Från kottar till siffror En studie om broar mellan den konkreta och abstrakta matematiken

Transkript

1 Examensarbete Från kottar till siffror En studie om broar mellan den konkreta och abstrakta matematiken Författare: Julia Humble & Sofie Pettersson Handledare: Margareta Carlsson Examinator: Håkan Sollervall Datum: Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Grundnivå Kurskod: GO7483 Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik

2 i

3 Svensk titel Från kottar till siffror: - En studie om broar mellan den konkreta och abstrakta matematiken. English title From pine cones to numbers: - A study of bridges between the concrete and abstract mathematics. Abstrakt Matematiken består av flera abstrakta begrepp, men frågan är hur läraren ska arbeta för att eleven ska nå vägen till det abstrakta med förståelse. Att koppla ett laborativt material till exempelvis en abstrakt siffra och samtidigt skapa en förståelse för siffran är inte för alla elever självklart. Lärarens roll blir därför viktig och vår studie grundar sig i lärarens arbetssätt i undervisningen. Vårt syfte med studien är att undersöka hur lärarna arbetar med bron, från ett okänt begrepp till att eleven har fått en förståelse för begreppet. Vi vill även ta reda på hur lärarna väljer att motivera sina val av arbetssätt som används för att bygga bron. Genom fyra observationer och fyra kvalitativa intervjuer med lärare som undervisar i årskurs 1, visades vikten av att arbeta med ett varierande arbetssätt för att skapa en miljö som ger förutsättningar för samtliga elever att nå en förståelse för abstrakt matematik. Ett mönster som belystes genomgående i undersökningen var att varje nytt område i matematik inleddes med ett laborativt material som var kopplat till elevens tidigare erfarenheter. I bron över till förståelsen följde ett flertal olika arbetssätt. Resultatet visade betydelsen av att om eleven får möjlighet till att utveckla inre bilder och tankar genom olika arbetssätt ges möjligheter för att nå en förståelse och målet kan därmed uppnås. Det som tidigare var abstrakt blir därmed konkret och förståeligt. Nyckelord Laborativ matematik, konkret till abstrakt matematik, representationsformer, arbetssätt, förståelse ii

4 iii

5 Innehåll 1 Inledning 6 2 Syfte och frågeställningar Syfte Frågeställningar Avgränsningar Centrala begrepp 7 3 Teori Historik om konkret och abstrakt matematik Teorier om undervisning och lärande Dewey Vygotskij Bruner Konkret och abstrakt matematik Konkret och abstrakt matematik i undervisningen Lärarens användning av olika material i undervisningen Representationsformer Arbetssätt som belyses i läroplanen och kommentarsmaterialet för matematik Bron mellan det konkreta och abstrakta 15 4 Metod Datainsamlingsmetoder Observation Intervju Validitet och reliabilitet Etiska övervägande Urval Genomförande 19 5 Resultat Presentation av deltagare i studien Observationer Intervjuer 23 6 Analys Vilka arbetssätt arbetar läraren med i övergången från det konkreta materialet för att öka elevernas förståelse till det abstrakta? Hur motiverar läraren val av arbetssätt i undervisningen? 32 7 Diskussion Metoddiskussion Resultatdiskussion Slutdiskussion 39 Referenser 41 iv

6 Bilaga A Bilaga B Bilaga C Bilaga D v

7 1 Inledning Vi är två lärarstudenter som har läst matematik under vår utbildning. Vi har ett stort intresse för matematik och har under vår praktik uppmärksammat att laborativt material är något som genomsyrar många lärares undervisning idag. Genom reflektioner har vi båda upptäckt att många elever har svårt att se sambanden när de arbetar med det exempelvis laborativa materialet som kottar och sedan ska arbeta med de abstrakta siffrorna. Vår uppfattning är att eleven inte ser likheter och skillnader när det handlar om kottarna i skogen och siffrorna i matematikboken. Att få alla elever att förstå bron mellan det konkreta och abstrakta är något vi själva anser är en stor utmaning. Vi vill därmed fördjupa våra kunskaper inom området och undersöka hur läraren går tillväga för att eleven ska befästa detta samband och titta på vilka olika arbetssätt som tillämpas i matematikundervisningen. Studier har uppmärksammat att elever har svårigheter i att se samband och kopplingen mellan en laborativ aktivitet och en abstrakt symbol, som exempelvis att eleven kan räkna tio kottar i skogen men har inte förstått innebörden av talen. Det innebär att förståelsen mellan den laborativa aktiviteten och den abstrakta symbolen förloras på vägen. Forskning har visat att en aktiv lärare som synliggör sambandet mellan elevens konkreta kunskap till abstrakta förståelse ökar deras matematiska kunnande (Rystedt & Trygg, 2010). I kommentarsmaterialet för matematik synliggörs vikten av att eleven lär sig utveckla förmågan att se samband mellan matematiska begrepp, att tre kottar kan representerar siffran 3 genom olika representationsformer (Skolverket, 2011a). Utifrån tidigare forskning, litteraturstudier, observationer och intervjuer hoppas vi på att fördjupa vår förståelse i hur lärare kan arbeta med laborativt material i undervisningen och med vilka arbetssätt läraren arbetar för att på bästa sätt fördjupa elevernas kunskaper mellan det konkreta och abstrakta. Att förstå det abstrakta inom matematiken är målet med den konkreta matematikundervisningen. Därför vill vi som blivande lärare finna den gyllene vägen dit. 6

8 2 Syfte och frågeställningar 2.1 Syfte Vårt syfte är att undersöka hur lärare arbetar med övergången från det konkreta materialet till de abstrakta siffrorna, för att eleverna ska få förståelse för de abstrakta matematiska begreppen. Vi vill även ta reda på hur lärare motivera sina val av arbetssätt. 2.2 Frågeställningar För att uppfylla vårt syfte utgår vi från följande frågeställningar: Vilka arbetssätt arbetar läraren med i övergången från det konkreta materialet för att öka elevens förståelse till det abstrakta? Hur motiverar läraren val av arbetssätt i undervisningen? 2.3 Avgränsningar Vi har valt att avgränsa vårt arbete genom att utgå från fyra lärare som arbetar i fyra olika klasser i årskurs 1. Vi valde fyra lärare för att kunna jämföra och se olika arbetsätt utan att arbetet skulle bli för stort. Vi avgränsade till årskurs 1 för att vi ville utgå från den tidiga matematikundervisningen. 2.4 Centrala begrepp Abstrakt matematik: Matematiska begrepp, det eleven inte förstår men som eleven genom olika arbetssätt hittar förståelse till genom att eleven till slut uppfattar det med sina inre bilder och tankar. Konkret material: Olika material som läraren använder i undervisningen. Föremål/verktyg som eleven med hjälp av sina sinnen kan ta på, flytta på och se på som bidrar till elevens förståelse av matematiska begrepp. Laborativt material: Olika material som läraren använder i undervisningen. Föremål/verktyg som eleven med hjälp av sina sinnen kan ta på, flytta på och se på och som ännu inte bidragit till förståelse. Bro/Övergång: Arbetsgången från första arbetssättet av ett nytt område till det sista. Elevens väg mellan det konkreta materialet och till de abstrakta siffrorna. Representationsformer: De fem representationsformerna vi tar upp i vårt arbete är material, bild, omvärldssituationer, talade - och skrivna språket. Omvärldssituationer: Omvärldssituationer är händelser som är kopplade till elevens tidigare erfarenheter och vardag. Tankeform: Tankar som skapas. Naturligt tal: Är alla heltal från siffran 0 och uppåt. Mattespråk: Mattespråket är siffror, matematiska begrepp och tecken som används i matematikundervisningen. 7

9 Vardagsspråk: Vardagsspråket är språket som används i vardagen och som eleven kan förstå. 8

10 3 Teori I vårt teoriavsnitt kommer olika synsätt att tas upp gällande matematikens bakgrund och Dewey, Vygotskij, Davydov och Bruners teorier om undervisning och lärande. Därefter kommer definitionen av konkret och abstrakt matematik, hur konkret och abstrakt matematik synliggörs i undervisningen och hur lärarna arbetar med olika arbetssätt. Vi kommer titta närmre på vad teorin säger om hur konkret och abstrakt matematik används i undervisningen och hur läraren väljer att synliggöra det. Olika representationsformer tas upp och hur Skolverket ser på olika arbetssätt. Slutligen synliggörs olika arbetssätt om hur bron kan se ut från konkret matematik till abstrakt. 3.1 Historik om konkret och abstrakt matematik Att arbeta med konkret material är inget nytt uttryck eller något som har synliggjorts på senare tid. Material av olika slag har alltid funnits som redskap och används för att kunna räkna och veta antal. Möjligheterna för större utbud av laborativt material var få förr i tiden och därmed användes främst fingrarna eller olika slags redskap människorna hade i närheten för att kunna räkna. I mitten av 1400-talet utvecklades boktryckarkonsten, därmed tog även skriften över matematiken och laborativt material blev mer betydelselöst att använda sig av. Runt 1600-talet kom Comenius teori som betonade vikten av att inte enbart använda sig av ord i undervisningen, utan att olika sinnen skulle nyttjas för att främja elevens utveckling. Comenius ansåg att det laborativa materialet skulle användas först i undervisningen och därefter tillämpa språket som skulle styrka elevens förståelse (Rystedt & Trygg, 2005). 3.2 Teorier om undervisning och lärande Dewey John Dewey, är en känd reformpedagog vars filosofi har haft stor inverkan och därmed återspeglats i dagens skola. Dewey ansåg att skolan ska kopplas till elevens eget intresse och behov för att undervisningen ska bidra till ett meningsfullt lärande (Sundgren, 2005). Ett av hans stora intressen var att skapa en skola som vilar på demokratiska grunder (Lundgren, Säljö & Liberg, 2010). De kunskaper och redskap skolan erbjuder ska eleven kunna använda ute i samhället. Skolan och samhället ska integreras med varandra för att uppfylla meningsfullhet. Här kopplas betydelsen av begreppet erfarenhet in. Undervisningen ska skapa förutsättningar hos varje elev att knyta an tidigare erfarenheter till vardagen de lever i. Att koppla abstrakta begrepp i skolan till egna erfarenheter som är förankrade i elevens intresse ger eleven förståelse. Genom att sammanbinda skolan och samhället ansåg Dewey att förståelsen för samhälls- och vardagsrelevant kunskap utvecklas hos eleven integrerat. I många fall blir dessa två världar separerade och syftet med undervisningen försvinner (Lundgren, Säljö & Liberg, 2010, Sundgren, 2005). Dewey använde sig av uttrycket learning by doing vars formulering utgår från att undervisningen ska bygga på tidigare erfarenheter, kopplade till laborativa aktiviteter för att ett lärande ska ske. Laborativa aktiviteter kan underlätta lärandet och utveckling av kunskap inom matematikens värld. Genom bilder, symboler och material kan elevens vardag kopplas till abstrakt kunskap och därmed utveckla en förståelse för världen de lever i (Sundgren, 2005). Praktik och teori ska samspela med varandra. Det krävs teorier bakom laborativa aktiviteter, aktiviteten ska bära på ett syfte och därmed skapa reflektion hos eleven. Dewey betonar vikten av att involvera olika sinnen i undervisningen (Lundgren, Säljö & Liberg, 2010). Uttrycket learning by doing kan 9

11 ibland misstolkas av lärare, då det kan uppfattas som att när eleven utför en aktivitet eller tillverka något får eleven förståelsen. Istället handlar det om när eleven har reflekterat över det som gjorts sker en kunskapsutveckling (Löwing, 2006). Ytterligare viktiga begrepp för att utveckla ett lärande som är centralt för Dewey är språket och kommunikationen. För att utveckla abstrakt kunskap krävs delaktighet i undervisningen. Det krävs ett språk som gör det möjligt för eleven att kommunicera med läraren och kamraterna för att eleven ska utveckla ny kunskap och analysera omvärlden. Genom att förklara begrepp, analysera aktiviteter och diskutera tillsammans görs eleven delaktig och en större förståelse kan utvecklas. Dewey är kritisk till lärarens uppgift och de hinder som kan uppstå. För blir eleven passiv i undervisningen och läraren enbart förmedlar information, kan det resulterar i att kunskapen enbart memoreras eller aldrig befästs och eleven blir därmed isolerad från verkligheten (Lundgren, Säljö & Liberg, 2010) Vygotskij En filosof inom pedagogiken är Vygotskij. Den sociokulturella teorin handlar om att eleven utvecklas genom kommunikation och samspel med andra människor. Språket är gemensamt och det viktigaste verktyget för lärandet. [ ] Först uppträder den mellan människor som en interpsykologisk kategori och sedan inom barnet som en intrapsykologisk kategori (Säljö, 2005:120). Vygotskij talar här om att språket förekommer på två olika sätt hos en människa. Det första är språket som finns mellan människor, vilket gör den verbala läraren till en viktig person i varje elevs liv. Samtidigt som det andra sättet visar att elevens egen kommunikation inom sig är viktig eftersom den hjälper eleven att visa färdigheter i olika aktiviteter (Säljö, 2005). Teorin förespråkar också språkliga verktyg i elevens utveckling och även de materiella verktygen är centrala. De språkliga kan till exempel inom matematiken vara alfabetet, siffersystemet, tecken och symboler som kvadrat och additionstecken. Materiella verktyg kan exempelvis vara kottar och klossar. Några tankar bakom teorin är att dessa två verktyg alltid ska samarbeta. Båda verktygen förutsätter varandra för att en utveckling ska ske (Lundgren, Säljö & Liberg, 2010). Eleven utvecklar sitt lärande genom att använda hjälpmedel och även utveckla nya för att nå ny kunskap. Sociokulturella teorin uppmuntrar hjälpmedel som stöd för elevernas tänkande och handlingar (Säljö, 2005). För att eleven ska förstå abstrakta begrepp framhäver Vygotskijs teori tidigare erfarenheter som en väg till förståelse. Begreppet som eleven ska befästa får inte vara för långt ifrån elevens tidigare erfarenheter, begreppet ligger till grund för att ett kunskapsutvecklande ska ske, vilket även fler filosofer benämner. En lärare som har förmågan att sammanfoga abstrakta matematiska begrepp med elevens egna referensramar genom kommunikation har en bra undervisning (Säljö, 2005) Bruner Ytterliggare en teori om lärandet är Bruners kognitiva inlärningsteori. Bruners teori innebär att människan uppfattar omvärlden genom indelningar och kategoriseringar. Det handlar om att se likheter och skillnader. Teorin utgår från tre representationsformer som är den handlingsmässiga, den bildmässiga och den språkliga representationen. Representationsformerna ska hjälpa eleven att utveckla ett tänkande och finna en förståelse för abstrakta begrepp. Handling är det första steget till förståelse. Det innebär att eleven ska få utföra något som leder till förståelse, exempelvis genom en aktivitet där eleven själv är det laborativa materialet. Bruner påvisar representationsformen 10

