Beräkning och begränsning av sprickvidd i armerade betongkonstruktioner. Anette Sjölund

Transkript

1 Beräkning och begränsning av sprickvidd i armerade betongkonstruktioner Anette Sjölund Examensarbete i Byggnadsmekanik, KTH Mekanik, Mars 14

2

3 Förord Detta examensarbete har genomförts vid institutionen för Mekanik på Kungliga Tekniska Högskolan, KTH, i Stockholm. Jag vill framföra ett stort tack till alla som har hjälpt mig med detta arbete. Framförallt till mina handledare professor Anders Eriksson vid Institutionen för Mekanik, KTH och Per-Olof Thomasson på Broresurs för handledning, värdefulla kommentarer och idéer. Stockholm Mars 14 Anette Sjölund i

4 ii

5 Sammanfattning Detta examensarbete har två syften. Ett syfte är att sammanställa litteratur kring beräkning och begränsning av sprickvidder i armerade betongkonstruktioner. Det andra syftet var att utveckla en beräkningsrutin som dimensionerar erforderlig armeringsmängd utifrån de utdata som fås ur beräkningsprogrammet BRIGADE. Det finns flera orsaker till att sprickor uppstår i en betongkonstruktion. Förutom yttre belastning kan sprickor uppstå till följd av frostangrepp och angrepp av havsvatten eller kemikalier. Även krympning och temperaturutveckling i samband med att betongen härdar kan orsaka sprickor i konstruktionen. Av flera skäl är det önskvärt att begränsa sprickvidderna i en konstruktion. En sprucken betongyta uppfattas oftast inte som estetisk. För att en betongkonstruktion ska kunna betraktas som vattentät eller gastät tillåts endast små sprickvidder. Sprickvidden i en betongkonstruktion kan avsevärt påverka konstruktionens livslängd. Sprickvidden kan begränsas genom att konstruktionen armeras tillräckligt, samt att armeringen utformas så att den får bäst effekt. Även i samband med utförandet finns möjligheter att påverka sprickor i konstruktionen. Rätt utförande vid gjutningen samt tillsatser i betongen kan reducera uppsprickningen. I detta examensarbete tas beräkning av sprickvidder enligt British Standard, Eurocode, ACI och BBK 4 upp. Genom beräkning av sprickvidden enligt dessa fyra normer där en parameter i taget varieras kan generella slutsatser dras. Att lägga armeringen tätare ger stor skillnad i beräknad sprickvidd. Även en ökad stångdiameter ger ett bättre resultat, medan ett minskat täckande betongskikt inom de gränser som normerna tillåter inte ger någon större effekt. iii

6 iv

7 Summary This masters thesis has two aims. The first is to assemble literature regarding the calculation of crack widths and crack control in reinforced concrete structures. The second aim is to develop a calculation methodology to design required reinforcement from data produced by the calculation program BRIGADE. There are several reasons why cracks appear in reinforced concrete structures. Except for external loads, they appear as a result of attack from frost, seawater or chemicals. Also shrinkage or changes in temperature as the concrete hardens can cause cracks in the structure. Crack control in structures is desirable for a range of reasons including aesthetics, life-span and the ability to provide water or gas proofing. Crack widths can be controlled by providing sufficient reinforcement in a structure and by arranging the reinforcement in the way it has most effect. Additionally, while pouring the concrete, there are ways to affect the number of cracks in a structure. Treating the concrete in the correct way after pouring and also the use of chemicals can reduce cracking. This thesis considers the calculation of crack widths according to British Standard, Eurocode, ACI and BBK 4. Through calculation of crack widths according to these four standards, where one parameter at a time is varied, general conclusions can be drawn. Reducing the reinforcement spacing makes a major difference to the calculated crack width. Also larger bar diameters give better results, while a smaller cover within the boundaries that the standards permit results in no significant effect. v

8 vi

9 Innehållsförteckning: 1. Introduktion Bakgrund 1 1. Syfte Avgränsningar 1. Genomförande/Metodik 3.1 Litteraturstudie 3. Beräkningsrutin 3 3. Sprickvidder Sprickor i armerade betongplattor i allmänhet 5 3. Hur sprickor uppstår Sprickstadier Hur sprickvidden kan begränsas Hur sprickvidden kan beräknas Normer och kriterier British Standard ACI Eurocode BBK Jämförelse mellan normerna Vilka parametrar styr den beräknade sprickvidden starkast? Centrumavstånd mellan stängerna Stångdiametern Täckande betongskikt Sammanfattning av jämförelsen Beräkning av dimensionerande moment i snedvinkligt armerade betongplattor Problem med resultat från numeriska beräkningsprogram i förhållande till normer Beräkningsrutin Beskrivning av rutinen Användarhandledning 1 5. Slutsats Litteratur på området 3 5. Förslag på vidare utredningar 3 Referenser 4 Exempelkörning av beräkningsrutin vii

10 viii

11 1. Introduktion 1.1 Bakgrund Sprickor i en betongkonstruktion kan minska dess livslängd. De gör det möjligt för tösalt, havssalt och andra kemiska ämnen att angripa armeringen och därmed orsaka armeringskorrosion. Genom att begränsa antalet sprickor, och sprickvidden hos de sprickor som uppstår, kan en konstruktions livslängd förlängas. BRIGADE är ett FEM-program för olika typer av brokonstruktioner. Genom att modellera brons geometri, och sedan lägga in aktuell belastning och övriga förutsättningar som indata erhålls utdata i form av moment, tvärkrafter, normalkraft och spänningar. Vid tiden då examensarbetet påbörjades fanns inte någon applikation för att vidare dimensionera armeringen i konstruktionen för dessa krafter. 1. Syfte I litteraturstudien behandlas bakgrunden till sprickbildning och några av orsakerna till att sprickor uppstår. Olika förslag på sätt att minska uppsprickning och sprickvidder diskuteras. Förslag på hur man beräkningsmässigt i samband med dimensioneringen kan beräkna och begränsa sprickor, samt åtgärder som kan vidtas i samband med gjutning, tas upp. Beräkningsrutinen har tagits fram för att underlätta arbetet med att dimensionera armeringen i broar beräknade med programmet BRIGADE. Beräkningsrutinen är inte avsedd som ett beräkningsprogram, utan är en beräkningsgång gjord i Mathcad (Version 15., Parametric Technology Corporation, Needham, USA) som användaren följer och eventuellt anpassar till den aktuella konstruktionen och dess förutsättningar. 1.3 Avgränsningar Examensarbetet har begränsats till en litteraturstudie. Inga egna försök har gjorts. I litteraturstudien har tyngdpunkten lagts på slakarmerade konstruktioner. Spännarmerade konstruktioner behandlas inte. 1

12

13 . Genomförande/Metodik Examensarbetet består av två delar; dels av en litteraturstudie, och dels av utveckling av en beräkningsrutin. Litteraturstudien tar upp sprickor i slakarmerad betong samt normer som behandlar sprickviddsberäkning. Här görs även en jämförelse mellan dessa normer. Beräkningsrutinen som har gjorts i Mathcad, utgår från programmet BRIGADE, framtaget av Scanscot Technology AB, Lund..1 Litteraturstudie Litteraturstudien behandlar sprickor i armerad betong, med tyngdpunkt på beräkning och begränsning av sprickvidden. Här studeras hur sprickor uppstår, och hur de kan beräknas och begränsas. Dels hur sprickor kan begränsas i samband med dimensioneringen av konstruktionen, och dels hur man vid utförandet kan vidta åtgärder som minskar risken för att sprickor uppstår. Olika normer såsom British Standard, ACI, Eurocode och BBK 4 tas upp och jämförs med varandra. Resultatet av litteraturstudien redovisas i kapitel 3.. Beräkningsrutin BRIGADE är en pre- och postprocessor till det generella FEM-programmet Abaqus (Dassault Systèmes S.A., Vélizy-Villacoublay, Frankrike). BRIGADE beräknar moment, tvärkraft, normalkraft och spänningar i modellerade broar. Beräkningsrutinen, som har utvecklats i detta arbete, använder utdata som erhålls ur beräkningsprogrammet BRIGADE som indata. Dessa data används för att beräkna erforderlig armeringsmängd för den givna bron. Dimensioneringen utförs enligt Betonghandboken. För att göra beräkningsrutinen mer överskådlig, har den delats upp i fem delar där erforderlig armering i bron dimensioneras med hänsyn till: 1. Böjande moment. Tvärkraft 3. Genomstansning 4. Utmattning 5. Sprickviddsbegränsning En utförligare beskrivning av beräkningsrutinen återfinns i kapitel 4. 3

14 4

15 3. Sprickvidder 3.1 Sprickor i armerade betongplattor i allmänhet Anledningen till att sprickor uppkommer i betongkonstruktioner är, förutom yttre laster bl.a. frostangrepp, angrepp av havsvatten, kemiska angrepp, urlakning, cement-ballastreaktioner och krympning. Även temperaturdifferenser är en av de vanligaste orsakerna till sprickor i betong. Oavsett varför sprickorna har uppstått kan de leda till att rost angriper armeringen, vilket i sin tur påverkar konstruktionens bärförmåga. Förutom risken för armeringskorrosion kan det finnas fler orsaker till att man vill förhindra eller begränsa sprickors uppkomst i en betongyta. Dels uppfattas en sprucken betongyta oftast inte som estetisk, och dels kan man vilja att konstruktionen ska vara vattentät och/eller gastät. Man kan också vilja undvika sprickor p.g.a. krav på ljudisolering. Det som en konstruktör kan göra för att undvika sprickors uppkomst är bl.a. att välja lämplig armeringsmängd och betongkvalitet samt föreskriva ett tillräckligt tjockt täckskikt. Det är ofta sprickviddsbegränsningen som styr hur stor armeringsmängden blir. Ju noggrannare man kan beräkna en förväntad sprickvidd desto mer ekonomi kan man få i armeringen, genom att lägga den rätt och inte använda större mängder än vad som verkligen krävs. Sprickvidden definieras normalt som sprickans vidd vid betongytan, mätt vinkelrätt mot den riktning som sprickan löper i. Sprickvidden är inte konstant utan avtar från betongytan mot armeringsstången. Mellan glest liggande armeringsstänger ökar sedan sprickvidden till mitt emellan armeringsstängerna. Man brukar skilja på aktiva och passiva sprickor. Sprickvidden hos en aktiv spricka varierar medan sprickvidden hos en passiv spricka är konstant. Man skiljer också på sprickor som löper vinkelrätt mot eller parallellt med armeringen. Sprickor som löper parallellt med armeringen innebär en stor risk i en korrosionsaggressiv miljö. Sprickor som uppstått p.g.a. yttre laster har normalt inte någon större inverkan på konstruktionens bärförmåga. Sprickorna säger dock en del om konstruktionen. Stora växande sprickor visar att konstruktionen utsätts för så stor last den kan bära. Stora vertikala sprickor i en balk är ett tecken på att momentkapaciteten utnyttjas maximalt, medan stora sneda sprickor visar att tvärkraften är förhållandevis mycket stor. Armering används för att begränsa sprickvidden, inte för att undvika sprickor. Denna armering har inte någon verkan förrän sprickorna har uppkommit. När man vill begränsa sprickor är det viktigt att använda en passande armering. En tumregel är att tätare armering och mindre stångdiameter motverkar stora sprickvidder bättre än glesare armering och större stångdiameter. Ju större spänningen i armeringen blir, desto mindre stångdiameter bör man välja. Genomgående sprickor begränsas genom att koncentrera armeringen till områden där krafterna blir som störst. För att fördela sprickor i betongens yta kan ytarmering läggas in. I stället för att en stor 5

