Elevers tolkningar av övergången mellan vissa representationer av funktionsbegreppet

Transkript

1 Lärarutbildningen Natur, Miljö, Samhälle Examensarbete 15 högskolepoäng Elevers tolkningar av övergången mellan vissa representationer av funktionsbegreppet Pupils interpretations of the transition between different representations of the function concept Nadja Nalbantic Lärarexamen 270hp Matematik och lärande Slutseminarium: Examinator: Per-Eskil Persson Handledare: Leif Karlsson

2 2

3 SAMMANFATTNING Syftet med arbetet är att upptäcka vilka föreställningar eleverna har om funktionsbegreppet genom att undersöka elevers tolkningar av övergången mellan representationsformerna graf, situation och formel. I undersökningen användes enkät och kvalitativ intervju för att undersöka detta. Resultatet visade att de undersökta eleverna som befann sig i slutfasen av Matematik B har svårigheter med att översätta från en representationsform till en annan men även att eleverna har missuppfattningar kring funktionsbegreppet. Det var inte möjligt att göra en generalisering av elevers missuppfattningar om funktioner. Dock belyser denna undersökning de svårigheter dessa elever har. Nyckelord: funktionsbegreppet, tolka, representationsformer, elever, graf, situation, formel, övergång 3

4 4

5 INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1 INLEDNING SYFTE FRÅGESTÄLLNING TEORETISK BAKGRUND Begreppet funktion Funktionsbegreppet i läroböcke Funktionsbegreppet i kursplaner Janviermatrisen Begreppbild, Begreppsdefinition Elevers föreställningar om funktioner METOD Urval Datainsamlingsmetoder Procedur Validitet och reliabilitet RESULTAT Uppgift Graf A Graf B Graf C Graf D Uppgift Uppgift 2 a) Godkänd svar Nästan godkänd svar Fel svar Uppgift 2 b) Godkänt svar Nästan godkänt svar Fel svar

6 6.2.3 Uppgift 2 c) Godkänt svar Nästan godkänt svar Fel svar Uppgift DISKUSSION Förslag till vidare studier KÄLLFÖRTECKNING.35 BILAGOR 6

7 1 INLEDNING Bakgrunden till denna undersökning har varit ett längre intresse och förundran över de svårigheter som jag personligen har upplevt att eleverna har med funktionsbegreppet. Innan examensarbetet hade jag praktik under en femveckorsperiod på en komvuxskola i kursen Matematik B, där funktionsbegreppet enligt min erfarenhet var en central del i undervisningen. Därför ansåg jag att det skulle vara passande att undersöka mer grundligt dessa elevers förståelse av funktionsbegreppet. TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study), en internationell undersökning som gjordes 2008 om elevers kunskaper i matematik har visat att de svenska eleverna presterade samma negativa resultat i matematik i jämförelse med andra länder som i undersökningen Undersökningsområdet har bland annat varit elevers kunskaper om funktioner. Detta tyder på att de svenska eleverna har svårigheter inom detta område, och min förhoppning är att få insikt i vilka föreställningar eleverna har om funktionsbegreppet. Det är en problematik som enligt min mening kräver större forskning på grund av att funktionsbegreppet i sig självt är en del i matematiken som kan upplevas väldigt abstrakt. 7

8 2 SYFTE Syftet med studien är att finna de föreställningar eleverna har om funktionsbegreppet på min praktikskola. Det är i samband med att jag har undervisat dessa elever under min praktikperiod som jag vill få en djupare förståelse av deras kunskaper om funktionsbegreppet i slutet på kursen. Vidare är avsikten att upptäcka om de föreställningar som redan finns dokumenterade om funktionsbegreppet återfinns i dessa elever eller om det finns andra som förekommer. Att forska om funktionsbegreppet kommer förhoppningsvis att hjälpa mig som blivande lärare att planera undervisningen på ett sätt som förebygger eventuella missuppfattningar. 3 FRÅGESTÄLLNING Hur tolkar elever övergången mellan representationsformerna situation graf, graf situation och graf formel gällande funktionsbegreppet i Matematik B på en komvuxskola? 8

9 4 TEORETISK BAKGRUND 4.1 Begreppet funktion En definition av begreppet funktion presenteras av Drangert och Eriksson (1978): Låt A och B vara två icke - tomma mängder. En funktion f från A till B är en regel som till varje element x i A ordnar precis ett element i B. Detta element betecknar vi med f(x) och vi kallar det bilden av x. (s. 13) Enligt definitionen är en funktion en regel som till ett element i A ordnar ett element i B. För att förklara vad som menas med detta är det lämpligt att ange ett exempel. Vi föreställer oss att vi tar fyra tal 1, 2, 3, 4 och till varje tal ordnar vi ett tal som är dubbelt så stort: till 1 ordnar vi talet 2, till 2 ordnar vi talet 4, osv. Vi kan även beskriva detta förhållande med pilar 1 2, 2 4, 3 6, 4 8. Talen (1, 2, 3, 4) som vi startade med är element i en mängd A och de ordnade talen (2, 4, 6, 8) är element i en mängd B. Regeln som till element (1, 2, 3, 4) i en mängd A ordnar element (2, 4, 6, 8) i en mängd B representerar en funktion. I detta exempel kan en regel vara att multiplicera elementen i en mängd A med 2 för att erhålla element i en mängd B. Element som ingår i en mängd A kallas för definitionsmängden av funktionen. Det kan även uttryckas på ett annat sätt, att definitionsmängden består av alla element på vilka funktionen tillåts verka på. Element som ingår i en mängd B kallas för värdemängden av funktionen. Exempelvis kan vi beteckna de element som ingår i en definitionsmängd med bokstaven x. Den matematiska symbolen x representerar ett okänt värde och kallas för en variabel. En funktion kan bestå av en eller flera variabler, i allmänhet betecknade med olika bokstäver. Om x är ett element i definitionsmängden av en funktion f, och om vi låter funktionen f verka på x så betecknas denna verkan med f(x). f är alltså en beteckning på funktionen medan f(x) är bilden av x och därmed ett element i B, se figur 1. 9

