Forskning om tidig räkning och matematiksvårigheter

Transkript

1 Forskning om tidig räkning och matematiksvårigheter Här ges några glimtar från forskningsprojekt, där över 275 barn i åldern 3 7 år intervjuats innan de fått någon formell skolundervisning. Studierna presenteras av Elisabeth Doverborg, forskande förskollärare och Dagmar Neuman, forskande speciallärare, båda vid institutionen för pedagogik, Göteborgs universitet. Förskolebarns uppfattningar av matematikbegrepp ELISABETH DOVERBORG Att studera förskolebarns matematiska begreppsutveckling är relevant eftersom vi idag vet, att vissa lågstadiebarn har svårigheter att lära sig de fyra räknesätten. Marton och Neuman hävdar att cirka 85 % av förskolebarnen når den begreppsliga nivå som förutsätts för att lära sig räkna innan de börjar skolan men cirka 15 % av barnen gör det inte. Mot bakgrund av detta blir förskolebarns uppfattningar av matematiska begrepp av intresse. Förskoleverksamheten planeras av tradition oftast utifrån olika teman som lärarna själva väljer för en kortare eller längre tid. Vanligt förekommande är något från närmiljön, naturen, årstiderna, djur, klockan etc. Tanken är att inom ett tema arbeta med olika saker vilka tillsammans bildar en helhet. Temat kommer alltså att styra innehållet så att detta kan belysas utifrån olika ämnesområden. I förslaget till pedagogiskt program (Soc styr 1983) presenteras fem ämnesområden: språk, bild och form, ljud och rörelse, social omvärldsorientering samt naturorientering. Inom naturorienteringsblocket återfinns matematiska begrepp och om dessa skriver socialstyrelsen följande: Teknik/matematik, som omfattar enkla vardagsnära experiment, energi, elektricitet, grundläggande matematiska begrepp, längd, vikt, volym (sid 36)... Matematiska begrepp kan vidare utvecklas genom lek och arbete i förskolan bygglek, träslöjd, affärslek, matlagning och dukning samt genom mätning med naturliga mått. (sid 37) Förskollärarnas uppfattningar av matematiska begrepp I en intevjustudie (Doverborg, 1985) framkom att lärarna i förskolan till stor del kände sig osäkra på vad matematiska begrepp innebar och hur de skulle kunna arbeta med dessa. Lärarna ansåg att vad matematiska begrepp än är, så kommer de in automatiskt i allt vad man gör på förskolan så därför behöver man inte planera för dem. Men av tradition finns några teman som i regel behandlas under ett par veckor varje läsår, teman som lärarna ansåg kunde vara förberedande för matematik. Dessa teman är geometriska former, klockan, siffror eller affären. Det är alltså fråga om teman med mycket varierande innehåll. Dessutom framhöll samtliga lärare genomgång av almanackan som ett viktigt moment. Detta förekom på samtliga institutioner oavsett tema och ålder på barnen. Jag skall här återge senare delen av ett samtal från en samlingsstund då almanackan togs upp: Läraren: Vilket datum är det idag? Barnen: Tjugotre Läraren: Ja, den tjugotredje. Varför heter det den tjugotredje och inte tjugotre maj? Fredrik: Det låter konstigt Läraren: Ja och den tjugotredje är ett ordningstal. Är det någon av er som kan räkna 1 10 men inte 1, 2, 3, 4, 5 o s v till 10 utan ordningstalen. Tänk på almanackan. Pernilla: 2, 4, 6, 8, 10. Läraren: Vet du vad du gjorde nu? Du räknade varannan siffra, men jag menade att om det står en etta på almanackan då säger man inte ett utan... paus Samtal kring almanackan är vanligt förekommande med förskolebarn, något som i lärarnas medvetande är ett enkelt och vardagligt inslag i förskoleverksamheten, men som oftast utgör ett svårt inslag för förskolebarnen vilket framgår av den återgivna glimten från samlingsstunden.