16 spricka uppstår sprids dragspänningen då ut så att många små sprickor uppstår. Att helt eliminera uppkomsten av sprickor är egentligen inte möjligt. Det är normalt inte intressant att försöka åstadkomma en helt sprickfri betongyta då det leder till mycket stora byggkostnader. Om man, å andra sidan, ställer för låga krav på maximalt tillåten sprickvidd i en konstruktion är risken stor att man får brottas med stora reparations- och underhållskostnader längre fram. 3. Hur sprickor uppstår Vid dragbelastning uppstår den första sprickan där betongens draghållfasthet är lägst. Varefter belastningen ökar, ökar också antalet sprickor. Sprickor som uppstår p.g.a. yttre laster är naturliga och innebär vanligen inte någon fara för bärförmågan i korrekt armerade konstruktioner. Termiska och andra tvångsinitierade sprickor kan dock påverka bärförmågan. Vid sprickan finns ingen spänning i betongen. Spänningen kan förenklat antas öka linjärt med avståndet från sprickan. Inom ett avstånd från sprickan, den s.k. överföringssträckan, har töjningen återställts och betongen har åter nått den ursprungliga draghållfastheten. Ytterligare sprickor kan vid ökad belastning endast bildas utanför överföringssträckan. I övrigt kommer sprickorna även i fortsättningen att uppträda slumpvis till dess att spänningen i betongen inte någonstans överskrider dess draghållfasthet. Detta tillstånd kallas "slutlig sprickbild". Varje armeringsstång omges av en begränsad verkningszon. Då armeringens totala verkningszon omfattar hela dragzonen löper de flesta sprickorna genom hela dragzonen. Dessa sprickor kallas primärsprickor. De sprickor som endast löper genom en del av dragzonen kallas sekundärsprickor. Det behövs ingen större kraft för att dessa sekundärsprickor ska uppstå. För att kunna beräkna den kraft som krävs för att sekundära sprickor ska uppstå använder man sig av en effektiv betongarea. Då sprickavståndet ska beräknas för den slutgiltiga sprickbilden är den effektiva betongarean dimensionerande. 3.3 Sprickstadier Då man belastar en konstruktion med dragkraft till brott kan man urskilja tre olika tillstånd: Tillstånd I: Ingen töjningsskillnad mellan stål och betong har uppstått. Konstruktionen är osprucken. Tillstånd II: En töjningsskillnad mellan stål och betong uppstår bitvis. Enstaka sprickor har uppstått. Tillstånd III: En töjningsskillnad finns i hela konstruktionen. Betongspänningen kan aldrig överskrida draghållfastheten. Detta tillstånd kallas också det slutliga tillståndet. I tillstånd I är tvärsnittet osprucket. Den dragspänning som konstruktionen utsätts för är i 6

17 varje tvärsnitt lägre än betongens draghållfasthet. I detta tillstånd har armeringsmängden ingen större betydelse för konstruktionens styvhet. När den första sprickan väl har uppstått, i tillstånd II, ökar antalet sprickor snabbt i takt med ökande belastning. Det som i detta tillstånd påverkar den fortsatta sprickbildningen är armeringsmängden, stångdiametern, vidhäftningen mellan betong och armering samt fördelningen av draghållfastheten i den inhomogena betongen. Avståndet mellan sprickorna blir mindre ju mindre armeringsmängden och stångdiametern är, och ju bättre vidhäftningen mellan betong och armering är. Konstruktionens styvhet avtar med ökande antal sprickor, och antalet sprickor ökar med ökande belastning. I tillstånd III förändras sprickavståndet knappt alls. Den avtagande styvheten hos konstruktionen resulterar främst i att vidhäftningen mellan betong och armering försämras, i synnerhet kring själva sprickorna. När sprickor uppstår överförs dragspänningen från betongen till armeringsstålet vilket leder till olika töjning i betong och armering. En konstruktion befinner sig normalt i alla tre tillstånden samtidigt. I vilket tillstånd en konstruktion befinner sig beror enbart på samspelet mellan konstruktionen och belastningen. En spricka i ett tvärsnitt uppstår där betongens draghållfasthet lokalt överskrids. Sprickans läge kan synas vara beroende av slumpen på så sätt att sprickan uppstår där den inhomogena betongens draghållfasthet råkar vara lägst. I spricktvärsnittet tas dragspänningen upp av armeringsstängerna. 3.4 Hur sprickvidden kan begränsas Att sprickor uppstår kan inte förhindras, däremot kan sprickvidden begränsas. Beroende på konstruktionens exponeringsklass tillåts olika stor sprickvidd. Till exempel tillåts generellt sett betongkonstruktioner i uppvärmt utrymme ha en större sprickvidd (ca,4 mm) än betongkonstruktioner utsatta för avisningsmedel eller konstruktioner som ska vara vatten- eller gastäta (mindre än, mm). För att begränsa sprickvidderna i en konstruktion, kan man arbeta med olika parametrar beroende på vad orsaken till sprickorna är. Sprickor som uppstår p.g.a. yttre belastning kan begränsas genom att öka mängden armering. Genom att välja en mindre stångdiameter och ett tätare stångavstånd erhålls fler sprickor men med en mindre sprickvidd, något som föredras framför få men stora sprickor. Även krympsprickor begränsas med hjälp av en ökad armeringsmängd. Ju mindre spänningen i armeringen är, desto mindre blir sprickvidden. Betong med hög hållfasthetsklass krymper mer än betong av lägre hållfasthetsklass, då slutkrympningen vanligen minskar med ökande cementmängder och minskande vattencementtal. För att undvika stora sprickor läggs en sprickfördelande armering in som har en dragkraftskapacitet som motsvarar betongens dragkraftskapacitet innan sprickbildning inträffar d.v.s. betongens draghållfasthet. Genom att inte välja en högre betongkvalitet än vad konstruktionen 7

18 verkligen kräver kan man minska erforderlig armeringsmängd för sprickviddsbegränsning. Genom att föreskriva anläggningscement kan krympningen minskas. Anläggningscement ger en mindre värmeutveckling i samband med att betongen brinner. Detta har en gynnsam inverkan på betongens krympning och därmed på sprickbildningen. På marknaden finns också ett flertal kemiska tillsatser som kan tillsättas betongen vid tillverkning för att minska dess krympning. Dessa tillsatser verkar genom att minska ytspänningen hos porvattnet i betongen vilket därmed minskar krympeffekten när detta avgår. 3.5 Hur sprickvidden kan beräknas Vid beräkning av sprickvidden i en konstruktion tar samtliga normer, som tas upp i detta arbete, hänsyn till ungefär samma parametrar. Samtliga fyra normer beaktar en effektiv betongarea som har samma tyngdpunkt som den dragna armeringen. Se figur 1. Figur 1. Effektiva betongarean. Ju mindre den effektiva betongarean är, desto mindre armering krävs. Således kan man genom att minska täckande betongskikt och stångdiameter så långt det går, minska mängden erforderlig armering. Sedan ett antal skadefall uppdagats i Sverige rekommenderar Svenska Betongföreningen i sin Rapport nr 13, att man i stället för att räkna med en effektiv betongarea, räknar med hela tvärsnittshöjden. I normerna tas även hänsyn till betongens draghållfasthet. Ju högre denna är, desto mer armering krävs. 3.6 Normer och kriterier För att se vilka parametrar som respektive norm tar hänsyn till vid beräkning av sprickvidden, studeras beräknad sprickvidd enligt fyra olika normer mer ingående. De normer som tas upp är den brittiska normen British Standard, Eurocode, den amerikanska 8

19 normen ACI samt svenska BBK 4. Både British Standard (BS 811) och svenska BBK 4 har ersatts av Eurocode British Standard Enligt British Standard, BS 811-, styrs sprickvidden främst av tre parametrar: - Avståndet från den betraktade punkten till armering vinkelrätt mot sprickan - Avståndet från den betraktade punkten till det neutrala lagret - Medeltöjningen vid ytan vid den betraktade punkten Sprickbredden kontrolleras i en punkt vid betongens yta mitt emellan två armeringsstänger. Utifrån detta anses sprickbredden kunna beräknas med tillräcklig noggrannhet med uttrycktet: = där 3 1+ h = (h)( ) 3 () a är avståndet från den tryckta ytan till den punkt där sprickbredden beräknas a cr är avståndet från den punkt där sprickbredden beräknas till närmaste dragarmerings yta A s är dragarmeringens tvärsnittsarea b t är den betraktade konstruktionens bredd vid armeringens nivå c min är minsta täckande betongskikt d är den effektiva höjden E s är armeringens elasticitetsmodul (N/mm ) h är konstruktionens höjd x är avståndet till det neutrala lagret d.v.s. tryckzonens höjd e 1 e m är töjningen på den nivå där sprickbredden beräknas är medeltöjningen där sprickbredden beräknas 3.6. ACI Enligt ACI anses stålspänningen och ståltöjningen vara de viktigaste parametrarna. Även det täckande betongskiktet anses vara en viktig geometrisk parameter. Som i andra normer använder man sig även här av en beräknad effektiv betongarea. I motsats till andra normer anses dock inte stångdiametern vara viktig. Viktigt att notera är att den amerikanska normen inte använder SI-enheter utan amerikanska enheter. Sprickbredden beräknas här i amerikanska enheter och kan sedan räknas om till SI-enheter. Med hjälp av en ekvation framtagen av Gergely och Lutz beräknas den maximala sprickvidden: 9

20 $ =,76!" # där w d c sprickvidden vid den dragna betongens yta i,1 in. täckande betongskikt räknat från betongens yta till centrum av det närmaste armeringslagret i in. f s stålspänningen i kip/in. A effektiv dragen betongarea med samma centrum som armeringen i in. β Eurocode kvoten mellan avståndet från neutrala lagret till den dragna betongens yta, och avståndet från det neutrala lagret till armeringens tyngdpunkt. För att förenkla brukar β i praktiken sättas till 1, för balkar och 1,35 för plattor. Enligt Eurocode behöver inte sprickbredden beräknas för armerade betongplattor med totalhöjd mindre än mm. I stället anses inte oacceptabla sprickbredder uppstå om centrumavståndet mellan armeringsstängerna respektive stångdiametern begränsas till de värden som anges i tabellerna i Eurocode kapitel För övriga konstruktioner beräknas den karakteristiska sprickbredden w k enligt kapitel som avståndet mellan sprickorna gånger skillnaden mellan töjningen i armeringen och töjningen i betongen mellan sprickorna. % =&, '( ( ) där s r,max e sm e cm är största sprickavstånd i mm. är armeringens medeltöjning under aktuell lastkombination, inklusive inverkan av påtvingade deformationer och med beaktande av betongtöjningen mellan sprickor. Endast tillkommande armeringstöjning utöver nolltöjningen i betongen på samma nivå beaktas. är medeltöjningen i betongen mellan sprickor e sm e cm får beräknas med uttrycket = ) * ",+,, -.,+,, / ,+,, 1 där σ s a e dock minst,6 ) är armeringsspänningen beräknad för sprucket tvärsnitt i MPa är E s /E cm 1

