Kapitel 3 Dynamiska system 3. Enkla systemtyper och deras stegsvar F r att knna konstrera reglatorer f r dynamiska system b r systemens egenskaper vara k nda. Innan vi g r vidare till att behandla modeller f r dynamiska system skall vi ge en kortfattad kvalitativ beskrivning av de viktigaste systemtyperna som man b r k nna till. F r att ge en kvalitativ inblick i de olika systemtyperna kommer vi att betrakta deras stegsvar, dvs tsignalen yètè efter en stegf r ndring i insignalen ètè. F rsta ordningens system. Stegsvaret hos ett system av f rsta ordningen har getts i exempel 2.4, gr 2.8. Karakteristisk f r ett system av denna typ r att tidsderivatan dy= r olikt noll omedelbart efter stegf r ndringen. Exemplen i kapitel 2 illstrerar hr system av denna typ kan f s genom fysikalisk modellering. System med tv tidskonstanter. Genom att ha tv system av f rsta ordningen i serie f s ett system med tv tidskonstanter. Stegsvaret karakteriseras av en l ngsammare respons i b rjan, med dy= =vid t =,jfr gr 3.. System av denna typ f s i praktiken p samma s tt som f rsta ordningens system. Ett system med tv tidskonstanter f s t.ex. genom att modellera motorn i exempel 2. som ett f rsta ordningens system. System med versv ng. Figr 3.2 visar stegsvaret hos ett system med versv ng. Detta r typiskt f r system mekaniska system med fj drande element. N gra exempel r en kran med en h ngande last, en pendel, fj dringen i en bil eller varvtalet hos en motor med exibel koppling. Systemets tendens till sv ngningar g r det sv rare att reglera. En viktig ppgift f r regleringen r att d mpa sv ngningarna. F r att knna g ra detta b r man ha en tillr ckligt god modell av systemet. System med d id. D id eller tidsf rdr jning èeng. dead time, time delay;. kollt aika, aikaviiveè inneb r att det tar en tid L innan en f r ndring i insignalen syns i tsignalen. Stegsvaret hos ett 22
.2.8.6.4.2.2.2.8 y.6.4.2 2 2 4 6 8 2 4 6 tid Figr 3.: Responsen hos ett system med tv tidskonstanter. system av f rsta ordningen med d id illstreras i gr 3.3. Eftersom styrsignalen inverkan syns f rst efter en tid r system med d id sv ra att reglera. F r att knna via korrekt regler tg rd p basen av m tningen yètè vid tiden t b r reglatorn knna f rtse hr systemet kommer att bete sig mellan tiden t och t + L, d regler tg rdens inverkan p tsignalen kan observeras. D ider f rorsakas i praktiken vanligen av olika typer av transporttider, s som vid f ryttning av material eller vid v tske- eller gas den. System med d id r d rf r mycket vanliga i processindstrin. System med integration. Om tsignalen best ms av integralen hos insignalen, enligt Z t yètè =k èèè, èd è3.è nns det endast ett v rde p insignalen f r vilket tsignalen y h lls konstant. Varje avvikelse fr n f r y antingen att st ndigt ka eller st ndigt minska. Se gr 3.4. Typiska exempel p system med integration r m ngden av material y som man har i ett lager med konstant tstr mning. M ngden y h lls konstant endast om in det till lagret r exakt lika stort som tstr mmen. F r é kar y med konstant hastighet och f r é minskar y med konstant hastighet till lagret r tomt. Ett konkret exempel r v tskeinneh llet y i en beh llare med konstant t de och in det. Ett annat viktigt exempel p ett system med integration r servomotorer som anv nds vid positionsreglering. Positionen y styrs med sp nningen till motorn. R relsehastigheten r proportionell mot sp nningen, dvs dy= = k. En avvikelse fr n =ger d rf r pphov till en ih llande f r ndring i positionen. System med inverssvar. Figr 3.5 visar stegsvaret hos en process med inverssvar. K nnetecknande f r dessa system r att svaret startar t motsatta h llet innan det n rmar sig det station ra v rdet. Behovet 23