2 Barnens uppfattningar av matematiska begrepp Under vårterminen 1985 intervjuade jag 54 förskolebarn, de flesta i 5 6-årsåldern. De fick titta på en almanacka där datumet var den 6:e juni. Jag bad barnen berätta för mig vilken siffra det stod och vilket datum det var. Samtliga barn visste att det var en sexa, men vad var datum för något? Barnens svar växlade från namn på dag, månad, årtal, en annan siffra till julkalendern. Det var endast två barn som visste att datum var den sjätte. Denna uppgift ansåg barnens lärare vara mycket enkel och samtliga lärare var helt säkra på att alla barn kunde läsa av både siffran och datumet. "För detta gör vi ju varje dag redan på småbarnsavdelningen" som en lärare sade. Men det är skillnad på att göra och att förstå. Pramling (1986) fann i sin intervjustudie med 5 6-åringar att efter temat "geometriska former" var det endast ett barn som kunde benämna de fyra grundformerna: cirkel, triangel, rektangel och kvadrat och just detta barn hade dessutom inte varit närvarande under temats genomförande. En annan uppfattning som lärarna hävdade var att förskolebarn ofta räknar föremål och benämner antal. Som kommentar till detta kan jag nämna att jag har genomfört 72 observationer av förskolebarns spontana tal i samband med olika aktiviteter i förskolan för att utröna hur ofta barnen räknade föremål och benämnde antal. Tre typiska aktivitetssituationer valdes: Fri lek som innehöll lek med olika material såsom byggklossar, lera, docklek, målning, pusselläggning, spelövningar etc. Samling som är ett tillfälle när lärare och barngrupp (eller del av denna) samlas och samtalar kring ett ämne, sjunger eller leker. Måltid där lärare och barn satt tillsammans och åt frukost eller middag. Vid observationstillfället noterades varje mening där barnen använde räkneorden som uttryck för ett exakt antal eller där barnen uppskattade en mängd som ej uttrycktes med räkneord. Uttryck för ett exakt antal var t ex när barnet sade "jag vill ha 2 äpplen". Ord som uttryckte uppskattning av en mängd var "jättestor, många, några, lika, lite, inget, alla, mest, fler, många mer, massor" etc. Vid de olika observationstillfällena varierade antal barn. Under den fria leken bestod grupperna av 2 9 barn där den stora gruppen var ett undantag. Däremot var den stora gruppen den vanligaste vid samlingen. Även vid måltiden fanns en variation i gruppstorlek. Den genomsnittliga tiden per observationstillfälle var för den fria leken 16,5 min, för samlingen 16 min och för måltiden 19 min. Genomsnitt av antal meningar innehållande kvantitativa ord per observationstillfälle visar på en skillnad mellan de olika aktivitetssituationerna. Vidare bör tilläggas att det genomsnittliga antalet meningar under fria leken var 157 till antalet per observationstillfälle, vilket innebär att var 26:e mening innehöll kvantitativa ord. Vid samlingstillfällena var det genomsnittliga totala antalet meningar 176 per observationstillfälle vilket innebär att var 22:a mening innehöll kvantitativa ord. Slutligen vid måltiderna var det genomsnittliga totala antalet meningar 184 per observationstillfälle vilket innebär att var 46:e mening innehöll kvantitativa ord. En skillnad kunde noteras både när det gäller antal meningar per tillfälle vid de olika aktivitetssituationerna och även avseende fördelning mellan exakt antal och uppskattning av en mängd. En möjlig tolkning skulle kunna vara att antalet meningar är högre vid samlingen beroende på lärarens styrning av samtalen och krav på att barnen skall ge exakta svar på hennes frågor. Kanske detta även förklarar övervikten av meningar innehållande exakt antal. Med avseende på fria leken finns det också en skillnad mellan exakt antal och uppskattning av en mängd. Här är det dubbelt så vanligt med exakt antal som med uppskattning av en mängd. Dessa situationer är utan lärarledning. Vid måltiden kan vi notera färre antal meningar per observationstillfälle. Däremot är skillnaden mellan exakt antal och