Tentamen i SG1216 Termodynamik för T2 den 27 augusti 2009

Transkript

1 Tentamen i SG116 Termodynamik för T den 7 augusti 009 Tid: Hela tentamenstiden kan fritt disponeras för de delar (kontrollskrivningar och/eller betygstentamen) som återstår. Tentamen består av 3 delar: Kontrollskrivning 1 Kontrollskrivning Betygstentamen Varje delskrivning som du gör ska lämnas in i ett separat omslag! För godkänt betyg på tentamen, vilket efter att samtliga obligatoriska moment avklarats ger slutbetyg på kursen, krävs endast godkänt betyg på de två kontrollskrivningarna. Detta motsvarar slutbetyg E, D eller, i enstaka fall, C. Notera att en eller båda kontroll-skrivningarna kan vara godkända redan tidigare. (Det är i regel inte meningsfullt att ägna tentamenstid åt en redan godkänd kontrollskrivning!) Det är tentandens eget ansvar att hålla reda på vilken/vilka kontrollskrivningar som redan är godkända! Betygstentamen är till för de tentander som antingen sedan tidigare eller under denna tentamen är/blir godkända på samtliga kontrollskrivningar och som aspirerar på högre slutbetyg än det som erhålls enbart från kontrollskrivningarna. Detta innebär bl.a. att det inte är möjligt, för den som inte är godkänd på samtliga kontrollskrivningar efter detta tentamenstillfälle, att spara resultat på betygstentamen till ett senare tentamenstillfälle. Mer information om kraven för att få slutbetyg i kursen redovisas nedan. Bedömning: Lösningarna på både kontrollskrivningarna och betygstentamen måste utgå från klart redovisade grundläggande fakta och/eller ekvationer. Som sådana räknas, om inget annat framgår explicit i problemtexten, bl.a. det som finns i Formelsamlingen men du måste hänvisa t.ex. till ekvationsnummer i denna. Du kan annars t.ex. nämna namnet på den princip du stöder dig på. Förutom att vara korrekt krävs av en lösning/svar att den är logiskt sammanhängande det får inte finnas luckor i argumentationen. Slutbetyg: För att erhålla slutbetyg i kursen måste de obligatoriska momenten Seminarieuppgifter (fem stycken), Projekt/Laboration samt två kontrollskrivingar vara godkända. För högre betyg krävs även att du gör betygstentamen. Vad slutbetyget blir finns redovisat på kurshemsidan under rubriken Betyg. Slutbetyget kan även bli Fx enligt denna skala. Detta är ett icke godkänt betyg men den som får detta har möjlighet att komplettera till slutbetyget E. Poänggränser för betyget Fx framgår av annan kursinformation. Den som får detta slutbetyg bör kontakta examinator snarast efter att slutbetyget är klart för att avtala när och hur denna komplettering ska genomföras. Om du inte har kontaktat examinator senast 8 september, 009, övergår betyget automatiskt till F, dvs. underkänt. Lycka till! Anders Dahlkild

2 Exam in SG116 Termodynamik för T August 7, 009 Time: The examination time is at your free disposal between the different remaining parts of the examination (KS1, KS and/or grade exam). The exam consists of 3 parts: Kontrollskrivning 1 Kontrollskrivning Grade exam Each part of the exam that you carry out should be returned in a separate cover! To pass the examination both KS1 and KS must be passed separately. If in addition to KS1 and KS all other compulsory parts of the course are passed you are entitled to a final grade E, D or possibly C. Note that one or both of KS1 and KS may be passed already before this examination. (It is usually not meaningful to use the examination time on KS1 or KS if it is already passed.) It is the responsibility of the student herself/himself to keep track of the record of passed tests (KS1, KS). The grade exam is for all students that already passed, or during the present exam will pass, KS1 and KS and aspire to a higher final grade than given only by passing KS1 and KS. You cannot save the result of this grade exam, should you have to pass KS1 and/or KS on a later occasion. More information on the requirements to get a final grade on the course is given below. Assessment: The presented solutions to the kontrollskrivningarna and the grade exam must originate from clearly showed basic facts and/or equations. Refer to the problem formulation, equation numbers in the Termo T conc or the name of the principle on which your solution builds. Except that the solution should be correct it is required to be logically coherent there must be nothing missing in the argumentation. Final grade: To receive a final grade for this course the compulsory parts Seminar exercises (five), Project/Laboration and two kontrollskrivningar (KS1, KS) must be passed. For a higher grade you are required to carry out the grade exam. The detailed requirements for higher grades are given on the course homepage under Betyg. The final grade can also be Fx. This is a nonpassing grade but it can be complemented to grade E. Limiting points for grade Fx are given on the course home page. If you get Fx as your final grade you should contact the examiner as soon as possible to agree on when and how this complement should be done. If you do not contact the examiner at latest September 8, 009, your grade will automatically be transferred into F, i.e. not passed. Good luck on the exam! Anders Dahlkild

