närmevärde använder man åter igen funktionen N. N@Sqrt@2DD Det finns många andra inbyggda standardfunktioner. Dessa skrivs generellt på formen FunkÑ tion[arg]. Mathematica skiljer på stora och små bokstäver. Funktionsnamnen för inbyggda funktioner börjar alltid med versal (stor bokstav) och argumenten skrivs inom hakparenteser. Tar funktionen fler argument, separeras dessa med kommatecken. Observera! Detta skiljer sig ibland i från hur man normalt skriver matematisk text. Exempelvis skriver man normalt sin p när man menar "sinus för pi". I Mathematica måste man skriva så här: Sin@PiD 1. Förkorta bråket 123456789/987654321 så långt det går. 2. Beräkna ett närmevärde till sin(j1 + 2 N 20 ) med precis 10 signifikanta siffror. Svara på decimalform med punkt som decimaltecken. Tips: Läs om funktionen N i hjälpen under menyn Help - > Documentation center. Prova också att komma åt hjälpen om funktionen N genom att skriva?n i en Mathematicacell och evaluera. 3. Skriv det komplexa talet (6+6 Â)/(6+7 Â) på formen a+â b. Tips: Sök på Complex numbers i Documentation center. Börja med att titta igenom vägledningen eng. tutorial) om komplexa tal. 2. Symboliska uttryck och variabler Om man vill dela upp sina beräkningar i flera steg är det praktiskt att använda sig av variabler. s = 5; t = 6; s * t s - t Här tilldelar vi variablerna s och t värdena 5 respektive 6 och utför två beräkningar. Varje gång vi beräknar ett uttryck där någon av variablerna s eller t ingår, ersätts dessa symboler automatiskt med respektive värde. Semikolonen i exemplet ovan är inte nödvändiga. De talar om för Mathematica att inte skriva ut resultatet av beräkningen av uttrycket. Om vi använder en symbol utan att först tilldela den ett värde, får vi ett symboliskt uttryck. x^2-4 En av Mathematicas största fördelar genemot en vanlig miniräknare, är just dess förmåga att manipulera sådana symboliska uttryck. Ovanstående uttryck tolkar vi som ett polynom i variabeln x. Det finns ett stort antal inbyggda funktioner i Mathematica som manipulerar symboliska uttryck. Här använder vi funktionen D för att be Mathematica att derivera uttrycket x 2 med avseende på x. D@x^2, xd
Arbetsblad1.nb 3 Uttryck kan självklart vara mer komplicerade. D@Sin@xD^6, xd Det är ofta praktiskt att ge sina uttryck ett namn så att man slipper skriva dem om och om igen om man använder de flera gånger. Vi kallar ovanstående polynom för p. p = x^2-4 Säg att vi vill lösa ekvationen phxl = 0. Vi kan då använda kommandot Solve. Notera det dubbla likhetstecknet. Eftersom det enkla likhetstecknet är upptaget för att tilldela varibler värden, används ett dubbelt likhetstecken för att markera logisk likhet. Notera också att vi måste tala om att det är variabeln x vi vill lösa ut ur ekvationen. Solve@p ã 0, xd Svaret ser kanske först lite kryptiskt ut. Eftersom ekvationen har flera lösningar får vi en lista med lösningar. Varje lösning ges i form av en ersättningsregel. Följande uttryck betyder "ersätt x med 2 i uttrycket p". Eftersom 2 är en lösning til ovanstående ekvation, får vi svaret 0. p ê. x -> 2 När vi är färdiga med att använda en symbol är det en god idé att frigöra den för andra ändamål. Detta görs med kommandot Clear. Clear@pD Uttryck kan innehålla fler symboler. Vi kan exemplevis härleda pq-formeln för andragradsekvationer med hjälp av Mathematica. Solve@x^2 + p x + q ã 0, xd Här var det viktigt att vi anropade Clear först. Annars hade variablen p automatiskt ersatts med uttrycket x 2-4 och svaret hade blivit något helt annat. Symboliska uttryck förenklas inte automatiskt av Mathematica. För att förenkla kan man använda funktionen Simplify. Hx + 1L ê Hx^2-1L Simplify@Hx + 1L ê Hx^2-1LD Samma sak gäller vid multiplicering av polynom. Vill man multiplicera ut parenteserna kan man använda funktionen Expand. Hx + 1L Hx - 1L Expand@Hx + 1L Hx - 1LD 1. Hitta alla rötter till polynomet x^4 + 4*x^3 + 6*x^2 +20*x + 5 = 0. 2. Be Mathematica att ta fram den allmänna lösningen till tredjegradsekvationen. Gör motsvarande för fjärdegradsekvationen och femtegradsekvationen. Tolka svaren. 3. Låt f = (ln(x) + e^x)^13. Bestäm fjärderivatan av f. Kalla fjärdederivatan för g. Bestäm g(0). Tips 1: Sök i hjälpen på Logarithm för att ta reda på hur den naturliga logaritmen (ln) skrivs in i Mathematica. Tips 2: Du måste även lista ut hur den naturliga logaritmens bas (e) representeras. 4. Finn kommandot för att beräkna primitiv funktion i Mathematica och bestäm en primitiv funktion till sin 3 HxL.