uppskattning av en mängd inte lika stor som vid övriga situationer. Det är förvånande att den fria leken har lägst antal meningar per observationstillfälle, hälften mot vid samlingen, då just leken innehåller många tillfällen där det är möjligt att Tabell 1. Sammanställning av barnens spontana användande av exakt antal och uppskattning av en mängd vid olika aktivitetssituationer. Fri lek Samling Måltid Antal obs tillfälle Antal barn per tillfälle Genomsnittstid per obs tillfälle 16,5 min 16,0 min 19,0 min Genomsnitt antal meningar per obs tillfälle 6 8 4,1 Meningar innehållande exakt antal 4,1 6,5 2,6 Meningar innehållande uppskattning av en mängd 1,9 1,5 1,5

3 använda exakt antal och uppskattning av en mängd. Skillnaden mellan exakt tal och uppskattning av en mängd är vid måltiden inte lika stor som vid de andra aktivitetssituationerna, vilket tycks logiskt mot situationens bakgrund. Det tycks för barnen vara lika naturligt att säga "jag vill ha jättemånga..." eller "lite mer" som att säga "jag vill ha 10 köttbullar" eller "en sked till". Intervjustudie med förskolebarn Det blir intressant att intervjua förskolebarn då man får veta andra saker än då man observerar barnen. Vid observationen får man veta vad barn gör, inte vad de är förmögna till. I den intervjustudie som jag för närvarande genomför med förskolebarn i åldrarna 3 7 år har vissa frågor sin grund i Dagmar Neumans intervjustudie (Neuman, 1986). Detta för att kunna jämföra och se om det finns en utvecklingsgång i barnens sätt att tänka kring matematiska begrepp. "Att dela något" En uppgift består av att barnen får räkna upp 5 alternativt 9 enkronor, vilka vi sedan fördelar i två askar. Jag har då sagt: "Nu lägger vi 4 kronor i den ena asken, hur många har vi då kvar att lägga i den andra asken?" Naturligtvis får jag en mängd olika svar från barnen, både riktiga och felaktiga. Många av barnens svar liknar de svar som nybörjarna i Neumans studie avger. Jag vill här bara lyfta fram en svarstyp som var gemensam för båda våra studier och som gjorde oss fundersamma. Att fördela kronorna i två askar fick många barn att tänka på att dela, vilket för många barn betyder att dela rättvist/lika. Då jag lagt 3 kronor i den ena asken sade barnet att det är 3 kronor i den andra asken också. När jag frågade hur många kronor det var vi hade, kom deras svar snabbt, nio. Jag fortsatte och lade 5 kronor i ena asken och barnet sade då "det är 5 där, samma är det i den andra asken". Detta var ett mycket vanligt svar. För att få veta mera om barnens uppfattningar av att dela upp något gjorde jag följande. Barnen fick 7 russin som jag bad dem dela i två högar, en till dem själva och en till mig. Många barn tittade då på russinen och sade, "det går inte, det är inte lika många". En del barn bad därför att få ett russin till. Det allra vanligaste var att barnen lade russinen i två högar, och ett russin vid sidan. Vid frågan "hur många russinhögar har du?" sade barnen oftast "två det är 3 3 och den får inte vara med" om det resterande russinet. Några barn delade samtliga 7 russin mitt itu och fick på så vis 2 högar med 7 halva russin, så var det problemet löst. Av 34 barn i 4 7-årsåldern var det endast 9 barn som lade russinen i två högar med olika antal russin i varje hög, t ex 3 4 eller 2 5. Att fördela eller lägga något i två högar är för de flesta barnen något som innebär att det skall göras rättvist. I förskolan delas mat, frukt, leksaker etc upp, och då så att det blir lika mycket eller lika många, alltså rättvist. Innebörden i ordet "dela" kanske vore något som lärarna i förskolan skulle hjälpa barnen att förstå, att det dels innebär att dela upp något och att det dels kan göras på många sätt utifrån olika principer och inte enbart utifrån rättviseprincipen. Min tolkning av barnens svar blir att detta inte i första hand är ett matematiskt begreppsligt problem utan ett socialt/språkligt sådant. Slutord Förskolans tradition har aldrig inrymt de traditionella skolämnena, utan