12 genom att göra en liknelse med hur en person lär sig åka skidor. Ingen kan lära sig åka skidor med endast teori utan det är när personen testar i praktiken som den stora utvecklingen sker. Det kan kopplas till matematikundervisningen. Eleven behöver praktiska aktiviteter för att bygga upp en förkunskap av det abstrakta begreppet. Det andra steget är det bildliga. Bilden ska läraren använda efter att handlingen utförts. Det är en metod som gör det abstrakta mer synligt och verklighetsbaserat för eleven. Den tredje representationen handlar om språket. Den här representationen ska läraren använda sig av i sista steget. Med språk inkluderas bland annat symboler som siffror och alfabetet. Eleven får nu möjlighet att sätta ord på handlingen och bilden. Att kombinera olika språkmässiga delar i undervisningen ger en bredd i undervisningen och begreppens namn blir i många elevers fall inte längre abstrakt. När en lärare ska förklara ett nytt begrepp inför en elev är det abstrakt. Många av dessa begrepp går inte att förklara med endast några enkla ord. För att göra det abstrakta begripligt behöver läraren använda sig av representationsformerna framhåller Bruner. De här tre representationsformer blir stöd för elevens tankeform för att nå en förståelse för abstrakta begrepp (Bruner, 1966). 3.3 Konkret och abstrakt matematik Begreppet konkret inkluderar material, föremål och levande organismer som går att väga eller kan upplevas med hjälp av olika sinnen (Nationalencyklopedin, 2012). Finns begreppet konkret i matematikens värld? Beskrivningen av begreppet konkret kallas inom matematiken både laborativ och konkret. Laborativ matematik skapar tankar och idéer med hjälp av elevens sinnen. Det är material som eleven kan röra med händerna, flytta och ändra läge på och se på med ögonen. När eleven får förståelse för matematiken, då blir det laborativa materialet ett konkret material (Skolverket, 2011b, Rystedt & Trygg, 2005, Löwing & Kilborn, 2002). Begreppet abstrakt innebär att det inte är pålitligt och även svårt att identifiera för begreppet saknar speciella drag. Abstrakt är motsats ordet till konkret (Nationalencyklopedin, 2012). Nationalencyklopedin (2012) beskriver abstrakt som något ont som är svårt att förstå. Det är inte innebörden av vad ordet abstrakt betyder inom matematiken. Abstrakt matematik är något eleven inte har förståelse för, ett okänt begrepp som inte betyder något för eleven. Exempelvis kan enbart ett naturligt tal, som siffran åtta vara abstrakt. Ett abstrakt begrepp inom matematiken är inte ouppnåeligt, utan något eleven kan få förståelse för genom olika arbetssätt. När eleven har förståelse för ett begrepp är det inte längre abstrakt (Löwing, 2006, Rystedt & Trygg, 2010). 3.4 Konkret och abstrakt matematik i undervisningen Konkret material kallas även laborativt material i undervisningen. En konkretisering av en abstrakt siffra används av läraren för att eleven ska få en bättre förståelse för det abstrakta (Löwing, 2006). Ordet konkret kan lätt uppfattas som att något har liv men i själva verket handlar konkret material i undervisningen om att eleven har fått förståelse av för ett okänt begrepp genom olika representationsformer som exempelvis laborativt material. Det är inte det laborativa materialet som bygger upp kunskap hos eleven utan A teacher must plan the use of the materials in accordance with society s with demands, the language of instruction and the philosophy of the school (Szendrei, 1996). Det är läraren beroende på val av arbetssätt som avgör om undervisningen skapar möjligheter för eleven att utveckla en förståelse till en abstrakt matematik med hjälp av laborativt material och beroende på vilken matematik läraren väljer att synliggöra (Szendrei, 1996, Skolverket, 2011b, Löwing, 2006). 11

13 Planering av material och språk är viktiga kopplingar till lärandet beskriver även Löwing och Kilborn (2002). Om en lärare anser att ett konkret material är detsamma som ett laborativt material finns ingen konkretisering i undervisningen. Det är när det laborativa materialet används så att eleven förstår det okända matematiska begrepp som en konkretisering sker och det laborativa materialet blir därmed konkret material för eleven (Löwing & Kilborn, 2002). Undervisningen konkretiseras för att eleven ska befästa en kunskap och skapa en tankebild som eleven kan tänka tillbaka på. Ett laborativt material som med lärarens undervisning konkretiseras och skapar förståelse hos eleven ska plockas bort när eleven förstått den nya tankeformen. Ett konkretiserat material är inget eleven ska använda som en rutin utan som ett hjälpmedel. När en ny kunskap ska utvecklas kan det laborativa materialet användas återigen och då utgå från tidigare tankeform (Löwing & Kilborn, 2002). Bruner (1966) motsäger sig detta tankesätt angående det laborativa materialet. Laborativt material ska alltid finnas till hands för eleven, det ska aldrig plockas bort. Eleven behöver däremot inte alltid använda materialet men det ska finnas där så elevens begreppsförståelse utvecklas. Att tillverka föremål med det konkreta materialet är inte målet med matematiken utan målet är att tillverka egen kunskap i tankarna. Det bidrar till att eleven får en bred begreppsbild i huvudet. För att förstå tankarna behöver varje elev reflektera över sin tillverkning. Att reflektera tillsammans med andra elever genom verbal och skriftlig kommunikation stärker förståelsen (Bergsten m.f, 1997) Lärarens användning av olika material i undervisningen I undervisningen handlar matematik om att konkretisera de abstrakta matematiska begrepp som finns inom matematikens ramar. För att underlätta lärandet för eleven ska läraren konkretisera de abstrakta begreppen. Ett hjälpmedel som kan användas i undervisningen för att utveckla en förståelse hos varje elev kan vara material. När ett material används är det viktigt att läraren introducerar och organisera undervisningen på ett sätt som utvecklar idéer hos varje elev, som i sin tur kan leda till en ökad förståelse för den abstrakta matematiken. Ett material används inte i undervisningen endast för att eleven ska ta i det eller känna på det, utan materialet är också till för att eleven ska begripa de svåra begreppen som finns inom matematikens ramar. Det innebär inte att allt laborativt material alltid är rätt att använda i undervisningen. Materialet läraren väljer att arbeta med ska främst vara väl genomtänkt för att kunna synliggöra det specifika området inom matematiken på bästa sätt. Utmaningen är inte att ta fram material som ska användas i undervisningen utan utmaningen ligger hos läraren. Att plocka fram rätt material så att materialet används på ett sätt som utveckla elevens kunskaper inom matematik och uppfylla de kunskapsmål som finns i läroplanen (Skolverket, 2011b). Även Rystedt & Trygg (2010) påpekar vikten av att läraren väljer rätt material. Ett material som är anpassat för rätt aktivitet och synliggör det matematiska begreppet är syftet med undervisningen. Verktyget och aktiviteten blir avgörande för hur bron mellan konkret och abstrakt matematik synliggörs. Människor ska vara medvetna om att matematiska begrepp som de möter för första gången i matematiken är abstrakta. Matematik är ingenting som går att ta eller känna på när matematiska begrepp diskuteras, däremot kan varje människa med hjälp av laborativt material och övningar förstå olika matematiska begrepp. Det är viktigt att veta som lärare att laborativt material och övningar är hjälpmedel som kan hjälpa eleven att förstå den abstrakta matematiken (Björklund & Grevholm, 2012). Malmer (2002) och Bergström m.fl. (1997) styrker vikten av att arbeta laborativt för att öka elevens 12

14 förståelse till matematiska begrepp. En lärare ska vara flexibel och villig att arbeta med olika arbetssätt och representationsformer för att befästa den abstrakta kunskapen inom matematik med eleven. Som lärare är det viktigt att ha kunskapen om att använda flera olika representationsformer i undervisningen. När en elev inte förstår ett tankesätt, är det lärarens uppgift att hitta en ny väg till förståelse för eleven och exempelvis kan en annan representationsform vara svaret. Genom att läraren använder sig av laborativt material i undervisningen kan diskussioner skapas mellan elever och övriga lärare. I samtal kan kunskap utbytas och utvecklas. Elevens tankegångar kan synliggöras genom språket vilket även blir en hjälp till lärarens bedömning (Rystedt & Trygg, 2010). Att lärarens språk stämmer överens med arbetssättet och konkretiseringen läraren gör för att förklara exempelvis ett matematiskt begrepp, har också stor betydelse för elevens inlärning och utveckling. Används ett språk och ett annat arbetssätt blir eleven endast förvirrad och hamnar längre från förståelsen än tidigare (Löwing & Kilborn, 2002). När en konkretisering sker av ett matematiskt begrepp behöver även läraren reflektera. Läraren ska reflektera över är om undervisningen fungerar på längre sikt för elevens matematikutveckling. Ett arbetssätt som används för att konkretisera ett begrepp och anses bra i årskurs ett kan nämligen skapa problem i elevens matematikutveckling i högre åldrar om läraren inte ser utvecklingen i ett längre perspektiv (Löwing & Kilborn, 2002). All matematik går inte att konkretisera, ett exempel är räknelagar. För matematiklärare är det en viktig kunskap att ta med sig i sin undervisning. Läraren behöver i dessa fall skapa andra vägar för att eleven ska utvecklas (Löwing, 2006). 3.5 Representationsformer Att lära sig matematik handlar om att förstå de abstrakta uttrycken och dess relationer. Det är en pågående process, men för att varje elev ska uppfylla förståelsen krävs olika steg. Det handlar inte enbart om att träna med symboler. Man måste tala matematik, anknyta till verkligheten, arbeta laborativt, börjar med det konkreta, lära sig tänka (Ahlström, 1996:15). Både det talade och skrivna språket har viktiga roller i matematiken när eleven ska få förståelse för ett abstrakt begrepp och användas på olika sätt. Läraren använder språket tillsammans med ett uttryck. Uttrycket kan vara en representationsform som en bild, ett ord, ett tal eller symbol. Uttrycket och språket ska tillsammans skapa förståelse för det som inte förstås. Läraren ska medvetet använda sig av flera representationsformer i undervisningen, vilket leder till att eleven kan lära sig att översätta ett begrepp från en form till en annan. Genom att eleven lär sig beskriva ett begrepp på flera olika sätt, ökar förståelsen för begreppet och matematiken. Förståelse innebär ju bl. a att något står för något annat, d.v.s. det nya okända, översätts till något gammalt, redan känt (Bergsten m.fl.) 1997:35). Eleven får på så sätt en bredare begreppsbild och djupare förståelse. Olika representationsformer visar skilda sidor av ett begrepp. Det är en förklaring till varför vissa elever lättare förstår exempelvis ett laborativt material bättre än bilder och tvärtom. Representationsformerna belyser olika vinklar och genom att omvandla ett begrepp i flera former får eleven fler delar av begreppet synligt. Det leder till att eleven nu kan använda begreppet i olika sammanhang och begreppsförståelsen ökar (Bergsten m.fl. 1997). I undervisningen är det betydelsefullt att skapa möjlighet att kommunicera, testa och överföra matematiska idéer och begrepp mellan olika representationsformer hos eleven. Läraren ska skapa möjligheter som främjar alla elevers utveckling. Att använda flera representationsformer i matematikundervisningen gör att det skapas möjligheter för att 13

15 varje elev ska nå målet och förståelsen (Berglund & Grevholm, 2012, Bergsten m.fl., 1997, Skolverket, 2011c:). Ett sätt att träna på olika representationsformer är att exempelvis utgå från talet 3+2. Eleven ska bygga upp erfarenhet om hur uträkningen ska ske med hjälp av inre mentala bilder. Läraren kan först visa genom att lägga tre kottar i en hög och två kottar i en annan hög. Här kan eleven på egen hand arbeta med kottarna som är det laborativa materialet. Eleven kan rita tre blommor plus två blommor. Eleven kan skriva en räknehändelse utifrån egna erfarenheter och kunskaper om additionen. Med hjälp av olika representationsformer, resulterar förhoppningsvis det i att eleven kan skapa en abstrakt bild av exempel 3+2 additionen. Eleven har med hjälp av olika sätt att se och utforska matematiken bildat en förståelse till matematikens relationer. Risken som kan uppstå när eleven arbetar med laborativt material är att eleven avstannar vid det laborativa materialet och därmed inte utvecklar förståelse till de mentala modellerna utan hjälp av material (Berglund & Grevholm, 2012). 3.6 Arbetssätt som belyses i läroplanen och kommentarsmaterialet för matematik Skolverket (2011c) lyfter under rubriken kunskapskrav, att följande ska varje elev kunna i slutet av årskurs tre: Eleven har grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att använda dem i vanligt förekommande sammanhang på ett i huvudsak fungerande sätt. Eleven kan beskriva begreppens egenskaper med hjälp av symboler och konkret material eller bilder. (Skolverket, 2011c:67) Matematiska begrepp ska synliggöras i relationer till olika situationer och sammanhang, att eleven utvecklar en förståelse till begreppet och tillämpa i olika situationer. Eleven möter matematik dagligen i vardagen, därmed blir det viktigt att eleven får möjlighet att tillämpa olika strategier, modeller och begrepp i vardagliga situationer som både är bekanta och obekanta. Genom att eleven lär sig att se samband mellan olika matematiska begrepp och att tillämpa olika representationsformer kan kunskapen fördjupas (Skolverket, 2011a). Eleven kan få möjlighet att förstå sambandet mellan sex kottar och två kottar och förstå att det är detsamma som siffran sex och siffran två i ett matematiskt uttryck. Laborativt material och bilder kan bidra till att eleven kan beskriva och förstå ett matematiskt begrepp (Skolverket, 2011a). Att kommunicera matematik är centralt för att eleven ska förstå hur olika representationsformer kan ha samma innebörd. Eleven kan exempelvis genom att kommunicera visa att siffran åtta har samma betydelse som åtta stycken kottar eller åtta stycken streck. Att eleven lär sig kommunicera genom olika representationsformer vidgar elevens begreppsförståelse. Eleven får genom kommunikationen möjlighet att utveckla förmågor som generalisering, analysering och träna på att dra egna slutsatser. Genom att eleven lär sig att kommunicera matematik ges möjligheter till att byta erfarenheter och kunskap med andra elever (Skolverket, 2011a). 14

