Träning och bedömning av de matematiska förmågorna

Transkript

1 Natur, miljö, samhälle Examensarbete i fördjupningsämnet Matematik och lärande 15 högskolepoäng, avancerad nivå Träning och bedömning av de matematiska förmågorna Practice and assessment of the mathematical competences Jonas Segervill Hanna Jiborn Ämneslärarexamen med inriktning mot arbete i gymnasieskolan, 300 högskolepoäng Datum för slutseminarium: Examinator: Peter Bengtsson Handledare: Per-Eskil Persson

2 Förord Arbetet har varit dubbelt inspirerande, först vad gäller inblicken som vi har fått i lärarnas dagliga arbete med förmågorna, men även granskningen av styrdokument kopplade till förmågorna har varit oerhört lärorik. Det har varit intressant att få behandla ett område som är så nytt att det fortfarande håller på att etableras i skolan. Vi har fått möjlighet att bearbeta budskapet med förmågorna och känner att examensarbetet har gjort oss mer reflekterande som lärare. Skrivprocessen har varit gemensam med kontinuerliga träffar och dagliga samtal. Några avsnitt har skrivits individuellt och sedan bearbetats tillsammans. Arbetet har varit jämnt fördelat mellan oss. Vi vill börja med att tacka lärarna som tog tid av sin arbetsdag och fyllde i enkäten, utan deras svar hade arbetet inte varit möjligt. Vi vill sedan framför allt tacka Per-Eskil Persson för god handledning genom hela arbetsprocessen. Vi har uppskattat hans kompetenta råd inför genomförandet av enkätstudien och hans raka svar på frågor under skrivprocessen. Tack! 2

3 Sammanfattning De matematiska förmågornas aktualitet i senaste läroplanen gör dem relevanta att undersöka inom ramen för detta examensarbete. Vi har under den verksamhetsförlagda utbildningen upplevt en viss osäkerhet kring hur arbetet med förmågorna lämpligen kan se ut. Tillsammans med vårt stora intresse av förmågorna ligger detta till grund för arbetets syfte, som är att undersöka hur förmågorna implementeras i matematikämnet idag. I studien har vi valt att fokusera på formerna för träning samt bedömning av förmågorna. Studien är avgränsad till att enbart omfatta gymnasieskolan. Metoden för att undersöka detta är en anonym enkät bestående av skrivfrågor, kryssfrågor och en matris. Resultatet visar att det förekommer en god variation av former vid träning av förmågorna, men inte i samma utsträckning vid bedömning av dem. Vidare att samtliga förmågor, med undantag av relevansförmågan, bedöms i lika stor utsträckning men tränas i mycket varierande utsträckning. Det finns alltså en obalans mellan det som tränas och det som bedöms. En orsak som forskningen visar på är tidsbristen och svårigheten att ta fram uppgifter som tränar de olika förmågorna. Resultatet visar även att det är lättast att skapa övningar/aktiviteter som tränar procedurförmåga. Men det visar sig samtidigt vara väldigt svårt att komma på övningar/aktiviteter som explicit tränar relevansförmågan. Mer än hälften av lärarna kryssar i att de inte tränar förmågan över huvud taget. Detta resultat stämmer väl överens med nyutgiven forskning som vi har tagit del av. Forskningen påvisar svårigheten att träna och bedöma relevansförmåga och föreslår att den betraktas som en kumulativ förmåga. Vi gör tolkningen att antalet påkomna övningar/aktiviteter speglar hur frekvent en förmåga uttryckligen tränas i undervisningen. Detta innebär att procedurförmågan är den dominerande förmågan i undervisningen. Vi drar slutsatsen att undervisningen inte har förändrats på det sätt som Skolverket önskar, något som vi finner stöd för i nyutgiven forskning på området. Nyckelord: gymnasieskolan, kompetenser, matematik, matematiska förmågor 3

4 4

5 Innehåll Förord... 2 Sammanfattning... 3 Innehåll... 5 Inledning... 7 Teori... 8 Centrala begrepp... 9 Syfte och frågeställning Skolmyndigheter och styrdokument Litteraturgenomgång Litteratur utgiven före Lgy Litteratur utgiven efter Lgy Metod Metodteori Genomförande Urval Bortfall Etik Resultat och analys Analys av träningsmatrisen Analys av bedömningsmatrisen Jämförelse av matriserna Diskussion Resultatdiskussion Metoddiskussion Slutreflektioner Referenslista

6 Bilagor Bilaga 1 Enkät

7 Inledning I det självständiga arbetet på grundnivå Matematikundervisning mot förmågorna utformade vi en kunskapsöversikt över hur olika arbetsformer passar till att träna olika matematiska förmågor. I det arbetet uppstod intresset att undersöka hur matematiklärarna ute på gymnasieskolorna faktiskt planerar och genomför sin undervisning med hänsyn till förmågorna. I Skolverkets syftestext till matematikämnet (2011a) uttrycks det med all önskvärd tydlighet att undervisningen ska ge eleverna förutsättningar att utveckla samtliga matematiska förmågor. Därav har vi valt att avgränsa undersökningen till att inte innefatta lärarnas attityd till undervisning mot förmågorna. I kunskapskraven bedöms den kvalitativa nivån för samtliga förmågor. Det innebär att läraren ska ge tillfälle för eleverna att träna och uppvisa samtliga förmågor. Vidare står det i Skolverkets kommentarer till syftestexten att Målen i matematikämnesplanen uttrycks som matematiska förmågor. Förmågorna är generella, dvs. de är inte kopplade till något specifikt matematiskt innehåll. (s.1). Det lämnas åt professionen att bestämma hur undervisning och bedömning av förmågorna genomförs på bästa sätt. Vi anser att undervisning och bedömning bör existera i symbios. Att bedriva det ena utan att reflektera över det andra ger ett ineffektivt lärande. Om läraren tränar en arbetsform som inte bedöms eller bedömer en form som inte tränas är det problematiskt och kan upplevas av elever som orättvist och missledande. Om däremot undervisning och bedömning av förmågorna sker eftertänksamt kan synergi uppstå och det blir samtidigt lättare för eleverna att förstå syftet med undervisningen och vad som förväntas av dem. Vår förhoppning var att studien skulle ge oss nya insikter om undervisning mot, och bedömning av, förmågorna. Och att dessa gör oss till mer medvetna lärare som gör genomtänkta val i klassrummet med elevernas matematiklärande för ögonen. Vi hoppas att läsarna, andra lärare, ska inspireras att reflektera över sin undervisning och bedömning. 7

