Vikten av samtal vid tyst räkning - en analys av kommunikativ matematik i läromedel

Transkript

1 Natur, miljö, samhälle Examensarbete i fördjupningsämnet Matematik och lärande 15 högskolepoäng, avancerad nivå Vikten av samtal vid tyst räkning - en analys av kommunikativ matematik i läromedel The importance of conversation when calculating in silence - an analysis of communicative mathematics in textbooks Annika Olsson Grundlärarexamen med inriktning mot arbete i årskurs F-3, 240 hp Examinator: Per Schubert Handledare: Mikael Londos

2

3 Förord Siffror har alltid haft en central roll i mitt liv. I grundskolan var matematik mitt favoritämne. Med siktet inställt på att en dag arbeta med siffror på bank, valde jag ekonomisk linje på gymnasiet. Mina vidare studier vid Lunds universitet innebar bl a flera kurser i statistik, vilket så småningom resulterade i en filosofie kandidatexamen i ämnet. Under drygt 15 års tid arbetade jag sedan inom läkemedelsindustrin med kliniska prövningar, där statistik och siffror är av stor betydelse. När det under mina pågående studier till grundlärare blev dags att välja fördjupningsämne var matematik ett för mig självklart val. Summan av kardemumman? Matematik ligger mig varmt om hjärtat. Tack vare min lärarutbildning har jag förstått vikten av en varierad undervisning där det måste ges möjlighet att kommunicera matematik, muntligt som skriftligt. Då dagens undervisning i matematik, precis som när jag själv gick i grundskolan, till stor del är styrd av en lärobok är jag intresserad av att undersöka hur läroboken kan stimulera till interaktion och kommunikation. Jag vill passa på att tacka min handledare, Mikael Londos, som genom att ifrågasätta mina tankar och funderingar har varit till stor hjälp i mitt arbete. Mitt absoluta största tack riktar jag dock till min son, Adam, som under flera veckors tid har fått stå ut med en ganska osocial mamma och middagar med både halv- och helfabrikat. Inte en enda gång har du gnällt. Jag säger det till dig varje dag och jag säger det igen: Du är bäst! 3

4 4

5 Sammanfattning Tidigare forskning visar att matematikundervisning i väldigt stor utsträckning domineras av tyst arbete i lärobok. Nu rådande läroplan betonar kommunikation. Denna studie syftar till att undersöka om läromedel i matematik kan bidra till att elever i årskurs 1-3 utvecklar sitt matematiska språk och sin kommunikativa förmåga. Studien baseras på tre läromedel i matematik för årskurs 1-3, ett läromedel per årskurs. Med hjälp av kvantitativ och kvalitativ innehållsanalys granskades materialet utifrån de teoretiska utgångspunkterna ramfaktorteori och läroplansteori samt med en sociokulturell syn på lärande. Resultaten visar att läroboken som enda ramfaktor inte möjliggör en kommunikativ matematik enligt läroplanens mål. Med stöd av lärarhandledning finns det emellertid stora möjligheter för läraren att skapa ett klassrum med interaktion och kommunikation. För att stimulera till en undervisning med rätt terminologi förutsätter detta att lärarens språk fungerar som ett medierande verktyg. Nyckelord: innehållsanalys, interaktion, kommunikation, läromedel, läroplansteori, matematik, ramfaktorteori, sociokulturellt perspektiv, undervisning 5

6 Abstract Previous research shows that mathematics teaching is very dominated by quiet textbook work. Current curriculum emphasizes communication. The aim of this study is to investigate whether textbooks in mathematics can help pupils in grades 1-3 develop their mathematical language and communication skills. The study is based on three textbooks in mathematics for grades 1-3, one textbook per grade. The material was examined by using quantitative and qualitative content analysis. The theoretical perspectives used were frame factor theory and curriculum theory, with a sociocultural view of learning. The results show that the textbook as a single frame factor does not allow communicative mathematics according to the objectives of the curriculum. However, with the support of the teacher's guide, there are great opportunities for the teacher to create a classroom with interaction and communication. To stimulate teaching with the correct terminology, this requires that the teacher s language acts as a mediating tool. Keywords: communication, content analysis, curriculum theory, frame factor theory, interaction, mathematics, sociocultural perspective, teaching, textbook 6

7 Innehållsförteckning 1. Inledning Syfte och problemställning Bakgrund och tidigare forskning Kommunikation i läroplanen Kommunikation i kursplanen för matematik, Lpo Kommunikation i kursplanen för matematik, Lgr Matematik och språk Vardagligt och matematiskt språk Kommunikativ matematikundervisning Matematik och läromedel Teoretiska utgångspunkter Ramfaktorteori och läroplansteori Sociokulturellt perspektiv på lärande Metod och genomförande Val av metod Urval Bakgrundsinformation Urvalets avgränsningar Analysverktyg Analysverktyg för analys av elevuppgifter Analysverktyg för analys av lärarinstruktioner Reliabilitet och validitet Forskningsetiska principer Resultat och analys Innehållsanalys av elevuppgifter Kvantitativ analys Kvalitativ analys Innehållsanalys av lärarinstruktioner Diskussion och slutsats Metoddiskussion

8 7.2 Förslag till vidare forskning Avslutning Källförteckning

9 1. Inledning I dag ska vi arbeta med sidorna i matteboken, Vilken sida är du på?, Jag har kommit mycket längre i boken än vad du har, Jag ska få en ny mattebok för jag har gjort färdigt den andra, Jag vill att här är tyst när ni räknar. Dessa citat skulle kunna vara tagna direkt från den matematikundervisning jag själv upplevde i grundskolan i början på 1980-talet. Jag minns hur jag och några klasskamrater tävlade om att ha gjort färdigt flest sidor i matematikboken och allt vårt räknande skedde under total tystnad. Ovanstående citat skulle dock lika gärna kunna vara tagna från den undervisning i matematik som jag nu, ca 35 år senare, har upplevt under min verksamhetsförlagda utbildning (VFU) samt i min roll som vikarie i grundskolan. Denna erfarenhet säger mig att läroboken i matematik fortfarande har en central roll i undervisningen och att eleverna till stor del ägnar sig åt enskild, tyst räkning. Detta bekräftas dels av två av de kvalitetsgranskningar som gjorts när det gäller grundskolans matematikundervisning och dels av forskning om undervisning i matematik. Resultaten visar på en läromedelsstyrd undervisning där eleverna till stor del arbetar enskilt (Skolverket 2003; Löwing 2004; Johansson 2006; Skolinspektionen 2009; Bergqvist et al. 2010). Enskilt arbete anser jag motsäger den senaste läroplanen, Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Lgr 11, Skolverket 2011b), vilken jag menar andas kommunikation. Kursplanen i matematik är en del av Lgr 11 och i kursplanens kommentarmaterial framgår det vilka förändringar som är gjorda jämfört med tidigare kursplan. Det går bl a att läsa att Lgr 11 betonar vikten av att eleverna utvecklar förmågan att kommunicera matematik med olika uttrycksformer (Skolverket 2011a s. 6). I kursplanen för matematik återfinns fem matematiska förmågor som eleverna ska utveckla med hjälp av undervisningen: problemlösning, begrepp, metod, resonemang och kommunikation (Skolverket 2011b). Alla dessa förmågor visar tydligt att språket ska ha en central plats i undervisningen. Jag anser att det finns ett starkt samband mellan de tre förmågorna begrepp, resonemang samt kommunikation och detta arbete är begränsat till att endast omfatta dessa förmågor. För att kunna kommunicera matematik 9

