Examensarbete. Hur lärare undervisar i subtraktion med hjälp av representationsformer

Transkript

1 Examensarbete Hur lärare undervisar i subtraktion med hjälp av representationsformer Författare: Daniella Johansson, Kristin Qvarfordt Handledare: Andreas Eckert Examinator: Lena Fritzén Datum: Kurskod: 4GN02E Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Avancerad nivå Institutionen för matematik

2 Abstrakt Syftet med vår studie var att undersöka hur lärare arbetar med subtraktion i helklass samt på individnivå utifrån representationsformerna. I kommande studie har en empirisk undersökning gjorts i två klasser i årskurs två. Vi har undersökt om det finns likheter och skillnader i hur lärare arbetar och vilka representationsformer som används i undervisningen för helklass och på individnivå med elever i allmänna matematiksvårigheter. Vårt empiriska material samlades in under observationer med utvalda lärare som undervisade i subtraktion. Vårt resultat visade att olika representationsformer användes av pedagogerna i deras undervisning samt att det fanns vissa skillnader på hur man arbetade i helklass i jämförelse med elever i allmänna matematiksvårigheter på individnivå. Representationsformerna användes mycket för att introducera och befästa kunskap om olika matematiska begrepp så som subtraktion. Nyckelord Matematikdidaktik, representationsformer, subtraktion, variationsteori, matematiksvårigheter, varierad undervisning Vi vill även tack vår handledare Andreas Eckert för stöttning och hjälp med utformningen av vår uppsats.

3 Innehåll Abstrakt... 1 Nyckelord Inledning Bakgrund Undervisning och variation Det matematiska språket Elever i matematiksvårigheter Syfte Frågeställning Litteraturbakgrund Representationsformer ur ett lärarperspektiv Konkret modell Bildmodell Språk Symboler Verklighet Kritiska aspekter i representationsformerna Elever i matematiksvårigheter Orsaker till matematiksvårigheter Teori Variationsteorin Kritiska drag och aspekter Lärandeobjekt Variationsmönster Representationsformer och variationsteorin Variationsteorins variationsmönster och begrepp Metod Vetenskapsteoretiskt perspektiv Val av metod Datainsamling Urval Bearbetning av data Tillförlitlighet Etiska överväganden Resultat och analys Skola A; helklass Skola A; individnivå Skola B; helklass Skola B; individnivå Jämförelse av undervisning i helklass och på individnivå Diskussion Tillämpning Populärvetenskaplig sammanfattning Referenser... 34

4 Bilaga 1, brev till undervisande lärare Bilaga 2, brev till föräldrar Bilaga 3, observationsguide Bilaga 4, konkret material Bilaga 5, växlare... 42

5 1 Inledning Människan använder sin matematiska förmåga ofta, både medvetet och omedvetet. Matematik är något som ständigt finns i vardagen, inte minst när vi går och handlar. Eleverna behöver en god förståelse för vissa begrepp så som subtraktion eftersom det är en grundläggande förutsättning för att de senare ska kunna vidareutvecklas i matematik. När barn börjar skolan bär de alla på olika erfarenheter av matematik, och variationen i matematisk erfarenhet kan vara stor. Vi ser det som en viktig del i vår kommande yrkesprofession att med olika medel stödja lärandet och förståelsen i matematiska situationer, för att på så vis skapa gynnsamma lärtillfällen. I läroplanen står det Genom undervisningen ska eleverna ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp och metoder och deras användbarhet, (Skolverket, 2011;62). Ett syfte med att lära matematik är att så småningom erhålla förståelse för det abstrakta matematiska språket. Emanuelsson (1995) menar att processen dit är lång och för att nå dit är det då viktigt att barn som för första gången möter den formella matematiken i skolan inte kastas in i den abstrakta matematikvärlden med uppställningar, siffror och symboler. Ahlberg (2000) menar att en undervisning istället bör ge eleverna möjlighet att upptäcka matematiken på ett lekfullt och undersökande sätt. Matematikläraren bör ge elever möjlighet att ta del av uppgifter och situationer som representeras på flera olika sätt för att fördjupa deras kunskaper och för att få förståelsen om att matematik kan ses ur flera olika aspekter. Vår uppfattning är att matematik är ett svårt ämne för många elever och vi vill därför undersöka hur lärare kommunicerar subtraktion för sina elever. Engvall (2013) beskriver i sin avhandling hur räknemetoder har fått ett stort utrymme i den politiska debatten om matematik. Medan själva undervisningen har tappat fokus och inte fått lika stort utrymme. Vårt fokus kommer ligga på undervisningen för att få grepp om vilka representationsformer som används i undervisning för subtraktion i helklass, samt hur lärare möter de elever som har svårigheter i matematik på individnivå. 2 Bakgrund I kommande avsnitt kommer undervisning och variation, det matematiska språket och elever i matematiksvårigheter beskrivas för att ge en ingång till vår studie. 2.1 Undervisning och variation Det finns en del studerat angående matematikdidaktik. Engvall (2013) har i sin avhandling diskuterat räknesätten addition och subtraktion angående elever i de lägre åldrarna. Engvalls (2013) grundtanke med sin avhandling är att beskriva, analysera och förstå matematikundervisning på grundskolenivå. Några av de centrala frågorna Engvall (2013) har i sin avhandling är; vad lärare och elever gör i matematikklassrummet och vad eleverna, som en följd av undervisningen har möjlighet att lära. En debatt har sedan länge pågått här i Sverige om vilka algoritmer som ska användas i matematik, dock har frågor kring själva undervisningen inte fått lika stort utrymme (Engvall, 2013). Vilket leder till vår studie där vi vill observera hur lärare symboliserar och använder sig av olika representationsformer för att förklara subtraktion i en undervisningssituation. Det finns flera saker som påverkar en lärares undervisning, till exempel en persons uppväxt. I en människas uppväxt kan vissa händelser påverka sitt tankesätt och sitt handlande i livet. Det som är av mest betydelse i det här fallet är att man som lärare är medveten om att sina uppfattningar påverkar sin undervisning (Lima, 2007). En angelägenhet är att veta vad som motiverar elevers lärande. För att motivera elevers lärande handlar det mycket om undervisningens syfte och mening, en undervisning som

6 ska bidra med engagemang och involvering (Lima, 2007). Petterson och Wistedt (2013) beskriver hur läraren kan utforma undervisningen på ett sätt som främjar elevers utveckling och det är med kunskap och förståelse för elevers individuella kunskapsnivå. Det leder i sin tur till att lärare kan använda vissa hjälpmedel för att stödja elevers utveckling eftersom de vet elevers individuella kunskapsnivå. Vilket är av stor betydelse eftersom det påverkar hur lärare arbetar i helklass och på individnivå eftersom de vet vart elevernas grundnivå ligger (Petterson, Wistedt, 2013). Det finns många aspekter att ta hänsyn till från lärarens sida. Aspekter så som hur undervisningen är utformad och om passar den till alla elever. En undervisning ska vara varierad på olika vis för att fånga upp fler elever. För att eleverna ska kunna lära sig något krävs det att man behöver se och förstå likheter men också att man förstår olikheter. Det som är skillnad kan liknas med variation, man behöver veta vad ett objekt är men också vad objektet inte är (Lo, 2014). Exempelvis är att alla äpplen är frukter men alla frukter är inte äpplen. Variation handlar om att det ska vara en omväxling och en variation i undervisningen så som bilder, språk och material för inlärning. I denna studie handlar variation om hur lektioner och de olika representationsformerna är utformade. De elever som är i svårighet i matematik kan få en klarare bild om det är en varierad undervisning. Som lärare får man inte fastna i sitt eget tänkande såhär har jag alltid gjort det kan leda till att man tappar många elevers fokus och intresse för lärandet. 2.2 Det matematiska språket I läroplanen (Skolverket, 2011) står det att eleverna ska genom undervisningen ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp. Begreppsförståelsen i matematik är en grundförutsättning för att förstå det matematiska språket när lärare undervisar och för att förstå matematiken i böckerna. Elever får möjlighet att utveckla sin begreppsförmåga när begrepp kopplas till erfarenheter och möten av olika representationsformer. Representationsformer är en stor del av undervisningen för att förstå matematiken. Några av representationsformerna är; verklighet, språk, symboler, bildmodell, konkret modell. Alla representationsformerna är kopplade till varandra som ett slags nätverk. I en undervisningssituation kan läraren belysa ett specifikt begrepp från flera olika perspektiv med hjälp av representationsformerna. Vilket är av stor betydelse när ett begrepp som till exempel subtraktion ska introduceras för elever eller när nya strukturer tillkommer av själva begreppet (Häggblom, 2013). Ett viktigt inslag i Engvalls (2013) avhandling är hur hon beskriver användandet av de centrala begreppen och symbolspråket i matematik, både när det gäller kommunikation mellan lärare och elever samt i matematikböcker. Det är viktigt att elever blir bekanta och använder sig av det när de ska arbeta med exempelvis subtraktion (Engvall, 2013). 2.3 Elever i matematiksvårigheter I läroplanen (2011) står det att den svenska skolan ska ge alla elever en likvärdig utbildning, där alla elever utifrån behov ska få den stöttning som behövs för att uppnå de avsatta målen i läroplanen. Vissa elever når målen i matematik medan andra elever hamnar i matematiksvårigheter och behöver mer stöttning för att uppnå målen. Enligt Adler (2001) har matematiksvårigheter uppmärksammats i över 100 år och det finns olika förklaringar och orsaker till att vissa elever hamnar i matematiksvårigheter. Elever i matematiksvårigheter är ett relativt generellt begrepp som kan vara svårt att identifiera och det kan finnas flera orsaker till att elever är i matematiksvårigheter. Malmer och Adler

7 (1996) beskriver att elever med matematiksvårigheter kan delas upp i fyra stycken olika grupper. De fyra grupperna är Akalkyli, allmänna matematiksvårigheter, dyskalkyli och pseudo-dyskalkyli. Alkalkyli innebär att elever har en oförmåga att räkna och det uppkommer oftast i ett samband med en hjärnskada och det är en väldigt ovanlig diagnos. Allmänna matematiksvårigheter brukar kopplas till en allmän sänkt begåvning där eleverna kan behöva någon form av specialundervisning. Den tredje gruppen är dyskalkyli vilket innebär specifika matematiksvårigheter. Den sista gruppen är pseudo-dyskalkyli vilket handlar om en känslomässig blockering till matematikinlärning. Det finns en medvetenhet om begreppet elever i matematiksvårigheter vilket är ett generellt begrepp och det kan finnas många bakomliggande orsaker. Begreppet elever i matematiksvårigheter är något som Bagger och Ross (2015) behandlar i sin avhandling. Bagger och Roos (2015) tar upp ordet i som är av stor betydelse när man pratar om elever i allmänna matematiksvårigheter. Där de betonar att elever är i behov och inte med behov i sina matematematiksvårigheter (Bagger, Roos, 2015). I kommande studie har vi valt att fokusera på de elever som har allmänna matematiksvårigheter. Vår definition av elever i allmänna matematiksvårigheter i studien är de elever som har allmän sänkt begåvning och som har svårt med inlärning av matematik. Samt i det här fallet de elever som inte kommer nå kunskapskraven i årskurs tre. 3 Syfte I denna studie analyseras lärares presentation av representationsformer i subtraktion i helklass och med elever i allmänna matematiksvårigheter på individnivå i årskurs två. Studien avser också att analysera vilken typ av skillnad vi kan se i helklassundervisning jämförelsevis med individuell undervisning. 3.1 Frågeställning Hur symboliserar lärare räknesättet subtraktion med hjälp av olika representationsformer i interaktion med helklass? Hur symboliserar lärare räknesättet subtraktion med hjälp av olika representationsformer i interaktion med elever i allmänna matematiksvårigheter? Vilka likheter och skillnader finns i användandet av representationsformerna hos lärarna från helklass till individnivå?

8 4 Litteraturbakgrund I detta avsnitt redogörs den tidigare forskning som gjorts inom det valda området. Avsnittet börjar med att beskriva representationsformer för att få en förståelse av hur det påverkar undervisningen för att därefter lyfta tidigare forskning i matematiska svårigheter. 4.1 Representationsformer ur ett lärarperspektiv Vi kommer i denna studie utgå ifrån variationsteorin, vilket betyder att alla människor ser saker och lär sig saker på olika sätt, därför behövs en varierad undervisning för att alla elever ska få samma förutsättningar. Emanuelsson (1995) menar att elever får bättre förutsättningar till att förstå matematik på ett djupare sätt om matematik representeras på olika sätt och via ett varierat arbetssätt. Duval (2006) menar att för att kunna uttrycka matematik måste den på representeras på något sätt. Representationsformerna används då för att kunna förklara ett matematiskt begrepp på olika sätt. Bergsten, Häggström och Lindberg (2001) talar om fem olika representationsformer som matematiskt innehåll kan uttryckas genom; symboler, språk, verklighet, bildmodell och konkret modell. Duval (2006) menar att det är viktigt att ha kunskap om hur respektive representationsform samverkar med varandra men också dess funktion i matematiken för att eleverna ska uppnå en djupare förståelse av matematik. Bergsten, Häggström och Lindberg (2001) menar att undervisningen i matematik bör innehålla ett varierat arbetssätt med hjälp av olika representationsformer för att erhålla en djupare förståelse av matematiken. Lektionsinnehållet förankras och utgår då ifrån uttrycksformer som eleverna är förtrogna med, till exempel det skrivna och talade språket. Det redan kända översatts då till något abstrakt som en symbol, figur eller siffra. Lester (2007) menar att beroende på hur långt eleven kommit i sitt matematiska tänkande och beroende på vilken typ av uppgift det gäller måste man ta i beaktning vilken eller vilka representationsformer som bör användas. Ett gynnsamt lärtillfälle kan skapas om variation mellan de olika representationsformerna finns. Emanuelsson (1995) påtalar dock att övergången mellan de olika representationsformerna bör tydliggöras för eleverna, för att underlätta för eleverna. Att ett och samma fenomen kan uttryckas på flera olika sätt kan ibland upplevas krångligt för eleverna, och då menar Emanuelsson (1995) att det är extra viktigt att vara tydlig i övergångarna mellan de olika representationsformerna. Lester (2007) menar att de är en orealistisk tanke om det skulle existera ett enda undervisningssätt som i alla situationer skulle fungera bäst. En förutsättning för lärande är variation och enligt Lester (2007) är det viktigt att eleverna får arbeta med matematiken på flera olika sätt Konkret modell Konkret modell innebär att eleverna använder sig av olika konkreta material när de ska lösa en uppgift, exempel på konkret material kan vara pengar, centikuber, pärlor eller makaroner. Bergsten, Häggström och Lindberg (2001) menar att konkret modell innebär att arbeta med fysiska ting eller att göra något i verkligheten. Engvall (2013) menar att det matematiska språket i många fall behöver konkretiseras med hjälp av olika konkreta föremål för att eleverna ska förstå. Laborativt material är speciellt framtaget för att användas i olika pedagogiska syften och används oftast för att konkretisera olika abstrakta matematiska problem. Hwang och Nilsson (2003) påtalar för att hjälpa till i begreppsbildningen hos eleverna kan det konkreta materialet vara ett stöd för tanken.

