Strålningsfält och fotoner. Kapitel 24: Elektromagnetisk strålning

Transkript

1 Strålningsfält och fotoner Kapitel 24: Elektromagnetisk strålning

2 Elektromagnetisk strålning De fyra kompletta Maxwells ekvationerna ger en fullständig beskrivning av elektriska och magnetiska fält i rymden Vi saknade ännu en del av den fjärde ekvationen, Amperes lag. Vi såg att Faradays lag uttryckte sambandet mellan ett varierande magnetiskt fält och en inducerad ström Kunde det vara så, att ett varierande elektriskt fält skulle på motsvarande sätt ge upphov till ett magnetfält? 2

3 Ampere-Maxwell lagen Om vi tillämpar Amperes lag på en krets med en kondensator, kommer vi att stöta på ett problem. Enligt Amperes lag är B dl = μ 0 I_innuti Om vi väljer integrationskurvan och ytan som på bilden, går det ingen ström genom ytan, så enligt det skulle vi ha B dl = 0. 3

4 Om vi däremot väljer en yta som kurvar utåt lite som på bilden nedan, får vi ett annat resultat. Nu går strömmen i ledningen genom integrationsytan, och enligt det borde vi alltså ha B dl = μ 0 I Vi får en motsägelse. Vilket är det rätta svaret? 4

5 Vad saknas från Amperes lag? Enligt Biot-Savarts lag ges magnetfältet kring en lång ledning av B = μ 0 2I 4π r Det här är ungefär magnetfältet där vi har ritat kurvan, eftersom kondensatorn utgör endast ett mycket litet brott i ledningen. Då får vi: B dl μ 0 4π 2I r 2πr = μ 0I Detta stämmer överens med det senare resultatet, men vi har ett problem med Amperes lag... 5

6 Varierande elektriskt fält Lösningen fås genom att inse parallellen med ett varierande magnetfält. I kondensatorn har vi ett varierande elfält, eftersom fältet växer i styrka då kondensatorn laddas. Maxwell gissade att detta varierande elfält kunde ge upphov till magnetfältet runt kondensatorn. Analogt med Faradays lag gissar vi att tidsförändringen av elektriska flödet i ett område är relaterat till integralen av magnetiska fältet runt det området. 6

7 Varierande elektriskt flöde Elektriska flödet gavs av uttrycket Φ e = E nda Kondensatorn på bilden har ett elfält parallellt med n och med styrkan Q /ε A 0. Utanför kondensatorn är elfältet ungefär noll. Detta ger: Φ e = Q A cos 0 = Q Aε 0 ε 0 7

8 Tidsderivatan av Q får vi genom att inse att laddningen ΔQ som flödar till kondensatorn under tiden Δt är lika med IΔt. Då är dq dt = I Och vi får: dφ e dt = d dt Q ε 0 = I ε 0 8

9 Ampere-Maxwell lagen Vi kan nu skriva Ampere-Maxwell lagen: B dl = μ 0 I innuti + ε 0 dφ e dt Lagen gäller i båda situationerna vi tidigare ritade med kondensatorn. Den gäller också i helt allmänna fall, t.ex. för en integrationsyta som på bilden till höger. 9

10 Maxwells lagar (i integral form) Gauss lag för elektricitet: E n da = q inne ε 0 Gauss lag för magnetism: B n da = 0 Faradays lag: E dl = d dt B nda Ampere-Maxwells lag: B dl = μ 0 I innuti + ε 0 d dt E nda 10

11 Elektrisk och magnetisk kraft För en fullständig beskrivning av sambanden mellan elektricitet och magnetism behöver vi, förrutom de fyra Maxwells ekvationerna, också Lorentz ekvation för krafterna som elektriska och magnetiska fält utövar på laddningar: F = qe + qv B (df = Idl B för strömmar) 11

12 Propagerande fält Vi har nu allt vi behöver för att beskriva elektromagnetisk strålning Vi har sett att ett varierande elektriskt fält ger upphov till ett magnetiskt fält Ett varierande magnetiskt fält i sin tur ger upphov till ett elektriskt fält Kunde dessa existera tillsammans utan laddningar eller strömmar i närheten, utan att bryta mot Maxwells ekvationer? 12