.2.8.6.4.2.2.5 y.5 2 2 3 4 5 6 7 8 tid Figr 3.2: Responsen hos ett system med versv ng. att beakta den initiala motsatta verkan av en regler tg rd g r att system med inverssvar r mycket sv ra att reglera. System med inverssvar ppst r t.ex. d tv delprocesser i ett system verkar t motsatt h ll. Om en av processerna har ett snabbt svar och den andra har ett l ngsamt svar, kommer den snabba processen till en b rjan att f tsignalen att g mot ett h ll innan den l ngsamma processen hinner p verka tsignalen. Ett exempel p denna typs system r vid f rbr nning av fasta br nslen ès som isè. En kning av br nslem ngden f r temperatren i eldh rden f rst att minska eftersom det inkommande br nslet har en l gre temperatr. Efter att f rbr nningen av det tillf rda br nslet kommit i g ng kar temperatren. Andra exempel p system med inverssvar nns t.ex. vid reglering av vissa ygplan. Inom ekonomiska system r inverssvar vanliga: t.ex. en skattes nkning s nker till en b rjan skatteinkomsterna pga den l gre skatten, men kan senare resltera i en st rre skatteint kt tack vare kad ekonomisk aktivitet. Instabila system. Instabila system karakteriseras av att de divergerar fr n sitt begynnelsetillst nd om de l mnas t sig sj lva. Ett enkelt exempel p ett instabilt system r en inverterad pendel, som faller om den inte kontinerligt balanseras. Det enda s ttet att h lla ett instabilt system vid ett b rv rde r genom att anv nda terkoppling. Vissa ygplan r instabila och beh ver d rf r st ndiga regler tg rder f r att h lla krsen. Exempel p instabila system inom processindstrin r vissa reaktorer med exoterma reaktioner, som b r kylas tillr ckligt f r att h lla reaktionen nder kontroll. Ett annat exempel p instabilitet r att backa ett fordon med sl p. Systemet r instabilt eftersom den minsta avvikelse i krsen f r sl pet att driva t sidan. Det enda s ttet att h lla krsen r att st ndigt kompensera krsavvikelserna med styrningen. En reglator som stabiliserar systemet kan backa ett fordon med sl p tan sv righet. 24
.2.8.6.4.2.2.2.8.6 y.4.2.2 2 2 4 6 8 tid Figr 3.3: Responsen hos ett system av f rsta ordningen med d id èl =è. 3.2 Linj ra system I kapitel 2 har vi sett att dynamiska system beskrivs av dierentialekvationer. Vi skall i detta kapitel n rmare introdcera modeller av de vanligaste typerna av dynamiska system. Generellt kan ett linj rt dynamiskt system G med insignalen och tsignalen y beskrivas med en linj r dierentialekvation av formen d n yètè n + a d n, yètè d m ètè +æææ+a n, n, + a n yètè =b m +æææ+b dètè m, + b m ètè è3.2è Med systemets ordning avses ordningen n hos dierentialekvationen. F r fysikaliskt realistiska system g ller m n. Systemekvationen è3.2è kan skrivas i en bekv mare form genom att introdcear beteckningen f r dierentialoperatorn. Eftersom d 2 2 y = d p = d f ljer generellt att d k k y = pk y Ekvation è3.2è kan s ledes skrivas i formen è3.3è d y = p 2 y è3.4è è3.5è eller p n y + a p n, y + æææ+a n,py + a n y = b p m + b p m, + æææ+b m,p + b m Aèpèy = Bèpè è3.6è è3.7è 25