9 Materialet kan ses som ett hjälpmedel för att på ett konkret och enkelt sätt visa för elevens att matematiken fungerar i verkligheten men också som en brygga mellan det konkreta och det abstrakta. Men för att eleverna ska utveckla en djupare förståelse av exempelvis en uträkning av ett matematiskt problem kan eleverna behöva gå över bryggan flera gånger. Ahlberg (2000) talar om det engelska begreppet subatizing som handlar om det omedelbara uppfattandet, vilket innebär att markeringar eller föremål i en grupp gör det möjligt att se antalet utmanat nyligen räkna markeringarna, som exempelvis prickarna på en tärning. Dock har vissa elever svårt att se antalet prickar med ögat, de elevens behöver även använda sig av andra sinnen som tillexempel känsel och hörsel, för att räkna föremålen eller markeringarna som visas. Ahlberg (2000) menar att det är viktigt att läraren guidar och vägleder eleverna till förståelse första gången eleverna möter det abstrakta matematiska språket genom att översätta det och göra det förståeligt. Engvall (2013) menar att eleverna ofta behöver arbeta med konkreta exempel och fysiska föremål för att förstå innebörden av detta abstrakta matematiska språk och för att inte tappa självförtroendet och motivationen för matematik. Ahlberg (2000) menar att vi kan väcka nyfikenheten och lusten att lära genom att låta eleverna arbeta med matematik som kan knytas till deras verklighet eftersom deras erfarenhetsvärld då vidgas. Vissa lärare bär förmåga att fånga matematiken i vardagen, det krävs egentligen inte mycket planering för det utan det kan i stort sett ske var som helst och när som helst. Exempel på det kan vara genom spel eller genom att låta eleverna leta efter olika geometriska former i klassrummet Bildmodell Bildmodell innebär att uppgiften eleverna ska lösa har bilder som eleverna kan titta på och med hjälp av det lösa uppgiften, exempelvis en bild på 3 gröna bollar och en bild på 4 blå bollar. Frågan i uppgiften kan då vara: hur många bollar blir det tillsammans? Bergsten, Häggström och Lindberg (2001) menar att det finns både uppgifter och situationer som kräver att eleverna har förmågan att se bilden av uppgiften antingen på ett papper eller i huvudet, eftersom det i vissa fall används bilder i stället för verkliga föremål inom matematiken. Det är vanligt att elever har uppfattningen av att en matematikuppgift endast går att lösa på ett sätt med ett korrekt svar. Ahlberg (2000) menat att det är viktigt att eleverna får vara delaktiga i aktiviteter som innefattar bild men också att de får arbeta på ett varierat och omväxlande sätt för att få eleverna att vidga denna begränsade uppfattning. Vidare menar Ahlberg (2000) att det är viktigt att låta eleverna få redovisa och förklara sina tankar om en matematikuppgift med hjälp av att rita och måla eftersom det främjar utvecklingen av förmågan att förstå att uppgifter många gånger kan lösas på ett varierat sätt och att det ofta finna flera korrekta svar. För att låta eleverna få ta del av mångfaldiga lösningsförslag är det viktigt att eleverna får visa och berätta om sina lösningar för varandra. Många barn har sedan tidigare erfarenheter av att rita och måla och representationsformen bild blir då speciellt gynnsam att använda med yngre elever. Ahlberg (2000) menar att man som lärare kan öka möjligheten för att ämnet ska upplevas meningsfullt och roligt för eleverna genom att man arbetar med matematik på ett redan känt sätt för eleverna eftersom deras tilltro på sina egna matematiska förmågor då ökar.

10 4.1.3 Språk Representationsformen språk handlar både om språk i skrift men det handlar också om att kunna samtala om olika uppgifter i skolan genom att diskutera och prata om dem. Det talade språket är den vanligaste uttrycksformen inom matematikundervisning och fungerar som ett verktyg mellan eleven och matematiken. Vygotskij (1986) menar att uttrycka sig verbalt ger bättre förutsättningar för att utveckla förståelse för matematiken, det krävs social interaktion med andra för att lära. Hiebert (2003) menar att det är viktigt att låta elever samtala, diskutera och redovisa olika lösningsförslag av matematikuppgifter tillsammans med andra. Setati och Adler (2000) menar att det talade språket innehåller både formella och informella inslag och läraren bör aktivt arbeta för att få eleverna att successivt övergå från det informella till det formella matematiska språket. Förmågan att uttrycka sig genom det matematiska språket övas genom att ha aktiviteter som inbjuder till diskussion och utbyte av tankar om matematiken. För att kunna fördjupa förståelsen av att matematik kan uttryckas och representeras på många olika sätt behöver elevens lyssna och ta del av varandras tankar och förslag på hur en uppgift skulle kunna lösas. Pimm (1987) menar att det är lärarens ansvar att styra kommunikationen i klassrummet och skapa ett undervisningsklimat som inbjuder till samtal och diskussion Symboler Symboler är uppgifter med siffror, exempelvis 7+2. Bergsten, Häggström och Lindberg (2001) menar att det symboliska språket exempelvis innefattar att använda sig av siffror, additions- och subtraktionstecken, bråkstreck och algebraiska symboler. Ahlberg (2000) menar att en förutsättning för att förstå matematiska beräkningar är förståelsen av symbolspråket. Eleverna bör dock möta betydelsen i konkreta exempel långt innan begreppen introduceras för att de abstrakta symbolerna ska få en mening och innebörd hos eleverna. Doverborg (2012) menar att barnens egna åsikter och tankar ofta glöms bort och fokus läggs på att imitera snarare ön att reflektera. Elever har ofta förmågan att lösa problemlösningsuppgifter på ett korrekt sätt utan att använda sig av det matematiska symbolspråket, genom att till exempel få använda sig av låtsaspengar i sin räkning. Vidare fortsätter Doverborg (2012) med att fokus bör läggas på att eleverna utvecklar en god taluppfattning när de i yngre åldrar möter matematiken. Det är också viktigt att eleverna tillåts laborera och undersöka på ett kreativt och utvecklande sätt för att upptäcka matematiska samband och mönster. Ahlberg (2000) menar att det genom att det ges utrymme att samtala, diskutera och redovisa lösningsförslag och tankar ger elevens möjlighet att successivt ta del av det matematiska symbolspråket Verklighet Verklighet innebär att uppgifterna har en verklighetsanknytning. Eleverna möter matematiken i sin vardag hela tiden på flera olika sätt. Löwing och Kilborn (2002) beskriver hur eleverna gynnas av att undervisning går att koppla till vardag och verklighet även utanför klassrummet. Det är verkliga och påtagliga händelser, exempelvis ett besök i affären, hitta rätt buss, duka bordet och andra vardagliga händelser. Ahlberg (2000) menar att oftast är barnen inte medvetna om att det är matematik de använder sig av i dessa situationer. Det kan även handla om enklare räkning, barn vet hur gamla de är och hur mycket de fyller nästa år. Det kan också handla om uppdelning, att tillexempel dela sina karameller med en kompis så att de får lika många var. Skolans uppgift är att ta tillvara på

11 eleverna kunskaper och vidareutveckla dessa så att eleverna får användning av dem under hela sitt liv.s Kritiska aspekter i representationsformerna Laborativt material ingår i den fysiska representationsformen och det finns många positiva effekter av att arbeta med det men det finns också en del kritiska aspekter. Att materialet används på rätt sätt är en viktig aspekt menar Engvall (2013). Engvall (2013) påtalar att det laborativa materialet är framställt för att visa vad som händer vid olika uträkningsmetoder och lösningstrategier på ett konkret sätt för eleverna, det är med andra ord inte avsedda för lek. En risk som finns med det laborativa materialet är att det kan missförstås för att vara ett lekmaterial istället för ett arbetsmaterial på grund av sina vackra färger och inbjudande former, som laborativt material ofta är tillverkat i. Engvall (2013) menar att om eleverna planlöst får använda materialet som till exempel en avslappnande aktivitet i slutet på lektionen eller att leka med, finns det en risk att elevernas fortsatta utveckling hämmas i ämnet eller helt enkelt avstannar. Engvall (2013) menar vidare att pedagogens roll i detta skede kan vara ytterst avgörande för om materialet leder eleven till kunskap och förståelse. Ahlberg (2012) talar om förståelsen för det matematiska symbolspråket och dess abstrakta tecken som en förutsättning för att kunna lösa skriftliga matematikuppgifter. Det finns en risk att symbolerna missförstås om man som lärare introducerar abstrakta symboler innan eleverna hunnit få begreppsförståelsen. En symbol som ofta missförstås är likhetstecknet enligt Ahlberg (2012), eftersom elever ofta arbetar med uppgifter där svaret skrivs till höger om likhetstecknet. Eleverna misstolkar då likhetstecknet till att betyda det blir, det kan senare skapa problem när eleverna möter uppgifter som exempelvis x+8=12. Konkreta och tydliga exempel kan hjälpa till med att förstå det matematiska symbolspråket för eleverna om det införs successivt. Ahlberg (2012) fortsätter med att säga att man genom att ge eleverna i uppgift att till exempel dela upp ett antal klossar jämt mellan sig kan man göra matematiken meningsfull och knyta den till elevernas verklighet. Genom att eleverna på ett undersökande sätt med laborativt material jämföra mängder kan de få en ökad förståelse för likhetstecknets betydelse. Engvall (2013) menar också att en annan kritisk aspekt är att mycket av matematikundervisningen tycks läggas på enskilt arbete istället för på olika aktiviteter som kan öppna upp för diskussion och ett utbyte av tankar. Engvall (2013) fortsätter med att det har visat sig vara avgörande för vad eleverna lär sig i klassrummet beroende på hur elever och lärare talar med varandra, detta betyder då att kvaliteten på samtalen spelar en viktig roll i undervisningssammanhanget. Men vid genomgångar, utredningar av matematiska problem och förklaringar är det dock inte ovanligt att läraren står för dem största delen av kommunikation menar Hiebert (2003). Hiebert (2003) fortsätter med att detta oftast inte ger så mycket utrymme att diskutera matematiken för eleverna varken med läraren eller med varandra. 4.2 Elever i matematiksvårigheter Lärare behöver en god didaktisk kompetens för att kunna möta elever med olika behov samt kunna hantera olika situationer. I läroplanen (2011) står det bland annat att alla elever ska få lika förutsättningar för att klara skolgången, vilket innebär att alla elever utifrån olika behov ska få den stöttning som behövs för att uppnå de avsatta målen i läroplanen. Miller och Kennedy (2012) beskriver att många av de elever som har inlärningssvårigheter, kämpar i just området matematik. Magne m.fl. (1972) skriver också hur viktigt det är att uppmärksamma de elever som är i matematiksvårigheter samt att lärare ska kunna använda anpassad undervisning till dessa elever. Det finns många olika orsaker till att elever är i

12 matematiska svårigheter. I kommande avsnitt kommer fokus vara på olika aspekter som är kopplade till matematiksvårigheter Orsaker till matematiksvårigheter Två lärare, Kay och Yeo (2003) är inriktade på ämnet matematik. Kay och Yeo lägger fram några olika aspekter till varför matematik är ett ämne som många elever har svårt för. I följande avsnitt kommer fem olika aspekter som de menar är kopplade till matematiksvårigheter att presenteras och förklaras. En aspekt Kay och Yeo (2003) skriver om är att matematik är ett abstrakt ämne som introduceras i en tidig ålder på ett abstrakt sätt. Matematikens siffror kopplas till saker men inte till siffrornas betydelse. Elever med matematiksvårigheter kan inte se koppling till det konkreta för de har inte förståelse för själva siffrans betydelse. Den andra aspekten som Kay och Yeo (2003) skriver om är att matematik hela tiden byggs vidare på tidigare kunskap. För att få en ökad kunskapsinlärning i matematik är det betydelsefullt med långtidsminnet, om inte kunskapen befäst från början i matematiken är det svårt att bygga vidare i sin kunskapsutveckling. Elever kan förstå ett visst avsnitt i matematik men det betyder inte att man minns samma procedur senare eftersom informationen lagrats i korttidsminnet istället. Exempelvis om elever arbetar med subtraktion, förstår de inte subtraktionens uppbyggnad är det svårt att bygga vidare på det när man till exempel ska arbeta med subtraktion med tiotalsövergång. De kanske minns för stunden men nästa gång de ska arbeta med tiotalsövergång i subtraktion minns de inte hur man ska göra. En tredje aspekt till varför matematik är ett ämne som många elever har svårigheter med är att problemlösning och beräkning innebär en viss tankeprocess som är uppbyggd av olika steg i matematiken (Kay&Yeo, 2003). Elever måste förstå delarna innan de förstår helheten. När man ska göra beräkningar behöver elever kunna positionssystemet där de ska veta vad hundratal, tiotal och ental innebär. Elever behöver dessutom förstå och veta vad subtraktion och addition betyder om de ska räkna med de räknesätten. Det är många delar som måste förstås innan man kan se helheten och göra egna slutsatser och beräkningar för att sedan bygga vidare i räknesätten. Eftersom ny kunskap bygger på gammal kunskap i ämnet är själva arbetsminnet en viktig del i denna process för matematikinlärning. Det krävs ett starkt arbetsminne för att förstå och kunna räkna ut en uppgift med en lämplig metod. Arbetsminnet spelar en avgörande roll i processen för att lära sig fakta i matematik, ett exempel på det är multiplikationstabellerna. När man genom upprepande försök, försöker lära sig en viss fakta utantill behöver man användning av sitt arbetsminne. Arbetsminnet leder till den fjärde aspekten vilket handlar om att fokus läggs på arbetshastigheten i ämnet matematik. Arbetshastigheten är något som också påverkar elevers arbetsminne och dess kapacitet av långtidsminnet. Om arbetsminnet är tränat, klarar det att hålla tre till fem aktuella informationer samtidigt. Den sista aspekten är att matematik anses vara ett svårt ämne i skolan och att många elever har låg självkänsla i ämnet. Om det finns en osäkerhet kan det leda till vissa mentala spärrar hos eleverna, spärrarna kan sitta kvar om eleverna fortsätter att möta stora svårigheter i matematiken (Kay & Yeo, 2003).