8 Teori De matematiska förmågorna i svensk skola har sitt ursprung i den danska skolans modell med åtta matematiska kompetenser. Kompetenserna framarbetades inom KOM-projektet under ledning av Mogens Niss och presenterades i en slutrapport 2002 (Niss & Höjgaard Jensen, 2002). Arbetet med att ta fram kompetenserna motiveras där med den klyfta som har upptäckts mellan ungas kunskaper och samhällets behov. Den kunskapsutveckling och förändring som samhället står i sätter press på skolsystemet. Detta belyses som ett internationellt problem. Det anses nödvändigt att lämna det traditionella skolsystemet för att ge plats åt nya tankesätt där matematiken känns meningsfull för såväl lågpresterande som högpresterande elever, och där eleverna får verktyg och kvalifikationer anpassade till dagens samhälle. Ett delmål i arbetet med kompetenserna är att det ska bli tydligare för eleverna vad matematikundervisningen syfte är. Det har länge funnits ett internationellt intresse kring vad det innebär att kunna matematik och vad matematiskt arbete innebär (Helenius, 2006). Traditionellt brukar en persons matematiska kunskaper relateras till vilka områden inom ämnet som personen i fråga behärskar. Med detta tankesätt blir det problematiskt att prata i termer av progression inom ämnet. Arbetet med kompetenserna kräver ett matematiskt innehåll, men kompetenserna har mening oavsett var i skolsystemet man befinner sig. Det blir alltså naturligt att prata om progression då det kommer till kompetenserna. En elevs utveckling av varje kompetens betraktas i tre dimensioner; täckningsgrad, aktionsradie och teknisk nivå. Täckningsgraden innebär hur många aspekter av kompetensen som eleven självständigt behärskar. Aktionsradien handlar om inom vilka områden och situationer som kompetensen kan användas. Den tekniska nivån bestäms av hur avancerade metoder och verktyg eleven använder. I KOM-projektet presenterades åtta delkompetenser som tillsammans utgör den matematiska kompetensen, samtliga åtta har sådan karaktär att progression går att detektera och följa. Det poängteras att kompetenserna inte är helt åtskilda utan i viss mån överlappar varandra. Kompetenserna listas nedan. Tankegångskompetens Problembehandlingskompetens Modelleringskompetens 8

9 Resonemangskompetens Representationskompetens Symbol- och formaliakompetens Kommunikationskompetens Hjälpmedelskompetens Centrala begrepp Flera för uppsatsen centrala begrepp förklaras nedan. Förklaringarna är inte våra egna utan vedertagna inom fältet. Med detta sagt vill vi inte antyda att förklaringarna är fullständiga. Matematiska kompetenser De matematiska kompetenserna togs fram och utvecklades i Danmark för dansk matematikundervisning, de är åtta till antalet. Ordet kompetenser är den internationella motsvarigheten till det som i svenska skolan benämns förmågor. Matematiska förmågor De matematiska förmågorna i svensk gymnasieskola är sju till antalet och har delvis sitt ursprung i danska skolans matematiska kompetenser. De har för avsikt att täcka in hela matematikundervisningen. Tillsammans ger de en mångfacetterad bild av matematiken och vad det innebär att arbeta matematiskt. Begreppsförmåga Förmågan att förstå och beskriva olika matematiska begrepp enligt givna definitioner. Ha en förståelse för egenskaper hos begrepp och se samband mellan olika begrepp. Kännedom om hur begreppen lämpligen används samt kunna använda olika representationsformer. Ha förmågan att knyta nya begrepp till de redan bekanta. Procedurförmåga Förmågan att välja samt genomföra en standardiserad procedur med god säkerhet, hög precision och med en viss snabbhet. I förmågan ingår också användande av digitala verktyg. 9

10 Problemlösningsförmåga Förmågan att ta sig an en uppgift utan att direkt känna till en färdig lösningsmetod. Kunna systematiskt analysera och tolka utifrån nuvarande matematiska kunskaper och verktyg. Lite tillspetsat: Att veta vad man ska göra när man inte direkt vet vad man ska göra. I förmågan ingår även att kunna uppmärksamma samt vidareutveckla problem. Modelleringsförmåga Förmågan innebär att kunna konstruera och använda en modell för att besvara en större, komplex fråga. Svaret från modellen behöver kunna tolkas till ursprungsfrågan samt kritiskt utvärderas. Resonemangsförmåga Förmågan innebär att kunna föra samt följa ett matematiskt resonemang. Att resonera innebär bland annat att: testa, förutsäga, ifrågasätta, motivera, generalisera samt formulera och pröva hypoteser. Det ingår också bevisföring i tal och skrift. Kommunikationsförmåga Förmågan att kommunicera i tal såväl som skrift. Att kunna använda ett brett spektra av verktyg så som: ord, bilder, begrepp, grafer, modeller, tabeller m.m. Att kunna välja och anpassa formen och nivån till sammanhanget. Relevansförmåga Förmågan att kunna sätta in matematiken i ett sammanhang. Kunna synliggöra matematiken inom yrkesliv, i samhället i stort samt i vardagen. 10

