Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken

Transkript

1 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken Anders Källén MatematikCentrum LTH Sammanfattning I det här kapitlet ska vi titta lite på vilka olika typer av 2Dytor som finns. Här betyder olika ur topologisk synvinkel, vilket betyder att vi ser våra ytor som gjorda av ett gummimaterial så att vi kan förändra dess form utan att ändra ytan, så länge som vi inte sliter sönder den. Vi ser hur vi kan karakterisera vilka olika 2D-ytor som finns genom ett speciellt tal, Eulerkarakteristiken, och hur man beräknar denna.

2 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 1 (20) 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi diskutera (2-dimensionella) ytor ur en topologisk synvinkel. Löst uttryckt betyder detta att vi betraktar två ytor som identiska om man kan modellera om den ena till den andra utan att skapa (permanenta) snitt i den. Mer matematiskt: om det finns en kontinuerlig bijektion mellan ytorna betraktar vi dem som samma yta. Man säger då att ytorna är homeomorfa. Vi börjar diskussionen med något som bevaras under en kontinuerlig avbildning: en triangulering av ytan, vilket innebär att vi täcker ytan med ett lapptäcke av (krökta) trianglar. Trianguleringar av homeomorfa ytor svarar då mot varandra och det finns ett tal, Euler-karakteristiken, som förblir detsamma för alla trianguleringar på en given yta. Euler-karakteristiken blir därför ett tal som bara beror på ytan, och är samma för alla homeomorfa ytor. Två ytor som har olika Euler-karakteristiker kan därför inte vara homeomorfa! När vi tänker på ytor måste vi i praktiken tänka på dem som en delmängd av rummet. Men en topologisk yta är ett abstrakt objekt som inte ligger i något rum. Vårt mål är att klassificera vilka (ekvivalensklasser) som finns av sådana ytor. För det går vi först igenom ett antal standardtyper av ytor. Dessa omfattar både orienterbara och icke-orienterbara sådana. Om vi har en triangulering på en yta kan vi alltid orientera en triangel (dvs välja en sida på denna), och sedan ge angränsande trianglar samma orientering. Men det är långt ifrån säkert att vi kan orientera alla trianglarna i en triangulering på detta sätt. Om vi kan sägs ytan vara orienterbar. När vi gjort detta ska vi visa att våra exempelytor utgör en katalog på vilka ytor som finns på homeomofier när. Vi ska se att de olika ekvivalensklasserna karakteriseras av huruvida ytan är orienterbar eller inte orienterbar och av vilken Euler-karakteristik den har. 2 Triangulering av plana polygonområden Att triangulera ett område är detsamma som att dela upp det i trianglar på sådant sätt att inget hörn på en triangel ligger på sidan till en annan triangel, om vi inte räknar hörnen till sidan. De linjestycken som utgör sidorna i trianglarna kallar vi kanter istället för sidor (sidor kan föra tankarna till en 2D-struktur). Ett exempel visas i figuren där en kvadrat är triangulerad. Själva trianguleringen utgörs av alla hörn, kanter och trianglar i figuren. Det vi har är ett område begränsat av en rand, i detta fallet själva kvadraten. Sedan har vi delat upp området i trianglar så att (1) varje inre kant hör till precis två trianglar och (2) att varje inre hörn är hörn i minst tre trianglar och att alla trianglar som har detta hörn tillsammans går hela varvet runt. För en sådan triangulering gäller uppenbarligen att randen är en polygonkurva, och att hörn som ligger på denna är hörn till minst två trianglar, medan kanterna endast tillhör en triangel. Det faktum att vi här pratar om räta linjer är oväsentligt. Det är själva konfigurationen

3 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 2 (20) som spelar roll, och även om hörnen alltid är punkter, så kan kanterna vara kurvor och trianglarna ytor med dessa kanter som rand. Detta därför att räthet har med euklidisk geometri att göra, medan vi är intresserade av saker som förblir oförändrat även då vi sliter i materialet som vi jobbar med. Finnessen med att triangulera ett område är då att skapa något som är beständigt vid dessa förändringar, och som kan användas för att förstå hur ytan topologiskt ser ut. Låt nu V = antalet hörn, E = antalet kanter, och V = antalet ytor i trianguleringen. (Vi kallar trianglarna ytor för att tydliggöra att det är den 2-dimensionella strukturen det handlar om.) Vi definierar då talet χ = V E + F. I exemplet ovan har vi V = 7, E = 14 och F = 8, och får alltså för denna speciella triangulering av kvadraten, att χ = = 1. Låt se att detta måste vara fallet utan att vi de facto bestämma V, E, F. I en given trianguleringen måste vissa trianglar ha minst en kant som utgör yttre begränsning av området vi triangulerar. Om vi tar bort en sådan triangel, ändras inte antalet hörn, men både antalet kanter och antalet ytor minskar med ett. Detta lämnar χ oförändrad. Det kan också finnas trianglar som har två kanter som yttre begränsning. Om vi tar bort en sådan triangel, tar vi bort ett hörn, två kanter och en yta, och får därför alltjämnt ingen ändring av χ. Detta illustreras i figurerna nedan, som utgår ifrån trianguleringen ovan. I första steget, till vänster, har vi tagit bort tre yttertranglar med precis en randkant. Detta ändrar inte χ. Anledningen till att vi inte tagit bort den vänstra yttertriangeln är att, när vi i tur och ordning tog bort de tre andra, så fick denna två randkanter. I nästa steg (mitten) har vi så tagit bort denna yttertriangel, vilket alltså inte heller ändrar χ. I den figur som blir kvar har vi tre yttertrianglar, var och en av dem med två randkanter. Vi tar bort dem på samma sätt, och kvar är endast en triangel. För en triangel gäller uppenbarligen att V E + F = = 1, så vi har alltså att χ = V E + F = 1. Men denna process fungerar lika bra för varje område som begränsas av en enkel, sluten, polygonkurva. Samma slutsats gäller därför för varje triangulerat polygonområde. Vi kan alltid triangulera ett polygonområde. Att se att så är fallet gör vi genom att successivt skära ut trianglar: förbind två punkter som ligger på var sida om ett hörn.