10 Figur 1- I mängden A (definitionsmängden) finns elementet x som med hjälp av funktionen f avbildas på elementet f(x) i mängden B (värdemängden). Enligt Persson och Böiers (2001) kan en funktions verkan på variabel x i många fall anges med ett algebraiskt uttryck t.ex. av formen f(x)= x². I detta exempel upptäcker vi hur variabeln x påverkas av funktionen. Variabeln x kommer att påverkas av en regel som säger att vi ska beräkna kvadraten av olika värden på x och som resultat kommer vi att erhålla olika funktionsvärden f(x). I definitionen står det även beskrivet att för varje element i en mängd A finns det exakt ett element i en mängd B. För att beskriva detta fenomen tar jag hjälp från ett konkret exempel. Vi föreställer oss att en bils hastighet är en funktion av tiden. För varje sekund som vi kör bilen kommer vi få en viss hastighet på bilen. Element i en mängd A representerar tiden i sekunder en bil kör och element i en mängd B representerar hastigheten för varje sekund. I enlighet med definitionen är det endast möjligt att få ett värde på hastigheten för en given sekund. Detta stämmer bra överens med verkligheten då vi inte kan få två olika hastigheter på en bil under samma sekund. Om det skulle visa sig att vi får två olika hastigheter under samma sekund innebär det att bilens hastighet inte är en funktion av tiden. Det är även viktigt att urskilja att en bil kan ha samma hastighet under resans gång men vid olika tidpunkter. Att kunna urskilja vad som är en funktion och vad som inte är en funktion är en viktig del av elevernas förståelse av begreppet. Olteanu (2007) menar att det är möjligt att teckna en funktion som en graf i ett koordinatsystem. Detta med hjälp av punkterna med koordinaterna (x, f(x)) då x tillhör funktionens definitionsmängden och f(x) tillhör funktionens värdemängd. I koordinatsystemet avbildar x- axeln definitionsmängden och y-axeln värdemängden. Ett 10

11 värde på x kommer att representera x-koordinaten för en punkt på grafen och f(x) kommer att representera y-koordinaten för samma punkt. I samband med att funktionsvärdet f(x) avbildas på y- axeln förekommer även den matematiska symbolen y= f(x). Den matematiska symbolen x kallas även för en oberoende variabel medan f(x) eller y kallas för den beroende variabeln. En funktion är ett samband mellan variabler Funktionsbegreppet i läroböcker Läroboken för Matematik B på detta komvux går under namnet Räkna med Vux B och i kapitlet om funktioner finner vi en definition av funktionsbegreppet. Begreppet funktion definieras utifrån tre huvudpunkter: En funktion är ett samband mellan variabler. Funktionen kan beskrivas med en formel eller med en graf i koordinatsystemet. I koordinatsystemet har man den oberoende variabeln på x-axeln och den beroende variabeln på y-axeln. Varje värde på x i definitionsmängden ger exakt ett värde på y i värdemängden. (Danielsson m.fl. 2002, s. 47) Min teoretiska beskrivning av funktionsbegreppet ovan tar upp och förklarar på ett mer ingående sätt vad som menas med funktionsdefinitionen som finns representerad i läroboken för matematik B. När jag har analyserat elevers tolkningar av funktionsbegreppet har jag utgått från definitionen i läroboken men även utifrån analysen av definitionen som i sig bygger på en teoretisk bakgrund Funktionsbegreppet i kursplaner I kursplanen för matematik B står det beskrivet vad eleverna ska kunna vid kursens slut. Jag väljer att endast ta med de mål som eleverna ska uppnå i funktionsbegreppet: kunna arbeta med räta linjens ekvation i olika former samt lösa linjära olikheter och ekvationssystem med grafiska och algebraiska metoder 11

12 kunna förklara vad som kännetecknar en funktion samt kunna ställa upp, tolka och använda några icke-linjära funktioner som modeller för verkliga förlopp och i samband därmed kunna arbeta både med och utan dator och grafritande hjälpmedel. (Skolverket, 2000) 4.2 Janviermatrisen I läroböckerna för matematik på komvux används en variation av diagram och bilder för att stödja förståelsen av bland annat matematiska begrepp. Att lära sig att använda dessa symboler och många andra som förekommer i matematiken är fundamentalt för det matematiska tänkandet och enligt Janvier (1987) är det vanligt att vi förbiser en översättningsprocess, som i sig bygger på användning av matematiska symboler. Med en översättningsprocess menar han den psykologiska processen som sker när exempelvis en elev översätter från en representationsform till en annan. Exempel på detta är översättningen från en situation till en graf, eller från en graf till en formel. Janvier(1987) nämner några olika forskare inom matematikdidaktik som har poängterat betydelsen av översättningsprocessen, exempelvis Lesh (1979) menar att den är betydelsefull för problemlösning och Bell (1979) menar att översättningsprocessen är en fundamental komponent av matematisk kompetens. Janvier blev själv intresserad av ämnet i en av sina forskningar som gick ut på att tolka grafer som representerar verkliga situationer. För att beskriva översättningsprocessen inför han en 4 x 4 matris. Translation processes To Situations, From Verbal Tables Graphs Formulae Description Situations, Measuring Sketching Modelling Verbal Description Tables Reading Plotting Fitting Graphs Interpretation Reading off Curve fitting Formulae Parameter Recognition Computing Sketching Figur 2- Janviermatrisen (Janvier, 1987, s. 28) 12

13 Janvier (1987) anger fyra representationsformer situation, tabell, graf och formel i sin matris. Översättningsprocessen innebär översättning mellan två olika representationsformer, till exempel mellan situation och graf eller mellan graf och situation. Detta innebär att det är möjligt att översätta från den ena representationsformer till den andra men även vice versa, situation graf, graf situation. Översättningsprocessen går att utföra på samma sätt på de andra representationsformerna i tabellen. I övrigt visade Janviers forskning enligt honom själv att processen var bäst utvecklad i övergången mellan en situation och graf, graf och situation. Vidare menar Janvier för att översättningsprocessen ska lyckas och utföras korrekt måste man undersöka källan utifrån målets synvinkel target point of view (Janvier, 1987, s. 29). Exempelvis om det står i uppgiften att vi ska konstruera en formel till graf, innebär det att vi måste studera grafen utifrån en formels synvinkel. Vi föreställer oss att vi tar på oss ett par glasögon som är färgade av de egenskaper en formel har som ett algebraiskt uttryck och studerar grafen med hjälp av dessa. När vi utför denna handling har vi gjort en korrekt översättning mellan representationsformerna och erhållit ett resultat, alltså en formel till en graf. I min undersökning har jag använt mig av Janviermatrisen, jag har undersökt hur elever tolkar övergången mellan representationsformerna situation graf formel. Enligt Janvier (1987) är det viktigt att eleverna får reflektera över och erfara alla representationsformer i Janvier matrisen för att få en förståelse av funktionsbegreppet. Det är även väsentligt att eleverna får erfarenhet i övergången mellan representationsformerna. Det var inte möjligt för mig att undersöka alla representationsformer i figur 2, därför valde jag de som elever har missuppfattningar kring, vilka i detta fall är graf situation, graf formel enligt Blum mfl. (2007). Men även på grund av att de inte förekommer i samma utsträckning som andra representationsformer i undervisningen, vilket uttrycks i artikeln Elevers uppfattningar av funktioner (nr1, 1997). Enligt artikeln har undervisningen i skolan koncentrerat sig främst på övergångarna mellan tabell graf, graf tabell och algebraiskt uttryck tabell. 13

