Elevers uppfattningar om att arbeta med problemlösning inom matematikundervisningen

Transkript

1 Elevers uppfattningar om att arbeta med problemlösning inom matematikundervisningen Två fokusgruppers upplevelse av öppna uppgifter i årskurs 3 Leyla Köylüoglu Institutionen för matematikämnets och naturveteskapsämnenas didaktik Självständigt arbete på avancerad nivå, UM9022, 15hp Matematikämnets didaktik Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1 3 (240hp) Höstterminen 2018 Handledare: Per Sund Examinator: Per Anderhag English title: Pupils perceptions of working with problem solving in mathematics

2 Elevers uppfattningar om att arbeta med problemlösning inom matematikundervisningen Två fokusgruppers upplevelse av öppna uppgifter i årskurs 3 Leyla Köylüoglu Sammanfattning Tidigare forskning inom matematikundervisningen har visat att problemlösning stärker samt motiverar elevers kunskapsutveckling positivt. Arbete med öppna uppgifter inom problemlösning har även påvisat att elever utvecklar en djupare förståelse och flexibilitet för ämnet matematik. Det har däremot inte framkommit vad elever har för perceptioner beträffande öppna uppgifter och dess användning i matematikundervisningen. Syftet med denna studie är att undersöka elevers uppfattningar kring öppna uppgifter inom problemlösning och därmed ta reda på tankar och åsikter ur ett elevperspektiv. Studien grundar sig på två fokusgrupper, vilka består av fem elever i respektive grupp. Urvalet i studien har skett utifrån ett informations- och samtyckesbrev och i samråd med klassläraren. Eleverna i studien går i årskurs 3 och undervisas i samma skola. Deltagarna är sen tidigare bekanta med öppna uppgifter, eftersom klassläraren aktivt använder det i undervisningen. Resultatet i studien visar att eleverna har väldigt positiva tankar och upplevelser gällande öppna uppgifter. Fokusgrupperna ansåg att öppna uppgifter borde inkluderas mer i undervisningen, eftersom dess vidd gav de möjligheten samt utmaningen till att tänka mångsidigt. Ur elevernas perspektiv bidrog också öppna uppgifter till att matematikundervisningens arbetsform varierade. Fokusgrupperna belyste även fram olika förmågor, vilket visade på att uppgifter som är öppna gav eleverna möjlighet att utveckla förmågorna som benämns i kursplanen för ämnet matematik. Studien bidrar till att man ur ett elevperspektiv kan granska och värdera sin matematikundervisning som blivande och kommande lärare. I och med detta kan man förbättra sin undervisning inom ämnet, vilket i sin tur kan bidra till att utveckla matematikundervisningens upplägg och innehåll, så att det gynnar elevernas lärande. För vidare forskning kan man även undersöka hur öppna uppgifter återspeglas i olika läromedel. Nyckelord Matematik, problemlösning, elevsyn, öppna uppgifter, slutna uppgifter, lärande, fokusgrupper

3 Innehållsförteckning Inledning... 1 Definition av begrepp... 4 Syfte & Frågeställning... 5 Metod... 6 Urval... 6 Genomförandet av fokusgrupper... 7 Databearbetning och analys... 7 Forskningsetik... 8 Resultat... 9 Förmågorna ur ett elevperspektiv... 9 Varierande arbetsformer i undervisningen Elevers tankar om öppna uppgifter Diskussion Sammanfattning av resultat Resultaten i förhållande till tidigare forskning Relevans för undervisning och lärande Tillförlitlighet Förslag på fortsatta studier Litteraturförteckning Bilagor Bilaga 1 Informations- och samtyckesbrev till vårdnadshavarna Bilaga 2 Intervjuguide till fokusgrupperna Intervjufrågorna Bilaga 3 Uppgifterna som delades ut till eleverna under matematiklektionen Bilaga 4 Sammanställning och kategorisering av uppgifterna samt förslag på svar (underlag till forskaren) Öppna uppgifter Slutna uppgifter... 23

4 Inledning Problemlösning är en förmåga som ständigt används av individen, både som barn men även som vuxen (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005; Skolverket, 2011; Boaler, 1998). Även i skolans styrdokument, Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr11, betonas vikten av problemlösning i matematikundervisningen. Undervisningen i ämnet matematik ska även ska bidra till att "eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat" (Skolverket, 2011, s.47), samtidigt som undervisningen skall främja alla elevers utveckling och lärande samt en livslång lust att lära (ibid, s.7). Undervisningen i ämnet matematik skall även ge eleverna förutsättningar att utveckla förmågorna problemlösning, begrepp, metod, resonemang och kommunikation (se diagram 1), som står i kursplanen för ämnet matematik (Skolverket, 2011, s ). Holgersson (2015) belyser att genom att integrera problemlösning i undervisningen kan man på ett smidigt sätt väva in förmågorna så att de kommer till uttryck. Uppgifter med problemlösning gör det möjligt för eleverna att på en och samma gång arbeta med förmågorna problemlösning, kommunikation och resonemang. Beroende på uppgiftens innehåll och formulering kan även metods- och begreppsförmågan beröras samt utvecklas hos individen i arbete med problemlösning i matematikundervisningen. Diagram 1: Förmågor som elever behöver ges möjlighet till att utveckla inom ämnet matematik. Dessa förmågor är resonemang, problemlösning, begrepp, metod och kommunikation (Skolverket, 2011, s.47 48). Taflin (2007), Holgersson (2015) och Silver m.fl. (1995) poängterar att dagens skola grundar sig på rutinuppgifter som är baserade på att svaren är antingen rätt eller fel. I och med detta skapar samt ger uppgifterna trygghet, eftersom eleverna har lärdom om att det enbart finns ett rätt svar. Däremot behöver individer även utmanas och ta sig an uppgifter och problem som kan ha flera olika svarsalternativ och lösningsmetoder. Detta för att kunskap kan uttryckas i olika sätt, vilket förutsätter att undervisningens innehåll, samt att arbetsform och arbetssätt varierar för att främja elevers lärande (Skolverket, 2011). 1

