Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1

Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1 Metod givet A........................... 6 3.2 Kärnan för några geometriska avbildningar........... 6 4 Bilden 6 4.1 Allmän metod givet A...................... 6 4.2 Bilden av några geometriska avbildningar............ 7 5 Rank/Nullity theorem 7 6 Determinantens betydelse 8 6.1 Determinant=0.......................... 8 6.2 Determinant=1.......................... 8 7 Baser och dimensioner 9 8 Baser och koordinater 9 8.1 Basbytesmatris.......................... 9 9 Basbyte för en linjär avbildning och allmänna linjära avbildningar 10 10 ON-baser och Gram-Schmidt 11 10.1 Allmän metod för att projicera på en mängd M........ 11 11 Ortogonalt komplement 12 12 Egenrum och Diagonalisering 13 12.1 Egenrum.............................. 13 12.2 Diagonalisering.......................... 13 13 Symmetriska matriser och ortogonal diagonalisering 15 13.1 Metod för att orgotonalt diagonalisera en symmetrisk matris A 15 Ambjörn Karlsson januari 2016 2

14 Kvadratiska former 16 14.1 Metod för att klassificera kvadratisk form............ 16 15 Viktiga/användbara Satser 17 Ambjörn Karlsson januari 2016 3

1 Projektion och minsta avstånd När vi projicerar en vektor x på en mängd m, gäller att proj m x = x perp m x (1) x = perp m x + proj m x (2) Perp är samma sak som att vi projicerar på normalen (ortogonala komplementet) till mängden m. Sats: När vi projicerar på en mängd/vektor kommer det vi får ut alltid att ligga i mängden/ligga i samma riktning som vektorn. Allmän metod för att hitta minsta avstånd mellan två mängder: Vi vill hitta en vektor vars riktning är vinkelrät mot båda mängderna med en längd som är minsta avståndet. Det kan vi göra på följande sätt: 1. Bilda en vektor x mellan mängderna 2. Projicera denna på en normal n som är vinkelrät mot båda mängderna 3. Minsta avståndet D blir nu D = proj n x Ambjörn Karlsson januari 2016 4

2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser En linjär avbildning är som en funktion som tar in ett värde (oftast vektor) och ger ett värde enligt ett fast mönster. Alla linjära avbildningar kan skrivas som matriser. För att det ska vara en linjär avbildning krävs det att följande två saker uppfylls: 1. T (X + Y) = T (X) + T (Y) 2. T (cx) = ct X Sats: Om en avbildning T : R n > R m så har matrisen n antal kolumner och m antal rader. när n = m kallas det en kvadratisk [ matris. ] Låt T (x) : R 2 > R 2 a1 a och låt dess avbildningsmatris vara A: 2 a 3 a 4 Om vi nu avbildar enhetsvektorerna [ ] [ ] [ ] a1 a T ( e 1 ) = 2 1 a1 = [ a 3 a 4 ] [ 0 ] [ a 3 ] a1 a T ( e 2 ) = 2 0 a2 = a 3 a 4 1 a 4 Ser vi nu att vi får ut kolumnerna av matrisen genom att avbilda enhetsverkorerna. Allmänt i R n ges alltså en avbildningsmatris av A = [ ] T (e 1 ) T (e 2 )... T (e n Vilket vi i princip alltid kan använda för att hitta avbildningsmatrisen för en avbildning. exempel: T är beskriven i ord (t.ex geometriska avbildningar) exempel: T är beskrivning av vad som händer för en godtycklig avbildning, t.ex T (x1, x2) = (3x1 x2, x2, 0) exempel: Om vi har samband på formen T (x 1 ) = y 1 T (x 2 ) = y 2. Här kan vi även skriva avbildningen som en godtycklig matris och hitta entrys. Ambjörn Karlsson januari 2016 5

