Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta storheten är en lösning till ekvationen om värdet gör att likheten är uppfylld: Exempel: För ekvationen x = 9 är x = 3 och x = 3 lösningar till ekvationen. Vi säger att vi har löst en ekvation om vi har hittat samtliga lösningar till den. Räkneregler för ekvationen För att lösa ekvationen ax + b = 0 där a, b R, a 0 gör vi följande uträkningar: ax + b = 0 ax = b x = b a Vi kan utifrån detta formulera följande allmänna räkneregler för ekvationer: Sats: Räkneregler I x = y x + a = y + a för alla a R. x = y ax = ay för alla a R \ {0}. Notera att dessa räkneregler implicit säger att vi även får dra ifrån tal, eller dividera med tal på båda sidor om en ekvation. Att göra samma operation på båda sidor om en ekvation ger inte alltid en ekvivalent likhet: 1

Sats: Räkneregler II x = y = x = y men x = y = x = y. Det gäller däremot att x = y x = ±y vilket är ett kort sätt att skriva att x = y eller x = y. Som ett exempel på detta, betrakta: Exempel: = = =, men = ( ) = = När vi löser ekvationer måste vi ibland vara uppmärksamma på detta: Exempel: Lös ekvationen x + 4 = x. Lösning: Vi använder våra räkneregler: x + 4 = x = ( x + 4) = ( x) x + 4 = 4 4x + x x 5x = 0 x(x 5) = 0 x = 0 eller x = 5. Vi har alltså visat att x + 4 = x = x = 0 eller x = 5. Om vi använder att A = B B = A innebär detta att om x inte är lika med 0 eller 5 så måste det gälla att x + 4 x. Vi vet således att de enda potentiella lösningarna till ekvationen är x = 0 eller x = 5 (eller båda). Vi testar: x = 0: 0 + 4 = = 0. Så x = 0 är en lösning. x = 5: 5 + 4 = 3 5. Så x = 5 är ej en lösning. Svar: x = 0 löser ekvationen. Kvadratiska ekvationer En vanligt förekommande klass av ekvationer är kvadratiska ekvationer. Definition: Kvadratisk ekvation

En kvadratisk ekvation är en ekvation som kan skrivas på formen: ax + bx + c = 0, a, b, c R och a 0 Det finns en allmän formel för lösningar till dessa ekvationer, men för att bevisa den ska vi först befatta oss med kvadratkomplettering. Kvadratkomplettering är en metod som bygger på att vi använder regeln (x+a) = x +ax+a baklänges för att skriva om ett uttryck på formen x +bx som en kvadrat plus en konstant. I allmänhet gäller att: x + bx = x + b x + ( b ) ( ) ( b = x + b ) b 4 Vi kan använda kvadratkomplettering för att lösa andragradsekvationer: Exempel: Lös andragradsekvationen x x 3 = 0 med hjälp av kvadratkomplettering. Lösning: Vi skriver om uttrycket mha kvadratkomplettering: x x 3 = 0 x + ( 1)x + ( 1) ( 1) 3 = 0 (x 1) 1 3 = 0 (x 1) 4 = 0 Vi kan nu använda våra räkneregler för kvadrater i ekvationer för att fortsätta: (x 1) 4 = 0 (x 1) = x 1 = ± x = 1 ± x = 1 eller x = 3 I praktiken löser vi så ofta kvadratiska ekvationer att vi i stället för att varje gång kvadratkomplettera räknar ut en allmän formel: Sats: Lösningsformel för kvadratiska ekvationer Låt a, b, c R och a 0. Då gäller att: ax + bx + c = 0 x = b ± b 4ac a Bevis: Vi använder kvadratkomplettering för den allmänna ekvationen: ax + bx + c = 0 x + b a x + c a = 0 3

V.S.V. (x + b a ) b 4a + c a = 0 (x + b a ) = b 4a 4ac 4a (x + b a ) = b 4ac 4a x + b a = ± b 4ac 4a x = b a ± b 4ac 4a x = b ± b 4ac a I det särskilda fallet a = 1 reducerar detta till den s.k. pq-formeln: x + px + q = 0 x = p ± (p ) q. Polynom och faktorisering Polynom är ett av de mest vanligt förekommande uttrycken inom matematiken. De kan definieras genom: Definition: Polynom Ett polynom av grad n N {0} är ett uttryck på formen: p(x) = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x 3... + a n x n, a 1, a,..., a n R och a n 0. Vi säger att x = r är en rot till polynomet om p(r) = 0. Exempel: x 5 + 3x 1 är ett polynom av grad 5. x 3 är ett polynom av grad 3. 7 är ett polynom av grad 0. är en rot till polynomet p(x) = x 4. 4