14 4.3 Begreppsbild och begreppsdefinition I artikeln Images and definitions for the concept of function (Vinner & Dreyfus, 1989) talar författarna om två begrepp som var väsentliga i deras forskning, concept image och concept definition. Concept definition anger en persons formella matematiska definition av begreppet medan concept image anger mängden av personens alla mentala bilder associerade med begreppet. Med mentala bilder menas olika kognitiva representationer av ett begrepp i form av en bild, symbol, diagram, egenskaper, graf etc. Enligt Vinner och Dreyfus är en elevs kognitiva begreppsbild ett resultat av dennes erfarenhet med exempel eller ickeexempel av begreppet. Vinner och Dreyfus gjorde en undersökning i Israel där de jämförde 307 högstadieelevers begreppsbilder med deras begreppsdefinitioner av funktioner. Det visade sig att elevers begreppsbilder och begreppsdefinitioner av begreppet funktion skiljde sig åt. När eleverna skulle avgöra om ett matematiskt objekt, i detta fall en graf var ett exempel på en funktion använde de inte sig av definitionen av begreppet. I de flesta fall grundade de sina beslut på sina individuella begreppsbilder. Enligt Vinner och Dreyfus (1989) är detta ett inkonsekvent beteende och de kallar det för compartmentalization phenomenon. Detta fenomen uppstår när en person har två olika scheman i hennes eller hans kognitiva struktur (tankar, minnen och bilder). Det som avses med ett kognitivt schema är våra tidigare erfarenheter och kunskaper om en viss företeelse och det är dessa som styr vårt sätt att tänka, tolka och uppfatta nya situationer. Exempelvis kan en elev ha två kognitiva scheman där den ena består av en algebraisk erfarenhet av funktionsbegreppet och den andra av en definition av funktionsbegreppet. Enligt Vinner och Dreyfus kan en situation aktivera ett schema och andra aktivera andra scheman. I deras undersökning inträffade det att mindre viktiga scheman aktiverades när eleverna skulle identifiera om en uppgift representerade en funktion eller inte. Elevers motiveringar kunde basera sig på en formel istället för deras definitioner av funktioner som de hade angett i en tidigare uppgift. Analysen av undersökningsmaterialet gjordes utifrån bland annat detta perspektiv. I studien gör Vinner och Dreyfus (1989) en kategorisering av elevers definitioner av funktionsbegreppet på följande sätt: 14

15 1. Korrespondens: Den här kategorin presenterar en definition av funktionen som en korrespondens mellan två mängder, vilka anger att för varje element i den första mängden finns det exakt ett element i den andra mängden. Forskarna anger även exempel på funktionsdefinitioner som passar in i kategorin. A correspondence between two sets of elements For every element in A there is one and only one element in B (Vinner & Dreyfus, 1989, s. 360) 2. Beroenderelation: Följande beskrivning av denna kategori presenteras av forskarna. En funktion är en beroenderelation mellan två variabler (y beror av x). Även här finns exempel på funktionsdefinitioner som passar in i kategorin. A dependence between two variables One factor depending on the other one. (Vinner & Dreyfus, 1989, s. 360) 3. Regel: En funktion är en regel. Something that connects the value of x with the value of y The results of a certain rule applied to a varying number ( Vinner & Dreyfus, 1989, s. 360) 4. Formel: En funktion beskrivs i denna kategori som en formel, ett algebraiskt uttryck eller en ekvation. It is an equation expressing a certain relation between two objects An equation connecting two factors. (Vinner & Dreyfus, 1989, s. 360) 5. Representation: En funktion beskrivs i denna kategori på ett meningslöst sätt, med grafiska eller symboliska representationer. A graph that can be described mathematically y = f(x) y(f) = x (Vinner & Dreyfus, 1989, s. 360) 15

16 När jag sammanställde mina data från den sista uppgiften (bilaga 1) har jag försökt att placera elevers definitioner av funktionsbegreppet i de olika kategorierna som presenteras av Vinner och Dreyfus (1989). 4.4 Elevers föreställningar om funktioner Arzarello (2007) berättar om att det är välkänt att elever på grundskolan och gymnasiet har svårigheter med att förstå begreppet funktion. Detta grundar han på andra internationella studier genomförda kring funktionsbegreppet och refererar till forskaren Clement. I Arzarellos studie beskrivs missuppfattningar som eleverna har kring funktionsbegreppet och deras försök att bemästra dessa med hjälp av tekniska instrument som miniräknare. De menar att svårigheterna ligger bland annat i tolkningen av den grafiska representationen av funktioner, speciellt av de grafer där variabeln är tidsbestämd. Forskarna nämner en ofta förekommande missuppfattning som har blivit presenterat i litteraturen. Det är tolkningen av en graf som en bild av situationen presenterad i uppgiften. Exempelvis tolkas en cyklists resa över en backe med en graf som går upp och ner, alltså en graf med en form som liknar en backe. Eleven förväntar sig helt enkelt att grafen ska representera en bild av det beskrivna fenomenet i uppgiften. Blomhöj (1997) menar att elever på gymnasiet, enligt hans undersökning, har stora svårigheter med att tillägna sig begrepp som funktionsbegreppet. Detta baserar han på forskning i Nordisk Matematikdidaktik som har visat att undervisningen kring funktionsbegreppet bedrivs på olika sätt på grundskolan respektive gymnasiet och att detta bidrar till att eleverna får svårigheter med tillämpning av matematiska begrepp. I grundskolan får eleverna erfarenhet av funktionsbegreppet som en process. Det innebär att funktionsbegreppet introduceras för eleverna genom att de får göra olika beräkningar, konstruera funktionsuttryck och avbilda funktioner i grafiska sammanhang. På detta sätt får eleverna en processförståelse av funktionsbegreppet. När eleverna däremot börjar på gymnasiet blir de presenterade för en definition av funktionsbegreppet som visar på ett annat synsätt. Enligt Blomhöj utvecklar eleverna en strukturförståelse av begreppet när de läser om funktionsdefinitionen. I definitionen står det beskrivet att för varje element i en mängd A finns det exakt ett element i en mängd B, detta exempel visar på en struktur 16

