Separation av två klasser av åtta-dimensionella reella divisionsalgebror

Transkript

1 Searation av två klasser av åtta-dimensionella reella divisionsalgebror av Lars Lindberg U.U.D.M. eort 21:P4 Examensarbete i matematik, 2 oäng Handledare och examinator: Ernst Dietrich Maj 21 Deartment of Mathematics Usala University

2 Searation av två konstruktioner av 8-dimensionella reella divisionsalgebror Lars Lindberg Abstract There is more than one way of constructing 8-dimensional real division algebras. The resent thesis will show that two of these methods, construction by doubling a four-dimensional algebra and construction by dissident triles, give rise to two almost disjoint sets of isoclasses. The doubling of an algebra works as follows: Given a four-dimensional quadratic algebra A we define V (A) = A A as a vector sace, with multilication given by (u,v)(x,y) = (ux ȳv, v x + yu), (u, v),(x, y) A A, where x denotes the conjugate of x. Furthermore if A is a real division algebra then V (A) is. A dissident trile (V,ξ,η) is formed by a real vector sace V and two linear mas, ξ : V V and η : V V V, where η is required to be dissident, i.e. v,w,η(v w) are lineary indeendent whenever v,w V are. Each dissident trile (V,ξ,η) defines a division algebra V whose multilication is given by (α,v),(β,w) (αβ v,w + ξ(v w), βv + αw + η(v w)). These two constructions give rise to two sets of isoclasses. The objective of the resent thesis is to show that the intersection of these two sets consist of a single element; the isoclass of the octonion algebra. 1 Inledning För att kunna komma till det väsentliga i detta arbete behöver jag först en grund att stå å. Till en början får en algebra beteckna en ändligt-dimensionell algebra. Definition 1.1 En algebra över en kro k är ett vektorrum A utrustat med en k-bilinjär avbildning A A A, (a,b) ab Definition 1.2 En divisionsalgebra över k ufyller dessutom att algebran inte har några nolldelare, dvs xy = x = y = Definition 1.3 (i) En algebra är alternativ om varje underalgebra, genererad av två element, är associativ. (ii) En algebra är otensassociativ om varje underalgebra, genererad av ett element, är associativ. Definition 1.4 En algebra A över ett k-linjärt vektorrum kallas kvadratisk algebra om den har ett enhetselement, 1 A och varje x A ufyller en kvadratisk ekvation x 2 = αx + β1 med α, β k Sats 1.5 Att en algebra är kvadratisk är ekvivalent med att den är otensassociativ. 1

3 Jag börjar med några exemel å reella divisionsalgebror:, C, H och O., C och H klassificerar alla associativa divisionsalgebror (Frobenius 1877 [8]) och tillsammans med O klassificeras alla alternativa (Zorn 1931 [1]). Genom den berömda (1,2,4,8)-satsen (Hof 194, Kervaire och Milnor, Atiyah och Hirzebruch 1961, Adams 1962 [9]) vet vi även att divisionsalgebror enbart förekommer i dimensionerna 1,2,4 och 8. Vi har nu sett ett exemel å en divisionsalgebra ur varje dimension. Finns det fler? Javisst, se sidan 3 för oändligt många isomorfiklasser av 4-dimensionella reella divisionsalgebror. Nästa steg är då att klassificera alla otensassociativa divisionsalgebror. och C klassificerar dessa i en res. två dimensioner. Klassifikationen i fyra dimensioner slutfördes av Dieterich 1998, se [2]. Det som återstår när det gäller de otensassociativa divisionsalgebrorna är alltså att klassificera de 8-dimensionella divisionsalgebrorna. Detta arbete kommer inte att gå in å en fullständig klassifikation, men kommer att visa att två mängder av isomorfiklasser är nästintill disjunkta och därmed kan studeras searat. 2 Konstruktion av 8-dimensionella reella divisionsalgebror Jag kommer att studera två olika sätt att konstruera 8-dimensionella reella divisionsalgebror. Konstruktion mha dissidenta trilar samt genom fördubbling av fyrdimensionella reella divisionsalgebror. 2.1 Dissidenta trilar För att beskriva dissidenta trilar behövs först ett ar definitioner. Definition 2.1 Låt V vara ett reellt vektorrum. η kallas dissident omm v, w, η(v w) är linjärt oberoende när v, w V är linjärt oberoende. Definition 2.2 En dissident algebra V identifieras med ar (V, η) där V är ett euklidiskt vektorrum, V = (V,<>) och en dissident avbildning η. Tanken med dissidenta trilar är att en reell divisionsalgebra A kan faktoriseras till A = V där V = Im(A)(enl. Frobenius lemma, se [8]). Vektorrummet V är då en dissident algebra. Detta vektorrum är uttrustat med en dissident avbildning η. Det sista elementet i trieln är avbildningen ξ : V V. Genom en sådan triel (V, ξ, η) kan då en reell divisionsalgebra beskrivas. Divisionsalgebran är då V med multilikation (α,v),(β,w) (αβ v,w + ξ(v w),βv + αw + η(v w)) (se [4] för detaljer). Tanken är då att konstruera en dissident algebra och komlettera den med ξ för att erhålla en divisionsalgebra. Det som då behövs är ett sätt att konstruera η. Lemma 2.3 Låt π : V V V vara en vektorrodukt. Om ε : V V är en definit endomorfism så är επ : V V V en dissident avbildning. Bevis Låt v, w V vara ortonormala vektorer. Eftersom π är en vektorrodukt så gäller att v w π(v w) och π(v w) = 1. Att ε är definit ger επ(v w) / π(v w). Detta ger då att επ(v w) / v w. 2