5 Enligt Taflin (2007, s ), delas arbete med problemlösning in i fyra faser som är introduktion, idéfas med lösningsutkast, lösning och redovisning. Första fasen bygger på lärarens förmåga att introducera problemet så att den blir begriplig. I den andra fasen börjar elever att ta sig an problemet, vilket kan göras enskilt, i par/grupp eller med hjälp av läraren. Vid den tredje fasen ska eleverna ha löst problemet eller delar utav den, för att sedan i fas fyra kunna diskutera lösningarna till uppgiften i helklass (ibid). Enligt Hägglund (2016) kan arbetsmetoden med faserna som Taflin benämner, kopplas till EPA-modellen. EPA-modellen är en förkortning som står för Enskilt, Par och Alla. I arbete med problemlösning kan undervisningen utgå ifrån EPA-modellen, där eleverna ges möjlighet att arbeta individuellt, i par eller grupp och i helklass. På så sätt kan undervisningen bidra till att synliggöra olika arbetsformer som förekommer i skolans värld. Bild 1: Utifrån EPA-modellen kan eleverna arbeta enskilt, i par/grupp och i helklass. Hämtad från: Även Sullivan m.fl. (2004) samt Skolverket (2011) betonar att undervisningen behöver ha inslag av problemlösning för att uppmuntra samt väcka elevernas intresse och nyfikenhet för ämnet matematik. Ett sätt att göra detta är genom att involvera öppna uppgifter i undervisningen (Sullivan, Mousley & Zevenbergen, 2004 & 2006; Boaler, 1998; Holgersson, 2015). Uppgiftens svar Uppgiftens introduktion Sluten Öppen Sluten Slutna uppgifter Verkliga situationer Öppen Öppna uppgifter Verkliga situationer Undersökningar Verkliga situationer Projekt Tabell 1: Klassificering av uppgifter med utgångspunkt i deras karaktärer. Utifrån uppgiftens introduktion samt svarsalternativ delas uppgifterna in i öppna- och slutna uppgifter (Pehkonen s.9, 1997; Sullivan, Warren & White, 2000, s.3, översatt till svenska) 2

6 Öppna uppgifter är uppgifter, som kan ha olika tillvägagångssätt och svar. Uppgifterna är mer av en utmaning att lösa än de slutna uppgifterna, vilket ger eleverna möjlighet att tänka mångsidigt för att finna en lösning och svar. Öppna uppgifters motsats blir slutna uppgifter, som är uppgifter med enbart en lösning och svar. Vid arbete med slutna uppgifter behöver individen använda sig av informationen som har angivits i uppgiften för att komma fram till rätt svar (Pehkonen, 1997; Holgersson, 2015, Sullivan, Warren & White, 2000; Sullivan, Warren, White & Suwarsono, 1998; Badger & Thomas, 1992). De två typerna av uppgifter, öppna och slutna, har även två olika aspekter som de fokuserar på när man integrerar de i matematikundervisningen. Vid arbete med öppna uppgifter är det själva processen som är i fokus, det vill säga vilken metod man har använt för att komma fram till svaret medan med slutna uppgifter är det själva produkten som är viktig, med andra ord svaret på uppgiften (Boaler, 1998). Öppen uppgift Sluten uppgift En sommar klippte Maria gräsmattan åt sin mormor och fick sammanlagt 400 kr. Hur många gånger kan hon ha klippt gräsmattan under sommaren och hur mycket fick hon varje gång? En sommar klippte Maria gräsmattan åt sin mormor 5 gånger och fick 80 kr varje gång. Hur mycket pengar fick hon sammanlagt under sommaren? Tabell 2: Exempel på en öppen- och en sluten uppgift (Holgersson, 2015, s.1, hämtad från: Öppna uppgifter bidrar även till att utveckla en bredare samt djupare förståelse hos människor inom ämnet matematik (Boaler, 1998; Sullivan, Warren, White & Suwarsono, 1998), vilket även tidigare forskning betonat. Sullivan m.fl. (1998) har gjort en studie som ur ett elevperspektiv jämför hur eleverna presterar under öppna respektive slutna uppgifter. Studien genomfördes i Australien och inkluderade cirka 1200 elevsvar. Resultatet visade på att eleverna utförde de slutna uppgifterna bättre jämfört med de öppna uppgifterna, eftersom eleverna hade flera korrekta svar på de slutna uppgifterna. En annan aspekt av studiens resultat var att de öppna uppgifterna gav eleverna möjlighet att visa en mer djupgående förståelse för begrepp, samband och olika företeelser som uppkom inom ämnet matematik. I och med detta krävde samt ställde de öppna uppgifterna större krav på elevernas matematiska kompetens gentemot de slutna uppgifterna, där eleverna tränade mer på färdigheter. Studien betonar även att de två olika typerna av uppgifter kan bidra produktivt till undervisningen i ämnet matematik. Produktiviteten i klassrummet med fokus på individers sociala kompetenser gynnas samtidigt som läraren kan använda uppgifterna som ett bedömningsverktyg i undervisningen, trots att uppgifternas inslag är olika. En annan studie som genomfördes av Boaler (1998) undersöker två olika synsätt inom matematiken, d.v.s. en processbaserad syn och en innehållsbaserad syn. Processbaserad syn inom matematikundervisningen bygger på att elever är delaktiga i undervisningen genom att aktivt delta i diskussioner och reflektioner som berör ens egna lärande medan innehållsbaserad syn har läromedlet i fokus. Studien genomfördes i två olika skolor under en treårsperiod och grundar sig på elevintervjuer. Eleverna som deltog i studien var 13 år gamla 3