3 Kontrollskrivning 1, SG116 Termodynamik för T 7 augusti 009, kl. 14:00 18:00 Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller formelsamling (typ Beta), miniräknare (som inte får innehålla information med direkt anknytning till kursen). Examinator: Anders Dahlkild Bedömning: Varje rätt löst/besvarad uppgift ger 1 poäng. I undantagsfall kan nästan rätt eller mycket goda försök ge 0,5 poäng. För godkänd kontrollskrivning krävs 3 poäng. 1. Betrakta luften i en cylinder som initialt befinner sig i samma jämviktstillstånd som den omgivande atmosfären T atm 5 C, p atm 100 kpa. En kolv i ena änden av cylindern minskar plötsligt cylindervolymen från det initiala värdet till 0,9 utan att någon luft läcker ut. Med bibehållen volym 0,9 tillåts sedan gasen i cylindern komma i jämvikt igen genom värmeutbyte med den omgivande atmosfären. Bestäm de slutliga värdena på tryck och temperatur för luften i cylindern och ange åt vilket håll värmeutbytet sker. Samtliga svar skall motiveras.. I en given process med expansion av luften i ett slutet system med massan m1 kg gäller approximativt att p~v. Temperaturen under expansionen ökar monotont med T10 K mellan begynnelse och sluttillstånd. Rita ett pv-diagram för processen och beräkna det arbete som gasen utför vid expansionen samt det värme som tillförs gasen. Gasen är luft och kan betraktas som en ideal gas med konstanta värmekapaciteter. 3. Antag att ett visst friluftskök vid atmosfärstryck värmer kg vatten från 0 C till 100 C på 10 minuter. Uppskatta hur lång tid det därefter tar för allt vattnet att koka bort till vattenånga om den värmeeffekt som tillgodogörs för uppvärmning och kokning är konstant. Fysikaliska data framgår av sid 8 i formelsamlingen. 4. Argongas (kemisk beteckning Ar) strömmar in i en adiabatisk turbin vid 900 kpa och 450 C och med hastigheten 80 m/s. Gasen strömmar ut vid 150 kpa och med hastigheten 150 m/s. Massflödet är 3,0 kg/s och turbinen utför s.k. axelarbete med effekten 50 kw. Beräkna gasens temperatur vid utloppet. Argon får antas uppföra sig som en ideal gas med konstanta cp och cv under de aktuella förhållandena. Molmassan för argon framgår av formelsamlingen appendix B över fysikaliska data på sidan Luft sugs in i en vakuumtank från den omgivande atmosfären. Insugning sker genom ett konvergent munstycke, som har sitt minsta tvärsnitt vid dess utlopp inuti vakuumtanken. Till vilket värde måste trycket i vakuumtanken sänkas för att massflödet genom munstycket och in i tanken ska vara så stort som möjligt? I den omgivande atmosfären är trycket 100 kpa och temperaturen 0 C. Please turn for an English version!