4 Anmärkning 2.4 Genom att ta en godtycklig definit endomorfism ε kan alltså en dissident algebra konstrueras och med den en divisionsalgebra. Det är denna metod som jag kallar för konstruktion av divisionsalgebror mha dissidenta trilar. Jag går nu vidare genom att beskriva den fullständiga klassifikationen av fyrdimensionella otensassociativa reella divisionsalgebror (Dieterich 1998 [2]). Låt T = {δ 3 < λ µ ν} och K = 3 3 T. Element κ = (b, c, δ) K kan ses som konfigurationer i 3, där δ identifieras med ellisoiden E δ = {x 3 x T δ x = 1}, där δ betecknar diagonalmatrisen som ges av δ. Symmetrigruen till ellisoiden E δ är G δ = {S SO 3 ( 3 ) S T δ S = δ }. Två konfigurationer (b, c, δ) och (b, c, δ ) är ekvivalenta omm δ = δ och (Sb, Sc) = (b, c ) för något S G δ. Då fås multilikationen genom ξ = (b 3, b 2, b 1 ) samt c 2 c 3 λ η = c 1 µ c 3 ν c 1 c 2 Jag ska nu lista klassifikationen av de fyradimensionella reella divisionsalgebrorna. Beskrivningen förenklas genom notationerna = {x x > } och = {x x }, t.ex. Klassifikationen består då av: b 1, c 1 = (b,c) b 2 =, c 2 b 3 =, c 3 = λ = µ = ν C 11 (k) =, C 12 (k) = ; λ = µ < ν C 21 (k) =, C 22 (k) =, C 23 (k) =, C 24 (k) =, C 25 (k) = ; 3

5 λ < µ = ν C 31 (k) =, C 32 (k) =, C 33 (k) =, C 34 (k) =, C 35 (k) = ; λ < µ < ν C 41 (k) =, C 42 (k) =, C 43 (k) =, C 44 (k) =, C 45 (k) =, C 46 (k) =, C 47 (k) =, C 48 (k) =, C 49 (k) =, C 4,1 (k) =, C 4,11 (k) = C 4,13 (k) =., C 4,12 (k) =, Att denna klassifikation verkligen ger en reresentant för varje isomorfiklass bevisas i [6]. 2.2 Fördubblingen Fördubblingen gör recis vad namnet utlovar, den fördubblar dimensionsantalet i en kvadratisk algebra. Detta stycke behandlar några egenskaer hos denna rocess. Sats 2.5 Det finns exakt en linjärform λ : A med λ(e) = 1 och Kernλ = ImA Notera att λ(x) åminner om e(x) i fallet A = C. Det förefaller sig naturligt att då definera konjugatet som : A A,x x := 2λ(x)e x 4