4 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 3 (20) Vi kan även låta en triangulering bestå av andra polygoner än trianglar. Talet χ kommer då alltjämnt att vara oberoende av hur vi gör denna indelning. Detta därför att vi alltid kan triangulera de olika polygonen utan att ändra χ. För att inse varför, betrakta uppdelningen av kvadraten nedan i fyra delkvadrater. Vi har då V = 9 hörn, E = 12 sidor och V = 4 ytor, och får alltså χ = = 1. Att så är fallet inses genom att vi drar diagonalen i varje lite kvadrat: då ökar vi antalet sidor med fyra och antalet ytor med fyra, vilket håller χ = V E + F oförändrad. Men då har vi fått en triangulering av den stora kvadraten, och för den vet vi att den trianguleringen har χ = 1. Faktum är att för ursprungskvadraten har vi 4 hörn, 4 kanter och 1 yta, vilket betyder att χ = 1! Vi använder därför ordet triangulering ibland i den lösare betydelsen då vi har en uppdelning som kan kompletteras till en triangulering genom att vi drar några kompletterande linjer. Men ytorna kan utgöras av andra månghörningar än trianglar. Om området vi triangulerar däremot har ett hål, förändras förutsättningen. Om hålet är en enda triangel kommer vår triangulering med den tillagd att ha χ = 1, vilket betyder att χ = 0 med den ytan borttagen. Men detta gäller generellt, vilken typ av polygonyta hålet än består av: en triangulering av det hela har samma χ som en triangulering av området emellan plus hålytan. Har vi g hål, får vi att χ = 1 g. Det är mer eller mindre klart från diskussionen ovan att χ endast beror av vilket område vi triangulerar, och inte vilken triangulering vi väljer, och den mäter antalet hål i området. Om området betecknas P, så kallas χ(p ) för Euler-karakteristiken för P. Vi har sett hur vi kan avgöra vad en given triangulering har för Euler-karakteristik genom att plocka den utifrån. Vi kommer också att behöva kunna förfina en triangulering på ett systematiskt sätt. Ett sätt att göra detta är att ta en punkt inuti varje triangel och förbinder dess hörn med kanter. Det ger oss ett nytt hörn, dvs V ökar med 1, det ger oss tre nya kanter, dvs E ökar med tre, och det ger oss två nya ytor, dvs F ökar med 2. Det sker alltså ingen ändring i V E + F, vilket betyder att Eulerkarakteristiken inte ändras. Samma idé kan användas till att triangulera en godtycklig konvex polygon om man vill utan att Eulerkarakteristiken ändras. 3 Regelbundna polyedrar En sfär och ett plan är nära besläktade, men definitivt inte olika inkarnationer av samma sorts yta. Släktskapet illustreras bra med den stereografiska projektionen, som definierar en avbildning från sfären minus nordpolen till planet, vilken är bijektiv och kontinuerlig i båda riktningarna. Vi ser att nordpolen får rollen av oändligheten, och man kan se på sfären, som vi beteckna med S 2, som en en-punktskompaktifiering av planet.

5 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 4 (20) En konsekvens av detta är att om vi har en triangulering av sfären, t.ex. bestående av trianglar vars kanter utgörs av bitar av storcirklar, så kan vi ta en punkt som ligger inuti någon av trianglarna som nordpol. Den stereografiska projektionen av trianguleringen, minus den triangel som nordpolen ligger i, kommer då att bli en triangulering av ett polygonområde i planet. Om detta vet vi, att det har Eulerkarakteristiken 1, och varje hörn, kant och yta i den plana trianguleringen svarar mot hörn, kant eller yta i trianguleringen på sfären. Men precis en yta saknas, så att den ursprungliga trianguleringen på sfären har en yta mer. Vilket betyder att χ(s 2 ) = 2. Som vi redan konstaterat behöver trianguleringen inte bestå av trianglar, utan ytorna kan vara allmännare polygon. Om vi rätar ut alla kanter och planar ut alla ytor i en sådan triangulering får vi vad som kallas en konvex polyeder och för en sådan, kalla den P, gäller då också att χ(p ) = V E + F = 2. Vad innebär detta för en konvex polyeder, vars sidor är n-hörningar? Varje kant är kant till två ytor, så det totala antalet kanter är två gånger antalet ytor: nf = 2E. Vidare har varje kant två stycken hörn och om vi låter r kanter mötas i varje hörn har vi att rv = 2E. Stoppar vi in detta i uttrycket för χ, får vi att 2E r E + 2E n = 2 1 r + 1 n = E. Vi har här att n 3 (sidan måste minst vara en triangel) och r 3 (minst tre sidor måste mötas i ett hörn). Men om n > 3 och r > 3 så blir vänsterledet 1/2, vilket är omöjligt. Alltså måste någon av n och r vara lika med 3. Detta ger oss två fall För n = 3 får vi ekvationen 1 r 1 6 = 1 E, vilket ger oss att alternativen är r = 3, 4, 5. Dessa svarar mot tetraedern, oktaedern och ikosaedern, vilka alla har triangelsidor.

6 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 5 (20) För r = 3 får vi ekvationen 1 n 1 6 = 1 E, vilket ger samma alternativ för n som för r ovan. De tre fallen svarar mot tetraedern, kuben och dodecahedron för vilka det gäller att tre sidor möts i varje hörn. Vi avslutar med ett exempel på en annan sorts konvex polyeder. Exempel 1 En fotboll sys ihop genom att man sätter ihop P femhörningar och S sexhörningar. Den får därför F = P + S sidor, E = (5P + 6S)/2 kanter och V = (5P + 6S)/3 hörn. Fotbollens Eulerkarakteristik är därför V E + F = P/6. Men vi vet att den är lika med 2, vilket betyder att man måste använda precis P = 12 femhörningar när man syr ihop en fotboll, medan antalet sexhörningar är valfritt. 4 Triangulering av ytor Två delmängder, M och M, av planet sägs vara homeomorfa om det finns en bijektiv avbildning M M som är kontinuerlig i båda riktningarna. Vi skriver då M M. Har vi då en triangulering av M, så svarar den mot en triangulering av M som har precis samma uppbyggnad och speciellt ser vi att Eulerkarakteristiken för de två mängderna måste vara samma. Detta gör att vi kan definiera Eulerkarakteristiken för andra plana områden än polygonområden. Anmärkning Det som karakteriserar de ytor som utgör trianglarna i trianguleringen är att de alla är homeomorfa med en triangel, vilket vi nu ska se betyder homeomorfa med en cirkelskiva.