21 r p.eff (A s + ξ 1 A p )/A c,eff A s är armeringsarean för slakarmering. Anges i mm. A p är area på eventuella före- eller efterspända spännenheter inom A c,eff i mm. A c,eff är effektiv betongarea kring armering eller spännenheter med höjden h c,ef som är det mindre av,5(h-d), (h-x)/3 och h/. Anges i mm. f ct,eff är medelvärdet på betongens draghållfasthet vid den tidpunkt då första sprickan förväntas uppkomma. är armeringens elasticitetsmodul. E s ξ 1 är justerad kvot mellan ev. spännarmerings och armeringens vidhäftningshållfastheter samt armeringens olika diametrar. = ξ F s F p k t är kvot mellan eventuell spännarmerings och armeringens vidhäftningshållfastheter enl. tabell 6. i största diameter för armeringen i mm. ekvivalent diameter för spännenhet i mm. är en faktor som beror av lastens varaktighet k t =,6 för korttidslast k t =,4 för långtidslast Om armeringen inom dragzonen är tillräckligt tät, och har ett centrumavstånd mindre än kan maximalt slutligt sprickavstånd beräknas enligt 8 &, '( =* : + * * 8 * ; 4 -.,+,, där F är stångdiametern i mm. Om stänger med olika diameter används bör en ekvivalent stångdiameter F eq användas. För n 1 stänger med diametern F 1 och n stänger med diametern F kan F eq beräknas som: 4 +< = = = = 4 += c är längsgående armeringens täckande betongskikt i mm. k 1 är en koefficient som beaktar den vidhäftande armeringens vidhäftningsegenskaper. k 1 =,8 för stänger med god vidhäftning, och 1,6 för stänger med slät yta som t.ex. spännarmering k är en koefficient som beaktar spänningsfördelningen. k =,5 för böjbelastning, och 1, för dragbelastning. Vid excentrisk dragbelastning används ett viktat värde för k = (ε 1 +ε )/(ε 1 ) k 3 = 1, k 4 =,45 enligt Nationellt appendix EKS9 11

22 3.6.4 BBK 4 I BBK 4 behandlas sprickviddsberäkning i kapitel Enligt detta kapitel beräknas sprickviddens medelvärde w m och karakteristiska värde w k enligt nedanstående. Beräkningsgången gäller under två förutsättningar: Den första är att armeringen i konstruktionen uppfyller villkoren för minimiarmering enligt BBK 4 kapitel Den andra förutsättningen är att armeringsriktningen inte avviker från huvudspänningsriktningen mer än 15 grader. % =1,7 = >& ) > =1? 8,@A B C DE C D dock gäller ν,4 Medelavståndet mellan sprickorna, s rm, beräknas enligt & =5+ F F = +, F 8 =,5 +, 8(h) där E s s rm β κ 1 κ ν är armeringens elasticitetsmodul, E s = GPa. är sprickavståndets medelvärde i mm. är en koefficient som beaktar inverkan av långtidslast och lastupprepning. β = 1, för första pålastningen, β =,5 för långtidslast eller mångfaldig lastupprepning. är en koefficient som beaktar inverkan av armeringens vidhäftning. κ 1 =,8 för kamstänger κ 1 = 1, för profilerade stänger κ 1 = 1,6 för släta stänger För profilerade stänger kan κ 1 sättas till,8, om stängerna har en specifik kamarea som är större än,15d för nominell stångdiameter d < 1 mm, och större än,d för d> 1 mm. är en koefficient som beaktar töjningsfördelningen är en koefficient som beaktar medverkan av dragen betong mellan sprickor 1

23 σ s σ sr är spänningen i sprickan för ospänd armering. För spännarmering medräknas endast den del av spänningen som överstiger det värde som motsvarar effektiv spännkraft i MPa. är värdet på σ s vid beräknad spricklast i MPa. A ef är effektiv betongarea i mm. Den del av dragzonen som har samma tyngdpunkt som armeringen. d ef är höjden av den effektiva betongarean i mm. A s är armeringsarean i mm. F är stångdiametern i mm. 3.7 Jämförelse mellan normerna Vilka parametrar styr den beräknade sprickvidden starkast? En jämförelse av ovanstående normer kan vara intressant för att urskilja vilka parametrar som i respektive norm anses påverka sprickvidden mest, och vilka parametrar som inte anses påverka sprickvidden i samma utsträckning. För att jämföra ovan nämnda normer med varandra, och resultaten av dessa, beräknas sprickvidden i en platta med följande grundförutsättningar: - Tvärsnittshöjden är 1, m - Dimensionerande moment är 451,7 knm - Stångdiametern i plattans huvudbärriktning väljs till 16 mm - Armeringens centrumavstånd sätts till 15 mm - Täckande betongskikt sätts till 35 mm - Betongkvaliteten är C35/45 och armeringens kvalitet B5B. Figur. Tvärsnitt genom betongplatta. Något som bör observeras är att de enskilda värdena i resultaten från respektive norm inte ska jämföras med varandra, då beräkningsexemplet utgår från samma dimension- 13

24 erande moment. För att kunna jämföra värdena från respektive norm med varandra, ska givna karakteristiska laster som belastar konstruktionen kombineras enligt respektive norms olika lastkombinationer med tillhörande lastfaktorer. Här studeras endast de parametrar som kan varieras för att påverka den beräknade sprickvidden. Ovanstående förutsättningar ger en beräknad sprickvidd enligt respektive norm: BS:,6 mm ACI:,1 mm Eurocode:,1 mm BBK 4:,61 mm För att se vilka parametrar som väger tyngst, och därmed ger störst variation av resultatet varieras en parameter i taget. De parametrar som varieras här påverkar inte konstruktionens geometri, som ofta är låst av yttre förutsättningar. De parametrar som undersöks är: - Centrumavståndet mellan stängerna - Stångdiameter - Täckande betongskikt Centrumavståndet mellan stängerna Genom att minska avståndet mellan stängerna, och därmed öka armeringsmängden utan att påverka någon annan parameter, kan man minska sprickvidden. Beräknad sprickvidd som funktion av centrumavståndet Beräknad sprickvidd (mm) 1,6 1,4 1, 1,8,6,4, centrumavstånd (mm) BS ACI Eurocode BBK Genom att beräkna sprickvidden som funktion av centrumavståndet kan man se att enligt British Standard är minskningen av sprickvidden med minskat centrumavstånd i stort sett är linjär. En halvering av centrumavståndet från 3 mm till 15 mm ger en minskning av sprickvidden med 57 %, medan en halvering av centrumavståndet från 15 mm till 75 mm ger en minskning av sprickvidden med 14

25 53 %. Motsvarande jämförelse för Eurocode ger en minskning av sprickvidden med 73 % om centrumavståndet halveras från 3 mm till 15 mm, och en minskning med 77 % om centrumavståndet minskas från 15 mm till 75 mm. Om samma jämförelse görs för sprickvidden enligt ACI kan man se att sprickvidden varierar i proportion till centrumavståndet mellan stängerna. En halvering av centrumavståndet ger en halvering av sprickvidden. En halvering av centrumavståndet från 15 mm till 75 mm skulle enligt BBK 4 ge en minskning av sprickvidden med 58 % Stångdiameter Ett annat alternativ är att öka armeringsmängden genom att behålla samma centrumavstånd men öka stångdiametern. Om stångdiametern ökas, ökas även den effektiva betongarean som för samtliga normer är b x (c + F+ c). 1,6 Beräknad sprickvidd som funktion av stångdiametern Beräknad sprickvidd (mm) 1,4 1, 1,8,6,4, BS ACI Eurocode BBK stångdiameter F (mm) Generellt sett kan man se för samtliga normer att en ökad stångdiameter snabbt ger en minskad sprickvidd, framför allt när man arbetar med mindre stångdiametrar. En ökning från F16 till F ger för BBK 4 minskning av sprickvidden med 43 %, för Eurocode en minskning med 53 %, för ACI en minskning med 33 % medan samma förändring för British standard endast ger en minskning med % Täckande betongskikt Valet av täckande betongskikt styrs starkt av vilken exponeringsklass och livslängd som konstruktionen dimensioneras för. Ofta kan täckskiktet endast varieras inom ett mycket litet intervall (ca 5 mm) genom att vattencementtalet justeras. Om det täckande betongskiktet minskas, minskas även den effektiva betongarean. 15

26 Beräknad sprickvidd (mm) 1,9,8,7,6,5,4,3,,1 Beräknad sprickvidd som funktion av täckande betongskikt täckande betongskikt (mm) BS ACI Eurocode BBK En minskning av täckande betongskikt från 4 mm till 3 mm ger ACI en minskning av sprickvidden med 15 %. Motsvarande minskning är för BBK 4 19 %, för Eurocode % och för British Standard 13 % Sammanfattning av jämförelsen Av jämförelsen framgår att trots att beräkningsgången för de olika normerna ser mycket olika ut, så väger de olika parametrarna ungefär lika tungt i respektive norm. Det framgår också att det effektivaste sättet att minska sprickvidden är att minska centrumavståndet mellan stängerna. En halvering av centrumavståndet i exemplet ovan gav en minskning av sprickvidden på ca 5 7 %. Ett annat alternativ är att öka stångdiametern. Då man jämför mindre stångdiametrar ger en ökning av dimensionen stor effekt. Ju större dimension på armeringen som man arbetar med, desto mindre effekt får ökningen. Det tredje sättet att minska sprickvidden är att minska det täckande betongskiktet. Detta har både beräkningsmässigt, och i praktiken, en mycket liten inverkan på sprickvidden. 3.8 Beräkning av dimensionerande moment i snedvinkligt armerade betongplattor I samband med dimensionering av plattrambroar kan det, med hänsyn till geometrin underlätta att lägga armeringslagren i längd- respektive tvärriktningen i en annan vinkel än 9 grader. Av samma skäl kan man även vilja lägga armeringen i en annan riktning än i huvudspänningarnas riktningar. 16

27 Figur 3. Beräkning av momenten i armeringsriktningen i en tvåsidigt upplagd, snedvinkligt armerad platta. Enligt Rüsch kan de dimensionerande momenten i respektive armeringsriktning beräknas enligt nedan. För vinkeln: H 8 9J KL MN135 J O P = 1 sin(n) (O sin(nl)cos(l)+o 8 V& 8 (NL) + O sin(l)cos(l)o 8 cos(l)cos(nl) ) 1 O X = sin(n)tan(nl) (O &[= 8 (L)+O 8 sin(nl)cos(l) + O sin(l)sin(nl)o 8 sin(nl)cos(nl) ) För vinkeln: N135 J KL K 45 J O P = 1 sin(n) (O sin(nl)cos(l)+o 8 V& 8 (NL) + O sin(l)cos(l)o 8 cos(l)cos(nl) ) O X = 1 sin(n) (O &[= 8 (L)+O 8 cos(l)sin(nl) + O sin(l)sin(nl)o 8 sin(nl)cos(nl) ) 17