17 och när eleverna får förståelse för det utvecklar de en viss strukturförståelse av begreppet. Lärare på gymnasiet fokuserar inte längre på den procedurella behärskningen av funktionsbegreppet utan den strukturella förståelsen. Enligt Blomhöj är det i övergången mellan de två arbetssätt som eleverna utvecklar missuppfattningar kring funktionsbegreppet. Olteanu (2007) diskuterar i sin doktorsavhandling precis som Blomhöj process- och strukturförståelse av funktionsbegreppet. I sin doktorsavhandling menar Olteanu (2007) att funktionsbegreppet kan förstås som en process eller en struktur. Exempelvis beskriver den algebraiska representationen funktionsbegreppet som en process då eleverna får konstruera algebraiska funktionsuttryck och utföra funktionsberäkningar. Den grafiska representationen beskriver en funktion som en struktur eftersom man med hjälp av en graf kan upptäcka hur en funktion är uppbyggd och vilka egenskaper den har. I min studie ska jag undersöka om eleverna visar på en processförståelse och/eller strukturförståelse. Enligt Olteanu har forskare inom detta område haft olika tankar om vilket perspektiv som skall komma först i konstruktionen av matematiska begrepp. Schwartz är en forskare som anser att den strukturella framställningen borde komma först i tillämpningen av ett begrepp medan Sfard menar att den procedurella borde komma först. 5 METOD Syftet med studien var att undersöka hur elever tolkar övergången mellan vissa representationer av funktionsbegreppet i Matematik B på en komvuxskola. För att göra detta användes undersökningsmetoderna enkät och kvalitativ intervju. Därefter analyserades svaren utifrån Janviers översättningsprocess och teorier om begreppsbild och begreppsdefinition samt utifrån process- struktur perspektivet. 5.1 Urval Undersökningen genomfördes på en komvuxskola i kurs B i matematik. Skolan var även min partnerskola och de elever som jag valde att undersöka var den grupp som jag undervisade under en femveckorsperiod. Jag valde de två klasserna eftersom de hade 17

18 läst om funktionsbegreppet i matematik B och för att de låg i slutet av kursen och förväntades kunna en del om funktioner. I kurs B i matematik behandlas funktionsbegreppet utförligt och hela kursen är i princip uppbyggt kring detta begrepp, enligt mina erfarenheter. Jag hade personligen undervisat om funktioner för dessa elever och ville därför undersöka hur de tolkar övergången mellan vissa representationer av funktionsbegreppet i slutet av kursen. Antalet elever som medverkade i undersökningen var 31 st och två av dem intervjuades. I början av kursen var det fler elever i klasserna men som tiden gick var det allt fler som slutade på kursen. Syftet var att ett större antal elever skulle deltaga i undersökningen men omständigheterna medförde att endast 31 deltog. Jag försökte även att göra undersökningen i andra Matematik B-kurser men i samband med de kommande nationella proven hade de inte möjlighet att deltaga. 5.2 Datainsamlingsmetoder För att svara på min frågeställning, hur elever tolkar övergången mellan vissa representationer av funktionsbegreppet i matematik B på en komvuxskola, använde jag mig av två undersökningsmetoder, enkät och kvalitativ intervju. Enkäten består av 5 frågor sammanlagt, varav några av dem är följdfrågor. När jag utformade enkätfrågorna tog jag några saker i beaktande, att använda vanligt språk, undgå långa frågeformuleringar och inte ställa många frågor. Mitt mål var att använda enkelt språk för att det inte skulle var en faktor för utförandet av undersökningen. Boken Examensarbetet i lärarutbildningen (Johansson, 2001) har varit ett hjälpmedel när jag har konstruerat enkäten då den har bidragit med ovanstående råd. Enkäten innehåller inga fasta svarsalternativ vilka karakteriseras av ja-nej frågor, den har en mer öppen karaktär där eleverna har möjlighet att svara på flera olika sätt. När jag utformade enkäten blev jag inspirerad av Nämnarens diagnosuppgifter presenterade i artiklarna Elevers uppfattningar av funktioner (Nämnaren, 1997a) och Funktioner i berg- och dalbanan (Nämnaren, 1997b) vilka är utformade utifrån Janviermatrisen. Uppgifterna behandlar övergången mellan olika representationsformer av funktionsbegreppet, exempelvis övergången från situation till graf, graf till situation, tabell till graf och formel till situation. Vidare blev jag inspirerad av en enkät från ett 18

