Kapacitans, ström och resistans. Emma Björk

Transkript

1 Kapacitans, ström och resistans Emma Björk

2 Viktiga samband! 1 q Elektriskt fält från punktladdning : E 2 4πε 0 r rˆ Kraft på laddning : F QE Elektrisk potential från punktladdning : V Potentiell energiändring för laddning : U 1 4πε 0 q r Q V V för rörelse i elektriskt fält V E dl V för rörelse längs homogent fält : V Ed b a

3 Kapitel: 24 Kapacitans och dielektriska material Definition av kapacitans Plattkondensatorn Serie och parallellkopplade kondensatorer Energilagring i kondensatorer Dielektriska material, polarisation

4 Kapacitans Två ledande kroppar anslutna till en spänningskälla V erhåller laddningen + respektive Q. Systemet karaktäriseras av sin Kapacitans C som ges av: C Q C F (Farad) V V Kapacitansen beror enbart av: Systemets geometri Egenskaper hos det omgivande mediet V OBS! Här betyder C och C olika saker! C är kapacitans och C är enheten Coulomb.

5 Plattkondensator Fig Fältstyrka mellan plattorna (Kap. 21) : E Potentialskillnad : Kapacitans: V C ab σ ε 0 Q V Ed Q / A ε 0 Qd ε A ε0a d 0 Q ε A 0

6 Kondensatorer Elektronikkomponenter som har given kapacitans är mycket vanliga och kallas kondensatorer på svenska (capacitorspå engelska). Figuren visar s.k. elektrolytkondensatorer med kapacitans i mikrofaradområdet. Fig. 24.4

7 Seriekopplade kondensatorer Fig. 24.8

8 Parallellkopplade kondensatorer Fig. 24.9

9 Ex. 24.6, nätverk med kondensatorer. Finn den ekvivalenta kapacitansen. Fig

10 I kap. 23 såg vi att laddningen Qsom flyttades från potentialen V 0till potentialen Vändrade sin potentiella energi U QV. Betyder det att den energi som finns lagrad i en kondensator också ges av QV? NEJ! Om vi delar upp laddningen i små paket dq, så är potentialen v över plattorna ej konstant under uppladdningsförloppet. q dq dw vdq C W Q 1 q Q W dw q dq C 0 C 2 2C 0 0 Dvs. potentiell energiu lagrad i kondensator : U Energilagring i kondensator 2 Q 2C 1 2 CV QV Q (Dvs. hälften av uttrycket ovan)

11 För plattkondensatorn kan vi enkelt räkna ut energitätheten uhos det elektriska fältet, vars volym är volymen mellan plattorna, Ad. u Energitäthet Använd C u 1 ε 0E 2 E-fältets energitäthet 2 ε 0 A d ( 1/ 2) CV Ad och V sort Elektriska energitätheten i 2 Ed J m 3 vakuum Kan visas att detta uttryck gäller för alla geometrier!

12 Dielektrikum Kondensator med dielektrikum mellan plattorna (Dielektrikum isolerande material) Om ett dielektrikumförs in mellan plattorna minskar spänningen, dvs, kapacitansen ökar. Q Eftersom C V Vi definierar "dielektric K V C C 0 V0 K V0 V constant"(obs engelska!) :

13 Dielektrikatmellan plattorna i en kondensator fyller tre funktioner: Isolerar dem från varandra trots liten separation Gör att högre spänning kan användas Höjer kapacitansen Effekten av dielektrikum Fig

14 Varför påverkar ett dielektrikum kapacitansen? När en isolator utsätts för ett E-fält kommer de negativa elektronerna och de positiva kärnorna att förskjutaslite relativt varandra, materialet polariseras. Detta ger upphov till ett motriktatfält, så att nettoeffekten blir att den ursprungliga fältstyrkan minskar. För vakuum är diel. constant K 1. För alla andra ämnen är K > 1.

15 Med dielektrikumminskar potentialen en faktor dvs även fältet minskar så att Kondensator med dielektrikum ε ε (Def. av Permittivity) dvs använd εistället för ε 0 Problem! Eng. K är dielectric constant, ε är permittivity Sv.Kε r är relativ dielektricitetskonstant, εär dielektricitetskonstant

16

17 Kapitel: 25 Ström, motstånd och emf Nu lämnar vi elektrostatiken! Visa under vilka villkor det kan finnas E-fält i ledare Införa begreppet emf(electromotoric force) Beskriva laddningars rörelse i ledare Införa begreppen ström, strömtäthet och resistans Ohms lag Tillämpningar på enkla kretsar Energi och effekt i kretsar