28 För vinkeln: 45 J ML K H 8 O P = tan(l) sin(n) (O sin(nl)cos(l)+o 8 V& 8 (NL) + O sin(l)cos(l)o 8 cos(l)cos(nl) ) O X = 1 sin(n) (O &[= 8 (L)+O 8 sin(nl)cos(l) + O sin(l)sin(nl)o 8 sin(nl)cos(nl) ) Utifrån dessa dimensionerande moment kan sedan motsvarande spänningar och sprickvidder beräknas. Att lägga armeringen snedvinkligt ger dock en ökad armeringsmängd jämfört med att lägga den rätvinkligt. Enligt Uppenberg ökar armeringsmängden med ]^_(?) jämfört med rätvinklig armering. 3.9 Problem med resultat från numeriska beräkningsprogram i förhållande till normer Vid beräkning av dimensionerande krafter med hjälp av FEM-program som exempelvis BRIGADE beräknas egentligen huvudspänningarna och deras riktningar. Huvudspänningarnas riktningar skiljer sig ofta i varje punkt från den valda armeringsriktningen. Vid beräkning av dimensionerande krafter räknas därför huvudspänningarna om till spänningar i armeringsriktningarna enligt den princip som redovisas i kapitel 3.8. FEM-programmen beräknar snittkrafterna i varje elementnod i det nät som användaren väljer. Detta medför en risk att man i vissa noder kan få extrema värden som endast gäller mycket lokalt, och som måste jämnas ut. 18

29 4. Beräkningsrutin 4.1 Beskrivning av rutinen Beräkningsrutinen är gjord i Mathcad och utgår från utdata som fås ur FEM-programmet BRIGADE. Dessa utdata som består av max- och min-envelopper anges som indata i beräkningsrutinen. Med hjälp av rutinen beräknas erforderlig armeringsmängd enligt Betonghandboken. För att göra beräkningsrutinen mer lätthanterlig och överskådlig har den delats upp i fem delar, som är avsedda att användas i den ordning som de är numrerade: 1. Böjande moment I den första delen av rutinen beräknas erforderlig armeringsmängd, i både brons längdriktning och tvärriktning, med avseende på böjande moment och normalkraft som fås ur BRIGADE.. Tvärkraft Den armeringsmängd som fås ur beräkningsrutinens första del tillsammans med eventuellt egen vald tvärkraftsarmering i form av byglar, ges som indata till rutinens andra del. Kontroll görs för om denna armeringsmängd är tillräcklig för den tvärkraft som konstruktionen utsätts för. Om den längsgående armeringen inte är tillräcklig för att klara tvärkraften, beräknas och adderas den ytterligare armering som krävs. Som resultat fås total erforderlig längsgående armering med hänsyn till böjande moment och tvärkraft. 3. Genomstansning I denna del av rutinen kontrolleras om den beräknade armeringsmängden är tillräcklig med hänsyn till genomstansning. Här beräknas eventuell ytterligare armeringsmängd som behövs inom eventuella pelares c-område (det område med centrum i pelarcentrum och som begränsas av momentnollpunkten i plattan) för att klara genomstansning enligt Betonghandboken. 4. Utmattning I denna del av rutinen kontrolleras om den totala armeringsmängd som fås ur. Tvärkraft är tillräcklig med hänsyn till utmattning. Eventuellt tillägg för att klara utmattning beräknas. 5. Sprickviddsberäkning I den sista delen av rutinen anger användaren den totala armering man tänkt sig, och hur man tänkt anordna den. Indata är bl.a. stångdiameter, centrumavstånd mellan stänger, armeringsinnehåll och antal armeringslager. Utifrån detta beräknar rutinen den maximala sprickvidd som kan väntas uppstå i konstruktionen. 19

30 Beräkningsrutinen har en struktur som schematiskt kan beskrivas med följande figur. Indata Indata Geometri Material Geometri Material Bygelarmering Indata Geometri Material Indata Indata Geometri Material Geometri Material BRIGADE Rutin 1 - Böjande moment Rutin - Tvärkraft Rutin 3 - Genomstansning Rutin 4 - Utmattning Rutin 5 - Sprickviddsberäkning Utdata: Armeringsmängd m h t utdata från böjande moment och normalkraft Utdata: Armeringsmängd med ev. tillägg av tvärkraftsarmering. Utdata: Armeringsmängd med hänsyn till genomstansningsarmering i c-området. Utdata: Armeringsmängd med ev. tillägg av utmattningsarmering. Utdata: Beräknad största sprickvidd Utdata: Armeringsmängd med hänsyn till böjande moment, tvärkraft, genomstansning och utmattning samt beräknad sprickvidd med hänsyn till slutligen vald armering. Figur 4. Beräkningsrutinens struktur

31 4. Användarhandledning Beräkningsrutinen är en beräkningsgång som är avsedd att följas av användaren och anpassas till den aktuella konstruktionen och dess förutsättningar. I BRIGADE modelleras först brons geometri. Därefter definieras de laster som belastar bron så som dess egentyngd, överlast, jordtryck mot stöden, krympning, olyckslaster och trafiklaster. Trafiklasterna kan väljas fördefinierade enligt standard (i detta fall BRO 94). Ett alternativ är att användaren själv definierar de trafiklaster som belastar bron. Även de temperaturdifferenser som bron ska dimensioneras för ska anges. Vindlast anges dels som vindlast på trafiken på bron och dels som vindlast på själva bron. Därefter väljs vilka lastkombinationer som bron ska beräknas för. När geometri och laster har definierats, genereras FEM-nätet. För överbyggnaden anges önskat antal element i brons längdriktning respektive tvärriktning. Innan beräkningen påbörjas väljs vilka spänningar, tvärsnittskrafter, deformationer och reaktionskrafter som ska beräknas. Det finns också möjlighet att välja i vilken riktning som resultatet ska redovisas. Resultatet av beräkningen gjord i BRIGADE fås i form av vektorer av punktvisa värden. Vektorerna exporteras till Excel (Microsoft Excel, Version SP MSO ( ), 1 Microsoft Corporation) och därifrån kopieras de in till Mathcad. Vektorerna för moment i brons längdriktning respektive tvärriktning döps till M l.max, M l.min, M t.max respektive M t.min. Där M står för moment, l för längdriktningen, t för tvärriktningen och max står för största positiva alternativt minsta negativa moment, och min för största negativa respektive minsta positiva moment. På samma sätt infogas vektorer för tvärkrafter som döps till V max.l, V min.l, V max.t och V min.t, och vektorer för normalkraft som döps till N dl och N dt. Samtliga värden anges i den enhet som finns angiven intill. Vektorerna M l.max, M l.min, M t.max, M t.min, N dl och N dt infogas i beräkningsrutinens första del 1. Böjande moment. Uppgifter om brons geometri, valt täckande betongskikt och stångdiameter samt material anges. Utifrån dessa uppgifter erhålls erforderlig armeringsmängd med hänsyn till böjande moment och normalkraft i form av vektorerna A sl.ök, A sl.uk, A st.ök och A st.uk. Vektorerna M l.max, M l.min, M t.max, M t.min V max.l, V min.l, V max.t, V min.t samt vektorerna N dl och N dt infogas i beräkningsrutinens andra del. Tvärkraft. Vektorerna A sl.ök, A sl.uk, A st.ök och A st.uk innehållande armeringsmängd med hänsyn till böjande moment, från beräkningsrutinens första del infogas också. Även här anges uppgifter om brons geometri, valt täckande betongskikt och stångdiameter samt material. Armeringsarea för inlagda byglar och eventuell extra armering kan läggas in. Resultatet av denna del av beräkningsrutinen är vektorer innehållande erforderlig längsgående armering med hänsyn till böjande moment och tvärkraft i längdriktningen och tvärriktningen. Beräkningsrutinens tredje del, 3. Genomstansning, beräknar vilken armeringsmängd som behövs för att förhindra genomstansning vid en eventuell pelare. Som indata ges, förutom geometri, täckande betongskikt, stångdiameter, armeringsinnehållet inom 1

32 pelarens c-område och materialvärden. Även dimensionerande pelarlast och dimensioneringsvärdet för lasten per ytenhet på plattan anges som indata. Resultatet av beräkningsrutinens tredje del är erforderlig extra armeringsmängd som krävs inom c- området och som ska förankras utanför. Den fjärde delen av beräkningsrutinen 4. Utmattning kontrollerar om armeringsmängden som beräknats i. Tvärkraft är tillräcklig med hänsyn till utmattning. Som indata behövs vektorerna M l.max, M l.min, M t.max, M t.min, V max.l, V min.l, V max.t, V min.t, σ min, σ max, N dl och N dt samt armeringsinnehållet avseende tvärkraftsarmering i form av byglar i brons längdriktning och tvärriktning, som även angivits som indata i. Tvärkraft. Även här behövs uppgifter om brons geometri, täckande betongskikt och stångdiameter. I denna del av beräkningsrutinen görs en kontroll om risk för utmattningsbrott föreligger. Som utdata fås den armeringsmängd som behöver adderas i form av byglar för att klara utmattningen. Utifrån resultaten från ovanstående delar av beräkningsrutinen väljs lämplig stångdiameter, centrumavstånd mellan stängerna och antal lager. För den valda utformningen av armeringen beräknas sprickvidden med hjälp av beräkningsrutinens femte del, 5. Sprickvidd. Som indata ges vektorerna M l.max, M l.min, M t.max, M t.min, N dl och N dt, materialvärden, vald stångdiameter, centrumavstånd, montagearmeringens diameter samt moment och normalkrafter. Som resultat fås största beräknade sprickvidd i konstruktionen. Om sprickvidden inte kan anses vara acceptabel justeras utformningen av armeringen till dess kravet på maximal tillåten sprickvidd är uppfyllt.

33 5. Slutsats 5.1 Litteratur på området Kring beräkning och begränsning av sprickvidder finns många gjorda studier. Beräkning av sprickvidden och begränsning av den med hänsyn till yttre laster samt krympning behandlas av flera normer. Även om beräkningsgången ser olika ut för de olika normerna så innehåller de i stort sett samma parametrar, och dessa parametrar ser ut att ha ungefär lika stor inverkan på sprickvidden för de fyra normer som jämförts i detta arbete. Ekman jämför i sin Licentiatavhandling Sprickor i betongkonstruktioner och dess inverkan på beständigheten, sprickvidder beräknade enligt BBK 94, Eurocode, ACI och British Standard med i försök uppmätta värden. Enligt de försök som gjordes såg alla fyra beräkningsmodeller ut att stämma väl, inom de intervall som tillåtna sprickvidder normalt varierar. 5. Förslag på vidare utredningar I många plattrambroar vill man av praktiska skäl lägga armeringen snedvinkligt. Studier och även försök kring hur sprickvidder i snedvinkligt armerade betongplattor bör behandlas skulle därför vara intressant. 3

34 Referenser Baumann, T.: Tragwirkung orthogonaler Bewehrungsnetze beliebiger Richtung in Flächentragwerken aus Stahlbeton. Berlin, München, Düsseldorf 197. Cederwall K., Lorentsen M., Östlund L.: Betonghandboken konstruktion. Utgåva, AB Svensk Byggtjänst, Ljungföretagen, Örebro 199. Cook, R., Malkus, D., Plesha, M: Concepts and applications of finite element analysis, third edition Ekman, M.: Sprickor i betongkonstruktioner och dess inverkan på beständigheten, Institutionen för byggkonstruktion, KTH Fjällberg, L.: Krympreducerares inverkan på cementbaserade materials krympning, Cement och Betong Institutet. Stockholm. MacGregor, J.G.: Reinforced Concrete: Mechanics and Design, :a upplagan Rüsch, H.: Fahrbahnplatten von Straβenbrücken: Berechnungstafeln f. Lasten nach DIN 17, Straβen- u. Wegebrücken, Lastannahmen u.f. gleichmässige verteilte Lasten. Berlin 196. Uppenberg, M.: Dimensionering av snedvinkliga plattbroar, Institutionen för brobyggnad, KTH American Concrete Institute: Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI ) and Commentary (ACI 318R-95) Boverket: Boverkets handbok om betongkonstruktioner, BBK 4. Karlskrona 4. British Standard Institution: Structural Use of Concrete: Code of Practice for Special Circumstances, BS 811-: Part : Svenska Betongföreningen: Cracks in concrete structures specially thermal cracks. Concrete Report No. 3 (E) Scanscot Technology AB: BRIGADE User s Manual Version 3.. Lund Scanscot Technology AB: BRIGADE Theory Manual Version 3.. Lund

