Farid Bonawiede 2 februari 2006

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Farid Bonawiede 2 februari 2006"

Transkript

1 Inlämningsuppgift 2 Portföljteori, fördjupningskurs Farid Bonawiede fabo02@kth.se 2 februari 2006 Inledning Denna uppgift går ut på att skatta kovariansmatriser för aktier. Datan jag arbetat med är autentisk, och tagen ur S&P500. Jag har valt ut de 50 första aktierna ifrån S&P500. Fyra olika metoder har jag använt mig av för att kunna analysera datan på ett tillförlitligt och intressant sätt. Analysen avslutades med att plocka fram de effektiva fronterna för respektive metod samt de förväntade avkastningarna för min-varians portföljerna. Genomgående arbetade jag med log-returns av aktierna.

2 Innehåll 1 Log-returns Hur är log-return fördelad? Förväntad log-return? Skattning av kovariansmatriser Good Times and Bad Hur avgör man om data är turbulent? Måste man använda samma riskaversion? En-faktor Multi-faktor / PCA Hur många faktorer ska vi välja? Bayesiansk Resultat Good Times and Bad En-faktor Multi-faktor/PCA Bayesiansk Stickprovsskattning Slutsatser 16 5 Appendix: Matlab-koder index.m logga.m goodbad.m onefact.m multifact.m covmarket.m

3 1 Log-returns Eftersom jag sitter med 2010 priser av vardera aktie så kan vi anta att vi har ett fler-period problem. De sammansatta avkastningarna blir enklast att betrakta om vi övergår till log-return istället. Framförallt eftersom vi får en summa av log-returns istället för en produkt av avkastningarna. Skapar således en matris av log-returns för mina 50 aktiers priser. Se 5.2 för Matlabkoden för denna procedur. 1.1 Hur är log-return fördelad? Innan vi börjar analysen så är det intressant att ta reda på hur vår data är fördelad. Normalfördelningen känns naturlig att anta Vi börjar därför med en kvantil-plot (QQ-plot). Vi plottar helt enkelt kvantilerna för normalfördelningen, med väntevärde µ = 0 samt variansen σ 2 = 1, mot kvantilerna för vår datamängd. Se figur 1. Vi ser att de följer varandra ganska bra så länge som kvantilerna är små. Avvikelsen kännetecknar det typiska beteendet för tjocksvansade fördelningar. Kvantilerna för log returns av första tillgången Standard normal kvantilerna Figur 1: Kvantil-plot för N(0, 1)-fördelningen samt första aktiens fördelning För att tydliggöra detta så plottar vi fördelningen för vår datamängd samt normalfördelningskurvan med aktiens skattade varians och skattade väntevärde i samma plot. Se figur 2. Detta bekräftar vår hypotes om att fördelningen är tjocksvansad. Vi observerar även att runt medelvärdet så är den faktiska tätheten högre än normalfördelningen. Även detta är ett typiskt beteende för tjocksvansade fördelningar. 3

4 P(r) r Figur 2: Plot av fördelningen för log-returns av första aktien samt normalfördelningskurvan med aktiens skattade varians och skattade väntevärde 1.2 Förväntad log-return? Vi ska nu ta fram väntevärdet av avkastningen per period för varje aktie. Eftersom vi använder oss av log-returns och skattar väntevärdet med det aritmetiska medelvärdet av våra log-returns så blir det ett rätt så intressant resultat. Låter r = log(x i /X i 1 ) och n vara antalet log-returns. E[r] = log( x 1 x 0 ) + log( x 2 x 1 ) + + log( xn x n 1 ) = log( x 1 x 2 x 0 x 1 n n x n x n 1 ) = log( xn x 0 ) n Man kan givetvis göra andra typer av skattningar. Man kan delvis tänka sig att man tar väntevärdet av alla differenser först och sedan logaritmerar det värdet. Men detta ger inte ett väntevärdesriktigt värde eftersom det inte tar hänsyn till det sammansatta väntevärdet. 2 Skattning av kovariansmatriser Vi ska nu försöka skatta en kovariansmatris som vi senare ska göra minvarians analys på. Anledningarna till varför man kan skatta en kovariansmatris på flera sätt är många. Bland annat kan man tänka sig att man kanske har en viss tro på en viss aktie eller marknad. Och då vill man att detta ska återspeglas i vår portfölj. Detta sker då på ett rättframt sätt om man modifierar kovariansmatrisen på ett sådant sätt så att denne återspeglar det önskade beteendet. 4

5 2.1 Good Times and Bad I denna del ska vi använda en metod som tar hänsyn till stabiliteten hos portföljens parametrar. Erfarenheten har nämligen gett oss informationen om att perioder med hög volatilitet inte jämt följer det mönstret som den gemensamma datan beskriver. Man tänker sig att man delar in datan i två olika mängder. Där den ena innehåller datan som håller sig inom en viss varians. Och där den ena får bestå av data som har hög varians. Genom att sedan tilldela områdena en sannolikhet för att de ska uppträda så kan man byta ut vår kovariansmatris för hela datamängden med följande, och Där Σ = p l Σ l + p t Σ t p l = sannolikheten för lugnt beteende p t = 1 p l = sannolikheten för turbulent beteende Vi gör därefter uppdelning och utnyttjar att våra logreturns är normalfördelade. Enligt Optimal Portfolios in Good Times and Bad 1 är 25% ett bra värde för sannolikheten att vi hamnar i ett turbulent område Hur avgör man om data är turbulent? Man kan tänka sig att man rakt av antar att de 25% av de största avkastningarna är turbulenta. Detta är dock inte statistiskt ett bra val. Vi väljer därför att införa ett avstånd d t som beskriver avståndet ifrån medelvärdet av aversionen. Den beräknas på följande sätt, d t = (r t µ)σ 1 (r t µ) Eftersom r t är normalfördelad så kommer d t att vara χ 2 -fördelad. Vi kan nu införa följande definition, om d t > χ 2 p=0.75 så är r t turbulent Måste man använda samma riskaversion? Nu måste vi dessutom dela upp riskaversionen för de två olika områdena, annars avspeglar sig inte uppdelningen nämnvärt. Det känns naturligt att man är mer aversibel emot ett turbulent beteende än ett lugnt beteende. Inför man λ l och λ t och skalar sedan om de så att summan av de blir 2 får man istället följande kovariansmatris, Σ = λ l p lσ l + λ t p t Σ t Där λ l = 2λ l λ i + λ t och λ t = 2λ t λ i + λ t 1 Publicerad i Journal of Finance (May/June) 1999 av Chow G., Jacquier E., Kritzman M. och Lowry K. 5

