Konkretisering av matematikundervisningen i Mattelandet

Transkript

1 Konkretisering av matematikundervisningen i Mattelandet Att undervisa matematik är som att bygga ett hus. Grunden bör vara stark och varje ny våning måste passa in i den föregående. När grunden är färdig och byggnaden tagit form kan man börja utsmyckningen av byggnaden. Fritt citerat var det här inledningsorden till en kurs, som två ungerska lärarutbildare, professor Julianna Szendrei och lektor Eszter Neményi, höll för lärare i Helsingfors hösten De hade båda haft förmånen att vara elever till Tamás Varga, den kända ungerska matematikern som förnyade matematikundervisningen i Ungern på 1970-talet. Han ansåg, att även små barn har rätt att lära sig riktig matematik såsom kombinatorik, sannolikhetslära och geometri för att ta några exempel. Ett år tidigare fick jag chansen att vara med om ett stort, symboliskt husbygge. Några lärare i Helsingforsregionen resonerade så här: Om man vill förkovra sig i engelska, reser man till England. Samma sak gäller tyska. Tyskland bjuder på kunskap och inspiration för den som önskar fördjupning i det tyska språket. Den fråga vi ställde oss var: "Vart reser den lärare eller elev som längtar efter förnyelse och inspiration i matematik?" Svaret var givet:" Till Mattelandet!" Efter en arbetsprocess som tog ca ett halvt år hade vi skapat ett Matteland underlydande utbildningsverken i Helsingfors och Esbo. Undervisningscheferna Gunborg Gayer och Irmeli Halinen var fördomsfria då de gav projektet sitt stora stöd. Jag arbetar som svenskspråkig, halvtidsanställd konsult i Helsingfors Matteland. Min kollega Hannele Ikäheimo, den stora drivkraften bakom projektet, skötte från första början den finskspråkiga sidan. Idag har vi ytterligare Eija Voutilainen som vår kollega. Anders Johansson fungerar som en tilläggsresurs på svenskt håll, bekostad av STV, Svenska tekniska vetenskapsakademien i Finland. I huvudstadsregionen har Esbo och Vanda numera var sina egna Matteland. Mattelandet en fysisk plats och en pedagogisk idé. I Mattelandet vill vi stöda och inspirera lärare och elever till goda insikter i matematikens begreppsvärld. Vi fungerar över språk- och stadiegränser. Verksamheten riktar sig till lärare och elever från stadens svensk- och finskspråkiga skolor. Besökarna representerar alla stadier, från förskola till gymnasium. Sedan starten hösten 2000 har vi haft mer än 1000 besökare i vårt lilla, men vackra utrymme. Det är viktigt att personer från många olika instanser möts för att ta del av varandras erfarenheter angående matematikundervisning. Vi samarbetar med läromedelsförfattare, materialutvecklare inom utbildningen och forskare och skolfolk från olika sektorer. Vi har också kontakt med arrangörer av lärarfortbildning såsom Palmenia/SVUX, ARCADA, UBS och matematiklärarförbundet MAOL. En arbetsform som väckt speciellt intresse är den centralt utbjudna kursen (CUK) för gymnasieelever, som ordnats i två års tid. Vi samlade gymnasieelever som var intresserade av att bekanta sig med lärarrollen. De fick teoretisk undervisning i Mattelandet omfattande tips för undervisning av matematik. Därefter fick de göra undervisningsövningar på fältet handledda av ordinarie lärare. Eleverna valde själva det skolstadium som intresserade dem. Efter avklarad kurs fick eleven sitt namn antecknat på en lista för hjälplärare i matematik. Till vår stora glädje har skolorna använt sig av eleverna i olika sammanhang. Detta år får CUK-kursen formen av en stödkurs för gymnasieelever som vill förkovra sig i skolmatematiken. Vi tror på konkretisering av undervisningen med ord, bilder eller annat material. Inlärningsmetoderna bör leva med verkligheten i skolan. För tillfället skolar vi i vårt land hela årskullar sammanhållna i 9 år. Efter det fortsätter större delen av eleverna i gymnasiet eller yrkesskolor. Eleverna undervisas sammanhållet, men de har olika inlärningsstilar. Därför bör det också finnas varierande undervisningsmetoder. Matematikens abstrakta språk och form tilltalar många, men ger problem åt andra. I Mattelandet använder vi konkret material för att föra de matematiska sanningarna närmare eleverna och deras begreppsvärld. Målet är klara matematiska begrepp för alla elever. Vägen dit ser olika ut för olika elever. Ett kinesiskt ordspråk säger: Det du hör glömmer du Det du ser minns du Det du gör förstår du. Den pedagogiska idén i Mattelandet är starkt förknippad med konkretisering. Därför vill jag förklara vad jag avser med att konkretisera matematikundervisningen. Då skiljer jag på två begrepp: tillämpning och konkretisering. Att tillämpa matematiken är naturligtvis en viktig del av matematikundervisningen. Läraren ger uppgifter som tangerar elevens verklighet. Eleven får en känsla av vad hon kan använda sitt matematiska kunnande till. Det har hänt, att en elev, som upplevt teoretiska studier ansträngande, har frågat: Vad skall vi ha allt detta till? Som lärare känner jag mig generad inför frågan. Jag upplever mig ha misslyckats i min uppgift. Eleven har inte sett att