19 tidigare examensarbete Funktion- vad är det? som även det behandlar funktionsbegreppet. Enligt Johansson och Svedner (2001) är det svårt att konstruera bra enkätfrågor då det är lätt hänt att man formulerar svårbegripliga eller dubbeltydiga frågor eller att man glömmer att ställa viktiga frågor för undersökningen. För att undvika dessa svårigheter rekommenderar Johansson och Svedner att man finner andra enkäter som behandlar samma område och att man väljer de frågor som är relevanta för undersökningen och lägger till andra frågor som saknas. Den första uppgiften se (Bilaga1) i enkäten beskriver en situation som eleverna kan relatera till, en cyklists resa över en backe. I uppgiften finns det fyra grafer och elevernas uppgift är att välja den graf som bäst representerar cyklistens resa och motivera sitt svar. Den här uppgiften har jag valt för att upptäcka hur elever tolkar övergången från situation till graf. Syftet har också varit att urskilja vilka begreppsbilder som finns representerade hos eleverna. Den andra frågan se (Bilaga1) visar en graf och första följdfrågan är att eleverna ska beskriva en verklig situation som beskriver grafen. Frågan är formulerad i syfte av att upptäcka hur eleverna tolkar övergången mellan graf och situation. I de följande frågorna ska eleverna skriva en formel för grafen och förklara betydelsen av lutningen (k) i uppgiften. Syftet med dessa frågor var att utreda hur elever tolkar övergången från graf till formel men även för att undersöka frågorna utifrån process- struktur perspektivet. I den sista frågan ska eleverna beskriva begreppet funktion och syftet är att upptäcka vilka definitioner eleverna har av funktionsbegreppet och eventuellt placera dem i kategorier presenterade av Vinner och Dreyfus (1989). Den andra undersökningsmetoden var kvalitativ intervju (Bilaga 2) och enligt Johansson och Svedner (2001) är den metoden den viktigaste eftersom den ger information som gör det möjligt för intervjuaren att förstå elevers kunskaper i ett ämne. Intervjun var dock inte helt ostrukturerad, jag hade förberett ett antal frågor som jag skulle ställa till samtliga intervjupersoner för att sedan i resultatdelen kunna analysera svaren. Det fanns dock inget schema med frågor som skulle följas, utan målet var att skapa en diskussionsmiljö där jag valde de frågor som jag ansåg att situationen krävde. Därav var intervjun delvis strukturerad. I och med att det är första gången jag använder mig av kvalitativa intervjuer anser jag att en delvis strukturerad intervjuteknik är 19

20 lämplig för min undersökning då mitt mål är att erhålla adekvat information från mina informanter. 5.3 Procedur Det första steget var att tillfråga eleverna i kurs B i matematik om de ville delta i en undersökning där de skulle fylla i en enkät som handlar om funktioner. Eleverna blev informerade om syftet med undersökningen och deras roll i det hela. Eleverna accepterade min förfrågan och vecka 43 befann jag mig på skolan med enkäterna. Det fanns inget behov att skicka ett missiv eftersom alla eleverna var myndiga. Jag informerade även eleverna att jag ville göra intervjuer om innehållet i enkäterna och om de ville delta skulle de skriva sitt namn på enkäten. Annars försäkrade jag dem om att enkäten var anonym. Enkäten utfördes under lektionstid, mer precist i slutet av lektionen. De hade ungefär 30 minuter till att disponera men det visade sig att det tog cirka 20 minuter för de flesta eleverna att fylla i enkäten. Tidsmässigt var det inga problem för de tillfrågade att utföra enkäten. Innan jag genomförde enkäten i klasserna utförde jag en pilotstudie på en person i min bekantskap som hade läst Matematik B under det förra året. Pilotstudien hjälpte mig att avgöra hur mycket tid jag behövde avsätta för undersökningen och jag fick en uppfattning om hur frågorna i enkäten kunde tolkas. Det visade sig att jag fick ta bort 2 frågor eftersom de inte undersökte min frågeställning och jag fick ändra några språkliga brister. Överlag ansåg jag att enkätfrågorna var tydliga och överensstämmande med den typen av uppgifter eleverna har arbetat med i undervisningen. Detta baserar jag på min erfarenhet av undervisningsinnehållet på partnerskolan. Eleverna var även positivt inställda till enkäten och uttryckte att det hjälpte dem att utvärdera hur mycket de kunde om funktioner men även att de insåg att de behövde repetera innehållet om funktioner före det nationella provet. Det var tre elever från den ena klassen som anmälde sig men när det var dags att göra intervjuerna några dagar senare återstod två elever. Jag valde att intervjua eleverna samtidigt eftersom jag ville att de skulle föra en diskussion sinsemellan. Jag var rädd för att det annars skulle kännas som ett förhör och att jag skulle få korta svar. Min 20

21 uppfattning var att eleverna var avslappnade under intervjun och att de kunde resonera tillsammans kring problemställningarna i uppgifterna. Intervjun verkställdes efter undervisningen i samma klassrum, jag och de två intervjuade satt vid ett bord och samtalade kring enkätfrågorna. Själva samtalet spelades in med hjälp av en mobiltelefon som låg i mitten av bordet. Min uppfattning är att mobiltelefonen är ett utmärkt redskap att använda vid inspelning för att det är praktiskt att använda i den mening att det är litet och hanterbart. Eleverna är även mer vana att se telefoner än bandspelare och det bidrog till en mer avslappande atmosfär för intervjun. Hela intervjun tog tidsmässigt 25 minuter att utföra. Vidare konstruerades frågorna se (Bilaga 2) till intervjun utifrån elevers svar på frågorna. Intervjufrågorna baserade sig främst på hur eleverna tänkte och resonerade kring frågorna och svaren när de utförde enkäten. Eleverna fick enkäterna (Bilaga 1) tillbaka under intervjun och behöll dem under hela processen i syfte av att titta på frågorna igen och svaren. 5.4 Validitet och reliabilitet Enligt Johansson och Svedner (2001) anger reliabilitet tillförlitligheten i en undersökning, så att resultatet blir detsamma vid upprepade försök. Reliabiliteten i min undersökning minskar då enkäterna har en öppen karaktär där eleverna kan svara på många olika sätt. Detta bidrar i sin tur till svårigheter vid sammanställning och analysering av resultatet. På grund av att jag har gjort ett enskilt arbete och att resultatet utgår från mina egna tolkningar, ökar risken för att reliabiliteten minskar ytterligare. Ännu en faktor som kan bidra till minskad reliabilitet är antalet elever som medverkade i undersökningen. Dock anser jag att min undersökning ur detta avseende har en hög reliabilitet eftersom mitt syfte var att undersöka de elever som jag har undervisat för och som befann sig i slutskeden av kurs B i matematik på en komvuxskola. En annan faktor som stärker reliabiliteten i min undersökning är de kvalitativa intervjuer som jag utförde och spelade in resultatet. Eleverna gavs tillfälle att diskutera ingående svaren på frågorna och jag fick på detta sätt en djupare insikt i deras tankegång. 21