6 2.2 En-faktor I denna del ska vi undersöka om vi kan beskriva datan med hjälp av enbart en faktor. Detta leder till att antalet skattade parametrar blir 2N +1 istället för kvadratiskt. Man kan tänka sig flertalet saker som bra faktorer. Generellt kan man brukar man använda index för den börsen som tillgångarna tillhör. I denna laboration har jag använt mig av medelvärdet över alla tillgångarna och skapat ett index för de. Vi vill alltså kunna skriva avkastningen på följande form, r i = a i + b i f m + ɛ i för i = 1,..., 50 Där ɛ kan betraktas som residualen. Vi kräver dock att följande ska gälla för vår residual, Cov(ɛ i, ɛ j ) = 0, i j Vi gör sedan följande skattningar, Cov(ɛ i, f m ) = 0 V ar(ɛ i ) = σ 2 ɛ i V ar(f m ) = σ 2 m β i = Cov(r i, f m ) σ 2 m Vår slutgiltiga kovariansmatris får då följande utseende, 2.3 Multi-faktor / PCA Cov(r i, r j ) = β i β j σ 2 m + 1 [i=j] σ 2 ɛ i Denna uppgift bygger på samma tanke som en-faktor modellen. Rent tekniskt är denna metod svårare. Vi väljer dock en rätt enkel metod som kallas PCA. Den metoden går nämligen ut på att man använder principalkomponenterna som faktorer. Problemet blir som sådant: Givet att vi har avkastningarna r, så vill vi hitta en linjärkombination y 1 = c 1 r, där c c = 1, som ger maximal varians hos y 1. När vi sedan var hittat detta c 1 så söker vi c 2 som maximerar variansen hos y 2 med bivillkoret att Cov(y 1, y 2 ) = 0. Med andra ord ska c 1 vara ortogonal med c 2. Vi fortsätter sedan på detta vis tills vi har fått så många faktorer vi önskar. Detta ger oss följande LP-problem, max c 1 V ar(y 1 ) = V ar(c 1r) = c 1Cov(r)c 1 = c 1Σc 1 6

7 Lagrangefunktionen blir, s.a. c 1c 1 = 1 Derivering ger L = c 1Σc 1 λ 1 (c 1c 1 1) L c 1 = (Σ + Σ )c 1 2λ 1 c 1 = 2Σc 1 2λ 1 c 1 Sätter vi ovanstående till noll så får vi egenvärdesekvationen, (Σ λ 1 )c 1 = 0 Eftersom vi vill maximera variansen får vi följande max c 1Σc 1 = c 1λ 1 c 1 = λ 1 Sammanfattningsvis kan vi dra följande slutsatser. λ 1 motsvarar största egenvärdet och c 1 representeras av motsvarande egenvektor till Σ. Vi önskar nu att applicera denna kunskap när vi ska skatta vår kovariansmatris. Vi skriver avkastningen på följande sätt, r i = βf + ɛ Där F är vår faktorvektor som består av m st komponenter samt att ɛ ses som ett felvärde. β blir vår viktmatris. Följande antaganden gör vi, E[ɛ] = 0 E[F ] = 0 Cov(ɛ) = diag[σ 2 ɛ i ] = Ψ Coc(F, ɛ) = 0 Cov(F ) = I Kovariansmatrisen får följande utseende, Cov(r) = β β + Ψ Vi beräknar λ i och c i med hjälp av Matlab-kommandot eig. Dessa är alltså egenvärden respektive egenvektorer till stickprovskovarianserna S. Vi skattar därefter β för m st faktorer på följande sätt, ˆβ = ( λ 1 c 1 λ m c m ) Avslutningsvis skattar vi Ψ med följande ˆΨ = diag[s ˆβ ˆβ ] 7

8 2.3.1 Hur många faktorer ska vi välja? Man måste nu avgöra hur många faktorer måste vi ta med för att vår kovariansmatris ska kunna ge en bra representation av vår ursprungliga data. Man kan helt enkelt betrakta storleken hos varje egenvärde som hur mycket information av den totala information som ges av respektive egenvärde. Vi skapar därför en funktion som beror av m som ger oss andelen av variansen som vår kovariansmatris beskriver. m i=i f(m) = λ i n i=i λ i En plot av ovanstående funktion ses i figur 3. Studerar man en figuren så ser man att sju faktorer av femtio möjliga räcker för att återgiva 50% av informationen. Vi ska i senare del pröva hur olika antal faktorer på verkar resultatet (avsnitt 3.3). Procent av variansen som representeras % Antal faktorer m Figur 3: Plot av hur många procent som m st faktorer representerar Man kan även studera egenvärdena direkt och välja så många faktorer att derivatan blir någorlunda konstant. Se figur 4. λ i i Figur 4: Plot av egenvärdena i storleksordning 8