4 Kontrollskrivning 1, SG116 Termodynamik för T 7 augusti 009, kl. 14:00 18:00 You may use: Termo konc of Tony Burden, mathematical tables and a calculator (without information connected to this course). Examinator: Anders Dahlkild Assessment: Each correctly solved problem (out of 5) gives 1 point. In exclusive cases almost correct or good attempts may give 0,5 points. To pass the test 3 points are required. If there is any contradiction between these two versions it is the Swedish version that is valid! 1. Consider the air in a cylinder that initially is in the same equilibrium state as the surrounding atmosphere T atm 5 C, p atm 100 kpa. A piston in one end of the cylinder suddenly decreases the cylinder volume from its initial value to 0.9 without any leakage of air. At constant volume 0.9 the gas is then allowed to come into a new equilibrium state by heat exchange with the surroundings. Determine the final values of pressure and temperature of the air in the cylinder and state the direction of the heat exchange. All answers should be motivated.. For a given process with expansion of air in a closed system with mass m1 kg it holds approximately that p~v. The temperature during the expansion increases monotonically with T10 K between the initial and end states. Sketch a pv-diagram of the process and determine the work performed by the gas at the expansion and also the heat that is added to the gas. The gas is air and can be considered a perfect gas at constant specific heats. 3. Suppose a certain camping heater at atmospheric pressure heats kg of water from 0 C to 100 C in 10 minutes. Estimate the remaining time for the water to evaporate completely by boiling if the power used for heating and boiling is constant. Physical data are given on page 8 of Termo konc of Tony Burden. 4. Argon gas (chemical notation Ar) flows into an adiabatic turbine at 900 Pa and 450 C and at speed 80 m/s. The gas exits at 150 kpa with the speed 150 m/s. The mass flow is 3.0 kg/s and the turbine performs shaft work with the power 50 kw. Calculate the temperature of the gas at the exit. Argon can be considered a perfect gas at constant c p and c v during the present conditions. The molar mass of argon is given in Termo konc of Tony Burden, appendix B of Physical data on page Air flows into a vacuum tank from the surrounding atmosphere. The inlet is through a convergent nozzle, with its smallest cross section at the outlet inside the vacuum tank. To which value must the pressure in the vacuum tank decrease for the mass flow into the tank to be as large as possible? In the surrounding atmosphere the pressure is 100 kpa and the temperature 0 C.

5 Kontrollskrivning, SG116 Termodynamik för T 7 augusti 009, kl. 14:00 18:00 Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller formelsamling (typ Beta), miniräknare (som inte får innehålla information med direkt anknytning till kursen). Examinator: Anders Dahlkild Bedömning: Varje rätt löst/besvarad uppgift ger 1 poäng. I undantagsfall kan nästan rätt eller mycket goda försök ge 0,5 poäng. För godkänd kontrollskrivning krävs 3 poäng. If there is any contradiction between these two versions it is the Swedish version that is valid! 1. Betrakta kretsprocessen för en reversibel värmemotor som arbetar mellan två värmemagasin med konstanta temperaturer och utför nettoarbetet 3 kj under en cykel. Det bortförda värmet från arbetsmediet under en cykel är också 3 kj. Bestäm det varma magasinets temperatur om det kalla magasinet har temperaturen 15 C.. I en ideal Otto-kretsprocess startar kompressionsdelen av processen vid 98 K (ca.5 C). Den högsta tillåtna temperaturen utan att bränslet självantänder är 675 K. Bestäm motorns maximalt tillåtna kompressionsförhållande om bränslet inte skall självantända vid kompressionen. Arbetsmediet är luft och kan betraktas som en ideal gas med konstanta specifika värmekapaciteter. 3. En luft-luftvärmepump arbetar mellan utomhustemperaturen C och inomhustemperaturen 0 C med en värmefaktor på vp,3. Bestäm entropiproduktionen för processen i W/K om avgiven värmeeffekt från värmepumpen till inomhusluften är 3,6 kw. 4. Ett sfäriskt föremål faller vertikalt nedåt genom atmosfären. På en viss höjd observerar man dels att föremålets hastighet är ungefär konstant 350 m/s och dels att trycket och temperaturen i den omgivande atmosfären är 5 kpa respektive 0 K (gäller ca 10,5 km upp i atmosfären). Hur stort är trycket och hur stor är temperaturen i stagnationspunkten på detta föremål, relaterat till ett koordinatsystem som följer med föremålet? 5. Luft fylls på i ett tryckkärl som har volymen 600 liter. När tryckkärlet är fyllt är lufttrycket 600 kpa och temperaturen är 0 C. a) Hur stor är exergin i luften i tryckkärlet i en omgivning vid trycket 100 kpa och temperaturen 0 C? b) Temperaturen i både omgivningen och i luften i tryckkärlet sjunker därefter till 0 C samtidigt som trycket i omgivningen fortfarande är 100 kpa. Hur stor är nu exergin i luften i tryckkärlet? Omgivningen motsvarar det s.k. döda tillståndet. Notera att detta är olika i de två deluppgifterna!