13 Elektromagnetiska vågekvationen Vi skall nu härleda den elektromagnetiska vågekvationen med hjälp av Maxwells lagar. (Vi avviker här från behandlingen i boken. Det följande baserar sej på Kai Nordlunds anteckningar för Elektromagnetism I.) I den elektromagnetiska vågen finns inga källor: I = 0 och q = 0 Faradays lag och Ampere-Maxwells lag ger då E dl = dφ m dt B dl = μ 0 ε 0 dφ e dt (3) (2) 13

14 14

15 15

16 Elfältets vågekvation får man liknande magnetfältets, då man multiplicerar ekv. (6) med / t och ekv. (7) med / x: Här är 1 με = v2, vilket ger hastigheten för den transversella vågen 2 E t 2 = 1 με v = 2 E x 2 1 με = λf där λ är våglängden och f är frekvensen för vågen. En naturlig lösning till vågfunktionerna ges av de trigonometriska funktionerna, för deras andra derivata är ju samma funktion. 16

17 17

18 Andra lösningar till vågfunktionen De trigonometriska funktionerna utgör inte den enda lösningen till vågfunktionen, men den är den vanligaste Vilken som helst vågform som består av korta pulser av varierande magnitud skulle också uppfylla ekvationerna T.ex. en fyrkantsvåg 18

19 Strålning Elektromagnetiska vågens hastighet v visar sej vara precis ljusets hastighet v = c = m/s Ett oscillerande elektriskt och magnetiskt fält som fortplantas i tid och rum kallas elektromagnetisk strålning Strålningen indelas enligt dess frekvens Radiovågor (våglängderna kan vara kilometerlånga) Mikrovågor Infrarött ljus Synligt ljus (våglängder mellan nanometer) Ultraviolett ljus Röntgen strålning Gammastrålning (pikometerlånga våglängder) 19

20 Det elektromagnetiska spektret 20

21 Accelererande laddningar Elektromagnetisk strålning produceras av accelererande laddningar Betrakta en stationär laddning q, som får en liten spark neråt och fortsätter sedan med konstant hastighet En observatör i punkt 2 ser till en början fältet från den stationära laddningen, eftersom perturberingen framskrider med ändlig fart. Först efter en tid t = r/c ser observatören på avståndet r från laddningen ett transversiellt fält. 21

22 Strålningens och fältens riktning Det transversiella elfältet åtföljs av ett transversiellt magnetfält Magnetfältet pekar utåt från pappret till höger om laddningen och innåt till vänster (för retarderad rörelse skulle det peka åt andra hållet). (Då laddingen fortsätter med konstant hastighet finns dessutom det vanliga Biot-Savart fältet innanför den expanderande ringen av strålning.) Den elektromagnetiska strålningens riktning ges av E B 22

23 Härledning av det radiativa elfältets styrka kap 24.11* 23

24 Magnituden av det transversella elfältet Elfältets styrka ges av E rad = 1 qa 4πε 0 c 2 r Styrkan avtar som 1/r vilket är mycket långsammare än det vanliga fältet från stationära laddningar, som avtar enligt 1/r 2 Av denna orsak ser vi t.ex. stjärnor på mycket långa avstånd Märk att om laddningen är negativ pekar alla fält i dessa bilder åt andra hållet, men strålningsriktningen är densamma. 24

25 Varför är atomer stabila? Som vi just sett avger en accelererad laddning elektromagnetisk strålning Detta innebär ett energiflöde Elektronerna som ligger i accelererad rörelse kring atomkärnan borde alltså avge energi, och därmed förlora sin egna rörelse energi Hur kommer det sej att atomer då är stabila?! Lösningen till paradoxen ges av kvantmekaniken: Endast vissa energinivåer är tillåtna, och det finns en lägsta energinivå under vilken en partikel inte kan gå. En partikel i lägsta energinivån kan inte stråla, medan en partikel i en högre nivå kan emittera strålning, och gör det också, samtidigt som den hoppar till en lägre energinivå. 25

26 Sammanfattning En stationär laddning ger upphov till ett 1/r 2 elfält men inget magnetfält. En laddning i konstant rörelse ger upphov till ett 1/r 2 elfält och ett 1/r 2 magnetfält. En accelererad laddning ger förrutom dessa också upphov till elektromagnetisk strålning med ett 1/r elfältskomponen och ett 1/r magnetfältskomponent 26