.2.8.6.4.2.2 6 5 4 y 3 2 2 2 4 6 8 tid Figr 3.4: Responsen hos ett system med integration. d r vi introdcerat polynomen Aèpè = p n + a p n, + æææ+a n,p+a n Bèpè = b p m + b p m, + æææ+b m,p+b m è3.8è è3.9è L ser vi t y r ekvation è3.7è f s yètè = Bèpè Aèpè ètè è3.è eller d r vi denierat yètè =Gèpèètè Gèpè = Bèpè Aèpè è3.è è3.2è Eftersom dierentialoperatorn p r en operator kan ven Gèpè ppfattas som en operator som transformerar signalen ètè till en annan signal yètè. Operatorn Gèpè kallas systemets verf ringsoperator. Alternativt kan man betrakta Gèpè som en fnktion av operatorn p, varf r man ocks kallar Gèpè verf ringsfnktion èeng. transfer fnction;. siirtofnktioè. Av n gon orsak r den f rra termen brklig i svenskan, medan den senare anv nds i engelskspr kig text. Anm rkning 3. Begreppet verf ringsoperator kan deneras mera rigor st via Laplace-transformen som en operator som opererar p en Laplace-transformerad signal. Denna metod r mera generell n den som anv nds h r, men verf ringsoperatorn har samma form i b gge fallen. Laplacetransformen kommer att behandlas i senare krser. 26
.2.8.6.4.2.2.5 y.5.5 2 2 3 4 5 6 7 8 tid Figr 3.5: Responsen hos ett system med inverssvar. System som beskrivs av linj ra dierentialekvationer av typen è3.2è har ett antal viktiga egenskaper, vilka g r deras behandling speciellt enkel. Egenskaperna f ljer direkt r dierentialoperatorns egenskaper. æ Sperpositionsprincipen: om insignalen till systemet G ger tsignalen y = G, och insignalen 2 ger tsignalen y 2 = G 2, g ller att insignalen + 2 ger tsignalen y + y 2, dvs yètè =Gèpèè ètè + 2 ètèè = Gèpè ètè +Gèpè 2 ètè=y ètè+y 2 ètè è3.3è æ Parallellkoppling av tv system med verf ringsoperatorerna G och G 2 r ekvivalent med ett system med verf ringsoperatorn G + G 2,ty tsignalen fr n parallellkopplade system ges av Jfr gr 3.7. yètè =G èpèètè+g 2 èpèètè= G èpè+g 2 èpè ètè è3.4è æ Seriekoppling av tv system med verf ringsoperatorerna G och G 2 r ekvivalent med ett system med verf ringsoperatorn G 2 G = G G 2, ty tsignalen fr n seriekopplade system ges av Jfr gr 3.8. yètè =G 2 èpè G èpèètè =G 2 èpèg èpèètè=g èpèg 2 èpèètè è3.5è æ Observera att det r ovan f ljer att ordningsf ljden hos seriekopplade system inte spelar n gon roll, ty yètè =G èpèg 2 èpèètè=g 2 èpèg èpèètè è3.6è 27
.2.8.6.4.2.2 8 6 y 4 2 2 2 3 4 5 tid Figr 3.6: Responsen hos ett instabilt system. - G y = G - y =èg +G 2 è - G 2 y 2 = G 2 Figr 3.7: Parallellkopplade system. Problem 3. Betrakta tv f rsta ordningens system G och G 2, d r G denieras av dierentialekvationen och G 2 denieras av dierentialekvationen dy ètè + y ètè = ètè è3.7è dy 2 ètè +2y 2 ètè=3 2 ètè è3.8è - Best m systemens verf ringsoperatorer. - H rled dierentialekvationen som beskriver en parallellkoppling av G och G 2. Veriera att verf ringsoperatorn hos det parallellkopplade systemet ges av è3.4è. - H rled dierentialekvationen som beskriver en seriekoppling av G och G 2. Veriera att verf ringsoperatorn hos det seriekopplade systemet ges av è3.5è. 28
- G y = G - - G 2 y = G 2 y = G 2 G Figr 3.8: Seriekopplade system. Sambandet è3.è s ger att tsignalen y kan ttryckas genom att mltiplicera insignalen med verf ringsoperatorn Gèpè. Att detta kan g ras f ljer r dierentialoperatorns linj ritet. Det faktm att dierentialekvationssambandet kan ttryckas i form av enmltiplikation g r det m jligt att h rleda dierentialekvationer f r kopplade system genom rent algebraiska maniplationer, best ende av endast mltiplikationer och additioner. Betrakta t.ex. den terkopplade reglerkretsen i gr 3.9. Genom att ttrycka signalsambanden med hj lp av verf ringsoperatorerna G p èpè och G c èpè och eliminera signalerna e och med hj lp av algebraiska maniplationer f r vi att