6 Kontrollskrivning, SG116 Termodynamik för T 7 augusti 009, kl. 14:00 18:00 You may use: Termo konc of Tony Burden, mathematical tables and a calculator (without information connected to this course). Examinator: Anders Dahlkild Assessment: Each correctly solved problem (out of 5) gives 1 point. In exclusive cases almost correct or good attempts may give 0,5 points. To pass the test 3 points are required. 1. Consider the cycle of a reversible heat engine that works between two heat reservoirs with constant temperatures and performs a net work of 3 kj in each cycle. The heat discharged from the working medium in each cycle is also 3 kj. Determine the temperature of the warm heat reservoir if the cold heat reservoir has the temperature 15 C.. In an ideal Otto cycle the compression phase of the cycle starts at 98 K (5 C). The highest temperature allowed without self-ignition is 675 K. Determine maximum compression ratio allowed for the engine to work without self-ignition of the fuel during the compression phase of the cycle. Sketch the ideal Otto cycle in a pv-diagram and identify the compression phase. The working medium is air and can be considered a perfect gas with constant specific heat capacities. 3. An air-air heat pump works between the outdoor temperature C and the indoor temperature 0 C with a heat factor of vp.3. Determine the entropy production of the process in W/K if the rate of discharged heat from the heat pump to the indoor air is 3.6 kw. 4. A spherical object falls vertically down through the atmosphere. At a certain altitude one observes that its velocity is approximately constant 350 m/s and that pressure and temperature in the surrounding air is 5 kpa and 0 K respectively (at ~10.5 km above sea level). Determine the pressure and temperature in the stagnation point of this object, referred to a frame of reference following the object. 5. A pressurized vessel with volume 600 liter is filled with air. The filled vessel has air pressure 600 kpa and temperature 0 C. a) What is the exergy of the air in the vessel in a surrounding at pressure 100 kpa and temperature 0 C? b) The temperature of the air in the surroundings and in the vessel then drops to 0 C but the pressure of the surroundings is still 100 kpa. Now, what is the exergy of the air in the pressurized vessel? The surroundings correspond to the so called dead state. Note that this state is different in the two cases!