27 Kontinuerlig strålning En laddning som får en spark ger upphov till en strålningspuls En laddning i svängningsrörelse (sinusvåg) ger upphov till kontinuerlig strålning 27

28 Sinusvågen Laddningens position ges av y = y max sin(ωt) För strålningen får vi då v y = dy dt = ωy max cos(ωt) a y = dv y dt = ω2 y max sin ωt E y = 1 qa y 4πε 0 c 2 r = 1 qω 2 y max 4πε 0 c 2 r sin(ωt) 28

29 Amplituden ger höjden på vågen Perioden T är tiden det tar för en svängning Frekvensen är antalet vågkrön som passerar per tid, eller m.a.o. inversen av perioden f = 1/T Våglängden är avståndet mellan två vågkrön λ = ct = c/f Hastigheten kan ses som hastigheten av ett vågkrön v = λ T = λf 29

30 Polariserad strålning I polariserad strålning är det oscillerande elektriska fältet (och därmed också magnetfältet) riktad åt endast ett håll Vanligt solljus, eller ljuset från en vanlig glödlampa, är opolariserat, för det uppkommer från en mängd oscillerande laddningar som oscillerar åt olika håll. 30

31 Energi och rörelsemängd i strålning Elektromagnetisk strålning innehar både energi och rörelsemängd, och kan överföra dessa till materia. Betrakta en stationär laddning fäst i en fjäder, som utsätts för en puls av elektromagnetisk strålning, Säg d = 30cm. Laddningen upplever en kraft F = qe under den korta tiden Δt = d/c Δp = p 0 = FΔt = (qe) d c Den tillförda kinetiska energin blir då ΔK = K 0 p2 2m = qe d c Alltså är strålningsenergin E m 31

32 Energidensitet Vi hade tidigare att energidensiteten i elektriska och magnetiska fält ges av Energi Volym = 1 2 ε 0E μ 0 B 2 För elektromagnetisk strålning är E = cb, så Energi Volym = 1 2 ε 0E μ 0 E c 2 = 1 2 ε 0E μ 0 ε 0 c 2 = ε 0 E 2 eftersom μ 0 ε 0 = 1/c 2 Elektriska och magnetiska energidensiteten är lika stora 32

33 Poynting vektorn Energi densitet är relaterat till energi flöde, dvs. hur mycket energi som flödar genom en yta Enheten är J/sm 2 eller W/m 2 På tiden Δt kommer en volym A cδt att passera ytan A. Mängden energi som passerar denna yta i samma tid är då ε 0 E 2 (AcΔt) och energiflödet är ε 0 E 2 c Eftersom E = cb och μ 0 ε 0 = 1/c 2, kan vi skriva energi flödet = ε 0 EBc 2 = 1 μ 0 EB 33

34 Energiflödet ligger i riktningen av strålningen, dvs i riktning av E B E och B är vinkelräta mot varandra så E B = EB Vi kan nu definiera Poynting vektorn S som ger energiflödet i elektromagnetisk strålning S = 1 μ 0 E B 34

35 Strålningstrycket Som vi såg tidigare påverkas en laddning av en kraft från elfältet i elektromagnetisk strålning Så fort laddningen sätts i rörelse påverkas den också av en kraft från magnetfältet enligt qv B Oberoende av laddningens tecken kommer denna kraft att vara riktad till höger, och kallas strålningstrycket 35

36 Rörelsemängden En laddad partikel som utsätts för e-m strålning kommer inte att få en netto rörelsemängd vinkelrät mot strålningen, eftersom elfältet kommer att omväxlande accelerera partikeln i motstående riktningar Däremot kommer rörelsemängden i strålningens rikting, orsakat av magnetfältet, att öka Rörelsemängdsflödet ges av S c = 1 μ 0 c E B eftersom energi och rörelsemängd för fotonen (och alltså strålningen) är relaterade till varandra enligt den relativistiska formeln E = pc 36

37 Rörelsemängden och energin bevaras Eftersom strålning överför energi och rörelsemängd till materia, borde dessa minska från strålningen, ty totala energin och rörelsemängden måste bevaras Den oscillerande laddningen ger själv upphov till strålning (i nästan alla riktningar), och slutresultatet är minskad strålning i ursprungliga riktningen 37