11 Syfte och frågeställning Arbetet med de sju matematiska förmågorna är den mest betydande förändringen av matematikämnet i den nya gymnasieskolan Vårt intresse för undervisning med fokus på de matematiska förmågorna väcktes tidigt under lärarutbildningen. Frågans relevans och aktualitet för yrket har gjort att den har stannat kvar hos oss genom hela utbildningen och har nu mynnat ut i ett tillfälle att studera den på djupet inom ramen för examensarbetet. Det övergripande syftet med studien är att få en inblick i hur arbetet med de matematiska förmågorna kan realiseras i matematikundervisning och bedömning. Studien ger en bild av hur undervisning och bedömning med fokus på de matematiska förmågorna ser ut på två gymnasieskolor i Sydsverige. I Skolverkets kommentarer till matematikämnets syftestext (2011b) uppmuntras det till en varierad undervisning, vilket gör det intressant att undersöka vilken variation som finns på skolorna och hur den ser ut. Det är en förhoppning att insynen i hur erfarna matematiklärare arbetar mot förmågorna i matematikämnet ska inspirera både oss och våra läsare. Intresset för bedömning av förmågorna väcktes först under lärarutbildningens senare del. Vid sista verksamhetsförlagda utbildningen blev vi varse hur förmågorna kan testas och fick insyn i hur några lärare resonerar kring bedömningen. Med kunskapskravens nuvarande utformning är det en högst naturlig och en lika relevant del att också undersöka bedömningen av förmågor. Allt sammantaget utmynnar detta i två frågeställningar: Hur kan formerna för träning av de matematiska förmågorna se ut? Hur kan formerna för bedömning av de matematiska förmågorna se ut? 11

12 Skolmyndigheter och styrdokument I regeringsbeslut I:44 behandlat av Utbildningsdepartementet uttrycks varför matematikundervisningen i svenska skolor behöver problematiseras och förändras: För att Sverige ska kunna konkurrera med kunskap och kompetens är det strategiskt viktigt att förbättra matematikundervisningen[ ] Undervisningen har i alltför hög grad präglats av att eleverna räknar enskilt utan tillräcklig handledning eller återkoppling från lärare [ ] Skolinspektionen konstaterar vidare i en motsvarande kvalitetsgranskning av gymnasieskolan att undervisningen ofta består av en gemensam genomgång som följs av elevernas eget arbete (Rapport 2010:13). En sådan utformning kan ge ett begränsat utrymme för resonemang, argumentation och möjligheten att upptäcka matematiska samband. (Utbildningsdepartementet, 2012, s. 3) Bristerna i matematikundervisningen är något som Skolverket har känt till sedan tidigare och de matematiska förmågorna i senaste läroplanen en viktig del i arbetet med att vända den nedåtgående trenden. Samtliga sju förmågor skall tränas och bedömas i varje matematikkurs på gymnasiet. I matematikämnets syftestext står det att: Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla förmåga att: 1. använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen. 2. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg. 3. formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat. 4. tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar. 5. följa, föra och bedöma matematiska resonemang. 12

13 6. kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling. 7. relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang. (Skolverket, 2011a, s. 90) Kunskapskraven för respektive matematikkurs är formulerade som uppvisande av förmågorna i olika hög grad. De olika betygsstegen differentieras med hjälp av adjektiv som beskriver kvaliteten på uppvisandet av varje förmåga. Eftersom förmågorna är desamma för samtliga matematikkurser och kunskapskraven bygger på förmågorna så är också kunskapskraven desamma för samtliga matematikkurser på gymnasiet. Lärandeteori Skolverkets styrdokument bygger på flera olika teorier om lärande (Skolverket, 2003). Av dessa är den mest centrala lärandeteorin socialkonstruktivismen. Teorin grundades i början av 1900-talet av filosofen och pedagogen Lev S. Vygotskij, och lär att kunskap konstrueras i social kontext. Enligt socialkonstruktivismen har lärandet sin förankring i tidigare kunskaper och etablerade föreställningar, utifrån dessa konstruerar elever ny kunskap i ömsesidigt utbyte med varandra och med läraren. Lärandeprocessen förutsätter engagemang och aktivt deltagande från alla parter. Skolverkets strävan efter en varierad och engagerad undervisning uttrycks tydligt i matematikämnets syftestext samt här nedan i kommentarerna till syftestexten: Forskningsresultat och erfarenhet visar att en matematikundervisning som är varierad både till innehåll och till form främjar alla elevers kunskapsutveckling i ämnet. När det gäller arbetsformen, dvs. hur läraren organiserar undervisningen, kan till exempel variationen bestå i att låta eleverna arbeta med gemensamma uppgifter i klass eller i mindre grupper, i par, men även individuellt. Läraren kan vända sig till hela klassen, handleda gruppvis eller individuellt samt välja lämpliga platser. (Skolverket, 2011b, s. 9) 13