7 BETYGSTENTAMEN, SG116 Termodynamik för T 7 augusti 009, kl. 14:00 18:00 Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller formelsamling (typ Beta), miniräknare (som inte får innehålla information med direkt anknytning till kursen). Examinator: Anders Dahlkild Bedömning: Lösningen av dessa uppgifter bedöms antingen som godkänd (G) eller underkänd (U). För att få G måste du kunna redovisa en lösning som dels är i stort sett korrekt, dels inte strider mot någon grundprincip du ska kunna från denna eller tidigare kurser och dels redovisar ett djup i förståelsen för ämnet. 1. Ett slutet kärl med varierbar volym innehåller initialt 1 kg vatten vid 100 C och atmosfärstryck. Sedan tillförs värme under konstant temperatur. Vattenånga bildas och tillåts expandera fritt i kärlet vid samma konstanta tryck p atm. Beräkna massfraktionen och volymfraktionen av gas efter det att 11,3 kj värme tillförts. Densiteten för vattnets vätskefas vid kokpunkten kan antas vara 958 kg/m 3 och specifika volymen för vattnets ångfas är v g 1,67 m 3 /kg. Övriga fysikaliska data framgår av sidan 8 i formelsamlingen.. Visa att Clausius och Planks olika formuleringar av termodynamikens :a huvudsats är helt ekvivalenta. Du finner formuleringarna på sidan 7, avsnitt 1.5 i formelsamlingen. Rita gärna figurer som illustrerar beviset. 3. Strömningen i en Laval-dysa (konvergent-divergent dysa) sker utanför normala arbetsförhållanden, vilket resulterar i närvaron av en stationär stötvåg i den divergerande delen av dysan. Dysan, vars minsta sektion är 0. m, förses kontinuerligt med luft från en stor reservoar vid 400 kpa och 800 K. Machtalet just uppströms stötvågen är M Arean vid utloppet är 0.7 m. Beräkna dysans area vid stötvågens position och luftens temperatur vid utloppet. 4. Betrakta strömningen som beskrivs i uppgift 3 ovan. Med det givna döda tillståndet vid temperaturen 93 K och trycket 100 kpa, beräkna strömningsexergin för luften: a) i den stora reservoaren, b) i dysans minsta sektion, c) just framför stöten, d) i utloppet av dysan. e) Ge även en fysikalisk tolkning av strömningsexergin och kommentera ändringarna steg för steg via exergibudgeten.

8 GRADE EXAM, SG116 Termodynamik för T August 7 009, kl. 14:00 18:00 You may use: Termo konc of Tony Burden, mathematical tables and a calculator (without information connected to this course). Examiner: Anders Dahlkild Assessment: Your solution to these problems will be graded pass (P) or fail (F). To get P you must present a solution that, firstly, is over all correct, secondly, does not overrule any of the basic thermodynamic or physical principles that should be known to you from this or previous courses and, thirdly, shows a depth in the understanding of the subject. If there is any contradiction between these two versions it is the Swedish version that is valid! 1. A closed vessel with variable volume contains initially 1 kg of water at 100 C and atmospheric pressure. Then, heat is added under constant temperature. Water vapour is formed and is allowed to expand at the same constant pressure p atm. Calculate the mass fraction and volume fraction of water vapour as 11.3 kj of heat has been added. The density of liquid phase water at the boiling point is 958 kg/m 3 and the specific volume of the water vapour phase is v g 1,67 m 3 /kg. Other physical data are given on page 8 in Termo konc of Tony Burden.. Show that Clausius and Planks different formulations of the second law of thermodynamics are completely equivalent. You find the formulations on page 7, section 1.5 in Termo konc of Tony Burden. Feel free to draw figures that illustrate the proof. 3. A Laval nozzle (convergent-divergent nozzle) is operating under off-design conditions, resulting in the presence of a stationary normal shock wave in the diverging portion. A large reservoir containing air at 400 kpa and 800 K continuously supplies the nozzle, whose throat area is 0. m. The upstream Mach number of the shock is M The area at the exit is 0.7 m. Find the area at the location of the shock and the exit temperature of the air. 4. Consider the flow described in problem 3 above. With a given dead state at the temperature 93 K and the pressure 100 kpa, calculate the flow exergy of the air: a) in the large reservoir, b) in the throat of the nozzle, c) just before the shock wave, d) at the exit of the nozzle. e) Also, give a physical interpretation of the flow exergy and comment the changes step by step via the flow exergy budget.