16 3.7 Bron mellan det konkreta och abstrakta En väg till förståelse av det okända begreppet är det talade språket. Matematik är ett språk och därför är det viktigt som lärare att förtydliga det matematiska språket för eleven så att det inte upplevs som ett främmande språk. Eleven kan genom samtal, diskussioner med läraren och klasskamrater få utbyta matematiska kunskaper som kan leda till djupare förståelse. När eleven själv kan sätta ord på innebörden blir kunskapen synliggjord och förståelse ökar. Ett tydligt språk för eleven blir en konkretisering av den abstrakta matematiken (Löwing & Kilborn, 2002). Att språket är en väg till förståelse av det abstrakta begreppet styrker Malmer (2002). För att eleven exempelvis ska förstå vad subtraktion innebär behöver läraren använda uttrycket i sin undervisning. Dock belyser Malmer (2002) att det är viktigt att läraren talar två språk innan begreppet befästs hos eleven. Ett exempel är: Subtrahera termen fem med termen två och därefter säga: ta bort två från talet fem. Eleven har möjlighet att lära sig begreppets innebörd genom lärarens dubbla språk. Att arbeta parallellt med språket och det laborativa materialet i undervisningen kan skapa förståelse hos eleven. Målet med det laborativa materialet är att eleven ska få förståelse för de abstrakta talen och begreppen inom matematiken. Genom lärarens undervisning med det laborativa materialet kommer eleven utveckla ett matematiskt språk. Ett språk som eleven kan använda i grupparbeten och diskussioner kring matematiken. När eleven kan sätta ord på matematiken utvecklas inre bilder och tankar hos eleven. Med hjälp av dessa inre bilder kommer eleven skapa en förståelse för abstrakt matematik. Det laborativa materialet och elevens egna matematiska språk är en bro till den abstrakta matematiken (Olsson & Forsbäck, 2006). Ett annat steg i processen till förståelse av den abstrakta matematiken är att knyta an till elevens tidigare erfarenheter. När tal i form av siffror kommer in i elevens liv är de abstrakta. Många elever har inga tidigare erfarenheter av dem. Genom att använda tidigare erfarenheter som exempelvis en situation som att baka muffins eller plocka material i skogen som kottar kan en början till förståelse skapas. Eleven kan på ett lekfullt sätt väga, sortera, jämföra storlek och använda volymmått. Tidigare erfarenheter gör att eleven får möjlighet att befästa en tankeform lättare, mynt och en affär är andra exempel som kan användas i undervisningen. Genom att plocka in elevens tidigare erfarenheter i undervisningen sker en konkretisering och den konkretiseringen stärker elevens eget tänkande eftersom att matematiken känns meningsfull för eleven. Eleven får på så sätt en naturlig bro mellan det konkreta och abstrakta. Eleven får också lättare att sätta ord på tankar och förstår innebörden av vad det är som sker när läraren talar ett tydligt språk och det blir en väg till förståelse (Ahlberg, 2000, Löwing & Kilborn, 2002). Att som lärare arbeta med tidigare erfarenheter och laborativa arbetssätt där eleven får uppleva begreppen kan leda till förståelse för abstrakta begrepp. Genom upplevelser kan matematiken bli mer verklighetsbaserad för eleverna, vilket ökar deras motivation och inställning till ämnet och vägen till förståelsen blir enklare (Bergsten, m.fl. 1997). Tidigare erfarenheter och att koppla matematiken till barnens vardag kan även göras genom att flytta ut matematiklektionen utomhus. Att använda skogen eller skolgården som klassrum kan vara positivt för en elev då det är en plats där eleven känner igen sig i och där läraren kan aktivera elevens alla sinnen på en gång. Eleven har möjlighet att röra sig fritt, utforska och upptäcka matematiken genom naturen. Utomhusmiljön gör det möjligt att dela in eleverna i mindre grupper och placera ut de så att grupperna inte stör varandra då ytan att använda inte är begränsat. Att variera lärande miljön är positivt 15

17 eftersom att alla elever lär sig olika och befäster kunskap genom olika arbetssätt. Att arbeta med matematik utomhus och använda sig av naturens ytor och laborativa material är ett sätt (Olsson & Forsbäck, 2006). För utveckling av elevens förståelse krävs enbart ett sinne som kan omvandla konkret matematik till abstrakt. Skolverket skriver att abstrakt matematik är svår att förstå genom enbart olika metoder och modeller. Genom konkret material som därmed konkretisera matematiken på ett sätt som är bekant för eleven och ett sinne som skapar förståelse till abstrakta matematiska begrepp finner eleven en övergång (Skolverket, 2011b). Bruner hävdar däremot att flera sinnen ska aktiveras i lärandet mot det abstrakta. Han beskriver en bro mellan det konkreta och det abstrakta. Han talar först om handlingen, något riktigt föremål eller händelse som eleven kan ta på eller uppleva. Upplevelsen och föremålet som går att ta på översätts i nästa led till en bild. Utifrån handlingen och bilden översätts det till ett språk och då blir ett begrepp som från början var abstrakt men som med hjälp av olika sinnen och representationsformer konkret och förståligt (Eriksson, 1996). Matematiken kan ses som ett hus, där kopplingen mellan konkret och abstrakt matematik ska ses från grunden. Eleven får först möta det konkreta utifrån vardagen och egna erfarenheter. Därefter kopplas det konkreta ihop med det matematiska uttrycket genom att läraren sätter ord på elevens erfarenheter och ritar då inre bilder. Slutligen ska eleven nått förståelsen och kan därmed räkna ut det abstrakta matematiska begreppet med förståelse. När eleven har räknat ut matematiken, har eleven tagit sig högst upp i huset med förståelse. Ingen byggmästare skulle komma på tanken att beordra byggnadsarbetarna att börja med att bygga översta våningen på det nya hyreshuset (Olsson & Forsbäck 2008:12). Det innebär att grunden för matematik måste läggas med noggrannhet och förståelse liksom huset. Elevens matematiska förståelse vilar på grunden i framtiden. En viktig process till förståelse i dessa steg är att förstå sambanden mellan varje led och [...] det är först när man kan hantera alla tre våningar var för sig och tillsammans som matematiken kommer att flöda! (Bergsten, m.fl., 1997:36). Att arbeta med olika representationsformer ger matematiken liv hos eleven. Varje våning kan ses som ett nytt arbetssätt beskriver Olsson och Forsbäck (2008). En anledning till att många elever har svårt att förstå matematik är att de inte kan se kopplingen mellan den konkreta och abstrakta världen. Ett fyra steg med en gradvis övergång från ett steg till ett annat kan hjälpa eleven att hitta en förståelse till det abstrakta (Rystedt & Trygg, 2010). I. Konkret. Arbete med laborativt material. II. Halvkonkret. Den halvkonkreta nivån är en representation av en verklig situation. Laborativt material byts mot bilder. III. Halvabstrakt. Den halvabstrakta nivån medför en symbolisk representation av konkreta föremål, men symbolerna ser inte ut som föremålen utan består av informella symboler som t ex ringar eller streck. IV. Abstrakt. Bilder och informella symboler ersätts med formella symboler, räkneregler, räknelagar och andra konventioner. (Rystedt & Trygg, 2010:30) Det är en väg som kan hjälpa eleven att förstå den abstrakta världen och bron från konkret till abstrakt matematik. Meningen med de olika stegen är att eleven ska ta sig från det konkreta steget, skapa sig förståelse på vägen för att sedan kunna lösa matematikens abstrakta begrepp (Rystedt & Trygg, 2010). 16

18 4 Metod I det här kapitlet beskrivs vilka metoder vi har valt att utgå från i vår studie och dess föroch nackdelar. Därefter följer en kort beskrivning av urvalet vi gjort av skolor och deltagare samt de etiska övervägande vi har tagit hänsyn till. Kapitlet avslutas med en mer utförlig beskrivning av metodernas genomförande. 4.1 Datainsamlingsmetoder Vi har valt att utgå från två metoder, observation och intervju. Vi valde två metoder för att kunna undersöka våra frågeställningar utifrån olika synvinklar. Johansson och Svedner (2010) skriver att två metoder skapar ett bredare perspektiv på matematikundervisningen och det är då möjligt att urskilja likheter, skillnader och göra jämförelser mellan metoderna i en undersökning Observation Vi valde observation som en metod för att vi var intresserade av att se hur lärarna arbetade med olika arbetssätt i matematikundervisningen. I observationen utgick vi från en låg grad av struktur. Enligt Johansson och Svedner (2010) innebär låg grad av struktur att observationen utgår från frågeställningar som sedan bryts ner i mindre utgångspunkter. Utgångspunkterna låg till grund för all information som vi inhämtade under observationerna. Johansson och Svedner (2010) framhåller även att noggrann planering och därmed en viss struktur av observationen är viktig för observationens syfte. Vi valde därför att utgå från en observationsmall i samtliga observationer (Se bilaga A) för att uppmärksamma rätt information till vår studie. Vi förde därmed regelbundna anteckningar under observationen och vår roll var observatörer som deltagare. Hammar och Einarsson (2013) beskriver det som att gruppen vet varför observatörerna är där och att observatören inte deltar aktivt under lektionen, utan endast observerar. Vi gjorde detta val för att kunna fokusera på enbart observationen över lärarens handlingar i klassrummet. Hammar och Einarsson (2013) tar upp en nackdel med observation som metod. Observatören kan lätt glömma bort att observera och då istället blir delaktig i undervisningen. Det skulle därmed kunna resultera i att rätt material för studien inte reflekteras över och därmed aldrig uppmärksammas. I en direkt observation enligt Hammar och Einarsson (2013) är observatören på plats och observerar. Vi valde att göra direkta observationer och vi var båda två på plats vid alla fyra tillfällena. Vi informerade lärarna innan observationen om att vi ville titta på olika arbetssätt i undervisningen. Vi berättade att vi ville se övergången från det konkreta till det abstrakta inom matematikens värld. Vi valde att berätta det för lärarna innan vi skulle observera, för att lärarna skulle ha möjlighet att fundera och reflektera över sin undervisning och därefter kunna motivera sina val i intervjun. Ett annat val som gjordes var att börja observera undervisningen och därefter intervjua. Det för att grunda våra intervjufrågor i vår observation. Det vi inte såg ville vi istället fråga i intervjun, eller om något i undervisningen var oklart fick vi i intervjun möjlighet att få en tydlig förklaring Intervju Vi valde att komplettera våra observationer med intervjuer. Intervjufrågorna utformades efter att observationerna var färdiga (se bilaga B). Det för att kunna ställa frågor om vad vi hade sett i observationen och även ställa frågor angående vad vi inte sett. För att vi skulle ha möjlighet att ställa varierande frågor kring varje lärares arbetssätt utgick vi 17

19 från en kvalitativ intervju. Bryman (2002) anser att den kvalitativa intervjun bygger på intervjupersonens egen syn och tolkning av frågorna utifrån bestämt område. Eftersom våra intervjuer utgick från varje enskild observation, gav den kvalitativa intervjun möjligheten att ställa frågor som var anpassade till varje enskild lärares handlingar samt att frågorna som ställdes under intervjun kunde utvecklas. Kvale och Brinkmann (2009) skriver att den kvalitativa intervjun bygger på att intervjuaren kan ställa följdfrågor till intervjupersonen. Det är därför viktigt att ha kunskap inom området för att kunna utveckla intervjun och kunde få ut så mycket material som möjligt till undersökning. Det här är något vi har utgått från i våra intervjuer. Johansson och Svedner (2010) tar upp två nackdelar med den kvalitativa intervjun. Personen som intervjuar kan känna sig osäker i sin roll och det får till följd att inga följdfrågor ställs utan intervjuaren håller sig endast till sina bestämda frågor. Intervjun omvandlas istället till en muntlig enkät och intervjun ger då inga djupa svar. Den kvalitativa intervjun kan även bli problematisk då den blir för ostrukturerad och frågorna besvaras inte. Vi har valt att använda oss av semistrukturerade intervjuer där vi utgick från intervjufrågor. Frågorna har till största del varit öppna för att ge intervjupersonerna utrymme till att formulera svaren på eget vis. Enligt Bryman (2002) är det viktigt med en struktur i ordningsföljden av intervjufrågorna. Det för att intervjun ska bli sammanhängande och ge goda svar. Intervjuaren ska också samtidigt vara öppen för att förändra ordningen om intervjun bjuder in till det. Det här var något vi hade med oss under intervjutillfällena. För att lyckas ännu bättre med intervjuerna tog vi med oss Hägers råd. Häger (2007) belyser vikten av att i intervjun låta intervjupersonen vara huvudpersonen, för det är intervjupersonens tankar och reflektioner som ska uppmärksammas. Som intervjuare ka du vara en god lyssnare, skapa utrymme genom att visa intresse, ställa öppna frågor, ge bekräftande kommentarer, återberätta det intervjupersonen har berättat, hålla ögonkontakt och enbart fokusera på det intervjupersonen pratar om. En stor betydelse för en lyckad intervju är även att intervjuaren vågar vara tyst, att invänta svar från intervjupersonen. Vi bestämde oss för att spela in intervjuerna och följa det Bryman, (2002) poängterar. Intervjuaren ska kunna vara fokuserade på vad intervjupersonen svarar och samtidigt vara uppmärksam så att bra följdfrågor kan ställas. Inspelningen ger också möjlighet att analysera intervjuerna noggrant och inte missa viktig information. 4.2 Validitet och reliabilitet Undersökningen som vi genomfört bedömer vi har en god validitet. God validitet innebär att det som mäts har relevanta och förtroendeingivande svar (Bryman, 2002). Den här bedömningen gör vi eftersom två olika metoder har använts i studien, observation och kvalitativa intervju. Det gör att vi kunde få breda och djupa svar av det vi undersökt. Vårt val av deltagare är utbildade matematiklärare, vilket också ökar validiteten. Tillsammans med dessa två metoder och val av deltagare bedömer vi att vår teoridel kompletterar avsikten med undersökningen väl. Reliabiliteten av vår undersökning anser vi också är god. Reliabilitet innebär hur tillförlitligt det som observatörerna och intervjuarna mätt är i undersökningen (Bryman, 2002). Eftersom vi var två personer som observerade undervisningen vid fyra tillfällen hade vi utformat ett observationsschema. Det höjde reliabiliteten i undersökningen eftersom det ökade möjligheterna för att göra gemensamma tolkningar av observationerna. Utan observationsschemat kunde reliabiliteten blivit något lägre eftersom det hade varit stor chans att vi inte fokuserat på samma områden i undervisningen. Johansson och Svedner (2010) belyser att ett observationsschema 18