14 Litteraturgenomgång De matematiska förmågorna som begrepp inom skolmatematiken har tillkommit i läroplanen Detta medför att relativt lite forskning kring förmågorna har slutförts och framställts, i äldre forskning används istället ordet förmåga om de barn som uppvisar särskilt god matematisk färdighet. Med anledning av detta har vi valt att presentera litteraturgenomgången uppdelad i litteratur utgiven före respektive efter Lgy11. Litteratur utgiven före Lgy11 I Skolverkets rapport Lusten att lära med fokus på matematik (2003) framkommer att katederundervisning med fördel kan användas om man som lärare vill introducera nya begrepp eller har som syfte att låta eleverna träna på procedurer. Således är det, översatt till senaste läroplanen, begrepps- och procedurförmåga som står i fokus vid denna typ av undervisning. Förmågorna tränas då mestadels individuellt, och dialogen går huvudsakligen åt ett håll. Vi anser dock att det vid katederundervisning även ges viss träning i kommunikationsförmåga då eleverna lär sig hur en uppgift lämpligen kommuniceras skriftligt. Träningen blir i detta fall av mer passiv karaktär eftersom eleverna får följa lärarens tillvägagångssätt istället för att prova själva. Forskning visar på att det vid samarbetslärande är andra förmågor som sätts i fokus. Ahlberg (2001) skriver att när eleverna jobbar i grupp och kommunicerar kring ett problem tvingas de rannsaka sin egen förståelse samt sätta den i relation till andras uppfattningar. Vid denna typ av arbetssätt tvingas eleverna kommunicera och resonera med varandra för att nå framgång i problemlösandet. Eleverna ges då möjlighet att träna resonemangs-, kommunikations-, och problemlösningsförmåga. Olika perspektiv, frågor, hypoteser och lösningsförslag kopplat till problemets sammanhang driver arbetet framåt (Lester & Lambdin, 2007). Chiriac och Hempel (2013) menar att det ibland kan kännas tryggare för eleverna att ställa sina frågor till varandra istället för till läraren, vilket kan stimulera kommunikationen. Uttryckt i förmågor skulle denna trygghet ge eleverna större möjlighet att utveckla sin kommunikations-, och resonemangsförmåga. Rystedt och Trygg (2005) poängterar att det vid problemlösning i grupp undviks att procedurer sätts i fokus, istället sätts resonemang och kommunikation i första rummet. Vidare 14

15 menar de att eleverna i detta sammanhang även får tillfälle att träna sin begreppsförmåga. Enligt Lester och Lambdin (2007) kan man se på problemlösning på två olika sätt. Inom den traditionella undervisningen behandlas oftast problemlösning efter att färdigheter redan har blivit inlärda. Vidare skriver Lester och Lambdin att risken med detta tillvägagångssätt är att eleverna i själva verket tränar procedurförmåga. Det andra sättet att behandla problemlösning är innan färdigheter blivit inlärda, och utnyttja problemuppgifterna till att upptäcka och lära. Vid det senare sättet att använda problem i undervisningen sätts problemlösningsförmågan i första rummet. Svårigheten med att bedriva undervisning genom samarbetslärande är enligt Rystedt och Trygg (2005) att det finns en brist på uppgifter och att det är väldigt tidskrävande för läraren att ta fram material. Även Stedöy (2007) belyser tidsaspekten. Arbetet med samarbetsuppgifter upptar således både mycket förberedelsetid och lektionstid då eleverna måste ges tid att fullständigt genomarbeta ett och samma problem (Ahlberg, 2001). Lester och Lambdin (2007) framhåller att det är en utmaning för läraren att ta fram rika problem, och att en god kompetens i ämnet är vitalt. Blomhöj (2007) skriver att matematisk modellering kan användas i ett undersökande sammanhang för att ta sig an ett problem och på så sätt öka elevernas förtrogenhet med matematiken som verktyg. Samtidigt kan läraren förstå och analysera elevernas svårigheter. Matematisk modellering används då som ett redskap för att lära sig matematik istället för att träna redan inlärda kunskaper, modelleringsförmågan sätts alltså i första rummet. Kontexten spelar stor roll för eleven som ska tolka och kritiskt utvärdera sin modell. Vidare anser Blomhöj att när eleven jobbar med matematisk modellering ur ett undersökande perspektiv ges möjligheten att upptäcka olika representationsformer och få djupare förståelse för matematiska samband. Inlärningspotentialen ligger i denna typ av arbetssätt i elevens nyfikenhet. Det är därför viktigt att läraren lyssnar på och utgår från elevens synsätt. Litteratur utgiven efter Lgy11 Litteraturen utgiven efter Lgy11 som berör förmågorna håller genomgående ett lärarfokus istället för ett elevfokus. Boesen et al. (2013) har undersökt hur införandet av förmågorna i svenska skolan har påverkat lärarnas undervisning. I den omfattande studien undersöks hur stor andel av den observerade lektionstiden som var och en av förmågorna ges utrymme att 15

16 träna. Det tydligaste resultatet är att procedurförmågan är den dominerande förmågan. Under de totalt observerade minuterna ges det möjlighet att utveckla procedurförmågan 79 % av tiden. De övriga förmågorna är möjliga att utveckla % av tiden. Studien visar också att den vanligaste aktiviteten i klassrummen är göra och använda, och att tolkning och giltighetsresonemang förekommer sällan. Efter att ha presenterat dessa resultat dras slutsatsen att den traditionella undervisningen fortfarande dominerar undervisningen även efter införandet av Lgy11. Undervisningen har alltså inte förändrats i linje med intentionen vid införandet av förmågorna, som var att gå från den traditionella undervisningen till att arbeta mer som en matematiker. En anledning som ges i studien till att reformen inte har haft den påverkan som eftersträvats är att få lärare har bearbetat reformen, identifierat budskapet och tagit det till sig. Popov och Ödmark (2013) gör i sin artikel en djupdykning i relevansförmågan och sätter den i relation till KOM-projektets resultat. Från KOM-projektet finns nämligen ingen kompetens som motsvarar relevansförmågan. Popov och Ödmark bedömer att relevansförmågan istället ingår i begreppet aktionsradie. Då relevansförmågan i svenska skolan anses som svår både att träna och bedöma föreslås en särbehandling av just denna förmåga. Tanken är att när de övriga förmågorna tillämpas i utom-matematiska kontexter anses relevansförmågan aktiveras. Det föreslås att relevansförmågan betraktas som en kumulativ förmåga som aktiveras när aktionsradien av de andra förmågorna utvidgas. Vidare urskiljs två olika sidor av relevansförmågan. Ena sidan handlar om värdet av ett matematiskt tankesätt i samhället i stort, andra sidan handlar om tillämpningsbarheten i konkreta sammanhang. Den sistnämnda anses lättare att både träna och bedöma. Det är också enbart denna sida som behandlas på de nationella proven. Relevansförmågan bedöms således inte i sin helhet inom ramen för de nationella proven. Avslutningsvis belyser Popov och Ödmark en extra svårighet med att utveckla relevansförmågan när samverkan mellan olika ämnen i skolan har tonats ner. 16