9 2.4 Bayesiansk Till grund för denna metod ska vi använda oss av följande artikel, Improved Estimation of the Covariance Matrix of Stock Returns With an Application to Portfolio Selection 2. Jag har valt att utlämna en del av härledningarna för denna metod för att istället koncentrera mig på resultaten den åstadkommer. Denna metod kan liknas Good Times and Bad med avseende på att vi söker en viktning mellan två olika kovariansmatriser. Denna vikt brukar man kalla shrinkage. Det vi vill vikta ihop är dels stickprovskovariansmatrisen och dels en en-faktor modell. Det vill säga följande två, S = 1 T r r F = ˆ σ 2 m ˆβ ˆβ + ˆΨ Vi söker nu en optimal linjärkombination mellan dessa två kovariansmatriser. Denna linjärkombination ska ha så litet förväntat avstånd som möjligt till den verkliga(okända) kovariansmatrisen Σ. Man brukar kalla F får vår prior, det vill säga vår tro på marknaden. Eftersom vi här använder oss av en en-faktormodell känns det rätt naturligt att marknadsindex får vara vår prior. Observera att vår prior och vår stickprovsskattning är oberoende. I artikeln så använder de Frobeniusnormen, varpå jag också gör det. Som defineras på följande sätt för symmetriska matriser, Z 2 F = n n zij 2 = i=1 j=1 n λ 2 i, där λ i är i:e egenvärdet till Z. i=1 Vi söker α så att αf +(1 α)s blir optimal. Detta får vi om vi minimerar följande funktion, R(α) = E[L(α)] = E[ αf + (1 α)s Σ 2 F ] Genom att derivera R(α), sätta den till noll och låta antalet observationer gå emot oändligheten får vi följande vikt α = 1 T π p γ + O( 1 T 2 ) Nu blir det till att förklara parametrarna. α är alltså vår optimala vikt/shrinkage. π beskriver osäkerheten i skattningen S och γ beskriver osäkerheten i skattningen av F. p är ett mått på kovariansen mellan skattningsosäkerheten till S och F. Studerar man ekvationen för α så ser man att då π blir större så blir minskar vikten på S. På samma sätt ser man att då γ blir större så blir minskar vikten på F. Detta känns rätt naturligt. 2 Skriven oktober 2001 av Olivier Ledoit och Michael Wolf 9

10 Se avsnitt 5.6 för detaljer om hur beräkningarna för den bayesianska skattningarna ser ut i Matlab. 3 Resultat Nu antar jag att du som läser detta har förstått vad metoderna går ut på och således är vi redo att ta en titt på vad de ger för resultat. Det vi nu ska ta fram är den effektiva fronten för alla metoder och vikterna för minvariansportföljen samt dess egenvärde och varians. Det LP-problem vi har är följande, max w ˆµ 1 w 2λ w ˆΣw s.a. w i = 1 i Vi ställer upp Lagrange-funktionen och deriverar den med avseende på vikterna samt Lagrange-multiplikatorn. Det ger oss följande ekvationssystem. [ Σ e ] [ µλ w = 1 Löser man detta i Matlab så får man ut vikterna w. Vi kan dessutom generera den effektiva fronten genom att variera riskaversionen λ. Under analysen har vi antagit att endast 1800 av avkastningarna är kända. Genom att anta detta kan vi slutligen kontrollera hur väl vår portfölj beter sig när den utsätts för verklig data. ] 3.1 Good Times and Bad Denna metod kräver att vi analyserar flera olika effektiva fronter eftersom det finns flertalet parametrar att justera. Vi börjar med att kontrollera fallet då vi är lika riskaversibla till de olika utfallen. Vi gör detta för olika sannolikheter för turbulens. Se figur 5. I figuren ser vi då att P = 0 och P = 1 sammanfaller. Detta förklaras av att vi då har samma kovariansmatris eftersom riskaversionen är lika. Faktum är att den effektiva fronten som dessa två kurvor genererar inte är något annat än den effektiva fronten som stickprovsskattningen genererar. Avvikelser har vi dock om P 0, 1. Detta beror på att vi då får en uppdelning av våra utfall. Vi ser även att P = 0.2 har en lägre varians vid min-varianspunkten. Medan P = 0.8 har en något högre. Vi antar nu istället att vi är mer riskaversibla till det turbulenta området och genererar de effektiva fronterna på samma sätt som tidigare. Vi använder oss av λ H = 2 och λ L = 1. Se figur 6. 10

11 Väntevärde µ 6 x P=0 P=0.2 P=0.8 P= Standardavvikelse σ Figur 5: Effektiva fronterna för olika P då vi har samma riskaversion för det turbulenta och det lugna området. 7 x Väntevärde µ P=0 P=0.2 P=0.8 P= Standardavvikelse σ Figur 6: Effektiva fronterna för olika P då vi har olika riskaversion för det turbulenta och det lugna området. Vi får nu en uppdelning som är desto mer spridd än tidigare. Detta beror på att vi prioriterar högre avkastning gentemot risk. P = 1 har högre varians än P = 0, detta beror på att trots att de är baserade på all data så har de ändå olika riskaversioner. För att tydliggöra detta plottar vi den effektiva fronten för P = 0.25 med dels skild riskaversion samt lika riskaversion. Se figur 7. Vi ser här att detta i princip innebär en förflyttning i sidled. Om vi då ska avsluta analysen för denna metod måste vi bestämma oss för parametrar som är vettiga. Enligt artikeln som ligger till grund för denna metod så är P = 0.25 ett bra val. Detta ger oss att 30.9% av vår data klassas som turbulent. Vi sätter dessutom vår riskaversion olika för de olika 11