6 Konjugatet är -linjärt och det gäller att Låt A vara en kvadratisk algebra. Då är x = λ(x)e u för x = λ(x)e + u,u A x = x (Involution), λ( x) = λ(x) <>: A A, (x,y) x,y := 2λ(x)λ(y) 1 λ(xy + yx) 2 en symmetyrisk bilinjär form. x, y A gäller Om A dessutom är nolldelarfri så gäller x,x >, x A\{} x,x = 2λ(x) λ(x2 ) (1) x,e = λ(x), e,e = 1 (2) x 2 = 2λ(x)x x,x e (3) xy + yx = 2λ(x)y + 2λ(y)x 2 x,y e (4) Anmärkning 2.6 Eftersom en divisionsalgebra innebär att algebran är nolldelarfri så är den bilinjära formen i detta fall en skalärrodukt Fördubblingen Givet en kvadratisk algebra A definerar vi V (A) = A A som ett vektorrum, med multilikation som ges av (u,v)(x,y) = (ux ȳv,v x + yu), (u,v),(x,y) A A. Att detta verkligen ger en uhov till en ny algebra med dim(v (A)) = 2 dim(a) bevisas bl.a. i [7] (s ). Dessutom behålls divisionsegenskaen om den fördubblade algebran högst har dimension 8 (se [4]) Egenskaer hos fördubblingen Låt A vara en 4-dim algebra med bas e 1 = 1,e 2,e 3,e 4. Studera A som en direkt summa A = 1 U Multilikationen : A A A ges av e 1 e i = e i = e i e 1 samt en matris A som beskriver multilikationen av basvektorerna i U = Im(A) e 2 e 3 e 4 e 2 e 3 e 4 A där matrisen A ges genom e 1 b 3 e 1 + c 2 e 2 c 1 e 3 + νe 4 b 2 e 1 + c 3 e 2 µe 3 c 1 e 4 A = b 3 e 1 c 2 e 2 + c 1 e 3 νe 4 e 1 b 1 e 1 + λe 2 + c 3 e 3 c 2 e 4 b 2 e 1 c 3 e 2 + µe 3 + c 1 e 4 b 1 e 1 λe 2 c 3 e 3 + c 2 e 4 e 1 där b i, c i, λ, µ och ν fås genom konfigurationen för den fyra dimensionella algebran (se sidan 3). 5

7 Definition 2.7 Låt A vara en matris. Med A +4 förstås en matris identisk med A där varje förekomst av e i är utbytt mot e i+4. Multilikationen i den fördubblade algebran V (A) = 1 V ges då utav e 1 e i = e i = e i e 1 samt i V utav tabellen e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 2 e 6 e 3 A e 7 e 4 e 8 A T +4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 1 e 2 e 3 e 4 e 6 e 2 e 7 A +4 e 3 A T e 8 e 4 Att multilikationen ser ut å ovanstående sätt följer direkt ur definitionen av fördubblingen. Denna matris åskådliggör ett viktigt faktum i multilikationen, även om matrisen inte ser ut att innehålla någon slags symmetri så är den faktiskt antisymmetrisk. Detta gör att e i e j = e j e i om i j. Lemma 2.8 Studera V (A) som en direkt summa V (A) = 1 V. Låt u,v V. Då gäller u v uv + vu = V (A) Bevis Eftersom u,v V = Im(V (A)) så gäller λ(u) = λ(v) = uv + vu = (ekv. 4) 2 x,y = x,y = u v Lemma 2.9 Lemma om bevarandet av ON-bas. En ON-bas i A överförs till en ON-bas i V (A) = A A genom e i = (e i,) om i {1,2,3,4} e i = (,e i 4 ) om i {5,6,7,8} Bevis e i 1,e 2 i 1 dvs e i V = ImV (A) i 8\{1} Ur multilikationstabellen för V fås e i e j + e j e i =, i j i, j 8\{1}, i j gäller e i e j + e j e i = (lemma 2.8) e i e j e i,e i = 2λ(e i )λ(e i ) 1 2 λ(e ie i + e i e i ) = 1 2 λ( 2e 1) = 1 dvs ON-bas i V Komlettera detta med e 1 = 1 och en ON-bas i V (A) erhålls. Anmärkning 2.1 Detta lemma kan verka trivialt, men likväl är det detta faktum som gör att det går lätt att arbeta med fördubblingen. Jag har endast visat att ON-basen bevaras vid fördubbling från 4 till 8 dimensioner, men det troliga är att det alltid gäller. 3 Konstruktion av 8-dimensionella divisionsalgebror Nu när vi har två sätt att konstruera divisionsalgebror å skall jag visa att dessa konstruktioner inte kan ge uhov till samma algebror. 6