13 5 Teori I kommande avsnitt presenteras studiens teori; variationsteorin. Eftersom syftet med studien var att analysera hur lärare symboliserar subtraktion med hjälp av representationsformer i helklass och med elever i svårigheter på individnivå så passar variationsteorins syn på varierad undervisning. Vilket gör att vi kunde analysera lärares användning av representationsformer. 5.1 Variationsteorin Marton & Booth (1997) skriver om variationsteorin, vilket är en effektiv metod för inlärning hos elever. Variationsteorin handlar om en varierad undervisning och att det behövs ett varierat inlärningssätt. Ett varierat inlärningssätt behövs eftersom människor förstår, uppfattar och lär sig på olika sätt. Variationsteorin grundas på att allt lärande kräver variation av olika slag menar Holmqvist (2004). Momenten då vi lär oss är när vi märker förändring i vår förståelse av omvärlden. De kritiska ögonblicken då ett lärande möjliggörs för eleven, genom undervisningens variation av lärandeobjektet. För att kunna urskilja något krävs en variation av aspekten. Men man kan inte variera allt eftersom det då blir svårt att urskilja, något måste även vara konstant. Ett exempel kan vara att lära sig siffran fem och då visa fem päron, fem katter och fem bussar. För att förstå vad siffran fem innebär behöver man få erfarenhet av variationen fem. Begreppet fem betonas och representationsformerna av det varierar för att eleven ska förstå att fem symboliserar ett antal av något och inte föremålen i sig (Holmqvist, 2004). I variationsteorin är lärandeobjektet i fokus, vilket handlar om vad det är som ska läras ut. Om läraren ska arbeta utifrån variationsteorin är det avgörande att läraren vet vilket lärandeobjekt som skall läras ut till eleverna (Lo, 2014). Grunden till variationsteorins utveckling utgår från fenomenografin vilket handlar om hur vi människor upplever ett fenomen eller en sak på olika sätt (Lo 2014). Därmed kommer denna studie undersöka hur olika lärare använder sig av olika representationsformer i sin undervisning. Genom att använda sig av olika representationsformer kan det leda till att det blir en mer varierad undervisning och fler elever kan nås på sin nivå. (Säljö, 2010). 5.2 Kritiska drag och aspekter Variationsteorin och fenomenografin har ett visst gemensamt fokus och det är att båda teorierna beskriver kritiska aspekter och skillnader i ett visst ämnesområde. Dock utgår variationsteorin mer på lärarens presentation av ämnesområdet i form av learning studies. Learning studies handlar om en teknik för lektionsanalys och den utgår från variationsteorins grund (Svensson 1997). Det som skall läras måste riktas mot något och diskuterar eller pratar man om lärande går det inte att undvika om vad det är som ska läras. 5.3 Lärandeobjekt I variationsteorin kallar man det som ska läras för lärandeobjekt. Om man har tydliga mål förväntas lärare samt elever att lättare kunna se vart de är på väg i sitt lärande (Lo, 2014). Marton & Booth (2000) skriver att inom variationsteorin ser man lärandet som att utveckla förmågor och kompetenser och att lära sig se vissa saker på ett visst sätt. När variationsteorin används i undervisningen i skolan måste lärarna först och främst ta reda på elevernas förkunskaper inom det område de ska arbeta med, det kan till exempel vara när eleverna ska börja arbeta med subtraktion. När läraren vet elevernas förkunskaper och erfarenheter kan läraren utefter det anpassa undervisningen på en nivå som alla elever kan förstå (Holmqvist Olander & Nyberg, 2014). Inom variationsteorin tänker man att alla

14 människor tolkar världen på olika sätt. Eftersom alla elever uppfattar lärandeobjekten på olika sätt och på sitt vis, är det av stor vikt att läraren har en förståelse för vilka drag som bygger upp lärandeobjektet (Marton & Booth, 2000). De kritiska dragen hos lärandeobjektet kommer avgöra hur fenomenet tolkas. Att finna dessa kritiska drag är av grunderna för en bra och god inlärningsmetod när det gäller undervisning (Marton, 2015). Marton (2015) skriver och påpekar om vad som är kritiskt för en person vid inlärning inte behöver vara det för någon annan. Det som är kritiskt är beroende av lärandeobjektet och det lärande subjektet. För att kunna lära ut till andra personer måste den personen som lär ut, se till att den lärande individen kan urskilja samma drag av lärandeobjektet. Om inte läraren och eleven förstår eller kan utskilja samma drag av lärandeobjektet kommer det vara svårt för läraren att förmedla det tilltänkta budskapet samt svårt för eleven att ta emot budskapet. Det blir lätt missförstånd och vissa misstolkningar (Lo, 2014). 5.4 Variationsmönster I området variationsmönster finns fyra stycken olika inriktningar eller mönster vilka är kontrastering, generalisering, separation och fusion (Cheng & Ho 2008). Dessa inriktningar/dimensioner ger elever möjlighet att urskilja de aspekter som är viktigt för inlärning av en viss kunskap som exempelvis, subtraktion. Kontrastering handlar om hur eleven upplever något som kan jämföras med det studerande området eller objektet. Alltså bygga upp kunskap från det eleven redan vet, exempelvis om man pratar om cirklar. Om lärandeobjektet är att förstå vad en cirkel är behöver man också visa vad en cirkel inte är, en kontrast till lärandeobjektet (Cheng & Ho 2008). Separation är när elever ska kunna förstå och urskilja kritiska drag och aspekter. När eleven kan urskilja lärandeobjektet via separation, exempelvis om blommor. Det kritiska draget är att det är en vit orkidé medan den kritiska aspekten är att det är en blomma. Generalisering handlar om att kunna generalisera lärandeobjektet. Alla vita orkidéer är blommor men alla blommor är inte orkidéer. (Cheng & Ho 2008). Fusion handlar om att uppleva flera olika aspekter på samma gång (Lo, 2014). Det handlar om när eleverna själva vet många kritiska aspekter och hur de förhåller sig till varandra (Cheng & Ho 2008). 5.5 Representationsformer och variationsteorin Olika matematiska begrepp kan representeras på flera olika sätt som kan skilja sig mycket åt och ha olika funktion. Man delar in representationerna i fem kategorier, symboler, språk, verklighet, bildmodell och konkret modell (Lindberg, 2001). Vilken av de här representationerna som är att föredra beror på vad den skall användas till men för att få djupare förståelse av matematiska begrepp måste man erövra olika representationer. Representationsformerna kan kopplas till variationsteorin, nedanför kommer en förklaring hur man kan koppla det till undervisningen. När läraren använder sig av variationsteorin i sin undervisning måste läraren först ta reda på vad det är som ska läras ut. Det som ska läras ut kallas för lärandeobjekt och det kan till exempel vara när eleverna ska börja arbeta med ett nytt begrepp. En viktig del innan man börjar arbeta med lärandeobjektet är att ta reda på elevernas förkunskaper i ämnet. När läraren vet elevernas förkunskaper och erfarenheter kan läraren utefter det anpassa undervisningen på en nivå som alla elever kan förstå (Holmqvist Olander & Nyberg, 2014). Kontrastering bygger på elevernas förkunskaper och är en viktig del i

15 variationsteorin. I undervisningen blir det när något nytt ska läras, då kommer den nya kunskapen bygga på elevernas förkunskaper. I undervisningen kan man använda sig av olika representationsformer, vilka är nämnda i ovanstående text. När man arbetar med ett nytt område är det viktigt att ta något elevnära som kan kopplas till verkligheten. Verklighet är en av de fem representationsformerna och om man kopplar det till lärandeobjektet kan eleverna lättare relatera och koppla det till själva lärandeobjektet. Det finns vissa kritiska drag som man bör ha i åtanke när man arbetar med lärandeobjekt. För att kunna förstå och urskilja de kritiska dragen i lärandeobjektet används separation. Med separation menas då eleven kan urskilja lärandeobjektet, eleverna ska förstå relationen mellan de olika delarna och helheten (Lo, 2014). Med kritiska aspekter menas exempelvis det som måste uppfattas samtidigt som storlek, färg och form för att förstå ett fenomen. I en undervisningssituation kan läraren belysa ett specifikt begrepp från flera olika perspektiv med hjälp av representationsformerna. När eleverna fått ett begrepp förklarat med flera olika representationsformer minskas de kritiska dragen i lärandeobjektet. När en separation skett sker en generalisering av lärandeobjektet. Generalisering handlar om att kunna generalisera lärandeobjektet (Cheng & Ho 2008). I generalisering kan vissa representationsformer användas, material, verklighet och bild. När alla delar gåtts igenom så som kontrastering, separation och generalisering och fått kunskap om lärandeobjektet som de behöver har de nått fusion. 5.6 Variationsteorins variationsmönster och begrepp Variationsmönster är en del av variationsteorin, det används vissa begrepp i teorin som kommer användas i studiens analys. Begreppen som används i analysen är lärandeobjekt, variationsmönster, kontrastering, separation, kritiska drag och aspekter, generalisering och fusion (Lo, 2014). I vår studie kommer begreppen förklaras och tolkas på det här viset. Lärandeobjekt är det som eleverna ska lära sig och i vår studie blir lärandeobjektet subtraktion som läraren undervisar i. Kontrastering innebär att man ska veta vad lärandeobjektet inte är, här visar läraren exempelvis att subtraktion inte är addition. I separation ingår kritiska drag och aspekter, ett kritiskt drag kan vara att det har samma funktion men det fungerar inte riktigt likadant. För att förtydliga kritiska drag och aspekter kan man ta exemplet; En liten svart dvärgkanin. Svart är då ett kritiskt drag och färg är en kritisk aspekt. Dvärgkanin är ett kritiskt drag och kanin-ras är en kritisk aspekt (Lo, 2014). Det finns vissa kritiska drag som man bör ha i åtanke när man arbetar med lärandeobjekt. För att kunna förstå och urskilja de kritiska dragen i lärandeobjektet används separation. Med separation menas då eleven kan urskilja lärandeobjektet, eleverna ska förstå relationen mellan de olika delarna och helheten (Lo, 2014). T.ex. i subtraktion måste eleverna förstå vad ett tal är, att ett tal är uppdelat i tiondelar och ental. Eleverna måste förstå vad som skiljer dem åt för att de exempelvis senare ska kunna arbeta med tiotalsövergång i subtraktion. I subtraktion måste eleverna förstå och veta vad ett tal är exempelvis talet 63, att talet 63 är uppdelat i 6 tiondelar och 3 ental. Följaktligen måste läraren kunna visa vad tal och algoritmer har för innebörd och hur de används i exempelvis subtraktion. Generalisering innebär att lärandeobjektet kan se ut på olika sätt men har samma innebörd (Lo, 2014). Subtraktion kan användas på olika sätt och sägas på olika vis men det har ändå samma innebörd att man ska dra bort från något, vilket blir generaliseringen. Fusion handlar om att förstå kontrastering, separation, kritiska drag och aspekter och generalisering på samma gång (Lo, 2014). När en elev uppnått fusion kan eleven förstå alla ovanstående begrepp och vad dem innebär. Eleven har skapat sig en förståelse om vad subtraktion är kan använda subtraktion i olika situationer.