22 Validitet enligt Johansson och Svedner (2001) innebär hur väl undersökningen stämde överens med frågeställningen, alltså om undersökningen prövade det som skulle undersökas. När jag konstruerade frågorna till enkäten tillbringade jag mycket tid åt att formulera frågor som hade i syfte att undersöka min frågeställning. Om det visar sig stämma eller inte beror på det slutgiltiga resultatet, vilket diskuteras i diskussionen. 6 RESULTAT OCH ANALYS 6.1 Uppgift 1 Resultatet från den första uppgiften som handlar om en cykeltur över en backe har jag valt att presentera i ett diagram. Procent Uppgift 1 A B C D Graf Figur 3- Resultat på uppgift 1 I den första uppgiften ville jag undersöka hur eleverna tolkar övergången från en situation till en graf. Uppgiften var att välja en graf som bäst presenterar en cyklists resa över en backe. Eftersom tre av graferna presenterade olika typer av funktioner och den fjärde var inte en funktion fick eleverna först ta ställning till att det var en funktion de valde och sedan att det var den rätta funktionen. Syftet var att upptäcka vilka begreppsbilder eleverna har av funktionsbegreppet då de valde en graf som representerade situationen. 22

23 6.1.1 Graf A Det var 13 elever av 31 som svarade graf A, vilket motsvarar 42 %. Två elever motiverade sitt svar på följande sätt: A beskriver den bäst, därför att B beskriver den som han är på två platser samtidigt, C cyklar han uppför en backe två gånger, D slutar han inte cykla (bromsar inte). Min uppfattning är att eleven tolkar situationen i uppgiften som en bild av cyklistens resa över backen. Alltså eleven tolkar formen på grafen som själva backen i uppgiften och föreställer sig att cyklistens resa representerar hur den rör sig längst grafen. Detta grundar jag på elevens beskrivning av graf C, C cyklar han uppför en backe två gånger. Eleven tolkar graf C som cyklistens resa över en backe två gånger, av den orsaken att graf C går upp och ner två gånger. Detta tolkar jag som att eleven uppfattar graf C som två backar och för att cyklisten endast cyklar över backen en gång väljer eleven graf A, en backe. Detta fenomen, att elever tolkar grafer som bilder av en situation finns beskriven hos Arzarello (2007) men även Janvier (1987). Vidare tolkar samma elev inte graferna som ett samband mellan hastigheten och tiden utan ett samband mellan sträckan och tiden. I citatet B beskriver den som han är på två platser samtidigt verkar eleven tala om att värden på sträckan inte kan vara olika vid samma tidpunkt. Visserligen upptäcker eleven att grafen inte presenterar en funktion men han undersöker det utifrån ett samband mellan sträckan och tiden istället för hastigheten och tiden. Dock har eleven uppmärksammat en viktig del av den strukturella förståelsen av funktionsbegreppet då han/hon förstår att för varje element i en mängd A finns det endast ett element i en mängd B. En annan elev skriver på följande sätt: C Den ser mest rimlig ut. För att han kör upp för en liten backe först och därefter upp för den stora backen. Även om eleven valde rätt svar, vilket var graf C, ansåg jag att hans motivering var felaktig då det är tydligt att eleven tolkar grafen som en bild av händelsen i uppgiften. Jag valde att placera detta svar under Graf A för att det stämmer överens med den tolkning som eleverna i graf A har angett. 23

24 6.1.2 Graf B Det var ingen av eleverna som valde graf B men den ena eleven som jag intervjuade motiverade varför hon inte valde den: Elev 1: Detta skulle innebära att han startar där, och så cyklar han då, och så ökar hastigheten, sen plötsligt håller han konstant hastighet här, men tiden går ju. Intervjuare: mmm, ja Elev 1: Han skulle gå tillbaka i tiden då, och då skulle han ha två hastigheter, och då blir det fel. Min uppfattning är att eleven förklarar på ett godkänt sätt varför graf B inte är det rätta svaret. Eleven upptäcker att grafen inte är en funktion då hon förklarar utifrån sin begreppsbild som består av egenskaper som ett funktionsbegrepp har eller inte har. Min uppfattning är att eleven utgår från definitionen av funktionsbegreppet som har blivit presenterat i undervisningen: Varje värde på x i definitionsmängden ger exakt ett värde på y i värdemängden. Dock använder sig eleven inte av den formella definitionen, vilket är ofta förekommande enligt Vinner och Dreyfus (1989). I deras forskning har det visat sig att eleverna inte använder den formella definitionen av funktionsbegreppet, utan sina begreppsbilder Graf C Det var 14 elever av 31 som svarade graf C vilket motsvarar ca 45 %. Det var också det rätta svaret på frågan. En elev motiverade sitt svar på följande sätt: C, man ser först normal hastighet på cykeln, när hastigheten går ner representerar det inbromsningen för att komma upp för kullen. Stora hastighetsökningen under en viss tid representerar nerförsbacken. Till slut bromsning och stopp. Jag har även intervjuat eleven där jag frågade följande: Intervjuare: Var är hastigheten som minst i grafen? 24

25 Elev 1: Det är när han startar och när han stannar (eleven visar i grafen) Intervjuare: Och störst? Elev 2: Där y är störst. (eleven visar i grafen) Eleven gav en godkänd förklaring till sitt val, han/hon förstod att grafen visade hastigheten som funktion av tiden. Detta baserar jag på att eleven förklarade grundligt hur hastigheten förändrades under resans gång under en viss tidsperiod. Eleven visade även på att den förstod var hastigheten var minst då han/hon pekade på båda sidorna av grafen och var den var störst. Min tolkning är att eleven gör en korrekt översättning från situation till graf då han/hon undersöker situationen utifrån de egenskaper grafen har (Janvier, 1987), alltså hur grafen är uppbyggd Graf D Det var 4 elever av 31 som valde graf D vilket representerar 13 %. Det var ingen av eleverna som gav en tolkbar förklaring till varför de valde den grafen. En elev motiverade sitt svar på följande sätt: D- eftersom det passar bäst med beskrivningen av hur han kör. Det var inte möjligt att göra en längre analys av dessa svar och i samband med att de valde fel graf är min tolkning att eleverna inte klarar av övergången mellan en situation och en grafisk representation av en funktion. Detta kan bero på att eleverna inte undersökte situationen utifrån den grafiska representationen. Enligt Janvier (1987) måste en källa studeras utifrån målets synvinkel för att kunna erhålla ett resultat. 6.2 Uppgift 2 Syftet med uppgift 2 var att undersöka hur eleverna tolkar övergången mellan en grafisk representation av en funktion och en situation. Vidare var syftet att undersöka hur eleverna tolkar övergången mellan en grafisk och algebraisk representation av en funktion. Uppgifterna b och c skulle även tolkas utifrån process- objekt perspektivet. Uppgift två har jag valt att kategorisera på följande sätt: G = Godkänt svar 25