12 6 x 10 3 Väntevärde µ λ H =λ L =1 λ H =2, λ L = Standardavvikelse σ Figur 7: Effektiva fronterna för P = 0.25 med olika riskaversion. områdena, jag väljer λ H = 2 och λ L = 1. Med λ tot = 2 får vi då följande resultat om vi löser vårt LP-problem, ˆµ = ˆσ 2 = De faktiska värdena för vår portfölj är dock följande, µ = σ 2 = Jag väljer att diskutera dessa resultat när vi har fått fram data för alla metoderna. 3.2 En-faktor På samma sätt som tidigare så varierar jag λ för att få fram den effektiva fronten. Se figur 8. Väntevärde µ 5 x En faktor Stickprovsskattning Standardavvikelse σ Figur 8: Effektiva fronterna för en-faktormodellen och stickprovsmodellen. 12

13 Det man bör observera är att vår en-faktormodell verkar underskatta risken. Detta gäller generellt för hela fronten, men är desto tydligare vid området kring min-varianspunkten. Det här är ingen önskvärd egenskap eftersom vi då kanske investerar i en portfölj som kanske har betydligt högre varians än vi tror. Detta beror delvis på de antaganden vi gör angående oberoendet. Som vi nämnde tidigare så gör vi här enbart 2n + 1 skattningar istället för n 2. Detta innebär i sin tur att vi har tagit bort information som kanske är nödvändig. Avslutningsvis löser vi vårt LP-problem för λ = 2 och får då följande resultat, ˆµ = ˆσ 2 = De faktiska värdena för vår portfölj är dock följande, 3.3 Multi-faktor/PCA µ = σ 2 = Vi börjar med att ta fram de effektiva fronterna för vår multifaktormodell med ett flertal olika antal faktorer m. Se figur 9. 6 x Väntevärde µ m=1 m=5 m=20 m= Standardavvikelse σ Figur 9: Effektiva fronterna för multifaktormodellen med olika antal faktorer. Till att börja med kan jag kommentera att då vi använder oss av alla faktorerna (m = 50) så representerar vår multifaktormodell enbart stickprovsskattningen. I figuren ser vi att min-varianspunkten flyttar sig till snett ner åt vänster då vi plockar bort faktorer. Detta betyder inte att vi får en bättre portfölj om vi tar bort faktorer. Istället beror det helt enkelt på att vi har tagit bort information som beskriver det fulla beroendet, precis på samma sätt som med en-faktormodellen. 13

14 En sak man nu kan fråga sig är ifall vår en-faktormodell skiljer sig ifrån vår multifaktormodell i det fallet då vi endast har en faktor (m = 1). I figur 10 har jag plottat de effektiva fronterna för respektive modell. 5 x Väntevärde µ En faktor Multifaktor, m= Standardavvikelse σ Figur 10: Effektiva fronterna för en-faktormodellen och multifaktormodellen med m = 1. Man ser att dessa kurvor följer varandra relativt bra, men dock skiljer det sig runt min-varianspunkten. Således är skiljer sig vår en-faktormodell ifrån vår multifaktormodell med m = 1. Om vi ska ta fram jämförelsedata för vår multifaktormodell så måste vi bestämma hur många faktorer vi ska ta med. Efter m = 7 så verkar det vara rätt så linjärt emellan återstående egenvärdena. Räknar man fram kvoten så får vi att med 7 stycken faktorer ändå lyckas återspegla 49% av vår totala information. Med λ = 2 och m = 7 får vi följande resultat om vi löser vårt LP-problem, ˆµ = ˆσ 2 = De faktiska värdena för vår portfölj är dock följande, 3.4 Bayesiansk µ = σ 2 = Vi börjar med att ta fram den effektiva fronten för denna metod. Se figur 11. Man ser att vår bayesianskamodell ligger något snett ner åt vänster om stickprovsskattningen. Men en bra bit ifrån en-faktormodellen. Detta är inte så konstigt eftersom i denna metod så använder vi oss som sagt av en optimal vikt mellan stickprovsskattningen och en en-faktormodell. Med våra log-returns så får vi α Med andra ord ger vi stickprovskattningen 13% av vikten och en-faktormodellen 87% av vikten. Detta avspeglas tydligt i figuren. 14

15 8 x 10 3 Väntevärde µ En faktor Bayesiansk Stickprovsskattning Standardavvikelse σ Figur 11: Effektiva fronterna för en-faktormodellen, bayesianska modellen och stickprovsmodellen. Avslutningsvis så löser vi LP-problemet med λ = 2 och vi får följande resultat, ˆµ = ˆσ 2 = De faktiska värdena för vår portfölj är dock följande, 3.5 Stickprovsskattning µ = σ 2 = Avslutar resultatdelen med att ta fram jämförelsedata för stickprovsskattningen med λ = 2 och får då följande resultat när vi löser vårt LP-problem, ˆµ = ˆσ 2 = De faktiska värdena för vår portfölj är dock följande, µ = σ 2 =