7 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 6 (20) Som illustration, betrakta figuren till höger som består av en (liksidig) triangel T inskriven i en cirkel S 1. Om vi tar en stråle från cirkelns centrum så kommer den att skära triangeln i en punkt x och cirkeln i en punkt y. Avbildningen x y definierar då en kontinuerlig funktion T S 1, vilken uppenbarligen är bijektiv och har en kontinuerlig invers. Vidare kan vi lätt utvidga den till att definiera en kontinuerlig avbildning från själva triangelytan (som har T som rand) till cirkelskivan D (som har S 1 som rand), och eftersom χ( ) = 1 följer att χ(d) = 1. (En punkt i kan skrivas sx där x T och 0 x 1, och avbildas då på sy som ligger i D.) x y Anmärkning En sfär S 2 kan vi se som något som uppkommit genom att vi limmat ihop två cirkelskivor längs deras ränder. Varje cirkelskiva kan vi ju böja till (är homeomorf med) en halvsfär, och sätter vi ihop två sådana får vi en sfär. Men vi kan också se det som att vi limmar ihop två triangelytor längs randen, och får då naturligt en triangulering av sfären som består av tre hörn, tre kanter och två ytor, alltså χ(s 2 ) = 2. Detta uppkommer ur relationen χ(s 2 ) = 2χ( ) χ(t ), där χ(t ) är antalet hörn minus antalet kanter för triangeln. Vi ska nu generalisera diskussionen till mer allmänna ytor. En yta är en topologisk mångfald av dimension 2, vilket betyder att varje punkt på den har en omgivning som är homeomorf med en cirkelskiva i planet. Vårt fokus kommer att vara på sammanhängande ytor, vilket är sådana ytor där varje par av punkter på ytan kan förbindas med en kurva som hela tiden ligger i ytan. Planet är en sådan yta, men förutom just planet kommer vi endast att betrakta kompakta ytor, och med ett viktigt undantag endast sådana som saknar rand. En kompakt, sammanhängande yta utan rand kallar vi kortare för en sluten yta. Vårt yttersta mål är att se efter hur många olika typer av slutna ytor det finns ur ett topologiskt perspektiv, d.v.s. efter att vi identifierat två ytor M och M om M M. Vad innebär detta? Om vi kan kontinuerligt deformera ytan M till ytan M, så är de homeomorfa. Vi tänker oss här ytan gjord av ett elastiskt material som vi kan forma om så länge vi inte skär i den. T.ex. är en konvex polyeder homeomorf med en sfär, vilket är intuitivt klart om vi s.a.s. blåser upp den från mittpunkten. Det kan också bevisas matematiskt med en konstruktion liknande den ovan när vi visade att en triangel är homeomorf med en cirkel. Anmärkning Att på detta sätt kontinuerligt deformera en yta till en annan uttrycks matematiskt som att det finns en homotopi mellan dem. Det är faktiskt också tillåtet att ha sönder en yta, så länge man limmar ihop den igen efter en deformering som följande bildsekvens visar.

8 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 7 (20) Det sekvensen visar är att knuten till vänster är en yta som är homeomorf med en torus (badring). För att se det klipper vi upp den, trasslar ut den, och limmar sedan ihop den igen, så att snittet återställs till sitt ursprung. Varje punkt på knuten svarar då entydigt mot en punkt på torusen, och avbildningen är kontinuerlig: två närliggande punkter på knuten avbildas på närliggande punkter även på torusen, och tvärtom. Anmärkning Lägg märke till att vår kontinuerliga funktion endast är definierad på knuten och har torusen som värdemängd. Det finns ingen kontinuerlig funktion i rummet som är sådan att vi kan få torusen som bild av knuten. Ej heller finns det någon homotopi som överför knuten i en torus. Ytor kan vi triangulera, eftersom de lokalt ser ut som plan: en triangulering på ytan är en uppdelning av denna sådan att den i en omgivning av varje punkt kan avbildas på en triangulering i planet. För en sådan triangulering kan vi sedan definiera Eulerkarakteristiken som tidigare. Av vad vi sagt är det inte svårt att tro på att varje yta har en triangulering och att varje triangulering på en given yta har samma Eulerkarakteristik. Vi skriver därför Eulerkarakteristiken för ytan M som χ(m). Två homeomorfa ytor har av nödvändighet samma Eulerkarakteristik, eftersom varje triangulering på den ena svarar mot en triangulering på den andra. Exempel 2 Vi har att χ(s 2 ) = 1, d.v.s. Eulerkarakteristiken för en sfär är 2 vilket följer av att t.ex. en kub är homeomorf med en sfär. Exempel 3 Vad är då Eulerkarakteristiken av en torus T 2? På samma sätt som sfären ovan svarade mot en kub, svarar en torus mot att vi tagit bort en centralt placerad, mindre, kub ur en större och sedan förbundit hörnen på den yttre och inre kuben med kanter. Härigenom får vi därför en triangulering av torusen som består av V = 16 hörn, E = 32 kanter och F = 16 ytor. Torus har därför Eulerkarakteristiken χ(t 2 ) = = 0. 5 Att klippa sönder ytor Det grundläggande tricket både för hur vi bestämmer Eulerkarakteristiken för en given yta och för hur vi ska klassificera ytor topologiskt är att klippa och klistra. Det innebär i princip att vi utifrån en lämplig triangulering av ytan, klipper upp den längs vissa kanter och därefter plattar till ytan så att den blir ett polygonområde i planet. Kantbitarna på