16 6 Metod I kommande avsnitt redogörs val av metod, datainsamling för studien samt hur det har utformats. Under avsnittet beskrivs även urval, genomförande och etiska överväganden för studien samt kommer även studiens tillförlitlighet diskuteras. 6.1 Vetenskapsteoretiskt perspektiv Eftersom syftet med vår studie var att analysera lärares presentation av representationsformer i subtraktion i helklass och med elever i svårigheter på individnivå så passade variationsteorins syn på varierad undervisning. Variationsteorin utgår från fenomenografin och teorin fokuserar på vad som skall läras och hur innehållet kan behandlas för att det ska vara möjligt att lära (Marton & Booth, 2000). En varierad undervisning behövs för att alla elever ska få samma förutsättningar för att förstå och lära sig. Holmqvist (2004) menar att variationsteorin grundas på att allt lärande kräver variation av olika slag. I vår studie har vi undersökt om lärare använder sig av olika representationsformer. För att kunna undersöka detta har vi använt oss av variationsteorin, vilket innebär att alla människor ser och lär sig saker på olika sätt. Detta leder i sin tur till vi kan analysera lärares användning av representationsformer i undervisningen. Emanuelsson (1995) menar att elever får en starkare grund till att förstå matematik på ett djupare sätt om matematik representeras på olika sätt och via ett varierat arbetssätt. Det kom att bli en analys av hur lärare använde sig av olika representationsformer i helklass men också på individnivå. 6.2 Val av metod Det här arbetet vilar på en kvalitativ studie av empiriskt insamlat material från observationer. Sett till studiens syfte och frågeställningar blev det en kvalitativ undersökning. Det användes en kvalitativ metod (Denscombe, 2009) och den främsta anledningen till användandet av en kvalitativ metod var att det behövdes observationer för att få svar på studiens frågeställning. Kvalitativa studier kan genomföras på flera olika sätt men kännetecknande för dem är att de har en ambition att försöka förstå och analysera helheter (Patel, Davidsson, 1994). Valet av en kvalitativ undersökning gav möjlighet till att observera lärarens arbetssätt för att få en fördjupad förståelse av hur läraren använde sig av olika representationsformer. Observation var huvudsaklig informationskälla och det var det för att kunna analysera lärares representationsformer när de undervisade i subtraktion. Om det endast skulle ske en kvantitativ undersökningsmetod så skulle det inte bli tillräcklig information och svar till studiens frågeställning. Det som analyserades var hur lärarna kommunicerade subtraktion i sin undervisning och vilka representationsformer som användes. Samt en analys om det fanns skillnad på hur läraren använde sig av representationsformer i undervisningen från helklassundervisning till individnivå. Variation och förståelse för olika representationsformer i sin undervisning är av stor betydelse eftersom det kan leda till att kunskap befästs på ett djupare plan hos eleverna (Marton & Booth 2000). 6.3 Datainsamling För att få svar på studiens frågeställning använde vi en datainsamlingsmetod, vilket var observationer. Valet av datainsamlingsmetod grundade sig på hur våra forskningsfrågor var ställda i studien. Vi valde att endast göra en observation av den anledningen att studien inte skulle bli för stor och invecklad.

17 Det första vi gjorde var att skicka ut ett brev (se bilaga 1) till de två berörda lärarna som har en varsin årskurs två. De berörda lärarna är utvalda på grund av tidigare praktik. I brevet (bilaga 1) förklarar vi vilka vi; Daniella Johansson och Kristin Qvarfordt är och varför vi vill göra observationer i klassen samt hur vi kommer hantera den insamlade datan och informationen vi får in. Vi skickade ytterligare ett brev (bilaga 2) till läraren, brevet innehöll samma information som lärarna fått tidigare men det här var information till elever och föräldrar för att godkänna att vi kunde göra ljudinspelning under observationerna. Efter klartecken från de berörda lärarna att det var okej och göra observationerna bestämde vi två dagar under vecka 48 då vi kunde komma. För att få en bra struktur över den insamlade data gjordes en observationsguide (se bilaga 3). Det blev två observationer var i de två klasserna med de berörda lärarna. Lektionerna vi observerade var på fyrtio minuter var i båda klasserna. Det var relativt olika lektioner dock med inriktning på subtraktion. Denscombe (2009) beskriver vissa fördelar med observation, bland annat att man som observatör får se vad människor gör istället för att personerna i fråga får berätta vad de gör. Genom observation får man en bra överblick hur lektionerna genomförs och man ser vad som faktiskt sker i olika situationer. Det användes en observationsguide (bilaga 3) för att få en överblick och hjälp att komma ihåg vissa händelser under lektionernas gång. Innan lektionen började på skola A hade vi pratat om de elever som var i allmänna matematiksvårigheter med den berörda läraren. I skola A startade vi med att sitta längst ner, i mitten av klassrummet för att få en bra överblick över helklassundervisningen. Sedan observerade vi hur undervisningen gick till, vi kollade även på hur läraren kommunicerade matematik med sina elever och på vilka representationsformer som användes i undervisningen. Under observationerna tittade vi på hur läraren varierade sin undervisning samt hur läraren förklarade på olika sätt genom att gå runt och kolla i klassrummet när eleverna arbetade med materialet. Det blev även extra fokus på de elever som var i allmänna matematiksvårigheter. Vi skrev ner i vår observationsguide (bilaga 3) för att anteckna hur läraren gjorde under lektionen. I skola B började vi med att prata om de elever som var i allmänna matematiksvårigheter med den berörda läraren i klassen. När lektionen på skola B startade satt vi längst ner till vänster i klassrummet vid två bänkar för att få en överblick när eleverna satt i en ring på golvet framför oss. Genom att vi först observerar läraren i en klassrumssituation när de undervisar i matematik med helklass, får vi en första inblick av vilka representationer läraren använder sig av och hur de kommunicerar om subtraktion. När eleverna sedan fick arbeta självständigt vid sina bänkar gick vi runt och observerade eleverna vilket vi även skrev ner i vår observationsguide (bilaga 3). Eftersom eleverna med allmänna matematiksvårigheter satt i en grupp på golvet kunde vi få en tydlig överblick i vår observation, vilket vi också skrev ner i vår observationsguide. 6.4 Urval Det urval som gjordes i studien var att vi valde att observera två klasser i årskurs två, klasserna var utvalda från våra VFU-skolor. Vi valde två klasser för att få tidsutrymme till att göra fler observationer om det skulle behövas. Det var lärarna som observeras i deras undervisning i klasserna. Det var lärare med lång erfarenhet av skolans värld men på två olika skolor, dock i samma kommun. För att få fram nödvändig data valde vi ut lärare i olika skolor, det gjorde vi för att få en bred utgångspunkt i vår studie och en så stor variation som möjligt. Det blev en mindre undersökning på grund av tid och för att avgränsa studien. I avsikt för att få en rättvis bild av undervisning i subtraktion gjordes det observationer från de två utvalda lärarna eftersom de kunde använda sig av olika

18 representationsformer i sin undervisning. Det finns både fördelar och nackdelar att göra observationer i en klass man känner sen tidigare. En fördel kan vara att eleverna känner sig trygga med personer de vet vilka de är sedan tidigare, vilket leder till att situationen inte blir så onaturlig. Nackdelen att göra observation i en klass man känner sen tidigare kan vara att man som observatör har förutfattade meningar kring hur lärarna redan arbetar och undervisar. Eftersom vi var två stycken som observerade läraren där en av oss inte varit i klassen sedan tidigare kunde man se och observera med kritiska ögon. För att sedan diskutera och jämföra tillsammans 6.5 Bearbetning av data Vi samlade in data från observationerna genom ljudinspelning. Ljudinspelningen är till för att det ska bli korrekt med informationen och till hjälp för att komma ihåg själva observationen. Det är även för att vi som observatörer ska kunna anteckna vissa händelser som sker under tiden observationerna är. Med hjälp av observationsguiden (bilaga 3) skrev vi ner vissa händelser som kunde vara av större betydelse under lektionen. För att sedan få med allt från händelserna kan vi dessutom lyssna på ljudinspelningen och inte enbart kolla på anteckningar från observationsguiden. Efter avlyssnande av observationerna diskuterades det mellan oss som observatörer för att hitta likheter och skillnader mellan de olika lärarna i sin undervisning av representationsformerna. En princip som Denscombe (2009) talar om är innebörden av att slutsatsen grundas på det material som finns och datan ska också vara noggrant genomläst. Det är något man bör ha i åtanke när ett sådant arbete genomförs. Enligt Denscome (2009) bör man säkerhetskopiera allt material samt sammanställa och organisera informationen. Det kommer göra arbetet enklare när man påbörjar granskningen av materialet. Vi strukturerade upp vår insamlade data utifrån våra frågeställningar för att lyfta fram vilka representationsformer som förekom i matematikundervisningen. Detta med hjälp av variationsteorins olika delar, så som variationsmönster. Vi delade upp resultatet i olika kategorier för att få en tydligare överblick om vad vi såg under observationerna och intervjuerna. Där försökte vi koppla händelserna i undervisningen till de olika representationsformerna och variationsteorin. Representationsformerna som är; konkret modell, bildmodell, språk, symboler och verklighet. Vi kopplade sedan resultatet till den tidigare forskning som haft betydelse i området. 6.6 Tillförlitlighet Vi har beskrivit hur studien kommer gå till genom att beskriva urval, metod och genomförande, vi hade även en observationsguide (bilaga 3). Studiens pålitlighet kan då anses vara god eftersom med hjälp av vår beskrivning skulle någon annan kunna utföra studien på samma sätt. Målet är att resultatet är beskrivet på ett kontextuellt sätt. Vi antar att en viss överförbarhet är möjlig på grund av att lärare undervisar utefter läroplanen, vilken alla ska följa, resultatet kan då bli igenkänt i andra kontexter. Observationsguiden följdes och vi genomförde våra observationer på samma sätt. Det användes en observationsguide för att säkerställa att vi använde samma grund för våra observationer och för att att öka mät-noggrannheten i vår undersökning. Därmed kunde vi få en större reliabilitet. Resultatet av vår studie går inte att generalisera nationellt då vi endast undersökt två skolor och sett en väldigt liten bit av matematikundervisningen. Studiens omfattning blir relativt begränsad, vilket innebär att datans trovärdighet inte kan påvisas. Enligt Denscombe (2009) innebär trovärdighet att kunna visa i vilken utsträckning insamlad data är exakt. Man kan säkerställa trovärdigheten genom att låta de observerande

19 lärarna validera den insamlade datan för att styrka vår studie. Allwood och Erikson (2012) skriver om validitet, vilket handlar om trovärdighet, i en forskning där det ska gå att bekräfta och där med att andra forskare ska kunna komma fram till samma sak En kritisk aspekt i vår observation som bör vara i åtanke är lärarens medvetenhet om att hon blir observerad i ett visst område. När läraren är medveten om vad det är som ska observeras är det lätt att läraren fokuserar och blir extra tydlig inom området för observationen som i sin tur kan leda till att lektionerna inte blir riktigt som de brukar vara. Detta kan påverka tillförlitligheten i den här studien. 6.7 Etiska överväganden Det finns fyra betydelsefulla begrepp enligt etiska forskningsrådet, sekretess, tystnadsplikt, anonymitet och konfidentialitet (Hermerén, 2011). Dessa begrepp är viktiga att följa med tanke på det material som samlades in under studiens undersökning. De observerade lärarna blev informerade via brev (bilaga 1) om vad studien handlade om och att de under hela processen kunde avbryta sin medverkan samt att det var helt frivilligt att delta. I brevet till föräldrarna (bilaga 2) ville vi få fram vår sekretess och tystnadsplikt kring insamlad empiri samt elevernas anonymitet i studien eftersom de är minderåriga. Vi säkerställde att den insamlade konfidentiella informationen endast skulle användas till studien. Därför var det viktigt för oss att den information som kom fram förvarades på ett sätt som gjorde att obehöriga inte skulle kunna nå materialet. Insamlad data så som ljudinspelning och bilder skulle raderas direkt när studien var avslutad.

20 7 Resultat och analys I kommande avsnitt redovisas sammanställningen som samlats in under våra observationer i vår undersökning. Studien genomfördes på två skolor och under kommande del kommer de benämnas som skola A och skola B. För att skydda elevernas anonymitet/integritet valde vi att ändra elevernas namn i studien. Vi börjar med en sammanfattning av hur matematiken synliggjorts i klassrummet för att få en övergripande bild 7.1 Skola A; helklass Lärandeobjektet i lektionerna var subtraktion i tiotalsövergång. Båda dagarna vi observerade innehöll mattestationer, eftersom det blev en fortsättning av det dagen efter så att alla elever hann göra alla stationer. Station nummer ett var att arbeta i matteboken med subtraktionsuppgifter, station nummer två och tre var problemlösningsuppgifter, på station fyra var uppgiften att mäta och jämföra olika längder. Station fem handlade om talmönster och talövergång, på station nummer sex fick eleverna arbeta med ipad och olika matematikspel. I kommande del har vi valt att analysera och fördjupa oss i station nummer ett på grund av stationens utformning. Även resultatet skulle bli svårt att fördjupa sig i om alla stationer skulle analyseras. På station nummer ett var lärandeobjektet subtraktion med positiva heltal i tiotalsövergång. Läraren började med att skriva 12 7 på tavlan och satte sedan upp 12 röda magnetpluttar på tavlan. Här kan vi direkt se att läraren använder sig av representationsmodellen konkret modell för att förtydliga subtraktionen. Läraren: Här har vi 12 röda magneter, hur skulle vi kunna lösa talet 12-7 med hjälp av dem? Emma: Ta bort sju pluttar. Läraren tog bort sju av magneterna och vände på dem så baksidan sattes fast på tavlan, de blev då gula. Lärare: Vad gjorde jag nu? Emil: Jo men du tog ju bort sju pluttar från dom röda. Lärare: Ja precis, hur mycket är det då kvar av talet? Carl: Fem magneter. Läraren satte tillbaka magneterna med den gula sidan uppåt till det ursprungliga talet. Lärare: Vad händer med talet fem om jag adderar de sju magneterna igen? Anna: Det blir 12 igen, fast nu kan man se det lättare. Lärare: Se vad lättare? Anna: Jo man ser ju att de sju pluttarna plus de fem röda pluttarna är 12 och då är det lättare att se vad 12 minus 7 är. Lärare: Du menar att det är lättare för att det är olika färger på magneterna? Anna: Ja det blir lättare att se liksom. Att man kan dela talet så. Läraren använde sig av magnetpluttar med olika färg på fram- och baksida för att representera olika tal, då kunde eleverna se att talet fem och sju blir tolv tillsammans. Genom att läraren bytte färg på magneterna hon tog bort, kunde eleverna se att talet fem och sju blir talet 12. Vi tolkade detta som att läraren ville göra eleverna medvetna om det