38 Strålningens effekt på materia Strålningstrycket, som orsakas av magnetiska fältet, är en mycket liten effekt Största effekten av strålning på materia kommer av elektriska fältets inverkan på de laddade partiklarna i atomerna I det följande kommer vi att fokusera på elektriska fältets inverkan på materia, och försumma magnetiska fältets effekter 38

39 Effekten på en neutral atom En neutral atom består av en positivt laddad kärna och negativt laddade elektroner Elektriska fältet i en strålningspuls ger en spark åt sidan åt dessa laddade delar De negativa elektronerna får en spark åt motsatt håll från den positivt laddade kärnan Resultatet är att atomen blir polariserad 39

40 Radiosändare En radiosändare fungerar med ett oscillerande elektriskt fält, som sätter elektronerna i antennen i rörelse Dessa oscillerande laddningar producerar elektromagnetisk strålning, som kan plockas upp av en antenn, då elektronerna i antennen försätts i rörelse 40

41 Polariserare Man kan polarisera ljus t.ex. med en skiva speciell plast, som används i polaroid solglasögon Långa molekyler ligger radade åt samma håll, och elektroner är fria att röra sej längs med en molekyl Ljus som är polariserat i riktning av molekylerna förlorar energi till elektronoscillationerna som sätts igång längs molekylen Ljus som är polariserat vinkelrätt mot molekylerna förlorar inte energi, och passerar därför skivan 41

42 Ljus som är polariserat i mindre än rät vinkel till en polarisator kommer att passera delvis Den komponenten av ljuset som är vinkelrät mot polarisatorn passerar, den parallella komponenten passerar inte På detta sätt kan man svänga på polariseringen med en andra polarisator 42

43 Resonans Vi tänker oss igen en laddad partikel fäst på en fjäder Då strålning passerar partikeln försätts den i rörelse med kraften qe max sin(ωt), som tvingar den att oscillera med samma frekvens Hur stor oscillationen blir beror på hur nära denna frekvens är till partikel-fjäder systemets fria oscillationsfrekvens, dvs hur systemet skulle oscillera i fri rörelse Som analogi kan man tänka sej hur man ger fart åt en gunga 43

44 Fenomenet heter resonans, och har många viktiga följder Elektromagnetisk strålning med mycket hög frekvens, f = ω/2π ungefär hertz, påverkar starkt molekylerna i ögats näthinna, och man ser ljus. Däremot har synligt ljus inte stor effekt på en radio. Strålning med en frekvens kring hertz påverkar starkt elektronerna i metallen i en radioantenn, som därmed kan plocka upp radiovågor. Dessa däremot påverkar inte dina ögon (eller din hjärna där bredvid mottagaren). Genom att ställa in mottagaren att resonera till en viss frekvens kan man plocka upp en radiokanal i sänder. Mycket hög frekvens röntgen strålning påverkar endast svagt kroppens celler, och passerar därför utan större effekt på kroppen 44

45 Ljus genom ett medium Då ljus färdas genom ett medium är situationen med komplicerad än genom ett vakum. Elektriska och magnetiska fälten i strålningen växelverkar med de laddade partiklarna i materialet, som kan bli accelererade och i sin tur utskicka strålning Den slutliga strålningen vi mäter utgörs av superpositionen av all strålning, både den ursprungliga och den som orsakas av de accelererade partiklarna 45

46 Vågfront Med en vågfront menas en uppsättning vågkrön som alla emitterats samtidigt. Cirklarna på bilden markerar vågfronter. För att förenkla bilden ritar man oftast endast ut vågfronterna, som i nedre bilden. 46

47 Planvåg Vågfronterna från en oscillerande laddning är sfäriska, men långt ifrån källan ser de planära ut, och kan approximeras med en planvåg. Med plan i detta fall avses det plan som beskrivs av E och B vektorerna. Planet ligger vinkelrätt mot färdriktningen. Strålning som färdas i en viss riktning beskrivs ofta enklast som en stråle, och ritas som en linje i färdriktningen. 47

48 Superposition Då de laddade partiklarna i ett material accelereras utskickar de egen strålning, och summan, dvs. superpositionen, av all den strålning kan vara mycket komplex. Bilden illustrerar strålning genom ett fast ämne. De gråa prickarna representerar atomer, de blåa kurvorna illustrerar vågfronterna i den inkommande strålningen, och de röda kurvorna illustrerar strålningen från atomerna. Totala fältet i en godtycklig punkt utgörs av summan av alla de enskilda fälten i den punkten. 48