20 hjälper observatörerna att fokusera och observera samma delar i undervisningen. Utan observationsschema hade det annars lett till att observationen blivit svår att tolka och den hade inte blivit lika givande till vår undersökning. Johansson och Svedner (2010) anser även att en testintervju gör intervjuaren säkrare i sin roll vilket leder till att intervjuaren får ut mer av intervjun. Vi valde att följa Johansson och Svedners råd och genomförde därför en testintervju med en lärare. Det gjorde att vi kunde ta bort intervjufrågor som vi inte ansåg vara relevanta till undersökningen. Testintervjun gjorde att vi som intervjuare kände oss säkra i situationen vid resterande intervjutillfällen. 4.3 Etiska övervägande Vi har under våra observationer och intervjuer utgått från de fyra etiska principerna som har utformats för att deltagarna ska behandlas med respekt. Individskyddskravet är nerbrutet i fyra krav som har legat till grund för vårt genomförande. Det första kravet är informationskravet. Det innebär att vi gav berörda deltagare i vår undersökning information gällande vår forskning och vårt syfte. Deltagarna fick även informationen att om de deltog skulle de ha rätt att hoppa av när de ville under undersökningen. Det andra kravet är, samtyckeskravet. Det innebar att deltagarna själva fick bestämma om de ville vara med eller inte. Deltagarna blev även informerade om under hur lång tid de skulle medverka i forskningen innan de fattade sina beslut. Krav tre är konfidentialitetskravet och innebar att samtliga deltagare samt skolorna i undersökningarna skulle vara anonyma. I vår undersökning har vi istället använt påhittade namn för att underlätta för läsaren. All information har därmed noggrant lagrats på ett sätt som gör det omöjligt för läsaren att identifiera deltagarna. Avslutningsvis är det sista kravet, nyttjandekravet som framhåller betydelsen av att allt insamlat material förstörs efter avslutad forskning (Vetenskapsrådet, 2002). 4.4 Urval Vi har valt att observera och intervjua fyra matematiklärare som arbetar på fyra olika skolor belägna runt om i södra Sverige. Skolorna vi valde ligger i två olika län, för att vi hoppades på att det skulle ge oss en bredare grund än om datainsamlingen utfördes i samma län eller på samma skola med olika lärare. Lärarna är verksamma och utbildade matematiklärare som arbetar med elever som går i årskurs ett. Vi har valt att utgå från samma årskurs i vår studie för att kunna jämföra arbetssätt i en årskurs. Att valet föll på årskurs ett berodde på två saker. Det första är att matematik handlar om att knäcka koden och det andra är att förstå att matematiken kan ses ur olika synvinklar för att kunna förstå de abstrakta begreppen. Vårt urval av lärare är grundat i vilket intresse de har av att delta i studien samt utgick vi från lärare vi har träffat på tidigare av olika anledningar. Gemensamt för de fyra lärarna är att de undervisar i matematik och har en utbildning inom matematik, det var två viktiga delar i vårt urval. Vi ansåg att lärare med matematikutbildning kunde ge oss en bred och djup bild av vår problematik. Vi hade även en fundering kring att utbildade matematiklärare förstod vårt arbetsområde och kunde därmed synliggöra fler arbetssätt i undervisningen med en högre validitet. Vi valde fyra lärare för att vi ansåg att det kunde vara ett rimligt antal för att kunna se likheter och skillnader mellan deras arbetssätt och för att vi skulle se flera olika arbetssätt var fyra stycken en passande avgränsning. 4.5 Genomförande I tidigt skede tog vi kontakt med eventuella deltagare i vår studie utifrån urvalet vi hade gjort. Deltagarna blev tilldelade ett missivbrev om vilka vi var, studiens syfte, villkor för deltagande, etiska principerna och godkännande av att delta (se bilaga C). Vi tog 19

21 kontakt genom mail eller telefon angående mer information om tidpunkt och plats för observationer och intervjuer. Samtliga möten med deltagarna ägde rum i skolan där de arbetade och där läraren kände sig hemma. Häger (2007) nämner att trygghet skapas hos deltagaren när han eller hon får befinna sig i en miljö som är bekant. Därför valde vi att även göra intervjun i lärarens klassrum eller grupprum. För att få ut material till studiens syfte vid observationen hade vi förberett ett observationsschema som handledaren fick godkänna innan utförandet. Bryman (2002) anser att ett observationsschema minskar risken för att hamna utanför studiens innehåll och ger möjligheter att enbart fokusera på studiens syfte och frågeställningar. Vi delgav syftet med vår studie för deltagarna. Vi informerade om att vi ville undersöka hur lärarna arbetade med bron mellan konkret och abstrakt matematik. Vi valde att berätta den här informationen för vi trodde att vi skulle få se fler arbetssätt i undervisningen och på det sättet få ut mer av observationerna, än om vi valt att inte berätta vad vi skulle observera. Vi önskade även att få se någon form av genomgång och att lektionen skulle behandla ett begrepp som för eleverna var abstrakt eller ett begrepp som eleverna arbetat med tidigare och som nu var på väg att bli befäst och bli konkret för eleverna. Att informera eleverna om vår roll i klassrummet är viktigt, för att eleverna ska vara sig själva i klassrummet och fokusera på rätt saker skriver Hammar och Einarsson (2013). Därför valde vi att börja varje observation med att informera eleverna om att det var läraren vi skulle titta på, inte dem. Under observationen förde vi anteckningar i observationsschemat. Observationsschemat hjälpte oss att fokusera på rätt men också samma områden i lärarens undervisning. Vi observerade i tysthet. Observationerna gjorde att vi fick se hur arbetssätten fungerade i undervisningen, vilket gav oss en tydlig förståelse. Efter observationen skrev vi en sammanfattning av vad vi tillsammans hade observerat. Det gjorde att vi hade observationen klar i minnet och vi kom även ihåg betydelsefulla detaljer som inte var nedskrivna. Utifrån observationen formulerades därefter en frågeguide till varje lärare. Frågorna utgick från vårt syfte med studien. Därefter anpassades frågorna efter val av arbetssätt som läraren synliggjort och intressanta aspekter som uppmärksammades under observationen. Det innebar att varje frågeguide hade en inledning av samma frågor till varje lärare, därefter skiljde frågorna sig beroende på arbetssätt och iakttagelser. Intervjuerna spelades in och vi påtalade att det var endast vi som skulle lyssna på det inspelade och att deltagarna var anonyma. Intervjufrågorna hade lärarna inte fått se tidigare. Vi ansåg att det skulle ge en mer rättvis och verklighetsbaserad bild av hur lärare arbetar och motiverar sina val. Under intervjun hade vi vår frågeguide som stöd. Vi följde inte ordningen helt, utan vi använde oss utav Brymans (2002) metod. Att våga byta ordning på frågorna och då fokusera på att även ställa bra följd frågor. Dessa följdfrågor kunde bland annat vara frågor från vår frågeguide. Frågorna skulle komplettera observationerna så att vi kunde få ut så mycket som möjligt av hur läraren arbetade med olika arbetssätt och genom intervjun också ta reda på varför läraren valde arbetssätten. Att komplettera observationerna med intervjuer gjorde att vi fick en bred helhetsbild av lärarens undervisning och ett bra underlag för att ta reda på vårt syfte med studien. Intervjuerna tog mellan 20 och 25 minuter. Vi valde till sist att transkribera intervjuerna, innan resultatet kunde skrivas. 20

22 5 Resultat Resultatet grundas i fyra observationer som har ägt rum i fyra olika klassrum där de olika lärarna och deras arbetssätt har observerats. Observationerna följs upp av intervjuer med de fyra berörda lärarna för att komplettera och fördjupa undersöknings materialet till studiens syfte. 5.1 Presentation av deltagare i studien Här kommer en kort presentation av lärarna som deltog i studien. Vi vill speciellt synliggöra att samtliga deltagare är utbildade matematiklärare och är verksamma lärare. Lärare A tog sin lärarexamen Hon är utbildad pedagog för barn mellan 0-12 år inom ämnena matematik, naturvetenskap, grus (so-ämnena) och specialpedagogik. Idag arbetar hon som klasslärare i en årskurs ett på en enparalellig grundskola i en mellanstor stad. Lärare B tog sin lärarexamen Hon är utbildad 1-7 lärare i ämnena matematik och naturvetenskap. Idag arbetar hon som klasslärare i en årskurs 1 på en tvåparalellig grundskola i en mellanstor stad. Lärare C tog sin lärarexamen Hon är utbildad 1-7 lärare i ämnena matematik och naturvetenskap. Idag arbetar hon som klasslärare i årskurs ett på en treparallelig grundskola i en mellanstor stad. Lärare D tog sin lärarexamen Hon är utbildad 1-7 lärare i ämnena matematik, naturvetenskap, svenska, musik, specialpedagogik och utomhuspedagogik. Idag arbetar hon som klasslärare i en årskurs 1 på en treparallelig grundskola på en mindre ort. 5.2 Observationer Utifrån observationer, reflektioner och mönster kommer fyra olika broar att presenteras. De fyra olika lärarna har arbetat med olika områden inom matematiken. Det som intresserade oss var vilka olika arbetssätt vi kunde se under en lektion. Därmed presenteras enbart olika arbetssätt som uppmärksammades under observationerna. Vilka arbetssätt arbetar läraren med i övergången från det konkreta materialet för att öka elevernas förståelse till det abstrakta? Vid observationerna uppmärksammade vi att alla fyra lärare arbetade med mer än ett arbetssätt under en och samma lektion. Lärarna använde sig även av fler än en representationsform i undervisningen. Observation 1 En av lektionerna som observerades började med att läraren visade eleverna bilder på olika geometriska former, vilket var lektionens syfte. Bilderna sammankopplades med formernas namn som symboler i form av skrivna och talade ord. Efter bilderna kopplades även material in i undervisningen och därmed skapades en koppling inför eleverna mellan bild, symbol i form av bokstäver och laborativt material. Det laborativa materialet användes därefter av varje elev tillsammans med elevens egna språk i form av pararbete. Varje elev fick ett laborativt material i form av olika geometriska former av läraren som eleven skulle beskriva för den andra eleven. Den andra eleven skulle gissa vilken geometrisk form det var genom att lyssna på en beskrivning av formen och därefter gissa det matematiska namnet på den geometriska formen. Lektionen avslutades med bilder och symboler i matematikboken som var sammankopplade till den tidigare undervisningen. 21

23 Inledningsvis startades den här lektionen tillsammans med alla elever i gruppen. Eleverna fick därefter arbeta i par. Här gavs det möjlighet för alla elever att förklara hur de tänker inför en kamrat och tillfälle att befästa lektionens syfte. Avslutningsvis fick eleverna arbeta individuellt. Läraren var tydlig med att använda sig av ett matematiskt språk och minska användningen av vardagsspråk. Det talade språket användes mycket för att involvera eleverna i olika diskussioner. Ett exempel var att läraren ställde frågor som exempelvis: Vilka ord kan du beskriva triangel med om du inte får använda figurens namn? Det gjorde också att eleverna fick använda det egna språket. Språket var tydligt hos läraren både genom tal och genom kroppsspråk. Det uppmuntrade och engagerade eleverna och det resulterade i en positiv stämning och arbetsmiljö. Observation 2 I en av de andra observationerna undervisande läraren om taluppfattningen av talen mellan tio och tjugo. Läraren startade upp lektionen med laborativa material i tre olika former, talkort, en- och tiokronor och tärningar. Två av de laborativa materialen hade anknytning till elevens vardag och tidigare erfarenheter. Både tärningarna och kronorna visade även bilder i form av prickar och porträtt. Det blev en koppling mellan ett material och en bild. Talkorten som var ett laborativt material bestod även av siffersymboler. Det innebar att tre laborativa material användes i undervisningen och de visade även en bild eller symbol. Undervisningen gav varje elev möjlighet att uppleva och få en känsla av lektionens syfte genom en fysisk aktivitet med kroppen. Läraren visade ett talkort, eleven fick säga namnet på talet och skulle därefter gå till talet på talmattan och hoppa lika många hopp som talkortet visade. Lektionen avslutades med att varje elev fick skriva siffersymbolerna i sitt skrivhäfte. Lektionen startades tillsammans med alla elever. Därefter minskade läraren på elevgruppen och de fick istället arbeta i par där eleverna fick möjlighet att kommunicera med varandra. Den ena eleven visade ett talkort och kompisen skulle lägga lika många kronor som kortet visade. Arbetsätten i helgrupp och par användes kontinuerligt om vart annat under lektionen. En ny genomgång eller förtydningar av svårigheter med material, bild och symboler i grupp för att sedan i par upptäcka och utforska. När eleven skulle hoppa på talmattan och vid lektionens avslut arbetade varje elev individuellt. Genomgående hade läraren ett matematiskt språk som var nära kopplat till elevens egna språk. Genom språket gav läraren instruktioner till uppgifter med det laborativa materialet och ställde frågor som eleven med hjälp av materialet eller sina tankar skulle lösa. Språket använde även läraren för att uppmuntra eleverna. Läraren använde sig av ett tydligt kroppspråk, tillexempel sa läraren: vad står tian för i talet och samtidigt pekade läraren på tiokronan. Det skapade ett engagemang och ledde eleverna mot rätt riktning i uppgifterna. Observation 3 Under en annan lektion inledde läraren undervisningen med två laborativa material i form av björnar och en elev som fick föreställa en våg. Detta material kombinerades med tecknet för undervisningens syfte, likhetstecknet. Tecknet placerades på elevens mage. Här fick eleven möjlighet att uppleva syftet tillsammans med laborativt material för att skapa en förståelse för tecknet. Ett exempel från genomgången var när läraren la tre björnar i ena handen på eleven som var våg och frågade elevgruppen om vågen var jämn och även hur de skulle göra för att vågen skulle bli jämn. Förslag diskuterades i gruppen. Därefter målade läraren bilder i form av prickar av talet som låg i vågen. Det kopplades samman med mattespråkets symboler som skrevs och avslutades därefter med en räknehändelse i form av det talade och det skrivna språket. Eleverna fick efter 22

24 genomgången utföra en liknande uppgift tillsammans med en annan elev. Där fick eleverna möjlighet att vara våg, måla egna prickar, siffror och berätta och skriva en räknehändelse till talen (Se bilaga D). Även den här lektionen startades tillsammans med alla elever. Efter avslutad genomgång fick eleverna arbeta i par med liknande uppgift som genomgången. Här gavs möjlighet att komma fram till lösningar tillsammans genom att tala, måla och skriva matematik med både bilder, symboler och bokstäver. Avslutningsvis fick varje par redovisa sin lösning muntligt inför alla i gruppen. Genomgående hade läraren ett matematiskt språk där mattespråket kopplades till bilder och elevernas egna språk. Ett exempel var när läraren frågade eleverna: hur många prickar ska jag måla till på tavlan för att det skulle bli jämnvikt i vågen, och la till alltså lika mycket på varje sida. Läraren använde språket som en vägledning, förtydligade oklarheter, instruerade och skapade möjligheter för eleverna att utmana sig själva. Beroende på hur långt eleven hade kommit i sitt skriftliga språk individanpassade läraren arbetssätten därefter. Genom det muntliga språket gavs eleverna återkoppling. Lärarens kroppspråk visade på stort engagemang och intresse för matematikämnet och det smittade av sig till eleverna. Observation 4 En annan observation startade med att synliggöra det abstrakta begreppet hälften inför eleverna, vilket var området klassen skulle arbeta med. Undervisningen började sedan med att koppla begreppet till laborativt material i form av figurer som sattes upp på tavlan. Exempelvis sattes fyra ringar upp och frågan var: hur många ska plockas bort om hälften ska plockas bort? Efter användning av laborativt material målades istället bilder av läraren, det var hjärtan, äpplen och en människa. Läraren visade hur bilderna kunde delas med hjälp av ett streck. Därefter sammanfördes konkret material och bild genom att varje elev fick undersöka och skapa lektionens syfte med hjälp av att rita, klippa och klistra. Lektionen startade tillsammans med alla elever i gruppen. Läraren hade en genomgång och återkopplade till tidigare lektioner. Därefter fick eleverna på egen hand arbeta med lektionens syfte. Avslutningsvis sammanfattade läraren lektionen tillsammans med alla elever. Läraren använde sig av ett matematiskt språk som kopplades till elevernas nivå. Genom frågeställningar, förklaringar, instruktioner och vägledning använda läraren det talade språket. Under lektionens gång ställde läraren öppna frågor och använde sig bland annat av frasen hur tänker du då? Genom lärarens språk gjordes eleverna delaktiga i lektionen. Språket användes även för uppmuntran till eleverna. 5.3 Intervjuer Fyra intervjuer har genomförts med samtliga lärare som deltog i observationerna. Intervjuerna förtydligar det som uppmärksammats i observationerna. Även motiveringar av val av olika arbetssätt och arbetsgångar. Här kommer några av intervjufrågorna att visas som ansågs viktiga att belysa utifrån vår studie. Hur definiera lärarna begreppen laborativt och konkret material? Laborativt material definierar två av lärarna på samma sätt. Det är material som eleven använder för att undersöka, upptäcka och för att komma fram till lösningar. Laborativt tycker jag är att man provar sig fram, att man undersöker, att man upptäcker själv hur saker och ting hör ihop. Det är för mig laborativt material (Lärare B). 23