17 Metod Metodteori Enligt Hartman (2001) går den induktiva metoden till så att ett datamaterial samlas in utan en förutbestämd hypotes. Först därefter kategoriseras och analyseras datamaterialet i jakt på ett entydigt samband. Om sambandet är tydligt och materialet omfattande kan sedan en generell hypotes formuleras. Den induktiva metoden kan indelas i två underkategorier, analytisk induktion och interaktiv induktion. För studiens används den analytiska induktionen (Hartman, 2004), vilken är en linjär, sekventiell process i tre faser. Varje fas genomförs således fullständigt och i tur och ordning. De tre faserna är planerings-, insamlings-, och analysfasen. Genomförande Planeringsfasen Vi bestämde initialt studiens syfte och formulerade ett antal frågeställningar. Därefter bestämdes vilka frågor som var intressanta att söka svar på inom ramen för undersökningen. Med detta gjort fann vi det lämpligt att vända oss till verksamma matematiklärare som vi sedan tidigare har byggt upp en relation till. Till sist bestämdes att formen för undersökningen skulle vara en enkät. Vi tog även beslutet att inte ha enbart kryssfrågor utan även frågor där respondenterna får skriva på fri hand. Detta för att minimera risken att resultatet styrs av våra uppfattningar. Valet av enkät som metod motiveras med intresset av att få bred information från många istället för djup information från några. Metoden är också tidseffektiv samt anonym. Anonymiteten värderas högt eftersom förhoppningen är att den öppnar för ärliga svar utan eventuell rädsla att bli bedömd. Med enkät som metod för insamlande av data är det extra viktigt med genomtänkta, välformulerade frågor eftersom det inte finns möjlighet till vidare förklaring (Trost, 2012). Därför har mycket tanke lagts ned på att formulera sådana. Exempel på en fråga från enkäten är: beskriv någon övning/aktivitet som du har använt i din undervisning för att öva modelleringsförmågan. Förhoppningen var att skapa en enkät med ett lämpligt antal 17

18 inbjudande frågor som fångar och intresserar respondenterna att genomgående svara ärligt och uttömmande (se bilaga 1). Förutom frågorna togs även en matris för bedömningsformer fram som ett avslutande moment i enkäten. I matrisen är de matematiska förmågorna på första raden och kategorier för bedömningsformer i första kolumnen. Kategorierna för bedömningsformerna (se bilaga 1) togs fram med hjälp av den forskning som lästes och bearbetades i det självständiga arbetet på grundnivå. Insamlingsfasen I god tid påbörjades insamlingsfasen med att vi kontaktade var sin skola med en önskan om deras deltagande i en enkätundersökning. Vid första besöket och utlämnandet av enkäten samtalade vi med flertalet lärare för att göra reklam för enkäten samt visa vår uppskattning av deras medverkan. Vi delade också ut kakor i hopp om att underlätta och uppmuntra responderandet. Efterföljande vecka gjordes ett återbesök då de ifyllda enkäterna samlades in. I samband med återbesöket poängterade vi att vi mer än gärna återkom om de meddelade via mejl att någon i efterhand fyllt i sin enkät. Vi besökte också skolorna ytterligare en gång och förhörde oss om ifyllda enkäter. Analysfasen Med data insamlad, var första steget att läsa igenom samtliga enkäter parallellt, fråga för fråga och identifiera och anteckna nyckelord utifrån svaren. Nästa steg var att skapa kategorier som innefattade de flesta svaren, utan överlappning. Med svaren kategoriserade skapades en matris som vi har gett namnet träningsmatrisen. Även i denna matris är förmågorna i första raden och de kategoriserade arbetsformerna i första kolumnen. De beskrivna övningarna och aktiviteterna från enkätsvaren tolkades och kategoriserades i träningsmatrisen enligt enskilt skriftligt, enskilt muntligt, gruppaktivitet samt lärarfokus. Vi valde att inte dela upp kategorin gruppaktivitet i skriftligt och muntligt efter att ha sett att dessa ofta förekommer tillsammans. Kategorin lärarfokus tillkom som en naturlig kategori i träningsmatrisen. Tillsammans med den tidigare skapade bedömningsmatrisen hade vi nu två matriser att analysera var för sig i två dimensioner samt jämföra med varandra. 18

19 Urval Urvalet av respondenter till enkätundersökningen gjordes efter ett bekvämlighetsurval. Detta motiveras primärt med den snäva tidsramen och de begränsade resurserna. Samtliga respondenter är lärare på två gymnasieskolor i Sydsverige som vi har kontakt med. En möjlig fördel med att stickprovet är lärare som vi känner sedan tidigare är att den goda relationen kan tänkas medföra en högre andel svarande och på så sätt minimeras bortfallet. Att urvalet är så riktat och att omfattningen på studien är begränsad innebär begränsningar i eventuella generella slutsatser om hela populationen. Däremot omöjliggör det inte att vissa insikter görs och lärdomar dras för framtiden. Bortfall Av de 25 utdelade enkäterna samlades 17 ifyllda in. Detta ger ett bortfall som är något mindre än en tredjedel. Etik Arbetets etiska överväganden är gjorda utifrån Vetenskapsrådets (u.å.) riktlinjer i dokumentet Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning. De forskningsetiska principerna som Vetenskapsrådet presenterar har som syfte att ge insikt i ansvarstagandet och är avsedda att vägleda forskaren. Då de inte gör anspråk på fullständighet är forskarens egna bedömningar och ansvarstagande avgörande. De två huvudkraven som vägs mot varandra är forskningskravet, som innefattar frågornas väsentlighet och kvalitet, och individskyddskravet, som handlar om skydd mot otillbörlig insyn samt psykiska och fysiska skador. Enligt Vetenskapsrådets dokument ska ansvariga forskare göra en vägning mellan dessa, det vill säga mellan värdet av det förväntade kunskapstillskottet och de möjliga riskerna för berörda deltagare. För att en god avvägning ska kunna genomföras delas individskyddskravet upp i fyra etiska riktlinjer; informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. Informationskravet Då undersökningen i detta examensarbete genomförs med hjälp av enkät betraktas deltagarna som aktiva, och förhandsinformation krävs. Förhandsinformationen ska innehålla upplysning 19