10 krävs det att matematiska begrepp används. Det är dessutom nödvändigt att kunna förklara och motivera sina tankegångar, d v s att resonera. När jag studerar kursplanens syfte och kunskapskrav lägger jag märke till verb som formulera, reflektera, beskriva, presentera, samtala, argumentera samt redovisa (Skolverket 2011b). Dessa verb menar jag är exempel på hur kommunikation kan ske i grundskolans matematikundervisning. Men varför är då kommunikation i matematik nödvändigt? Forskning visar att kommunikation är avgörande för att elever ska bli medvetna om sin kunskap och om hur de lär. Eleverna behöver vara delaktiga i samtal kring matematik och ges möjlighet att förklara hur de har resonerat när de har löst uppgifterna. Detta för att kunna utveckla sitt matematiska tänkande, sitt språk samt sin förståelse (Skolverket 2003; Löwing 2004; Riesbeck 2008). I sin avhandling skriver Eva Riesbeck (2008 s. 10): Kommunikation kan ses som en grundbult i all mänsklig verksamhet och en förutsättning för allt samordnat socialt handlande. Kommunikation skapar en gemensam erfarenhetsgrund och ses som vägröjare för individuell kognition. För den svenska grundskolan finns en kursplan i matematik vars syfte och kunskapskrav genomsyras av både skriftlig och muntlig kommunikation. Samtidigt visar forskning att matematikundervisningen i Sverige är läromedelsstyrd och till stor del består av enskilt arbete. Står kursplan och undervisning i kontrast till varandra? Eller är det rent av så att dagens matematikläromedel genomsyras av kursplanens betoning på kommunikation och därmed bidrar till en kommunikativ lärandemiljö? 10

11 2. Syfte och problemställning Detta examensarbete syftar till att undersöka huruvida läromedel i matematik kan bidra till att elever i årskurs 1-3 utvecklar sitt matematiska språk och sin kommunikativa förmåga. Genom att granska och jämföra innehållet i tre läromedel för årskurs 1-3 undersöks det om elever med hjälp av lärobokens uppgifter samt tillhörande lärarinstruktioner ges möjlighet till att utveckla de matematiska förmågorna begrepp, resonemang och kommunikation. De frågeställningar som undersökningens syfte leder fram till är följande: Hur synliggörs kommunikativ matematik i läroböckernas elevuppgifter för årskurs 1-3? Hur uppmanar instruktioner i lärarhandledningar, för årskurs 1-3, till att skapa en matematikundervisning med interaktion och kommunikation? 11

12 12

13 3. Bakgrund och tidigare forskning Detta kapitel inleds med en redogörelse för hur ett av grundskolans styrdokument lyfter fram en kommunikativ undervisning. Därefter skildras delar av den tidigare forskning som berör studiens problemområde. I kapitlet definieras de begrepp som är centrala för studien och därutöver beskrivs de begränsningar som är gjorda. 3.1 Kommunikation i läroplanen Grundskolan i Sverige styrs av åtskilliga regler, lagar samt förordningar. Ett av dessa styrdokument är den nationella läroplanen som fastställs av regeringen. Den nu rådande läroplanen, Lgr 11, är uppdelad i tre delar: värdegrund och uppdrag, utbildningens mål och riktlinjer samt kursplaner (Skolverket 2011b). Att Lgr 11 lyfter kommunikationens betydelse synliggörs i alla tre delar. Redan i första delen, om värdegrund och uppdrag, står det att eleverna genom rika möjligheter att samtala, läsa och skriva ska [...] få utveckla sina möjligheter att kommunicera och därmed få tilltro till sin språkliga förmåga (a.a. s. 9). I andra delen, övergripande mål och riktlinjer, går det att läsa att läraren ska organisera och genomföra sin undervisning så att eleverna får stöd i sin språk- och kommunikationsutveckling (a.a. s. 14). I läroplanens sista del återfinns alla kursplaner för respektive ämne. För detta arbete är jag intresserad av att närmare studera kursplanen i matematik och den kommunikation som där lyfts fram. I kommentarmaterialet till kursplanen i matematik beskrivs verbet kommunicera med att utbyta information med andra om matematiska idéer och tankegångar, muntligt, skriftligt och med hjälp av olika uttrycksformer (Skolverket 2011a s. 11). Då mitt empiriska material består av läromedel som är skrivna både enligt nu gällande kursplan och den tidigare upplagan är det för min undersökning intressant att studera båda dessa kursplaner. I avsnitten nedan kommer jag kort redogöra för hur kommunikation synliggörs i de två senaste upplagorna av kursplanen för matematik. 13