3 Kärnan Alla X som avbildat blir 0 d.v.s alla x som uppfyller att T (x) = 0 ingår i kärnan. 0 ingår således alltid i kärnan. Dimensionen av kärnan är antalet vektorer som spänner upp kärnan. Dimensionen av 0 är dock 0. 3.1 Metod givet A Sätt upp ekvationen Ax = 0 där A är avbildningsmatrisen och X är det sökta setet av vektorer. Lös detta genom att gaussa. Lösningen kommer antingen att vara 0 vektorn eller att vara en parameterlösning (d.v.s en oändlig mängd). 3.2 Kärnan för några geometriska avbildningar T : R n > R n Spegling i ett delrum (tex en linje). Det finns inget som speglat blir 0 förutom 0-vektorn. Ker(T ) = 0 vilket har dimension 0. T : R n > R n : Rotation i R n. Det finns inget roterat som blir 0 förutom 0-vektorn. Ker(T ) = 0 vilket har dimension 0. T : R n > R n : Projektion på ett delrum P. Det som är ortogonalt mot delrummet P kommer att avbildas (i detta fall projiceras) till 0-vektorn. Ker(T ) = P. Dimensionen av detta blir samma som dimensionen för det ortogonala komplementet. 4 Bilden Bilden för en avbildning T : R n > R m utgörs av alla vektorer som kan bildas genom avbildning av vilken vektor i R n som helst. 4.1 Allmän metod givet A Hitta ett set av så många linjärt oberoende kolumner från A som möjligt. Spannet av dessa utgör bilden. Detta kan vi göra genom att gaussa och hitta ett set av linjärt oberoende vektorer. Ett enkelt sätt att välja detta är genom att välja de kolumner som i RREF får ledande 1:or. Bilden utgörs alltid av spannet av vektorer från ursprungsmatrisen och inte kolumner i den gaussade matrisen. Ambjörn Karlsson januari 2016 6

4.2 Bilden av några geometriska avbildningar T : R n > R n : Spegling i ett delrum (tex en linje). Vi kan spegla till vilken vektor i R n som helst, eftersom vi kan avbilda vilken vektor i R n som helst. Detta innebär att Im(T ) = R n vilket har dimension n. T : R n > R n : Rotation i R n. vi kan avbilda (rotera) till vilken vektor som helst då vi kan avbilda vilken vektor i R n som helst. Im(T ) = R n T : R n > R n Projektion på ett delrum P. När vi projicerar på något så kommer projektionen alltid att ligga i det vi projicerar på. Således kommer allt som avbildas hamna i P och Im(T ) = P. 5 Rank/Nullity theorem För en linjär avbildning T : R n > R m gäller alltid att dim(ker(t )) + dim(im(t )) = n (3) Denna sats kan användas i flera situationer. Ofta kan vi lista ut dimensionen av antingen bilden eller kärnan och sedan använda formeln för att hitta dimensionen av den andra. Vi kan till exempel även använda denna sats för att kontrollera om bilden och kärnan till en avbildning är rimlig. Ambjörn Karlsson januari 2016 7

6 Determinantens betydelse Determinanten är ett mått på hur arean på saker skalas av matrisen. Om till exempel en parallellpiped före avbildningen har volymen 5 a.e och avbildningsmatrisen har determinant 2, kommer volymen efter avbildningen vara 2 5 = 10. Om determinanten är 0, betyder det att det inte längre kommer vara en parallellpiped efter avbildningen. 6.1 Determinant=0 Följande påståenden är ekvivalenta för en NxN-matris A: 1. det(a) 0 2. A är inverterbar 3. A har N linjärt oberoende kolumner 4. rank(a) = N 5. Systemet Ax = B har en unik lösning. 6. RREF av A är I 7. λ = 0 kan inte vara ett egenvärde. På samma sätt är följande påståenden ekvivalenta för en NxN-matris A: 1. det(a) = 0 2. A är ej inverterbar 3. A har linjärt beroende kolumner 4. rank(a) < N 5. Systemet Ax = B har ej en unik lösning. 6. λ = 0 är ett egenvärde till A 6.2 Determinant=1 Om determinanten för en avbildningsmatris är 1 innebär det att arean/volymen för något före avbildningen och efter avbildningen är oförändrad. Ambjörn Karlsson januari 2016 8