det har varit barnens lek som varit det dominerande inslaget. Detta skapar en konflikt hos lärarna så till vida att de tar avstånd från ett förskoleinnehåll där matematiska begrepp medvetet fokuseras, men samtidigt säger de att matematiska begrepp naturligt kommer in i allt. Matematiska begrepp finns där bara. Men detta räcker inte utan som lärare måste man se till att de lyfts fram och görs synliga för alla barn. Genom att arbeta med dem i vardagssituationer, i lek och inom temat kan de bearbetas inom förskolans tradition och behöver inte ses som enbart tillhörande den traditionella skolundervisningen. Vad som framkommit i min studie är att lärarnas och barnens uppfattningar inte stämmer överens. För att kunna utveckla barnens matematiska begrepp måste lärarna själva göra sig medvetna både om sina egna uppfattningar och om barnets. Att matematiska begrepp inte medvetet bearbetas i förskolan idag råder det enighet om. Att detta borde ske, och då med utgångspunkt i barnets föreställning, råder det inte någon tvekan om. Referenser Doverborg, E. Förskolebarns uppfattningar av matematik. Pedagogiska institutionen, Göteborgs universitet, /Manus/ Marton, F. & Neuman, D. Varför lär sig en del elever aldrig de fyra räknesätten? Anförande vid Matematik Biennalen i Jönköping, Neuman, D. Fackdidaktik. Volym 3. Lund: Studentlitteratur, /I tryck/ Pramling, I. Inlärning i barnperspektiv. Lund: Studentlitteratur, Socialstyrelsen: Förslag till pedagogiskt program. Stockholm: Liber, 1983.

4 Barnlogik och vuxenlogik DAGMAR NEUMAN "Hur många fingrar har du?" frågar jag Titti. Hon lägger upp sin vänstra hand och svarar direkt. "Fem". "Men på båda händerna då?" Titti räknar noga och svarar sedan: "Tio". Då emellertid en av anledningarna till att jag ställt dessa frågor är att jag vill veta om Titti känner till strukturen: = 10, fortsätter jag att fråga: "Hur många fingrar har du på den handen?" och sedan "Hur många har du på den då?" Titti säger direkt att hon har fem på den första handen, men sedan sitter hon tyst en stund, innan hon konstaterar att hon har tio på den andra. Samma fenomen upprepas i flera andra sammanhang, t ex när vi räknar var och en av två rader med fem matematikgubbar. Hon anser att den ena raden innehåller fem gubbar och den andra tio. Jag leker en lek med barnen. De får i uppgift att lägga upp nio knappar på en pappskiva, där jag skrivit en nia. Inget barn har någon svårighet att placera det önskade antalet knappar på pappskivan. Jag tar de nio knapparna och gömmer dem i två askar och säger: "Nu ska vi leka en lek. Du ska få gissa fem gånger hur många av de nio knapparna jag gömt i varje ask. Sedan tittar vi efter om du gissat rätt någon gång." Titti gissar att det kan vara "Fem i den ena och sex i den andra... eller sju i den ena och åtta i den andra, elva i den ena och nio i den andra, elva i den ena och tolv i den andra och till sist tretton i den ena och afton i den andra asken". Gång på gång frågar jag henne om hon kommer ihåg hur många knappar vi gömt och hon svarar: "Jaa, nio!" Christer gissar i samma lek att det kan vara fem i den ena asken och nio i den andra, sju i den ena och nio i den andra, två i den ena och nio i den andra osv. Den ena asken innehåller alltid nio knappar. Emma gissar också först att det är tre i den ena och nio i den andra asken, men ändrar sig snabbt och gissar fyra i den ena och fyra i den andra, tre i båda, två i båda, en i båda och nio i båda askarna. Jag har inte hunnit med i svängarna, utan suttit och försökt passa in frågan: "Men kan det vara tre i den asken om det är nio i den?" Jag har märkt att flera barn än Christer och Emma gissat på detta sätt och inte förstått vilka föreställningar om räkning som ligger bakom sådana gissningar. Emma svarar: "Nä, det går inte." "Varför går inte det?" frågar jag, och förväntar mig att Emma har insett att det inte kan vara nio i den ena asken om den andra asken också innehåller några knappar. Men anledningen till att Emma anser