16 4 Slutsatser Om man plottar de effektiva fronterna som gäller för våra jämförelsedata (se figur 12) så ser man att en-faktormodellen och multifaktormodellen har betydligt lägre min-varianspunkt än de övriga. 6 x Väntevärde µ Stickprovsskattning Good and Bad, p=0.25 En faktor Multifaktor, m=7 Bayesiansk Standardavvikelse σ Figur 12: Effektiva fronterna för alla modellerna. Om man istället studerar de numeriska resultaten av våra portföljer (se tabell 1) så är det faktiskt en-faktormodellen som har den högsta avkastningen (minsta förlusten, ty alla resulterade i negativa resultat). En sak som är anmärkningsvärd är att de modeller som hade högst skattade varianser var de som gav sämst resultat (Multifaktor och Good Times and Bad). ˆµ µ ˆσ 2 σ 2 Stickprovsskattning En-faktor Multifaktor Good Times and Bad Bayesiansk Tabell 1: Sammanfattning av de numeriska resultaten av väntevärdena och varianserna. 16

17 5 Appendix: Matlab-koder 5.1 index.m clear clc close all %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Beräknar fram logreturn matrisen för de 50 första aktierna % Obeservera att denna data är baserad på att börsen har 251 "öppet-dagar" % per år. logga % Kvantilplot samt fördelningsplot medel = mean(logreturns(:,1)); varians = var(logreturns(:,1)); x = min(logreturns(:,1)):0.015:max(logreturns(:,1)); P = normr(normpdf(x,medel,sqrt(varians))); Y = hist(logreturns(:,1),length(x)); Y = normr(y); bar(x,y), hold on; plot(x,p, k ) shading flat xlabel( r ) ylabel( P(r) ) figure qqplot(logreturns(:,1)) title( ) xlabel( Standard normal kvantilerna ) ylabel( Kvantilerna för log-returns av första tillgången ) figure %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % GOOD-BAD % sigma_gb = goodbad(0.25,3,2); % % One-Factor % sigma_of = onefact; % % Multi-Factor % sigma_mf = multifact(6); % % Bayesian sigma_ba = covmarket(logreturns); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 17

18 sigma = cov(logreturns); % Skattar avkastningen som medelvärdet av alla logreturns mu = mean(logreturns) ; % mu=1/n*log(r_n/r_0); % mu = log(mean(data_diff)) ; lambda = -0.1:0.05:0.8; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %lambda = 2 sigma_gb = onefact; for i=1:length(lambda) % Löser markowitzproblemet %A*w=b; A = [sigma_gb; ones(1,length(mu))]; b = [mu*lambda(i); 1]; w_gb = A\b; % Väntevärde vant(i) = w_gb *mu; % Standardavvikelse var(i)=sqrt(w_gb *sigma_gb*w_gb); end plot(var,vant,.- ), hold on sigma_gb = sigma_ba; for i=1:length(lambda) % Löser markowitzproblemet %A*w=b; A = [sigma_gb; ones(1,length(mu))]; b = [mu*lambda(i); 1]; w_gb = A\b; % Väntevärde vant(i) = w_gb *mu; % Standardavvikelse var(i)=sqrt(w_gb *sigma_gb*w_gb); end plot(var,vant, r ), hold on sigma_gb = sigma; for i=1:length(lambda) % Löser markowitzproblemet %A*w=b; A = [sigma_gb; ones(1,length(mu))]; b = [mu*lambda(i); 1]; w_gb = A\b; 18

19 % Väntevärde vant(i) = w_gb *mu; % Standardavvikelse var(i)=sqrt(w_gb *sigma_gb*w_gb); end plot(var,vant, -- ), hold on %Beräknar väntevärde och varians för den framtida och den historiska datan. vv_pre = w_gb *mu vv_act = w_gb *mean(logreturns_real) var_pre = w_gb *sigma_gb*w_gb var_act = w_gb *cov(logreturns_real)*w_gb xlabel( Standardavvikelse - \sigma ) ylabel( Väntevärde - \mu ) legend( En-faktor, Bayesiansk, Stickprovsskattning ) % Egenvärdesanalys för multifaktormedtoden figure egen=flipud(eig(cov(logreturns))); for i=1:length(egen) E(i)=sum(egen(1:i))/sum(egen); end plot(e*100) xlabel( Antal faktorer - m ) ylabel( Procent av variansen som representeras - % ) 5.2 logga.m % Läser in datan load SP500W.mat % Väljer ut de 50 första raderna DATA_raw = SP500(:,1:50); % Tar fram de relativa avkastningarna DATA_diff = DATA_raw(2:end,:)./DATA_raw(1:end-1,:); % logaritmerar resultatet logreturns = log(data_diff(1:1800,:)); logreturns_real = log(data_diff(1801:end,:)); 19

20 5.3 goodbad.m function [ sigma ] = goodbad(p,t,l) %GOODBAD beräknar fram sigma med sannolikheten p för ett volatilt område. %Riskaversionen T till turbulenta området och L till lugna området. % Beräknar fram logreturn matrisen för de 50 första aktierna logga % Väljer ut 25% som högrisk dagar samt bestämmer sannolikheten för de två % olika utfallen p_high = p; p_low = 1-p_high; % Skapar olika riskaversionen för de två utfallen lamb_high_o = T; lamb_low_o = L; % Tar fram vectorn som ger avståndet till det multivariata medelvärdet mu = mean(logreturns); sigma_tmp = cov(logreturns); diff = logreturns-(mu *ones(1,length(logreturns))) ; d_t = diag(diff*inv(sigma_tmp)*diff ); test_stat = chi2inv(p_low,length(mu)); high = find(d_t>test_stat); low = find(d_t<=test_stat); % Skapar två olika vektorer baserade på vardera område logreturns_high = logreturns(high,:); logreturns_low = logreturns(low,:); % Skattar två olika kovariansmatriser sigma_high = cov(logreturns_high); sigma_low = cov(logreturns_low); % Skalar om riskaverionen lamb_high = 2*lamb_high_o/(lamb_low_o + lamb_high_o); lamb_low = 2*lamb_low_o/(lamb_low_o + lamb_high_o); % Slår ihop de med sannolikheten för vardera som vikt samt med olika % riskaversion. sigma = lamb_high*p_high*sigma_high + lamb_low*p_low*sigma_low; 20