7 och intervjuades gällande arbetssätten som de arbetade i, utifrån skolornas synsätt på undervisningen i ämnet matematik. Resultatet visade på att elever som jobbade utifrån den innehållsbaserade synen inte utvecklade lika stor matematisk kompetens som de skulle behöva i vuxen ålder medan eleverna som arbetade processbaserad utvecklade en större kompetens samt flexibilitet inom ämnet. Resultatet visade även på att vissa elever som jobbade processbaserad inte ville arbeta självständigt, vilket ledde till slutsatsen att dessa elever inte ville utveckla sin tankeförmåga. Definition av begrepp Studien innehåller ett antal ord och begrepp som är väsentliga att klargöra för studien. Dessa presenteras och redogörs nedan för att underlätta läsningen av studien. Problem är en matematisk uppgift vilket uppfyller villkoren nedan (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005, s.27 28): - en person behöver och vill lösa uppgiften, - personen vet inte i förväg hur den ska gå tillväga och - personen behöver anstränga sig för att lösa uppgiften Individers erfarenheter och förkunskaper kan göra det möjligt att ett problem för en person kan uppträda som en rutinuppgift för någon annan. Utifrån detta är det upp till individen att avgöra om en uppgift är ett problem eller en rutinuppgift (Hagland, Hedrén & Taflin, E, 2005) Problemlösning är den tankeprocess som individen bearbetar för att lösa ett matematiskt problem. Denna tankeprocess består av fyra delar vilket går ut på att tolka, förstå samt uppfatta problemet och därmed lösa den (Taflin, 2007). Rutinuppgifter som även kan benämnas som standarduppgifter är matematiska uppgifter, som man har stött på tidigare och därmed är man bekant med uppgiften. Uppgifterna kan enkelt lösas med hjälp av standardmetoder. Ett exempel på en sådan uppgift kan vara 7+4= _. Eftersom uppgifterna är bekanta för individen sen tidigare, ställer detta heller inga svårigheter för än att lösa uppgiften (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005). Öppna uppgifter är uppgifter som har flera olika tillvägagångssätt och svar. Till skillnad från rutinuppgifterna ställer öppna uppgifter krav på individens befintliga samt tidigare kunskaper för att ta sig an uppgiften. Öppna uppgifter möjliggör för individen att se de matematiska sambanden, vilket exempelvis kan vara mellan olika räknesätt. (Pehkonen, 1997; Sullivan, Warren, White & Suwarsono, 1998; Badger & Thomas, 1992). Slutna uppgifter är uppgifter som endast har ett tillvägagångssätt och svar. Genom att använda sig utav informationen som anges i uppgiften kan individen på ett enkelt sätt lösa uppgiften och därmed komma fram till ett rätt svar (Holgersson, 2015; Sullivan, Warren & White, 2000). Processbaserad syn inom matematikundervisningen bygger på att läraren har eleven i fokus och att eleven integreras i undervisningen genom att aktivt delta vid diskussioner och reflektioner som berör elevens kunskapsutveckling. Undervisningen vilar på problemlösning i form av öppna uppgifter, som fokuserar på processen. Öppna uppgifter är en av flera faktorer som kan bidra till att undervisningens fokus skiftas från produkt till process (Boaler, 1998). 4

8 Innehållsbaserad syn vilket även kallas som den traditionella synen inom skolvärden har läromedlet i fokus, vilket gör undervisningen bunden till läromedel. Läraren har en kort genomgång om innehållet som eleverna skall arbeta med och sedan får eleverna enskilt sitta och arbeta i sina matematikböcker. Eleverna arbetar enskilt i läroböckerna och läraren vägleder varje elev enskilt (Boaler, 1998). Syfte & Frågeställning Studiens syfte är att ur ett elevperspektiv undersöka elevers uppfattningar om öppna uppgifter inom problemlösning i ämnet matematik. Tidigare forskning har visat att problemlösning i form av öppna uppgifter kan bidra till att öka lärandet inom matematik, vilket befrämjar den matematiska kompetens som behövs i vuxen ålder. Därmed diskuterar studien med elever och försöker förstå hur de ser på problemlösning av öppna uppgifter. Utifrån detta kommer följande frågeställning att undersökas: - Vilka olika uppfattningar kan urskiljas i elevers samtal om att arbeta med öppna uppgifter i matematik? Studien kan bidra till att ge blivande samt kommande lärare inblick över elevers åsikter och tankar kring öppna uppgifter, vilket i sin tur kan bidra till att utveckla undervisningens upplägg och innehåll så att det främjar elevers kunskapsutveckling. 5

9 Metod I studien används det en kvalitativ datainsamlingsmetod, vilket benämns som fokusgrupper. Två fokusgrupper med fem elever i varje grupp bildades och intervjuades. Frågeområdena samt frågorna var förbestämda (se bilaga 2), men det bildades även nya frågor samt följdfrågor under intervjuns gång, för att få tillgång till relevant data för studien. Under intervjuerna videoinspelades fokusgrupperna med hjälp av en ipad, vilket vid ett senare tillfälle transkriberades och analyserades. Anledningen till att fokusgrupperna videoinspelades och inte röstinspelades var på grund av att det vid transkriberingen skulle underlätta att identifiera vem som sa vad under intervjuerna. Fokusgrupper är en kvalitativ datainsamlingsmetod som ligger mellan ostrukturerade intervjuer och deltagande observationer (Hyllander, 1998, s.2). Definitionen på en fokusgrupp kan förklaras på följande sätt (Wibeck, 2010, s ; Hyllander, 1998, s.6): - Syftet är att samla in kvalitativa data - Gruppen består av människor som har upplevt något gemensamt. - Deltagarna diskuterar utifrån ett specifikt fokus Kvalitativa intervjuer är väldigt givande samt resultatrika om man vill se en gemensam grupps tankar och uppfattningar kring en gemensam händelse eller upplevelse (Johansson & Svedner, 2010). Intervjuaren vid fokusgrupper fungerar även som en moderator, vilken har i uppgift att stimulera respondenterna till att få ut så relevant data som möjligt (Wibeck, 2010; Hyllander, 1998). Fokusgrupper används som metod i denna studie, eftersom syftet är att se gruppens gemensamma tankar och uppfattningar kring en gemensam händelse och upplevelse. Metoden tillåter även respondenterna att inspireras av varandra och ger därmed gruppen möjlighet att utveckla och bygga sina tankar. Detta möjliggör att man får en fördjupad samt bred syn på gruppens tankar och åsikter kring det gemensamma ämnet som det diskuteras om (Wibeck, 2010; Hyllander, 1998). Urval Eleverna som deltar i studien har kännedom om öppna uppgifter samt har arbetat med dessa uppgifter väldigt länge i matematikundervisningen, eftersom deras klasslärare aktivt integrerar problemlösning och öppna uppgifter i undervisningen. Klasslärarens undervisning är baserad på problemlösning, däribland öppna uppgifter och använder matematikboken som ett hjälpmedel och komplement i undervisningen. Urvalet av eleverna som deltog i studien har skett utifrån ett informations- och samtyckesbrev (se bilaga 1) som elevernas vårdnadshavare fick skickad via e-post. I brevet har studien kort förklarats för att tydliggöra för föräldrarna vad studien behandlar samt vad deltagarnas bidrag blir till studien. Av 25 elever, var det endast 10 som medverkade i studien. Eleverna som deltog i studien valdes ut i samråd med klassläraren. Utgångspunkten för att bilda fokusgrupperna låg på elevernas kunskapsnivåer, det vill säga om eleverna var svaga eller 6