7 Baser och dimensioner Sats: För att vara bas för ett delrum P av dimension N, krävs exakt N antal linjärt oberoende vektorer som ligger i P. Sats: Om vi har en ekvation (ett samband) i R n så utgör det ett hyperplan i R n med dimension n 1 Exempel: Hitta en bas för hyperplanet x 1 2x 2 +x 3 x 4 = 0 i R 4. Observera att vi har ett delrum med dimension 4 1 = 3 då vi har en ekvation i R 4. Vi behöver således exakt 3 vektorer i mängden för att skapa en bas för mängden. Vi söker nu 3 vektorer ortogonala mot normalen för att utgöra basen. Genom parametrisering kan vi se att vi till exempel kan välja basen 2 1 1 1 0 0 β = {, 0 0 1 0, }. 0 1 8 Baser och koordinater En bas kan ses som ett set av koordinataxlar. Koordinater är vilka koefficienter vi sätter framför respektive basvektor. Standardbasen består av enhetsvektorerna e 1, e 2 [,..., ] e n. Om vi är i R 2 är standardbasen S = {e 1, e 2 }. 3 När vi skriver vektorn är det underförstått att vi är i standardbasen och 2 då är det samma [ ] sak som 3e 1 + 2e 2. Om vi har en ny bas β = {β 1, β 2 } och 3 frågar oss vad är frågar vi oss vilka koordinater c 2 1 och c 2 som uppfyller β[ ] [ ] [ ] 3 3 c1 att c 1 β 1 + c 2 β 2 =. Vi kan nu skriva att = 2 2 c β 2 Koordinater i en bas är helt enkelt vilka koefficienter vi sätter framför respektive basvektor. 8.1 Basbytesmatris Basbyten mellan två baser kan beskrivas som en linjär avbildning. En sådan linjär avbildningsmatris kallas en basbytesmatris. En basbytesmatris P från β till γ skrivs som P β > γ = [ β1 γ, β2 γ,..., β N γ]. (4) Ambjörn Karlsson januari 2016 9

Basbytesmatrisen från en bas till standardbasen kommer således bara bestå av basvektorerna som kolumner då dessa redan är skrivna i standardbasen. Om vi tar inversen av en basbytesmatris så byter pilen riktning, d.v.s inversen av basbytesmatrisen från β till S är basbytesmatrisen från S till β Går det alltid att hitta en basbytesmatris från en bas till S? Går det alltid att hitta en basbytesmatris från S till en bas? 9 Basbyte för en linjär avbildning och allmänna linjära avbildningar När vi ska byta bas för en linjär avbildning finns det två sätt att göra. Kom ihåg från tidigare att A S = [ T (e 1 ) S T (e 2 ) S... T (e n ) S ] (5) Nu kan vi uttrycka en linjär avbildning i en godtycklig bas β som D β = [ T (β 1 ) β T (β 2 ) β... T (β n ) β ] (6) Med hjälp av denna ekvation kan vi gå från att vi vet vad avbildningen T är i standardbasen till att hitta D. Först avbildar vi respektive basvektor i den nya basen, sedan byter vi bas på avbildningen. Detta kommer utgöra kolumnerna. Vi kan även använda oss av denna formel, som ibland lämpar sig bättre: D = P 1 AP (7) eller ekvivalent A = P DP 1 (8) Där P är en basbytesmatris från β till standardbasen S. Ambjörn Karlsson januari 2016 10

10 ON-baser och Gram-Schmidt En ON-bas är en bas sådan att alla vektorer i basen är vinkelräta mot alla andra vektorer och alla vektorer i basen har längden 1. Om vi har en bas för en mängd, kan vi använda Gram-Schmidt för att hitta en ON-bas som är bas för exakt samma mängd. Om vi vill projicera på en mängd, är det alltså samma sak som att projicera på mängden uttryckt med en ON-bas. En Ortogonal matris är en matris vars kolumner är en ON-bas. För ortogonala matriser gäller att A T = A 1. 10.1 Allmän metod för att projicera på en mängd M 1. Hitta en bas β för mängden M. Om M har dim n, behövs n antal linjärt oberoende vektorer som ligger i mängden M. 2. Skapa en ON-bas för β med hjälp av Gram-Schmidts metod. 3. Projektionen på mängden M blir nu summan av projektionen på respektive basvektor i ON-basen, se nedan. Låt O 1, O 2,...O N vara basvektorerna i ON-basen. proj M x = proj O1 x + proj O2 x +... + proj ON x (9) Observera! Denna metod för att projicera går bara om vi har mängden representerat i en ortogonal bas. Ambjörn Karlsson januari 2016 11