21 kritiska draget i Att man kunde dela upp talet 12 i fem och sju, och att talen hängde ihop. Läraren ville visa på ett enkelt sätt att man kunde dela upp talet 12 i fem och sju genom att byta färgen på magneterna, det blev då väldigt tydligt för eleverna att fem och sju hängde ihop och blev 12 tillsammans. Anna: Svarade; Jo man ser ju att de sju pluttarna plus de fem röda pluttarna är 12 och då är det lättare att se vad 12 minus 7 är. Detta indikerade tydligt vilket tal som skulle subtraheras från den hela summan. Läraren kunde på så sätt minska de kritiska draget. Genom att läraren la till de gula magneterna till de röda magneterna och visade att fem adderat med sju var 12 skedde det en kontrastering till vad subtraktion var. Läraren visade genom att addera talet på så sätt vad subtraktion inte var. Eleverna fick på så sätt en ökad förståelse för vad begreppet subtraktion innebär. Läraren suddade ut talet 12-7 och skrev nu 18-9 på tavlan, hon plockade fram några magneter till och vände alla så det blev röda och placerade ut 18 stycken på tavlan. Lärare: Här har vi ett nytt tal, om jag ska ta bort nio från det nu, hur kan jag göra det? Samuel: Du kan vända nio av pluttarna så de blir gula istället. Lärare: Varför då? Samuel: Jo men då kan man se lättare att dem pluttarna ska bort från talet. Läraren räknade upp nio magneter och vände dem så att de blev gula. Lärare: Vad gör vi nu med magneterna? Maria: Vi vänder på dem igen så talet blir samma färg. Läraren vände på magneterna igen. Lärare: Okej, vad gör jag sen, hur vet jag vilka magneter som ska tas bort nu? Maria: Ehhh... du får... räkna dom...kanske? Läraren vände tillbaka de nio magneterna igen samtidigt som hon räknade dem, hon flyttade dem sedan en liten bit bort för att markera att hon dragit ifrån dem från talet 18. Under de röda magneterna skrev hon 9 och under de gula magneterna skrev hon 9. Mellan de båda magnetgrupperna skrev hon ett plustecken. Och efter de gula magneterna skrev hon ett likamed tecken. Lärare: Vad gjorde jag med magneterna nu? Pelle: Du la ihop dem. Alltså du plussade nio och nio. Lärare: Ja vad blir det då? Pelle: Det blir 18. Maria: Men det var ju det vi hade från början. Läraren nickade och la fram 18 nya magneter efter likamedtecknet och visade på så vis att nio plus nio var 18. Genom att läraren visade med 18 nya magneter att de röda och gula magneterna blev 18 tillsammans ökade hon förståelsen för eleverna. Det kritiska draget kan vara att eleverna inte förstår att de gula magneterna är lika mycket värda som de röda och tillsammans med dem bildar ett helt tal. Det man kan tolka utifrån våra observationer i detta fall är att eleverna inte har börjat generalisera ännu. Eleverna är mer inne på att vända på magneterna utan att egentligen förstå innebörden av det. Men genom att läraren här visade tydligt genom representationsmodellen konkret modell med magnetpluttar, att det blev lika mycket genom addition skedde en kontrastering av lärandeobjektet och eleverna kunde få ytterligare ökad kunskap om vad subtraktion var. Läraren varierade talet hon

22 visade för eleverna men behöll aspekten av det, de färgade magneterna, och visade på att man kunde använda samma typ av tankesätt när man subtraherade ett tal från en helhet med hjälp av de färgade magneterna. Eftersom att en del elever hade svårt att förstå att magneternas olika färg symboliserade olika delar av talen blev det en kritisk aspekt och läraren minskade denna genom att visa tydligt för eleverna att magneterna både kunde dras ifrån en helhet men också adderas ihop till en helhet igen. Vi tolkade lärarens drag med att lägga till ytterligare 18 magneter i färgen röd så kunde eleverna se en generalisering av att de tidigare magneterna blev lika många som de nya, oavsett färgen på dem. Eleverna hade nu möjlighet att uppnå fusion genom att de kunde förstå delarna och den gemensamma helheten. Dock utifrån vår analys av observationerna har eleverna inte nått fram till fusion än utan de behövde fortsatt träning av förståelse av vad som händer i subtraktion med tiotalsövergång 7.2 Skola A; individnivå Under våra observationer i skola A kunde vi se en liten bild av hur läraren arbetade med elever i allmänna matematiksvårigheter i klassrummet. Oftast fick eleverna gå till en specialpedagog för undervisning i matematik, men ett par gånger i veckan stannade de kvar i klassrummet tillsammans med resterande elever. Eleverna i allmänna matematiksvårigheter behandlades på samma sätt som eleverna utan svårigheter. Dock kunde vi se att elever i svårigheter kunde få lite mer handledning och lite mer hjälp att använda det konkreta material som fanns tillgängligt. Vi valde att särskilt fokusera på en elev i allmänna matematiksvårigheter, som hädanefter benämns som Malin. Denna elev har ett utarbetat åtgärdsprogram och går oftast till en specialpedagog. Lärandeobjektet var subtraktion med tiotalsövergång och eleverna skulle räkna detta i sin matematikbok. Redan på första talet tog det stopp för Malin, och vi märkte att eleven själv tyckte det var besvärligt eftersom hon troligtvis inte helt anammat tankesättet läraren gått igenom precis på tavlan. Malin försökte på egen hand rita i luften mot tavlan för att försöka lista ut hur hon skulle kunna lösa talet med hjälp av magneterna på tavlan. Läraren såg detta och gick genast fram till eleven. Lärare: Vill du gå fram till tavlan och använda magneterna? Malin: Får jag det? Lärare: Absolut, vi kan göra det tillsammans. Vid tavlan ger läraren elev 1 magneterna. Lärare: Hur var talet? Malin: Lärare: Hur många magneter behöver vi sätta upp på tavlan då? Malin: (lång tystnad) 11? Lärare: Ja precis, vi behöver 11 magneter. Sätt upp dem på tavlan. Malin sätter upp 11 magneter. Läraren: Hur många skulle du dra ifrån? Malin: Tre... Malin plockar bort tre magneter. Hen räknar de magneter som är kvar. Lärare: Hur många magneter blev det kvar då?

23 Malin: Åtta magneter. Läraren: Ja det stämmer. Sätt upp de magneterna du har i handen och vänd dem så de blir gula. Malin gjorde detta och begrundande länge magneterna. Malin: Om jag lägger till dom gula magneterna blir det 11 igen. Lärare: Ja precis det blir det, om du adderar tre till åtta får du 11. Och om du subtraherar de tre du la till nu får du vadå? Malin: Jag får ju åtta kvar då! Lärare: Vill du prova att göra nästa tal själv med magneterna? Malin: Då står det Då lägger jag fram 15 magneter väl? Lärare: Ja precis gör det. Malin satte upp magneter så det blev 15 magneter på tavlan. Malin tittade på talet i sin matematikbok och vände sedan på sex av magneterna. Lärare: Varför gjorde du så? Malin: Jo för att jag skulle dra bort sex och nu kan jag se lättare hur många som blir kvar när jag gjort det. Det blir nio. Lärare: Bra jobbat, jag har en liten magnettavla du kan få låna och ha vid din bänk om du vill så behöver vi inte stå vid tavlan. Malin fick en mindre magnet tavla att ha vid sidan av sin matematikbok som hon nu kunde använda sig av under tiden hon räknade i sin bok. Det kritiska draget kan vara att ett tal kan delas upp i två, exempelvis att talet 11 kan vara tre och åtta och att de tillsammans blir 11. Där 11-3=8 och 11-8=3 att se kopplingen mellan tal på det viset kan bli ett kritiskt drag för eleverna och det är viktigt för läraren att synliggöra dessa så eleverna får möjlighet att komma förbi dessa. Genom att läraren hjälper eleven till att själv upptäcka att det kan bli addition med talet de subtraherar blir det en kontrastering som bidrar till ytterligare förståelse för eleven om vad subtraktion är. När eleven säger att hon tycker det är lättare att se vad talet blir genom att hon vänder på magneterna och får en annan färg på dem tolkar vi det som att eleven är på väg mot fusion. Vi tolkar lärarens fråga om eleven ville ha en egen magnettavla som att läraren ser på elevens tankesätt att eleven kommer uppnå fusion med lite hjälp av ett konkret material. Läraren behöll samma representationsform i individuella undervisningen som hon hade i helklassundervisningen tidigare. Läraren varierade talet med hjälp av eleven men behöll aspekten av det i form av de färgade magneterna på tavlan. Läraren behöll samma representationsform i individuella undervisningen som hon hade i helklassundervisningen tidigare. Läraren varierade talet med hjälp av eleven men behöll aspekten av det i form av de färgade magneterna på tavlan. I det första exemplet när Malin skulle dra ifrån talet tre från 11 så tog eleven magneterna i sin hand och sedan räknade hon resterande kvarvarande magneter på tavlan När läraren gjorde exemplet i helklass vände hon på magneterna istället så de blev gula och lät sedan eleverna räkna de magneter som fortfarande var röda. Att eleven i det här exemplet väljer att istället ha kvar magneterna i sin hand och inte sätter upp dem med den gula sidan uppåt, tolkar vi som att eleven i detta fall tycker det blir för rörigt på tavlan om de gula magneterna också kommer upp vid sidan av de röda. Genom att eleven separerar magneterna som ska dras ifrån talet och behåller dem i sin hand, minskar eleven själv de kritiska draget. Det kritiska draget skulle här kunna vara att det blir besvärligt för eleven att skilja de röda och gula magneterna åt, att eleven inte kan se att talet 11 är uppbyggt av

24 tre och åtta och hänger ihop. Därmed kan eleven inte se hur färgskiftningar på magneterna skulle kunna hjälpa till med att se talet i helhetsbegreppet. Men läraren lät här eleven göra som hon ville och fortsatte bara att uppmuntra eleven i hennes tankesätt. När läraren senare uppmuntrade Malin till att sätta upp magneterna hon hade i handen tolkade vi det som att läraren ville leda tillbaka eleven till undervisningen i helklass för att eleven skulle kunna upptäcka samma sak som Anna gjorde när hon tyckte att det var lättare att se eftersom det var olika färger på magneterna. Vi tolkade detta som att läraren här ville synliggöra det kritiska draget och därmed minska det. Eleven funderade sedan länge över hur magneternas färg hade betydelse för uppgiftens lösning och läraren lät eleven ta det i sin takt. Detta tolkade vi som att läraren ville att eleven skulle få tänka till själv, få göra talet i huvudet i lugn och ro för att sedan få en förståelse för hur talet var uppbyggt. Läraren ställde frågan varför gjorde du så? till eleven som precis vänt på sex av de 15 magneterna i talet Vi tolkade lärarens fråga som att läraren ville försäkra sig om att eleven hade förstått varför eleven skulle vända på magneterna. Och att eleven inte bara vände på magneterna för att det var det som läraren ville att eleven skulle göra. Vi tolkar detta som att läraren här ville ha en förklaring på hur eleven tänkte, vilket läraren också fick av eleven. Vi tolkade detta som att de kritiska draget blivit synligt och att eleven tillsammans med läraren hade minskat det, det fanns nu goda chanser att uppnå fusion för den här eleven i tiotalsövergång med hjälp av representationsformen konkret modell. 7.3 Skola B; helklass I våra observationer såg vi matematiken på flera sätt i klassrummen. Material som till exempel centikuber, pengar, makaroner, tallinjer, klossar, cirklar, klockor, burkar med tiotal och en del annat material (Bilaga 4). Båda klasserna arbetade med matematik under skoltid, bland annat deras almanacka, där de varje dag fick prata om dagens datum. I klassrummet på skola B fanns det en stor tallinje över den interaktiva tavlan samt fanns det två skåp i klassrummet där materialen var. Under en observation i skola B observerade vi hur pedagogen arbetade i sin klass med subtraktion i tiotalsövergång. Klassen fick till en början sitta i en ring tillsammans med pedagogen där hade pedagogen en genomgång för sina elever angående tiotalsövergång i subtraktion. Det var ett tydligt lärandeobjekt där eleverna skulle lära sig om tiotalsövergång i subtraktion. Pedagogen började med att prata om ordet subtraktion. Lärare: Vad betyder ordet subtraktion? Sana: Det betyder att ta bort. Eva: Dra ifrån. Lärare: Du ska handla en klubba som kostar 5kr och lämnar fram 32kr, hur mycket har du kvar efter du köpt klubban? Sedan la läraren fram växlaren (bilaga 5) och la tre tior på ena sidan av växlaren och två kronor på den andra sidan.