Om vi betraktar polynomet x 4 ser vi att vi kan skriva om det som (x )(x + ), vilket kallas den faktoriserade formen, där x och x + är faktorer i polynomet. Detta leder oss till den allmänna definitionen: Definition: Låt p(x) vara ett polynom. Vi säger att polynomet s(x) är en faktor i p(x) om det existerar ett polynom q(x) sådant att p(x) = s(x)q(x). Exempel: Polynomet 3x + 3x 6 kan skrivas som 3(x 1)(x + ) där 3, x 1 och x + är faktorer. Om vi känner till uttrycket för ett polynom p(x) och en av dess faktorer s(x) är vi ofta intresserade att hitta en andra faktor q(x) sådan att p(x) = s(x)q(x). Vi kan göra detta genom polynomdivision, där man ungefär kan säga att vi hittar q(x) genom att beräkna p(x) s(x). Exempel: Beräkna x3 7x 7x + 30 x 3 genom att använda polynomdivision. Lösning: Vi använder liggande stolen genom att först ställa upp: x 3 7x 7x + 30 }{{} dividend x 3 }{{} divisor Vi delar sedan den ledande termen i dividenden med den ledande termen i divisorn, här x 3 /x = x och skriver resultatet ovanför strecket: x x 3 7x 7x + 30 x 3 Vi drar sedan bort resultatet multiplicerat med divisorn, x (x 3) = x 3 6x, från dividenden: x x 3 7x 7x + 30 x 3 (x 3 6x ) x 7x + 30 }{{} ny dividend 5

Vi upprepar samma procedur med den nya dividenden och räknar ut x /x = x: x x x 3 7x 7x + 30 x 3 (x 3 6x ) x 7x + 30 }{{} ny dividend Vi drar bort det nya resultat multiplicerat med divisorn, x(x 3) = x + 3x igen: x x x 3 7x 7x + 30 x 3 (x 3 6x ) x 7x + 30 ( x + 3x) 10x + 30 I nästa steg ger 10x/x = 10, så vi får: x x 10 x 3 7x 7x + 30 x 3 (x 3 6x ) x 7x + 30 ( x + 3x) 10x + 30 och vi har att 10(x 3) = 10x + 30 så vi får: x x 10 x 3 7x 7x + 30 x 3 (x 3 6x ) x 7x + 30 ( x + 3x) 10x + 30 ( 10x + 30) 0 Vi avslutar när graden av den ledande termen i dividenden är lägre än den i divisorn. Här har talet 0 grad 0, och x har grad 1, så vi är färdiga. Resultatet av polynomdivisionen, kallat kvoten, är det som står ovanför strecket. 6

Svar: Vi har beräknat att x3 7x 7x + 30 x 3 10)(x 3) = x 3 7x 7x + 30. = x x 10, eller ekvivalent att (x x Det är inte alltid som divisionen går jämnt upp. Vi inför följande beteckning: Definition: Delar Om s(x) är en faktor i p(x) säger vi att s(x) delar p(x) och betecknar detta med s(x) p(x). Om ett polynom s(x) delar ett polynom p(x) kan vi utföra polynomdivision för att hitta q(x) = p(x)/s(x), men i allmänhet gäller att: Sats: Låt p(x) och s(x) vara polynom där grad n och m respektive, och 1 m n. Vi kan då skriva p(x) = q(x)s(x) + r(x) där q(x) och r(x) är polynom, och r(x) har grad högst m 1. Om s(x) p(x) så är r(x) = 0. Om p(x) och s(x) är kända polynom kan vi hitta kvoten q(x) och resten r(x) genom att utföra polynomdivision: Exempel: Hitta q(x) och r(x) i uttrycket p(x) = q(x)s(x) + r(x) om p(x) = x 3 + 7x 3 och s(x) = x + x. Lösning: Vi använder polynomdivision för att beräkna p(x)/s(x): x x 3 + +7x 3 x + x (x 3 + x ) x + 7x 3 ( x 4x) 11x 3 Vi ser att resten r(x) = 11x 3 och kvoten q(x) = x. Vi vet alltså att: Svar: x 3 + 7x 3 = (x ) (x + x) + 11x 3, }{{}}{{}}{{}}{{} p(x) q(x) s(x) r(x) Det finns en viktig koppling mellan rötterna i ett polynom och dess faktorer. Polynomet x 4 har rötterna r 1 = och r = och kan faktoriserar som (x )(x + ). Detta är en allmän egenskap hos polynom och vi formulerar detta på följande vis: 7