sambandet mellan signalen r och tsignalen y beskrivs av verf ringsoperatorn yètè =Gèpèrètè è3.9è d r Gèpè = G pèpèg c èpè +G p èpèg c èpè è3.2è Motsvarande dierentialekvation kan sedan best mmas genom att tnyttja sambandet è3.2è mellan verf ringsoperatorn och dierentialekvationen. Problem 3.2 H rled sambandet è3.9è, è3.2è mellan r och y. Problem 3.3 Betrakta det terkopplade systemet i gr 3.9, och antag att systemet G p beskrivs av dierentialekvationen + yètè =ètè è3.2è och reglatorn G c beskrivs av dierentialekvationen dètè +2ètè=2eètè è3.22è Best m dierentialekvationen som beskriver sambandet mellan signalerna r och y. 3.3 Modellering av enkla standardsystem I detta avsnitt skall vi mera detaljerat stdera de enkla standardsystemtyperna som beskrevs i avsnitt 3.. Speciellt skall vi visa hr enkla dierentialekvationsmodeller ger pphov till 29
r +, e 6 e G c G p - - - - y Figr 3.9: terkopplad krets. de olika stegsvaren. stegformad, enligt samt yètè =;t é. Vi skall allts best mma den tsignal yètè som f s, d insignalen r, f r té ètè = è3.23è steg, f r t 3.3. F rsta ordningens system Ett stabilt system av f rsta ordningen beskrivs av dierentialekvationen d r aé. Man brkar ofta skriva systemekvationen i formen + ayètè = bètè è3.24è T d r T ==a och K = b=a. Systemets verf ringsoperator r och det har stegsvaret Gèpè = + yètè =Kètè è3.25è b p+a = K Tp+ y steg ètè =Kè, e,t=t è steg Jfr gr 2.8. Systemets statiska f rst rkning r lika med K, dvs è3.26è è3.27è y steg ètè! K steg ; d t! è3.28è Parametern T kallas systemets tidskonstant èeng. time constant;. aikavakioè, och r ett m tt p hr snabbt systemet reagerar; j mindre T èé è, desto snabbare respons. Speciellt g ller, att vid tiden t = T har è, e, è æ è = 63:2è av den totala f r ndringen n tts. Problem 3.4 Veriera att systemet è3.25è har stegsvaret è3.27è. 3
3.3.2 System med tv tidskonstanter Ett system med tv tidskonstanter best r av tv seriekopplade f rsta ordningens system. L t det f rsta systemet, G, beskrivas av T dy ètè + y ètè =K ètè è3.29è med tsignalen y ètè, som r insignal till det andra systemet, G 2, som beskrivs av T 2 + yètè =K 2 y ètè è3.3è Enligt tidigare har vi att det seriekopplade systemet har verf ringsoperatorn èjfr è3.5èè Gèpè =G 2 èpèg èpè= K èt 2 p+ èèt p +è è3.3è d r K = K K 2. Detta r ett andra ordningens system. Stegsvaret hos det seriekopplade systemet G 2 G kan best mmas genom att observera att om T 6= T 2 kan Gèpè skrivas i formen Gèpè = KT =èt, T 2 è T p + + KT 2=èT 2, T è T 2 p + è3.32è Detta karakteriserar Gèpè i form av tv parallellkopplade system av f rsta ordningen. Enligt è3.4è ges stegsvaret av smman av de enskilda systemens stegsvar i è3.32è, vilket enligt è3.27è r KT + KT 2 y steg ètè = = K T, T 2, e,t=t, e,t=t 2 T 2, T steg, T T, T 2 e,t=t, T 2 T 2, T e,t=t 2 steg è3.33è Man kan visa att om T = T 2 = T ges stegsvaret av y steg ètè =K,è + tt èe,t=t steg è3.34è Figr 3. visar stegsvaret f r ett system med tv tidskonstanter. J mf rt med ett f rsta ordningens system har stegsvaret hos ett system med tv tidskonstanter en kontinerligt varierande derivata, s att = =vid t =. I analogi med ett f rsta ordningens system sker f r ndringen monotont fr n begynnelsev rdet till det station ra v rdet, och stegsvaret saknar allts versv ng. P motsvarande s tt kan man bilda system med era tidskonstanter genom seriekoppling av era f rsta ordningens system. Problem 3.5 Veriera att systemet è3.3è har stegsvaret è3.34è i fallet T = T 2 = T. 3