25 Lärare: Eftersom det inte går att ta bort två kronor från en tia så behöver vi växla men vad betyder ordet växla och hur används det i det här exemplet? William: Det betyder att vi måste göra ett tiotal till tio ental för annars kan vi inte ta bort de pengarna som vi ska ta bort. Lärare: Kan subtraktion betyda att man lägger till i talet? Nora: Nej det kan man inte för man ska bara ta bort tal då. Eftersom lärandeobjektet var tiotalsövergång i subtraktion använde sig pedagogen av en växlare (bilaga 5) och mynt. En sådan växlare fanns på alla elevers bänkar i klassrummet i skola B och det märktes att eleverna var vana att använda sig av växlaren i sin förståelse för matematiken. Men för att kunna använda en växlare måste eleverna förstå hur ett tal är uppdelat i tiotal och ental samt hur en växlare fungerar. Här blev det en separation av lärandeobjektet där eleverna lärde sig hur talen kunde delas upp i tiotal och ental men det blev ändå samma tal som till exempel att en tiokrona var tio enkronor. För att kunna förstå subtraktion i tiotalsövergång behövde läraren ge eleverna grunderna innan de kunde bygga vidare på nästkommande del. Läraren tog små delar mot målet för att eleverna skulle klara av att själva arbeta med tiotalsövergång i subtraktion. Vi tolkade detta som att läraren hade ett huvudproblem som hon sedan delade upp i mindre delproblem för att eleverna skulle få en djupare förståelse av vad som hände när de arbetade med subtraktion i tiotalsövergång. De kritiska dragen kunde vara att eleverna inte förstod vart tiokronan blev av när de fick tillbaka tio enkronor. Det blev även att de kritiska dragen minskades av lärandeobjektet när de kunde generalisera lärandeobjektet (Lo, 2014) av att en tiokrona var lika mycket värt som tio enkronor. I representationsmodellen konkret modell användes abstrakta föremål och i det här fallet var det mynt som läraren använde sig av. Här blev de abstrakta föremålen mynten som representerade de abstrakta talen eleverna jobbade med. Vi tolkade det som att läraren tyckte det var bra med konkreta föremål samt att det var verklighetsanknutet till elevernas vardag, verklighet som också är en av representationsformerna. En av variationsmönstrets inriktningar är generalisering vilket innebär att lärandeobjektet kan se ut på olika sätt men har samma innebörd. Generalisering handlar om att kunna generalisera lärandeobjektet, eleverna lärde sig här att en tiokrona var värd lika mycket som tio enkronor oavsett om det handlade om pengar eller i andra tal. Generaliseringen i det här fallet innebar att eleverna lärde sig att överföra det på alla tiotal och inte bara det som var i pengasammanhang. Det handlade om att talet tio kunde delas upp i mindre enheter vilket i detta fall betydde tio instanser av talet ett. När eleverna hade den här förståelsen uppnådde de fusion eftersom de kunde överföra kunskapen till liknande uppgifter med subtraktion i tiotalsövergång. Utifrån våra observationer tolkade vi att eleverna skulle förstå skillnad på ental och tiotal för att de sedan skulle kunna räkna i subtraktion i tiotalsövergång och kunna räkna med sin växlare. Utifrån att eleverna använde sig av en växlare fanns det många aspekter att ta hänsyn mot, de skulle förstå hur ett tiotal växlades ut mot tio enkronor för att de sedan skulle kunna ta nästa steg i sin beräkning. De skulle förstå vart mynten tog vägen och hur de växlades in för varandra vilket kunde ses som ett kritiskt drag. Det kritiska draget blev att eleverna skulle förstå att tiokronan blev till tio enkronor. Tio enkronor som eleverna sedan kunde lägga i sin växlare (bilaga 5). Summan var alltså konstant tio men blev representerat som tio enkronor istället för en hel tiokrona.

26 Det uppkom en diskussion om vad subtraktion innebar i att ta bort och dra ifrån och pedagogen försökte även belysa felaktig information genom att säga om subtraktion betyder att lägga till i talet. När man tar exempel om vad subtraktion inte innebär sker en kontrastering, i vår observation kunde vi urskilja exemplet Kan subtraktion betyda att man lägger till i talet?. Här vill läraren påvisa om vad subtraktion i tiotalsövergång inte är genom att börja prata om addition när läraren säger lägger till. Vi tolkade det som att läraren också vill kolla om eleverna förstod innebörden av subtraktion och addition, alltså vart la man till och när skulle man dra bort i ett tal. Här fick eleverna ta del om vad subtraktion inte var och fick en större förståelse för vad begreppet betydde. För att kunna använda sig av variationsmönstret kontrastering måste en pedagog börja på elevernas nivå. Dels för att få in en bättre förståelse av lärandeobjektet samt kunna visa kontraster för att eleverna ska få djupare förståelse (Lo, 2014) och det såg vi när läraren pratade om addition. I skola B kunde vi se hur pedagogen använde sig av verklighetsanknytande exempel när hon tog exemplet att eleverna skulle handla en klubba för fem kronor. Godis är något som alla elever kan knyta sig an till. Verklighet är en av representationsformerna vilket syntes i undervisningen när det blev elevnära exempel och diskussioner. När läraren använde sig av elevnära exempel så användes representationsformen verklighet och utifrån det utgick man från begreppet separation. Separationen i det här fallet blev när läraren belyste hur talen var uppdelat i tiotal och ental för att förstå subtraktion i tiotalsövergång. Eleverna måste förstå generaliseringen av att tio enkronor var lika mycket värt som en tiokrona och tvärtom. Så att de sedan kunde överföra det i andra tal när de arbetade med subtraktion i tiotalsövergång 7.4 Skola B; individnivå Under de gånger som observationerna gjordes i skola B fick man se en liten bild på hur läraren arbetade med enskilda elever som hade allmänna matematiksvårigheter. I vår analys fick vi följa tre elever med allmänna matematiksvårigheter, dessa elever som hade svårighet i matematik brukade oftast gå till en specialpedagog för undervisning. Eleverna hade även utarbetat åtgärdsprogram. I vår ena observation var det först genomgång och repetition med alla elever i klassen och efter genomgången skulle de arbeta med tiotalsövergång i subtraktion. Alla elever fick ett arbetsblad med tiotalsövergång i subtraktion där de skulle arbeta med sin växlare (bilaga 5). Läraren gick runt i klassrummet för att se vilka elever som förstod uppgifterna och började arbeta självständigt med arbetsbladet. Efter en stund fick tre elever med allmänna matematiksvårigheter sitta tillsammans med läraren för att träna mer på hur de skulle tänka i subtraktion med tiotalsövergång, för de kom inte igång med arbetsbladet. Om eleverna klarade av att göra uppgifterna själva på arbetsbladet så var det en indikation på att de var nära att nå fusion, men de elever som hade svårt för uppgifterna behövde träna mer av separation och generalisering (Lo, 2014). Eleverna behövde alltså förstå delarna för att förstå helheten av hur subtraktion i tiotalsövergång fungerade. Här behövde eleverna förstå mer ingående av vad tiotal och ental hade för betydelse. Tillsammans i den lilla gruppen på tre elever fick pedagogen gå igenom tiotalsövergång i subtraktion igen fast med lite lägre siffror och använde sig av några andra exempel. Bara för att eleverna skulle förstå grunden av vad ett tiotal var för något så gick de igenom det igen och visade hur man delar upp ett tiotal i tio ental. Här gick alltså pedagogen igenom separation för att visa kritiska drag och aspekter som fanns. Läraren visade återigen av hur

27 en tiokrona bestod av tio enkronor. Efter det tog läraren ett exempel med subtraktion i tiotalsövergång. Läraren: Ni har 14 äpplen men sen äter ni upp 6 stycken av dem, hur många har ni kvar? Alltså Eleverna fick låtsas att pengarna var som äpplen och började lägga upp mynt tillsammans med läraren. Läraren la upp mynten i två högar, en rad med tio enkronor och en rad med fyra enkronor. Här fick läraren översätta och förklara hur tio enkronor är likadant som en tiokrona. Dock för att göra det tydligare så arbetade läraren bara med enkronor med eleverna, vi tolkade att syftet med detta var att läraren ville förenkla uppgiften genom att plocka bort ett moment. Det blev då färre kritiska drag att arbeta med. Läraren: Här ser ni en hög med tio enkronor och en hög med fyra enkronor, hur mycket blir det tillsammans? Vilde: Det blir 14 stycken Läraren: Ja det stämmer, nu tänker vi att det här är 14 stycken äpplen och vi ska äta upp 6 stycken av dem, hur många har vi kvar då? Isak: (Tittade först på högarna av mynt) Man ska ta bort de hära.. (Eleven började plocka bort 6 stycken enkronor, först i raden med fyra enkronor och sen två till i den andra högen med tio stycken mynt. ) Läraren: Okej, men hur många har vi kvar nu när ni tagit bort 6 stycken äpplen? Vilde: Då har vi åtta stycken äpplen kvar. Läraren: Hur vet du det? Vilde: Jo för här finns det bara, 1,2,3,4,5,6,7,8 stycken kvar. Även här var lärandeobjektet tiotalsövergång i subtraktion men pedagogen använde sig dock inte av en växlare utan gav eleverna exemplet att de hade äpplen istället. Redan här blev det ett kritiskt drag eftersom att läraren har använt sig av en växlare som alla elever har, till att helt övergå till ett annat spår med äpplen. Det vi tolkade utifrån våra observationer var att läraren ville göra det extra tydligt med lägre tal som talet läraren använde sig av 14-6 för eleverna. Dock måste eleverna förstå grunderna i hur man gjorde och vad som hände med tiotalet och entalen när det var subtraktion i tiotalsövergång. När eleverna förstod att växlaren, pengarna och äpplena är representation av samma sak kunde de uppnå fusion. Läraren började med att eleverna skulle förstå hur ett tal är uppdelat i tiotal och ental igen. Här blev det en separation av lärandeobjektet där eleverna lärde sig hur talen kunde delas upp i tiotal och ental men det blev ändå samma tal som till exempel att en tiokrona var tio enkronor. Läraren la upp mynten i två stycken högar, en hög med ett tiotal av enkronor och en hög med fyra ental, för att göra det så tydligt som möjligt. Vi tolkade det här att de här eleverna behövde extra tydlighet och repetition av hur ett tiotal var uppbyggt av tio ental. Här behövde läraren bryta ner delarna extra tydligt för att eleverna sedan skulle förstå helheten med tiotalsövergång i subtraktion. Läraren försökte generalisera att ett tiotal var lika som tio ental, vilket innebar att lärandeobjektet kunde se ut på olika sätt men ha samma innebörd. Med eleverna i den här lilla gruppen försökte läraren visa det med hjälp av äpplen. Generalisering handlar om att kunna generalisera lärandeobjektet, eleverna lärde sig här att en tiokrona var värd lika mycket som tio enkronor oavsett om det handlade om pengar eller i andra tal eller som i det här fallet äpplen. Generaliseringen i det här fallet innebar att eleverna lärde sig att överföra det på allt och inte bara i pengasammanhang.

28 Under hela tiden såg man hur pedagogen använde sig av representationsmodellen konkret modell med det laborativa materialet; mynt. Även representationsmodellen språk användes på ett grundläggande sätt så eleverna förstod och kunde knyta an till matematiken. Pedagogen försökte även här på individnivå använda sig av elevnära exempel så som att använda sig av äpplen, för att eleverna skulle förstå matematiken och göra så de förstod generalisering av subtraktion och talen. Läraren försökte här variera sig av flera representationsformer men behöll samma problem och innehåll för eleverna. 7.5 Jämförelse av undervisning i helklass och på individnivå Det var olika lektioner vi fick observera dock var det en tydlig likhet hur pedagogerna arbetar med representationsformerna språk och konkret modell i helklass. I skolorna A och B kunde vi tydligt se att båda pedagogerna använde sig av representationsformen konkret modell i sin undervisning, skola A använde sig av material som magneter och skola B använde sig av mynt som konkret modell. Eleverna visste vart materialet fanns och kunde när som gå och hämta om de kände att de behövde använda något av materialet under lektionens gång. Vi kunde se hur pedagogerna grundligt gick genom hur eleverna skulle arbeta med materialet för att de sedan kunna lösa och arbeta själva med vissa uppgifter. I skola A gick läraren igenom uppgifter på tavlan där hon använde sig av magnetpluttar. I skola B hade läraren en genomgång i grupp på golvet för att förklara hur en växlare användes i subtraktion i tiotalsövergång. Genom att lärarna kommunicerade tydligt med eleverna under lektionernas gång kunde vi se representationsformen språk. Jämförelsevis mellan helklass och individanpassad undervisning i båda skolorna arbetade man på ett likartat sätt. Skola A använde sig av representationsformen konkret modell och språk både i helklassundervisning och på individnivå vilket även läraren på skola B gjorde. Både i skola A och skola B arbetade elever med allmänna matematiksvårigheter med fler uppgifter så att kunskapen skulle befästas på ett djupare plan. En skillnad vi såg var att läraren på skola A följde upp sin egen representationsform på individnivå med samma exempel med magnetpluttarna. Läraren använder sig av magnetpluttar med olika färg på fram- och baksida för att representera olika tal samt för att det kritiska draget minskas för elevernas lärande av subtraktion i tiotalsövergång. Genom att läraren bytte färg på magneterna hon tog bort så kunde eleverna se att exempelvis talet fem och sju blir tolv tillsammans. Vår tolkning av detta är att läraren ville göra eleverna medvetna om det kritiska draget i Att man kunde dela upp talet 12 i fem och sju, och att talen hängde ihop. Representationsformen konkret modell med magnetpluttarna behålls konstant likaså lärandeobjektet var samma med subtraktion i tiotalsövergång. Däremot kunde vi se att läraren varierade uppgiften med andra tal. Vi kunde också se att eleverna som hade allmänna matematiksvårigheter fick en egen liten tavla med magnetpluttar att arbeta med därför att de skulle slippa stå framför stora tavlan. Det gav även ett resultat av att eleverna kunde förstå på ett enklare sätt när de själva fick testa och arbeta sig framåt med hjälp av magnetpluttarna och sin egen tavla. En stor skillnad vi såg från helklassundervisning till elever i allmänna matematiksvårigheter på individnivå i skola B var att läraren inte fortsatte med samma spår. I helklass arbetade de tillsammans med en växlare men på individanpassad nivå med den lilla gruppen tog läraren inte med växlaren alls. Istället blev det förklaringar med mynt och prat om äpplen när läraren försökte förklara och visa subtraktion i tiotalsövergång. Här

29 såg vi att läraren generaliserade lärandeobjektet, generaliseringen i det här fallet inebar att eleverna lärde sig att överföra det på allt och inte bara i pengasammanhang. Alltså att en tiokrona var värd lika mycket som tio enkronor oavsett om det handlade om pengar eller i andra tal och sammanhang. Lärandeobjektet hölls här konstant men däremot kunde vi se att läraren varierade både uppgiften och representationsformen. Vi såg att eleverna med allmänna matematiksvårigheter kunde förstå subtraktion i tiotalsövergång på ett annat sätt genom att läraren använde sig av variation av konkret modell fast med samma lärandeobjekt.