35 I det beräkningsexempel som redovisas i denna bilaga dimensioneras farbaneplattan i en plattrambro. Denna är 1 meter bred och 1 meter lång. Plattjockleken är 1 mm. I BRIGADE har ett FEMnät lagts som är 18 element i längdriktningen (trafikens riktning) och 18 i tvärriktningen. Plattrambron belastas av trafiklast enligt BRO 94. Figur 5. Problemskiss över plattrambro De värden som farbaneplattan dimensioneras för har tagits i de linjer som markerats i Figur 5. B1

36 1. Armeringsmängd mht böjande moment 1. Armeringsmängd mht böjande moment Indata från BRIGADE Vektorer för böjande moment anges i enheten MNm och normalkraft i MN. M l.max M l.min M t.max M t.min B

37 1. Armeringsmängd mht böjande moment N dl N dt B3

38 1. Armeringsmängd mht böjande moment Geometriska indata b 1 Plattans bredd (m) h 1. Plattjocklek (m) c.3 Täckande betongskiktet (m) ϕ uk.l.16 stångdiametern i plattans underkant i längdriktningen (m) ϕ uk.t.16 stångdiametern i plattans underkant i tvärriktningen (m) Indata material, säkerhetsklass Betong f cck 3.5 Betongens karakteristiska tryckhållfasthet (MPa) f ctk. Betongens karakteristiska draghållfasthet (MPa) E ck 33 Betongens elasticitetsmodul (MPa) Armering f yk 5 Armeringens karakteristiska sträckgräns (MPa) E sk Armeringens karakteristiska elasticitetsmodul (MPa) Säkerhetsklass γ n ( sk) 1 if sk = if sk = 1. if sk = 3 Säkerhetsklass Beräkning av geometriska värden d t h c ϕ uk.t ϕ uk.l Effektiva höjden i tvärriktningen d l h c ϕ uk.t Effektiva höjden i längdriktningen z l.9 d l inre hävarm, sätts normalt till.9d z t.9 d t b h b h W u W ö Plattans böjmotstånd 6 6 d l + d t d Medelvärdet av effektiva höjderna i längd- resp tvärriktningen B4

39 1. Armeringsmängd mht böjande moment Beräkning av dimensioneringsvärden Betong f cc f cck Betongens dimensionerande tryckhållfasthet (MPa) 1.5γ n ( 3) f ct f ctk 1.5γ n ( 3) Betongens dimensionerande draghållfasthet (MPa) E c E ck Betongens dimensionerande E-modul (MPa) 1.γ n ( 3) f ctd 1.5 f ctk Om ett högt värde på betongens draghållfasthet är ogynnsamt skall f ctd användas som dimensioneringsvärde. (MPa) Armering f st f yk Draghållfasthetens dimensioneringsvärde (MPa) 1.15 γ n ( 3) E s E sk Armeringens dimensionerande E-modul (MPa) 1.5γ n ( 3) Beräkning av erforderlig armeringsarea Längsriktningen 1 n length M l.max Antalet komponenter i vektorn M n = 18 i.. n l.max Underkant M l.max m l A sl.uk M l.max, N dl d l fcc ω l 1 1 m l Relativa momentet per meter Mekaniska armeringsandelen A sl.uk M l.max ω l f st d l 1 otherwise N dl + if M l.max > f st Armeringsarean per meter A sl.uki A sl.uk ( M l.maxi, N dli ) A sl.uk Armeringsmängd (m /m) B5

40 1. Armeringsmängd mht böjande moment Överkant M l.min m l A sl.ök M l.min, N dl A sl.öki d l fcc ω l 1 1 m l A sl.ök M l.min ω l f st d l 1 otherwise N dl + if M l.min < A sl.ök M l.mini, N dli A sl.ök Armeringsmängd (m /m) A sl A sl.uk + A sl.ök A sl.tot A sl Tvärriktningen 1 n length M t.max n = 18 Antalet komponenter i i.. n vektorn M t.max Underkant f st M t.max m t A st.uk M t.max, N dt d t fcc Relativa momentet per meter A st.uki Överkant ω t 1 1 m t A sl.uk M t.max ω t f st d l 1 otherwise N dt + if M t.max > f st Mekaniska armeringsandelen Armeringsarean per meter A st.uk M t.maxi, N dti A st.uk Armeringsmängd (m /m) M t.min m t A st.ök M t.min, N dt Relativa momentet per meter d t fcc ω t 1 1 m t Mekaniska armeringsandelen A sl.ök M t.min ω t f st d l 1 otherwise N dt + if M t.min < f st Armeringsarean per meter A st.öki A st.ök M t.mini, N dti A st.ök B6

41 1. Armeringsmängd mht böjande moment A st A st.uk + A st.ök Armeringsmängd (m /m) A st.tot A st Armeringskurvor A sl.uki Armeringskurva i brobaneplattans längdriktning i underkant i A sl.öki i Armeringskurva i brobaneplattans längdriktning i överkant A st.uki Armeringskurva i brobaneplattans tvärriktning i underkant i B7

42 1. Armeringsmängd mht böjande moment A st.öki Armeringskurva i brobaneplattans tvärriktning i överkant i Ett förslag på armeringsutformning för erhållna armeringsmängder i A sl.uk, A sl.ök, A st.uk och A st.ök kan vara: ϕ16s18 i uk i längdriktningen ϕ16s1 i ök vid ramhörn i längdriktningen ϕ1s5 i uk i tvärriktningen ϕ1s15 i ök i tvärriktningen B8

43 1. Armeringsmängd mht böjande moment A sl.uk = A sl.ök = A st.uk = A st.ök = B9

44 . Tvärkraft. Tvärkraft Indata från BRIGADE Vektorer för böjande moment anges i enheten MNm. Vektorer för tvärkraft och normalkraft anges i enheten MN. Vektorerna A sl.uk, A sl.ök, A st.uk och A st.ök från 1. Böjande moment infogas i enheten m /m M l.max M l.min M t.max M t.min B1

45 . Tvärkraft A sl.uk A sl.ök A st.uk A st.ök B11

46 . Tvärkraft V max.l V min.t V max.t V min.l N dl N dt B1

47 . Tvärkraft n length( N dl ) 1 i, 1.. n Antalet komponenter i vektorn N dl V Sdl V Sdl for i.. n V Sdli max V max.li, V min.li Dimensionerande tvärkraft i längdriktningen V Sdl V Sdt V Sdt for i.. n V Sdti max V max.ti, V min.ti Dimensionerande tvärkraft i tvärriktningen V Sdt M dl M dl for i.. n M dli max M l.maxi, M l.mini Dimensionerande moment i längdriktningen M dl M dt M dt Dimensionerande moment i for i.. n tvärriktningen M dti max M t.maxi, M t.mini M dt B13

48 . Tvärkraft Geometriska indata b 1 Bredd (m) h 1. Plattjocklek (m) c.3 Täckande betongskikt (m) ϕ uk.l.16 stångdiametern i plattans underkant i längdriktningen (m) ϕ uk.t.16 stångdiametern i plattans underkant i tvärriktningen (m) e s Den tryckande normalkraftens ev. excentricitet (m) Indata material Betong f cck 3.5 Betongens karakteristiska tryckhållfasthet (MPa) f ctk. Betongens karakteristiska draghållfasthet (MPa) E ck 33 Betongens elasticitetsmodul (MPa) Armering f yk 5 Armeringens karakteristiska sträckgräns (MPa) E sk Armeringens elasticitetsmodul (MPa) Indata - inlagd armering Här definieras indata för armerings som läggs in, utöver den armeringsmängd som beräkningsrutinen tar fram. A sv1.15 Armeringsarea hos ev. inlagda byglar (m /m) A sv Arean av ev. ytterligare armering (förankrad) (m /m) β 1l β 1t 9deg 9deg Vinkeln mellan tvärkraftsarmeringen och en balkaxel vinkelrät mot tvärkraftens riktning. Byglar β l β t γ l γ t 9deg 9deg deg deg Vinkeln mellan tvärkraftsarmeringen och en balkaxel vinkelrät mot tvärkraftens riktning. Bockad armering Vinkeln mellan balkens tryckta sida och riktningen av armeringens dragkraftsresultant. B14

49 . Tvärkraft Säkerhetsklass γ n ( sk) 1 if sk = if sk = 1. if sk = 3 Beräkning av geometriska värden d t h c ϕ uk.t ϕ uk.l Effektiva höjden i tvärriktningen (m) d l h c ϕ uk.t Effektiva höjden i längdriktningen (m) z l z t.9 d l.9 d t inre hävarm, sätts normalt till.9d b h b h W u W ö Plattans böjmotstånd 6 6 d l + d t d Medelvärdet av effektiva höjderna i längd- resp tvärriktningen. Beräkning av dimensioneringsvärden Betong f cc f cck Betongens dimensionerande tryckhållfasthet (MPa) 1.5γ n ( 3) f ct f ctk 1.5γ n ( 3) Betongens dimensionerande draghållfasthet (MPa) E c E ck Betongens dimensionerande E-modul (MPa) 1.γ n ( 3) f ctd 1.5 f ctk Armering Om ett högt värde på betongens draghållfasthet är ogynnsamt skall f ctd användas som dimensioneringsvärde. (MPa) f st f yk Draghållfasthetens dimensioneringsvärde (MPa) 1.15 γ n ( 3) E s E sk Armeringens dimensionerande E-modul (MPa) 1.5γ n ( 3) B15

50 . Tvärkraft Kontroll av tvärkraftskapaciteten s l1 ( ).75 d l 1 + cot β 1l s l s l1 if s l1 < 1.5 d l 1.5 d l s l =.859 s t1 otherwise ( ).75 d t 1 + cot β 1t c-c-avståndet mellan tvärkraftsarmeringen i konstruktionens längdriktning. c-c-avståndet mellan tvärkraftsarmeringen i konstruktionens tvärriktning. s t s t1 if s t1 < 1.5 d t 1.5 d t s t =.871 ρ luk.ber A sl.uk otherwise A st.uk ρ tuk.ber Armeringsinnehåll i överkant och b d l b d t underkant i respektive riktning ρ lök.ber A sl.ök A st.ök ρ tök.ber b d l b d t ρ luk ρ luk for i.. n ρ luki ρ luk.beri if ρ luk.beri <. Armeringsinnehållet i längdriktningen i underkant.enligt betonghandboken får ej ρ > % tillgodoräknas. otherwise ρ luk ρ lök ρ lök for i.. n ρ löki ρ lök.beri if ρ lök.beri <. Armeringsinnehållet i längdriktningen i överkant. Enligt betonghandboken får ej ρ > % tillgodoräknas. otherwise ρ lök ρ tuk ρ tuk for i.. n ρ tuki ρ tuk.beri if ρ tuk.beri <. ρ tuk ρ tök ρ tök for i.. n. otherwise ρ töki ρ tök.beri if ρ tök.beri <. Armeringsinnehållet i tvärriktningen i underkant. Enligt betonghandboken får ej ρ > % tillgodoräknas Armeringsinnehållet i tvärriktningen i överkant. Enligt betonghandboken får ej ρ > % tillgodoräknas. otherwise ρ tök B16