3.3.3 System med versv ng Det seriekopplade systemet i ekvation è3.3è r ett system av andra ordningen med tv reella tidskonstanter. verf ringsoperatorns n mnarpolynom Aèpè har i detta fall de tv reella nollst llena,=t och,=t 2. System med versv ng beskrivs av dierentialekvationer med den egenskapen att polynomet Aèpè har komplexkonjgerade nollst llen. Ett generellt system av andra ordningen beskrivs av d 2 yètè 2 + a och motsvarande verf ringsoperator + a 2 yètè =b dètè + b 2 ètè è3.35è Gèpè = b p+b 2 p 2 +a p+a 2 è3.36è F r att belysa de karakteristiska egenskaperna hos system av andra ordningen r cker det med att betrakta fallet d b =. Systemets statiska f rst rkning, den transienta responsens snabbhet samt versv ngens storlek best ms d entydigt av systemparametrarna. Det visar sig att dessa tre systemegenskaper kan karakteriseras explicit genom att skriva systemekvationen i formen d 2 yètè 2 och motsvarande verf ringsoperator +2! n +! n 2 yètè =K!2 nètè è3.37è Gèpè = K! 2 n p 2 +2! n p +! 2 n è3.38è H r r K systemets statiska f rst rkning, kallas relativ d mpning, och! n r systemets od mpade egenfrekvens. Alla stabila system av andra ordningen kan skrivas i formen è3.37è med é och! n é. Den relativa d mpningen best mmer formen hos systemets stegsvar. I fallet é s gs systemet vara verd mpat. Polynomet Aèpè =p 2 +2! n p +! n 2 har h rvid tv negativa reella nollst llen och systemet r ekvivalent med tv seriekopplade system av f rsta ordningen èjfr avsnitt 3.3.2è. I fallet és gs systemet vara nderd mpat. Polynomet Aèpè har i detta fall tv komplexkonjgerade nollst llen med negativa realdelar, och systemets stegsvar har en versv ng, jfr gr 3.2. I gr nsfallet = kallas systemet kritiskt d mpat. Polynomet Aèpè har d ett dbbelt nollst lle som r reell och negativ. Den od mpade egenfrekvensen best mmer tidskalan hos systemets respons; j st rre! n, desto snabbare respons. Stegsvaren f r verd mpade och kritiskt d mpade system ges av è3.33è respektive è3.34è. I det nderd mpade fallet è éè ges stegsvaret av y steg ètè = K = K, æ e,!nt ë sinèæ! n tè+æcosèæ! n tèë, æ e,!nt sinèæ! n t + 'è steg steg è3.39è d r æ = q, 2 è3.4è 32
och ' = arccosèè è3.4è Man kan visa att versv ngens maximala storlek M ges av èangivenièav station ra v rdetè, M = exp æ è è3.42è æ och tiden t M vid vilken den maximala versv ngen f s r t M =! n æ è3.43è Figr 3. illstrerar stegsvar hos verd mpade, kritiskt d mpade och nderd mpade system av andra ordningen. Problem 3.6 Veriera att systemet è3.37è har stegsvaret è3.39è om é..8.6.4.2 y.8.6.4.2.2 2 3 4 5 6 7 8 9 tid Figr 3.: Responsen hos system av andra ordningen med relativa d mpningarna = 2; ; :5 och : ènerifr n r knatè samt od mpade egenfrekvensen! n = och statiska f rst rkningen K =. Vi skall nn visa hr stegsvaret hos ett system è3.35è av andra ordningen med b 6=kan h rledas. verf ringsoperatorn è3.36è kan skrivas Gèpè =G èpè+g 2 èpè è3.44è d r och G èpè = G 2 èpè = b p p 2 +a p+a 2 b 2 p 2 +a p+a 2 è3.45è è3.46è 33