30 8 Diskussion Syftet med studien var att undersöka hur lärare symboliserar subtraktion med hjälp av representationsformer i helklassundervisning och på individnivå med elever i allmänna matematiksvårigheter. Syftet var också att undersöka vilka likheter samt skillnader som finns i lärares användande av representationsformer i helklassundervisning och i individuell undervisning för elever i allmänna matematiksvårigheter. Genom analysen har vissa samband framkommit i användandet av representationsformerna i de två olika skolorna samt skillnader i användandet. Resultatet av analysen visar att de mest använda representationsformerna i undervisningen var språk, konkret modell, symboler och verklighet för att symbolisera subtraktion, både i helklass och på individnivå. Resultatet visade även en skillnad mellan helklassundervisning och individnivå. Då en av våra frågeställningar var vilka likheter och skillnader det fanns i användandet av representationsformerna hos lärarna i helklass till individnivå, fann vi en del skillnader och likheter. Den skillnad vi uppmärksammade var att pedagogen på skola B bytte innehållet av representationsformen konkret modell, vilket blir att läraren får ett annat sätt att strukturera och förklara uppgifter med subtraktion i tiotalsövergång. Pedagogen på skola A använde sig av samma innehåll i representationsformen både i helklass och med elever i allmänna matematiksvårigheter. En varierad undervisning behövs för att alla elever ska få samma förutsättningar för att förstå och lära sig. Holmqvist (2004) menar att variationsteorin grundas på att allt lärande kräver variation av olika slag. Utan variation skulle det vara svårt för eleverna att lära sig något i en lärandesituation. Om lärare konstruerar alla exempel av ett lärandeobjekt på samma sätt kan inte eleverna utveckla en förståelse för att ett lärandeobjekt kan ha flera aspekter. Det här såg vi genom att läraren i skola B bytte perspektiv och bytte till ett annat perspektiv för att elever på individnivå skulle förstå subtraktion i tiotalsövergång på ett annat sätt. I början använde sig läraren på skola B av mynt och en myntväxlare för att senare på individnivå med elever i allmänna matematiksvårigheter använda sig av mynt som skulle symbolisera äpplen. Här togs alltså växlaren bort helt och det blev ett annat perspektiv fast med samma lärandeobjekt. Under våra observationer såg vi att språklig modell användes flitigt under matematiklektionerna, både mellan elever samt lärare. För eleverna i allmänna matematiksvårigheter symboliserade pedagogen räknesättet subtraktion genom att vara extra tydlig i sitt språk. Kontrastering bygger på elevernas förkunskaper och är en viktig del i variationsteorin. I undervisningen blir det när något nytt ska läras, då kommer den nya kunskapen bygga på elevernas förkunskaper. I det här fallet blev det när de diskuterade svåra ord. I våra observationer kunde vi se att pedagogerna i skola A och B använde sig av ett matematiskt korrekt språk i sin matematiska kommunikation med eleverna. De använde de matematiska orden så som subtraktion istället för att säga minus. De förklarade svåra ord för eleverna och var tydliga i sina förklaringar och visade också vad orden inte var, alltså kontrastering. Språk är den ena formen av representationsformerna och det var den som användes mest i undervisningen som vi observerade. Både när det gäller i helklassundervisning men även på individnivå. I observationerna såg vi vad kommunikationen hade för betydelse och hur viktigt det är att förstå det matematiska innehållet för att kunna göra olika beräkningar mm. Förmågan att uttrycka sig genom det matematiska språket övas genom att ha aktiviteter som inbjuder till diskussion och utbyte av tankar om matematik (Setai & Adler, 2000). Det talade språket innehåller både formella och informella inslag och läraren bör aktivt arbeta för att eleverna successivt ska övergå från det informella till det formella matematiska språket (Setati & Adler, 2000). I observationerna användes ett matematiskt språk både hos lärarna och eleverna. De använde

31 orden; subtraktion, term och differens, de ord som är av stor betydelse när man arbetar i området subtraktion. En kritisk aspekt på individnivå med representationsformen; språk, är de matematiska uttrycken. Vissa av dessa uttryck förstod inte de elever som är i allmänna matematiksvårigheter som vi observerade. De hade även svårigheter med talens uppbyggnad när det gäller tiotal och ental. Genom att läraren synliggjorde dessa ord så som subtrahera, summa och differens och förklarade orden på ett mer subtilt sätt kunde eleverna uppnå fusion. En aspekt av att språk var en av de mest använda representationsformerna i undervisningen tror vi grundade sig i att förståelsen för det svenska talande språket var stort. I de klasser som vi studerade fanns det inga elever som inte kunde svenska vilket gör att pedagoger och elever kunde använda språket som representationsform i stor utsträckning. Hade det varit många elever som inte förstod det svenska språket eller elever med invandrarbakgrund som inte behärskar språket hade det troligtvis blivit ett annat resultat i vår studie och andra representationsformer hade fått större utrymme. När pedagogerna i skola A och B undervisade använde sig båda pedagogerna av representationsformen verklighet i sin undervisning. Verklighet är en av de fem representationsformerna och om man kopplar det till lärandeobjektet kan eleverna lättare relatera och koppla det till själva lärandeobjektet. I skola A och B använde de sig mycket av räkning med mynt. Dels för att visa konkreta exempel och anknyta till verkligheten men även för att träna på huvudräkning utan uppställning av talen. Doverborg (2012) menar att fokus bör läggas på att eleverna utvecklar en god taluppfattning när de möter matematiken i grundskolan. Det är också viktigt att eleverna tillåts laborera och undersöka på ett kreativt och utvecklande sätt för att upptäcka matematiska samband. Båda pedagogerna var noggranna med att repetera uppgifterna samt vara tydliga och konkreta i sina förklaringar både för dem i helklass samt för dem elever som är i allmänna matematiksvårigheter genom att använda sig av representationsformen verklighet. Lärarna använde sig av verklighetsanknutna exempel i sin undervisning för att symbolisera räknesättet subtraktion. Vilket även Löwing och Kilborn (2002) beskriver, eleverna gynnas av att undervisningen går att koppla till vardag och verklighet utanför klassrummet. Vilket vi såg när lärare på skola B använde sig av exempel med handling av godis och frukt. Där såg vi en koppling till elevernas vardag vilket vi antar underlättade elevernas förståelse. Pedagogerna använde sig av olika material så som pengar vilket kan kopplas till verklighet och vardag för eleverna, när de är med och handlar eller kanske får veckopeng. Det som kan vara en nackdel med mynt kan vara att en del elever inte är vana vid pengar och mynt eftersom det i dagens samhälle oftast används mobil eller betalkort för att betala. Pedagogerna försökte oavsett att utgå från elevernas vardag i sina förklaringar vilket förhoppningsvis underlättade elevernas förståelse. Vi kunde se att båda lärarna som observerades använde sig av representationsformen konkret modell i deras matematikundervisning. Både skola A och skola B hade rikligt med material i deras klassrum. Material som exempelvis klockor, pärlor, centikuber, plockmaterial med mera. Under våra observationer i vår studie kunde vi se att lärarna använde sig av representationsformen konkret modell genom laborativt material, som eleverna själva kunde använda sig av och plocka med. På skola A använde de sig av magneter som representerade antal och på skola B använde de sig av mynt för att symbolisera äpplen som antal. Hwang och Nilsson (2003) skriver och förklarar hur det konkreta materialet kan vara ett stöd för tanken och kan hjälpa till i begreppsbildningen hos eleverna. I våra observationer såg vi tydligt att det användes olika material till olika övningar och att lärarna varierade innehållet i undervisningen. Synnerligen skola A då pedagogen hade olika stationer med övningar och med varierande material för att variera innehållet av lektionerna fast med samma lärandeobjekt.

32 Lärarna på skola A och B använde sig mycket av siffror och subtraktionstecken under deras lektioner när observationer genomfördes. Båda lärarna var tydliga med att förklara innebörden av symbolerna, så som siffrornas värde och antal. Bergsten, Häggström och Lindberg (2001) menar att det symboliska språket exempelvis innefattar att använda sig av siffror, additions- och subtraktionstecken. Ahlberg (2000) menar att en förutsättning för att förstå matematiska beräkningar är förståelsen av symbolspråket. Under våra observationer i skola B kunde vi också se hur läraren använde sig av symbolen - eftersom de arbetade med subtraktion i tiotalsövergång. Pedagogen skrev på tavlan och talade mycket om ordet subtraktion och subtraktionens innebörd. Läraren var mer inne på att förklara ordet subtraktion eftersom eleverna redan hade en förförståelse för symbolen -. I våra observationer kunde vi också se vi hur läraren och eleverna diskuterade ordet subtraktion. De elever som svarade sa att det betyder lägga till och dra bort. Eleverna bör möta betydelsen i konkreta exempel långt innan begreppen introduceras för att de abstrakta symbolerna ska få en mening och innebörd hos eleverna samt att de kritiska dragen ska minskas. När man arbetar med ett nytt område är det viktigt att ta något elevnära som kan kopplas till verkligheten. Under våra observationer har vi sett ett flertal exempel av hur olika representationsformer används i matematikundervisningen. Det vi kunde se i vår observation var att språk och konkret modell utmärkte sig mest av representationsformerna när läraren symboliserade räknesättet subtraktion. Att utgå från variationsteorin innebär att innehållet i lektionerna varieras och med representationsformerna är det möjligt för läraren att hjälpa elever erfara variation av olika aspekter av lärandeobjektet som i det här fallet är subtraktion med positiva heltal i tiotalsövergång. Duval (2006) menar att för att kunna uttrycka matematik måste den på representeras på något sätt samt att alla människor ser och lär sig saker på olika sätt. Emanuelsson (1995) menar att elever får bättre förutsättningar till att förstå matematik på ett djupare plan om lärandeobjektet i matematiklektionerna varieras. Lärarna vi såg under våra observationer varierade aspekterna av lärandeobjektet i undervisningen för subtraktion, exempelvis genom olika matematikstationer. Tillämpning Från vår studie och våra resultat av observationerna kan vi se att varierad undervisning och användandet av olika representationsformer bidrar till ett bra lär-tillfälle som gynnar elevernas kunskapsutveckling i subtraktion med tiotalsövergång. Som blivande lärare anser vi att det är vår uppgift att se till att få med alla elever i undervisningen. En lärare bör kunna använda sig av flera olika variationssätt och metoder för att kunna skapa en så god inlärning som möjligt. Genom att använda sig av representationsformerna ger det en bra grund att stå på för varierad undervisning. Vår studie skulle kunna tillföra en ökad förståelse för hur representationsformer kan användas och ses ur ett variationsteoretiskt perspektiv. Utgår en lärare från variationsteorins grund kan pedagogen förstå hur representationsformerna kan användas för att lärandeobjektet ytterligare ska fördjupas. Förslag på vidare forskning i det här området kan vara att utforska hur subtraktion presenteras med hjälp av representationsformerna i matematikböcker.

33 Populärvetenskaplig sammanfattning I vår studie har vi undersökt hur två pedagoger arbetar med subtraktion i helklass och på individnivå med elever i allmänna matematiksvårigheter. Vi upplever att många elever har svårt med subtraktion i skolan och inför vår kommande yrkesprofession vill vi få en starkare grund i hur man kan arbeta med subtraktion. En varierad undervisning är gynnsam för elevers lärande och med hjälp av representationsformerna så som bild, symboler, språk, verklighet och konkret modell kan undervisning i subtraktion förtydligas för alla elever även för de elever som är i allmänna matematiksvårigheter. Med vår studie vill vi få konkreta tips och exempel på hur man som yrkesverksam pedagog arbetar med matematik och i det här fallet subtraktion. Vi anser att det är vår uppgift som blivande lärare att se till att få med alla elever i undervisningen. Alla människor är olika men alla har lika rätt till utbildning (Skolverket, 2011). För att få med alla elever behövs en varierad undervisning samt olika sätt att möta individer på deras nivå. Från vår studie och våra resultat från observationerna kan vi se att varierad undervisning och användandet av olika representationsformer bidrar till ett ypperligt lär-tillfälle som gynnar elevers kunskapsutveckling i subtraktion. En lärare bör kunna använda sig av flera olika variationssätt och metoder för att kunna skapa en så god inlärning som möjligt för sina elever. Det är alltså inte tillräckligt gynnsamt för elever att endast arbeta i matematikböcker utan läraren behöver till exempel bryta av med utomhusmatematik, arbetsblad, eller som vi under våra observationer såg, matematikstationer. Detta bidrar till en varierad undervisning och en ökad arbetsmoral för eleverna. En variation av uppgifter och arbetssätt kan leda till att läraren får med sig fler elever i undervisningen eftersom att alla elever lär sig på olika sätt. Under våra observationer fick vi se mycket användande av konkreta modeller bestående av laborativt material och användandet av det matematiska språket. De mest använda representationsformerna var dessa två, men vi såg även en viss användning av symbolspråk och verklighetsanknytning. I våra intervjuer med de undervisande lärarna framkom det tydligt hur betydelsefullt användandet av laborativt material är för elevernas kunskapsutveckling och förståelse i matematik. Det konkreta materialet hjälper eleverna att se och förtydliga den abstrakta matematiken till exempel med hjälp av klossar, centicuber och pengar. Vi anser genom att använda oss av representationsformerna i undervisningen för subtraktion kan vi få en bra grund att stå på för en varierad undervisning. Bild, konkret modell, verklighet, symboler och språk ingår i de fem representationsformerna vilket leder till fler olika inlärningssätt av matematikens olika begrepp. Vi tror att många lärare använder sig av de olika representationsformerna i sin undervisning men att de inte alltid är medvetna om sitt användande av dem. Många lärare behöver bli medvetna om vad representationsformer är och vad de kan tillföra i en undervisningssituation. Genom vårt arbete kan lärare bli medvetna om sitt eget användande av representationsformerna och utnyttja dem på ett mer konkret sätt i sin undervisning. Vår studie skulle kunna tillföra en ökad förståelse för hur representationsformer kan användas i en klassrumssituation. Där lärare kan använda sig av språk, konkret modell, verklighet, symboler och bild för att förtydliga matematiken för eleverna.