10 starka och på hur pratsamma de var, eftersom fokusgrupperna byggde på en öppen diskussion, vilket ställde krav på att deltagarna bidrog med sina synpunkter och erfarenheter. Enligt Hyllander (1998) och Wibeck, (2010) sker inte urvalet av deltagarna slumpmässigt, utan deltagarna som utgör fokusgrupperna bör vara så homogena som möjligt, och därmed ha gemensamma drag såsom kön, ålder eller utbildning. Genomförandet av fokusgrupper Under elevernas ordinarie matematiklektion fick eleverna ut fem problemlösningsuppgifter som de fick lösa individuellt eller tillsammans med en klasskamrat (se bilaga 3), vilka bestod av två öppna och tre slutna uppgifter. Eleverna hade inte vetskap om vilken uppgift som var öppen eller sluten. Uppgifterna som eleverna genomförde under lektionen har även sammanställts och kategoriserats för att enklare åtskilja uppgifterna ifrån varandra (se bilaga 4). Eleverna fick själva avgöra om de ville göra uppgifterna enskilt eller i par/grupp, eftersom intervjuguiden (se bilaga 2) innehöll frågor som berörde arbetsformer vid arbete med öppna uppgifter. Efter att eleverna var klara med sina uppgifter bildades det två fokusgrupper som bestod av fem elever i respektive grupp. Dessa fokusgrupper bildades i samråd med klassläraren innan matematiklektionen. De resterande eleverna som inte deltog i studien var kvar i klassen med klassläraren och arbetade vidare i sina matematikböcker. Intervjuerna skedde med båda fokusgrupperna direkt efter matematiklektionen i ett studierum som var nära ansluten till elevernas ordinarie klassrum och som eleverna var bekanta med sen tidigare. Först genomfördes intervjun med fokusgrupp 1 och när tillräckligt data samlats in fick eleverna återgå till klassrummet och arbeta vidare i sina matematikböcker. Samma process tillämpades med fokusgrupp 2. Under intervjuernas gång videoinspelades eleverna med hjälp av en ipad medan de besvarade intervjufrågorna (se bilaga 2). Intervjuerna med fokusgrupperna videoinspelades på grund av att det skulle underlätta vid transkriberingen, för att enklare avgöra vem som sa vad under samtalets gång. Eleverna hade även en öppen och en sluten uppgift (se bilaga 2) till hands framför sig som hjälpmedel, vilket var två utav uppgifterna som de hade löst under matematiklektionen. Anledningen till att eleverna hade två uppgifter framför sig vid intervjun var på grund av att det skulle kunna underlätta för eleverna när de besvarade intervjufrågorna (se bilaga 2) samt att uppgifternas karaktär, öppen eller sluten, skulle bidra till att utveckla elevers svar kring intervjufrågorna. Under intervjuernas gång tillkom det nya frågor samt följdfrågor, för att på bästa möjliga sätt ta reda på elevers uppfattningar om öppna uppgifter samt för att få fram relevant data till studien. Lektionen tillsammans med intervjuerna med både fokusgrupperna varade i ca 2,5 timmar. Databearbetning och analys Studiens analysmetod bygger på en induktiv ansats, som utgår från forskarens perspektiv när det gäller huruvida man genomfört databearbetningen samt tolkningen av det empiriska materialet som man samlat in (Kvale & Brinkmann, 2014). Databearbetningen samt analysen av det insamlade materialet i studien grundas på vad tidigare forskning har skildrat inom forskningsområdet, som berörs i studiens inledning. I och med detta är analysen grundad på vad eleverna anser sig lära och få ut av öppna uppgifter samt hur eleverna ser på öppna uppgifter, vilket exempelvis kan vara positivt, negativt, svårt, lätt etc. 7

11 Analysen av det insamlade materialet har utgått från intervjuerna med fokusgrupperna samt från uppgifterna som eleverna fick genomföra under matematiklektionen (se bilaga 3). Uppgifterna som eleverna fick genomföra under matematiklektionen sammanställdes och kategoriserades utifrån uppgifternas karaktär (se bilaga 4), det vill säga om de var öppna eller slutna där även förslag på svar anges till uppgifterna. Detta för att lättare åtskilja uppgifterna ifrån varandra som forskare samtidigt som den är ett underlag för elevernas lösningar. De två fokusgruppernas intervjuer transkriberades ordagrant i ett Word-dokument där det även togs hänsyn till när deltagarna behövde fundera eller blev tysta (( ) i resultatdelen visar på pauser och tystnader). Transkriberingen lästes ett par gånger för att få fram speciella nyckelord som kunde kopplas till analysens huvudpunkter som var vad eleverna ansåg sig lära samt få ut av öppna uppgifter och hur eleverna såg på öppna uppgifter. Nyckelorden skulle även vara upprepade minst 3 gånger under intervjuns gång, för att kunna klassas som särskilt drag i studien. Därefter färgkodades nyckelorden i Word-dokumentet i olika färger. Nyckelorden bildade särskilda drag, som sammanställdes i teman i ett annat Word-dokument, och därmed blev analysmetoden för studien tematisk. Färgkodningen utav nyckelorden underlättade samt tydliggjorde temana som uppkom. Vissa delar utav transkriberingen har använts i resultatdelen för att förtydliga samt förstärka elevernas åsikter. Forskningsetik Studien fokuserar på elevers uppfattningar om öppna uppgifter. Metoden som används i studien är intervjuer i form av fokusgrupper, vilket ställer krav på att forskaren genomför studien utifrån de forskningsetiska aspekterna (Vetenskapsrådet, 2017). Deltagarna i studien är under 15 år och därmed har ett informations- och samtyckesbrev (se bilaga 1) skickats ut via e-post till elevernas föräldrar, där målsmän fick ge medgivande om eleverna fick delta i studien eller inte. I informations- och samtyckesbrevet har studien i korta drag beskrivits för att klargöra för målsmännen vad studiens innehåll och avsikt är samt vad deltagarnas insats blir i studien. Eleverna fick även denna information muntligt samma dag som datainsamlingen skulle ske. Därmed fick deltagarna även själva avgöra om de skulle vilja medverka i studien samtidigt som de informerades om att de närsomhelst kunde avbryta deltagandet. Detta kunde vara innan, under eller efter studien (Vetenskapsrådet, 2004). Enligt Vetenskapsrådet (2017) behöver studier som involverar människor anonymiseras, alltså att individens personliga svar inte framhävs, eftersom detta strider mot de forskningsetiska aspekterna. I och med detta har deltagarnas svar förblivit anonymt i studien, där eleverna benämns som Elev 1,2,3,4 och 5. Utifrån de ovannämnda faktorerna kan man dra slutsatsen om att studien har följt de etiska aspekterna som ställs inom forskning. 8