14 3.1.1 Kommunikation i kursplanen för matematik, Lpo 94 Till skillnad från Lgr 11 så är kursplanerna till Lpo 94 en fristående skrift och alltså inte en del av läroplanen. Sedan Lpo 94 utkom har kursplanerna reviderats vid två tillfällen. Senaste revideringen skedde 2008 vilken berörde kursplanen i matematik. Det lades då till mål att uppnå i slutet av årskurs 3 vilket tidigare endast funnits för årskurs 5 och 9 (Skolverket 2008). Kursplanen består av fyra delar: undervisningens syfte, mål att sträva mot, ämnets karaktär och uppbyggnad samt mål att uppnå (Skolverket 2008). I syftesdelen går det bl a att läsa att undervisningen ska utveckla elevens möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer (a.a. s. 26). Under mål att sträva mot beskrivs att undervisningen ska ge eleven möjlighet att utveckla sin förmåga att, både muntligt och skriftligt, förklara och argumentera samt förstå och använda begrepp (a.a.). Vidare står det, under de mål som eleverna ska ha uppnått i slutet av årskurs 3, att eleven ska ha skaffat sig tillräckliga kunskaper för att kunna uttrycka sig muntligt, skriftligt och i handling på ett begripligt sätt med hjälp av vardagligt språk, grundläggande matematiska begrepp och symboler (a.a. s. 28) Kommunikation i kursplanen för matematik, Lgr 11 Kursplanerna i Lgr 11 består av tre delar: syfte, centralt innehåll samt kunskapskrav (Skolverket 2011b). Den kommunikativa matematiken uppmärksammas flera gånger i syftesdelen. Det går bl a att läsa att eleverna ska ges förutsättningar att utveckla matematiska begrepp, utveckla sina färdigheter när det gäller att argumentera och föra resonemang samt att undervisningen ska ge möjlighet till kommunikation kring matematik. Här återfinns även en kort beskrivning av de fem matematiska förmågor som eleverna förväntas utveckla: problemlösning, begrepp, metod, resonemang och kommunikation. Dessa ska ses som långsiktiga mål och ligger till grund för kunskapskraven (Skolverket 2011a). Som tidigare nämnts i inledningen har jag begränsat kommunikativ matematik till att endast omfatta de tre matematiska förmågorna begrepps-, resonemangs- samt kommunikationsförmåga. I det centrala innehållet beskrivs vad undervisningen ska behandla, indelat i olika kunskapsområden. Den matematiska kommunikationen blir här inte så framträdande 14

15 annat än att några av de begrepp som ska behandlas i årskurs 1-3 tas upp, t ex geometriska begrepp och lägesord. Kursplanen avslutas med kunskapskraven vilka beskriver den lägsta godtagbara kunskapsnivån. Av kunskapskraven för årskurs 3 framgår det att eleverna ska kunna använda sig av matematiska begrepp samt visa förståelse för vad några begrepp har för samband (Skolverket 2011b). Vidare uttrycks det att eleverna, med hjälp av matematiska uttrycksformer, ska kunna samtala om och beskriva sitt sätt att gå tillväga. Slutligen står det att eleverna ska kunna följa och föra resonemang om t ex val av metoder (a.a.). Det synliggörs således av både nu gällande kursplan samt tidigare utgåva att språket ska ha en central plats i matematikundervisningen. I nästa avsnitt kommer jag närmare redogöra för vad forskning säger om det matematiska språket och vikten av kommunikation. 3.2 Matematik och språk Under matematiklektioner använder lärare och elever både vardagliga och matematiska begrepp. För att få till en meningsfull interaktion mellan lärare och elever samt elever emellan krävs en gemensam begreppsförståelse (Riesbeck 2008). Madeleine Löwing (2004) skriver i sin avhandling att en av de svåraste uppgifter en lärare har är att bygga en bro mellan elevernas vardag och matematikens komplexa innehåll. Men vad är det då som skiljer ett matematiskt språk från ett vardagligt? Vardagligt och matematiskt språk Ett matematiskt språk är mycket exakt och specifikt och kan betraktas som ett eget språk (Myndigheten för skolutveckling 2008). Löwing (2004) kan anses vara av samma uppfattning när hon skriver att språket som används i matematikundervisning är speciellt och till stor del skiljer sig från det vardagliga språket. Det finns i matematiken ord och uttryck som har en helt annan innebörd i vardagen, exempelvis volym och axel. Åtskillig matematik kan dock beskrivas med ett vardagsspråk men det gäller att vara precis, annars kan problem uppstå. Om en lärare t ex beskriver både en cirkel och ett klot som runda kan detta skapa problem för eleverna (a.a.). 15

16 Matematiken innehåller flertalet abstrakta uttryck och begrepp och det är lätt hänt att det skapas en klyfta mellan det som läraren säger och det som eleverna förstår (Malmer 2002). Det är därför betydelsefullt att läraren varierar och anpassar sitt språk efter mottagare. Att lärare och elever talar samma språk är en förutsättning för att få till stånd en givande kommunikation i undervisningen (Löwing 2004). De klassrumsobservationer som ligger till grund för Löwings (a.a.) studie visade att eleverna sällan fick möjlighet att använda ett matematiskt språk och att lärarna, i kommunikation med eleverna, ofta använde sig av en oklar terminologi, vilket många gånger ledde till missförstånd. Lärarnas vardagsbetonade språk ledde till att abstrakta begrepp sällan lyftes fram. Riesbecks (2008 s.12) avhandling syftar till att besvara frågan Hur kan diskurs som teoretiskt - didaktiskt begrepp bidra till att utveckla matematikundervisningen? och utgår från ett sociokulturellt perspektiv på lärande. Avhandlingen bygger på fem empiriska studier som alla berör kommunikation i klassrummet vid matematikundervisning. I den första studien ingick sju lärare och deras interaktion med elever vid totalt 25 matematiklektioner observerades med hjälp av videoinspelningar. Resultatet visade att det sällan förekom sammankomster av vardagliga och matematiska begrepp, vilket överensstämmer med resultaten från Löwings (2004) studie ovan. Riesbeck (a.a.) drar slutsatsen att det inte bara är eleverna som är i behov av att utveckla sin begreppsförmåga. Även lärare behöver få till en bättre samklang mellan det vardagliga språket och det matematiska för att på så sätt bidra till en mer stimulerande undervisning. I detta avsnitt har det vardagliga och matematiska språk som förekommer vid matematikundervisning beskrivits. För att utveckla en begreppsförmåga krävs att eleverna ges möjlighet att använda och lyssna till rätt terminologi. Nästa avsnitt beskriver kortfattat sambandet mellan förmågorna begrepp, kommunikation och resonemang samt definierar vad som menas med en kommunikativ undervisning Kommunikativ matematikundervisning Kommunikations- och resonemangsförmågan är båda kommunikativa förmågor och står i nära förbindelse med varandra (Engvall 2013). Att kommunicera matematik innebär bl a kunna använda matematikens begrepp och uttrycksformer samt att kunna redovisa sina lösningar (Häggblom 2013). Häggblom (a.a.) beskriver resonemangsförmåga med att eleverna kan argumentera för en lösning av ett problem samt förklara rimligheten i ett svar. Genom att verbalisera sina tankar reflekterar eleven samtidigt över sin kunskap. 16

