Introduktion till statistik för statsvetare

Transkript

1 "Det finns inget så praktiskt som en bra teori" September 2011

2 Inledning Introduktion till demografi Inledning Demografer (befolkningsanalytiker) studerar befolkningens sammansättning och dess förändringar. Dessa studier kan delas in i två huvudtyper - tvärsnittsdata och perioddata. Tvärsnittsdata ger en "ögonblicksbild" av hur det ser ut just nu tex hur antalet arbetslösa fördelar sig på olika yrkesgrupper. Perioddata talar om förändring tex att antalet arbetslösa byggnadsarbetare sjunker och antalet arbetslösa programmerare ökar. Vetenskapen demografi har många användningsområden: militär, skatt, medicin, ekonomi, skolor osv.

3 Inledning Den svenska befolkningsutvecklingen under 200 år Sverige 200 år Den svenska befolkningsutvecklingen under modern tid Riket, län och kommuner

4 Inledning Den allmäna befolkningsekvationen Befolkningen B t förändras från år t till år t + 1 genom 1 antal födda (F t,t+1 )/antal döda (D t,t+1 ) 2 antal inflyttade (I t,t+1 )/antal utflyttade (U t,t+1 ) Vi har därför sambandet B t+1 = B t + (F t,t+1 D t,t+1 ) + (I t,t+1 U t,t+1 ) där t står för tidpunkt (år). Med dessa beteckningar införs följande tal µ (Födelsetal, Dödstal. Inflyttningstal och Utflyttningstal) µ f = F t,t+1 B t+0.5 µ d = D t,t+1 B t+0.5 µ i = I t,t+1 B t+0.5 µ u = U t,t+1 B t+0.5 Oftast undertrycks index. Observera att man mäter befolkningen vid årets mitt därav t

5 Definitioner Introduktion till demografi Definitioner Exempel I vårt studium av dödstalen behöver vi dessa specificerade för ålder. Definiera därför nd x = dödsfall i åldersgruppen x, x + n år nb x = befolkningen juni/juli i åldersgruppen x, x + n år vilket ger oss nm x = n D x nb x = Dödstal för åldersgruppen x, x + n år

6 De allmänna dödstalen Definitioner Exempel Betrakta tabellen Ålder x nb x n D x n M x Total Det allmäna dödstalet för denna befolkning blir nb x M = nm x x B = = 0.04

7 De allmänna dödstalen Definitioner Exempel Om vi istället har tabellen Ålder x nb x n D x n M x Total så erhålls det allmäna dödstalet till M = = 0.6 Slutsats: Dödstalet beror starkt på befolkningens fördelning.

8 Definitioner Exempel De allmänna dödstalen standardisering Betrakta tabellen Land A Land B Ålder nb x n M x n B x n M x av vilken framgår att Land B har högre dödstal än Land A. Dödstalen för de två länderna blir M A = = M B = = och nu är dödstalet för Land B mindre än det för Land A.

9 Definitioner Exempel De allmänna dödstalen standardisering (forts) Om båda länder har samma befolkningsfördelning som Land A M A = = M B = = Om båda länder har samma befolkningsfördelning som Land B M A = = M B = = Nu har återigen Land B högre dödstal än Land A. Slutsats: Det är viktigt att ta hänsyn till befolkningens fördelning.

10 Präster och järnvägsmän Definitioner Exempel Betrakta tabellen Präster Järnvägsmän Ålder nb x n D x n M x n B x n D x n M x Av tabellen följer att i varje åldersgrupp har prästerna en lägre dödlighet än järnvägsmännen.

11 Präster och järnvägsmän (forts) Definitioner Exempel För de allmänna dödstalen finner vi M P = = samt M J = = Nu har prästerna en högre dödlighet än järnvägsmännen!

12 Definitioner Exempel Präster och järnvägsmän standardisering Om prästerna har samma fördelning som järnvägsmännen samt M P = = M J = = så har återigen järnvägsmännen högre dödstal än prästerna.

13 Definitioner Exempel Präster och järnvägsmän standardisering (forts) Om järnvägsmännen har samma fördelning som prästerna samt M P = = M J = = så har återigen järnvägsmännen högre dödstal än prästerna.