2 matematiken har ett egenvärde som sådan, även om vi inte tillämpar den! En gymnasieelev sade en gång, att han gillar matematik för att den övar honom i att tänka. Trots att matematikstudier har denna fantastiska dimension måste undervisningen i allmänbildande skolor ta fasta på två aspekter. Vi bör syssla med rena tillämpningsuppgifter vilket ger en naturlig konkretisering av det inlärda, men vi bör också konkretisera begrepp och regler för att göra undervisningen mångsidig och begriplig för eleverna. För mig är konkretisering att hjälpa eleven till förståelse av teoretiska begrepp. Metoderna och hjälpmedlen vid konkretisering kan variera. Själv upplever jag mig konkretisera begrepp när jag använder mitt språk till att förklara samt belysa en, för eleven, ny sanning på olika sätt. Mitt jobb i Mattelandet omfattar alla skolstadier från förskola till gymnasium. Genom kontakten med material, avsett för de lägre klasserna, fick jag upp ögonen för att det går att konkretisera matematiska begrepp med enkla hjälpmedel också i de högre klasserna. Konkretiseringen sker i samband med introduktionen av nya begrepp och regler. Eleven får röra vid material och stimulerar på så sätt flera sinnen. Konkretiseringen löper som en röd tråd genom inlärningssituationen. Tillämpningen däremot kommer oftast efter att begreppen och reglerna är inlärda. För en person som redan har klart för sig ett begrepp kan konkretisering ge en härlig känsla av bekräftelse: Det stämmer! I synnerhet lärare, som lärt sig hela matematikens begreppsvärld med hjälp av sin ofta höga abstraktionsförmåga, kan kontakten med material för konkretisering bli en stark upplevelse. Äntligen får jag en möjlighet att sätta liv på min undervisning, tänker många. Om vi beaktar strukturförvandlingarna som våra skolor genomgått så är det klart att även vetenskapernas drottning, matematiken, måste få nya inlärningsmetoder. Det är tufft att undervisa MATEMATIK, medan räknekonst är betydligt lättare att lära ut. Som lärare har jag många gånger varit tvungen att köpslå med mitt samvete när tiden avsatt för undervisning ofta är knapp. Det är lätt att lära ut modelller som ger eleven möjlighet att få rätt svar på enkla uppgifter. Till det behövs ingen konkretisering. Man bara tutar och kör, förenklar och drillar. Om man däremot vill att eleverna skall få förståelse för begrepppen och kunna använda dem i framtiden så måste metoderna vara noga genomtänkta. Materialet skall fram och undervisningen kräver tid för eftertanke. Somliga elever anser det onödigt med konkretisering. De känner sig förolämpade när läraren tar till enkla redskap för att undervisa dem. Det är övergående, för det har visat sig att även de skickligaste har något att hämta av en undervisning med konkret material. Men läraren bör vara säker på vad hon gör och ha helt klart för sig vart hon är på väg. Annars blir det lätt fiasko. Eleverna är känsliga för stämningen i klassen. Lärarens osäkerhet sprider sig lätt i gruppen. När läraren känner sig trygg finns det plats för frågor, reflektion och diskussion. Ibland kan man visa materialet på OH, men det är också viktigt att eleverna får röra vid det med egna händer. På så sätt kan de gå vidare och upptäcka sammanhang som läraren kanske inte själv hade tänkt på. För att underlätta mitt jobb i Mattelandet har jag satt ihop ett material kallat Första hjälpen lådan. Som namnet avslöjar är det avsett för lärare som ett startpaket. Lådan innehåller nio material, vilka alla kan användas för matematikundervisningen igenom hela skolan. För att kort beskriva materialet börjar jag gärna med en uppgift som definitivt öppnade mina ögon för behovet av och möjligheterna till en förändring av mina undervisningsmetoder. "Bevisa att n 3 -n ar delbart med 6 da 2", lod uppgiften som tilldelades elever i forsta gymnasieklass. De klarade av att hyfsa uttrycket till n(n 1)(n+1). Därefter var det stopp eftersom de hade svårigheter med att dra slutsatser av resultatet. De saknade erfarenheten att vart tredje tal är delbart med 3. Den kan man låta dem få redan i tidig ålder. En talremsa rullas runt en Tobleroneask och saken är klar. Bild 1.