17 Eleven ges också möjlighet att använda en matematisk terminologi och kan därmed utveckla sin begreppsförmåga (a.a.). Hur ska då matematikundervisningen utformas för att stimulera till en utveckling av dessa förmågor? Margareta Engvall (2013) skriver i sin avhandling att ett klassrum där elever ombeds klargöra hur de har tänkt stimulerar till att utveckla en resonemangsförmåga. I Skolverkets (2003 s. 10) rapport Lusten att lära med fokus på matematik går det att läsa att det måste finnas en arena för dialog och social interaktion för att bidra till elevers utveckling och stimulera ett optimalt lärande. Om undervisningen blir alltför individuell och enskild finns det en risk att eleverna förlorar sin motivation och lust att lära (a.a.). Riesbeck (2008) skriver att språket är oumbärligt för en kommunikativ matematik och en förutsättning för att kunna resonera. Vidare beskriver Löwing (2004) språket som ett av de viktigaste instrumenten för lärande. I ett projekt som genomfördes i sydöstra England bland elever i åldern 9-10 år studerades samtalets betydelse för lärande i matematik (Mercer & Sams 2006). Ett av målet med studien var att se om en förbättrad kvalitet på elevernas språkanvändning vid resonemang i grupp, ökade deras individuella lärande och förståelse för matematik. I en experimentgrupp, bestående av sju lärare och 196 elever, fick lärarna tolv detaljerade lektionsplaneringar med instruktioner att uppmuntra till diskussion. Detta jämfördes mot en kontrollgrupp med snarlikt antal lärare och elever, vilka fortsatte sina lektioner som vanligt. Resultaten visade att experimentgruppen förbättrade sina matematikkunskaper signifikant mot kontrollgruppen (a.a.). Är det då så enkelt att genom att inkludera diskussioner i undervisningen ökar elevernas lärande? Följande amerikanska studie av Karl W. Kosko (2012) bekräftar till viss del att så är fallet. Koskos (2012) studie syftade till att undersöka om elevernas närvaro i ett klassrum med frekventa matematiska diskussioner hade en longitudinell effekt på deras prestationer. Ett stort, sedan tidigare insamlat, material där tusentals elever följts från förskoleklass till årskurs 8 användes. Kosko (a.a.) studerade inte diskussionernas kvalitet, ej heller vem som deltog i dem. Resultaten visade att elever som vistades i en miljö med dagliga matematiska diskussioner förbättrade sina prestationer mer än elever som utsattes för en undervisningsmiljö med få eller inga diskussioner (a.a.). Med ett så stort urval borde dessa resultat anses trovärdiga. Det ska likväl tilläggas att empirin baserades på enkätsvar från lärare. Detta är, förutom urvalets storlek, en väsentlig skillnad mot studien av Mercer och Sams (2006) ovan, där resultaten bl a bygger på 17

18 observationer av undervisning. Att en lärare uppfattar sig ha en undervisning med diskussioner stämmer kanske inte helt överens med verkligheten alla gånger. Kosko (2012) avslutar sin artikel med att poängtera att diskussion inte per automatik innebär ett ökat lärande. Han menar att det gäller att få till stånd en meningsfull diskussion vilket också påvisas i en studie av Engvall (2013). Genom att observera fem klasser i årskurs 2 syftade Engvalls (2013 s. 26) studie till att undersöka vad elever ges möjlighet att lära när innehållet i undervisningen är skriftliga räknemetoder för addition och subtraktion. I resultatet nämner Engvall (a.a.) en situation där elever arbetar i grupp och när de ska visa att de har förstått endast upprepar vad tidigare elev redan sagt. Engvall (a.a.) påpekar att förmågan att kommunicera är central, men det finns inga indikationer på resonemang eller begreppsförståelse. Detta är ett exempel på en situation där lärarens stöttande roll blir viktig. Genom att stötta denna grupp med frågor hade det funnits möjlighet för eleverna att även utveckla begrepps- och resonemangsförmågan. En annan typ av kommunikationsproblem uppstod vid den undervisning Löwing (2004) studerade, närmare bestämt i interaktionen mellan elev och lärobok. Eleverna missuppfattade instruktioner i läroboken och Löwing (2004) nämner språket som en möjlig anledning. Lärarna använde ofta ett vardagsspråk medan det i boken ofta förekom en korrekt terminologi. I nästa avsnitt behandlas läromedel i matematik och hur dessa används i undervisningen. 3.3 Matematik och läromedel Läromedel är ett brett begrepp som kan betyda flera olika saker. Ibland likställs läromedel med något som används för att nå skolans kunskapsmål (Selander 2003). En sådan formulering innebär att nästan vad som helst kan anses vara ett läromedel. Läromedel i matematik kan bl a bestå av läroböcker, läxböcker, övningsböcker, lärarhandledningar samt laborativt och elektroniskt material. För min studie har jag valt att begränsa begreppet läromedel till att endast omfatta lärobok med tillhörande lärarhandledning. Tidigare granskades svenska läromedel i förväg av Statens institut för läromedelsinformation (Johansson 2003, 2006). Denna granskning upphörde i början av 1990-talet och nu finns det inte längre någon myndighet som granskar läromedel innan de trycks (a.a.). Detta ställer högre krav på skolan och lärarna vid val av läromedel. Med hjälp av 18

19 lektionsobservationer, intervjuer och enkäter granskades matematikundervisningen vid 23 svenska grundskolor år En fråga som ställdes till lärarna var Hur och på vilka grunder sker urvalet av läromedel? (Bergqvist et al s. 34). Majoriteten av lärarna svarade att läroboken valdes efter diskussion med kollegor (a.a.). Resultatet visade mycket varierande svar när det gällde på vilka grunder ett läromedel valdes. Exempel på svar var att ekonomin hade en avgörande roll och att det ska vara enkelt för eleverna att arbeta självständigt i boken (a.a.). Studien baseras på ett stort antal lärare och det sistnämnda svaret stämmer väl överens med tidigare forskning om undervisning i matematik. Löwing (2004) utgår i sin avhandling från ett ramfaktorteoretiskt perspektiv där hon menar att undervisningen styrs av fasta och rörliga ramar. De fasta ramarna, som t ex skollag och läroplan, kan läraren inte påverka i ett kortare perspektiv. Rörliga ramar i form av t ex arbetssätt och undervisningsmaterial har läraren däremot möjlighet att påverka. Löwing (a.a) klassificerar därmed läroboken som en rörlig ram, men hon påpekar samtidigt att vid en alltför läroboksstyrd undervisning kan läroboken anses vara en fast ram. Syftet med Löwings (2004) studie var att undersöka hur lärare vid lektioner i matematik kommunicerar med elever. Klassrumsobservationerna visade att instruktionerna till eleverna ofta hämtades från ett läromedel och Löwing (a.a.) intresserade sig därför även för samspelet mellan lärare och läromedel. Majoriteten av de nio lärarna använde sig av s k hastighetsindividualisering, vilket innebar att eleverna arbetade i sin egen takt i läroböckerna. Löwing (a.a.) menar att en sådan syn på individualisering endast tar hänsyn till elevernas olika arbetstakt. I intervjuer med lärarna var det ingen som nämnde att eleverna skulle lära på olika kvalitativa sätt (a.a.). I Skolverkets (2003) rapport nämns just skillnaden mellan individuellt arbete och ett individualiserat arbete. Den individuella undervisningsform som dominerar matematikundervisningen är sällan anpassad efter olika individers behov när det gäller läromedel, innehåll och arbetsform utan innebär ett enskilt arbete med samma innehåll men i olika takt (a.a.). Flertalet studier visar att lärarna förlitar sig på läroboken och låter den vägleda undervisningen (Löwing 2004; Johansson 2006; Bergqvist et al. 2010; Engvall 2013). Engvalls (a.a. s. 137) klassrumsobservationer visar att den kommunikation läraren förmedlar antyder att läroboken innehåller regler och direktiv om hur eleverna ska gå tillväga. Vid de lektioner som Löwing (2004) observerar inträffar situationer där lärare 19