att man inte kan ha nio knappar i en ask och två i den andra är en helt annan. Hon säger: "Nej, för det måste va' halva!" Studier av 105 barns räknefärdigheter vid skolstarten Varför ger barn så underliga svar på frågor som har med räkning och tal att göra? Finns det någon logik i sådana svar, eller svarar barnen precis vad som faller dem in, bara för att behålla kontakten med den vuxne? Denna fråga ställde jag mig många gånger, då jag undervisade som speciallärare i bl a matematik i de lägsta klasserna. De erfarenheter jag gjort härrör dels från denna tid dels från bandinspelade intervjuer som jag gjort med 105 elever just vid skolstarten: 62 elever år 1982 och 43 år Av dessa elever följde jag 82 under deras två första skolår. Just nu arbetar jag med att sammanställa insamlade data och att försöka beskriva vad jag sett. I denna artikel ger jag några glimtar av mina upplevelser. En gåtfull logik Om alla barn i intervjustudien svarat olika, hade jag trott att det saknades logik i barnens sätt att tänka. Men så var det inte. Bland de barn som i princip inte givit något korrekt svar fanns hela grupper av barn som givit samma typ av lika obegripliga svar. Inom en och samma intervju kunde jag också se att ett och samma barn ofta löst flera olika problem på samma för mig gåtfulla sätt. Dessa iakttagelser tydde på att det finns en logik mycket skild från vuxenlogik i barnens uppfattningar om vad räkning är och vad räkneorden står för. Mitt problem var att försöka lista ut hur den var beskaffad. Det första jag gjorde var att sätta mig in i den forskning som finns inom området. Genom att "lägga puzzel" med mina egna och andra forskares resultat, började jag så småningom ana ett mönster i barns sätt att tillägna sig aritmetisk förståelse. Innebörden i räkning och räkneord Räkning som ett rollspel där sista ordet är "rätta svaret"... Min tolkning av hur barn börjar lära sig förstå tal och räkning byggd på detta mönster är att de till att börja med utför räkning mer som ett rollspel än för att ta rätt på det exakta antalet i en mängd. Föreskrifterna till detta rollspel säger att man skall peka på ett föremål för varje ord man uttalar. Då man kommer till sista ordet skall detta helst upprepas och betonas, därför att sista ordet är "rätta svaret", det ord den vuxne förväntar sig som svar på frågan "Hur många?" (Schank och Abelson, 1977, Richards, 1981).

5 Räkning är rörelselek. Från början utförs detta rollspel som en rörelselek, där rörelsen inte det föremål som utpekas förmodligen är det barnet intresserar sig för (Van den Brink, 1981). Räkneordssekvensen har då ännu ingen kvantitativ innebörd, utan upplevs som vilken annan sång eller ramsa som helst, med tillhörande rörelser (Richards, 1981). Rollspelet ger räkneorden innebörd. Min egen uppfattning är emellertid att denna lek kan tänkas ge räkneorden en kvantitativ innebörd. Barnen upplever ganska säkert att om det sista ordet "rätta svaret" är ett ord tidigt i sekvensen är den "hög"-rad-samling föremål de "räknat" liten. Om ordet finns senare i sekvensen blir däremot denna "hög" stor. Siegler och Robinson (1982) har visat att många barn redan i 3 4-årsåldern uppfattar 1, 2, 3 som små tal, 4, 5, 6 som mellanstora och 7, 8, 9 som stora tal. Räkneorden betecknar "omfång". "Tal" betyder då förmodligen oftare storleken på den yta föremålen täcker, längden på den rad som lagts upp etc, än antalet enheter (Piaget, 1969; Flavell, 1963; Werner, 1973 m fl). Små barn delar inte gärna upp helheter, påvisar bl a Piaget (1969). De uppfattar mängder som kontinuerliga kvantiteter utan att intressera sig för de enheter de består av. En flicka i åk 2, som klarar sig bra i alla ämnen utom i matematik, besöker oss tillfälligt en dag. Hon räknar 7 små cuisenaire-klossar, som ligger tätt tillsammans i en rad, och säger att det finns sju klossar. Jag visar henne sedan en "stav" gjord av sju unifixklossar. Dessa är dubbelt så stora som cuisenaireklossarna. Hon tittar på unifixstaven utan