20 om villkor som gäller för deltagande, risker för obehag, undersökningens syfte samt var resultatet kommer att offentliggöras. Detta framförs i vårt fall i form av en inledande text på enkätformuläret (se bilaga 1). Samtyckeskravet För undersökningar som genomförs på grupper med hjälp av enkät krävs inget samtycke i förhand. Förutsatt att enkätformuläret innehåller information enligt informationskravet betraktas en ifylld returnerad enkät som att samtycke har lämnats, vilket gäller för detta arbete. Deltagarna har rätt att självständigt bestämma om de ska delta, men så länge denna rättighet infinner sig får forskaren lov att motivera eller försöka påverka. Våra motiveringsförsök anses inte ha sådan form att deltagarna inte längre kan fatta ett självständigt beslut. Konfidentialitetskravet Detta krav handlar om offentlighet och sekretess. Obehöriga ska inte kunna ta del av personuppgifter, och deltagarna ska inte kunna identifieras av utomstående. I detta arbete appliceras anonymitet vad gäller namn och skola redan vid enkätinsamlingen. Inga personuppgifter samlas in i studien. Citat ifrån enkäterna kan förekomma i arbetet, men risken för att individer oavsiktligt identifieras vid dessa omständigheter bedöms som mycket liten. Nyttjandekravet Uppgifter insamlade vid denna studie kommer enbart att användas för denna studies syfte och inte för något annat ändamål. Efter att ha applicerat och följt dessa fyra etiska riktlinjer enligt ovan bedöms riskerna för de berörda deltagarna som mycket små. Med avvägning gjord mellan värdet av det förväntade kunskapstillskottet och de möjliga riskerna för deltagarna anses metoden godtagbar. 20

21 Resultat och analys Enkätsvaren har tolkats och kategoriserats av oss. Exempel på tolkning av övningar som beskrivs i enkäten är: Öppet problem i MA3c: en stege placeras mellan två hus. Bestäm avståndet mellan husen. Arbete i grupper om 2-3 personer. som kategoriserades som gruppaktivitet. Ett enkätsvar som tolkas och kategoriseras som enskild skriftlig träning kan se ut så här: Procedurer tränar vi när vi löser uppgifter i boken. Svar som kategoriseras som lärarfokus kan till exempel vara: Tas upp väldigt ofta under genomgångar. Analys av träningsmatrisen Träningsmatrisen: Tabellen visar en kategorisering av samtliga respondenters beskrivna övningar, n = 17. I vissa fall beskrevs mer än en aktivitet per förmåga. De sju förmågorna presenteras i den översta raden och de kategoriserade arbetsformerna i den första kolumnen. Begrepp Procedur Problem Modell Resonemang Kommunikation Relevans Summa Enskilt skriftligt Enskilt muntligt Grupp aktivitet Lärarfokus Summa Det är två resultat i träningsmatrisen som är särskilt anmärkningsvärda. Det första är det väldigt låga antalet beskrivna övningar/aktiviteter som tränar relevansförmågan. Något som inte framgår av matrisen är att cirka hälften av respondenterna kryssade i att de inte tränar relevansförmågan över huvud taget. Det andra utstickande resultatet är det avvikande höga antalet beskrivna övningar/aktiviteter som tränar procedurförmågan. Vidare kan utläsas att denna dominerande förmåga mestadels tränas lärarfokuserat och genom enskilt skriftligt arbete. Den låga siffran för träning av problemlösningsförmågan är något missvisande då fem av de 17 respondenternas svar inte gick att kategorisera. Exempel på svar som ej kunnat kategoriseras är: Regelbundet i ordinarie undervisning. När det gäller 21

22 resonemangsförmågan är det några som inte kunnat formulera en övning/aktivitet och lämnat frågan tom. Analys av bedömningsmatrisen Bedömningsmatrisen: Tabellen visar en summering av samtliga svar, n=17. Det var tillåtet att kryssa i mer än en bedömningsform per förmåga. De sju förmågorna presenteras i den översta raden och bedömningsformerna i den första kolumnen. Begrepp Procedur Problem Modell Resonemang Kommunikation Relevans Summa Enskilt skriftligt Enskilt muntligt Grupp skriftligt Grupp muntligt Summa I bedömningsmatrisen finns två uppseendeväckande resultat. För det första att relevansförmågan bedöms relativt lite. För det andra att en övervägande majoritet av bedömningen sker enskilt skriftligt. Vi ser att nästan samtliga respondenter bedömer på detta sätt till skillnad från bedömning i grupp vilket används av färre än hälften. Vidare kan utläsas att kommunikationsförmågan bedöms med något större variation än resterande förmågor. Något som inte går att utläsa i matrisen är att ett flertal respondenter har uttryckt att muntlig bedömning i grupp sker vid nationella proven. Jämförelse av matriserna Vi ser att bortsätt från relevansförmågan så bedöms resterande förmågor ungefär jämnt. I träningsmatrisen ser vi att denna jämlikhet inte råder. Här är antalet beskrivna övningar för de olika förmågorna väldigt varierande. För de förmågor där få övningar/aktiviteter är beskrivna görs tolkningen att träning av just dessa förmågor förekommer mer sällan i undervisningen. 22