25 De två andra lärarna definiera laborativt material som att det är allt material som du använder med hjälp av dina händer. En av dem tillägger användningen av Ipads och det bildliga som ett laborativt material. Att man kan ta på det är laborativt för mig. Sen är frågan om man kan ta på något bildligt och det kanske man kan (Lärare D). Begreppet konkret material beskriver flera av lärarna att det är samma sak som laborativt. Att samma material som exempelvis kottar kan uttryckas som både konkret och laborativt material. En av dessa lärare kopplar även samman materialet med dess syfte och hur det används i undervisningen. När jag tänker konkret material använder jag det för att lösa en uppgift, för att eleven ska förstå den bättre. Tillexempel 3 + 2, jag lägger tre klossar och två klossar och räknar ihop dem istället för laborativt material där jag har fem klossar och så testar eleverna hur de kan dela dessa fem klossar på olika sätt (Lärare A). En av lärarnas definition av konkret material skiljer sig från de övrigas. Läraren anser att materialet betraktas som konkret först när eleven har fått förståelse för det eleven inte förstod tidigare. Utifrån observationen frågade läraren om hur många sidor en pyramid har. Eleven svarade fem. Läraren tog fram ett antal trianglar och eleverna räknade tillsammans hur många trianglar det gick åt för att bygga en pyramid. I processen av byggande är materialet laborativt. Det blir konkret när eleverna är helt övertygade om att en pyramid består av en triangel i botten med tre sidor. Innan dess var trianglarna laborativa (Lärare D). Begreppet abstrakt matematik beskriver samtliga lärare som att det är något de inte kan ta på. Några av lärarna utvecklar begreppet genom att beskriva abstrakt som ett begrepp som inte innebär eller betyder någonting alls, utan någonting man behöver få förståelse för och lära sig om. En av lärarna uttrycker sig på följande sätt: Abstrakt är något du måste få förståelse för innan du kan använda det och göra till ditt eget, som det här med plustecknet. Många barn har sett tecknet någon gång och vissa har räknat med det hemma jättemycket, men så upptäcker man att det finns de som inte har en aning om hur det fungerar med det här med att lägga till och de vet inte hur de ska läsa det. Då är det helt abstrakt för barnet och då måste man börja från början. Att bygga upp det och få en förståelse för det här tecknet, för det betyder ju ingenting egentligen för det barnet. Det är ju bara något påhittat (Lärare B). Hur ska du som lärare arbeta med eleverna för att de ska nå vägen till den abstrakta matematiken med förståelse? Genom intervjuerna över vilka olika arbetssätt lärarna arbetade med för att nå vägen till den abstrakta matematiken med förståelse upptäcktes både likheter och skillnader. Vi har gjort en sammanfattning av lärarnas olika idéer om olika arbetssätt. 24

26 Lärare A: Utgår alltid från elevernas tidigare erfarenheter i vardagen, vid introduktion av nytt område. Utomhusmatematik med material som finns på området exempel kottar och eleverna själva. Skapar bilder, genom att använda sig av exempelvis prickar, streck, blommor med mera antingen inne eller ute. Använder sig av laborativt material inne eller ute som exempelvis pengar och tärningar. Genom laborativa materialet ska eleverna diskutera med varandra alternativa resultat och lösningar. Symboler som siffror på kort, papper och i matematikboken. Lärare B: Utgår från laborativt material, materialet ska finnas lätt tillgängligt för att eleverna ska kunna välja ett material som de vill använda sig av. Kopplar begreppet till elevernas tidigare erfarenheter och involverar därmed eleverna själva i den laborativa aktivitetet. Bilder i form av blommor. Bilder som används ska vara relaterade till uppgiften. Det är antalet i bilderna läraren är ute efter inte form och färg. Bilder i form av ringar och streck. Synliggör siffrorna i form av symboler som kallas matte-språk. Låter eleverna diskutera och tala matematik med varandra. Uttrycker sig i form av en räknehändelser, både talade och skriftliga. Lärare C: Utgår från det abstrakta begreppet. Kopplar in laborativt material från början i sin undervisning. Synliggör materialet och begreppet i form av bilder. Använder sig av utomhusmatematik för att eleverna ska befästa begreppet. Talar om begreppet i grupp och par. Använder sig av stenciler där eleven kan arbeta med begreppet i olika former av bilder. Slutligt arbete i form av symboler. Lärare D: Utgår från elevens vardag. Kopplar samman tillfällen som kan passa som exempelvis jultema under december, kopplat till matematiken. Eleverna får själva tillverka, klippa och klistra, måla, laborera med olika material. Arbetar i utomhusmiljö för att eleverna ska lära in begreppet genom bland annat rörelse. Använder begreppet i form av skriftligt och talat språk. Bilder kopplas till begreppet. Avslutar i matematikboken med begreppet i form av bilder och symboler. För att skapa en förståelse för abstrakta begrepp kunde vi utifrån våra intervjuer se att samtliga lärare använder sig av laborativt material, bilder och symboler. Det laborativa materialet användes i tidigt skede i samtliga arbetsgångar. Medan symboler i form av bokstäver och siffror tog plats i slutet av arbetsgången. Däremellan ser vägarna olika ut 25

27 för alla fyra lärare. En lärare lägger stor vikt vid att uppleva matematiken utomhus och att skapa en förståelse till begreppet eleven arbetar med i miljön ute som är nära kopplat till elevens vardag. Två lärare utgår också från vardagshändelse vid introduktion av nytt arbetsområde. En annan lärare väljer att börja introducera ett nytt område genom att visa begreppet med skriftligt språk eller symboler och därefter bryta ner begreppet med en start av laborativt material eller övningar, som följs av bilder och språk tillsammans md eleverna. En tredje lärare poängtera betydelsen av att koppla samman bild, mattespråket och räknehändelse i undervisningen, för att eleven ska få möjlighet att förstå kopplingen mellan dessa arbetsformer. Några av lärarna framhåller enbart övergången av bild och matte-språk och använder sig inte av räknehändelser som ett arbetssätt som intervjun visar. Ett annat arbetssätt som två av lärarna nämner är EPA. Vi kör mycket EPA, vilket betyder att man arbetar enskilt, i par och alla tillsammans. Först sitter eleven själv och funderar över vad begreppet innebär, sen visar eleven läraren och därefter en kompis vad eleven funderat över och de talar med varandra. Därefter pratar vi alla tillsammans och så skriver vi upp det som en mindmap runt begreppet, vad det är för någonting (Lärare C.) Arbetssättet kan också användas för att lösa ett matematiskt problem. Där diskussionerna i par och helklass är betydelsefulla. Avslutningsvis framhåller en lärare också att ordningen av arbettssätt varierar beroende på arbetsområde. Hur motivera lärarna vikten av att ha en varierad undervisning? Alla fyra lärare betonar att alla elever är olika och har olika sätt att lära sig. Det ska vara en skola för alla och därför måste läraren ha en varierande undervisning. Det är viktigt att ha ett varierande arbetssätt för att få med alla, vi är alla olika. Vi lär oss på olika sätt allihopa, en del vill ha auditivt, en del visuellt. Det är så viktigt att få med alla från början (Lärare C). En del behöver höra, en del behöver se, en del behöver känna. Det är de olika sinnena som behöver stimuleras och i en klass är alla olika (Lärare D). Alla lärarna talar om att det är elevens sinnen som styr inlärningen. Att som lärare är det viktigt att varje elev får möjlighet att använda hela kroppen som redskap så som hörseln, synen och känseln i undervisningen för att hitta vägen till förståelsen. Att barnen lär med hela kroppen, att inte alltid sitta still på stolen och tänka utan att man har ju ett kroppsminne och sinnesminne också. Det är viktigt att plocka in i sin undervisning (Lärare A). Genom att arbeta med ett varierande arbetssätt anser alla fyra lärarna att eleverna har större möjlighet att förstå matematiken, att verkligen få en förståelse för hur allt hänger ihop. Finns det inte ett varierande arbetssätt i undervisningen blir chansen stor att läraren tappar flera elever på vägen. Det står ju inte i matteboken att 10=5+5 och då har man ju ingen förståelse för likhetstecknet utan man gör uträkningen mekaniskt och utan förståelse (Lärare B). 26

28 Hur motiverar lärare sina val av arbetssätt? Det är flera arbetssätt som alla lärarna väljer att arbeta med. Målet med arbetssätten är att eleven ska skapa inre bilder i huvudet berättar lärarna. Dessa inre bilder hjälper varje elev att förstå det som den tidigare inte haft förståelse för. Det som varit abstrakt blir konkret med hjälp av bilderna i huvudet. För att eleven ska skapa sig bilder behöver eleven få möjlighet att arbeta med flera olika arbetssätt. Det laborativa materialet är ett av arbetssätten som alla fyra lärare väljer att arbeta med. Det är viktigt att arbeta konkret och laborativt för att skapa bilder i huvudet. Annars hänger det bara löst någonstans, exempelvis den där trean. Den symbolen betyder ju egentligen ingenting om du inte får jobba laborativt så att du får se tre björnar eller tre fingrar eller tre streck och bygga upp en förståelse för siffran (Lärare B). Ett andra arbetssätt som synliggjordes i alla intervjuerna var att knyta an undervisningen till elevens vardag och tidigare erfarenheter. Det gör att eleven känner att en nytta med att lära sig matematik och det skapar motivation. Vi börjar med att ta in exempel från vardagen så att eleven själv får en inre bild och en förståelse för vad vi pratar om (Lärare A). Genom att knyta an matematikundervisningen till ett jultema nu när det faller in i tiden kan jag väcka elevernas intresse. Gör jag de uppmärksamma på att det är klot som hänger i julgranen, smällkarameller är cylindrar och julklappar rätblock eller kuber så kan några elever motiveras till att lära mer för att de tycker det är roligt och då har jag hjälpt några på vägen (Lärare D). Ett sätt att arbeta med anknytning till elevens vardag är räknehändelser. En av lärarna introducerar det tidigt i matematikundervisningen. Eleverna lär sig både berätta räkne händelsen muntligt och att skriva ner den. Läraren motiverar valet av arbetssätt med att förståelse finns när eleven kan sätta ord på symbolerna. För att veta vad 1+5 kan stå för, vad betyder det i verkligheten? Att veta att det kan handla om att de först var en person och sen kom fem till är inte självklart för alla. Därför är det viktigt att sätta ord på siffersymbolerna och bilden eleven har i huvudet för att eleven ska få förståelse för vad det innebär (Lärare B). Ett annat sätt att arbeta med tidigare erfarenheter och plocka in elevens vardag är att arbeta med Ipads. En av lärarna arbetar med Ipads något matematikpass i veckan. På Ipaden har eleven appar som handlar om arbetsområdet som de arbetar med. Appen synliggör matematiken på ett roligt och spännande sätt, som gör eleverna motiverade till att lära berättar läraren. Bilder är ett annat arbetssätt som alla fyra lärare använder mycket i sin undervisning för att eleven ska skapa egna bilder i huvudet som leder till förståelse. Bilder är för elever många gånger lättare att förstå än skrivet eller talat språk. 27

29 Eleverna lär sig olika, vissa behöver ha de bildligt för att förstå och se hur det ser ut för att lära sig något (Lärare D). Lek och rörelser tar alla fyra lärare upp som en del i inlärningen. Att röra sig samtidigt som en kunskap utvecklas kan hjälpa några elever att befästa kunskapen. Är eleven liten i sitt sätt att vara kan kunskap också befästas genom att leka in matematiken. När vi arbetade med begreppet mindre än, då ritade vi tänder på händerna och vi målade ögon och lekte att vi var krokodiler och åt upp det största talet. Eleverna förstod begreppet när jag arbetade med dem på deras nivå (Lärare C). Att arbeta ute och samtidigt röra sig anser några av lärarna är ett arbetssätt att finna förståelsen. Utemiljön är en plats eleven känner igen sig och där eleven tillbringar mycket tid. Det kan skapa motivation till lärande. Språket är grunden till all matematikundervisning påtalar alla lärarna i intervjuerna. Språket är ett viktigt redskap för att kunna skapa sig förståelse för matematiken. Språket kan delas in i skrivande symboler och talade symboler. Såhär beskriver lärarna varför språket är så viktigt: Eleverna måste förstå vad det är jag förklarar och kunna berätta hur de tänker, sätta ord på sina mattetankar. Vi pratar jättemycket matte, både i helklass, grupp och i par. För genom språket lär eleverna också av varandra (Lärare B). Jag tror att det talade språket är viktigare än det skriftliga språket. Att man kan förklara vad man gör, diskutera med andra hur man tänker. Kan man det anser jag att man har en förståelse för talet eller begreppet (Lärare A). Att det finns ett mattespråk tar två av lärarna upp. Mattespråket är siffrorna, tecken inom matematiken som exempelvis likhetstecknet och olika matematiska begrepp som exempelvis hälften och rektangel. Mattespråket kopplar lärarna ihop med olika arbetssätt som exempelvis konkret material och bilder, för att synliggöra innebörden och eleven har möjlighet att hitta en förståelse. Hur motivera du valet av ordningen av arbetssätt i din undervisning? Lärarna börjar antingen med det laborativa materialet eller utifrån elevernas tidigare erfarenheter. Därefter håller de alla fyra med om att det är arbetsområdet och elevernas behov som styr vilken ordning de arbetar med de olika arbetssätten för att skapa bilder i elevernas huvud, så att det abstrakta blir konkret. Några av lärarna talar om att varje elev har en egen bro för att förstå något som de tidigare inte haft förståelse för, det abstrakta. Som lärare behöver du anpassa din undervisning därefter. Jag börjar nästan alltid med laborativt material. För att göra det synligt för alla. Jag använder ett språk som eleverna förstår, inte bara mattespråket. På detta sätt får jag med mig nästan allihopa. Men en del behöver se det flera flera gånger till medan andra hade kunnat räkna direkt ur matteboken. Men på detta sätt fångar jag nästan alltid alla (Lärare C). 28