11 Ortogonalt komplement Ortogonalt komplement till ett delrum M, är ett delrum som består av alla vektorer som är vinkelräta mot alla vektorer i M. Låt säga att vi är i R 5 och har ett delrum som spänns upp av 2 vektorer. Hur många linjärt oberoende vektorer kan vi ha i R 5? Hur många vinkelräta vektorer kan vi ha i R 5? Hur många vektorer (vilken dimension) kommer det ortogonala komplementet ha? Sats: För ett delrum M i R N gäller alltid att dim(m) + dim(m ) = N (10) Ambjörn Karlsson januari 2016 12

12 Egenrum och Diagonalisering Egenvektorer för en linjär avbildning T : R n > R n (finns bara egenvärden till kvadratiska avbildningsmatriser) är som bekant 0-skilda vektorer v som uppfyller att Av = λv. λ är egenvärdet som motsvarar denna egenvektor. Det är denna formel man använder om man tester om något är ett egenvärde (alternativt kontrollerar om man fått rätt egenvärden/egenvektorer). Notera, alla multiplar av en egenvektor är en egenvektor med samma egenvärde. 12.1 Egenrum Egenrum är en mängd som består av egenvektorer till ett egenvärde λ. Varje egenvärde har alltså sitt egenrum. Man säger att detta egenvärde och egenrum har en: 1. Algebraisk multiplicitet, vilket är antalet förekomster av det givna egenvärdet. En dubbelrot till det karekteristiska polynomet har således algebraisk multiplicitet 2. 2. Geometrisk multiplicitet detta är hur många linjärt oberoende egenvektorer ett egenvärde har. Man kan säga att detta är vilken dimension egenrummet har. En viktig sats för egenvärden är att: 1 Geomult Algmult n (11) 12.2 Diagonalisering Diagonalisering är ett basbyte för en linjär avbildning enligt formeln D = P 1 AP som vi använde under basbyten. Det som är skillnaden är att detta basbyte sker till en bas som består av egenvektorer. Kolumnerna i basbytesmatrisen P består alltså av A:s egenvektorer och D kommer vara en diagonal matris med egenvärderna på diagonalen. En matris för en avbildning T : R n > R n är Diagonaliserbar om och endast om vi har n stycken Ambjörn Karlsson januari 2016 13

linjärt oberoende egenvektorer. Detta kommer ske när algmult = geomult för alla egenvärden. En vanlig tillämpning är att beräkna avbildningsmatrisen för att utföra avbildningen många gånger (ibland mot oändligheten). Detta blir en förenkling eftersom det är enkelt att ta en diagonal matris upphöjt i ett tal genom att vi bara tar varje diagonalvärde upphöjt i talet. A och D har: 1. Samma trace tr(a) = tr(d) 2. Samma determinant det(a) = det(d) 3. Samma egenvärden. 4. Samma rank A N = P D N P 1 (12) Ett bra test så man har fått rätt egenvärden, är att summan av egenvärden ska vara samma som summan av diagonalen på A (tr(a)). Ambjörn Karlsson januari 2016 14

13 Symmetriska matriser och ortogonal diagonalisering Ortogonal diagonalisering är när vi diagonaliserar en NxN-matris A med ett P som är ortogonal, d.v.s P T = P 1. Detta går att göra om och endast om A är en symmetrisk matris d.v.s A = A T Sats: En matris A är ortogonalt diagonaliserbar om och endast om A är symmetrisk. Sats: Om en matris A är symmetrisk kommer egenvektorer från olika egenvärden (olika egenrum) att vara vinkelräta. Om vi hittar egenvärden och egenvektorer för en symmetrisk matris får vi dock inte alltid en ON-bas av egenvektorer direkt. Då måste vi först utföra GS på våra egenrum. Notera att de uppdaterade vektorerna i ett egenrum kommer ha samma egenvärden som förut. 13.1 Metod för att orgotonalt diagonalisera en symmetrisk matris A 1. Hitta samtliga egenvärden och motsvarande egenvektorer för A. Varje egenvärde har ett egenrum med en eller flera egenvektorer. 2. Utför Gram Schmidt på vektorerna för respektive egenrum. (eller tänk att alla egenvektorer är en bas och utför det på dem). 3. Sätt kolumnerna i en matris P till basvektorerna för ON-basen som vi hittade i steg (2). 4. Låt D vara en diagonal matris med egenvärden. 5. nu är A = P DP 1 = P DP T eller ekvivalent D = P T AP Ambjörn Karlsson januari 2016 15