8 Tag en konfiguration κ = (b, c, δ) för en fyradimensionell algebra (se sidan 3 för fullständig klassifikation av dessa algebror). Denna konfiguration kan ses som två unkter i rymden, b = (b 1, b 2, b 3 ), c = (c 1, c 2, c 3 ) och en ellisoid där δ = (λ, µ, ν) beskriver ellisens avstånd till resektive axel. Genom fördubblingen (V ) erhålls κ = (b,c,δ) A = A (κ) B = V (A (κ)). Från den fördubblade algebran B får vi en dissident triel (V,ξ,η) och det är denna jag vill jämföra med de trilar som genom den andra konstruktionen ger uhov till 8-dimensionella reella divisionsalgebror. V är då imaginärrummet till den 8-dimensionella algebran. ξ och η fås genom (λ är som i lemma 2.5): Låt β : V V, β = β s + β a, där β s (v,w) = 1 2 (β(v,w) + β(w,v)) = 1 2 (λ(vw) + λ(wv)) = 1 2λ(vw + wv) = v,w och β a (v,w) = 1 2 (β(v,w) β(w,v)) = 1 2 (λ(vw) λ(wv)) = 1 2λ(vw wv) Då är ξ = β a (v,w) = 1 2λ(vw wv) och η(v w) = vw λ(vw) Det jag ska studera närmare är η. Denna avbildning blir då för en godtycklig fördubblad algebra: η = c 2 c 3 λ 1 c 2 c 3 λ c 1 µ c 3 1 c 1 µ c 3 ν c 1 c 2 1 ν c 1 c 2 1 b 3 b 2 b 3 1 b 1 b 2 b c 2 c 3 c 2 λ c 3 λ c 1 µ 1 c 1 c 3 µ c 3 ν c 1 ν c 2 1 c 1 c 2 Om denna avbildning kan faktoriseras som η = επ kan jag jämföra ε med de ε som skaar algebrorna genom konstruktionen beskriven i sektion 2.1. Däremot är det tyvärr inte bara att gå rakt å sak och faktorisera, det finns oändligt många vektorrodukter att välja å. Dock kan vi istället studera η P, vilket är en automorfism å P ( 7), rojektiosrummet i 7 dimensioner. Om vi sedan kan lyfta denna morfism till GL 7 () så får vi nästan det sökta ε, det som erhålls är ε, dvs inverterade och transonerade ε. Frågan är nu om η P kan lyftas till ε eller ej. För att kunna besvara frågan måste jag försöka konstruera η P. Innan jag går in å detta behövs lite teori. Definition 3.1 Låt V vara ett vektorrum. Jag definerar då: 1. En rojektiv unkt i P(V ) är ett en-dimensionellt underrum till V. 2. En rojektiv linje i P(V ) är ett två-dimensionellt underrum till V. Definition 3.2 En avbildning β kallas kollinjär omm följande två villkor är ufyllda 1. avbildningen är bijektiv 2. tre rojektiva unkter som ligger å en rojektiv linje avbildas å tre rojektiva unkter som ligger å en rojektiv linje Sats 3.3 Projektiva geometrins huvudsats. Låt β vara en bijektion från ett rojektivt rum P till sig självt. Då kan β lyftas till en linjär avbildning omm β är kollinjär. 7