26 g = Nästan godkänt svar F = Fel svar IS = Inget svar Kategori G g F IS Uppgift a) b) c) Figur 4 - Andelen elever i procent Uppgift 2 a) I denna uppgift skulle elever tolka övergången mellan en graf och en situation Godkänt svar Det var 15 elever av 31 som hade en godkänd beskrivning av grafen. Några exempel är: Värde på bilen minskar med förhållande med körsträckan. Man köper en bil för som sen minskar i värde efter antal körda mil. Dessa exempel visar på att eleverna uppfattar grafen som en funktion mellan x och y eftersom de uttrycker ett samband mellan bilens värde och antal mil körda och därmed sker det inga svårigheter i övergången från en graf till en situation. De undersöker grafen utifrån funktionens definition, en funktion är ett samband mellan variabler, alltså utifrån målet (Janvier, 1987) Nästan godkänt svar Det var tre elever av 31som hade nästan godkända svar och en av dem motiverade sitt svar på följande sätt: En ny bil kostar kr och vid mil kostar den

27 Detta svar har jag tolkat som en nästan godkänd överföring mellan graf och situation för att den visar på att eleven har kunnat avläsa värdena på x- axeln resp. y- axeln men eleven talar inte om att det finns ett samband mellan värdet på bilen och antal mil körda. Han/hon verkar uppfatta att det sker en minskning efter antal mil körda men eleven uttrycker det inte på ett helt godkänt sätt Fel svar Det var 9 elever av 31 som svarade fel när de skulle beskriva en verklig situation från en graf. Ett exempel på ett fel svar: Ex. Vi hyr en bil ju längre vi kör destu mindre kostar bilen att hyra Ett annat exempel var: Värdet på en bil Detta visar på att dessa elever har svårigheter med övergången från en graf till en situation. Det kan tyda på att de inte har en fullständig förståelse av den grafiska representationen av en funktion och därmed blir övergången inte lyckad. I det första exemplet förstår eleven att det finns någon typ av samband mellan x- axeln och y-axeln men exemplet är inte rimligt då den inte representerar en händelse från verkligheten. Här verkar eleven inte kunna avläsa det som avbildas i koordinataxlarna. Det andra exemplet visar att eleven inte uppfattar grafen som ett samband mellan x- axeln och y- axeln då han/hon endast skriver värdet på en bil. Värdet i kr på en bil presenterar endast det som visas i y- axeln. En till elev som hade fel svar: Nybils inköp + värde efter x antal mil Detta exempel visar vilken begreppsbild eleven har av den grafiska representationen av en funktion och det är att konstruera en formel till grafen. Enligt Vinner och Dreyfus (1989) kallas detta för compartmentalization phenomenon, då eleven har olika scheman i sin kognitiva struktur och det som inträffar, enligt denna teori, är att en viss situation aktiverar ett schema. I detta fall aktiverade en graf ett schema som består av erfarenheten att skriva en formel till graf. Istället för att beskriva en verklig situation och utgå från det som visas i grafen aktiveras ett annat schema och eleven försöker konstruera en form av formel. 27

28 6.2.2 Uppgift 2 b) I denna uppgift skulle eleverna konstruera en formel till en graf Godkänt svar Det var 4 elever av 31 som lyckades konstruera en formel. En av eleverna skrev: y = -5x Detta visar på att eleven har lyckats översätta från en representationsform till en annan. Det kan bero på att eleven har undersökt grafen utifrån de egenskaper en formel har som algebraiskt uttryck och därmed gjort en korrekt överföring. Detta fenomen finns beskrivet hos Janvier (1987), att man undersöker en graf utifrån en formels synvinkel. En av eleverna som jag intervjuade beskrev på följande sätt: Elev 1: Jag tar två punkter från linjen först, sen räknar jag ut k genom att använda dessa punkter. Intervjuare: Hur räknar du ut k? Elev1: Genom att ställa upp, hur var det nu? Jag tar det värde minus detta och delar med detta minus detta. (Eleven visar på de siffror han hade skrivit ner.) Intervjuare: Och vad gör du sen? Elev 1: Sen läser jag av mitt m-värde från grafen och jag har fått min formel Det är tydligt att eleven vet hur en formel är uppbyggd och att han undersöker grafen utifrån det algebraiska uttrycket för en linjär funktion. Vidare är det tydligt att eleven utför en process när han konstruerar en formel och gör beräkningar, vilket innebär att eleven har en god procedurell förståelse av funktionsbegreppet. Att elever kan utveckla en procedurell förståelse av funktionsbegreppet finns dokumenterat hos Olteanu (2007). Eleverna är vana enligt min erfarenhet vid processen att konstruera en formel och göra olika beräkningar med formeln, därför är jag förvånad att eleverna visade på sämre resultat. 28

29 Nästan godkänt svar Det var två elever som hade nästan godkänt svar och en av dem skrev: y = 5x I detta exempel ser vi att eleven har lyckats konstruera en nästan godkänd formel då han/hon inte har skrivit ett minustecken framför k- värdet. Det kan bero på några saker, att eleven har gjort ett slarvfel eller att eleven inte uppfattar att k-värdet ska vara negativ, vilket är en fel tolkning eftersom grafen representerar en minskning. Eftersom eleven skriver i nästa uppgift där han/hon ska förklara betydelsen av k i uppgiften, att utvecklingen är negativ innebär det att vi kan exkludera den sista faktorn. Eftersom han får nästan ett godkänt svar kan vi konstatera att eleven har gjort ett slarvfel och att eleven har en processförståelse av funktionsbegreppet Fel svar Det var 15 elever av 31 som svarade fel på denna fråga. En elev skrev y =- 0, k = -2/4 =- 1/2 =- 0,5 När jag intervjuade eleven berättade hon om att hon hade hittat k-värdet med hjälp av en metod där man ritar pilar i grafen. Det uppstod dock problem när eleven skulle läsa av värdena från grafen, hon hade fått lära sig att man beräknar k-värdet genom att ta antal steg man förflyttar sig i y- led dividerat med antal steg man förflyttar sig i x- led. Men när hon skulle avläsa antal steg hon förflyttade sig i x- led skrev hon 4 men det hon inte insåg är att ett steg i grafen presenterar värdet Detta exempel visar på att eleven delvis kan konstruera ett algebraiskt uttryck och att hon har en viss processförståelse av funktionsbegreppet Uppgift 2 c) Syftet med denna uppgift var att undersöka vilka tolkningar eleverna har av betydelsen av lutningen (k) i uppgiften. 29