20 och läromedelsförfattare troligen tolkat kursplanen på olika sätt och inte är överens. Eleverna får motstridiga instruktioner vilket skapar problem. Författare till läromedel har ingen skyldighet att följa läroplan och kursplaner (Johansson 2006). För författare och förläggare finns troligtvis ett stort ekonomiskt intresse. Dock styrs försäljningen av efterfrågan så i viss mån går det att säga att utvecklingen av läroböcker följer de krav och förväntningar som lärare har (a.a.). Monica Johansson (2003) tillhör en av få svenska forskare som har granskat läromedel i matematik. Hennes avhandling syftar till att undersöka hur väl utvecklingen av ett läromedel i matematik överensstämmer med utvecklingen av läroplanerna. Med utgångspunkten att läroboken fungerar som en realiserad läroplan har Johansson (a.a.) analyserat innehållet av fem läroböcker producerade olika år för samma årskurs och jämfört detta mot läroplanernas formuleringar. Resultatet visar att det finns brister i läroböckerna sett till de mål med undervisningen som läroplanerna tar upp. Att matematikundervisningen i Sverige är starkt läroboksbaserad har nog inte undgått någon läsare av detta arbete vid det här laget. Är detta fenomen då något som är typiskt för Sverige? Svaret på den frågan är nej. Mellan 75-90% av all undervisning i USA är läroboksbaserad (Selander 2003). Det ska dock tilläggas att denna siffra gäller all undervisning och ej enbart matematik. Haggarty och Pepins (2002) studie syftade till att, genom lärarintervjuer, undersöka hur läroboken i matematik används i England, Frankrike och Tyskland. Resultaten visar att i Frankrike används läroboken i princip under all tid av matematiklektionerna. Alla elever i en viss ålder använder samma bok. Tyskland och England har också en läroboksstyrd undervisning. I Tyskland bestämmer skolan vilken lärobok som ska användas och det är föräldrarnas ansvar att införskaffa den (a.a.). När det gäller hur lärarna använder läroboken visar resultatet att lite drygt hälften av lärarna i Tyskland enbart använder läroboken som underlag till sin planering av lektioner (Haggarty & Pepin 2002). Följande citat stämmer väl in på det faktum att läroboken ofta används som en vägvisare och citatet leder vidare in i nästa kapitel som tar upp arbetets teoretiska utgångspunkter: Läromedlen utgör dessutom exempel på en ramfaktor för pedagogisk praxis och signalerar hur man tänker sig att kunskapsinhämtning skall gå till. (Selander 2003 s. 204) 20

21 4. Teoretiska utgångspunkter I detta kapitel beskrivs de teorier som ligger till grund för undersökningen. Utvalda begrepp från respektive teori framställs och kopplingen till föreliggande studie motiveras. 4.1 Ramfaktorteori och läroplansteori År 1962 infördes grundskolan i Sverige och en av de mest centrala politiska frågorna var den så kallade differentieringsfrågan, d v s om det var möjligt att skapa en likvärdig skola för alla eller om det var nödvändigt med olika former av elevgrupperingar. Genom att studera olika elevsammansättningar och belysa differentieringsfrågan, lade Urban Dahllöf grunden för ramfaktorteorin i slutet på 1960-talet (Lundgren 1979, 1999; Dahllöf 1999). Dahllöfs forskning visade ett samband mellan ram, process och resultat, d v s att undervisningsprocessen och dess resultat i form av inlärning formas av ramar (a.a.). Begreppet ram definierade Dahllöf som faktorer vilka begränsar den faktiska undervisningsprocessen och över vilka de som undervisar och de som undervisas inte har någon kontroll (Lundgren 1979 s. 233). Ulf P. Lundgrens licentiatavhandling var ett första steg att vidareutveckla ramfaktorteorin utifrån Dahllöfs grund (Lundgren 1979, 1999). Lundgren utvecklade begreppet ram ytterligare och skiljde mellan konstitutionella, organisatoriska och fysiska ramar. Skollagen är ett exempel på ram som ingår i gruppen konstitutionella ramar och med organisatoriska ramar avsåg Lundgren t ex klasstorlek. I den sista kategorin, fysiska ramar, ingår t ex utrustning och läromedel (a.a.). I detta arbete kommer jag utifrån ett ramfaktorteoretiskt perspektiv studera den fysiska ramen läromedel. Lundgren (1999 s. 36) skriver i sin artikel att ramar ger eller ger inte möjligheter och utifrån detta ställer jag mig frågan huruvida läromedel i matematik ger möjlighet till kommunikation eller ej. Ramfaktorteorin lade grunden till läroplansteorin och även här är Ulf P. Lundgren ett framträdande namn. Läroplansteori kan sägas beskriva processen när ett visst innehåll i utbildningen väljs ut samt hur denna urvalsprocess påverkas av olika aktörer i skolans värld (Lundgren 1979; Linde 2012). 21