34 Referenser Adler, B. (2001). Vad är dyskalkyli?:[en bok om matematiksvårigheter]:[orsaker, diagnos och hjälp]. 1. uppl. Höllviken: NU-förl. Ahlberg, A. & Wallby, K. (red.) (2000). Matematik från början. 1. uppl. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, Univ. Bagger, A. Roos, H. (2015) How Research Conceptualises the Student in Need of Special Education in Mathematics. Umeå universitet, Linnéuniversitet Växjö. Tillgänglig: Bergsten, C. Häggström, J & Lindberg, L. (2001). Algebra för alla. 1. uppl. Göteborg: Nämnaren Cheng, M. Ho, C. (2008). A Study on Applying the Variation Theory to Chinese Communicative Writing. Asian Social Science Vol 4, No 10 Oktober 2008 Denscombe, M. (2009). Forskningshandboken: för småskaliga forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna. 2. uppl. Lund: Studentlitteratur Doverborg, E. & Pramling Samuelsson, I. (2012). Att förstå barns tankar: kommunikationens betydelse. 4., [rev.] uppl. Stockholm: Liber Duval, R (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics vol 61 (ss ) Emanuelsson, G. (1995). Språk, symboler och ut- trycksformer. Nämnaren 22(2), 2-3 Engvall, M (2013). Handlingar i matematikklassrummet [Elektronisk resurs] : en studie av undervisningsverksamheter på lågstadiet då räknemetoder för addition och subtraktion är i fokus. Diss. Linköping: Linköpings universitet, 2013 (Tillgänglig på Internet: (Hämtad: 21/9-16)) Hermerén, G (2011). God forskningssed. Stockholm: Vetenskapsrådet (Tillgänglig på Internet: (Hämtad: 21/9-16)) Hiebert, J. (2003). What research says about the NCTM standards. In J. Kilpatrick, W. G. M, & D. Schifter (Eds.), A research companion to "Principles and standards for school mathematics" (pp. 5-23). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Holmqvist, M. (2004). En främmande värld. Om lärane och autism. Lund: Studentlitteratur Holmqvist Olander, M. & Nyberg, E. (2014). Journal of Research in Childhood Education. Learning Study Guided by Variation Theory: Exemplified by Children Learning to Halve and Double Whole Numbers. 28(2), ss

35 Hwang, P. & Nilsson, B. (2003). Utvecklingspsykologi. 2., rev. uppl. Stockholm: Natur och kultur Häggblom, L. (2013). Med matematiska förmågor som kompass. 1. uppl. Lund: Studentlitteratur Kay, J. & Yeo, D. (2003). Dyslexia and maths. London: David Fulton Kvale, S. & Brinkmann, S. (2009). Den kvalitativa forskningsintervjun. 2. uppl. Lund: Studentlitteratur Lester, F. (red.) (2007). Second handbook of research on mathematics teaching and learning: a project of the National Council of Teachers of Mathematics. Charlotte, NC: Information Age Pub. Lima, C. (2007). Kommunikation, organisation och ledarskap. (1. uppl.) Malmö: Liber. Lo, M. (2014) Variationsteori för bättre undervisning och lärande. Lund: Studentlitteratur. Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (2011). Stockholm: Skolverket Löwing, M & Kilborn, W (2002). Baskunskaper i matematik: för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur Magne, O., Bengtsson, M. & Carleke, I. (1972). Hur man undervisar elever med matematiksvårigheter. Stockholm: Esselte studium Malmer, G, & Adler, B. (1996). Matematiksvårigheter och dyslexi: erfarenheter och synpunkter i pedagogisk och psykologisk belysning. Lund: Studentlitteratur Marton, F. & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur Marton, F. (2015). Necessary Conditions of Learning. London: Routledge Miller, S, & Kennedy, M 2012, 'Using the Concrete-Representational-Abstract Sequence with Integrated Strategy Instruction to Teach Subtraction with Regrouping to Students with Learning Disabilities', Learning Disabilities Research & Practice, 27, 4, pp , ERIC, EBSCOhost, viewed 20 November 2016 Runa, P. & Davidsson, B. Forskningsmetodikens grunder, 2. uppl. (Lund: Studentlitteratur, 1994 Setati, M & Adler, J (2000). Between languages and discourses: Language practices in primary mathematics classrooms in South Africa. Educational Studies in Mathematics,43(3), pp Svensson, L (1997) Theoretical Foundations of Phenomenography. Higher Education Research & Development, 16:2

36 Säljö, R. (2010). Den lärande människan - teoretiska traditioner. I: Lundgren, Ulf P., Säljö, R. & Liberg, C. (red.). Lärande, skola, bildning: [grundbok för lärare]. 1. utg. Stockholm: Natur & kultur Pimm, D. (1981) Mathematic? I speak It fluently. In A Floyd (Ed) developing mathematical thinking (pp ). Workingham: Addison Wesley Pettersson, E. & Wistedt, 1. (2013). Barns matematiska förmågor- och hur de kan utvecklas. 1. Uppl. Lund: Studentlitteratur Vygotskij, L. (1986). Thought and language. [Rev. ed.] Cambridge, Mass.: MIT Press

37 Bilaga 1, brev till undervisande lärare Brev till undervisande lärare. Hej, det är vi som är Daniella Johansson och Kristin Qvarfordt, vi studerar till f-3 lärare på Linneuniversitetet i Växjö. Vi är inne på den näst sista terminen och skriver vårt första självständiga arbete. Syftet med undersökningen är att studera hur er klass arbetar med subtraktion i matematik. Undersökningen kommer innefatta att vi observerar max två lektioner i matematik samt gör en intervju med dig som lärare. Den informationen som delges oss kommer endast att användas till vårt examensarbete och inget annat. Vår undersökning grundas på de forskningsetiska principerna vilket innebär att deltagandet är frivilligt, du kan närsomhelst välja att avbryta din medverkan. Det material vi samlar in vid denna undersökning kommer inte användas till något annat än i forskningssyfte. Vi garanterar att eleverna är anonyma genom hela arbetet vilket innebär att deras identitet inte kommer att avslöjas och allt material kommer att avidentifieras för elevernas säkerhet. För att vi ska kunna analysera materialet även i efterhand kommer vi spela in observationen på band, för att lättare kunna skriva ner händelseförloppet. Det inspelade materialet kommer raderas direkt efteråt. Vi vill även informera om att studien kommer publiceras i DiVA, vilket gör den till en offentlig handling som allmänheten kan läsa. Vi är självklart mycket tacksamma för din och klassens medverkan. Det är ni som gör vårt examensarbete möjligt. Med vänliga hälsningar Daniella och Kristin

38 Bilaga 2, brev till föräldrar Information till föräldrar till barn i årskurs 2 på Stensbergskolan. Hej, vi är Daniella Johansson och Kristin Qvarfordt, vi studerar till f-3 lärare på Linneuniversitetet i Växjö. Vi är inne på den näst sista terminen och skriver vårt första självständiga arbete. Syftet med vårt självständiga arbete är att få en ökad förståelse för hur läraren arbetar med subtraktion i matematik ämnet, både i helklass men också enskilt med eleverna. Vi har valt att göra en observation där vi i första hand ska observera läraren i klassrummet, men eftersom vi även vill observera hur läraren jobbar enskilt med elever så kommer en del elever att observeras. Vår undersökning grundas på de forskningsetiska principerna vilket innebär att deltagandet är frivilligt. Det material vi samlar in vid denna undersökning kommer inte användas till något annat än i forskningssyfte. Vi garanterar att eleverna är anonyma genom hela arbetet vilket innebär att deras identitet inte kommer att avslöjas och allt material kommer att avidentifieras för elevernas säkerhet. Observationen kommer pågå under max 2 lektioner. Och för att vi ska kunna analysera materialet även i efterhand kommer vi spela in observationen på band, för att lättare kunna skriva ner händelseförloppet efteråt. Det inspelade materialet kommer att raderas direkt efteråt. Vi vill även informera om att studien kommer publiceras i DiVA, vilket gör den till en offentlig handling som allmänheten kan läsa. Om du har några frågor kring vårt arbete eller inte vill att ditt barn ska delta i observationen så säg till Jennie-Ann så vidarebefordrar hon informationen till oss. Vi är självklart mycket tacksamma över era barns deltagande, det är ni som gör examensarbetet möjligt. Med vänliga hälsningar Daniella och Kristin

39 Bilaga 3, Observationsguide Observationen kommer utgå från studiens syfte och frågeställningar och vårt fokus ligger på att besvara frågeställningarna i studien. Syfte och frågeställningar är; Syfte I denna studie analyseras lärares presentation av representationsformer i subtraktion i helklass i årskurs 2. Vidare behandlar studien lärarens representationsformer med elever i svårigheter med subtraktion på individnivå. Studien avser också att analysera vilken typ av skillnad vi kan se i helklassundervisning i jämförelse med individuell undervisning. Frågeställning Hur symboliserar lärare räknesättet subtraktion med hjälp av olika representationsformer i interaktion med helklass? Hur symboliserar lärare räknesätten subtraktion med hjälp av olika representationsformer i interaktion med elever i allmänna matematiksvårigheter? Vilka likheter och skillnader kan vi se i representationsformerna hos lärarna från helklass till individnivå? För att kunna besvara frågeställningarna kommer det att besvaras genom observation i en klassrumssituation. Observationen kommer att spelas in med ljudupptagning samt att det kommer fotograferas på tavlan för att få med all information och allt material. För att göra observationen så tydlig som möjlig kommer observationen utgå ifrån några frågor för att stödja upp det observationen som ska undersökas. De frågor som ställs till observationen är; Hur fångar läraren elevernas uppmärksamhet? Hur många gånger får eleverna ordet under lektionen? Vilka olika representationsformer används för att förklara matematiken i helklass? Vilka olika representationsformer används för att förklara matematiken för eleverna i matematiksvårigheter? För att kunna svara på de frågorna kommer dem att registreras i ett observationsschema. Det är läraren som kommer vara i fokus under de tillfällen som observationerna är. Eftersom frågeställning 1 och 2 behandlar samma fråga fast ena aspekten i helklass och den andra på individnivå kommer det göras två olika observationsscheman för att registrera händelserna. Ett observationsschema för undervisning i helklass och ett observationsschema för individanpassad undervisning men med samma utgångspunkter i observationsschemat. Frågeställning 3 handlar om att analysera båda observationerna efter att observationen gjorts i sin helhet. Analys och jämförelse av frågeställning 3 kommer ske efter observationerna. Vissa frågor kommer ställas till läraren efter observationen för att få en djupare förståelse för undervisningen samt till studiens analys. I första observationsschemat kommer första frågan i frågeställningen att undersökas; Hur symboliserar lärare räknesättet subtraktion med hjälp av olika representationsformer i interaktion med helklass? Det är här de stöttande frågorna kommer in så som, hur fångar läraren elevernas uppmärksamhet, vilka representationsformer används för att förklara matematiken i helklass? Hur många gånger får eleverna ordet under lektionen? Hur integrerar läraren med eleverna? Andra frågan som ställs är Hur symboliserar lärare räknesätten subtraktion med hjälp av olika representationsformer i interaktion med elever i allmänna matematiksvårigheter?. Här ställs samma stöttande frågor så som, vilka representationsformer används av läraren för att förtydliga subtraktion för eleverna. Hur många gånger får eleverna ordet under lektionen? Hur integrerar läraren med eleverna?

40 I observationsschemat finns fyra olika kolumner; tid, aktör, händelser och kommentarer. I kolumnen tid skrivs händelsen ner vilket klockslag händelsen skedde och i kolumnen med aktör är det vilken person det handlar om. I kolumnen med händelser i observationsschemat kommer det registreras händelser som rör representationsformer. Följaktligen även hur läraren använder sig av olika representationer för att förtydliga subtraktion. Händelser så som hur läraren presenterar subtraktion i helklass samt hur läraren uppmuntrar eleverna att arbeta med subtraktion. I sista kolumnen i observationsschemat skrivs vissa nödvändiga kommentarer ner för att förtydliga händelserna. De hjälpmedel som kommer användas under alla observationer är; penna, papper, ljudinspelning, kamera. Samtliga observationer genomförs av Daniella Johansson och Kristin Qvarfordt. Observationsschema Datum: Observatör: Plats: Klockslag Tid: Aktör? Händelser? Kommentarer

41

42 Bilaga 4, konkret material Bilaga 5, växlare

43 Fakulteten för teknik Kalmar Växjö Tel Lnu.se/fakulteten-for-teknik