23 Vid träning av förmågorna ser vi att det är en jämn fördelning mellan enskilt arbete och grupparbete. Vid bedömning är det enskilda arbetet överlägset mest förekommande. En förmåga som sticker ut och bryter trenden är modelleringsförmågan som övervägande verkar tränas i grupp men mestadels bedöms enskilt. 23

24 Diskussion Diskussionen uppdelas i två separata delar. Den första delen avser att diskutera resultatet av studien i förhållande till aktuell forskning. Den andra delen avser att självkritiskt diskutera genomförandet av studien. Resultatdiskussion Det mest anmärkningsvärda resultatet av studien är att relevansförmågan sällan varken tränas eller bedöms. Detta stämmer väl överens med vad Popov och Ödmark (2013) har kommit fram till och deras förklaring är att det är svårt att träna och bedöma förmågan. Efter vår upptäckt i studien anser vi att deras förslag att betrakta relevansförmågan som en kumulativ förmåga hade varit fördelaktig och underlättat arbetet för lärarna. Vi har också sett från respondenterna att relevansförmågan lättare behandlas på yrkesprogrammen än de högskoleförberedande programmen. Så som frågorna i enkäten är formulerade pekar resultatet på att det har varit lättast att komma på övningar/aktiviteter som tränar procedurförmågan. Vi gör då tolkningen att detta är den vanligast förkommande förmågan. I de fall då respondenterna inte har formulerat en övning/aktivitet, gör vi tolkningen att det är svårt att hitta sådana och att de sällan förekommer i undervisningen. Vi inser också risken att lärare har beskrivit en övning/aktivitet men övervägande tid använder en annan. Eftersom procedurförmågan, med lärarfokus och enskilt arbete, verkar dominera i undersökningen drar vi slutsatsen att den traditionella undervisningen, som kännetecknas av genomgångar följt av enskilt arbete, fortfarande är den mest framträdande i klassrummet. Det teoretiska perspektiv som genomsyrar styrdokumenten verkar således inte fullt ut satt sin prägel på undervisningen. Ett varierat och engagerat arbetssätt som Skolverket förespråkar, förekommer inte i önskad utsträckning. Detta stämmer överens med Boesen et al. (2013), som drar samma slutsats i sin vetenskapliga artikel. Vi ansluter oss till artikelförfattarnas förklaringar, att det handlar om att lärarna inte har förstått meningen med eller tagit till sig budskapet med förmågorna. Detta tror vi till största del beror på tidsbrist men också delvis på ovilja till förändring. Vidare har vi sett att även bedömningen sker på traditionellt sätt med 24

25 enskilda skriftliga prov. Om de nationella proven ska agera vägvisande för lärare så anser vi att variationen av bedömningsformer borde vara större. Resultaten pekar på det som vi befarade i inledningen, att förmågor som sällan tränas ändå bedöms i lika stor utsträckning som andra förmågor. Det finns alltså en obalans mellan det som tränas och det som bedöms. En orsak som viss forskning visar på är tidsbristen och svårigheten att ta fram uppgifter som tränar de olika förmågorna (Rystedt och Trygg, 2005). Vi har gjort iakttagelsen att det finns god variation i träningsformerna av förmågorna men inte i samma utsträckning när det gäller bedömningsformerna av förmågorna. Vi anser att det behövs större variation vid bedömning av förmågorna för att alla elever ska ges utrymme att uppvisa sina starka sidor. Som svar på studiens frågeställning kan träning av förmågorna se olika ut, gruppaktiviteter såväl som enskilt arbete, men en övervägande träning av procedurförmågan har observerats. Denna träning sker mestadels med lärarfokus och genom enskilt arbete. Vad gäller bedömningsformerna så har vi sett att enskild skriftlig bedömning är vanligast förekommande även om viss variation finns. Metoddiskussion Enkätfrågorna var utformade på ett sådant sätt att vi blev tvungna att göra vissa tolkningar av svaren i analysfasen. Något som kan påverka validiteten negativt. Vi har under arbetets gång insett att annorlunda formulerade enkätfrågor skulle kunna ha underlättat vårt arbete med att analysera svaren. Med kryssfrågor hade tolkningsutrymmet minskat. Om studien hade varit mer omfattande skulle detta underlaget vara en god pilotstudie som resulterat i en något annorlunda utformad enkät. Ett intressant förslag är att rangordna arbetsformer efter hur ofta de används i undervisningen. Ett annat förslag är en frågeformulering som: beskriv någon övning/aktivitet som du ofta använder i din undervisning för att öva Detta skulle möjligen minimera risken att beskriva en övning som sällan används och som inte speglar verkligheten. Det är rimligt att anta att upprepade genomföranden av studien hade gett samma resultat oberoende av vem som genomför den. Om enkäten hade utformats som vi föreslår ovan så hade antalet tolkningar blivit färre. Detta hade eventuellt kunnat ge ett något annorlunda 25

26 utfall. Vad gäller bortfallet så inser vi den tänkbara möjligheten att bakomliggande orsak är att de helt tar avstånd från arbetet med förmågorna. Om så vore fallet skulle studiens resultat och våra slutsatser påverkas. Av egen erfarenhet från skolorna håller vi för högst sannolikt att den främsta anledningen till bortfallet är tidsbrist och inte något oresonligt förhållningssätt till förmågorna. Vi gör således antagandet att bortfallet inte påverkar studiens tydligaste resultat. Sammantaget anser vi att reliabiliteten är tämligen hög. Underlaget i studien är alldeles för litet för att göra generaliseringar om hela populationen matematiklärare i gymnasieskolan. Studien ger dock en inblick i hur arbetet med matematiken i klassrummet kan se ut, och med förankring i forskning är det rimligt att anta att resultatet liknar den verkliga bilden. Slutreflektioner Vi har sett i studien och erfarit från verksamhetsförlagda utbildningen att få lärare är insatta i arbetet med förmågor fullt ut på ett sätt som styrdokumenten förordar. Därför anser vi att studien är högst relevant för vårt kommande yrkesliv. Vi har fått insyn i förmågornas bakgrund, var de kommer från och syftet med dem. Detta rustar oss att bedriva en genomtänkt undervisning som går i linje med det som styrdokumenten förespråkar. Vi har fått upp ögonen för fallgropar och svårigheter såsom arbetet med relevansförmågan och givits möjlighet att reflektera kring hur dessa kan bemötas. Som vidare forskning skulle vi vilja undersöka tidsaspekten och studera mer ingående hur stor andel av tiden som läggs på arbetet med respektive förmåga. Det skulle också vara intressant att undersöka hur medvetna eleverna är om förmågornas framträdande roll i matematikämnet. 26