9 3.1 Konstruktion av η P Att beräkna hur η P ser ut är enkelt men kräver en del arbete med matriser. Jag nöjer mig därför att endast visa delar av beräkningarna, resten av beräkningarna är å recis samma sätt. Först behöver jag dock en notation. Definition 3.4 Y i j avser den kolonn i η som motsvarar η(e i e j ) Jag börjar med att beräkna η P för de olika basvektorerna. Först har vi η P [e 2 ] = η ( e 2 e 2 ) ( ) η e 2 e 2 = [Y 23,..., Y 28 ] = [Y 23, Y 24 ] [e 5, e 6, e 7, e 8 ] Dvs η P [e 2 ] = [Y 23, Y 24 ] [e 2, e 3, e 4 ] Detta ger då att η P [e 2 ] = ( c µν : c 1c 2 + c 3 ν : c 1 c 3 c 2 µ : : : : ) På samma sätt beräknas övriga η P [e i ] där i = 3,...,8 och fås till η P [e 3 ] = ( c 1 c 2 c 3 ν : c λν : c 2 c 3 + c 1 λ : : : : ) η P [e 4 ] = ( c 1 c 3 + c 2 µ : c 2 c 3 c 1 λ : c λµ : : : : ) η P [e 5 ] = ( : : : 1 : : : ) η P [e 6 ] = ( : : : : c µν : c 1 c 2 + c 3 ν : c 1 c 3 c 2 µ ) η P [e 7 ] = ( : : : : c 1 c 2 c 3 ν : c λν : c 2 c 3 + c 1 λ ) η P [e 8 ] = ( : : : : c 1 c 3 + c 2 µ : c 2 c 3 c 1 λ : c λµ ) Jag har nu alla kolonner i matrisen för η P sånär som å konstanten för varje kolonn. Om jag antar att η P är kollinjär, vilket enligt sats 3.3 är ekvivalent med att η P kan lyftas, kan jag fixera kolonnerna mot varandra och därmed bara få en konstant kvar. Men först en hjälsats Lemma 3.5 (e i + e j ) (e i e j ) samt (e i + e j ) e k där i j och i k, j k Bevis Följer å en gång av ekv. 4 å sidan 5 Jag fortsätter med hjäl av ovanstående lemma. Kalla konstanten för kolonnen hörandes till η P [e i ] för λ i ( η P [e 2 + e 3 ] = η (e 2 + e 3 ) (e 2 + e 3 ) ) = [Y 23, Y 24 +Y 34,..., Y 28 +Y 38 ] Vilket då ger c 2 c 3 + λ c 1 c 3 µ ν c 1 c 2 H = b 3 1 b 3 1 b 2 b 1 1 c 2 c 2 c 3 λ 1 c 1 c 1 µ c 3 ν ν c 1 + c 2 8

10 Antag nu att η P är kollinjär. Detta gör att lösningen till [x]h = måste se ut som [x] = (λ 2 (µν+c 2 1 )+ λ 3 (c 1 c 2 c 3 ν) : λ 2 (c 3 ν + c 1 c 2 ) + λ 3 (λν + c 2 2 ) : λ 2(c 1 c 3 c 2 µ) + λ 3 (c 1 λ + c 2 c 3 ) : : : : ). Detta ger då lösningen λ 3 = λ 2. På detta sätt låses konstanterna till λ 8 = λ 7 = λ 6 = λ 4 = λ 3 = λ 2 λ 5 däremot är lite svårare att bestämma, eller snarare vid ett försök att bestämma λ 5 fås ekvationer som måste vara ufyllda. Med den nyss använda metoden tillämad å η P [e 2 + e 5 ] fås: ( η P [e 2 + e 5 ] = η (e 2 + e 5 ) (e 2 + e 5 ) ) = [Y 25, Y 23 Y 35, Y 24 Y 45, Y 26 +Y 56, Vilket då ger Y 27 +Y 57, Y 28 +Y 58 ] c 2 c 3 1 c 1 µ 1 ν c 1 1 H = 1 b 3 b 2 1 c 2 c 3 1 c 1 µ 1 ν c 1 Den antagna kollinjäriteten hos η P gör att lösningen till [x]h = måste se ut som [x] = (λ 2 (µν + c 2 1 ) : λ 2 (c 3 ν+c 1 c 2 ) : λ 2 (c 1 c 3 c 2 µ) : λ 5 : : : ). [x]h = ger genom de tre sista kolonnerna i H uhov till systemet: x 2 x 5 = x 5 = x 2 = µν + c 2 1 x 3 b 3 x 5 = x 3 = b 3 x 5 = b 3 (µν + c 2 1) x 4 + b 2 x 5 = x 4 = b 2 x 5 = b 2 (µν + c 2 1) Detta ger då två ekvationer som måste vara ufyllda: På samma sätt ger η P [e 3 + e 5 ]: η P [e 4 + e 5 ]: η P [e 5 + e 6 ]: b 3 (c µν) = c 1 c 2 + c 3 ν (5) b 2 (c µν) = c 2 µ c 1 c 3 (6) b 3 (c λν) = c 3 ν c 1 c 2 (7) b 1 (c λν) = c 2 c 3 + c 1 λ (8) b 1 (c λµ) = c 1 λ c 2 c 3 (9) b 2 (c λµ) = c 2 µ+ c 1 c 3 (1) b 3 (c µν) = c 1 c 2 c 3 ν (11) b 2 (c µν) = c 1 c 3 c 2 µ (12) 9