18 Strömmar och jämvikt Kap : Elektrostatik dvs. vi betraktar situationen när alla laddningar rört sig färdigt och intagit sina jämviktspositioner. I detta läge har vi inga strömmar. (Innan jämviktsläget inträffat flyter dock strömmar)

19 Sluten krets av ledande material Laddningsneutralitet överallt E-fältet alstras av en emf, ε(elektro Motoric Force) [V] En konstant ström flyter i kretsen Vi lämnar nu elektrostatiken! Rörliga negativa laddningsbärare (elektroner) Stillastående positiv bakgrundsladdning E-fält Ledare som bildar + sluten slinga - + emf - laddningspump E-fält - +

20 Elektronernas rörelse i en ledare I en metall är de yttersta elektronerna hos varje atom fria att röra sig, och kallas ledningselektroner. De rör sig alltid (även utan elektriskt fält) p.g.a. temperaturen. (Samma situation som gasmolekyler). Deras hastighet vid rumstemperatur pga termisk rörelse är hög, ca 10 6 m/s, men helt o-ordnad. Om det dessutom finns ett E-fält kommer elektronerna att få en drifthastighet av ca 10-4 m/s (!)som läggs till den termiska rörelsen. Elektronerna rör sig alltså långsamt i fältets riktning, men E-fältet fortplantas snabbtnär en strömbrytare sluts.

21 Elektrisk ström I Samma ström erhålls om positiva laddningsbärarerör sig i fältets riktning eller negativa som rör sig mot fältet. I metaller vet vi att laddningsbärarna är negativa elektroner, men av historiska skäl tänker vi oftast på laddningen som positiva enheter som rör sig med fältet. Vi definierar strömmen i en ledare som den nettoladdning som flyter genom en tvärsnittsyta per tidsenhet, dvs. I dq dt med enhet A för Ampere, C s

22 Ström I, strömtäthet, drifthastighet v d, när antalet laddningbärareper m 3 och v d deras genomsnittshastighet och qderas laddning. På tiden dtgår laddningen dqa v d dt n qgenom ytan A. och laddningsbärartäthet n Vi definierar J som ström/area med enhet med vektorer

23 I vs Observera att ström I, mängden laddning som passerar ett tvärsnitt av en ledare per tidsenhet, inteär en vektorstorhet. Den har dock tecken som anger vilken riktning (i förhållande till en i förhand definierad riktning) den har i ledaren. Strömtätheten, däremot är en vektorstorhet, och kan anges för en godtycklig punkt i en ledare. I en ledare med area Adär strömtätheten är konstant och parallell med ledaren: I JA

24 Resistivitet ρ, konduktivitet σ, Ohms lag För många ledande material (speciellt metaller) är strömtätheten proportionell mot E-fältet, dvs: J σ E 1 ρ σ E ρ J där σ är konduktivitet där ρ är resistivitet Ohms Lag Ohms lag visar att elektronernas drifthastighet begränsas av någon slags friktion! Om förhållandet ovan gäller är materialet Ohmskt

25 Resistans R För praktiska beräkningar är vi mer intresserade av ström Ioch spänning Vän av Joch E(som är svåra att mäta). Betrakta ledaren nedan, och kalla spänningsskillnaden mellan ytorna V. Strömmen gå alltid från den högre spänningen till den lägre, dvs. i E-fältets riktning. Om E-fältet i ledaren är homogent och riktat i ledarens riktning, och strömtätheten J är samma överallt i ledaren blir: Då kan i skriva ρsom! om vi sätter +! erhålls:, +som alla känner som Ohms lag från gymnasiet

26 Materialegenskaper Resistans R, Ohm Ω, Resistivitet ρ, Ω-, (ty ρ. ) Konduktivitet σ, Ω- / Resistorn (motståndet) det vanligaste av alla kretskomponenter

27 Ohms lag ett empiriskt samband Observera att Ohms lag är ett empiriskt sambandsom fungerar utmärkt för metaller och många andra ledare. I vissa fall stämmer den dock inte alls, och den går ej lätt att härleda från grundekvationerna.

28 Resistivitetens temperaturberoende [ 1+ ( T )] ρ( T ) ρ0 α T0 T är här temperaturen (i grader K eller C), αär resistivitetens temperaturkoefficient och ρ 0 är resistiviteten vid referenstemperaturen T 0 (ofta 0 C eller 20 C ). Om antalet laddningsbärare/volymsenhetnär konstant som i en metall brukar ρöka med T, eftersom antalet kollisioner ökar med T(α> 0). Om nökar med T, som i en halvledare, minskar rmed T(α< 0).

29