Sats: Faktorsatsen Låt p(x) vara ett polynom. Då gäller att p(a) = 0 (x a) p(x), det vill säga x a är en faktor i p(x) omm a är en rot till p(x). Bevis: Vi måste visa implikation åt båda hållen: p(a) = 0 = (x a) p(x) : Enligt tidigare sats kan vi skriva: p(x) = q(x)(x a) + r Eftersom r(x) enligt satsen har lägre grad än x a måste det vara ett reellt tal (av grad 0). Enligt antagande har vi att 0 = p(a) = q(a)(a a) + r 0 = 0 q(a) + r 0 = r. Detta ger att p(x) = (x a)q(x), så x a är en faktor i p(x). (x a) p(x) = p(a) = 0 : Enligt antagande vet vi att p(x) = (x a)q(x) för något q(x). Vi beräknar: p(a) = (a a)q(a) = 0 q(a) = 0, så a är en rot till p(x). Då vi har visat implikation åt båda hållen har vi bevisat satsen. Som en konsekvens av faktorsatsen vet vi att vi kan hitta alla faktorer till ett polynom om vi kan hitta dess rötter: Exempel: Faktorisera polynomet p(x) = x 3 + 4x 3x. Lösning: Genom systematisk gissning kommer vi fram till att x 0 = 1 är en rot till polynomet. Genom polynomdivision mellan p(x) och x 1 beräknar vi sedan: p(x) = (x 1)(x + 5x + ). Vi löser andragradsekvationen i den andra faktorn, vilket ger: x 1 = 5 + 17 och x = 5 17 8

Vi har nu hittat samtliga rötter till polynomet p(x) och kan såldes faktorisera det som: Svar: p(x) = (x 1) ( x 5 + 17 ) ( x 5 17 ) Olikheter Förutom ekvationer, är olikheter en vanligt förekommande typ av relation inom matematiken. Vi har följande olikheter: a < b a är strikt mindre än b a > b a är strikt större än b a b a är mindre än eller lika med b a b a är större än eller lika med b Vilken ordning vi använder spelar inte någon roll så det gäller att: a < b b > a a b b a Precis som vi kan lösa ekvationer, kan vi lösa olikheter. Vi löser en olikhet genom att hitta alla värden för vilka olikheten är uppfylld: Exempel: Hitta alla x som uppfyller olikheten x + 1 >. Lösning: Om x + 1 är större än måste det gälla att x > 1. Svar: Olikheten är uppfylld för alla x > 1. Precis som för ekvationer kan vi ge några allmänna räkneregler: Sats: Räkneregler för olikheter x < y x + a < y + a för alla x, y, a R x < y ax < ay för alla x, y, a R sådana att a > 0 x < y ax > ay för alla x, y, a R sådana att a < 0 När vi multiplicerar båda sidorna av en olikhet med ett negativt tal måste vi alltså vända på olikheten. Ta som exempel 1 < 1 > där vi multiplicerat båda sidor av en olikhet med 1. 9

Intervall Lösningarna till olikheter är i regel ett eller flera intervall. Intervall är sammanhängande delmängder av R, tex alla tal mellan 1 och. Vi betecknar intervall på följande vis: x [a, b] a x b x (a, b] a < x b x [a, b) a x < b x (a, b) a < x < b [a, b] kallas för ett slutet intervall, och (a, b) kallas för ett öppet intervall. När vi jobbar med olikheter är det underförstått att det är de reella tal vi jobbar med om inget annat anges och vi skriver därför ibland: 0 x x [0, ). Notera att vi alltid har en ) där vi har oändlighetstecknet, eftersom inte är ett reellt tal. Exempel: Finn alla x som uppfyller olikheten 3x + 4 < 3. Ange svaret som ett intervall. Lösning: Vi använder räknereglerna för olikheter: 3x + 4 < 3 3x < 1 x > 1 3 Detta mostsvaras av: Svar: Olikheten är uppfyld om x ( 1 3, ). Det är ibland nödvändigt att utreda flera fall när oliheter löses: Exempel: Hitta alla x som uppfyller olikheten x + x 1 >. Lösning: För att lösa olikheten måste vi ta hänsyn till både fallen när x 1 > 0 och när x 1 < 0. Fall 1: x 1 > 0 x > 1 Eftersom x 1 > 0 kan vi multiplicera med det talet på båda sidor av olikheten: x + x 1 > x + > (x 1) x + > 4x 10

4 > 3x x < 4 3 Sammantaget ger detta fall att x ( 1, 4 3 ). Fall : x 1 < 0 x < 1 Eftersom x 1 < 0 måste vi vända på olikheten när vi multiplicerar med det talet på båda sidor av olikheten: x + x 1 > x + < (x 1) x + < 4x 4 < 3x 4 3 < x Men eftersom x inte samtidigt kan vara både större än 4 och mindre än 1, ger inte detta några 3 ytterligare x som uppfyller olikheten. Svar: Olikheten är uppfylld när x ( 1, 4 3 ). Det finns flera sätt att lösa kvadratiska olikheter. Nedan ges en sådan metod. Exempel: Lös olikheten x + 4x x + 9. Lösning: Vi använder kvadratkomplettering: x + 4x x + 9 x + 3x 9 ( x + 3 ) 9 4 9 ( x + 3 ) 45 4 Eftersom kvadraten av ett tal alltid är positivt ser vi att det som står inuti parentesen måste vara antingen tillräckligt stort och positivt, eller tillräckligt litet och negativt: ( x + 3 ) 45 4 11

x + 3 45 4 x + 3 45 4 x 45 3 x 45+3 Svar: Olikheten är uppfylld när x (, ] [ 45+3 45 3, ) 1