51 . Tvärkraft Betongens tvärkraftskapacitet, V c Längdriktningen 1.4 if d l. ξ l d l f vluk ξ t d t 1.6 d l if. < d l d l if.5 < d l 1.9 otherwise ( 1 5ρ luk ) Tvärriktningen 1.4 if d t. 1.6 d t if. < d t d t if.5 < d t 1.9 if 1. < d t ξ l d l +.3 f ct Betongens formella skjuvhållfasthet V cluk V cluk for i V cluki.. n d l f vluki d l f vluki.1 N dli if N dli > otherwise Vid dragande normalkraft minskas betongens tvärkraftskapacitet med.1n d, dock ej till ett lägre värde än noll. f vtuk V cluk ( 1 5ρ tuk ) ξ t d t +.3 f ct Betongens formella skjuvhållfasthet V ctuk V ctuk Vid dragande normalkraft minskas for i.. n betongens tvärkraftskapacitet med.1n d, dock ej till ett lägre värde V ctuki d l f vtuki.1 N dti if N dti > än noll. d l f vtuki otherwise f vlök V ctuk ( 1 5ρ lök ) ξ l d l +.3 f ct Betongens formella skjuvhållfasthet V clök V clök for i V clöki.. n d l f vlöki d l f vlöki.1 N dli if N dli > otherwise Vid dragande normalkraft minskas betongens tvärkraftskapacitet med.1n d, dock ej till ett lägre värde än noll. f vtök V clök ( 1 5ρ tök ) ξ t d t +.3 f ct Betongens formella skjuvhållfasthet V ctök V ctök Vid dragande normalkraft minskas for i.. n betongens tvärkraftskapacitet med.1n d, dock ej till ett lägre värde V ctöki d l f vtöki.1 N dti if N dti > än noll. d l f vtöki otherwise V ctök B17

52 . Tvärkraft Inverkan på betongens tvärkraftskapacitet av spännkraft eller tryckande normalkraft, V p W u M N dl V cpluk N dl, M dl, V max.l, V cluk V cpluki σ ml ( N dl ) V cwli n l if N dl > Nolltöjningsmomentet b h otherwise 1 V pl 1.γ n ( 3) σ ml V cwl V cpluk N dli, M dli, V max.li, V cluki N dl N dl M M dl 1.γ n ( 3) b h otherwise V max.l if b d l f ct +.3σ ml V cpluk V cluk + V pl N dl > I längdriktningen i underkant if N dl > Spänning i konstruktionen av 1.γ n ( 3) b h tryckande normalkraft otherwise ( ) b d l f ct +.3σ ml N dli length( V max.l ) 1 V cpluki for i Vcpluk i.. n l if V cpluki V cwli otherwise V cwli V cpluk W u M N dl V cplök N dl, M dl, V max.l, V clök if N dl > b h otherwise 1 V pl 1.γ n ( 3) σ ml V cwl N dl M M dl 1.γ n ( 3) b h otherwise V max.l if b d l f ct +.3σ ml V cplök V clök + V pl N dl > Nolltöjningsmomentet I längdriktningen i överkant B18

53 . Tvärkraft V cplöki V cplöki V cplök N dli, M dli, V max.li, V clöki for i Vcpluk i.. n l if V cplöki V cwli otherwise V cwli V cplök W u M N dt V cptuk N dt, M dt, V max.t, V ctuk V cptuki σ mt ( N dt ) V cwti V cptuki if N dt > Nolltöjningsmomentet b h otherwise 1 V pt 1.γ n ( 3) σ mt V cwt V cptuk N dti, M dti, V max.ti, V ctuki N dt 1.γ n ( 3) h otherwise if ( ) b d t f ct +.3σ mt N dti for i.. n V cptuk i if V cptuki V cwti otherwise N dt > N dt M M dt 1.γ n ( 3) b h otherwise V max.t if b d t f ct +.3σ mt V cptuk V ctuk + V pt V cwti N dt > I tvärriktningen i underkant V cptuki W u M N dt V cptök N dt, M dt, V max.t, V ctök if N dt > Nolltöjningsmomentet b h otherwise 1 V pt 1.γ n ( 3) σ mt V cwt N dt M M dt 1.γ n ( 3) b h otherwise V max.t if b d t f ct +.3σ mt V cptök V ctök + V pt N dt > I tvärriktningen i överkant B19

54 . Tvärkraft V cptöki V cptöki V cptök N dti, M dti, V max.ti, V ctöki for i.. n V cptök i if V cptöki V cwti otherwise V cwti V cptöki Tvärkraftsarmeringens bidrag, V s 5 f sv1 f st if f st 1.15 γ n ( 3) γ n ( 3) otherwise Den draghållfasthet som utnyttjas för tvärkraftsarmering (byglar). 5 f sv f st if f st 1.15 γ n ( 3) γ n ( 3) otherwise Den draghållfasthet som utnyttjas för tvärkraftsarmering (bockad armering). Tvärkraftsarmering i längdriktningen Endast byglar V sl1.9 d l A sv1 f sv1 ( sin( β 1l ) cos( β 1l )) Tvärkraftsarmering enl BRO Både byglar och bockade stänger V sl V sl1 + A sv f sv sin β l s l Tvärkraftsarmering i tvärled Endast byglar V st1.9 d t A sv1 f sv1 ( sin( β 1t ) cos( β 1t )) Tvärkraftsarmering enl BRO Både byglar och bockade stänger s t V st V st1 + A sv f sv sin( β l ) V s.ber V sl + V st V s V s.ber if V s.ber. b otherwise d l f ct Villkor som måste vara uppfyllt för att tvärkraftsarmeringen ska få räknas som statiskt verksam B

55 . Tvärkraft Inverkan av variabel effektiv höjd, V i V il V it M dl d l M dt d t tan( γ l ) tan( γ t ) Villkor för tvärkraftskapaciteten OK Vtryck OK Vtryck for i.. n.5 b OK Vtrycki if V Sdli V ili OK Vtryck 1 otherwise d l f cc OK Vtryck Risk för tryckbrott föreligger om OK Vtryck = 1. Risk föreligger ej då OK Vtryck =. Extra tvärkraftsarmering I längdriktningen i överkant V sxlök V Sdl V cplök + V sl + V il Den tvärkraft som man måste armera extra för! Välj tvärkraftsarmeringens c-c-avstånd sxl, dock inte högre än,75d s xl.75 d l A svxlök ( V sxlök ) A svxlöki for i.. n V sxlök s xl z l f sv1 ( sin( β 1l ) + cos( β 1l )) A svxlök V sxlöki A sl.öki A sl.öki + A svxlöki A slök.tot ρ lök.ber.tot A sl.ök A slök.tot b d l otherwise if V sxlök > B1

56 . Tvärkraft I längdriktningen i underkant V sxluk V Sdl V cpluk + V sl + V il Den tvärkraft som man måste armera extra för! Välj tvärkraftsarmeringens c-c-avstånd sxl, dock inte högre än,75d s xl.75 d l A svxluk ( V sxluk ) A svxluki for i A svxluk V sxluki.. n V sxluk s xl z l f sv1 ( sin( β 1l ) + cos( β 1l )) A sl.uki A sl.uki + A svxluki A sluk.tot A sl.uk otherwise if V sxluk > ρ luk.ber.tot A sluk.tot b d l I tvärriktningen i överkant V sxtök V Sdt V cptök + V st + V it Den tvärkraft som man måste armera extra för! Välj tvärkraftsarmeringens c-c-avstånd sxt, dock inte högre än,75d s xt.75 d t A svxtök V sxtök A svxtöki for i.. n A svxtök V sxtöki V sxtök s xt z t f sv1 ( sin( β 1t ) + cos( β 1t )) A st.öki A st.öki + A svxtöki A stök.tot A st.ök otherwise if V sxtök > ρ tök.ber.tot A stök.tot b d t B

57 . Tvärkraft I tvärriktningen i underkant V sxtuk V Sdt V cptuk + V st + V it Den tvärkraft som man måste armera extra för Välj tvärkraftsarmeringens c-c-avstånd sxt, dock inte högre än,75d s xt.75 d t A svxtuk V sxtuk A svxtuki for i.. n A svxtuk V sxtuki V sxtuk s xt z t f sv1 ( sin( β 1t ) + cos( β 1t )) A st.uki A st.uki + A svxtuki A stuk.tot A st.uk otherwise if V sxtuk > ρ tuk.ber.tot A stuk.tot b d t A sl.uki A sl.öki i i A st.uki A st.öki Armeringsmängden inklusive tvärkraftsarmering i i Ett förslag på armeringsutformning för erhållna armeringsmängder i A sl.uk, A sl.ök, A st.uk och A st.ök med hänsyn till tvärkraftsarmering kan vara: ϕ16s18 i uk i längdriktningen ϕ16s1 i ök vid ramhörn i längdriktningen ϕ1s5 i uk i tvärriktningen ϕ1s15 i ök i tvärriktningen samt byglar ϕ1s5 B3

58 . Tvärkraft A sl.uk = A sl.ök = Längsgående armeringsmängd med hänsyn till böjande moment, ev. tryckande normalkraft samt tvärkraft. En kontroll görs också av att inte risk för tryckbrott föreligger. A sl.uk = -3 8 A sl.ök = OK Vtryck = B4

59 3. Genomstansning 3. Genomstansning Geometriska indata a 1 Plattans teoretiska spännvidd (m) b 1 Plattans bredd (m) h 1. Plattjocklek (m) c.3 Täckande betongskiktet (m) ϕ uk.l.16 stångdiametern i plattans underkant i längdriktningen (m) ϕ uk.t.16 stångdiametern i plattans underkant i tvärriktningen (m) Pelardimensioner r Cirkulär pelares radie (m)(om pelaren är rektangulär sätts r = ) a p.4 Rektangulär pelares längsta sida (m)(om pelaren är cirkulär sätts a p = ) b p.4 Rektangulär pelares kortaste sida (m)(om pelaren är cirkulär sätts b p = ) O Tvärsnittets omkrets (m) om ej rektangulärt eller cirkulärt (annars O = ) Indata material, säkerhetsklass Betong f cck 3.5 Betongens karakteristiska tryckhållfasthet (MPa) f ctk. Betongens karakteristiska draghållfasthet (MPa) E ck 33 Betongens elasticitetsmodul (MPa) Armering f yk 5 Armeringens karakteristiska sträckgräns (MPa) E sk Armeringens karakteristiska elasticitetsmodul (MPa) ρ l.151 Armeringsinnehållet i respektive riktning i det aktuella c-området ρ t.151 I det här exemplet används byglar ϕ1s5 Säkerhetsklass γ n ( sk) 1 if sk= 1 Indata laster 1.1 if sk= 1. if sk= 3 F Sd.MN Pelarkraftens dimensioneringsvärde q d. MN/m Dimensioneringsvärdet för lasten per ytenhet på plattan B5