3 Bild 1. Efter det kan vi gå över till färgggranna knappar för att visa mera om delbarhet. På en 100-ruta kan man förstärka erfarenheterna från "Toblerone"-experimentet genom att rada olikfärgade knappar på vartannat respektive vart tredje tal. Mönstren väcker elevens intresse och stämmer till eftertanke! Ett begrepp som primtal går lätt att visa med samma knappar. Kvadreringsregeln står sedan i tur. Bild 2. Bild 2. Kvadratrotsbegreppet konkretiseras på geobrädet. Likformighetsbegreppet kan göras läckert med bitar i geometriska former. Bild 3. Bild 3. Möjligheterna är obegränsade I början av vår verksamhet skrev en ivrig journalist: I Mattelandet, där allt är möjligt, löser man andragradsekvationer med färggranna knappar. Vad personen avsåg var konkretiseringen av kvadreringsregeln. Jag var en aning orolig att missförståndet skulle väcka sensation i lärarkretsar och tillströmningen till Mattelandet skulle öka ytterligare. Tack och lov kom ingen nyfiken då för att se mig lösa andragradsekvationer med färggranna knappar som hjälpmedel! Idag däremot skulle det ordna sig. Plötsligt en dag, då jag skulle lära gymnasister att lösa ekvationer av andra graden, kom jag på ett

4 sätt att lätta upp lektionen. Vi löste ekvationer av typen x 2 x = 6 respektive x 2 x = 12. Materialet var faktisk de färggranna knapparna som journalisten talat om. Bild 4. Bild 4. Konkretiseringen av ekvationerna ovan var naturligtvis avsedda att ge eleverna en bild av en i övrigt helt teoretisk uppställning. Men konkretiseringen ersätter aldrig den teoretiska undervisningen och det långsiktiga övningsarbetet. Exemplet ovan ger dessutom en bild av utbrytningen av x. Om man betraktar uppställningen syns det att x 2 x också kan uppfattas som x(x 1). Mönstren i matematiken är som god konst. Vid konkretisering med material kommer mönstren, det allmängiltiga, ofta fram. Ibland stöter man på dem som en biprodukt. En annan gång är avsikten att plocka fram dem. Mönstren ger också eleven stöd för minnet. Som exempel pekar jag på konkretisering av ett binom upphöjt i två respektive i tre. Vi bygger (10+1) 2 respektive (10+1) 3 med tiobasmaterial. Bild 5. Bild 5. Då vi betraktar den senare skapelsen uppifrån, ser vi den tidigare versionen konkretiserad på kubens ena sida. Den tvådimensionella versionen finns inbyggd i den tredimensionella versionen. Eleven kan på detta sätt stimuleras till tankeutflykter. "Hur månne en fyrdimensionell version av regeln skulle se ut?", är inte en omöjlig fråga i detta sammmanhang. Det sägs att bildning är det som blir kvar när man glömt det man lärt sig. Jag tror att det är viktigt att inlärningen ger upplevelser som berör. Man kan öva upp sitt matematiska gehör så att man känner på sig när man går vilse vid lösningen av olika uppgifter. En god taluppfattning är också oerhört viktig för att eleverna skall få ut något av matematikstudierna. Den behövs för att man skall kunna associera rätt vid val av lösningsmetoder. Jag har frapperats av att samma material kan användas i matematikundervisningen på alla stadier. Det är som om de matematiska sanningarna är så mångfasetterade att det i alla sammanhang går att visa på en sida av dem. Som lärare glömmer man

5 lätt att eleverna vi undervisar har ett förflutet och en framtid. Var och en av oss har dem till låns en kort tid av deras liv. Det är vår uppgift att försöka ge dem en så inspirerande undervisning som möjligt under den tid de är deponerade i vårt klassrum. Artikeln baserar sig på ett föredrag som Karin Kairavuo höll vid öppningen av nasjonalt senter for matematikk i opplaeringen i Norge, Trondheim. Till vardags fungerar hon som lektor i matematik vid gymnasiet Lärkan och som matematikkonsult vid Mattelandet i Helsingfors. Mattelandet finns i Mediecentralen vid Backasgatan 84 Hemsida: (välj sedan Helsingfors för svensk text) mattelandet@edu.hel.fi