att räkna och säger sedan, att det "måste vara en tia". Karins antagande att unifixstaven "var en tia" är ett av många exempel jag i min studie sett på hur barn ignorerar enheterna och knyter räkneorden till mängdens omfång. Räkneorden blir "namn" på föremålen. På någon punkt i utvecklingen tycks barn emellertid upptäcka att det i rörelseleken är tingen och inte rörelsen som hör samman med räkneorden. Sinclair, Siegrist och Sinclair (1983) visar hur barn då tycks låta varje räkneord symbolisera ett föremål bli detta föremåls "namn" (jfr även Richards, 1981). När Titti gissar att det kan vara 9 och 11 eller t o m 13 och 18 knappar i de två askarna, där 9 knappar finns gömda, visar hon att hon knappast ännu kan ha börjat "namnge" de föremål hon lägger upp. Det skulle då inte ha kunnat finnas någon knapp med namnet 11, 13 eller 18. När hon däremot förklarar att hon har 5 fingrar på den ena och 10 på den andra handen, vilket skedde i uppföljningsintervjuer något senare under terminen, har hon döpt fingrarna. Namnen på den andra handens fingrar blir då "sex, sju, åtta, nio och tio". De får behålla dessa namn, även om den första handens fingrar inte längre tillhör mängden. Det sista fingrets "namn" "tio" blir då det "rätta svaret" på frågan om antalet fingrar på andra handen, det svar Titti tror jag förväntar mig att få av henne. Hon avskiljer inte delen från helheten, skulle Piaget (1969) ha sagt. Själv upplever jag snarare att hon inte verbalt kan uttrycka den andra delens storlek. Gränsnamnen anger omfångets storlek. Christer som gissar att det finns 2 knappar i en ask och 9 i den andra, 7 i den ena och 9 i den andra asken osv, visar genom att hålla sig inom talområdet 1 9 i sina gissningar, att han "döpt" knapparna, då han lagt upp dem. När jag gömmer dem, tycks han emellertid glömma de enskilda enheterna och tänker bara på den rad knappar han lagt upp som ett "omfång", vilket jag delat upp (fig). Omfånget är emellertid inte obegränsat, som för Titti, när hon gissar att det finns 13 knappar i den ena och 18 i den andra asken. Eftersom Christer gett knapparna namn är den knapprad han föreställer sig en avgränsad rad. Raden har de knappar som heter "ett" respektive "nio" som gränser. Ingen knapp kan ha något räkneord senare i sekvensen t ex "tio" eller "elva" som namn. Att sista namnet i varje del är "rätta svaret" ingår i den "rollföreskrift" elever lärt sig för "hur man gör när man räknar". Sista ordet i den första asken kan vara i princip vilket som helst, beroende på var i raden han tänkt sig att jag delat knapparna. I fig 1 har jag låtit det bli "två'. Sista ordet i den andra asken blir däremot alltid "nio". Enligt regeln "sista ordet rätta svaret" bör det då finnas 9 knappar i den. Ett tiotal barn har gjort som Christer i tre eller fler av fem gissningar och även besvarat andra frågor på liknande sätt. Ibland tycks barnen emellertid också anse att den knapp som ligger vid mittgränsen kan berätta om antalet i den andra asken. Svar av typen "två i den och tre i den asken" förekommer nämligen ofta blandade med svar av typen "två i den och nio i den". Ordet "dela" betyder ännu bara "dela rättvist". En del barn koncentrerar sin uppmärksamhet på att jag delat upp mängden knappar. Det visar att

6 de förmodligen namngett knapparna, genom att alltid hålla sig inom talområdet 1 9 i sina gissningar. Men min uppdelning av knapparna får dem att fokusera på ordet "dela", varvid de överger sin uppfattning om räkning som angivande av de "namn", som utgör gränserna för omfånget. Emma, som först berättar om delarnas "gränser" genom att gissa "3 i den asken och 9 i den", visar sedan genom att gissa "fyra i den och fyra i den... tre i den och tre i den..." osv, och genom att förklara "att det måste va' halva", att hon förmodligen tänker på att jag delat och att ordet "dela" för henne ännu bara har innebörden "dela rättvist". Förståelse för delars beroendeförhållande. I knappleken förekommer också felaktiga men för vuxet tänkande