30 Jag börjar alltid med något från barnens vardag, något de känner igen. Barnen ska kunna relatera till det vi gör, så suggestivt bygger man på den kunskapen (Lärare A). En del bara har det här matte-tänket och förståelsen bara finns där. Men de som inte har det, de behöver verkligen det laborativa och bildliga för att få förståelse (Lärare D). Ska laborativt material alltid finnas med i undervisningen? Det finns två olika sätt att se på när det laborativa materialet ska plockas bort från undervisningen. Hälften av lärarna anser att eleven ska få använda det laborativa materialet så länge som möjligt, att läraren aldrig ska plocka bort det. Det för att eleven ska ha ett stöd och få en syn och förståelse för hur matematiken fungerar och kunna se hur tidigare kunskap hänger ihop med ny kunskap. De andra två lärarna beskrev att det laborativa materialet ska plockas bort så fort läraren tror eller ser att eleven befäst kunskapen och skapat de inre bilderna i huvudet. Att eleven då istället behöver träna på att se inre bilder när uppgifter ska lösas. En lärare citerar avslutningsvis: Plocka inte bort det konkreta materialet för tidigt i undervisningen, utan använd det så länge som möjligt, tills förståelsen verkligen finns där (Lärare C). 29

31 6 Analys I analysen kommer datainsamlingarna kopplas till våra olika teorier i studien. Resultaten i de fyra olika observationerna och intervjuerna kommer också jämföras med varandra. Analysen utgår från undersökningens två frågeställningar. 6.1 Vilka arbetssätt arbetar läraren med i övergången från det konkreta materialet för att öka elevernas förståelse till det abstrakta? Laborativt material och Omvärldssituationer Alla lärare lyfter fram fördelar med att arbeta med laborativt material och aktiviteter som är kopplade till elevernas erfarenheter. Lärarna inledde ett nytt område på två olika sätt. Det ena var kopplat till elevens vardag och startade med en anknytning till elevens tidigare erfarenheter. Ett annat alternativ var att lärarna kopplade in laborativt material vid genomgången för att synliggöra vad området skulle handla om. De olika alternativen användes antingen var och en för sig eller i relation till varandra. Dewey anser att undervisningen ska byggas upp av tidigare erfarenheter som är kopplade till laborativa aktiviteter (Sundgren, 2005). Precis som Löwing och Kilborn (2002) skriver framhåller även intervjupersonerna att ytterligare ett steg i processen till förståelsen av den abstrakta matematiken för eleverna är att knyta an till elevens tidigare erfarenheter och använda laborativt material. Bilder Ett annat arbetssätt som synliggjordes och talades om vid observationerna och intervjuerna var att skapa och visa bilder inför eleverna. I olika varianter togs bilder upp av lärarna. Alla lärare talade om att visa bilder som eleven kan relatera till. En lärare tog även upp vikten att plocka bort en relaterad bild efter ett tag och enbart utgå från en bild som bestod av exempelvis streck eller ringar. Bruner (1966) tar upp bilder som ett av hans tre sätt i bron till förståelse och poängterar att det är viktigt att använda sig av bilder i undervisningen, vilket även Rystedt och Trygg (2005) tar upp som ett arbetssätt i undervisningen för att förstå det abstrakta inom matematikens ramar. Talade språket Språket är ett verktyg som synliggjordes på olika sätt under samtliga lektioner vid observationerna så som lärare-elev, elev-elev men även eleven själv. Malmer (2002) hävdar att med ett matematiskt språk tillsammans med ett vardagligt språk som ligger på elevens nivå kommer begreppets innebörd att belysas starkare och en förståelse är lättare att utveckla som därmed blir ytterligare ett steg till det abstrakta. Även Dewey och Vygotski tar upp i sina teorier om det talade språkets stora betydelse vid inlärningen (Lundgren, Säljö & Liberg, 2010). Skrivna språket Alla lärare tog upp betydelsen av det skrivna språket i undervisningen. Ett steg för att nå det abstrakta är att med ord i form av siffror och bokstäver kunna uttrycka sig och det framgick tydligt vid observationerna. Det skrivna språket är ett självklart steg hos lärarna för att eleven ska få förståelse, vilket var synligt under alla intervjuer. Att det skrivna språket betyder mycket hävdar också Bergsten, m.fl. (1997). De tar upp hur viktigt det är för eleven att genom det skrivna språket kunna uttrycka sig på olika sätt utifrån en bild, ett begrepp eller symbol med mera för att komma vidare över bron och utveckla en förståelse. 30

32 Bron mellan den konkreta och den abstrakta matematiken Alla lärare påpekade vikten av att skapa en bra grund för varje elev att stå på, när eleven ska lära sig ett nytt begrepp. Genom observationer och intervjuer synliggjordes att alla lärare var överens om att de olika stegen mellan konkret och abstrakt matematik är viktig. Olsson och Forsbäck (2008) anser att grunden ska byggas upp av noggrannhet och väl genomtänka laborativa aktiviteter. Matematikens förståelse vilar på grunden som har byggts upp från början och blir därmed en avgörande faktor för eleven. Hur en lärare går vidare med bron efter introduktionen såg olika ut för samtliga lärare vid observationerna. Flera representationsformer blev viktiga och användes på olika sätt i undervisningen. Bild, laborativt material, omvärldssituationer, talade symboler och skrivna symboler synliggjordes på olika sätt. Ahlström (1996) beskriver att de olika representationsformerna ska användas på ett sätt som skapar samband för eleven att se kopplingen. Att se relationen mellan de olika representationsformerna dess likheter och olikheter. Hur läraren väljer att använda sig av de olika representationsformerna är upp till läraren att avgöra. En lärare valde att arbeta med laborativt material under en längre tid och därefter koppla till anknutna erfarenheter i form av bilder. En annan lärare valde att arbeta både ute och inne med eleverna för att möta material på olika ställen som är vardagsrelaterade, för att därefter plocka in olika bilder i undervisningen. En tredje lärare valde att arbeta med bild, mattespråk och räknehändelse i följd av varandra. En av lärarna lyfte användningen av Ipads i undervisningen. Att under arbetsområdet försöka koppla in Ipads som ett verktyg på vägen till förståelse. Läraren betonar även betydelsen av tidigare erfarenheter, utevistelser och mattespråket i undervisningen. Flera lärare tar upp betydelsen av att arbeta med kommunikation i olika former. I observationerna fick vi se hur eleverna i de olika klasserna fick uttrycka sin förståelse i olika gruppkonstellationer. Flera av lärarna ansåg att när eleven kan sätta ord på sina tankar har eleven byggt upp en förståelse. Löwing och Kilborn (2002) hävdar att när eleven får möjlighet till att kommunicera genom samtal, diskussioner och överföra sina tankar mellan lärare och andra elever ges ett utbyte av matematisk kunskap och blir ytterligare ett steg på vägen till målet, det abstrakta. Flera av lärarna använder sig genomgående av ett matematiskt språk genom tal och skrift. Löwing och Kilborn (2002) och Malmer (2002) anser att en väg till att förstå den abstrakta matematiken är det talade och skrivna språket. Avslutningen av bron till förståelsen för det abstrakta beskriver lärarna sina arbetssätt genom att eleven ska möta det skrivna symbolspråket i form av stenciler eller i matematikboken. En av lärarna arbetade inte med en matematikbok i första klass under den första terminen. Läraren hade istället ett egengjort mattehäfte och små extrahäften som är anpassades för varje arbetsområde till varje elev. Avslutningen på denna lektion blev istället att arbeta med räknehändelse genom kommunikation av tal- och skrift språk enskilt, i par och grupp. Precis som Olsson och Forsbäck (2008) skriver anser även lärarna att grunden ska byggas med djup förståelse. Samtliga lärare tog upp att deras mål med att arbeta med bron mellan det konkreta och abstrakta var som Olsson och Forsbäck (2006) skriver att skapa en inre bild hos varje elev. Genom olika arbetssätt får eleven uppleva matematiken på olika sätt, vilket gör att 31

33 eleven skapar inre bilder eller tankar som är målet för det abstrakta. Det innebär även att vägen till förståelse är för varje enskild elev olika lång. Två olika metoder för att nå förståelse inom matematiken Lärarna påpekade att brons längd och att de olika arbetssätten i övergången såg olika ut för varje elev. Alla de fyra lärarna använde sig av olika representationsformer och stegen var olika många. Bruner (1966) beskriver en tre-stegs metod som en väg att gå från det konkreta till abstrakta. Undervisningen utgår från en praktisk aktivitet för att skapa en grund för det abstrakta begreppet som eleven sedan ska förstå. Därefter ska en övergång ske till det bildliga efter avslutad aktivitet. Bilder skapar inre bilder hos eleven som kan säga mer än ord. Avslutningsvis kopplas språket in och blir länken mellan aktiviteten, bilden och slutligen förståelsen. Eleven kan därmed beskriva bilden med egna ord i form av olika symboler som siffror och alfabetet. Betydelsen av att använda sig av olika arbetssätt i anknytning till varandra observerades men även lärarna själva beskriver det i intervjuerna. Bruners tre steg poängteras hos alla lärare dock inte under alla observationer men under intervjuerna där lärarna fick beskriva på egen hand hur de arbetar med bron och synliggjorde de olika stegen. Ytterligare en metod är en bro med fyra steg från konkret till abstrakt matematik presenterades i teoridelen av Rystedt och Trygg (2005). De utgick från att matematikens första steg var att arbeta med material som var laborativt och kallades konkreta steget, uppföljt av att byta ut materialet till verklighetsbaserade bilder, halvkonkreta steget. Därefter går läraren in på halvabstrakta steget, informella symboler som streck, ringar för att nå till målet som är det formella symboler, siffror, räkne-regler med mera och som därmed är abstrakt. Tre av stegen synliggjordes hos samtliga lärare. Däremot steget som står för det halvabstrakta synliggjordes enbart av en lärare. 6.2 Hur motiverar läraren val av arbetssätt i undervisningen? Resultatet av lärarnas arbetssätt att arbeta med bron kan kopplas till olika representationsformer. De fem olika representationsformerna synliggjordes i observationerna och intervjuerna. Representationsformerna synliggjordes på olika sätt. Dels genom att lärarna arbetade med en representationsform i taget och därmed byggde upp en synlig bro mellan de olika formerna men de kunde även arbeta med flera representationsformer i ett arbetssätt. Ett exempel på hur flera representationsformer står i relation till varandra var när en lärare arbetade med bild, mattespråk och räknehändelse som innehöll samtliga former. Lärarna motiverade sina val av representationsformer med att alla elever är olika och lär sig på olika sätt. Att eleven får möjlighet att arbeta med sina sinnen i undervisningen ökar chansen till förståelse. Därför är det viktigt att variera sin undervisning för att alla elever ska stimuleras och ha möjlighet att utvecklas. Ahlberg (2000) anser att när eleven får uppleva tal genom olika representationsformer och med hjälp av flera sinnen ökar elevens förståelse av talens innebörd. Bergsten, m.fl. (1997) påpekar också att olika representationsformer är viktigt i undervisningen för att eleven lär sig att beskriva och se samband av ett begrepp på flera olika sätt. Varje representationsform visar sin del av ett begrepp, genom att använda sig av flera i undervisningen belyses fler vinklar och därmed blir det mer tydligt för eleven. Det leder i sin tur till en ökad förståelse. Skolverket (2011:b) skriver om att sinnen är viktiga och att arbeta med olika arbetssätt för att utveckla en förståelse men att det enbart krävs ett sinnen hos varje elev som tillslut utveckla kunskap för den abstrakta matematiken. Skolverket (2011:c) belyser därmed vikten av att arbeta med olika arbetssätt och flera representationsformer för att alla elever är olika och lär sig på olika sätt. Dewey anser även att bilder, symboler och laborativt material utvecklar en 32

34 förståelse och ett lärande inom matematikens värld. Även han belyser vikten av att involvera sinnena i undervisningen (Lundgren, Säljö & Liberg, 2010). Laborativt material Det laborativa materialet är en representationsform som användes i alla fyra lärares undervisning. Materialet var en stor del i undervisningen även att arbetssätten skiljde sig åt. Motiveringen till att laborativt material användes var en väg för att eleven skulle skapa inre bilder i huvudet, att eleven kunde se lärarens tanke med hjälp av material, känna och flytta material som därmed gör det abstrakta begreppet synligt för alla elever. Genom att använda material i undervisning skapas det möjligheter för eleven att undersöka och göra egna upptäckter. Materialet är en byggsten i bron över till den abstrakta matematiken. Ahlström (1996) beskriver laborativt material som en byggkloss från konkret till abstrakt matematik. Alla lärarna belyste vikten av att arbeta med olika laborativa material för att nå förståelsen hos varje eleven. En av lärarna motiverade det med att laborativt material användes regelbundet i undervisningen genom olika varianter. Eleverna är olika och därmed ser vägen till förståelsen olika ut. Läraren ansåg att eleven måste testa olika laborativa material för att hitta rätt material som i sin tur leder till förståelse och resulterar i att materialet blir konkret för eleven. Löwing och Kilborn (2002) belyser att det laborativa materialet i sig inte blir konkret och en hjälp till förståelse innan läraren har använt materialet på rätt sätt eller använt rätt material för eleven. Det är lärarens undervisning som gör det laborativa materialet förståligt för eleven inte materialet i sig. Några av lärarna belyser hur viktig användningen av laborativt material i undervisningen är och en problematik angående elevens förståelse kan uppstå om materialet plockas bort för tidigt. Enligt Bruner (1966) poängterar han vikten av att ett material ständigt finns till hands för eleven, för att befästa och utveckla ny kunskap från ett tidigare begrepp som eleven har förståelse för till ett nytt begrepp. Omvärldssituationer Tidigare erfarenheter och innehåll som finns runt varje elev i sin vardag är enligt alla lärare en viktig del att ha med i undervisningen. Enligt lärarna är omvärldssituationer ett arbetssätt som kan hjälpa eleven på vägen till förståelsen. Motiveringarna till varför omvärldssituationer ska finnas med är att när en koppling mellan elevens vardag sker i undervisning finns redan en förståelse för vad området kommer att handla om. På så sätt är det lättare att ta eleven vidare till nästa steg. Det handlar även om att skapa motivation och väcka elevens intresse när ämnet är relaterat till något eleven känner igen. En annan motivering som lärarna har till varför elevens vardag ska involveras i undervisningen är att eleven ska känna meningsfullhet till området, veta varför eleven ska lära sig ett visst begrepp och hur det kan komma till användning i deras vardag. Dewey anser att en koppling mellan skolan och samhället ska finnas för eleven ska känna en meningsfullhet till lärandet (Sundgren, 2005). Vygotskij lyfter i sin teori att när ett lärande sker ska elevens tidigare erfarenheter ligga till grund för att en optimal kunskapsutveckling ska ske (Säljö, 2005). Löwing och Kilborn (2002) anser att erfarenheter gör att eleven befäster tankeformer lättare. Ett exempel kan vara att använda mynt och exempel från affären i undervisningen. Eleven får lättare att sätta ord och förstå innebörden av vad det är som sker när läraren kopplar samman material tillsammans med erfarenheter från elevens vardag. I intervjuerna tog några av lärarna upp vikten av att arbeta utomhus med eleverna. Lärarna ansåg att det blev en varierande undervisning där varje elev hade möjlighet att 33