49 Ogenomskinliga material (eng. opaque) En möjlig följd av superpositionen är att den totala amplituden blir noll, då vågkrön och vågdalar i olika vågor ligger precis på varandra. I detta fall kommer ingen strålning att komma ut från andra sidan materialet. Detta kallas destruktiv interferens, och i det fallet är materialet ogenomskinligt. Denna egenskap beror på strålningens våglängd. t.ex en paffskiva är ogenomskinlig för synligt ljus, men penetreras nog av mikrovågor (orsaken till varför man kan värma fryst mat i mikron direkt i paffkartongen) 49

50 Genomskinligt (transparent) material I genomskinliga material kommer den inkommande strålningen och re-emitterade strålningen att förstärka varandra. Detta kallas konstruktiv interferens. Konstruktiv interferens kan leda till förändringar i våglängden och hastigheten med vilken strålningen färdas genom materialet. 50

51 Brytningsindex I vanliga genomskinliga material kommer superpositionen att leda till strålning som färdas långsammare genom materialet. Strålningens frekvens f = v/λ förblir oförändrad, vilket betyder att våglängden måste bli kortare inne i materialet. Brytningsindex, eller refraktionsindex, n definieras som förhållandet mellan vågfrontens hastighet i vakum c och vågfrontens hastighet i materialet v. n = c v Brytningsindex för några vanliga material (Wikipedia) 51

52 Refraktion Refraktion är ljusstrålars brytning vid övergången mellan två ämnen med olika brytningsindex. Då strålning träffar ett material med högre brytningsindex, kommer vågfronterna att bli närmare varandra. Om strålen träffar i en vinkel kommer detta att resultera i en förändring i riktningen, dvs. ljuset bryts. Dessutom kan en del av strålningen reflekteras, eftersom atomerna i materialet strålar i alla riktningar. 52

53 Snells lag Man kan härleda ett förhållande mellan strålens brytning vid ytan av två material och vågens hastighet i de två materialen. Från de två orangefärgade trianglarna på bilden ser vi att sin θ 1 = v 1T d sin θ 2 = v 2T d Då T/d är samma för båda trianglar får vi sin θ 1 = sin θ 2 v 1 v 2 53

54 Vi kan skriva det tidigare förhållande med hjälp av brytningsindex n sin θ 1 c/n 1 = sin θ 2 c/n 2 Vi kommer då till Snells lag: n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 Här är n 1 och n 2 är brytningsindex för de två materialen, och θ 1 och θ 2 är vinkeln mellan normalen till ytan och den inkommande respektive utgående strålen. 54

55 Totalreflektion Totalreflektion är ett fenomen, då ljusstrålar reflekteras i en gränsyta mellan två optiska medier med olika optisk täthet, dvs. olika brytningsindex. Om en stråle kommer från ett optiskt tätare material, finns vid tillräkligt stor infallsvinkel inget utrymme för en bruten stråle i det optiskt tunnare materialet, och allt ljus reflekteras tillbaka från ytan. 55

56 Då en stråle färdas från ett optiskt tätare material till ett optiskt tunnare, bryts strålen så att vinkeln till normalen blir större. Denna vinkel kan dock högst bli 90 grader, och från Snells lag kan vi då räkna ut gränsvinkeln θ c för totalreflektion: n 1 sin θ c = n 2 sin 90 θ c = arcsin n 2 n 1 En viktig tillämpning av detta fenomen är i fiberoptik, för t.ex. lång distans internet anslutningar. 56

57 Prisman Brytningsindex i de flesta material är inte samma för ljus av olika våglängder. Detta beror på hur ljus av olika våglängder växelverkar med de laddade partiklarna i materialet. Denna effekt kan man se i ett prisma, där ljus av olika våglängd böjs olika mycket, och man kan se färgerna som det vita ljuset består av. 57

58 Linser En konvex lins, eller samlingslins, konvergerande lins, bryter parallellt ljus innåt så att det samlas i fokus. Linsen är tjockast i mitten och smalnar utåt. Förstoringsglas använder sej av konvexa linser. En konkav lins, eller divergerande lins, är smalast i mitten, och kallas också negativ lins eller spridningslins. Den sprider ut parallellt ljus. Linjen genom mitten av linsen, vinkelrätt mot linsen, kallas axel. Linser kan också ha ytor som är böjda åt samma håll, antingen divergerande eller konvergerande. 58