27 Referenslista Ahlberg, A. (2001). Lärande och delaktighet. Lund: Studentlitteratur. Blomhöj, M. (2007). Matematisk modellering. I J. Boesen, G. Emanuelsson, A. Wallby & K. Wallby (red.), Lära och undervisa matematik: internationella perspektiv (s ). Göteborg: Göteborgs universitet. Boesen, J., Helenius, O., Bergqvist, E., Bergqvist, T., Lithner, J., Palm, T., & Palmberg, B. (2014). Developing mathematical competence: From the intended to the enacted curriculum. Journal of Mathematical Behavior, 33, Chiriac, E. H. & Hempel, A. (2013). Handbok för grupparbete: att skapa fungerande grupparbeten i undervisning. Lund: Studentlitteratur. Hartman, J. (2001). Grundad teori. Lund: Studentlitteratur. Hartman, J. (2004). Vetenskapligt tänkande. Lund: Studentlitteratur. Helenius, O. (2006). Kompetenser och matematik. Nämnaren, (2006:3), Lester, F. K. & Lambdin, D. V. (2007). Undervisa genom problemlösning. I J. Boesen, G. Emanuelsson, A. Wallby & K. Wallby (red.), Lära och undervisa matematik: internationella perspektiv (s ). Göteborg: Göteborgs universitet. Niss, M. & Höjgaard Jensen, T. (2002). Kompetencer och Matematiklæring. (Uddannelsestyrelsens temahaefteserie, nr 18). Köpenhamn: Undervisningsministeriet. Popov, O. & Ödmark, K. (2013). Relevansförmågan. Tillgänglig: Rystedt, E. & Trygg, L. (2005). Matematikverkstad. Göteborg: Göteborgs universitet. Skolverket (2003). Lusten att lära: med fokus på matematik. Stockholm: Fritzes. 27

28 Skolverket (2011a). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för gymnasieskola Stockholm: Fritzes. Skolverket (2011b). Om ämnet matematik. Tillgänglig: Stedöy, I. M. (2007). Hur blir man en duktig matematiklärare? I J. Boesen (red.), Lära och undervisa matematik: internationella perspektiv (s ). Göteborg: Göteborgs universitet. Trost, J. (2012). Enkätboken. Lund: Studentlitteratur. Utbildningsdepartementet (2012). Regeringsbeslut I:44. Tillgänglig: elyftet.pdf Vetenskapsrådet (u.å.). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning. Tillgänglig: 28

29 Bilagor Bilaga 1 Enkät Hej! Vi är två lärarstudenter som skriver vårt examensarbete om hur de matematiska förmågorna används i skolan. Examensarbetet kommer att publiceras i MUEP, Malmö University Electronic Publishing. Inga namn eller skolor kommer att presenteras, men citat kan förekomma. Avsikten med enkäten är att få en inblick i hur arbetet med förmågorna kan se ut. Avsikten är inte att värdera någon lärares undervisning. Vi önskar att du svarar ärligt och uttömmande på denna anonyma enkät. Ditt svar är värdefullt och gör vårt arbete möjligt! Vi är mycket tacksamma för din medverkan! Jonas Segervill & Hanna Jiborn Ja Nej 1. a) Har du någon gång övat begreppsförmåga i din undervisning? b) Om ja, beskriv någon övning/aktivitet som du har använt i din undervisning för att öva begreppsförmågan. 29

30 2. a) Har du någon gång övat procedurförmåga i din undervisning? Ja Nej b) Om ja, beskriv någon övning/aktivitet som du har använt i din undervisning för att öva procedurförmågan. Ja Nej 3. a) Har du någon gång övat problemlösningsförmåga i din undervisning? b) Om ja, beskriv någon övning/aktivitet som du har använt i din undervisning för att öva problemlösningsförmågan. 30

31 4. a) Har du någon gång övat modelleringsförmåga i din undervisning? b) Om ja, beskriv någon övning/aktivitet som du har använt i din undervisning för att öva modelleringsförmågan. Ja Nej Ja Nej 5. a) Har du någon gång övat resonemangsförmåga i din undervisning? b) Om ja, beskriv någon övning/aktivitet som du har använt i din undervisning för att öva resonemangsförmågan. 31

32 6. a) Har du någon gång övat kommunikationsförmåga i din undervisning? Ja Nej b) Om ja, beskriv någon övning/aktivitet som du har använt i din undervisning för att öva kommunikationsförmågan. Ja Nej 7. a) Har du någon gång övat relevansförmåga i din undervisning? b) Om ja, beskriv någon övning/aktivitet som du har använt i din undervisning för att öva relevansförmågan. 32

33 Kryssa i på vilket sätt du bedömer respektive förmåga. Mer än ett kryss per förmåga är tillåtet. Sista raden fylls i med ord. Förmåga: Form: Enskilt skriftligt Begrepp Procedur Problem Modell Resonemang Kommunikation Relevans Enskilt muntligt Grupp skriftligt Grupp muntligt Annan form, nämligen: 33