14 Kvadratiska former Kvadratiska former är ett sätt att skriva om symmetriska matriser och ett sätt att kategorisera dem efter deras egenskaper. För en symmetrisk matris A skrivs den kvadratiska formen som: Q(X) = X T AX (13) blir den kvadratiska formen [ a ] b/2 b/2 c (14) Q(X) = ax 1 2 + bx 1 x 2 + cx 2 2 (15) Exempel hur man gör allmänt Vi kan klassificera en symmetrisk matris (och den kvadratiska formen) till följande (bland annat): 1. Positiv definit om Q(X > 0) för alla x som inte är 0. 2. Negativ definit om Q(X < 0) för alla x som inte är 0. 3. Indefinit om det finns både Q(X > 0) och Q(X < 0) Detta inträffar om och endast om: 1. Positiv definit om alla λ > 0 2. Negativ definit om alla λ < 0 3. Indefinit om det finns både negativa och positiva egenväden Det finns även positiv semidefinit och negativ semidefinit, vilket är samma sak som (1) och (2) bara att det även finns något λ = 0. 14.1 Metod för att klassificera kvadratisk form 1. Hitta egenvärden 2. kolla om de är negativa, positiva, eller båda två Ambjörn Karlsson januari 2016 16

15 Viktiga/användbara Satser Här är några viktiga satser som nämnts. Detta är dock långt ifrån alla satser/formler i kursen så min rekommendation är att kolla igenom alla kapitel som ingår i kursen och skumma igenom "theorems" och "lemma". Sats: När vi projicerar på en mängd/vektor kommer det vi får ut alltid att ligga i mängden/ligga i samma riktning som vektorn. Sats: I R N kan vi maximalt ha N stycken linjärt oberoende vektorer. För att T ska vara en linjär avbildning krävs det att följande två saker uppfylls: 1. T (X + Y) = T (X + T (Y) 2. T (cx) = ct X Sats: För att vara bas för ett delrum P av dimension N, krävs exakt N antal linjärt oberoende vektorer som ligger i P. Sats: Om vi har en ekvation (ett samband) i R n så utgör det ett hyperplan i R n med dimension n 1 För en linjär avbildning T : R n > R m gäller alltid att dim(ker(t )) + dim(im(t )) = n (16) Sats: För ett delrum M i R N gäller alltid att dim(m) + dim(m ) = N (17) För varje egenvärde gäller att: 1 Geomult Algmult n (18) Sats: En NxN-matris A är diagonaliserbar om och endast om den har N stycken linjärt oberoende vektorer Sats: En matris A är ortogonalt diagonaliserbar om och endast om A är symmetrisk. Sats: Om en matris A är symmetrisk kommer egenvektorer från olika egenvärden (olika egenrum) att vara vinkelräta. Ambjörn Karlsson januari 2016 17

När vi diagonaliserar en matris A till en bas bestående av egenvektorer så är avbildingen D i denna bas diagonal med: 1. Samma trace tr(a) = tr(d) 2. Samma determinant det(a) = det(d) 3. Samma egenvärden. 4. Samma rank rank(a) = rank(d) Kvadratisk matris: Matris med storlek NxN Ortogonal matris: Matris bestående av ON-bas som kolumner. A T = A 1 Symmetrisk matris: Matris där A = A T Invers matris: A 1 A = AA 1 = I. Om A gör en sak gör A-invers tvärtom. Går bara för NxN-matriser. Några saker som kan vara användbara- (A 1 ) 1 = A (ka 1 ) = k 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T (AB) 1 = A 1 B 1 Determinant av matris: det(a)det(b)=det(ab) det(a 1 ) = 1/(det(A)) det(a T ) = det(a) Ambjörn Karlsson januari 2016 18