60 3. Genomstansning Beräkning av geometriska värden d t d l z l z t ϕ uk.t h c Effektiva höjden i tvärriktningen (m) ϕ uk.l h c ϕ uk.t Effektiva höjden i längdriktningen (m).9 d l Inre hävarm, sätts normalt till.9d.9 d t b h W u Plattans böjmotstånd 6 b h W ö 6 d l + d t d Medelvärdet av effektiva höjderna i längs- resp tvärled Beräkning av dimensioneringsvärden i brottgränstillståndet Betong f cc f cck Betongens dimensionerande tryckhållfasthet 1.5γ n ( 3) f ct f ctk 1.5γ n ( 3) Betongens dimensionerande draghållfasthet E c E ck Betongens dimensionerande E-modul 1.γ n ( 3) f ctd 1.5 f ctk Om ett högt värde på betongens draghållfasthet är ogynnsamt skall fctd användas som dimensioneringsvärde. Armering f st f yk Draghållfasthetens dimensioneringsvärde 1.15 γ n ( 3) E s E sk Armeringens dimensionerande E-modul 1.5γ n ( 3) B6

61 3. Genomstansning Kontroll av genomstansning C pel.5 C pel =.5 F Sd q d Inom en kvadrat med sidorna c och pelaren i mittpunkten läggs rutarmering med delning i bägge riktningarna. Denna armering förankras sedan utanför c-området. c bestäms för "egentyngd" och "beläggning". Vid beräkning godtas att last inom ett område med sidan B+d borträknas, där B är pelardiameter och d är plattans effektiva höjd. ρ ρ l ρ t Diametrar och pelartvärsnitt B r if < r 3.5 d a p + b p if a p > π b p > O π if O > otherwise Cirkulärt pelartvärsnitt u c r π ( B + d) if < 1.75 d otherwise Rektangulärt pelartvärsnitt u r if a b π ( B + d) if < a p + b p 5.6 d otherwise otherwise Annat tvärsnitt u o π ( B + d) if a p = otherwise b p = r= u u c u r u o u max( u) u = 5.5 Stora pelartvärsnitt b 1 a 1 ( b p.8 d ) b 1 min( b 1 ) b 1 =.4 a p b p 5.6 d b 1 a 1 min a 1 a 1 =.4 B7

62 3. Genomstansning Om a 1 < a p eller b 1 < b p bestäms den totala bärförmågan vid genomstansning som summan av bärförmåga vid genomstansning beräknad enl nedan för cirkulär pelare med diametern B=(a 1 +B 1 )/π och bärförmåga vid skjuvning av balk (tvärsnittskapacitet) beräknad för tvärsnittsytan d((a p +b p )-(a 1 +b 1 ))=d*u. Pelare med cirkulärt tvärsnitt och B>3,5d räknas för genomstansning för B=3,5d.Till denna bärförmåga adderas tvärs nittsk apac iteten för balk beräknad för tvärsnittsytan dπ(b-3,5d)=d*u. Rektangulärt tvärsnitt B ( π a 1 + b 1 ) if a 1 < a p du r d ( a p + b p ) ( a 1 + b 1 ) if a 1 < a p < < π a p + Cirkulärt tvärsnitt B cir b p b 1 otherwise b p otherwise r if < r 3.5 d du c d π ( B 3.5 d) 3.5 d otherwise otherwise if b 1 B > 3.5 d Vid dimensionering kontrolleras att nominell skjuvspänning i cylinderyta på avstånd d/ från pelarperiferin är mindre än eller lika med det mot bärförmågan vid genomstansning svarande värdet f v1. τ v.nom F Sd Nominell skjuvspänning π d ( B + d) ξ( d) 1.4 if d. 1.6 d if 1.3.4d. < d.5 if.9 if 1 < d.5 < d 1 b p f v B c 15.8ξ ( d) f cc 1 c 1 + d B B if <.3 c c.3 otherwise Om f v1 är större än f v utförs dimensioneringen för f v eller så anbringas skjuvarmering k f cc f st 3 + k1 ρ z k1 ρ d Beräknad inre hävarm B8

63 3. Genomstansning f v1.id K 1 ρ f st z f v1.id är värdet för f v1 när sträckgräns uppnås i B 1 + ( d 1 B d c) all armering inom plattdelen med diametern c. if B d B otherwise d d B 1 k1 ρ K 1 K d 1 k1 ρ + B 38 r s K 1 d f st radien där spänningen i böjarmeringen övergår från sträckgränsvärde till spänning inom elastiskt område. 1 B c o d d α r s d d 1 + ln c c d d c o if r s d < c o d r s d d 1 + ln c c d d r s if c o d < r s d < c d 1 if r s d c d f v ξ( d) ( 1 + 5ρ ).45 f ct ξ min ξ( d) ξ ξ min r s if.3 c r s.3 c ξ min +.3 r s if.6 c ξ min +.15 r s if.6 c f v1.9.6 ξ α ( f v1 f v ) f v1.id skjuv f v1 min( skjuv) f v1 =.591 B9

64 3. Genomstansning r s β c β β if β 1 1 otherwise f v1.9.6 ξ α β utan skjuvarmering f v1.id Under förutsättning att skjuvarmering utformas enl avsnitt 6.5:345 Betonghandboken - Konstruktion gäller för platta med skjuvarmering ξ s.min ( d) 1.5 if d d if. < d < d if d.5 ξ s.min d ξ s r s ξ s.min ( d) r s if. c r s. c +. r s if < <.4 c ξ s.min ( d) +.1 r s if.4 c f v1.s.9.6 ξ s r s α β f v1.id med skjuvarmering V ug V ugs d u Genomstansningskapacitet utan skjuvarmering f v1 d u Genomstansningskapacitet med skjuvarmering f v1.s V us du r f v Tvärkraftskapacitet vid stora pelartvärsnitt V u V ugs + V us Total kapacitet mot genomstansning V u = 4.48 Pelarreaktion (MN) som plattan klarar V g F Sd V u Tvärkraft (MN) som man måste armera för Välj tvärkraftsarmeringens s-avstånd s g, dock inte högre än,75d s g.75 d B3

65 3. Genomstansning A sg V g s g z t f v1.s if V g > otherwise A sg = C pel =.5 Ytterligare armeringsarea som krävs inom c-området (5 x 5 mm) är A sg = mm /m vilket innebär att någon extra armering med hänsyn till genomstansning inte behövs. Ett förslag på armeringsutformning för erhållna armeringsmängder i A sl.uk, A sl.ök, A st.uk och A st.ök efter beräkningsrutinens tredje del kan vara: ϕ16s18 i uk i längdriktningen ϕ16s1 i ök vid ramhörn i längdriktningen ϕ1s5 i uk i tvärriktningen ϕ1s15 i ök i tvärriktningen samt byglar ϕ1s5 B31

66 4. Utmattning 4. Utmattning Indata från BRIGADE Vektorer för böjande moment anges i enheten MNm. Vektorer för tvärkraft och normalkraft anges i enheten MN. Vektorer för spänningar anges i enheten MPa. Vektorerna A sl och A st från. Tvärkraft infogas i enheten m /m M l.max M l.min M t.max M t.min B3

67 4. Utmattning V max.l V min.l V max.t V min.t σ min σ max N dl N dt B33

68 4. Utmattning Geometriska indata a 1 Teoretisk spännvidd (m) b 1 Bredd (m) h 1. Plattjockleken (m) c.3 Täckande betongskiktet (m) ϕ uk.l.16 stångdiametern i plattans underkant i längdriktningen (m) ϕ uk.t.16 stångdiametern i plattans underkant i tvärriktningen (m) ρ l.ber. Armeringsinnehåll tvärkraftsarmering (byglar) ρ t.ber. Indata material Betong f cck 3.5 Betongens karakteristiska tryckhållfasthet (MPa) f ctk. Betongens karakteristiska draghållfasthet (MPa) E ck 33 Betongens elasticitetsmodul (MPa) Armering f yk 5 Armeringens karakteristika sträckgräns (MPa) E sk Armeringens karakteristiska elasticitetsmodul (MPa) Indata utmattning n 1 5 Antal spänningscykler för utmattningskontroll f st 7 Spänningsvidden som beror av armeringstyp och antal spänningscykler enligt tabel.5.3a BBK 94 Beräkning av geometriska värden d t d l z l z t ϕ uk.t h c Effektiva höjden i tvärriktningen ϕ uk.l h c ϕ uk.t Effektiva höjden i längdriktningen.9 d l inre hävarm, sätts normalt till.9d.9 d t b h b h W u W ö Plattans böjmotstånd 6 6 d l + d t d Medelvärdet av effektiva höjderna i längd- resp. tvärriktningen B34

69 4. Utmattning Säkerhetsklass γ n ( sk) 1 if sk= if sk= 1. if sk= 3 Beräkning av dimensioneringsvärden Betong f cc f cck Betongens dimensionerande tryckhållfasthet 1.5γ n ( 3) f ct f ctk 1.5γ n ( 3) Betongens dimensionerande draghållfasthet E c E ck Betongens dimensionerande E-modul 1.γ n ( 3) f ctd 1.5 f ctk Om ett högt värde på betongens draghållfasthet är ogynnsamt skall f ctd användas som dimensioneringsvärde. Armering f st f yk Draghållfasthetens dimensioneringsvärde 1.15 γ n ( 3) E s E sk Armeringens dimensionerande E-modul 1.5γ n ( 3) n t 1 length M t.max Vektorernas längd n l length( M l.max ) 1 Utmattningskontroll A N b h n t σ n N dl Spänning av enbart normalkraft (positiv vid dragning) A N M l.max σ m σ m M l.max, M l.min if M l.max > M l.min W ö M l.min W u otherwise σ m B35

70 4. Utmattning σ m σ m M l.max, M l.min Spänning av enbart moment (positiv vid dragning) ζ if n 5 1 log( 5 1 ) log( n) log 5 1 log if n if 5 1 < n < 1 6 ζ =.697 k( h) 1.45 if h if.49 < h 1 4 h 1 otherwise k( h) = 1 Om ett högt värde på betongens draghållfasthet är ogynnsamt skall f ctd användas som dimensioneringsvärde. OK s ( σ m, σ n ) for i.. n t OK si if σ ni if k( h) σ ni + σ mi k( h) f ct if ζ 1 otherwise σ ni < Vid dragande normalkraft σ ni + σ mi k( h) f ct if ζ 1 otherwise Vid tryckande normalkraft OK s OK s ( σ m, σ n ) Om OK = antas plattan vara osprucken, om OK = 1 antas plattan vara sprucken. B36

71 4. Utmattning Betongens hållfasthetsvärden vid utmattningslast Hållfasthetsvärden för betong vid utmattning bestäms enl BBK Naviers formel för spänningar i ÖK resp UK av plattan σ 1.uk N dl M l.max N dl + σ.uk b h b h W u + M l.max W u U 1 σ 1.ök N dl M l.min N dl + σ.ök b h b h min( σ 1.uk ) f ct min( σ 1.uk ) f cc otherwise W ö if if = min σ 1.uk OK s σ m, σ n min( σ 1.uk ) < + M l.min W ö U min( σ.uk ) f ct min( σ.uk ) f cc if if = min σ.uk OK s σ m, σ n min( σ.uk ) < otherwise Ö 1 max( σ 1.ök ) f ct max( σ 1.ök ) f cc if if = max σ 1.ök OK s σ m, σ n max( σ 1.ök ) < otherwise Ö max( σ.ök ) f ct max( σ.ök ) f cc if if = max σ.ök OK s σ m, σ n max( σ.ök ) < otherwise U 1 =. U =. Ö 1 = Ö = B37