9 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 8 (20) randen till detta kommer då parvis att komma från samma kant på den ursprungliga parametriseringen av ytan, och om vi håller reda på det och det faktum att Eulerkarakteristiken av ett plant polygonområde är ett, så kan vi bestämma Eulerkarakteristiken för ytan. Exempel 4 En cylinder har Eulerkarakteristik 0, vilket följer av att den uppkommer genom att vi identifierar två sidor i en rektangel. En triangulering av cylindern svarar då mot en triangulering av rektangeln där de sidor som ska identifieras är identiskt uppdelade i kanter med hörn emellan. Det finns ett hörn mer än kant, så V E = 1. Eulerkarakteristiken för trianguleringen i rektangeln är 1, men den svarar mot en triangluering av cylindern där hörn och kanter endast på sidorna som ska identifieras endast räknas en gång. Eulerkarakteristiken på cylindern blir därför en enhet mindre än den i rektanglen, alltså noll. Ett annat exempel får vi om vi tar en sfär och klipper upp den från nordpol till sydpol längs en storcirkel, och sedan drar ut dessa två kanter så att de bildar randen till en cirkelskiva. Vi får då figuren till höger, där halvcirklarna ska limmas ihop enligt pilarnas instruktioner. Eulerkarakteristiken för cirkelskivan är 1, men den har en kant mer än vad det fanns på sfären, vilket betyder att Eulerkarakteristiken är en enhet större, alltså två. Som vi redan vet. Anmärkning En cirkelskiva är homeomorf med en triangel och alltså den enklaste trianguleringen man kan tänka sig. Vidare har den uppkommit ur en sluten yta, sfären, på enklast möjliga sätt, genom ett enda snitt. Det är inte svårt att från detta att tro på att det för varje sluten yta M gäller att χ(m) 2, och att om χ(m) = 2 så måste ytan vara homeomorf med en sfär. Att ordentligt bevis för detta är emellertid mer besvärligt en skiss finns i ett appendix till detta kapitel. Exempel 5 Betrakta torusen till höger i figuren nedan, och då speciellt de två färgade kurvorna i den.

10 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 9 (20) Om vi skär upp torusen längs dessa får vi en sammanhängande yta som tillplattad blir en rektangel, där motstående sidor ska identifieras såsom figuren till vänster visar. Själva rektangeln har fyra kanter, men de svarar mot två kanter på torusen (den röda och den blå kurvan i figuren). Vad gäller hörnen finns det fyra på rektangeln, men men på torusen svarar de mot en punkt (skärningen mellan kurvorna i figuren). Det betyder att vi ska subtrahera = 1 från Eulerkarakteristiken när vi går från en triangulering av rektangeln till motsvarande triangulering av torusen (det kan finnas fler hörn och kanter på sidorna vi identifierar, men som argumentet för cylindern ovan visar, spelar det ingen roll). Eulerkarakteriseriken minskas alltså med 1, och eftersom den är 1 för rektangeln, så blir den noll för torusen. Som vi har sett ovan. Anmärkning En användbar kortkod för rektangeln är att räkna upp sidorna, med orientering, när vi går runt den medurs. Om en sida c är lika med en annan sida, a, fast med motsatt orientering, skriver vi den a 1. Rektangeln som definierar torusen kan därför skrivas aba 1 b 1 där a är vänster sida och b den övre sidan. Var vi börjar spelar ingen roll: samma rektangel kan skrivas t.ex. ba 1 b 1 a. Rektangeln som definierar cylindern kan vi på samma sätt skriva aba 1 c (sidorna b och c identifieras inte) och sfären kan vi skriva aa 1. Vi ser på det här sättet att vi, genom att använda en triangulering på en yta, kan platta ut den till ett plant polygonområde. Priset är att rand-kanter parvis ska identifieras. Om vi därför utgår från den plana polygonen, så får vi själva ytan genom att limma ihop randkanterna enligt specifikation. Detta går ibland att göra i rummet - vi får då orienterbara ytor, ibland inte, vilket betyder att ytorna inte är orienterbara. 6 Om Möbiusbandet Slutna ytor finns alltså av två slag: orienterbara och icke-orienterbara. Man brukar säga att en orienterbar yta är en yta som har två sidor, men det är en definition som kräver att vi har lagt vår yta i ett rum, så att vi kan titta på den utifrån. För differentierbara mångfalder kan vi använda tangentvektorer för att göra en bättre definition, men vi betraktar mångfalder ur ett topologiskt perspektiv, och då behöver det inte finnas några tangentvektorer. Istället ska vi använda det s.k. Möbiusbandet för definitionen av en icke-orienterbar, sluten, yta. Möbiusbandet erhålls genom att vi limmar ihop en rektangel längs kortsidorna efter att först ha vridit rektangeln ett halvt varv. Den så uppkomna ytan är inte en sluten yta, eftersom den har en rand, vilken består av en cirkel. Ytan och dess konstruktion illustreras i figuren nedan.

11 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 10 (20) Eulerkarakteristiken för Möbiusbandet är noll, precis som den är för cylindern. Argumentet är precis detsamma; det faktum att vi vrider en sida innan vi limmar ihop den påverkar inte Eulerkarakteristiken (däremot gör den det omöjligt att orientera ytan, vilket är en annan sak). Anmärkning Ett känt party-trick är att klippa sönder detta band efter den centrala kurvan som är ritad röd på kurvan. Kvar blir då en sammanhängande yta som är en vriden cylinder, och därför också homeomorf med en cylinder. Men med hjälp av Möbiusbandet kan vi göra följande definition. Definition En sluten yta är icke-orienterbar om den innehåller ett Möbiusband. Anmärkning En konsekvens av att en mångfald innehåller ett Möbiusband är att det är möjligt att gå från ena sidan av ytan till andra sidan bara genom att gå längs ytan, utan gå igenom den. Det är detta som gör den icke-orienterbar: det finns inte en insida och en utsida. Om vi jämför med beskrivningen i inledningen av en icke-orienterbar yta som en där vi inte kan orientera alla ytor på samma sätt på ett konsistent sätt, så innebär att detta inte går att vi kan gå från en triangel, via en svit av sådana tillbaka till den första, men med motsatt orientering. Vilket betyder att vi har gått längs ett Möbiusband. Vi kan t.ex. konstruera en icke-orienterbar yta genom att utgå ifrån en sfär och från vilken vi först skär bort en cirkelskiva. Härigenom får ytan en cirkulär rand, och på den kan vi sedan limma på ett Möbiusband. Detta går eftersom randen till Möbiusbandet är en cirkel. För att förstå denna konstruktion kan vi genomföra den på två alternativa sätt. Det första bygger på observationen som vi gjorde ovan att om vi klipper itu Möbiusbandet får vi en yta som är homeomorf med cylinder. Men ena kanten av denna, som svarar mot den centrala linjen som vi klippte sönder, ska limmas ihop diametralt som framgår av figuren nedan. Att klistra på ett Möbiusband på en sfär med ett hål är därför detsamma som att klistra på en cylinder vars övre kant ska limmas ihop diametralt. Vilket är samma sak som att limma ihop hålet diametralt från början. Det är också samma sak som att utgå ifrån en cirkelskiva som den till höger och limma ihop de två halvcirklarna enligt pilarna 1. För att beskriva det andra alternativet, återvänder vi till situationen då vi ha limmat på en cylinder på sfären, men ännu inte limmat ihop den öppna hålet diametralt. Det svarar mot den sista figuren i sviten ovan. Istället för att limma ihop hålet som ovan kan vi börja med att fästa ihop ett enda par av diametralt