9 Lösningar KS1 SG Det gäller att p atm mrt atm samt att p V mrt Vid ny jämvikt gäller dessutom att T T atm 5 C > p atm p V p 0,9 > p p atm 0,9 100 kpa 111 kpa 0,9 1: a h.s. > U Q W > Q < 0, d.v.s. systemet avger värme. 0 ty ideal gas <0 ty arb. tillförs vid kompressionen Numeriska värden på Q och W kan ej beräknas då vi inte vet i detalj hur processen går till. Det antyds i problemtexten att komprimeringen sker plötsligt, och möjligen adiabatiskt, men antagligen inte genom en reversibel process.. Givet : p konstant V, d.v.s. p p 1 V, och p p 1 V, där 1 och är begynnelse och sluttillstånd. Ideal gas : p 1 mrt 1, p V mrt V V p Arbetet : W 1 pdv 1 p VdV 1 V p V p 1 mrt J 1,44 kj 1: a h.s. > Tillfört värme : Q 1 U + W 1 mc v T + mrt / 1 717, J 8,6 kj 3. Givet : Uppvärmningstid t uppvärmning 10 min Värmeeffekt : Q Q uppvärmning mc T p t uppvärmning t J/s 1,4 kw Kokningstid : t kokning Q kokning Q mh fg Q s 39 s 54 min

10 4. Huvudsats 1 för en strömningsprocess ger att [h + 1 ] v q w axel Då turbinen i detta fall är adiabatisk (q 0) ger detta att h h 1 1 ( ) v v1 waxel h 1 1 Då gasen är ideal och c p konstant gäller för entalpin att h h 1 c p (T T 1 ) ( v v 1) Ẇ axel ṁ vilket ger att För argon gäller att T T 1 1 ( ) v c v1 Ẇ axel p ṁc p R R M ,94 J/(kg K) 08,16 J/(kg K) och då argon är en enatomig gas gäller att γ c p /c v 5/3 vilket nu ger att c p γr γ 1 (5/3) 08,16 (5/3) 1 J/(kg K) 50,4 J/(kg K) Utloppstemperaturen är alltså T 73 1 ( ) ,4 3,0 50,4 K K 547 K 5. Massflödet genom munstycket ökar då trycket i vakuumtanken sänks så länge som machtalet i munstyckets minsta tvärsnitt är < 1 och massflödet är som störst då machtalet i detta tvärsnitt är 1. Så länge som machtalet i munstyckets utlopp är 1 är trycket i detta tvärsnitt lika stort som trycket i vakuumtanken. Massflödet når alltså sitt maximala värde då trycket i vakuumtanken har sänkts till det värde som motsvarar trycket p, dvs. det tryck man har efter en isentropisk expansion från stagnationstillståndet, alltså trycket p 0, till machtalet M 1. Detta värde får man från isentropsambandet för p/p 0 vid M 1 och för luft (γ 1,40) är denna kvot p /p 0 0,58. Stagnationstrycket p 0 är i detta fall lika med trycket i den omgivande atmosfären varifrån luften som strömmar in i vakuumtanken kommer. Detta är givet till p kpa vilket ger att det sökta gränstrycket i vakuumtanken är p 0, kpa 5,8 kpa. 1

11 Lösningar KS SG Reversibel värmemotor (8.6) > Carnot 1 T min T max, > T max T min 1 1 Carnot Generell värmemotor (8.3) > W ut W ut 3 Q in Q ut + W ut ,5 Carnot > T max 1 T min 1 0,5, > T max (73+15) K 576 K. Vid start av kompressionen T 1 98 K Vid slutet av kompressionen kräv T < 675 K Kompressionen är adiabatisk och reversibel (9.14) > T 1 V max T min > T T max 1 > r V max < ,7 V min 98 T 1 V min 1 < 675 K 3. Givet : T kall C 75 K, T varm 0 C 93 K, vp Q varm 1: a h.s. > Q kall Q varm W in Q varm,3 (9.6) > Entropiproduktionen univ. S univ. S syst. 0 ty kretsprocess + S omg. 0 + Q varm T varm,0 kw Q kall 3,6,0 T kall Q varm W in,3, Q varm 3,6 kw kw/k 5 W/K