59 Tunna linser En tunn lins bryter två parallella strålar till ungefär samma punkt. Avståndet f från linsen till denna punkt kallas linsens brännvidd (eng. focal length). Om vinkeln θ är mycket liten gäller 59 tan θ = y f θ tan 2θ = 2y f 2θ

60 Linsformeln Vi ser att brytningsvinkeln beror endast på avståndet y till huvudaxeln, θ y/f Strålens infallsvinkel påverkar inte brytningsvinkeln. Från bilden till höger är: α tan α = y d 1 Eftersom vinkelsumman i triangeln 60 är 180, har vi: β tan β = y d 2 y f = α + β = y d 1 + y d 2 1 f = 1 d d 2

61 Ovanstående härledning gäller alltså för små brytningsvinklar. Då vinklarna är små gäller den också för strålar som inte kommer precis från axeln. Linsformeln är nyttig för att analysera avbildningar med linser, vilket vi gör härnäst. 61

62 Reell (fysisk) bild En reell bild uppstår då strålar från en lysande punkt sammanbryts till en och samma punkt. Står man längre till höger från bilden ser det ut som om ljuskällan ligger till höger om linsen. Det finns inte en riktig ljuskälla i den högra punkten, men ljusstrålarna passerar punkten på riktigt, och lägger man en duk där ser man en bild av ljuskällan. 62

63 Virtuell (geometrisk) bild Alternativt kan det hända att strålarna divergerar ut ur linsen, som om de utgått från en punkt framför linsen. Det bildas då en virtuell bild, där inga strålar egentligen utgår från bildpunkten, men till höger om linsen ser det ut som om de gjorde det. Sätter man en duk i den punkten får man ingen bild. 63

64 Aberration Om brytningsvinklarna är stora gäller inte approximationen vi använde tidigare, strålarna bryts inte till samma punkt och det uppstår sfärisk aberration. Kromatisk aberration innebär att ljus av olika våglängder bryts olika mycket 64

65 Bilder av objekt En konvergerande lins kommer att ge en reell bild av ett föremål som är upp-och-ner vänt från det egentliga objektet. 65

66 Bildens läge Man kan bestämma bildens läge genom att rita ut strålarna som passerar linsen Två strålar är särskilt enkla att hitta Strålar parallella till linsens axel bryts till fokus, eller brännpunkten, på avståndet f från linsen Strålar genom mittpunkten av linsen (y = 0) bryts inte alls Där var strålarna korsar hittar man bilden 66

67 Bildens läge algebraiskt Man kan också hitta bildens läge med hjälp av linsformeln. Säg att man har en konvergerande lins i punkten < 0,0,0 > med en brännvidd f = 12 cm och axeln i x-axelns riktning. En sticka ligger 12,5 cm till vänster om linsen som på bilden Röda lampan ligger i punkten < 12.5,0,0 > och blåa i punkten < 12.5,1,0 > 67

68 Enligt linsformeln är då 1 12 = d d 2 = 300 cm 2 Röda lampan ligger på axeln, så bilden finns i punkten < 300,0,0 > y-koordinaten för blåa lampan får vi då vi vet att strålen genom linsens mittpunkt inte bryts, så = y y 2 = 24 cm Blåa lampan ligger i punkten < 300, 24,0 > Lampan ses förstorad 24 gånger. 68

69 Parallella strålar Ett specialfall av linsformeln har vi för parallella strålar Strålar från ett objekt mycket långt ifrån träffar linsen nästan parallellt. Då är d 1 mycket stort, och allstå är 1/d 1 nästan noll. Vi har då att 1 f = 1 d 2, eller m.a.o. f = d 2. Alla strålar samlas alltså i punkten på ett avstånd f från linsen, dvs. fokus. På motsvarande sätt kommer bilden från ett objekt i fokalpunkten att vara oändligt långt borta. 69

70 Tecken konventioner Följande tecken konventioner gäller för linsformeln: f är positiv för en konvergerande lins, negativ för en divergerande lins. d 1 mäts från ljuskällan till linsen, d 2 mäts från linsen till bilden. d 1 och d 2 är positiva om de mäts i samma riktning som ljusstrålarna färdas, negativa annars. Med dessa konventioner gäller linsformeln för alla kombinationer av linser, ljuskällor och bilder. 70