12 Resultat Utifrån två fokusgrupper har det empiriska materialet framkommit. Eleverna fick först lösa fem problemlösningsuppgifter under en ordinarie matematiklektion som bestod av öppna och slutna uppgifter (se bilaga 3). Eleverna kunde lösa uppgifterna antingen enskilt eller i par/grupp. Därefter intervjuades två fokusgrupper, utifrån en intervjuguide (se bilaga 2). Resultatet från fokusgrupperna besvarar studiens frågeställning. Vid databearbetningen och analysen av det empiriska materialet uppkom tre teman, som är förmågorna ur ett elevperspektiv, varierande arbetsformer och elevers tankar om öppna uppgifter vilket presenteras och redogörs nedan. Förmågorna ur ett elevperspektiv Under intervjuns gång med fokusgrupperna berördes olika aspekter som eleverna ansåg sig lära med öppna uppgifter. Deltagarna nämnde bland annat förmågorna som beskrivs i kursplanen för ämnet matematik utifrån sina egna erfarenheter och kunskaper samtidigt som de försökte sätta ord på vad öppna uppgifter bidrog till ur deras perspektiv. Både fokusgrupp 1 och 2 uttryckte synpunkter vilket kunde relateras till förmågorna i matematik. Deltagarna nämnde framförallt att de lärde sig flera olika sätt att lösa uppgifter, vilket kan kopplas till metodsförmågan. Genom öppna uppgifter kunde eleverna prova på olika tillvägagångssätt för att lösa och ta sig an uppgifter. Uppgifterna som eleverna genomförde under matematiklektionen (se bilaga 3) visade även på att elevlösningarna hade inslag av förmågorna problemlösning, resonemang och kommunikation. Eleverna hade löst uppgifterna genom att välja lämpliga metoder samtidigt som de skriftligt redovisat hur de gått tillväga. Elevernas lösningar åskådliggör förmågorna ur ett elevperspektiv, trots att eleverna inte har någon kännedom om de. Detta synliggörs nedan genom ett antal excerpter. Excerpt från fokusgrupp 1 Elev A- Om det är problemlösning till exempel då tycker jag om att jobba i grupp för då får jag höra hur andra har sina åsikter och hur man tänker och så får man lära av varandra... och ibland kan man tänka väldigt lika Elev B- Jag säger 2 minus 2, men X säger subtraktion istället... Elev C- Man lär sig ord av varandra, som minus och centimeter Elev D- Man kan lära sig jätte många olika svar på frågor liksom, för om man typ ehhh tar någonting som är sju då kan man göra fyra plus tre eller ett plus sex eller två plus fem jätte många olika svar Elev E- Att samarbeta det är roligt för då kan man ha någon att prata med och tänka tillsammans med om vi säger såhär: tycker du om det här svaret? Aaaa, det verkar ju vara toppen! Eleverna betonar framförallt att öppna uppgifter ger tillfälle att lära sig nya begrepp, vilket sker under interaktioner med varandra i undervisningen. Interaktionerna ger individerna tillfälle att utbyta kunskap med varandra. Elev B i fokusgrupp 1 använder sig utav begreppet minus medan en annan klasskamrat använder begreppet subtraktion. Även Elev C uttryckte att de lärde sig ord av varandra som minus och centimeter. Detta visar att eleverna genom öppna uppgifter utökar sin begreppsförståelse och ordförråd i samspel med varandra. Eleverna lyfte 9

13 även fram att de kunde resonera med varandra genom att visa och förklara för andra hur de tänkt samt löst uppgiften, vilket kan kopplas till resonemangsförmågan. Genom att delge samt få ta del av andras lösningar kan eleverna utveckla sin förmåga att resonera inom ämnet matematik. Excerpt från fokusgrupp 2 Elev A- Vi lär oss att mäta, vi lär oss om vi jobbar i grupp att samarbeta och lyssna på varandra Elev B- Man lär sig att det finns olika sätt att visa sina svar på Elev C- Jag kan liksom addition och subtraktion Elev D- Ehhh, vi kan också gånger Elev E- Mm, och delad Med öppna uppgifter kunde eleverna även muntligt och skriftligt redogöra för varandra hur de kommit fram till olika svar. Detta visar att kommunikationsförmågan tränas hos eleverna, eftersom de får möjlighet att sätta ord på sina kunskaper. I och med detta delges elevers tankegångar samtidigt som de får lyssna på andras resonemang, vilket tränar de att kommunicera inom matematikens ramar. Eleverna nämnde även de fyra räknesätten under intervjuns gång, och påpekade att de kunde addition, subtraktion, multiplikation och division. Metodsförmågan kräver bland annat att elever kan använda flera olika räknesätt för att lösa uppgifter. Utifrån elevernas respons och elevlösningarna till uppgifterna som eleverna genomförde under matematiklektionen kunde detta bekräftas, d.v.s. att eleverna kunde använda och behärska de fyra olika räknesätten i matematik. Öppna uppgifter i undervisningen bidrog även till att de sociala kompetenserna utvecklades hos barnen som exempelvis att lyssna och att samarbeta. Med detta sagt utvecklar eleverna inte enbart förmågorna som framkommer i kursplanen utan även sociala egenskaper som kommer behövas i vuxen ålder. Varierande arbetsformer i undervisningen Diagram 2: Elevers svar på frågan: Hur skulle ni vilja arbeta i klassrummet när ni arbetar med öppna uppgifter? Diagrammet synliggör elevernas svar på individ- och gruppnivå. 10

14 En av intervjufrågorna berörde hur eleverna skulle vilja arbeta i klassrummet vid arbete med öppna uppgifter. Arbetsformerna som nämndes utav eleverna var enskilt, i par/grupp och i helklass. Eleverna hade olika åsikter kring detta, där majoriteten på individ- och gruppnivå tyckte om att arbeta i par/grupp (se diagram 2). Med utgångspunkt hos elevernas respons på frågan, kan man dra slutsatsen att eleverna föredrar en varierad matematikundervisning som har inslag av ovannämnda arbetsformer. Genom två excerpter exemplifieras detta nedan. Excerpt från fokusgrupp 1 Elev A- Jag tycker att det är supertråkigt med matteboken men öppna uppgifter är... är roligare. Elev B- Om vi jobbar i grupp, då lär vi oss att samarbeta Elev C- -Vi lär oss att lyssna också! Elev D- Det är bra att samarbeta och kul att samarbeta å sånt. Elev E- Det blir roligare matte! Majoriteten av eleverna var ense om att matematikboken upplevdes supertråkigt, speciellt när det gällde enskilt arbete. Med supertråkigt menade eleverna att de inte fick möjligheten att samarbeta med varandra, eftersom när man räknade i matematikboken behövde man vara tyst för att inte störa andra elever i klassrummet. Eleverna tyckte att det blev roligare matte när de kunde lyssna samt samarbeta med varandra i grupper. Roligare matte för eleverna gick ut på att eleverna kände intresse för matematik samtidigt som deras nyfikenhet triggades igång. Excerpt från fokusgrupp 2 Elev A- Matteboken är självklart tråkig... Elev B- Det finns ingen öppen uppgift i matteboken X är på sida 93 och har inte sett någon sån uppgift Elev C- Ingen tycker om att sitta ensam! Roligare med par för då kan man få hjälp! Elev D- Med öppna uppgifter blir det inte tävling... Asso i matteboken då är det tävling Elev E- Tur att man kan göra jätte många saker i grundskolan som man har jätte nytta när man är vuxen Eleverna beskrev att vid arbete med matematikboken satt man ensam och arbetade i egen takt, vilket kändes tråkigt för eleverna. En viktig iakttagelse som Elev C hade gjort var att trots att eleven hade kommit ganska långt i sin mattebok så hade man inte stött på någon öppen uppgift. En annan punkt som eleverna poängterade var att vid arbete med matematikboken så skapades en indirekt tävling emellan eleverna, där fokus låg på vem som var först, med andra ord vem som hade gjort klart flest sidor i matematikboken. Vid arbete med öppna uppgifter förekom inte denna tävlingsinriktning, eftersom eleverna var mer fokuserad på varandras tankesätt. Sist men inte minst var eleverna tacksamma över att lära sig sådant som berörs i skolan, Detta visar att eleverna är medvetna om att det de lär sig i skolan utgör grunden för det som väntar de i vuxen ålder. 11