14 Inledning Introduktion till demografi Inledning Slumpvariabler Förväntad återstående livstid Dödlighetsintensiteten Problemet med det angivna angreppssättet är att det förenklar för mycket. Det är som att titta på fotografier istället för video. Tex får man inget svar på frågor som 1 hur många av dagens 20-åringar lever om 50 år? 2 vad är den förväntade livstiden för en nyfödd? 3 hur många av dagens åringar kommer att leva till pension? 4 hur många av dagens åringar kommer att uppbära pension i k år? 5 finns det ett sätt, som ej inför godtycklig standardisering, att jämföra dödligheten mellan länder

15 De aukturiella variablerna Inledning Slumpvariabler Förväntad återstående livstid Dödlighetsintensiteten Sätt T (x) = återstående livstid för en x åring och beteckna dess fördelning med G (t) = P (T (x) t) = t q x. Vi skriver även t p x = 1 G (t). Vi har således att tq x = sannolikheten att en x åring dör inom t år tp x = sannolikheten att en x åring lever i mer än t år och med dessa beteckningar framgår klart att man tar hänsyn till aktuell ålder x.

16 Förväntad återstående livstid Inledning Slumpvariabler Förväntad återstående livstid Dödlighetsintensiteten Eftersom vi nu har en sannolikhetsmodell för en x-årings återstående livstid kan vi beräkna dennes förväntade återstående livstid. Detta förväntningsvärde är e x = E (T (x)) = 0 (1 G (t)) dt = 0 tp x dt tp x t=1 där den sista approximationen är en enkel matematisk konsekvens. Definiera nu variabeln l x = antal personer som fortfarande lever vid x års ålder vilken har den stora fördelen att den kan mätas. Nu erhålls att tp x l x +t l x

17 Förväntad återstående livstid (forts) Inledning Slumpvariabler Förväntad återstående livstid Dödlighetsintensiteten Härav följer att e x l x +t tp x = t=1 l x +t t=1 t=1 l x l x Den förväntade återstående livslängden för en x-åring är således approximativt t=1 l x +t l x och svaret på problem två är därför t=1 l 0+t l 0 Vi besvarar därefter fråga fem och överlåter de andra till läsaren

18 Dödlighetsintensiteten Inledning Slumpvariabler Förväntad återstående livstid Dödlighetsintensiteten Med vilken intensitet dör folk i den aukturiella modellen dvs vad blir motsvarigheten till dödstalen. För att besvara denna fråga studerar vi proportionen dödsfall i ett intervall och betraktar då sannolikheten för att antalet som överlevt tiden s har dött vid tiden s + t. Denna proportion kan skrivas P (T x s + t givet T x s) = Kvoten G (s + t) G (s) 1 G (s) G (s) 1 G (s) t µ x +s = G (s) 1 G (s) = d d ds (1 G (s)) ds = s p x 1 G (s) sp x kallas dödlighetsintensiteten för en x-åring vid tiden x + s.

19 Inledning Slumpvariabler Förväntad återstående livstid Dödlighetsintensiteten Denna dödlighetsintensitet kan nu skrivas om i funktionen l x och kan därmed mätas. Vi har tex för intervallet (s, s + 1) att µ x +s = d ds s p x sp x = l x +s l x +s+1 l x +s l x +s+1 l x l x +s l x l x +s l x = 1 l x +s+1 l x +s varför µ x +s blir kvoten mellan dem som dött i tidsintervallet (s, s + 1) och de som levde vid tid s. Vi drar oss nu till minnes att dödstalet n M x definierades på precis detta sätt. Därmed har vi nu en finare definition av dödligheten - som kan grovapproximeras med dödstalet. Än bättre är att denna nya definition baseras på en statistisk modell och därmed kan svar ges på de initiala frågorna.

20 Har Sverigedemokraterna rätt? Har Sverigedemokraterna rätt? Befolkningsförändringen under 9 år Sverigedemokraterna har fört upp invandringspolitiken på den politiska agendan. Följande citat kommer från deras hemsida "Vi vill förbättra invandringspolitiken genom att resurser inriktas på att hjälpa människor på plats i sina hemländer istället för fortsatt massinvandringspolitik." Förekommer det en massinvandring? Låt oss börja på SCBs hemsida men först en definition Definition Personer med utländsk bakgrund definieras som personer som är: Utrikes födda, eller inrikes födda med två utrikes födda föräldrar. Sen besöker vi SCB:s hemsida Utländsk/svensk bakgrund

21 Befolkningsförändringen under 9 år Har Sverigedemokraterna rätt? Befolkningsförändringen under 9 år

22 Har Sverigedemokraterna rätt? Befolkningsförändringen under 9 år Vi kan även illustrera invandringens påverkan med hjälp av SCBs statistikatlas Statistikatlas Kartor per ämnesområde

23 Kartor med framskrivning Har Sverigedemokraterna rätt? Befolkningsförändringen under 9 år Utländsk bakgrund i Sveriges kommuner