21 5.4 onefact.m function [ sigma ] = onefact( ) %ONEFACT beräknar fram sigma med att anta att marknaden kan beskrivas med %avseende på endast en faktor. % Beräknar fram logreturn matrisen för de 50 första aktierna logga % Börjar med att skapa en marknadsportfölj som baseras på ett index jag % skapar över de 50 olika tillgångarnas medelavkastning. fm = mean(logreturns,2); % Skattar variansen för marknaden var_fm = cov(fm); for i=1:50 temp = cov(logreturns(:,i),fm) / var_fm; beta(i) = temp(2,1); end % Skattar felets varians sigma_epsilon = diag(diag(cov(logreturns)-beta *beta*var_fm)); sigma = beta *beta*var_fm + sigma_epsilon; 5.5 multifact.m function [ sigma ] = multifact(m) %MULTIFACT beräknar fram sigma med att anta att marknaden kan beskrivas med %m antal faktorer än det finns aktier. % Beräknar fram logreturn matrisen för de 50 första aktierna logga % Skattar variansen hos våra parametrar sigma_temp = cov(logreturns); % Tar fram egenvärdena och egenvektorerna [EM EV] = eig(sigma_temp); % Skapar en matris av egenvärdena som går att multiplicera komponentvis EV = rot90(flipud(diag(ev))*ones(1,50)); 21

22 % Flippar egenvektor-matrisen för att de ska överensstämma EM = fliplr(em); % Detta är hela beta som tar hänsyn till alla egenvärden beta = sqrt(ev).*em; % Väljer ut m st faktorer beta = beta(:,1:m); % Skattar variansen hos avvikelsen phi = diag(diag(sigma_temp - beta*beta )); sigma = beta*beta +phi; 5.6 covmarket.m Denna fil är hämtad ifrån function sigma=covmarket(x) % function sigma=covmarket(x) % x (t*n): t iid observations on n random variables % sigma (n*n): invertible covariance matrix estimator % % This estimator is a weighted average of the sample % covariance matrix and a "prior" or "shrinkage target". % Here, the prior is given by a one-factor model. % The factor is equal to the cross-sectional average % of all the random variables. % de-mean returns t=size(x,1); n=size(x,2); meanx=mean(x); x=x-meanx(ones(t,1),:); xmkt=mean(x ) ; % compute sample covariance matrix and prior sample=cov([x xmkt]); covmkt=sample(1:n,n+1); varmkt=sample(n+1,n+1); sample(:,n+1)=[]; sample(n+1,:)=[]; 22

23 prior=covmkt*covmkt./varmkt; prior(logical(eye(n)))=diag(sample); % compute shrinkage parameters (as per theorem 10) d=1/n*norm(sample-prior, fro )^2; y=x.^2; r2=1/n/t^2*sum(sum(y *y))... -1/n/t*sum(sum(sample.^2)); % phi from section B.4 is divided into diagonal % and off-diagonal terms, and the off-diagonal term % is itself divided into smaller terms phidiag=1/n/t^2*sum(sum(y.^2))... -1/n/t*sum(diag(sample).^2); z=x.*xmkt(:,ones(1,n)); v1=1/t^2*y *z-1/t*covmkt(:,ones(1,n)).*sample; phioff1=1/n*sum(sum(v1.*covmkt(:,ones(1,n)) ))/varmkt... -1/n*sum(diag(v1).*covmkt)/varmkt; v3=1/t^2*z *z-1/t*varmkt*sample; phioff3=1/n*sum(sum(v3.*(covmkt*covmkt )))/varmkt^ /n*sum(diag(v3).*covmkt.^2)/varmkt^2; phioff=2*phioff1-phioff3; phi=phidiag+phioff; % compute the estimator shrinkage=max(0,min(1,(r2-phi)/d)) sigma=shrinkage*prior+(1-shrinkage)*sample; 23

5B Portföljteori och riskvärdering

5B Portföljteori och riskvärdering B7 - Portföljteori och riskvärdering Laboration Farid Bonawiede - 89-09 Alexandre Messo - 89-77 - Beräkning av den effektiva fronten för en portfölj Uppgiften går ut på att beräkna de portföljer som ger

Läs mer

5B Portföljteori fortsättningskurs

5B Portföljteori fortsättningskurs 5B1576 - Portföljteori fortsättningskurs Inlämningsuppgift 1 Liability driven Markowitz portfolio optimazation Farid Bonawiede - 831219-0195 fabo02@kth.se Inledning Denna uppgift går ut på att utföra Asset

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x

Läs mer

Homework Three. Farid Bonawiede Samer Haddad Michael Litton Alexandre Messo. 28 november Time series analysis

Homework Three. Farid Bonawiede Samer Haddad Michael Litton Alexandre Messo. 28 november Time series analysis Homework Three Time series analysis Farid Bonawiede Samer Haddad Michael Litton Alexandre Messo 28 november 25 1 Vi ska här analysera en datamängd som består av medeltemperaturen månadsvis i New York mellan

Läs mer

Enkel och multipel linjär regression

Enkel och multipel linjär regression TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0