4 Arbetsblad1.nb 3. Lite om funktioner och grafritning Ibland kan det vara praktiskt att definiera egna funktioner i Mathematica. f@x_d := Sin@xD + Cos@xD^2 ; Det här betyder att vi deklarerar en funktion f i en variabel x. Lägg märke till understrykningsstrecket efter variabeln x i vänsterledet och att operatorn := inte är ett vanligt likhetstecken. Vår funktion f kan vi nu använda precis på samma sätt som vi använder inbyggda fuktioner. f@1d f@sin@add f'@xd Det går också bra att deklarera funktioner med flera variabler. g@x_, y_d := x^2 + 3 y; g@1, 2D Ett bra sätt att skaffa sig en ungefärlig uppfattning om hur en funktion uppträder är att skissa dess graf. I Mathematica finns flera inbyggda funktioner för att rita, eller plotta, funktioner. För att plotta en funktion i en variabel använder man kommandot Plot. Plot@Sin@xD, 8x, -2 * Pi, 2 * Pi<D Det går naturligtvis också bra att plotta funktioner man har hittat på själv. Plot@f@xD, 8x, 0, Pi<D Man kan också rita upp en funktion i två variabler genom kommandot Plot3D. Plot3D@g@x, yd, 8x, -4, 4<, 8y, -4, 4<D 1. Låt f(x) = x^10 - x^3 + 4*x^2 + 2. Evaluera f i punkterna 4,5,6 och ange svaren. 2. Låt f(x) = sin(x) -x/10-1. Plotta funktionen f(f(x)) i intervallet [84,100] och ange antalet nollställen i detta intervall. 4. Wolfram Alpha Vi avslutar genom att utföra några beräkningar i Wolfram Alpha. Man kan utföra beräkningarna direkt i Mathematica eller på www.wolframalpha.com. Den tiouddiga stjärnan indikerar att beräkningen ska utföras med Wolfram Alpha. Googles sökmotor klarar av felstavning (till en viss gräns). På ett liknande sätt klarar Wolfram Alpha av att hantera felaktig syntax. ½ Solve x^2 = 2 Notera att utöver att utföra det som vi bad Wolfram Alpha att utföra, får vi även upp graferna över funktionerna f(x) = x^2 och g(x) = 2 och dess skärningspunkter. Låt oss gå tillbaka till beräkningen av den primitiva funktionen till sin 3 HxL från avsnitt 2, uppgift 4. Återigen kan vi slarva med syntax och vi skriver Primitive som inte ens ingår som kommando i Mathematica. ½ Primitive sin^3 x
Arbetsblad1.nb 5 Notera särskilt Step-by-step -solution i det övre högra hörnet. Klickar man där får man en lösning av uppgiften. 1. Kan man vara ännu slarvigare än vad vi var när vi bad om lösningen till x^2 = 2? Prova dig fram. 2. Samma som ovan, men nu för att finna en primitiv funktion till sin^3 x. Länkar Det går inte att poängtera nog hur viktigt det är att lära sig använda hjälpen på ett effektivt sätt om man vill lära sig Mathematica. Här är några länkar till ett par lämpliga startpunkter om man vill fortsätta jobba på egen hand: First Steps with Mathematica Getting started "How to" Topics