Stegsvaret hos G 2 har givits ovan. Stegsvaret hos G kan best mmas genom att skriva G èpè =p b p 2 +a p+a 2 è3.47è Detta representerar G i form av en seriekoppling av ett system vars stegsvar ges av è3.39è tf ljd av dierentialoperatorn p = d. Stegsvaret hos G kan d rf r best mmas genom att derivera ttrycket è3.39è iavseende tiden. 3.3.4 System med d id Ett system med d id har en tidsf rdr jning som f rdr jer insignalens eekt p tsignalen. Ett system av f rsta ordningen med d iden L beskrivs s ledes av dierentialekvationen + ayètè = bèt, Lè è3.48è Vi kan h rleda ett ttryck f r verf ringsoperatorn hos en tidsf rdr jning genom att ttrycka denna med hj lp av dierentialoperatorn d = p. En Taylor-serietveckling av ètè ger èt + hè = ètè +h dètè = = è è +h d + h2 2! +hp + èhpè2 2! + h2 d 2 ètè 2! 2 d 2 hk + æææ+ 2 k! + æææ+ èhpèk k! + æææ+ hk d k ètè k! k + æææ! d k k + æææ ètè + æææ! ètè = e hp ètè è3.49è d r vi i det sista steget tnyttjat Taylor-serietvecklingen av exponentialfnktionen e x. F r h =,L ger sambandet è3.49è ett ttryck f r tidsf rdr jningen med hj lp av dierentialoperatorn, èt, Lè =e,lp ètè è3.5è Det f ljer att ett tidsf rdr jningen har verf ringsoperatorn G L èpè =e,lp è3.5è Systemet è3.48è best r av en seriekoppling av en tidsf rdr jning och ett system av f rsta ordning, och kan s ledes ttryckas med hj lp av verf ringsoperatorer èdvs med hj lp av dierentialoperatornè i formen yètè = b p+a e,lp ètè è3.52è 3.3.5 System med integration Ett system med integration inneh ller ett delsystem av formen = k ëètè, ë è3.53è jfr ekvation è3.è. Utsignalen y f r ndras s l nge ètè 6=. I praktiken ing r systemet è3.53è vanligen som ett led i en seriekoppling med era delsystem. 34
3.3.6 System med inverssvar System med inverssvar kan beskrivas med hj lp av en parallellkoppling av delsystem vars statiska f rst rkningar har olika tecken. Figr 3.5 visar t.ex. stegsvaret hos ett system med verf ringsoperatorn G inv èpè = 2 p+ + è,5è è3.54è p +5 Genom att skriva ttrycket i è3.54è p gemensam n mnare f s G inv èpè =,3p+5 p 2 +6p+5 è3.55è Detta r ett system av andra ordningen. Observera att t ljarpolynomet Bèpè =,3p +5 hos verf ringsoperatorn è3.55è har ett positivt reellt nollst lle. Man kan visa att system med inverssvar generellt har ett t ljarpolynom Bèpè med minst ett nollst lle med en positiv realdel. 3.3.7 Instabila system Vi har ovan antagit att de stderade systemen r stabila, tan att kvantitativt ange n r ett system r stabilt. Systemet i ekvation è3.24è r t.ex. inte stabilt f r alla parameterv rden. Fr n è3.27è ser vi att systemet har ett begr nsat stegsvar endast om T é, eller ekvivalent a é. Om a = r systemet integrerande och stegsvaret yètè kar opph rligt i enlighet med ekvation è3.53è och gr 3.4 tan att ppn n got station rt v rde, och omaég ller enligt è3.27è att yètè divergerar exponentiellt, s som visas i gr 3.6. Stabiliteten kan i detta enkla fall h nf ras till parametern a, eller ekvivalent ttryckt l sningen till ekvationen p + a = è3.56è Systemet è3.24è r allts stabilt endast om l sningen till è3.56è r negativ. Det visar sig att det helt allm nt g ller f r ett system med verf ringsoperatorn Gèpè = Bèpè=Aèpè att villkoret f r stabilitet r att alla l sningar till ekvationen har har en negativ realdel. 3.3.8 System av h gre ordning Aèpè = è3.57è De ovan h rledda stegsvaren kan anv ndas f r att best mma stegsvar hos system av h gre ordning. Det generella fallet kan helt enkelt behandlas genom att verf ringsoperatorn è3.2è partialbr kppdelas enligt rx Gèpè = Bèpè Aèpè = G k èpè è3.58è Detta karakteriserar Gèpè som en parallellkoppling av r stycken system med verf ringsoperatorerna G k èpè. Utsignalen hos G kan h rvid best mmas som smman av de enskilda systemens tsignaler. Om polynomet Aèpè saknar mltipla nollst llen kan partialbr ksppdelningen è3.58è g ras s att verf ringsoperatorerna G k èpè r av f rsta eller andra ordningen, och deras stegsvar kan s ledes ber knas med de formler som givits i detta kapitel. k 35