12 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 11 (20) placerade punkter på randen. Sedan viker vi upp cylindern på sidorna om denna punkt och limmar ihop motstående sidor. Det vi får är en figur som på engelska kallas en cross-cap. Processen illustreras nedan till höger. Oavsett hur vi beskriver resultatet får vi en sluten yta som resultat. Beskrivningen ovan har dock totalt utelämnat en aspekt av denna kirurgi: den går inte att genomföra i rummet utan att ytan skär över sig själv. Detta har dock inget att göra med ytan som sådan, utan med vårt behov att få plats med allt i rummet, för att kunna se det. Ytan som vi konstruerat har ett namn: den kallas det reella projektiva planet, och betecknas vanligen P 2, eller P 2 R om man behöver skilja den från sin komplexa motsvarighet. Eulerkarakteristiken för P 2 måste vara ett av följande enkla skäl: om vi skär bort en liten kvadrat (som är homeomorf med en cirkelskiva) från en sfär får ytan Eulerkarakteristiken 1. Limmar vi sedan ihop denna kvadrat så övergå dess 4 hörn och 4 kanter till att bli 2 hörn och 2 kanter, vilket inte ändrar Eulerkarakteristiken. Anmärkning I kortkod blir Möbiusbandet abac, där konstruktionen garanterar att bc blir en sammanhängande kurva. Vi kan därför också skriva den aab, vilket är användbart när vi ska köra kirurgi med den. 7 Ytor av olika genus Vi ska nu beräkna Eulerkarakteristiken för några olika ytor, som det ska visa sig omfattar alla orienterbara slutna ytor. Vi utgår ifrån en torus, som vi gör ett hål i. Snittet illustreras i figuren nedan med den blå kurvan i både den definierande rektangeln och den färdiga torusen i figurerna nedan. Den undre vänstra figuren visar vad vi får om vi sträcker ut den övre figuren. Den utgör alltså en polygonillustration av torusen med ett hål. Den i sig är inte en sluten yta, den

13 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 12 (20) bl a kurvan utg or en rand, men om vi nu tar tv a s adana torusar med h al i, och klistrar ihop dem l angs h alens rand, s a f ar vi vad som illustreras i figuren nedan. F or att f orst a sambandet mellan det plana polygonet och ytan kan vi g a igenom den omv anda processen, n amligen den att limma ihop randkanterna p a polygonen enligt specifikationen. Sj alva ihopklistringsprocessen illustreras i bildsekvensen till h oger. H ar ar det som ar r oda kanter i polygonen ovan numrerade 1,2, bl a ar numrerade 3,4 etc. Vi ser tydligt hur alla h ornen i polygonen svarar mot en punkt p a ytan, och genom den punkter g ar tre slutna kurvor. Om vi sk ar upp ytan l angs dessa slutna kurvor, och plattar till, f ar vi v ar ursprungliga 8-h orning. Kortformen f or denna dubbeltorus blir aba 1 b 1 cdc 1 d 1. Ett ytterligare exempel ar pretzeln till h oger. Den kommer fr an en 12h orning, d ar vi p a motsvarande s att identifierar sidor parvis som illustreras i bildsekvensen nedan. L at oss t anka igenom detta lite allm annare. Om vi har tv a ytor M1 och M2 s a kan vi bilda den sammanh angande summan M1 #M2 av dessa genom att ta bort en cirkelskiva fr an var och en av dem och sedan sy ihop ytorna l angs r anderna till dessa, som vi gjorde med torusarna ovan. Vi har d a den allm anna formeln χ(m1 #M2 ) = χ(m1 ) + χ(m2 ) 2. Detta inses p a f oljande s att. N ar vi tagit upp h alen reducerar vi Euler-karakteristiken f or ytorna med 1. Vi kan se det som att vi tar bort en triangel i en triangulering p a var

14 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 13 (20) och en av ytorna. N ar vi sedan s atter ihop dessa, identifieras tre punkter och tre sidor, vilket inte andrar Euler-karakteristiken2. Vi ser d arf or att summan av tv a torusar har Eulerkarakteristik 2, och d arefter att pretzeln f ar Eulerkarakteristiken 3. Om vi forts atter p a den inslagna v agen och klistrar ihop flera torusar s a inser vi att om vi s atter ihop g torusar, f ar vi en yta med g h al som f ar Eulerkarakteristiken 2 2g; varje ny torus reducerar Eulerkarakteristiken med 2. Man beskriver ofta detta lite annorlunda. Vi b orjar d a med att konstatera att en torus ar om vi tar en sf ar och en cylinder, sk ar upp tv a sm a h al ar homeomorf med den yta vi f i sf aren och syr fast cylindern i dessa som i figuren nedan. Vi f ar en yta som best ar av sf aren med ett handtag. Vi generaliserar detta till f oljande definition. Definition En yta s ags vara av genus g om den a r homeomorf med en sf ar f orsedd med g stycken handtag. Anm arkning Alternativt kan vi uttrycka det som att en yta av genus g ar homeomorf med en yta som best ar av att vi tagit den sammanh angande summan av g stycken torusar. Om d arf or Mg ar en yta av genus g, s a g aller att χ(mg ) = 2 2g. Vi ska senare se att detta beskriver alla orienterbara, slutna ytor i rummet. 8 N agra egenskaper hos sf aren Vi ska nu titta n armare p a en egenskap som karakteriserar en sf ar bland de slutna ytorna. Vi b orjar med ett plant p ast aende. Sats 1 (Jordans kurvsats) En godtycklig enkel, sluten polygonkurva delar upp planet i tv a disjunkta delar. Bevis. Beviset ar konstruktivt. Tag f orst en riktning s adan att ingen sida p a polygonkurvan ar parallell med den riktning. F or varje punkt i planet r aknar vi sedan antalet sk arningspunkter mellan denna kurva och den str ale som utg ar fr an punkten i den givna riktningen. Vi r aknar dock inte s adana sk arningar d ar str alen sk ar ett h orn s adant att polygonen ligger helt p a en sida om str alen i en liten omgivning av h ornet. Detta delar in