72 4. Utmattning Diagram för bestämning av utmattningshållfasthet för betong enligt BBK 4 Om punkten U med koordinaterna U 1 = σ 1 /f c och U = σ /f c hamnar inom kurvorna för aktuellt n föreligger inte risk för utmattningsbrott i plattans underkant. Motsvarande gäller för punkten Ö med koordinaterna Ö 1 och Ö. Om plattan kan antas vara sprucken (då OKs = 1) kan den inte ta upp några dragspänningar. Kvoten mellan spänning och f ct blir då. Om spänningen i något tvärsnitt växlar mellan tryck och dragning och dragningen medför uppsprickning enl ovan blir tryckhållfastheten Armeringens hållfasthetsvärden vid utmattningslast Bestämning av armeringens hållfasthetsvärden vid utmattning görs enl BBK.5.3. OK a σ max, σ min OK a ( σ max, σ min ) for i.. n t OK a OK ai if σ maxi σ mini OK a 1 otherwise f st γ n ( 3) Risk för utmattningsbrott vid n spänningscykler mellan gränserna σ max och σ min antas inte föreligga om detta uttryck är uppfyllt, d v s OK a =. Om OK a = 1 föreligger risk för utmattningsbrott. B38

73 4. Utmattning Kontroll av tvärkraftskapaciteten vid utmattning Kontroll i längdriktningen min V min.l kvot Lutningen hos den räta linjen i diagrammet max( V max.l ) Där kurvan för aktuellt n skär den inritade räta linjen med lutning enl ovan erhålls värdet för τ 1 /f v..3 f vl 1 + 5ρ l.ber f ct Ange värdet på kvoten τ 1 /f v som ges av diagrammet τ 1.l.74 V max.l.kap τ 1.l f vl b d l Tvärkraftskapaciteten V max.l.kap f st f st γ n ( 3) Välj den eventuella tvärkraftsarmeringens c-c-avstånd s dock ej större än.75d s vl.75 d l A svl ( V max.l ) for i.. n l Skillnaden mellan V li V max.li V max.l.kap V li V li if V li > V max.li otherwise ( 1 kvot) V li tvärkraftskapaciteten och dimensionerande tvärkraften som man måste armera för. Armeringen utgörs av byglar. A svli V max.li s vl f st z l if V max.li > otherwise A svl A svl A svl ( V max.l ) Erforderlig extra tvärkraftsarmering (m /m) B39

74 4. Utmattning Kontroll i tvärriktningen min V min.t max V max.t τ t.1.74 f vt V max.t.kap = 1.5 Lutningen hos den räta linje som ritas in i diagrammet. Ange värdet på kvoten τ1/fv som ges av diagrammet ρ t.ber f ct τ t.1 f vt a d t Tvärkraftskapaciteten V max.t.kap Välj tvärkraftsarmeringens armeringsarea A sv och c-c-avstånd s så att nedanstående villkor uppfylls s vt.75 d l A svt ( V max.t ) for i.. n t V ti V max.ti V max.t.kap V ti V ti if V ti > V max.ti otherwise ( 1 kvot) V ti Skillnaden mellan tvärkraftskapaciteten och dimensionerande tvärkraften som man måste armera för. Armeringen utgörs av byglar. A svti V max.ti s vt f st z t if V max.ti > otherwise A svt A svt A svt ( V max.t ) Erforderlig extra tvärkraftsarmering Förslag på armeringsutformning är därför fortfarande: ϕ16s18 i uk i längdriktningen ϕ16s1 i ök i längdriktningen ϕ1s5 i uk i tvärriktningen ϕ1s15 i ök i tvärriktningen samt byglar ϕ1s5 B4

75 4. Utmattning A svl 7 8 = A svt = Ingen extra armering krävs med hänsyn till utmattning OK a ( σ max, σ min ) = Risk för utmattningsbrott föreligger inte då OK a = samt då punkterna U och Ö ligger inom kurvorna för n = 1 5 spänningscykler i diagrammet i BBK kapitel B41

76 5. Sprickvidd 5. Beräkning av sprickvidd Indata från BRIGADE Vektorer för böjande moment anges i enheten MNm. Vektorer för normalkraft anges i enheten MN. M l.max M l.min M t.max M t.min B4

77 5. Sprickvidd N dl N dt n l n t 1 length N dl Antalet komponenter i vektorn N dl 1 length N dt Antalet komponenter i vektorn N dt i, 1.. n l M dl.vektor M dl M dl for i.. n l M dli max M l.maxi, M l.mini M dl.7173 max M dl.vektor = Dimensionerande moment i längdriktningen i, 1.. n t M dt.vektor M dt M dt M d for i.. n t M dti max M t.maxi, M t.mini M dt.131 max M dt.vektor = Dimensionerande moment i tvärriktningen.7173 max M dl, M dt = Dimensionerande moment (MNm) N d Tillhörande dimensionerande normalkraft (MN) tas manuellt ur vektorerna för normakraft. B43

78 5. Sprickvidd Indata geometri B 1 Betrakta en meter bred strimla h 1. Plattjockleken (m) cc ö.1 cc u.1 Valt s-avstånd i över- resp underkant (m) c ö.3 c u.3 Täckande betongskikt i över- resp underkant (m) ϕ ö.16 ϕ u.16 Vald stångdiameter i ök resp uk (m) ϕ montö.1 ϕ montu.1 Stångdiameter för eventuella monteringsjärn (m) n ö 1 n u Antal armeringslager i ök resp uk Indata material Betong f cck 3.5 Betongens karakteristiska tryckhållfasthet (MPa) f ctk. Betongens karakteristiska draghållfasthet (MPa) E ck 33 Betongens elasticitetsmodul (MPa) ε cu.35 ε c. γ n 1 Säkerhetsklass Φ 1 Beroende på relativa fuktigheten. RH ca 55% Φ=3, RH ca 75% Φ=, RH>95% Φ=1 ζ 1.5 Spricksäkerhetsfaktor Armering f yk 5 Armeringens karakteristika sträckgräns (MPa) E sk Armeringens karakteristiska elasticitetsmodul (MPa) Beräkning av dimensioneringsvärden f cc f cck Betongens dimensionerande tryckhållfasthet 1.γ n f ct f ctk 1.γ n Betongens dimensionerande draghållfasthet E c E ck Betongens dimensionerande E-modul 1.γ n B44

79 5. Sprickvidd f ctd 1.5 f ctk Om ett högt värde på betongens draghållfasthet är ogynnsamt skall f ctd användas som dimensioneringsvärde. f st f yk Draghållfasthetens dimensioneringsvärde 1.15 γ n E s E sk Armeringens dimensionerande E-modul 1.5γ n ε c1.6 f cc E c Arbetskurva för armering σ s ( ε) f st if ε f st E s f st + E s ε f st E s if f st E s < ε < f st E s f st if ε f st E s ε.4, σ s ( ε) Arbetskurva för betong ε c1 ε E c ( 1 + Φ) ε c1 ε c ( 1 + Φ) ε c ε cu ( 1 + Φ) ε cu E c 1 + Φ σ c ( ε) if ε ε E c if < ε < ε c1 1.5 ε c 1 ε c1 ε c ε f cc 1.4 if ε c1 < ε < ε c ε c f cc if ε c < ε ε cu otherwise ε c1 B45

80 5. Sprickvidd 4 3 σ c ( ε) ε σ c ( ε) Avstånd från betongens yta till armeringens tyngdpunkt i ök resp. uk 1 c1 ö ( n ö 1) ϕ ö.5 1 c1 u ( n u 1) ϕ u.5 ϕ ö + + ϕ montö + c ö ϕ u + + ϕ montu + c u c1 ö =.48 c1 u =.68 Armeringsmängd i ök resp. uk A sö A su n ö ϕ ö π cc ö 4 n u ϕ u π cc u 4 k( h) 1.45 if h if.49 < h 1 4 h 1 otherwise ε + yκ ε y, κ, ε Töjningen över tvärsnittet Inre snittkrafter M och N. Positivt M ger drag i uk. Positivt N ger tryck i tvärsnittet M1( ε, κ) M ε, κ h B σ c ε + yκ h ( y) h M1( ε, κ) + σ s ε + dy c1 ö κ A sö h c1 ö h M( ε, κ) σ s ε M ε, κ c1 u κ A su h c1 u B46

81 5. Sprickvidd N( ε, κ) h h ( ) B σ c ε + yκ κ A sö h h dy + σ s ε + c1 ö + σ s ε c1 u κ A su ε och κ itereras fram Startvärden κ ε 1 M d B h 3 E ck κ =.151 M d =.7173 N d = Given = M d M ε, κ N( ε, κ) = N d ε κ ε κ Minerr ε, κ.345 =.13 ε =.345 κ =.13 κ σ sö h σ s ε + c1 ö σ cö σ c ε h + κ κ h h σ su σ s ε c1 u σ cu σ c ε κ h σ ss σ s ε y 1 c1 u ( y 1 ) sign M d κ sign(m d ) ger samma tecken som M d y root σ s ε + y 1 κ, Neutrala lagret σs = x h sign ( M d) y B47

82 5. Sprickvidd Beräkning av spricklast M1( ε, κ) M ε, κ h B σ c ε + yκ h ( y) h M1( ε, κ) + σ s ε + h M( ε, κ) σ s ε M ε, κ N( ε, κ) h B σ c ε + yκ h ( ) dy c1 ö c1 u κ A sö κ A su h h c1 ö c1 u κ A sö h h dy + σ s ε + c1 ö + σ s ε c1 u κ A su Moment och axialkraft antas växa linjärt med faktorn λ. λ.1 ε κ 1 M d λ B h 3 E ck Rötterna λ, ε och κ söks M( ε, κ) λ M d F λ, ε, κ N( ε, κ) λ N d G λ, ε, κ h σ c ε H ε, κ sign M d κ + f ct k( h) Given = F λ, ε, κ = G λ, ε, κ H( ε, κ) = ε κ λ Minerr ε, κ, λ B48

83 5. Sprickvidd ε κ λ = ε =.1 κ =.363 λ =.3554 ( ) σ c ε h sign M d κ H( ε, κ) = = = F λ, ε, κ = G λ, ε, κ h σ sr σ s ε c1 u sign M d κ c1 c1 ö if M d < A s A sö if M d < ϕ ϕ ö if M d < c1 u otherwise A su otherwise ϕ u otherwise d ef min c1 h x 3 A ef κ 1.8 d ef B Slät stång κ 1 = 1,6 Profilerad stång κ 1 = 1, Kamstång κ 1 =.8 κ.5 d ef 8 ( h x) ρ r A s A ef s rm 5 + κ 1 κ ϕ 1 ρ r Medelavståndet mellan sprickorna β.5 a 1 1 β.5κ 1 ν max a 1.4 σ sr σ ss () w k 1.7ν σ ss E s s rm Karakteristisk sprickvidd w k =.8145 Beräknad sprickvidd (mm) B49

84 5. Sprickvidd För att få en acceptabel sprickvidd ökas den längsgående armeringen i underkant till lager ϕ16s1 Förslag på armeringsutformning är: ϕ16s1 i två lager i uk i längdriktningen ϕ16s1 i ök i längdriktningen ϕ1s5 i uk i tvärriktningen ϕ1s15 i ök i tvärriktningen läggs av praktiska skäl för att gå jämnt upp med byglarna samt byglar ϕ1s5 B5