22 I boken Det ska ni veta! En introduktion till läroplansteori delar Göran Linde (2012) in läroplansprocessen i tre olika arenor: formulering, transformering och realisering. Formuleringsarenan behandlar frågor kring vilka ämnen som ska studeras samt undervisningens mål och innehåll (a.a.). Dessa frågor påverkas såväl av den historiska utvecklingen som av olika ideologier om utbildning och lärande (Lundgren 1979). Lundgren (a.a. s. 22) förklarar begreppet läroplan som att det avser styrningen och kontrollen av utbildning och undervisning vad gäller mål, innehåll och metod. När det gäller undervisningens metoder är detta ett exempel på hur läroplanen förändrats över tid. Före 1994 var läroplanen till större del inriktad på vilket innehåll som skulle ingå i undervisningen och hur denna skulle bedrivas. Fr o m Lpo 94 har lärare större möjlighet att själva styra sin undervisning, en så kallad deltagande målstyrning (Englund, Forsberg & Sundberg 2012). Transformeringsarenan berör frågor kring hur läroplanen tolkas. Linde (2012) beskriver hur innehållet i skolans undervisning inte kan likställas med den fastställda läroplanen. Läroplanen tolkas bl a utifrån lärarnas syfte, rutiner samt med hänsyn till praktiska förutsättningar. Detta kan medföra tillägg till läroplanen men även fråndrag (a.a.). I realiseringsarenan studeras det som sker i undervisningen, d v s vilka konsekvenser läroplanens tolkningar får för undervisningen. Här behandlas frågor som rör kommunikation, interaktion samt aktiviteter i undervisningen, men även hur elever tillägnar sig kunskap (Linde 2012). Linde (2012) skriver att det inte är enbart läraren som har inflytande över undervisningen utan att det även finns andra beslutsfattare, t ex författare till läromedel. Utifrån ett läroplansteoretiskt perspektiv kommer jag analysera hur författare till läromedel i matematik har valt att transformera den formulerade kursplanen i matematik när det gäller elevers utveckling av begrepps-, resonemangs- och kommunikationsförmåga. Min undersökning kommer därmed främst beröra läroplansteorins formulerings- och transformeringsarena. Vid formulering av en läroplan är utgångspunkten inte enbart vad som anses vara viktig och giltig kunskap utan det tas även hänsyn till hur elever lär (Linde 2012). Med detta som bakgrund skriver Linde att det föreligger ett starkt samband mellan läroplansteori och lärandeteori. Den lärandeteori som jag menar synliggörs i Lgr 11 och som kommer framträda i detta arbete är det sociokulturella perspektivet på lärande. I nästa avsnitt kommer jag närmare beskriva detta perspektiv samt förklara de begrepp som kommer belysas i mitt arbete. 22

23 4.2 Sociokulturellt perspektiv på lärande Att kommunicera och att använda språket är centralt för det sociokulturella perspektivet. Enligt den ryske psykologen Lev Vygotskij (2001) är det genom interaktion och kommunikation med andra som vi tillägnar oss kunskap, d v s kunskap finns inte endast inom oss utan lärandet sker i en social kontext. Ett centralt begrepp inom det sociokulturella perspektivet är mediering (Vygotskij 2001; Säljö 2014). Detta innebär att med hjälp av fysiska och språkliga redskap i vår omgivning förmedlas lärandet (a.a.). Med ett sociokulturellt perspektiv i åtanke vill jag med denna studie undersöka huruvida läromedel kan fungera som ett medierande redskap och bidra till ett kommunikativt lärande i matematik. Enligt Vygotskij (2001) handlar undervisning om att vardagliga begrepp ska möta de teoretiska. Vidare skriver Vygotskij (a.a.) att detta är en besvärlig uppgift där lärarens roll är avgörande. Språkinlärning handlar mycket om att imitera, om det ges möjlighet till imitation finns det möjlighet för inlärning (a.a.). Det är vid det tillfälle när barnet för första gången känner igen betydelsen av ett ord som begreppsutvecklingen påbörjas (a.a.). För en matematikundervisning innebär detta att läraren inte bara måste få till stånd skriftlig och muntlig kommunikation utan att kommunikationen dessutom måste innehålla matematiska begrepp att imitera. Vikten av interaktion är även central i ytterligare ett begrepp som förknippas med den sociokulturella lärandeteorin, nämligen den närmaste utvecklingszonen (zone of proximal development, ZPD) (Vygotskij 2001; Säljö 2012). Denna kan förklaras med avståndet mellan det en elev kan göra på egen hand och det eleven kan göra genom samarbete och stöttning från en vuxen eller kamrat med högre kunskap (a.a.). Även här framkommer det att läraren har en betydande roll, både i att stötta, men även att se till att skapa situationer för samarbete elever emellan. Denna undersökning syftar bl a till att granska hur lärarinstruktioner kan uppmana till en kommunikativ matematikundervisning. Med Vygotskijs (2001) tankar kring begreppsinlärning och med ZPD som bakgrund blir det för min studie intressant att undersöka hur lärarens språk kan fungera som ett verktyg när det gäller att skapa möjligheter för interaktion och användning av det matematiska språket. Hur analysen kommer genomföras beskrivs närmare i nästa kapitel. 23

24 24

25 5. Metod och genomförande I detta kapitel beskrivs valet av metod samt hur urvalet har skett. Därefter beskrivs de analysverktyg som tagits fram och hur studien genomförts. Avslutningsvis redogörs för studiens reliabilitet, validitet samt de etiska aspekterna. 5.1 Val av metod Materialet för min undersökning består av läromedel i matematik för årskurs 1-3. För att kunna analysera och jämföra materialet har jag valt att använda mig av innehållsanalys som forskningsmetod. Innehållsanalys används för att studera det som redan finns uttryckt, det explicita (Bergström & Boréus 2012), vilket stämmer bra överens med ett läromedel. Bergström och Boréus (a.a.) uppger läroböcker som exempel på lämpligt material för innehållsanalys, vilket styrker mitt val. Alan Bryman (2011) kan sägas vara av samma åsikt när han skriver att innehållsanalys lämpar sig för granskning av tryckta texter. Bryman (2011) beskriver två olika forskningsstrategier: kvantitativ och kvalitativ. För att på ett enkelt sätt beskriva skillnaderna kan en kvantitativ forskning sägas innebära att fokus ligger vid att kvantifiera data vid insamling och analys. I motsats till detta innebär en kvalitativ forskning att vikten ligger vid ord och inte siffror (a.a.). Ytterligare en skillnad som Bryman (a.a.) nämner är att en kvantitativ strategi inriktar sig på att pröva teorier medan en kvalitativ strategi inriktar sig på att generera teorier. En innehållsanalys kan vara både kvantitativ och kvalitativ. En kvantitativ innehållsanalys innebär att förekomsten av specifika inslag i texten mäts eller räknas utifrån i förväg fastställda kategorier (Bryman 2011; Bergström & Boréus 2012). En kvalitativ innehållsanalys innebär ett sökande efter bakomliggande teman i det material som analyseras (Bryman a.a. s. 505). En kvalitativ innehållsanalys kan precis som en kvantitativ utgå från bestämda kategorier men med skillnaden att nya kategorier kan tillkomma efter hand (a.a.). Utifrån studiens syfte är det inte självklart att välja vare sig en kvantitativ eller en kvalitativ innehållsanalys. Då jag dels ämnar undersöka omfattningen av kommunikativ matematik i texterna, dels vill undersöka texternas formuleringar på ett mer kvalitativt sätt har jag valt att kombinera en kvantitativ innehållsanalys med en kvalitativ. 25