11 η P [e 5 + e 7 ]: b 3 (c λν) = c 1 c 2 c 3 ν (13) b 1 (c λν) = c 2 c 3 c 1 λ (14) η P [e 5 + e 8 ]: Lemma 3.6 Om η P kan lyftas så är κ = (,,δ) b 3 (c λµ) = c 1 c 3 c 2 µ (15) b 2 (c λµ) = c 2 c 3 c 1 λ (16) Bevis Om η P kan lyftas så är η P kollinjär enligt sats 3.3. Då måste ekvationerna (5)-(16) vara ufyllda. (5) + (7) + (11) b 3 = c 3 = (6) + (1) + (12) b 2 = c 2 = (8) + (9) + (14) b 1 = c 1 = Vilket ger det sökta resultatet. Nu kommer jag till det fall där η P verkligen går att lyfta till ε. Först behöver jag dock ett litet lemma. Lemma 3.7 e 2 e 3, e 2 e 4, e 2 e 5, e 6, e 7, e 8 och e 2 + e 3 + e 4 + e 5 utgör en ortogonal bas i V. Bevis Följer genom att ekv 4 å sidan 5 är ufylld för alla kombinationer av ovanstående vektorer. Med hjäl av detta lemma kan jag då bevisa den utlovade satsen. Sats 3.8 Låt κ = (,,δ). Då kan η P lyftas till ε endast om λ = µ = ν. Bevis η P [e 2 + e 3 + e 4 + e 5 ] = η ((e 2 + e 3 + e 4 + e 5 ) (e 2 + e 3 + e 4 + e 5 ) ) e 2 e 3, e 2 e 4, e 2 e 5, e 6, e 7 och e 8 är alla ortogonala mot e 2 + e 3 + e 4 + e 5 enligt lemma 3.7. ( η (e 2 + e 3 + e 4 + e 5 ) (e 2 + e 3 + e 4 + e 5 ) ) = [ 2Y 23 Y 24 Y 25 +Y 34 +Y 35, Y 23 2Y 24 Y 25 Y 34 +Y 45, Y 23 +Y Y 25 +Y 35 +Y 45, Y Y 56, Y Y 57, Y Y 58 ] Det sökta ortogonala komlementet till detta fås genom [x]h = där [x] är den sökta linjen och λ λ 1 µ 2µ µ 1 2ν ν ν 1 H = λ λ 1 1 ν ν 1 1 µ ν 1

12 Eftersom utgångsunkten är att η P är kollinjär måste [x] = (x 2 : x 3 : x 4 : x 5 : : : ). Jag vet även att x 5, sätt [x] = (x 2 : x 3 : x 4 : 1 : : : ). [x]h = λx 2 + νx 3 2µx 4 = λx 2 + 2νx 3 µx 4 = νx 3 + µx 4 = x 2 1 = x 3 1 = x 4 1 = Ur de sista ekvationerna fås å en gång λ = µ = ν. Detta ger α ε =..., α α [x] = (1 : 1 : 1 : 1 : : : ) λ + ν 2µ = λ + 2ν µ = ν + µ = Vilket innebär att för varje linje L så är η P (L) = ε (L) = L dvs η P (L) = 1 P(). Det enda som återstår är nu att verifiera att så verkligen är fallet. Tag en godtycklig linje, L = 8 i=2 α ie i η P [ 8 i=2 ] α i e i = η ( 8 i=2α i e i ) ( 8 i=2α i e i ) Genom samma resonemang som i lemma 2.8 å sidan 6 inses att ( 8 i=2 α i e i ) = [α 3 e 2 α 2 e 3, α 4 e 2 α 2 e 4,..., α 8 e 2 α 2 e 8 ] Låt f k = ( α ) α2 k e2 e k 8 i=3,i k α iα k e 2 e i k 1 i=3 α 2α i e i e k + 8 i=k+1 α 2α i e k e i Då är η ( 8 i=2α i e i ) ( 8 i=2α i e i ) = [ f 3, f 4,..., f 8 ] = Vilket ger η P [ 8 i=2 α 2 α 4 λ α 2 α 3 λ α 2 α 6 α 2 α 5 α 2 α 8 λ α 2 α 7 λ ( ) α 3 α 4 λ α α2 4 λ α 4 α 5 λ + α 2 α 7 α 4 α 6 λ + α 2 α 8 λ α 4 α 7 λ α 2 α 5 α 4 α 8 λ α 2 α 6 λ ( ) α α2 3 λ α 3 α 4 λ α 3 α 5 λ + α 2 α 8 α 3 α 6 λ α 2 α 7 λ α 3 α 7 λ + α 2 α 6 λ α 3 α 8 λ α 2 α 5 α 2 α 7 + α 3 α 6 α 4 α 6 α 2 α 8 α 5 α 6 α α2 ( ) 6 α 6 α 7 + α 2 α 3 α 6 α 8 + α 2 α 4 α 3 α 5 α 2 α 8 λ α 4 α 5 + α 2 α 7 λ α α2 5 α 5 α 6 α 5 α 7 α 2 α 4 λ α 5 α 8 λ + α 2 α 3 λ ( ) α 3 α 8 λ + α 2 α 5 α 4 α 8 λ α 2 α 6 λ α 5 α 8 λ α 2 α 3 α 6 α 8 λ + α 2 α 4 λ α 7 α 8 λ α α2 8 λ ( ) α 3 α 7 λ + α 2 α 6 λ α 4 α 7 λ + α 2 α 5 α 5 α 7 λ α 2 α 4 α 6 α 7 λ α 2 α 3 λ α α2 7 λ α 7 α 8 λ ] α i e i = η ( 8 i=2α i e i ) ( 8 i=2α i e i ) = (α 2 : α 3 : α 4 : α 5 : α 6 : α 7 : α 8 ) dvs η P = 1 P( 7 ) 11