15 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 14 (20) planets punkter i två grupper: de som har ett udda antal skärningar med polygonen, och de som har ett jämnt antal skärningar med polygonen. De förra utgör en mängd, utsidan, och det senare en annan mängd, insidan. Enda sättet att ta sig från en punkt på insidan till en på utsidan är att skära polygonen i minst en punkt. Betrakta nu en enkel, sluten kurva på en sfär. Vi begränsar oss för enkelhetsskull till kurvor som utgör en delmängd av kanterna i någon, möjligen ofantligt stor, triangulering av sfären (vilket svarar mot en polygonkurva på sfären). Med hjälp av stereografisk projektion från en punkt som inte ligger på kurvan, definierar denna kurva en enkel, sluten polygonkurva i planet, vilken delar upp planet i två disjunkta delar. På sfären betyder det att kurvan delar sfären i två disjunkta delar. Sfären är alltså sfärlik enligt följande definition. Definition En sluten yta M sägs vara sfärlik om varje enkel, sluten kurva på M delar upp M i två disjunkta delar. Det är uppenbart att om en yta inte är sfärlik, kan den inte vara homeomorf med en sfär. Att en torus inte är homeomorf med en sfär följer därför också av att det på en torus finns enkla, slutna, kurvor som inte delar upp den i disjunkta delar. Resonemanget som ledde till Jordans kurvsats leder också till följande viktiga observation. Sats 2 En sluten yta i rummet (som inte skär över sig själv) har en insida och en utsida, d.v.s. den delar upp rummet i två disjunkta delar. Bevis. Beviset är analogt med det för Jordans kurvsats. Låt M vara en given yta i rummet och tag en punkt x långt borta från M. En annan punkt y som inte ligger på M sägs nu vara jämn eller udda beroende av hur många skärningar den räta linjen mellan x och y har med M. (Vi definierar x som tillhörande de jämna punkterna.) Då gäller att de jämna punkterna bildar utsidan och de udda punkterna bildar insidan, och det finns ingen väg från insida till utsida som inte skär M. Det som saknas här är kunskapen att varje sfärlik yta är homeomorf med en sfär. Det är lätt att tro på att så är fallet. Ett bevis, baserat på graf-teori, finns i ett appendix till kapitlet. 9 Konstruktion av icke-orienterbara ytor Vi vet att ett Möbiusband har en rand som är en cirkel (topologiskt), och vi har sett att om vi tar en sfär som vi skär bort en cirkelskiva från och limmar på ett Möbiusband, så får vi en yta som kallas det reella projektiva planet. Men om vi istället gör två hål i vår sfär så får vi en figur som topologiskt är identisk med en cylinder. Om vi nu limmar fast ett Möbiusband i randen på vardera hålet, får vi en yta som består av två ihopsydda Möbiusband (cylindern kan vi ignorera):

16 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 15 (20) Ovan till höger ser vi resultatet, en yta som kallas Kleins flaska. Om vi skär den horisontellt i två lika delar så får vi delarna till vänster. Dessa skär sig själva i en halvcirkel, men om vi lyfter upp den smala delen och plattar till ytan lite, får vi av var och en av delarna ett Möbiusband. Att sy ihop två Möbiusband är detsamma som att bilda den sammanhängande summan av två projektiva plan. Bildsviten nedan visar att det vi får är yta som svarar mot en rektangel där motstående sidor ska limmas ihop så att ett par ska göra det med omvänd orientering. I kortkod, ytan ges av baba 1. Detta är en alternativ beskrivning av Kleins flaska: vi tar en tub och syr ihop ändarna, men på sådant sätt att vi först drar tuben genom sig själv. Detta går ju inte i tre dimensioner, men det går utmärkt i fyra dimensioner. För att förstå varför, betrakta figurerna nedan till höger. Till vänster har vi en plan kurva som skär över sig själv. Till höger har vi en lätt modifikation av denna som lever i rummet, och som inte skär över sig själv. Vi har använt den extra dimensionen till att lösa upp singulariteten - alltså överkorsningen. På ett motsvarande sätt kan vi lösa upp överskärningen i Kleins flaska genom att utnyttja en fjärde dimension. Anmärkning En annan observation i figuren ovan är att den plana kurvan delar upp planet i två delar en del som omsluts av kurvan och en del utanför. En insida och en utsida. Motsvarande påstående för rymdkurvan finns inte! På samma sätt kan vi möjligen prata om en insida och en utsida av en yta i rummet, men inte i fyra dimensioner. Vilken Eulerkarakteristik har då Kleins flaska? Vi kan utgå ifrån en rektangel, som när vi konstruerade torusen. Skillnaden är att nu ska de blå kanterna limmas ihop efter att den ena kanten har vridits ett halv varv. Men för övrigt ändrar det ingenting, så Eulerkarakteristiken för Kleins flaska är noll, liksom den för torusen. Det gemensemma för de ytor vi får om vi syr fast ett eller två Möbiusband på en sfär är att de inte är orienterbara (eftersom de innehåller ett Möbiusband) men också att de inte kan realiseras i rummet, utan att de skär sig själva. Detta är dock inte en egenskap hos ytorna, utan av hur vi försöker föreställa oss dem i den värld vi kan föreställa oss något: rummet. Den abstrakt, topologiska, ytan skär inte över sig själv. Att en icke-orienterbar yta måste skära över sig själv när vi försöker realisera den i rummet kan inses på följande sätt. Antag att den inte skär sig själv. Då gäller enligt vad vi sett att den har en utsida och en insida, men eftersom den inte är orienterbar innehåller den