mer rimliga gissningar. Många elever gissar att det kan finnas 2 knappar i den ena och 8 i den andra, 5 i den ena och 3 i den andra asken osv. De svarar då inte med namnet på det föremål som utgör gräns för delarna utan använder räkneorden som ett uttryck för storleken på det omfång den okända delen kan ha. De visar tydligt hur de kan avskilja delen från helheten. Dessutom har de klart för sig att om den ena asken innehåller "ett stort tal" (dvs omfång) måste den andra innehålla "ett litet". Stinas svar på frågan: "Hur många kronor blir kvar om du har 10 kr och tappar 7?" visar tydligt denna insikt.... då har jag fyra kvar... eller två... fyra eller två... kan man inte veta... Nej... kan man lista ut på något sätt om det är fyra eller två du har kvar...? Kanske tre... Kanske tre... Jag tror det är två... Men kan du inte alls lista ut hur... Nä... Skulle det inte kunna va t ex åtta kvar? Åtta kvar!!!!! Varför kan det inte va det då? Jo, för jag har tappat... om man tappar så himla mycket då tror inte jag det kunde vara så mycket!!! Att arrangera matematiska inlärningsmiljöer Nästan 15 % av barnen i min undersökning hade sådana uppfattningar om räkneord och räkning som jag beskrivit ovan. En minst lika stor andel återgick då och då till sådana sätt att tänka. Vi kan tala om förnumeriska uppfattningar av räkneord: ljud, rörelse, omfång, namn på föremål. Det torde vara uppenbart, att när räkneorden inte refererar till tal utan till ljud, rörelse, omfång (opreciserat) eller namn på föremål, så kan barnen knappast använda räkneorden för att addera eller subtrahera. Praktiskt taget alla elever kommer så småningom att inse att för att leverera korrekta svar till de uppgifter som möter på lågstadiet så behöver man kunna uppfatta namnen på talen som antal av någonting. Olika strategier för att besvara enkla additions- och subtraktionsuppgifter kan emellertid visas ha betydelse för barnens fortsatta utveckling i matematik. Om vi i den inledande undervisningen vill hjälpa alla barn att förstå vad räkneorden betyder, vad det betyder att "dela", varför man egentligen räknar etc, räcker det inte med att vi låter dem rita och måla på räkneböckernas inledande bildsidor. Vi måste tala matematik och vi måste knyta våra samtal till konkret verksamhet med kvantitativa innebörder av olika slag. Dessutom måste vi vara medvetna om målet för dessa aktiviteter, dvs om vilken förståelse våra ord och handlingar vid varje tillfälle syftar till att utveckla (jfr Neuman 1983/84 och 1986). Och det viktigaste av allt: Om vi inte vill skapa förvirring och matematikångest hos en stor del av nybörjarna måste vi utgå från deras sätt att tänka. Bara då kan vi föra dem vidare till högre förståelsenivåer. Referenser van den Brink, J (1981). Queries around the number concept. Psychology of mathematics education. Proceedings of the fifth conference on the Psychology of Mathematics Education, Grenoble. Flavell, J H (1963). The developmental psychology of Jean Piaget. New York: D van Nostrand. Neuman, D (1986). Forskning om tidig räkning och matematiksvårigheter. Fackdidaktisk forskning, volym 3. F Marton (Ed) Lund, Studentlitteratur. Neuman, D (1983/84). Lgr 80 och nybörjarundervisningen. Nämnaren, 1, Piaget, J (1969). The child's conception of number. London: Routledge & Kegan Paul. Richards, J (1981). Pre-numerical counting. Psychology of mathematics education. Proceedings of the fifth conference on the psychology of mathematics Education, Grenoble. Schank, R & Abelson, R. (1977). Scripts, plans, goals and understanding. New Jersey: Erlbaum. Siegler, R S & Robinson, M (1982). The development of numerical understandings. Pittsburgh, PA: Academic Press. Sinclair, A, Siegrist, F & Sinclair, H (1983). Young children's ideas about the written number system. In D. Rogers & J Sloboda (Eds), The acquision of symbolic skills. New York: Plenum Press. Werner, H (1973). Comparative psychology of mental development. New York: International Universities Press.