12 4. Ljudhastigheten på den aktuella höjden är a 1 γrt 1 1, m/s 97,3 m/s vilket ger att machtalet baserat på föremålets hastighet och denna ljudhastighet är M 1 v 1 a ,3 1,177 Sett från ett system fixt i föremålet är detta placerat i en homogen friström i vilken machtalet är M 1. Stagnationsströmlinjen måste passera genom en stöt på vägen till stagnationspunkten. Eftersom föremålet är rotationssymmetriskt (sfäriskt i detta fall) relativt friströmsriktningen måste stagnationsströmlinjen vara ortogonal mot denna stöt, dvs. denna strömlinjen passerar genom en s.k. rak stöt. Stagnationstrycket p 0,1 uppströms denna stöt får man från isentropsambandet för p 1 /p 0,1 vid machtalet M 1. Denna kvot är p 1 /p 0,1 0,4476. Vidare är givet att p 1 5 kpa. Stagnationstrycksförhållandet p 0, /p 0,1 över stöten får man från stötrelationen för denna kvot vid machtalet M 1. Denna kvot är p 0, /p 0,1 0,99479 där p 0, är det sökta trycket i stagnationspunkten på föremålet. Detta tryck blir p 0, p 0,/p 0,1 p 1 0, kpa 58,6 kpa p 1 /p 0,1 0,4476 För stagnationstemperaturen gäller att T 0, T 0,1 där T 0,1 kan beräknas från isentropsambandet T 1 /T 0,1 vid machtalet M 1. Denna kvot är T 1 /T 0,1 0,7899 där T 1 0 K är givet. Den sökta stagnationstemperaturen är alltså 5. Exergin ges av T 0, T 0,1 T 1 T 1 /T 0,1 0 0,7899 K 81,0 K A (E U 0 ) + p 0 (V V 0 ) T 0 (S S 0 ) där det allmänt gäller att E U + E pot + E kin. I detta fall är E pot + E kin 0 för luften i tryckkärlet. För luft (en ideal gas) gäller U U 0 mc v (T T 0 ) och p 0 V 0 mrt 0 Notera att V 0 här är den volym som kommer att upptas av luften i tryckkärlet då dess tillstånd (tryck och temperatur) är lika stort som i det döda tillståndet. Eftersom T T 0 i både deluppgift a) och b) blir U U 0 0 i detta fall. Vidare gäller för entropidifferensen att ] S S 0 m [c v ln TT0 + R ln VV0 m R ln V V 0 där det sista ledet följer av att T T 0. Eftersom V 0 är volymen för luften i tryckkärlet då denna nått det döda tillståndet så ger den ideala gaslagen att } p V m R T V p 0 T p 0 p 0 V 0 m R T 0 V 0 p T 0 p 1

13 där även här det sista ledet följer av att T T 0. Notera att massan m här är massan för luften i tryckkärlet och därmed lika i båda ekvationerna till vänster. Detta ger till slut att exergin i detta fall ges av A p 0 V m R T 0 m R T 0 ln p 0 p där massan m, eller snarare mr, kan beräknas från det i deluppgift a) givna tillståndet. Detta ger m R p a V a T a (detta ger även att massan m 4,81 kg). J/K 1,99 kj/k I både deluppgift a) och b) är V 600 liter. Trycket är p 600 kpa i deluppgift a) men i deluppgift b) är det enligt gaslagen T b p b p a T a 93 kpa 518 kpa Notera att massan m och volymen V för luften i tryckkärlet är lika stora i a) och b). Detta ger att exergin i deluppgift a) är ( A a , ln 100 ) J (1 1,79) J J 345 J och att exergin i deluppgift b) är A b , (1 1,645) J J 60 J ( 1 + ln 100 ) 518 Notera att både temperatursänkningen och den sänkning av trycket i tryckkärlet som följer av denna bidrar till att minska exergin. J

