5B Portföljteori fortsättningskurs

Transkript

1 5B Portföljteori fortsättningskurs Inlämningsuppgift 1 Liability driven Markowitz portfolio optimazation Farid Bonawiede fabo02@kth.se Inledning Denna uppgift går ut på att utföra Asset and Liability management på ett antal tillgångar och skulder. Om A betecknar våra tillgångar och L våra skulder. Så kan vi skriva överskottet som S = A L. Man är oftast intresserad av att se hur ändringen i överskottet står i relation med någon data. I vårt fall ska vi undersöka följande förhållande S 1 S 0 Vi vill utföra Mean-Variance -analys på denna kvot. Vi skriver därför om kvoten genom att definiera solvenskvoten på följande sätt f = 1 g = A L Om vi låter avkastningar ifrån tillgångarna och skulderna vara R a respektive R l så får vi följande S 1 S 0 = A 1 L 1 A 0 = A 1 A 0 L 1 = = A 0 A 0 A 1 A 0 R l = f 0 R a R = f 0 (R a 1 f 0 R l ) Eftersom f 0 är en konstant så räcker det med att göra MV-analys på R a 1 f 0 R l. 1

2 1 Är kovariansmatrisen positivt semi-definit? I uppgiften så har vi tre stycken olika tillgångar. Till dessa så har vi en given kovariansmatris, Σ. Variansen hos skulderna är given, σ ll. Vi har dessutom en vektor Γ innehållande kovarianserna mellan varje tillgång och skulderna. Kovariansmatrisen som beskriver tillgångarna och skuldernas relationer betecknar vi Σ, och har följande utseende Σ = ( Σ Γ Γ T σ ll Med de värden som var givna i uppgiften så uppfyller inte Σ de krav som ställs på en kovariansmatris. Den är nämligen inte positivt semi-definit. Kontrollerar man matrisens egenvärden så ser man att att en av de är negativa. Detta skulle generera negativa kovarianser vilket inte är så önskvärt. Om man dessutom tar och kontrollerar korrelationskoefficienterna så ser man att vi både har koefficienter som är till beloppet större än 1. Samt att vi får vissa koefficienter som är imaginära. Således är det något fel i vår data. ) 1.1 Modifiering av vår matris Det finns flera olika sätt att modifiera vår matris så att den blir positivt semi-definit. Genom att analysera och testa beteendet i M atlab så lyckas jag komma fram till följande resultat. Om variansen hos skulderna ökas till 108% eller större så får vi en kovariansmatris. Studerar man korrelationskoefficienterna så är alla större än 95%. Detta tycker jag känns något onaturligt eftersom vår data tidigare inte visat på en så stor korrelation emellan tillgångarna. Höjer vi variansen hos tillgångarna så får vi tillslut enbart positiva egenvärden. Jag inser dock att man måste höja variansen orimligt mycket för att få det önskvärda resultatet. Så istället väljer jag att sänka kovarianserna mellan tillgångarna och skulderna. Genom att minska alla elementen med en faktor 21 så får vi enbart positiva egenvärden. Vi får då en kovariansmatris som vi kan utföra MV-analys på. Vi har dessutom en rätt trevlig korrelationsmatris, se nedan (Corr) ij =

3 2 Markowitz modellen på vår modifierade kovariansmatris Följande data var given i uppgiften Σ = 3% 2.4% 0.28% 2.4% 2.5% 0.21% 0.28% 0.21% 0.49% µ = E(R 1 ) E(R 2 ) E(R 3 ) E(R l ) = 4% 3% 1.5% 2% σ ll = % Γ = 1 [ ] T 15% 11.25% 5.25% (Efter modifiering) 21 Vi har alltså en avkastning av överskottet som kan skrivas ρ = n w i R i g 0 R l i=1 Kovariansmatrisen för [ R 1 R 2 R 3 R l ] får följande utseende = g g g g 0 T (Cov) ij = Σ ρ = I g ΣI g = σ 11 σ 12 σ 13 σ 1l σ 21 σ 22 σ 23 σ 1l σ 31 σ 32 σ 33 σ 1l σ 1l σ 2l σ 3l σ 1l g g g g 0 Genom att införa en variabel som betecknar vår grad av risktolerans, λ, så får vi följande maximeringsproblem max w [wt µ ρ 1 2λ wt Σ ρ w] Den optimala portföljen som löser detta problem brukar kallas liability benchmark. Jag börjar med att sätta λ = 1 och löser detta för våra två olika fall, g 0 = 0.9 samt g 0 = Vi får då följande resultat g 0 = 0.9 w = ( ) T g 0 = w = ( ) T T 3

4 Det man kan läsa ut ur ovanstående resultat är att desto större våra tillgångar är, desto mindre riskfyllda tillgångar vill vi investera i. Avslutningsvis tänkte jag undersöka hur vikterna i våra investeringar beror av valet av λ. Jag låter därför g 0 = 0.9 och löser problemet för lambda = 0.5 samt λ = 2. Jag får då följande vikter λ = 0.5 w = ( ) T λ = 2 w = ( ) T Man ser att desto högre vår risktolerans är, desto mer vill vi investera i den tillgången med högst förväntade avkastning. 3 - Matlab-koden clc clear close all % Fall 1 g_noll=0.9; % Fall 2 %g_noll=1/0.85; % Tillgångarnas kovariansmatris a = 1; sigma = [3*a *a *a]/100; % Variansen hos vår liability var_rl = ; %var_rl = 1.08; % vektor med kovarianserna emellan R_i och R_L gamma = [ ] /100; %gam = ; %gamma = [gam gam gam] /100; gamma = gamma/21; 4

5 % Väntevärdesvektorn my = [ ] /100; sigma_tilde = [sigma gamma; gamma var_rl]; I = eye(4); I(:,4) = -g_noll; % Skapar kovariansmatrisen kov=i*sigma_tilde*i ; % Skapar korrelationsmatrisen d=diag(kov); korr=kov./sqrt(d*d ) % Testar ifall kovariansmatrisen är pos.semidefinit if find(eig(kov)<0) eigenvalues=eig(kov) disp( Kovariansmatrisen är inte positivt semi-definit ) break else disp( Kovariansmatrisen är positivt semi-definit ) end % Grad av risktolerans lambda = 2; % Tillåtna området för vikt-vektorn LB=[-inf -inf -inf -g_noll]; UB=[inf inf inf -g_noll]; % Nollsätter den linjära termen i målfunktionen F=my; % Nollsätter olikhetsvillkoren A=zeros(4,4); B=zeros(4,1); 5

6 % Våra likhetsvillkor Aeq=[ ]; Beq=1; % Löser maximerinsproblemet [w, fval]=quadprog(1/lambda*kov,-f,a,b,aeq,beq,lb,ub) 6