26 5.2 Urval Mitt empiriska material utgörs av fem lärarhandledningar, avsedda för matematik i årskurs 1-3. Som jag tidigare nämnt i avsnitt 3.3 har jag för min studie valt att begränsa begreppet läromedel till att omfatta lärobok med tillhörande lärarhandledning. Att mitt urval enbart består av lärarhandledningar har sin förklaring i att elevernas läroböcker återges i helhet i lärarhandledningarna, d v s alla sidor ur läroböckerna finns avbildade. Jag har för min studie valt att göra ett så kallat bekvämlighetsurval, vilket innebär att jag har valt material som funnits lättillgängligt (Bryman 2011). Genom att gå igenom vilka lärarhandledningar som fanns till förfogande vid Malmö högskolas bibliotek valde jag dels läromedel som jag sett användas i undervisningen under min VFU, dels läromedel min son och barn i min bekantskapskrets använt/använder. Detta för att garantera att studiens urval består av matematikläromedel som faktiskt används. I tabell 5.1 framgår det vilka lärarhandledningar jag har valt att analysera. I tabellen tydliggörs även hur jag fortsättningsvis kommer referera till materialet. Tabell 5.1. Empiriskt material. Lärarhandledning Författare År Referens i arbetet Mattedetektiverna 1A, Lärarboken Mattedetektiverna 1B, Lärarboken Kavén, Anna 2011 Mattedetektiverna 1 Kavén, Anna 2011 Mattedetektiverna 1 Matte direkt Safari 2A, Lärarhandledning Matte direkt Safari 2B, Lärarhandledning Picetti, Margareta Elofsdotter Meijer, Siw Picetti, Margareta Elofsdotter Meijer, Siw Falck, Pernilla 2009 Matte Direkt Safari Matte Direkt Safari 1 Prima matematik 3 2 Brorsson, Åsa 2011 Prima Matematik 1) Om det finns anledning att särskilja materialet åt, hänvisar jag till böckerna A som hösttermin och till B som vårtermin. 2) Lärarhandledningen Prima Matematik 3 omfattar två läroböcker, 3A och 3B. 26

27 5.2.1 Bakgrundsinformation Bryman (2011) nämner att det vid innehållsanalys är bra att bilda sig en uppfattning om det material som undersöks. Nedan följer därför en kort bakgrundsinformation som är av intresse för studien, närmare bestämt vilken kursplan materialet är anpassat för och vilken uttalad syn författarna har på matematikundervisning när det gäller kommunikation. Mattedetektiverna är anpassad efter Lgr 11. Enligt författaren finns det i elevuppgifterna en tydlig koppling till kursplanen. Författaren skriver att det ligger fokus på att arbeta med matematiska begrepp och taluppfattning och hon anser att det ska läggas mycket tid på gemensamma aktiviteter där eleverna ska få utrymme att sätta ord på sina tankar. Matte Direkt Safari är skrivna 2009 och 2010 och därmed anpassade efter den tidigare kursplanen Lpo 94. Författarna skriver att materialet bygger på det matematiska samtalet (s. 4) och att resonemang, både mellan elever och i stor grupp, ska vara en central del av undervisningen eftersom det utvecklar elevernas språk. Prima Matematik är framtaget utifrån Lgr 11. Enligt författaren är målet med böckerna att utveckla elevernas förmåga att kommunicera med ett matematiskt språk, argumentera samt reflektera. Detta menar författaren görs genom att lyfta fram matematiska diskussioner samt laborativt arbete Urvalets avgränsningar Vid framtagandet av mitt analysverktyg blev det synligt att alla sidor för vårterminens lärobok av Mattedetektiverna inte fanns representerade i lärarhandledningen. De sidor som är döpta På rätt spår, där eleverna förväntas göra två diagnoser, var utelämnade. För att analysen av elevuppgifter ska bli komplett har jag därför även studerat elevuppgifterna på dessa sidor med hjälp av läroboken Mattedetektiverna 1B (Kavén 2011c). När det gäller analysen av lärarinstruktioner har jag utelämnat de instruktioner som hör till sidor i läroböckerna där eleverna förväntas göra olika diagnoser. Detta eftersom eleverna ska göra diagnoserna på egen hand och tillhörande lärarinstruktioner därmed inte kan bidra till interaktion eller kommunikation i klassrummet. 27

28 5.3 Analysverktyg Analysen av elevuppgifterna omfattas av både en kvantitativ och en kvalitativ innehållsanalys. För lärarinstruktionerna består analysmetoden endast av en kvalitativ analys. I detta avsnitt kommer jag redogöra för hur analysverktygen tagits fram samt hur analysen har genomförts. Jag har valt att redovisa detta i två separata avsnitt, ett för elevuppgifter och ett för lärarinstruktioner Analysverktyg för analys av elevuppgifter För att besvara min första frågeställning Hur synliggörs kommunikativ matematik i läroböckernas elevuppgifter för årskurs 1-3? kommer jag studera frekvensen av elevuppgifter som kan tänkas utveckla begrepps-, resonemangs- och kommunikationsförmågor. För att utföra en kvantitativ innehållsanalys behövs ett analysverktyg i form av ett kodningsschema (Bryman 2011) eller kodschema (Bergström & Boréus 2012) där analysens kategoriseringar beskrivs. I mitt arbete med att kategorisera mitt material inspirerades jag av den metod Johansson (2003) använt för sin läromedelsanalys. Johansson (a.a. s. 58) studerade med hjälp av innehållsanalys bl a läroböckernas uppgifter utifrån tre aspekter: content, performance expectations and perspectives. Aspekten content innebär att studera vilket matematiskt innehåll det finns i uppgiften, t ex taluppfattning, statistik eller geometri. Den andra aspekten performance expectations innebär att studera vad eleven förväntas göra, t ex resonera, lösa problem eller arbeta i grupp. Sista aspekten perspectives betyder att elevuppgiften studeras utifrån hur och när kunskapen kan användas, i vilken kontext. Den aspekt som bäst stämde överens med det jag vill undersöka var performance expectations, d v s vilka förväntningar som finns på utförandet. Jag väljer att på svenska kalla den för förväntat utförande. Bergström och Boréus (2012) skriver att det är bra att bekanta sig lite med materialet när kodningsschemat tas fram. Genom att studera elevuppgifterna i Mattedetektiverna och med inspiration från kursplanerna i matematik skapade jag fyra underkategorier för förväntat utförande, se tabell