15 Elevers tankar om öppna uppgifter Diagram 3: Elevers svar på frågan: Hur upplever ni öppna uppgifter? Diagrammet visar elevers svar på individ- och gruppnivå. Majoriteten av eleverna hade positiva upplevelser av öppna uppgifter, men det förekom även elever som hade negativ- och neutral uppfattning av uppgifterna (se diagram 3). Positiva upplevelserna grundades på möjligheterna som öppna uppgifter kom med, som exempelvis uppgifternas öppenhet och att eleverna fick samarbeta med varandra. Excerpt från fokusgrupp 1 Elev A- Jag tycker att det är kul när det finns olika svar på olika saker å inte ett svar på allt Elev B- Man lär sig att det finns andra svar Elev C- Man kan få räkna ut hur man vill fem plus fem plus fem blir 15, men tre gånger fem blir också 15 Elev D- Här står det! Vissa tal är typ låsta typ lika med 100 (pekar på den slutna uppgiften). Men med en öppen uppgift kan man fantisera vad det kan stå Elev E- Det som är härligt med matte är att det inte kan bli fel men med matteboken kan det bli fel, men med öppna uppgifter nää det finns ju olika svar Elev B - Jag tycker att man lär sig mer när man pratar med kompisen och hittar svaret tillsammans typ. men det är roligt med matteboken också för då får jag tänka själv Olika sidor inom användningen av öppna uppgifter i undervisningen hade bidragit till att ge eleverna en positiv upplevelse samt inställning. En belysning som gjordes av eleverna var att öppna uppgifterna gav de friheten att tänka mångsidigt. Eleverna kände ingen begräsning kring uppgifterna, eftersom det var upp till de att bestämma metoden som i sin tur avgjorde vad för svar de skulle få fram. I och med detta hade eleverna inte heller oro över att det skulle bli fel, eftersom eleverna var medvetna om att det finns flera olika svar på uppgifter som är öppna. Trots att majoriteten av eleverna hade positiv ställning till öppna uppgifter, var det en 12

16 elev som hade en neutral inställning. Eleven tyckte att genom att samarbeta så lärde man sig massor, speciellt när man kunde diskutera med någon klasskamrat och komma fram till svar tillsammans. Men å andra sidan kände eleven behov av att arbeta med sin matematikbok, eftersom det var ett tillfälle för eleven att ha egen tid där eleven fick tänka själv. Matematikboken gav eleven tillfälle att själv på egen hand tänka och därmed lösa uppgifter. Excerpt från fokusgrupp 2 Elev A- När jag hör öppna uppgifter då tänker jag på flera lösningar Elev B- Jag tänker på en fråga med flera svar Elev C- Man kan räkna ut siffran sex på andra sätt? Typ som fyra plus två det blir ju sex eller tre plus tre Elev D- Om det står såhär, hur mycket blir det, det är typ någonting i matteboken. Det finns liksom bara ett svar på det Elev E- Om man har en öppen uppgift då kan man... Aaa men det jätte många sätt att räkna det på... då liksom... då blir det enklare Elev B - Det blir stökigare och högre volym i klassrummet, för att alla ska mäta i klassrummet. Jag tycker om att sitta och tänka ensam... Ibland är det såhär... Jag håller på såhär i matteboken, som sex plus sex Jag vet att det blir 12 men jag räknar ändå med fingrarna, det är jätteroligt! En av eleverna hade en negativ inställning till att arbeta med öppna uppgifter i undervisningen. Eleven upplevde att det blev stökigt samt väldigt högljutt i klassrummet, eftersom alla skulle börja prata med varandra och sedan mäta olika föremål i klassrummet. Scenariot som eleven beskrev var under en matematiklektion där eleverna skulle hitta föremål i klassrummet som motsvarade olika höjder, vilket eleven tyckte var jobbigt. Eleven föredrog istället att i lugn och ro arbeta med sin matematikbok. 13