35 få miljöombyte och röra sig på ett större område. Det blev därmed ett arbetssätt att arbeta med på vägen till det abstrakta. Lärarna belyste att elever som har svårt att sitta still i klassrummet kan gynnas av att undervisas i utomhusmiljö. Olsson och Forsbäck (2006) tar upp att ett klassrum utomhus är en plats eleven har anknytning till från tidigare erfarenheter vilket kan vara positivt för kunskapsinlärningen. Genom att vistas utomhus ges eleven möjlighet att utforska, upptäcka och arbeta fritt med naturens laborativa material. Alla elever lär sig olika och naturen öppnar upp för ett annat arbetssätt som kan vara en byggkloss på vägen till förståelsen. Bild Bild är ytterligare en representationsform som är ett arbetssätt hos alla fyra lärare. Några lärare poängterar vikten att använda sig av bilder i undervisningen. Lärarna anser att bilder många gånger kan vara tydligare än det skriva alternativ talade språket att förstå. Bilder som användes i observationerna hade olika uttryck, det kunde visas som ett fotografi eller enbart med prickar eller streck. De olika varianterna kunde vara två steg på vägen till det abstrakta där prickarna var ett steg närmre det abstrakta. Bruner (1966) anser att bilden ska komma efter att läraren har arbetat med material eller aktivitet som är erfarenhetsanknuten. Det för att elevens utveckling ska gå från en lättare nivå till en lite mer abstrakt värld som ändå fortfarande är kopplade till det laborativa materialet alternativ erfarenheten på bilden. Rydstedt och Trygg (2005) anser att streck och prickar är steget efter bilden från verkligheten. Det är steget närmre det abstrakta precis som en av lärarna också visade i sin undervisning. Språket Att språket är grunden för matematikundervisningen var alla lärarna tydligt överens om i undersökningen. De beskriver språket som en stor byggsten i bron till det abstrakta. Samtliga lärare arbetade med att tala matematik i klassrummet, att tala matematik handlar om att prata, lyssna och förstå. Ahlström (1996) skiljer på det talade och skrivna språket. Vygotskij uttrycker sig i sin teori att språket är något människorna har gemensamt och blir därmed ett viktigt redskap för att en utveckling ska ske (Säljö, 2005). Precis som det står skrivet i Skolverket (2011:a) anser lärarna att låta eleverna kommunicera i matematikundervisningen är viktig för att koppla de olika representationsformerna samman. Att därmed förstår hur det hör ihop och dess relation till varandra genom språket gör att eleverna kan utbyta ett lärande med varandra. Talade språk Precis som Olsson och Forsbäck (2006) skriver påpekar två av lärarna att det talade språket är viktigare än det skrivna. Alla lärarna anser att när eleven kan sätta egna ord på sina inre bilder och tankar så har det abstrakta blivit konkret för eleven. Därför är det viktigt att eleverna får möjlighet att diskutera och samtala med varandra under lektionerna. Genom samtal byter eleverna erfarenheter och kunskap med varandra. Lärarna tar upp vikten av att använda sig av öppna frågor som ett arbetssätt. Genom intervjuerna kom även de öppna frågorna upp som ett sätt att arbeta med elevens tankar. Tankarna är ett språk. Eleven får en chans att sätta ord på sina tankar och beskriva hur de tänker. De öppna frågorna har inga rätta svar och det gör att läraren lättare kan förstå elevens tankebanor. Processen till svaret är viktigare än själva svaret i sig. Ett exempel kan vara att en elev förstått uppgiften med hjälp av sina inre tankar men att uträkningen blivit fel. Det kan kopplas till Vygotskij som påvisar att varje människa bär på två språk, ett inre och ett yttre. Det inre hjälper till att strukturera tankar och funderingar i huvudet så att eleven kan använda sitt yttre språk för att uttrycka kunskaper verbalt till sig själv och andra (Säljö, 2005). 34

36 En av lärarna påpekar också att som lärare ska du vara tydlig i ditt talade språk när du undervisar och att du som lärare tar ner språket på elevens nivå för att de ska kunna skapa sig en förståelse. Malmer (2002) hävdar vikten av att läraren använder sig av två språk i undervisningen. Ett exempel kan vara att läraren använder sig av både termen addera och vardagsspråket lägga till för att ett matematiskt begrepp ska befästas. Skrivet språk Några lärare tar upp att eleven ska få möjlighet att skriva språket på två olika sätt. Dels genom siffersymboler men även genom att uttrycka sig med bokstäver. Genom observationerna synliggjordes att alla lärarna arbetade med det skrivna språket på olika sätt. Det kunde vara genom räknehändelse där både siffror och bokstäver kom till uttryck, forma siffror i en skrivbok eller uttrycka sig med siffror och bokstäver i matematikboken. Löwing och Kilborn (2002) uttrycka sig genom att när eleverna kan sätta ord på sina tankar som i exempelvis siffror eller bokstäver blir det en byggkloss till förståelsen. Avslutningsvis poängterar Skolverket (2011:c) vikten av att använda sig av olika representationsformer för att skapa möjligheter för samtliga elever att nå målet som varje arbetsområde har. Målet med att arbeta med olika arbetssätt säger lärarna är att eleven ska skapa inre bilder i huvudet. När dessa bilder och tankar framkallats har en förståelse skapats för det eleven inte hade förståelse för tidigare. Olsson och Forsbäck (2006) anser att när eleven kan uttrycka sig med ord har inre bilder och tankar skapats som resulterar i att eleven har utvecklat en förståelse för den abstrakta matematiken. 35

37 7 Diskussion 7.1 Metoddiskussion Vårt arbete utgick från att undersöka hur lärarna arbetar med övergången mellan konkret och abstrakt matematik och vilka olika arbetssätt som tillämpades. Vi ville även veta hur lärarna motiverade sina val av arbetssätt när de arbetade med övergången. Vi valde att utgå från en teoretisk del och en empirisk del i vår undersökning. Den teoretiska delen är baserad på tidigare forskning som är relevant för vår studie inom matematiken. Vi är medvetna om att forskningen är stor inom området och därför har vi försökt att plocka ut och välja det som är mest centralt för vårt arbete. Den empiriska delen utgick från observationer och kvalitativa intervjuer. Vi valde att arbeta med två datainsamlingsmetoder för att se flera perspektiv och synvinklar av studien, vilket gör att vi får en högre validitet i vårt arbete. Vi anser att vi har fått ut bra material genom att observera fyra lärare vid ett arbetstillfälle var. Flera arbetssätt synliggjordes och med hjälp av intervjuerna kompletterades alternativ motiverades tidigare arbetsgång och lärarna berättade hur en fortsättning med arbetsområdet skulle se ut. Det gav oss en grundligare information av hur många arbetssätt som undervisningen innehöll under ett arbetsområde. Det vi har diskuterat i efterhand är att en högre validitet hade skapats om vi hade kunnat följa samtliga fyra lärare under ett helt arbetsområde. Det hade gett oss en mer korrekt bild av hur lärarna arbetar under hela området. Vid tidigt skede i arbetet, innan datainsamlingarna skulle införskaffas diskuterade vi om lärarna skulle arbetade med olika arbetsområden eller om lärarna skulle arbeta med samma område när vi skulle observera dem. Eftersom vårt syfte med undersökningen var att finna olika broar till förståelse av skilda arbetsområden gjorde vi valet att titta på fyra olika arbetsområden. Det anser vi i efterhand har varit ett bra val som gett oss förståelse för hur olika broar kan se ut vid olika arbetsområden. Det gjorde att vägen till förståelse inte begränsades till ett specifikt område inom matematiken. Under observationerna var vi två personer som observerade läraren. Genom att vi utgick från ett förberett observationsschema höjer det reliabiliteten i vår undersökning. Eftersom att vi var två personer som fokuserade på att observera samma utgångspunkter, ledde det till att vi kunde jämföra, tolka och diskutera varandras resultat. Vi valde att göra kvalitativa intervjuer, vilket vi ansåg var ett bra val eftersom att vårt syfte uppnåddes väl. Vi kunde endast göra en observation av varje lärare på grund av begränsad tid, därför blev en kvalitativ intervju avgörande för hur väl vi kunde förstå lärarens arbetsgång samt motivering till olika arbetssätt. Vi anser att val av antal lärare var relevant för vår undersökning. Vårt urval i undersökning utgick från fyra lärare som tidigare var bekanta för oss. Fördelen med det ansåg vi var att intervjuerna blev mer avslappnade både för oss intervjuare och för läraren. Vilket i sin tur kan ha bidragit till djupare svar i frågorna. Vi tror att det också gjorde att lärarna skapade ett större engagemang och intresse till vårt arbete, vilket kan ha lett till väl genomförda lektioner och intervjuer. Det höjder därmed validiteten i vår undersökning. En nackdel kan vara att vi redan hade en bild av att lärarna hade ett stort intresse till matematikundervisningen och vi trodde att de skulle ge 36

38 oss bra material för vår undersökning. Hade vi däremot slumpat vårt urval bland olika skolor och lärare hade resultat troligtvis skiljt sig. Relationen till lärarna har kunnat påverka vår reliabilitet i undersökningen. Intervjuguiderna som vi utgick från valde vi att presentera vid intervjutillfället för att vi ansåg att det skulle ge mer trovärdiga svar. Hade vi istället skickat ut frågorna innan intervjutillfället tror vi att vår reliabilitet inte hade blivit lika stor. Lärarna hade kunnat ta reda på svar de tror är korrekta via böcker och datorer, vilket i sin tur hade resulterat i en mindre trovärdig studie. Samtliga intervjuer valde vi att spela in för att efter kunna transkribera. Det resulterade i att vi i efterhand noggrant hade möjlighet att tolka och ta del av all information som delgavs under intervjuerna. Nackdelen kan vara att läraren känner ett obehag för att spela in intervjun som i sin tur kan leda till mindre välformulerade och genomtänkta svar. Vi är nöjda med våra observationer och intervjuer. De har gett oss goda möjligheter till att undersöka och besvara vårt syfte. Validiteten av arbetet anser vi är god och så även reliabiliteten. Det innebär att arbetet är trovärdigt utefter de förutsättningar och datainsamlingar som genomförts. Däremot visar inte undersökningen en generell bro för alla verksamma matematiklärare, utan vi begränsade det till fyra lärare. Dock kunde vi genom två datainsamlingsmetoder och urval se generella mönster hos samtliga lärare vid val av arbetssätt och motiveringar. De fyra lärarna, tillsammans med tidigare forskning har visat relevanta och goda arbetssätt för att ge eleven möjlighet att förstå matematiska begrepp som tidigare endast varit okända begrepp. 7.2 Resultatdiskussion Vi anser att utifrån våra undersökningar har vi fått fram ett resultat som är användbart för vårt framtida yrke. Vårt syfte var som vi beskrev tidigare i diskussionen, att utforska hur lärare arbetar med olika broar från konkret till abstrakt matematik och motiveringar till val av de olika arbetssätten i bron. Genom vår teoretiska bakgrund i studien har vi fått en bredare och djupare förståelse i arbetsområdet vi har valt. Vi anser att det är ett spännande ämne som inte har något rätt eller fel utan är något som ska anpassas individuellt inför varje klass och elev. Det har inneburit att området är ständigt i fokus under samtliga matematiklektioner. Det har också medfört att urval av litteratur har fått begränsas och genom våra frågeställningar har vi försökt avgränsa och enbart fokusera på relevant litteratur för vårt arbete. I ett tidigt skede av vår studie hade vi svårt för att skilja mellan konkret och laborativt material. Vi har fört många diskussioner för att komma fram till vilket begrepp vi ska använda oss av i vårt arbete. Efter att vi fördjupat kunskaperna från litteratur och tidigare forskning har vi skapat oss en förståelse som har kunnat särskilja begreppen åt. Allt material som används i undervisningen är ett laborativt material tills dess att eleven har byggt upp en förståelse för det okända begreppet. När en förståelse har byggts upp blir materialet istället konkret. Vi har i efterhand diskuterat om det har någon betydelse för undervisningen om läraren kan skilja på de två begreppen. Vi anser att det finns många andra, mer betydelsefulla faktorer för om läraren ger eleven möjlighet till förståelse än de här två begreppen. Det vi i alla fall vill lyfta som positivt är om läraren skiljer begreppen åt är att det gör läraren medveten om att allt laborativt material inte hjälper eleven till förståelse. Det lärare söker i användingen av ett laborativt material är 37

39 att hitta ett material som gör att eleven kan bygga upp en förståelse av okända begrepp. Det resulterar i att laborativa material därmed blir konkreta. Om lärare är medvetna om skillnaden mellan laborativt och konkret kan lärare använda sig av ett mer genomtänkt och varierande material för att varje elev ska finna vägen till förståelse. Vi har utifrån observationerna och intervjuerna sett generella mönster hos de fyra lärarna som innebär att bron ska innehålla ett varierande arbetssätt. Lärarna anser att alla elever är olika och behöver därmed få möjlighet att arbeta med olika arbetssätt för att nå en förståelse. Det resulterar i att varje bro är individuell, olika lång och läraren behöver därför anpassa sin undervisning därefter. Trots att lärarna har olika långa erfarenheter inom läraryrket, arbetar på olika skolor i olika kommuner samt åldersskillnader visar studien på samtycke om detta. Att resultatet är samstämmigt skulle kunna bero på vårt urval, även det gemensamma mönstret skulle kunna generaliseras hos fler verksamma lärare, dock är det inget vi kan bevisa genom vårt arbete. Däremot ser vi det positivt att lärarna är eniga och arbetar mot samma mål. När vi nu blickar tillbaka på de olika arbetssätten som har använts i undervisningen har vi uppmärksammat att samtliga arbetssätt är kopplade till en alternativt flera representationsformer. Det innebär att undervisningar bygger på de fem olika formerna som flera teorier lyfter som centrala i en matematikundervisning. Därmed kan alla de olika arbetssätten som vi har uppmärksammat i observationerna och intervjuerna kopplas till representationsformerna som ligger till grund för varje elevs bro över till förståelse. Ett annat viktigt resultat som har synliggjorts via teorin samt undersökningarna är att ett mål inom matematikundervisningen är att sträva mot att skapa inre bilder hos varje elev genom olika arbetssätt. Det här är något vi anser är viktigt att lyfta i vår diskussion eftersom att slutet av bron består av att en elev har förstått och när en elev har förstått har inre bilder och tankar skapats längst med bron. Därmed har vi lärt oss och förstått betydelsen av att varje elev får möjlighet till att utforska, pröva, kommunicera och tillämpa matematiken i olika situationer för att utveckla en förståelse. Som tidigare nämnts i vår teoridel men även i analysen kopplades vårt resultat till två alternativa broar. Vi har kommit fram till att vägarna ser olika ut för alla, vilket även de teoretiska broarna gör. Det finns ingen bro som kan spegla att den ger den bästa förståelse, utan varje elev har en egen bro att arbeta med och den ser därmed olika ut för alla. Att individanpassa matematikundervisningen är något vi bär med oss ut i vårt yrke. Det de båda teoretiska broarna belyser är att representationsformerna ska användas i olika varianter på vägen till det som är abstrakt för eleven. Bruners (1966) tre stegs metod kunde vi se i alla fyra observationer och vi anser att det är en användbar metod i matematikundervisningen. Däremot efter avslutad studie har vi kommit fram till att Rystedt och Tryggs (2006) fyra stegs metod kan vara en länk till att ännu fler elever når förståelsen av ett abstrakt begrepp. Det är ett steg som skiljer Bruner och Rystedt och Trygg åt i dess broar. Rystedt och Trygg tar upp betydelsen av det som är halvabstrakt, vilket innebär att uttrycka sig med en informell symbol som inte är kopplat till en specifik bild. Att bara använda sig av streck eller ringar. Detta steg synliggjordes endast i en observation och intervju vilket skulle kunna innebära att det är ett steg som inte tar stor plats i dagens matematik undervisning. Vi har diskuterat om det är ett steg som är viktigt i undervisningen. Vilken betydelse har det halvabstrakt steget i undervisningen egentligen? Symboler som inte är kopplade till en bild hos eleven som exempelvis streck och prickar. Vi vill därmed belysa det som viktigt att inte hoppa över detta steg 38