13 Sats 3.9 Utav alla algebror som erhålls vid fördubbling av 4-dimensionella otensassociativa reella divisionsalgebror är det endast oktonionerna som ger uhov till en dissident triel (V, ξ, η) sådan att η kan faktoriseras enligt η = επ, där ε är en definit 7 7-matris och π är någon vektorrodukt. Bevis Lemma 3.6 och sats 3.8 gör att jag endast behöver studera konfigurationen κ = (,,δ), där δ = (λ,λ,λ). Antag att η kan faktoriseras som η = επ. Sats 3.8 visade att ε måste se ut som α ε =... α, α Detta innebär att samt att η = ε = k 1, k För att då kunna faktorisera η som η = επ = kπ måste π vara standardvektorrodukten. Detta gör då att k = 1, vilket innebär att avbildningen η är avbildningen för oktonionerna. Korollarium 3.1 De två mängder av isomorfiklasser som erhålls vid konstruktion mha dissidenta trilar res fördubblingen har endast ett gemensamt element, oktonionernas isomorfiklass. Bevis Detta är en omformulering av sats 3.9. Anmärkning 3.11 De två satserna 3.8 och 3.9 åvisar även ett annat intressant faktum. Det existerar η P sådant att den går att lyfta till ε men η kan inte faktoriseras enligt η = επ (konfigurationen κ = (,,δ), δ = (λ,λ,λ),λ 1). Dessutom säger lemma 3.6 att η P oftast inte ens går att lyfta. Detta åvisar att η P i vissa seciella fall har mycket intressanta egenskaer som kan vara värda att studera närmare. Detta resultat kan användas för att underlätta klassificeringen av de fördubblade algebrorna. 12

14 eferences [1] E. Dieterich. Power-Associative eal Division Algebras. Can. Math. Soc., 24: , [2] E. Dieterich. Zur Klassifikation Vierdimensionaler eeller Divisionsalgebren. Math. Nachr, 194:13 22, [3] E. Dieterich. Dissident Algebras. Coll. Math., 82:13 23, [4] E. Dieterich. Eight-Dimensional eal Quadratic Division Algebras. Algebra Montellier Announcments 1-2, ages 1 5, 2. [5] E. Dieterich. eal Quadratic Division Algebras. Communications in Algebra, 28 (2): , 2. [6] E. Dieterich and J. Öhman. On the Classification of Four-Dimensional Quadratic Division Algebras over Square-Ordered Fields. UUDM eort 21:8, 21. [7] H-D. Ebbinghaus. Zahlen. Sringer-Verlag, [8] F. G. Frobenius. Über lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 84:1 63, [9] H. Hof. Ein toologischer Beitrag zur reellen Algebra. Comment. Amth. Helv., 13: , 194/41. [1] M. Zorn. Theorie der alternativen inge. Abh. Math. Sem. Hamburg, 8: ,