17 Diskussion Nedan presenteras en kort sammanfattning av resultatet, som tar upp de centrala aspekterna som senare diskuteras i förhållande till tidigare forskning inom forskningsområdet. Vidare berörs även studiens relevans för blivande och kommande lärare i Sverige. I avsnittet tillförlitlighet diskuteras studiens tillförlitlighet utifrån begreppen reliabilitet, validitet och generalisering. Avslutningsvis ges förslag på fortsatta studier inom området för att utveckla samt bredda kunskaperna om öppna uppgifter inom problemlösning. Sammanfattning av resultat Resultatet visar att arbete med öppna uppgifter integrerar flera utav de matematiska förmågorna på en och samma gång, vilket eleverna skall ges möjlighet till att utveckla inom matematikundervisningen. Eleverna sätter även ord på förmågorna utifrån sina egna kunskaper och förklarar med hjälp av tidigare erfarenheter vad de tyckte lärde sig med öppna uppgifter. Några utav förmågorna som lyftes fram vid fokusgrupperna var framförallt begreppsförmågan, resonemangsförmågan och problemlösningsförmågan. Fokusgrupperna indikerade även på att sociala kompetenser som att samarbeta och lyssna på varandra var viktiga inslag som de fick möjlighet att utveckla samt lära sig i samband med öppna uppgifter. Eleverna i fokusgrupperna tyckte även att undervisningen skulle bygga på variation, med avseende på arbetsformer. Vid arbete med öppna uppgifter hade fokusgrupperna olika åsikter vad det gällde kring hur de skulle vilja arbeta med öppna uppgifter i undervisningen. Vissa elever tyckte att man skulle arbeta enskilt medan en del tyckte om att arbeta i par eller i grupp. En del elever tyckte att man skulle kunna arbeta med öppna uppgifter i helklass. Barnen upplevde även att matematikboken var tråkig att arbeta med i jämförelse gentemot öppna uppgifter. Resultatet av fokusgrupperna visade även på att elever har delade tankar och upplevelser av öppna uppgifter, men att eleverna överlag har positiva tankar när det gäller att arbeta med öppna uppgifter i matematikundervisningen inom denna studie. Eleverna ansåg att öppna uppgifter gav eleverna möjlighet till att tänka allsidigt när det gällde att välja lösningsalternativ och svar till uppgifterna. Samtidigt upplevde barnen att matematiken blev roligare då de kände att det inte kunde bli fel när de arbetade med öppna uppgifter, eftersom eleverna var insatta i att öppna uppgifter kunde ha flera olika tillvägagångssätt och svar. Resultaten i förhållande till tidigare forskning Individen använder kontinuerligt sin problemlösningsförmåga i vardagen (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005; Skolverket, 2011; Boaler, 1998). Även Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (2011), Lgr11, betonar att undervisningen i matematik skall utveckla elevers förmåga att lösa problem samtidigt som de ges möjlighet att reflektera över valda metoder när de tar sig an problemlösningsuppgifter. Undervisningen skall även syfta till att utveckla förmågorna som framkommer i kursplanen för ämnet matematik vilket är begrepp, metod, kommunikation, problemlösning och resonemang (Skolverket, 2011; 14

18 Holgersson, 2015). Denna studie visar att öppna uppgifter bidrar positivt till att utveckla elevers lärande inom matematikundervisningen. Genom att integrera öppna uppgifter i undervisningen kan eleverna arbeta med problemlösning samtidigt som de reflekterar över olika lösnings- och svarsalternativ. Uppgifter som är öppna, kräver även att elever använder förmågorna som de skall utveckla inom matematiken på ett synkroniserat sätt, där flera utav förmågorna tränas parallellt. Intervjuerna med eleverna visade att alla förmågor berördes i arbetet med öppna uppgifter, vilket Holgersson (2015) stödjer. Enligt Holgersson (2015) inkluderar arbete med problemlösning förmågorna kommunikation, resonemang och problemlösning, vilket även framkommer i denna studie. Däremot visar även elevintervjuerna i studien att metodsförmågan är en central del i arbete med problemlösning och att uppgifters innehåll kan bidra till att utveckla elevers begreppsförmåga. Enligt Skolverket (2011) kan kunskap uttryckas på olika sätt, vilket ställer krav på att undervisningen bygger på variation. Taflin (2007) skriver att arbete med problemlösning delas in i fyra faser, vilket är introduktion, idéfas med lösningsutkast, lösning och redovisning. Under dessa faser får eleverna arbeta utifrån varierande arbetsformer, som enligt Hägglund (2016) kan relateras till EPA-modellen. Enligt EPA-modellen kan eleverna arbeta enskilt, i par/grupp eller i helklass. Även denna studie belyser vikten av att ha ett varierande inslag av arbetsformer i undervisningen. Ur elevernas perspektiv ville majoriteten arbeta i grupper, men det förekom även elever som ville jobba enskilt eller i helklass. I och med att alla elever är olika så behöver undervisningen variera sina arbetsformer för att nå ut till alla individer samtidigt som eleverna får kunskap om de olika arbetsformer, eftersom eleverna kommer ha användning utav de när de blir vuxna. Arbetsformernas variation bidrog även till att eleverna utvecklades individuellt samt i samverkan med andra. Studien som genomfördes av Boaler (1998) framhävde även att vissa elever som arbetade processbaserad emellanåt inte ville arbeta självständigt, vilket indikerade på att eleven inte ville utveckla sin tankeförmåga, men relaterad till denna studie kan det vara elevens val av arbetsform, d.v.s. att eleven inte vill arbeta enskilt. Sullivan, Mousley och Zevenbergen (2004) samt Skolverket (2011) poängterar att undervisningen behöver ha inslag av problemlösning för att uppmuntra samt väcka elevernas nyfikenhet för ämnet matematik. Genom att ha inslag av öppna uppgifter i undervisningen kan detta uppnås. (Sullivan, Mousley & Zevenbergen, 2004 & 2006; Boaler, 1998; Holgersson, 2015). Eleverna som deltog i studien hade till största del positiva upplevelser av öppna uppgifter. En fundering som uppstår är om detta är kopplat till elevers bekantskap med uppgifterna, med andra ord skulle elever som inte har en minsta aning om öppna uppgifter uppleva uppgifterna positivt? I och med att eleverna i denna studie hade kännedom om uppgifterna, så blev matematikundervisningen mer intressant samtidigt som elevernas nyfikenhet till ämnet väcktes. Men det förekom även elever som ville ha en balans mellan öppna uppgifter och matematikboken samt de som upplevde öppna uppgifter negativt. Enligt Silver, Leung och Cai (1995), Taflin (2007) och Holgersson (2015), är detta på grund av att eleverna har vetskap om att det är enbart finns ett rätt svar, vilket ger de trygghet när de arbetar i matematikboken. Även i studien som genomfördes av Sullivan, Warren, White och Suwarsono (1998) påpekades det att eleverna gjorde bättre ifrån sig när de kom till slutna uppgifter, vilket förekom i matematikboken. Med detta sagt behöver undervisningen inkludera både öppna och slutna uppgifter, vilket även Sullivan m.fl. (1998) betonar. 15