29 Tabell 5.2. Kodningsschema för analys av elevuppgifter. Förväntat utförande Använda begrepp skriftligt 1 Visa förståelse för begrepp 1 Skriftlig kommunikation 3 Muntlig kommunikation 3 Exempel Elevuppgift där ett skriftligt svar förväntas innehålla minst ett matematiskt begrepp 2 Elevuppgift där det av svaret framgår att eleven förstått innebörden av ett matematiskt begrepp 2, t ex Ringa in den största cirkeln. Elevuppgift där det tydligt framgår att eleven i svaret förväntas förklara, beskriva, resonera, argumentera, redogöra eller motivera. Elevuppgift där eleven förväntas interagera med andra (arbete i par/grupp). 1) I denna kategori ingår förmågan begrepp. 2) Exempel på matematiska begrepp: addition, kvadrat, tiotal, större, flest, dubbelt, udda, hörn, summa, diagram, tabell, första, bredvid, längst, par, m m. 3) I denna kategori ingår de båda förmågorna kommunikation och resonemang. Utöver en kvantitativ analys av elevuppgifterna kommer jag även genomföra en kvalitativ analys. För att upptäcka om det finns en gemensam terminologi bland elevuppgifterna kommer jag analysera vilket språk författarna använder i sin formulering, ett vardagligt eller matematiskt. Jag kommer även studera de uppgifter där eleverna i svaret förväntas träna sin skriftliga kommunikation (se definition i tabell 5.2) för att se om det finns en variation i hur författarna har valt att formulera denna typ av uppgifter Analysverktyg för analys av lärarinstruktioner En teoretisk utgångspunkt för detta arbete är det sociokulturella perspektivet. Ett centralt begrepp inom denna lärandeteori, som jag tidigare nämnt, är mediering (Vygotskij 2001; Säljö 2014). Roger Säljö (a.a. s. 82) skriver att människans allra viktigaste medierande redskap är de resurser som finns i vårt språk. Detta citat inspirerade mig när jag skulle ta fram ett analysverktyg för min andra frågeställning Hur uppmanar instruktioner i lärarhandledningar, för årskurs 1-3, till att skapa en matematikundervisning med interaktion och kommunikation?. Läraren måste fungera som en länk mellan lärarhandledning och lärobok. Men hur formulerar författarna instruktioner till läraren så att eleverna uppmanas kommunicera matematik? Min kvalitativa analys av lärarinstruktioner består bl a av att studera dessa formuleringar. För att hitta adekvata instruktioner bestämde jag mig för att söka efter nyckelord (Bryman 2011) som kan associeras till de tre förmågorna begrepp, 29

30 kommunikation samt resonemang. Nyckelorden definierades med hjälp av sökning i Prima Matematik, kursplanerna för Lpo 94 och Lgr 11 samt det kommentarmaterial som finns till kursplanen i matematik för Lgr 11 (Skolverket 2008; Skolverket 2011a, 2011b). Resultatet presenteras i tabell 5.3 nedan. Tabell 5.3. Analysverktyg för lärarhandledningar. Förmåga Begrepp Kommunikation, resonemang Nyckelord att söka efter i lärarinstruktioner Begrepp, lägesord, terminologi Argumentera, beskriva, diskutera, formulera, förklara, kommunicera, presentera, redogöra, redovisa, reflektera, resonera, samtala Min kvalitativa analys kommer även bestå av att söka efter gemensamma teman i lärarinstruktioner. Genom att studera lärarhandledningarnas disposition kommer jag undersöka om det finns likheter eller olikheter i hur de är uppbyggda. Finns det en viss struktur i hur författare skapar instruktioner till lärare eller är det individuellt för respektive läromedel? Precis som för den kvalitativa analysen av elevuppgifter kommer jag även för lärarinstruktionerna studera vilket språk författarna har använt sig av. Uppmanar instruktionerna till användande av ett matematiskt eller vardagligt språk? 5.4 Reliabilitet och validitet En svaghet med innehållsanalys, som Bryman (2011) nämner, är att det är nästintill omöjligt att göra ett kodningsschema som inte inrymmer ett visst inslag av tolkning. Att kategorisera elevuppgifter kräver en tolkning av uppgifterna. För att försäkra mig om att jag är konsekvent i min analys, kommer jag räkna elevuppgifter vid två separata tillfällen, så kallad dubbelkodning (Bergström & Boréus 2012). Dubbelkodning är ett exempel på metod att använda för att mäta intrasubjektivitet (a.a.) eller intrabedömarreliabilitet (Bryman a.a.), vilket innebär att samma person får identiska resultat vid två separata tillfällen. Att tolka matematiska uppgifter kräver en viss matematisk förståelse. Vid en kvantitativ analys ska vem som helst kunna undersöka materialet och få samma svar, d v s en god intersubjektivitet (Bergström & Boréus 2012) eller interbedömarreliabilitet 30

31 (Bryman 2011). För att underlätta för en person som inte är insatt i matematiska begrepp har jag i mitt analysverktyg gett flera exempel på vad jag avser med matematiskt begrepp. Risken för olikartade tolkningar finns dock kvar och jag anser att den ökar ju större antal elevuppgifter böckerna har. Ytterligare en sak som bör nämnas när det gäller studiens reliabilitet är att jag kan misstolka författarens avsikt med en uppgift och kategorisera den fel. När det gäller studiens validitet undersöker jag elevuppgifter och lärarinstruktioner kopplade till de matematiska förmågorna begrepp, kommunikation och resonemang. Detta stämmer bra överens med studiens syfte och frågeställningar. Till min hjälp att definiera nyckelord för min kvalitativa analys har jag bl a utgått från formuleringar i kursplanerna för matematik. Bergström och Boréus (2012) skriver att ett problem med att räkna ord kan vara att ett ord kan betyda flera saker. I min kvalitativa analys räknar jag inte orden utan studerar den kontext de förekommer i. För att om möjligt stärka studiens validitet har jag valt nyckelord som ska kunna tolkas med enbart en innebörd. 5.5 Forskningsetiska principer För svensk forskning gäller bl a följande etiska principer: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Bryman 2011). Min studie samlar inte in någon persondata och berörs därmed inte av de två sistnämnda kraven. De enda personer som kan beröras av informationskravet och samtyckeskravet är författarna till de läromedel som analyseras. Då det empiriska materialet för innevarande studie består av redan publicerat material, anser jag inte att det föreligger skäl till att kontakta författarna. 31