40 som lärare. Eftersom att det finns en problematik i att se kopplingen mellan de olika representationsformerna och kanske där av skulle det halvabstrakta steget kunna hjälpa några fler elever att utveckla en förståelse. Vi är dock medvetna om att Bruners modell är mer vetenskapligt grundad än Rystedt och Tryggs, vilket innebär att Bruners blir mer trovärdig. Ett annat resultat som är intressant i bron till det abstrakta är hur de olika representationsformerna visas i undervisningen. Några av lärarna använde sig av laborativt material som endast var ett material och kopplade i nästa steg ihop det med en bild som inte innehöll någon annan representationsform. Några av lärarna använde sig däremot istället av ett laborativt material som samtidigt visade en annan representationsform som exempelvis tärningen som är ett laborativt material men visar en symbol eller bild. Vi har diskuterat om användningen av olika representationsformer, om de används enskilt eller i kombination med varandra kan påverka elevernas förståelse på ett negativt eller positivt sätt. Vi har funderat på om användningen av flera representationsformer samtidigt i ett tidigt stadie av bro kan skapa förvirring hos eleven. Att istället använda sig av varje enskild representationsform i taget tills att eleven har börjat befästa kunskapen skulle ge en lättare förståelse. Däremot är det fortfarande viktigt att koppla samman varje enskild representationsform med varandra på ett tydligt sätt för att belysa dess relationer och för att se tydliga kopplingar exempelvis (bilaga D). Dock har vi hela tiden med oss som vi tidigare nämnt att alla elever lär sig olika, vilket innebär att det finns inget som är rätt för alla elever. Genom observationerna och intervjuerna använder alla lärare sig av ett matematiskt och vardagligt språk i sina undervisningar både verbalt och skrivande. Men något som förvånade oss däremot vid intervjuerna var när lärarna skulle presentera de olika arbetssätten som de använde sig av i bron. Det var att samtliga lärare inte uttryckte språket som ett arbetssätt men när frågan i slutet av intervjun ställdes gällande språket betydelse i undervisningen ansåg alla lärare att språket är en av de viktigaste delarna för att kunna förstå matematik. Det tycker vi visa att språket tas för givet i undervisningen och används inte som ett arbetssätt men däremot kunde vi se i alla observationerna hur språket genomgående var ett arbetssätt och som tog mycket plats på vägen till målet. Att som lärare fundera över språket som används i undervisningen kan hjälpa fler elever till förståelse. Svaret från lärarna kan också bero på att vi inte var tillräckligt tydliga i våra frågeställningar kring arbetssätt som tillämpades. 7.3 Slutdiskussion Genom vår teori samt observationer och intervjuer kan vi efter avslutad studie dra följande slutsatser. Det är viktigt som lärare att arbeta med ett varierande arbetssätt. Lärare ska välja material utifrån lektionens syfte. Lärare ska inte glömma bort att använda sig av streck och ringar i undervisningen, det halvabstrakta steget. Lärare ska sträva efter att varje elev ska ges förutsättningar till att skapa inre bilder. Varje elev ska få möjlighet att aktivera flera sinnen i undervisningen. Det är viktigt som lärare att vara medveten om att det inte finns en rätt bro att utgå från, utan undervisningen ska anpassas till varje elev samt varje elevgrupp. Studien vi har arbetet med har gett oss nyblivna matematiklärare flera nya synvinklar på hur eleven kan nå den abstrakta matematiken med förståelse. Även att vi inte har löst 39

41 hur alla elever skapar en förståelse till alla okända begrepp eller hur den rätta bron ska se ut så har vi lärt oss tillräckligt mycket för att vara öppna inför nya tankesätt och synvinklar till att hjälpa så många elever som möjligt. Det finns inte ett rätt svar i vår studie utan många rätt svar. Det handlar därmed för oss som lärare att tillämpa alla alternativ vi har fått med oss av arbetet och använda det i undervisningen på bästa sätt. Att finna flera olika broar och kunna hjälpa så många elever som möjligt till förståelse. Avslutningsvis kan vi sammanfatta vårt arbete med ett kinesiskt ordspråk som lyder på följande sätt; Jag hör och jag glömmer, jag ser och jag minns, jag gör och jag förstår (Konfucius, f.kr). Ordspråket har genom vårt arbete bevisats att det stämmer eftersom det har bevisats genom forskning och vår undersökning att med hjälp av konkret material samt aktiviteter bidrar det till en förståelse hos eleven. Att nå förståelse är målet i matematiken. Ordspråket kan därmed kopplas till betydelsen av att arbeta med olika sinnen, som därmed bidrar till ett varierande arbetssätt i undervisningen för att sinnena ska simuleras hos varje elev. 40

42 Referenser Ahlberg, Ann & Wallby, Karin (2000). Matematik från början. 1. uppl. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs Universitet. Ahlström, Ronny (red.) (1996). Matematik - ett kommunikationsämne. 1. uppl. Mölndal: Institutionen för ämnesdidaktik, Göteborgs Universitet. Bergsten, Christer, Häggström, Johan & Lindberg, Lisbeth (1997). Algebra för alla. 1. uppl. Mölndal: Institutionen för ämnesdidaktik, Göteborgs Universitet. Björklund, Camilla & Grevholm, Barbro (2012). Lära och undervisa matematik: från förskoleklass till åk 6.1. uppl. Stockholm: Norstedt Bryman, Alan (2002). Samhällsvetenskapliga metoder. 1. uppl. Malmö: Liber ekonomi Bruner, Jerome S. (1966). Toward a theory of instruction. Cambridge, Mass.,: Belknap Pres Eriksson, Karl Henrik (1996). Om barns förmåga att bilda begrepp. I: Ahlström, Ronny (red.) (1996). Matematik - ett kommunikationsämne. 1. uppl. Mölndal: Institutionen för ämnesdidaktik, Göteborgs Universitet. Hammar Chiriac, Eva & Einarsson, Charlotta (2013). Gruppobservationer: teori och praktik. 2. uppl. Lund: Studentlitteratur Hwang, Philip & Nilsson, Björn (2003). Utvecklingspsykologi. 2., rev. uppl. Stockholm: Natur och kultur Häger, Björn (2007). Intervjuteknik. 2., [omarb. och uppdaterade] uppl. Stockholm: Liber Johansson, Bo & Svedner, Per Olov (2010). Examensarbetet i lärarutbildningen. 5. uppl. Uppsala: Kunskapsföretaget Kvale, Steinar & Brinkmann, Svend (2009). Den kvalitativa forskningsintervjun. 2. uppl. Lund: Studentlitteratur Lundgren, Ulf P., Säljö, Roger & Liberg, Caroline (red.) (2010). Lärande, skola, bildning: [grundbok för lärare]. 1. utg. Stockholm: Natur & kultur Löwing, Madeleine (2006). Matematikundervisningens dilemman: hur lärare kan hantera lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2002). Baskunskaper i matematik: för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur Malmer, Gudrun (2002). Bra matematik för alla: nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. 2. uppl. Lund: Studentlitteratur Nationalencyklopedin. [Bd] 37, (2013). Malmö: NE Nationalencyklopedin hämtat från: ( ). 41

43 Olsson, Ingrid & Forsbäck, Margareta (2008). Alla kan lära sig matematik. 1. utg. Stockholm: Natur & Kultur Olsson, Ingrid & Forsbäck, Margareta (2006). Utematte för meningsfullt lärande: förskoleklass - skolår 3. [Västerås: Ingrid Olsson] Rystedt, Elisabeth & Trygg, Lena (2005). Matematikverkstad: en handledning för att bygga, använda och utveckla matematikverkstäder. 1. uppl. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet Rystedt, Elisabeth & Trygg, Lena (2010). Laborativ matematikundervisning: vad vet vi?. 1. Uppl. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs universitet Tillgängligt på Internet: (131204) Skolverket (2011a) Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm: Skolverket Skolverket (2011b) Laborativ matematik, konkretiserande undervisning och matematikverkstäder: en utvärdering av matematiksatsningen. Stockholm: Skolverket Tillgänglig på Internet: (131115) Skolverket (2011c) Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (2011c). Stockholm: Skolverket Sundgren, Gunnar (2005). John Dewey reformpedagog för vår tid? I: Forssell, Anna (red.) (2005). Boken om pedagogerna. 5., [rev. och utök.] uppl. Stockholm: Liber Szendrei, J. (1996). Concrete materials in the classroom International handbook of mathematics education. Dordrecht: Kluwer. Säljö, Roger (2005). L.S Vygotskij forskare, pedagog och visionär. I: Forssell, Anna (red.) (2005). Boken om pedagogerna. 5., [rev. och utök.] uppl. Stockholm: Liber Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet 42

44 Bilaga A Observationsmall Material i klassrummet Material i undervisningen Lärarens språk i undervisningen Vilka olika representationsformer och arbetssätt synliggörs i unde I

45 Vilka olika arbetssätt och representationsformer synliggörs i undervisningen Klassrumsmiljö Övriga reflektioner Bilaga B Intervjuguider II

46 Bilaga B Intervjuguide A 1. Vad är laborativt material för dig? 2. Vad är konkret material för dig? 3. Hur skulle du beskriva abstrakt matematik? 4. Hur ska du arbeta som lärare med eleverna för att de ska nå vägen och skapa en bro till den abstrakta matematiken med förståelse? 5. Hur motivera du dina val av arbetssätt utifrån bron? 6. Motivera varför du som lärare ska arbeta utifrån ett varierande arbetssätt i matematikundervisningen? 7. Hur motivera du ditt val av material som användes i undervisningen? 8. Hur motivera du valet av ordningen på det laborativa materialet? 9. Hur skulle du arbeta vidare med detta område? 10. Har språket någon betydelse i undervisningen? Intervjuguide B 1. Vad är laborativt material för dig? 2. Vad är konkret material för dig? 3. Hur skulle du beskriva abstrakt matematik? 4. Hur ska du arbeta som lärare med eleverna för att de ska nå vägen och skapa en bro till den abstrakta matematiken med förståelse? 5. Hur motivera du dina val av arbetssätt utifrån bron? 6. Motivera varför du som lärare ska arbeta utifrån ett varierande arbetssätt i matematikundervisningen? 7. Hur har du introducerat området tidigare? 8. Motivera ditt val till varför du väljer att arbeta med en elev istället för en vanlig våg? 9. Motivera ditt val av att eleverna skulle få redovisa sitt arbete? 10. Motivera ditt val av ordning med representationsformerna? 11. Har språket någon betydelse i undervisningen? Intervjuguide C 1. Vad är laborativt material för dig? 2. Vad är konkret material för dig? 3. Hur skulle du beskriva abstrakt matematik? 4. Hur ska du arbeta som lärare med eleverna för att de ska nå vägen och skapa en bro till den abstrakta matematiken med förståelse? 5. Hur motivera du dina val av arbetssätt utifrån bron? 6. Motivera varför du som lärare ska arbeta utifrån ett varierande arbetssätt i matematikundervisningen? 7. Hur har du introducerat begreppet hälften tidigare? III

47 8. Motivera ditt val till varför du väljer du valde att använda dig av bilderna äpple, hjärta och pepparkaksgubbe? 9. Hade du en tanke med varför du skrev begreppet hälften på tavlan först? 10. Hur hade du kunnat arbeta vidare med detta begrepp? 11. Motivera ditt val av ordning på arbetssätten? 12. Har språket någon betydelse i undervisningen? Intervjuguide D 1. Vad är laborativt material för dig? 2. Vad är konkret material för dig? 3. Hur skulle du beskriva abstrakt matematik? 4. Hur ska du arbeta som lärare med eleverna för att de ska nå vägen och skapa en bro till den abstrakta matematiken med förståelse? 5. Hur motivera du dina val av arbetssätt utifrån bron? 6. Motivera varför du som lärare ska arbeta utifrån ett varierande arbetssätt i matematikundervisningen? 7. Hur har du arbetat med geometriska former tidigare? 8. Hur motivera du ditt val av material? 9. Hur skulle du arbeta vidare med detta område? 10. Motivera arbetssättet som var när eleverna fick arbeta i par? 11. Har språket någon betydelse i undervisningen? IV

48 Bilaga C Missivbrev Hej! Vi är två lärarstudenter som heter Julia Humble och Sofie Pettersson. Vi läser vår sista termin inom lärarprogrammets tidiga år på Linneuniversitetet i Växjö. Just nu håller vi på att skriva vårt examensarbete inom matematik. Arbetet heter Från kottar till siffror och vi vill undersöka hur lärare arbetar med övergången från det konkreta till det abstrakta. Vi har valt två metoder som kommer ligga till grund för vårt arbete som utgår från att vi ska observera och intervjua. Observationerna kommer genomföras i fyra stycken årskurs 1:or vid ett tillfälle var, för att därefter göra en intervju med varje klasslärare. Vi skulle vara tacksamma om just du som lärare och din klass skulle vilja medverka i vårt arbete inom matematik. Det skulle vara till stor hjälp för oss i vår undersökning. Er medverkan innebär i så fall att vi kommer ut vid ett tillfälle till dig och din klass för att observera din matematikundervisning. Vi önskar även göra en intervju med dig som lärare gällande din syn på matematikundervisning. Ni kan närsomhelst under processens gång avbryta er medverkan. Allt vi ser, intervjusvaren och alla slutsatser vi dra kommer vara sekretessbelagda. Det innebär att varken skolans namn eller ditt namn som lärare kommer att synas i vårt arbete och allt insamlat material kommer förstöras när studien är färdig. Ytterliggare information angående tider för besök diskuteras när bekräftelsen om er medverkan har inkommit. Vid frågor gällande observationen eller intervjun får ni gärna kontakta oss eller vår handledare Margareta Carlsson. Som tack för er medverkan skickar vi i mån av intresse vårt färdigställda examensarbete. Tack på förhand. Med vänliga hälsningar Julia Humble och Sofie Pettersson Ps. Skicka gärna en bekräftelse till någon av våra mail-adresser snarast möjligt för att sedan lämna svarsformuläret som finns på nästkommande sida vid eventuellt besök. Ds V

49 Jag godkänner att ni kommer ut, observera min matematikundervisning och därefter intervjuar mig som lärare. JA NEJ Underskrift Namnförtydligande VI

50 Bilaga D Elevexempel: VII

51 VIII

52 Fakulteten för teknik Kalmar Växjö Tel Lnu.se/fakulteten-for-teknik IX