30 Godkänt svar Det var endast två elever som hade en någorlunda godkänd beskrivning av k- värdet. En av dem skrev följande: k bestämmer hur snabbt bilens värde sjunker per mil körda om k hade varit ett mindre tal hade lutningen blivit brantare och bilens värde sjunkit snabbare. Min uppfattning är att eleven beskriver på ett godkänt sätt betydelsen av k-värdet vilket innebär att eleven har viss strukturell förståelse av funktionsbegreppet. För att kunna uttala mig om eleven har en fullständig strukturell förståelse av funktionsbegreppet måste vidare undersökningar göras, undersöka bland annat elevens tolkningar av variablerna x och y och sambandet mellan dessa Nästan godkänt svar. Det var cirka 10 % av eleverna som hade ett nästan godkänt svar. En elev motiverade sitt svar på följande sätt: Lutningen ger värdeminskningen = ju brantare lutning desto större värdeminskning Det här svaret visar på eleven har en viss förståelse för lutningen i detta exempel eftersom eleven beskriver att värdeminskningen hade varit större om lutningen hade varit brantare. Utifrån detta citat är det svårt att avgöra om eleven uppfattar hur k-värdet förändras för att lutningen ska vara brantare och för att värdeminskningen ska vara större. Sedan skriver eleven att lutningen ger värdeminskningen och för att jag ska kunna tolka elevens svar som godkänt hade jag velat att eleven utvecklar detta svar. Om eleven istället hade skrivit lutningen anger värdeminskningen per mil = ju brantare lutning desto större värdeminskning per mil hade jag bedömt svaret som godkänt Fel svar Det var 48 % av eleverna som hade fel svar på frågan. En elev motiverade på följande sätt: Den visar bilens värde i förhållande till mil körda. Citatet tyder på att eleverna har en felaktig förståelse av lutningen (k) i den aktuella uppgiften. Därför är det möjligt att konstatera att eleven därmed inte har en fullständig strukturell förståelse av funktionsbegreppet. 30

31 6.3 Uppgift 3 Syftet med denna uppgift var att upptäcka vilka begreppsdefinitioner eleverna har om funktioner. Dessa har jag sedan delat in i kategorier konstruerade av Vinner och Dreyfus (1989). 1. Korrespondens: I denna kategori passar in de definitioner som beskriver en korrespondens, samband eller förhållande mellan två mängder. Hur den ena variabeln förhåller sig till en annan variabel Visar hur något förändras i förhållande till varandra, t.ex. tiden i förhållande till hastigheten. Funktionen är ett samband mellan värdena på x och y axeln. 2. Beroenderelation: En elev tolkade funktionen som en beroenderelation mellan två variabler. Någonting som är beroende av något annat. 3. Regel: Det var ingen av eleverna som beskrev en funktion som en regel. 4. Formel: Elever som tolkade en funktion som en formel skrev på följande sätt: y= något med x x² + 4x +6 är en funktion. En funktion är en ritning. En funktion är när man får ut ett y- värde av ett x- värde. Ett sätt att beskriva ett problem med siffror. 5. Representation: Denna kategori innefattar definitioner av en funktion beskrivna på ett meningslöst sätt. En lösning på ett matematiskt problem. Är en lösning på någonting. De funktionsdefinitioner presenterade i kategorierna 1-4 anger de definitioner som är i någon mening tolkbara och har en grund. Det visade sig att endast 8 av 31 gick att placera i dessa kategorier. Resten dvs. 23 elever av 31 svarade antingen i överensstämmelse med kategori 5 eller gav inga svar. 31

32 7 DISKUSSION Syftet med studien har varit att undersöka hur elever i matematik B på en komvuxskola tolkar övergången mellan representationsformerna graf- situation och formel. Resultatet visade att övergången mellan graf- situation och situation- graf var bäst utvecklad. I den första uppgiften undersöktes övergången mellan situation och graf och det var ca 45 % av eleverna som svarade godkänt. Dock var det flera elever som tolkade grafen som en bild av händelsen i uppgiften, ett fenomen som är väl dokumenterat hos Janvier (1987). Utifrån min undersökning framgick även en annan missuppfattning hos eleverna, att tolka grafen som en funktion mellan sträckan och tiden istället för hastigheten och tiden. Det är viktigt enligt min mening, att lärare uppmärksammar dessa missuppfattningar i klassrummet eftersom de, utifrån undersökningen finns presenterade hos de flesta eleverna i de två klasserna. Lärare kan exempelvis presentera missuppfattningen i undervisningen och låta eleverna diskutera i grupp huruvida lösningen är korrekt eller ej. Annars finns en risk att uppfattningen inte ändras om den inte blir behandlad, vilket har visat sig stämma hos dessa elever i slutfasen av kursen. Vidare var övergången mellan graf och situation väl utvecklad hos eleverna då en del av dem hade en korrekt tolkning av grafen. Janvier (1987) menade i sin forskning att övergången var bäst utvecklad mellan graf- situation och vice versa och det visade sig även gälla hos dessa elever. I uppgift två skulle eleverna skriva ett algebraiskt uttryck till grafen och det var endast 13 % av eleverna som hade ett korrekt svar. Det var ett resultat som var väldigt förvånande för mig då eleverna i undervisningen ofta hade arbetat med övergången mellan graf och formel, detta grundar jag på mina egna erfarenheter på praktikskolan. Min undersökning visar på att dessa elever högst sannolikt inte har utvecklat en processförståelse av funktionsbegreppet. Vidare kan orsaken vara att eleverna inte undersökte grafen utifrån en formels synvinkel och enligt Janvier (1987) är detta väsentligt för att en korrekt övergång mellan representationsformerna ska ske. I uppgiften där eleverna skulle beskriva betydelsen av lutningen (k) i uppgiften var det endast 6 % av eleverna som svarade godkänt vilket tyder på att de flesta eleverna i undersökningen enligt min tolkning saknar en fullständig strukturell förståelse av funktionsbegreppet. Överlag visar undersökningen att en del elever saknar både en fullständig process- och strukturförståelse av funktionsbegreppet vilket bekräftar de 32