17 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 16 (20) ett Möbiusband. Men vi har sett ovan att en yta som innehåller ett Möbiusband kan inte ha en utsida och en insida, vilket ger oss en motsägelse. Kleins flaska är alltså två Möbiusband på en sfär, eller den sammanhängande summan av två projektiva plan, om vi vill. Allmänt kan vi enkelt konstruera icke-orienterbara slutna ytor genom att utgå ifrån en sfär, skära bort n stycken cirkelskivor och sedan limma ihop dem alla diametralt. Eller limma fast ett Möbiusband i vart och ett av hålen, om vi så vill. Resultatet blir en yta N n som får Eulerkarakteristiken χ(n n ) = 2 n. Här har vi alltså att N 1 är det projektiva planet och att N 2 är Kleins flaska. En stunds eftertanke visar att vi kan se N n som som den sammanhängande summan av n stycken reella, projektiva plan, vilket ger samma formel för Eulerkarakteristiken. Vad händer nu om vi istället tar den sammanhängande summan av en torus och ett projektivt plan? Med andra ord, vi utgår från en sfär och gör tre hål. I ett av dem sätter vi ett Möbiusband, de andra förenar vi med en cylinder. Blir det en annan typ av icke-orienterbar yta? Svaret är, lite överraskande, nej, och för att se det finns följande lilla trick av Christopher Zeeman. Låt oss separera den ena änden av cylindern från sfären. Vi tar sedan det hålet och flyttar runt det på sfären, genom Möbiusbandet, och tillbaka. Det ger oss en ny yta som är homeomorf med den ursprungliga. Men hålet har så att säga ändrat orientering, och om vi nu limmar ihop cylindern med hålet, så att precis de punkter identifieras som tidigare satt ihop, så måste vi vrida cylindern så att den limmas på från andra hållet. Det betyder att vi faktiskt limmar på en Kleins flaska istället. Och en Kleins flaska består av två Möbiusband, så den yta vi har är homeomorf med en sfär med tre Möbiusband fastlimmade. Ytan har därför Eulerkarakteristik 1. Anmärkning Låt oss se på detta på ett alternativt sätt, baserat på kortkoder. Vi vill då visa att ccaba 1 b 1 aabbcc. Detta bygger på den mer allmänna observationen att om P, Q är randbitar, så gäller att ccp 1 Q ap aq för någon lämplig kant a. Förklaringen finns i figuren nedan. Q Q P a c a a c a P Om vi upprepar det får vi att cc(ab)(a 1 b 1 ) c 1 (ab) 1 c 1 (a 1 b 1 ) c 1 b 1 a 1 c 1 a 1 b 1 b 1 (a 1 c 1 a 1 )b 1 c 1 b 1 b 1 (a 1 c 1 a 1 ) b 1 b 1 ac 1 1 ac 1 ac 1 1 a(c 1 b 1 b 1 ) a 1 a 1 c 1 c 1 b 1 b 1. Notera att vi kunde göra detta därför att det fanns ett Möbiusband på ytan!

18 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 17 (20) 10 Klassificering av topologiska ytor Vi ska nu formulera och bevisa en sats som klassificerar alla slutna ytor. För att kunna genomföra beviset behöver vi använda att det för varje sluten yta M gäller att χ(m) 2 och att χ(m) = 2 om och endast om M är homeomorf med en sfär. Och därmed att varje sfärlik yta är homeomorf med en sfär. Bevis för dessa påståenden, baserade på lite graf-teori, finns i ett appendix sist i detta kapitel. Om vi antar att dessa två påståenden är sanna, kan vi bevisa följande sats. Sats 3 Varje sluten, orienterbar, yta är homeomorf med antingen en sfär eller den sammanhängande summan M g av g stycken torusar. En sluten, icke-orienterbar, yta är homeomorf med den sammanhängande summan N n av n stycken reella projektiva plan P 2. Beviset av denna sats bygger på kirurgi, liknande den vi diskuterade ovan, och utgör resten av detta avsnitt. Låt M vara en sluten yta. Då har då att χ(m) 2 och att när χ(m) = 2, så är M homeomorf med en sfär, och sådana ytor karakteriseras av att de delas i två delytor av alla kurvor. Antag därför att M är sådan att det finns en kurva γ på ytan som inte delar denna. Bygg ut denna till ett smalt, 2-dimensionellt, band i M med γ som central kurva. Då finns det två möjligheter: a) Bandet är en cylinder. Vi kallar ett sådant snitt orienteringsbevarande och har då två randkurvor som är cirklar, och vi kan limma fast en cirkelskiva i var och en av dem, för att därigenom få en ny yta M 1. Vi får då att χ(m 1 ) = χ(m) + 2. b) Bandet är ett Möbiusband, i vilket fall vi säger att snittet är orienteringomkastande. Randen består nu av en cirkel, så vi har endast en cirkelskiva att limma fast för att få den nya ytan M 1, för vilken gäller att χ(m 1 ) = χ(m) + 1. Om nu M 1 också inte är sfärlik, så kan vi fortsätta denna process och bilda en ny yta M 2 och så vidare. Men eftersom 2 är en övre gräns för hur stor Eulerkarakteristiken kan bli, så tar processen slut med något M r, och detta M r är då sfärlikt, alltså homeomorft med en sfär. När vi kommit dit är vi klara med den första delen av operationern, och ska börja sy (limma) igen. Det gäller nu att sy ihop M r till någon av de standardytor som vi diskuterat ovan, på ett för topologin legitimt sätt. Vi börjar då med att deformera M r så att de par av hål som i varje steg ovan bildades vid ett orienteringsbevarande snitt kommer nära varandra. Vi kan nu sy ihop på tre olika sätt: a) Vi har två hål vars ränder har omvänd orientering. Då kan vi ta bort skivorna och sy på en cylinder, alltså ett handtag. Resultatet blir en reduktion av Eulerkarakteristiken med 2, svarandet mot borttagandet av de två skivorna. b) Vi har ett hål. Sy ihop det diametralt, vilket är detsamma som att sy på ett Möbiusband. Eulerkarakteristiken reduceras med 1.