Läs mer

Lösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller. 14 januari

Lösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller. 14 januari STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Lösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller 14 januari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 14

MVE051/MSG Föreläsning 14 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska

Läs mer

F13 Regression och problemlösning

F13 Regression och problemlösning 1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Laboration 2. i 5B1512, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer

Laboration 2. i 5B1512, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer Laboration 2 i 5B52, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer Namn: Elevnummer: Laborationen syftar till ett ge information och träning i Excels rutiner för statistisk slutledning, konfidensintervall,

Läs mer

Analys av egen tidsserie

Analys av egen tidsserie Analys av egen tidsserie Tidsserieanalys Farid Bonawiede Samer Haddad Michael Litton Alexandre Messo 9 december 25 3 25 Antal solfläckar 2 15 1 5 5 1 15 2 25 3 Månad Inledning Vi har valt att betrakta

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Föreläsning 12: Linjär regression

Föreläsning 12: Linjär regression Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Läs mer

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp

Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp Moment 2 - Linjär regressionsanalys Bertil Wegmann STIMA, IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 1 / 29 Översikt moment 2: linjär

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 7 15 november 2017 1 / 28 Lite om kontrollskrivning och laborationer Kontrollskrivningen omfattar Kap. 1 5 i boken, alltså Föreläsning

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-05-31 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Föreläsning 8: Konfidensintervall

Föreläsning 8: Konfidensintervall Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik

Läs mer

Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning

Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen

Läs mer

Datorövning 1: Fördelningar

Datorövning 1: Fördelningar Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-17 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och

Läs mer

F8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17

F8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17 1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.

Läs mer

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.) Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

1. För tiden mellan två besök gäller. V(X i ) = 1 λ 2 = 25. X i Exp (λ) E(X i ) = 1 λ = 5s λ = 1 5

1. För tiden mellan två besök gäller. V(X i ) = 1 λ 2 = 25. X i Exp (λ) E(X i ) = 1 λ = 5s λ = 1 5 LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tentamen: 29 7 kl 8 3 Matematikcentrum FMSF45 Matematisk statistik AK för D,I,Pi,F, 9 h Lunds universitet MASB3 Matematisk statistik AK för fysiker, 9 h. För tiden mellan

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE30 Sannolikhet, statistik och risk 207-06-0 kl. 8:30-3:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 03-7725348 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen, Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 06.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik

Läs mer

bli bekant med summor av stokastiska variabler.

bli bekant med summor av stokastiska variabler. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF20 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse för diskreta, bivariate

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA

STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 12 December Linda Wänström (Linköpings universitet) LONGITUDINELLA DATA 12 December 1 / 12 Explorativ Faktoranalys

Läs mer

Demonstration av laboration 2, SF1901

Demonstration av laboration 2, SF1901 KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning

Läs mer

Inledning till statistikteorin. Skattningar och konfidensintervall för μ och σ

Inledning till statistikteorin. Skattningar och konfidensintervall för μ och σ Inledning till statistikteorin Skattningar och konfidensintervall för μ och σ Punktskattningar Stickprov från en population - - - Vi vill undersöka bollhavet men får bara göra det genom att ta en boll

Läs mer

LKT325/LMA521: Faktorförsök

LKT325/LMA521: Faktorförsök Föreläsning 2 Innehåll Referensfördelning Referensintervall Skatta variansen 1 Flera mätningar i varje grupp. 2 Antag att vissa eekter inte existerar 3 Normalfördelningspapper Referensfördelning Hittills

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 augusti 2008 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

repetera begreppen sannolikhetsfunktion, frekvensfunktion och fördelningsfunktion

repetera begreppen sannolikhetsfunktion, frekvensfunktion och fördelningsfunktion Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF25: MATEMATISK STATISTIK KOMPLETTERANDE PROJEKT DATORLABORATION 1, 14 NOVEMBER 2017 Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska träna

Läs mer

GMM och Estimationsfunktioner

GMM och Estimationsfunktioner Lunds Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 GMM och Estimationsfunktioner I laborationen möter du två besläktade metoder för att estimera

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret

Läs mer

DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03. bli bekant med summor av stokastiska variabler.

DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03. bli bekant med summor av stokastiska variabler. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära

TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen TAMS65 - Mål Kursens övergripande mål är att ge

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016

Läs mer

Laboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08

Laboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka

Läs mer

Föreläsning 3: Konfidensintervall

Föreläsning 3: Konfidensintervall Föreläsning 3: Konfidensintervall Johan Thim (johan.thim@liu.se) 5 september 8 [we are] Eplorers in the further regions of eperience. Demons to some. Angels to others. Pinhead Intervallskattningar Vi har

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1913 MATEMATISK STATISTIK FÖR IT OCH ME ONSDAGEN DEN 12 JANUARI 2011 KL 14.00 19.00. Examinator: Camilla Landén, tel. 7908466. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp

Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp Sid (7) Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp Uppgift Nedanstående beräkningar från Minitab är gjorda för en Poissonfördelning med väntevärde λ = 4.

Läs mer

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik

Läs mer

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels 7.5 Experiment with a single factor having more than two levels Exempel: Antag att vi vill jämföra dragstyrkan i en syntetisk fiber som blandats ut med bomull. Man vet att inblandningen påverkar dragstyrkan

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Väntevärde, varians, standardavvikelse, kvantiler Uwe Menzel, 28 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Väntevärdet X : diskret eller kontinuerlig slumpvariable

Läs mer

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 7: Punktskattningar Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT Jointly distributed Joint probability function Marginal probability function Conditional probability function Independence

Läs mer

FÖRELÄSNING 7:

FÖRELÄSNING 7: FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

1/23 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet

1/23 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet 1/23 REGRESSIONSANALYS F4 Linda Wänström Statistiska institutionen, Stockholms universitet 2/23 Multipel regressionsanalys Multipel regressionsanalys kan ses som en utvidgning av enkel linjär regressionsanalys.