14 Lösningar betygstentamen 7 augusti Vid konstant tryck : Q mh m(h tvåfasblandning h f ) För blandning av vatten och vattenånga : h tvåfasblandning (1 x g )h f + x g h g h f + x g (h g h f ) där x g är massfraktionen av vattenånga. h fg > Q mx g h fg > x g Q mh fg 11, ,005 För blandingens specifika volym gäller : v tvåfasblandning (1 x g )v f + x g v g Volymfraktionen ånga i blandningen : y g 0,0051,67 0,995/ ,0051,67 0,89 x g v g x g v g v tvåfasblandning (1 x g )v f + x g v g. Se kurskompendiet avsnitt 7. eller kursboken Young & Freedman avsnitt Eftersom en stationär stötvåg enbart kan existera vid supersoniska förhållanden vet vi att det råder sonisk strömning i den minsta sektionen (halsen), och att A * A hals. Vi identifierar p 0 400kPa T 0 800K A hals A 1 0,m M 1,44 A utlopp 0,7m Notera att A är konstant fram till stöten, och att strömningen är isentropisk uppströms om denna. Isentroptabell vid M 1,44 ger A 1 A 1,5 så att arean vid stöten A 1 A,5 0, 0,5 m Stöttabell vid M 1,44 ger machtalet efter stöten M 0,518 (och p 0 p 01 0,53 Stagnationstrycket är konstant fram till stöten varför p 01 p 0 och därmed p 0 p 0 0, ,53 kpa 09, kpa.) Värdet på A ändras över stötvågen. Isentroptabell vid M 0,519 ger A A 0,766 så att A A 0,766 0,5 0,766 m 0,383 m Strömningen direkt efter stöten och fram till utloppet är isentropisk och A är åter konstant. Därför är A utlopp A utlopp A A utlopp 0,383 0,7 0,547 Förhållandena vid utloppet fås nu från isentroptabell vid A A 0,547 för den subsoniska grenen av tabellen, eftersom strömningen efter stöten är subsonisk. Detta ger T utlopp T 0 utlopp 0,978 Stagnationstemperaturen är konstant över stöten så att T 0 utlopp T 0. Därmed blir T utlopp 0, K 78 K

15 4. a) (a f ) reservoar h res h o + 1 v res 0 i reservoaren + g (z z ) res o 0 ty ingen nivåskillnad angiven T o (s res s o ) c p (T res T o ) T o c p ln T res Rln p res T o p o 1004,5 (800 93) ,5 ln ln 400 J/kg kj/k b), c) Då strömningen antas adiabatisk, q 0, reversibel, 0, och inget axelarbete utförs inses från strömningexergibudgeten (13.14) att strömningesexergin är konstant ända fram till stötvågen, d.v.s svaret i b) och c) är samma som i a). d) Då stagnationsentalpin h 0 h+0.5v är konstant över stötvågen finner man att ändringen av strömningsexergin över stötvågen är (a f ) -(a f ) 1 T o (s -s 1 ). Efter stötvågen och fram till utloppet sker ingen ändring av strömningsexergin, återigen enligt (13.14). (9.11) ger s s 1 s 0, s 0,1 c p ln T 0, p Rln 0, T 0,1 p 0,1 0 ty stagationstemperaturen är konstant över stöten 0,53 se extra information till lösning 3 inom parentes 87 ln(0,53) J/(kg K) 186 J/(kg K) T o (s s ) J/kg 54,5 kj/kg (a f ) utlopp (a f ) reservoar T o (s s ) ,5 kj/kg 75,5 kj/kg e) Strömningesexergin (a f ) reservoar representerar det största möjliga axelarbete per massenhet som idealt kan utvinnas ur luften i reservoaren. Då strömningen fram till stöten inte tar ut något axelarbete, inte tillför någon värme och dessutom är reversibel(approximativt) går ingenting förlorat, strömningsexergin är konstant. Genom stötvågen sker en irreversibel process (adiabatisk och utan axelarbete). I denna irreversibla process ökar luftens entropi vilket minskar den tillgängliga resursen för att utvinna arbete, strömningsexergin minskar. Efter stöten och fram till utloppet är förhållandena liknande de före stöten och inget går förlorat.