19 Relevans för undervisning och lärande Resultatet visar att öppna uppgifter bidrar positivt till elevers kunskapsutveckling inom ämnet matematik (Holgersson, 2015), samt att elever har positiva erfarenheter med arbete av öppna uppgifter i undervisningen. Öppna uppgifter bidrar även till att undervisningen varierar vad det gäller arbetsform (Holgersson, 2015; Silver, Leung & Cai, 1995; Taflin, 2007; Sullivan, Mousley & Zevenbergen, 2004;2006 och Boaler, 1998). I och med att kunskap kan visas på olika sätt, förutsätter detta att undervisningens innehåll samt arbetsmetoder behöver vara varierande. Eleverna behöver även ta del samt prova på olika arbetsformer (Skolverket, 2011). Dessa utgångspunkter kan vara till grund när man planerar sin egen matematikundervisning, vilket kan bidra till att utveckla elevers lärande. Kunskapen kan ge befintliga samt kommande lärare kunskap kring hur man kan lägga upp sin undervisning inom ämnet matematik, som kan syfta till att visa matematiken ur olika perspektiv för eleverna. I och med detta kan undervisningen bidra till att väcka intresse samt nyfikenhet hos eleverna inom ämnet matematik. Tillförlitlighet Studiens kvalitét kan diskuteras utifrån begreppen reliabilitet och validitet. Reliabiliteten baseras på studiens upprepningsförmåga, det vill säga att olika forskare oberoende av tid och andra individer skall kunna komma fram till samma resultat (Johansson & Svedner, 2010). Reliabiliteten vid användning utav fokusgrupper förstärks genom att man låter några forskare göra analyser av det insamlade datan och därmed se om dessa överensstämmer med analysen som man själv utfört. Även vid färgkodningen, när teman skall fås fram kan en annan forskare utföra detta för att i senare skede kunna se likheter och skillnader med det man själv fått fram. Reliabiliteten ökar även om moderatorn är den samma vid intervjuerna med fokusgrupperna (Wibeck, 2010). Moderatorn i denna studie var en och samma för både fokusgrupperna, vilket höjer studiens reliabilitet. I denna studie fick även en ekonomstudent se över det empiriska materialet, för att verifiera den valda analysmetoden samt se över färgkodningen, som underlättade de uppkomna teman. Fokusgrupperna i denna studie hade vetskap om öppna uppgifter samt har arbetat med dessa uppgifter väldigt länge eftersom deras klasslärare aktivt integrerar problemlösning i matematikundervisningen. Denna faktor sänker studiens reliabilitet eftersom om samma studie skulle genomföras med elever som inte har erfarenhet och kunskap om öppna uppgifter skulle detta i sin tur påverka datainsamlingen och därmed resultatet. Studien skulle då grundas på andra empiriska data vilket skulle ge upphov till att andra teman uppkom i studiens resultatdel. Denna studie förutsätter att eleverna är bekanta med öppna uppgifter på ett eller annat sätt. Validitet innebär i vilken utsträckning resultatet återspeglar det man undersökt i studien (Johansson & Svedner, 2010). Wibeck (2010) betonar att validiteten för fokusgrupper har sina utgångspunkter i respondenterna svar samt miljön de befinner sig i. Syftet med fokusgrupper är att få syn på en grupps tankar och åsikter kring en gemensam upplevelse, vilket bygger på att respondenterna utrycker vad de tycker och känner. En fara som sänker validiteten i denna studie är hur mycket eleverna har uttryckt sina åsikter utan att begränsa sig till gruppens tankar. En annan fara för validiteten är miljön som eleverna befann sig i. Intervjuerna med 16

20 fokusgrupperna utfördes i ett klassrum som eleverna var bekanta med sedan tidigare. Detta gav eleverna trygghet med att uttrycka sig fritt, vilket ökar studiens validitet. Studier med fokusgrupper går inte att generaliseras, vilket leder till att generella slutsatser inte kan dras i denna studie. Studien bidrar istället till en fördjupad förståelse inom området utifrån respondenternas svar (Wibeck, 2010). Studien går inte heller att generalisera på grund av att urvalet var begränsad (Johansson & Svedner, 2010). Förslag på fortsatta studier Denna studie utgår från ett elevperspektiv och undersöker elevers uppfattningar om öppna uppgifter inom matematikundervisningen. I och med detta framkommer inte lärarnas perspektiv på området, vilket skulle kunna undersökas i en fortsatt studie. Ur ett lärarperspektiv skulle man kunna få fram lärarnas uppfattningar kring området öppna uppgifter. Det skulle vara intressant att se hur lärarna ser på öppna uppgifter och därmed se om det finns kopplingar samt samband mellan elev- och lärarperspektivet, vilket skulle kunna bygga på likheter och skillnader på hur de yttrar sig om öppna uppgifter. Det skulle även vara intressant att undersöka i hur stor utsträckning öppna uppgifter framkommer i läromedel, och därmed jämföra ett par läromedel. På sätt skulle man kunna identifiera uppgifterna som framkommer i läromedel samt se hur variation speglas i läromedel. I samband med detta skulle man även kunna intervjua elever kring vad de tänker att de tränar när de arbetar med sina matematikböcker, vilket kan avgränsas till ett visst område såsom geometri. 17

21 Litteraturförteckning Badger, E. & B. Thomas, 1992, Open-ended questions in reading, Practical Assessment, Res. and Evaluation, Vol. 3, No. 4 Boaler, J. (1998). Open and Closed Mathematics: Student Experiences and Understandings. Journal for Research in Mathematics Education, vol. 29, No 1, pp Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem: inspiration till variation. (1. uppl.) Stockholm: Liber. Holgersson, I. (2015). Att arbeta med öppna uppgifter. Skolverket: Lärportalen för matematik, grundskola åk 1 3. Hylander, I. (1998). Fokusgrupper som kvalitativ datainsamlingsmetod. Elektronisk resurs. Linköping Universitet, Institutionen för pedagogik och psykologi. Hägglund, S, Samtal och interaktion vid matematisk problemlösning. Elektronisk. Studentarbete vid Högskolan Dalarna. Tillgänglig: Johansson, B. & Svedner, P.O. (2010). Examensarbetet i lärarutbildningen. (5. uppl.) Uppsala: Kunskapsföretaget. Kvale, S. & Brinkmann, S. (2014). Den kvalitativa forskningsintervjun (3. [rev.] uppl.). Lund: Studentlitteratur. Pehkonen, E. (red.) (1997). Use of open-ended problems in mathematics classroom. Helsinki: Dept. of Teacher Education, Univ. of Helsinki. Silver, E; S. S. Leung & J. Cai. (1995). Generating Multiple Solutions for a Problem: A Comparison of the Responses of U.S. and Japanese Students. Educational Studies in Mathematics. Vol. 28. (pp ). Skollagen (2010:800): med Lagen om införande av skollagen (2010:801). Stockholm: Norstedts juridik. Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet Stockholm: Skolverket. Sullivan, P., Mousley, J., & Zevenbergen, R. (2004). Describing elements of mathematics lessons that accomodate diversity in student background. Paper presented at the PME 28, Bergen, Norway. Sullivan, P., Mousley, J., & Zevenbergen, R. (2006). Teacher actions to maximize mathematics learning opportunities in heterogenous classrooms. International Journal of Science and Mathematics Education, 4,