Läs mer

1. Lära sig plotta en beroende variabel mot en oberoende variabel. 2. Lära sig skatta en enkel linjär regressionsmodell

1. Lära sig plotta en beroende variabel mot en oberoende variabel. 2. Lära sig skatta en enkel linjär regressionsmodell Datorövning 1 Regressions- och tidsserieanalys Syfte 1. Lära sig plotta en beroende variabel mot en oberoende variabel 2. Lära sig skatta en enkel linjär regressionsmodell 3. Lära sig beräkna en skattning

Läs mer

FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Johan Helsing, 11 oktober 2018 FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Inlämningsuppgift 3 Sista dag för inlämning: onsdag den 5 december. Syfte: att träna på att hitta lösningar

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel Stokastiska egenskaper hos aktiepriser Finansmatematik II För att kunna

Läs mer

TMS136. Föreläsning 13

TMS136. Föreläsning 13 TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra

Läs mer

Lösningsförslag till inlämningsuppgift 3 i Beräkningsprogrammering Problem 1) function condtest format compact format long

Lösningsförslag till inlämningsuppgift 3 i Beräkningsprogrammering Problem 1) function condtest format compact format long Lösningsförslag till inlämningsuppgift 3 i Beräkningsprogrammering Problem 1) function condtest format compact format long % Skapa matrisen A med alpha=1 A = [1 2 3; 2 4 1; 4 5 6]; b = [2.1; 3.4; 7.2];

Läs mer

2.1 Mikromodul: stokastiska processer

2.1 Mikromodul: stokastiska processer 2. Mikromodul: stokastiska processer 9 2. Mikromodul: stokastiska processer 2.. Stokastiska variabler En stokastiskt variabel X beskrivs av dess täthetsfunktion p X (x), vars viktigaste egenskaper sammanfattas

Läs mer

Konvergens för iterativa metoder

Konvergens för iterativa metoder Konvergens för iterativa metoder 1 Terminologi Iterativa metoder används för att lösa olinjära (och ibland linjära) ekvationssystem numeriskt. De utgår från en startgissning x 0 och ger sedan en följd

Läs mer

Föreläsning 7: Stokastiska vektorer

Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Johan Thim johanthim@liuse oktober 8 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX = µ X, V X = σx, EY = µ Y samt V Y = σy Kovariansen CX, Y definieras

Läs mer

MICROECONOMICS Mid Sweden University, Sundsvall (Lecture 6) Peter Lohmander &

MICROECONOMICS Mid Sweden University, Sundsvall (Lecture 6) Peter Lohmander   & MICROECONOMICS 2018 Mid Sweden University, Sundsvall (Lecture 6) Peter Lohmander www.lohmander.com & Peter@Lohmander.com Föreläsningens innehåll: Variance, covariance och correlation Diversifiering och

Läs mer

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels Exempel: Antag att vi vill jämföra dragstyrkan i en syntetisk fiber som blandats ut med bomull. Man vet att inblandningen påverkar dragstyrkan och att en inblandning mellan 10% och 40% är bra. För att

Läs mer

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk

Läs mer

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 7: Punktskattningar Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska

Läs mer

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 februari

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 februari STOCKHOLMS UIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 februari 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida

Läs mer

Exempel på tillämpad portföljoptimering

Exempel på tillämpad portföljoptimering 1 File = Applied portfolio Lohmander 090910 Exempel på tillämpad portföljoptimering Av Peter Lohmander 2009-09-10 Orientering Detta dokument illustrerar metodiken för portföljoptimering. Det är framtaget

Läs mer

Datorövning 1 Fördelningar

Datorövning 1 Fördelningar Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5HP FÖR E, HT-15 Datorövning 1 Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet

Läs mer

3 Maximum Likelihoodestimering

3 Maximum Likelihoodestimering Lund Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 Parameterestimation och linjär tidsserieanalys Denna laborationen ger en introduktion till

Läs mer

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 1 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Kursens uppbyggnad 9 föreläsningar Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan 5 lektioner Uppgifter från kursboken enligt planering 5 laborationer

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012

Läs mer

LMA522: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA522: Statistisk kvalitetsstyrning Föreläsning 5 Föregående föreläsningar Acceptanskontroll: Konsten att kontrollera producerade enheter så att man kan garantera kvalitet samtidigt som kontrollen inte blir för kostsam att genomföra Dagens

Läs mer

Kovarians och kriging

Kovarians och kriging Kovarians och kriging Bengt Ringnér November 2, 2007 Inledning Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet vid LTH. 2 Kovarianser Sedan tidigare har vi, för oberoende X och Y, att VX + Y ) = VX)

Läs mer

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6):

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6): EM-fotboll 2012 några grafer Sport är en verksamhet som genererar mängder av numerisk information som följs med stort intresse EM i fotboll är inget undantag och detta dokument visar några grafer med kommentarer

Läs mer

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska

Läs mer

TMS136. Föreläsning 4

TMS136. Föreläsning 4 TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik

Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik Tentamen MVE32 Sannolikhet och statistik 219-6-5 kl. 8:3-12:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Oskar Allerbo, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.

Läs mer

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 17 februari

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 17 februari STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 17 februari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312,

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-10-12 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri

Läs mer