19 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 18 (20) c) Vi har två hål vars ränder är samma orientering. Ta då bort diskarna och sy på en cylinder på vart hål som svarar mot orienteringen. Sedan ska dessa sys ihop, vilket innebär att de måste vridas på samma sätt som när vi bildade Kleins flaska. Med andra ord, vi syr samman hålen med hjälp av en Kleins flaska, som i sin tur består av två Möbiusband. Eulerkarakteristiken reduceras med 2. Resultatet är nu en ny yta M som är homeomorf med M. Om M är orienteringsbar, så kan vi endast ha sytt enligt regel 1 ovan, och det gäller alltså att M är en sfär med ett antal handtag påsydda, alltså en yta av typ M g för något g. Om emellertid M inte är orienteringsbar måste vi ha minst ett Möbiusband i det. Efter att vi sytt på ett sådant kan vi flytta ett hål genom detta så att det kommer ut med motsatt orientering. Det betyder att vi kan överföra alla lappningar av typ 1 i lappningar av typ 2, d.v.s. alla lappningar innebär att vi syr på en eller två Möbiusband. En sådan yta är alltså av typ N n för något n. A Kompletteringar med hjälp av lite grafteori För att beviset för klassificeringssatsen ska bli fullständigt måste vi titta på lite grafteori. En graf är en sammanhängande mängd av kanter och hörn, så om vi ignorerar ytorna definierar en triangulering en graf. Allmänt kan grafer delas upp efter om de innehåller en loop (ett exempel är ritad blå i den vänstra grafen) eller inte, och de som inte innehåller någon loop kallas träd (som den högra grafen). Utgörs grafen av hörn och kanter till en triangulering, är det naturligtvis inget träd, men det finns träd i den. Till en given triangulering (bestående av endast trianglar) finns en graf som vi kan kalla den duala grafen till trianguleringen. Den är uppkommen genom att vi i varje triangel först väljer en punkt. Dessa punkter kallar vi dual-hörnen och utgör hörnen i den duala grafen. Dessa förbinds sedan med kanter, dual-kanter, som förbinder dualhörnen i intilliggande trianglar. En sådan dualgraf visas i blått i figuren till vänster nedan. Ett träd i den duala grafen kallar vi ett dual-träd till trianguleringen. Till ett dual-träd definierar vi dess komplement som mängden av alla hörn, kanter och sidor i trianglueringen som inte möter trädet ifråga. I figuren ovan till höger är ett träd i den duala grafen

20 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 19 (20) markerat med rött och dess komplement med ljusgrått (det består av både hörn, kanter och sidor). Notera att alla hörn i trianguleringen ingår i komplementet! Vi har nu en del viktiga observationer som handlar om Euler-karakteristiken för en graf. Om G är en graf med v hörn och e kanter, definierar vi dess Euler-karakteristik genom χ(g) = v e. Vi har nu följande observationer. a) För ett träd T gäller att χ(t ) = 1. Det som karakteriserar ett träd är nämligen att det alltid måste ha minst ett sluthörn (dvs hörn som bara ligger på en kant). Om vi tar bort ett sluthörn med tillhörande kant får vi ett nytt, mindre, träd som har ett hörn mindre och samma Euler-karakteristik. Alltså måste ett träd ha samma Eulerkarakteristik som ett ensamt hörn, vilket är ett. b) För en graf G som innehåller en loop gäller att χ(g) < 1. Detta därför att om det finns en loop kan vi ta bort en kant och alltjämnt få kvar en (sammanhängande) graf G 1 sådan att χ(g) = χ(g 1 ) 1. Vi kan fortsätta på detta sätt tills vi får ett träd, och sker det efter r 1 steg får vi att χ(g) = 1 r < 1. c) Komplementet K till ett dual-träd T är sammanhängande. Eftersom K innehåller alla hörn i trianguleringen, räcker det att visa att två godtyckliga hörn i trianguleringen kan förbindas med en väg av kanter i K. Låt x vara ett sluthörn i T och låt y vara det dualhörn det är förbundet med. Beteckna motsvarande trianglar med X och Y och låt hörnen i X vara a, b, c. Låt sedan T 1 vara det dual-träd vi får om vi tar bort x och motsvarande kant från T och låt K 1 vara komplementet till T 1. Då erhålls K ur K 1 genom att ta bort triangeln X och hörnet ab, så om K 1 är sammanhängande måste även K vara sammanhängande. Vi kan därför göra ett induktionsbevis över antalet hörn i trädet. Detaljerna lämnas åt läsaren. b c X x Y y x a z y d) Ett maximalt dual-träd innehåller alla dual-hörn. Låt T vara ett maximalt dualträd och antag att det inte innehåller dual-hörnet x. Låt då P vara en godtycklig väg (streckad i den högra figuren ovan) från x till någon punkt på T, vilken vi kan anta inte går genom något av trianguleringens hörn. Låt p vara den första punkt på P som ligger i en triangel Y vars dual-hörn tillhör T. Den måste då ligga på någon kant till Y. Låt Z vara den andra triangeln i trianguleringen som har denna kant som kant. Dual-hörnet z i Z tillhör då inte T. Vi kan därför lägga till z och zy till T och få ett nytt träd T 1. Vilket är en motsägelse, eftersom vi antog att dual-trädet var maximalt.

21 Om triangulering av ytor och Eulerskarakteristiken 20 (20) Låt nu M vara en sluten yta, och välj en triangulering av M. Låt T vara ett maximalt dual-träd till denna, och låt G vara komplementet till T. Vi vet då att T innehåller alla dual-hörn, vilket betyder att G inte innehåller någon triangel. Alltså består G endast av en sammanhängande mängd hörn och kanter, och är därför en också en graf. Vi har nu en 1-1-relation mellan hörn i trianguleringen och hörn i G kanter i trianguleringen och kanter i T och G trianglar i trianguleringen och hörn i T. Det följer därför att χ(m) = χ(t ) + χ(g) = 1 + χ(g), eftersom T är ett träd. Eftersom χ(g) 1 följer att vi har visat att χ(m) 2 för alla slutna ytor M. Om vi istället löser ut χ(g) får vi att χ(g) = χ(m) 1. Antag nu att χ(m) 2, så att χ(g) 1. Då gäller att G inte är ett träd, och måste därför innehålla en loop. Men en sådan loop svarar mot en enkel, sluten, kurva på M. Antag nu att denna delade upp M. Varje del måste då innehålla minst en triangel ur trianguleringen, och därmed minst ett dual-hörn. Men, som vi har sett, alla dual-hörn finns i T och T är sammanhängande, så detta är omöjligt. Loopen kan alltså inte dela M. Så om M är sfärlik måste G vara ett träd och därför måste varje sfärlik yta ha Eulerkarakteristiken 2. Om T är ett träd, låt N(T ) beteckna slutna höljet av en öppen och sammanhängande omgivning till T. Den är då homeomorf med en cirkelskiva, vilket illustreras i figuren till höger. Om χ(m) = 2 gäller att även G är ett träd, och vi kan på motsvarande sätt definiera N(G), som också är homeomorf med en cirkelskiva. Vidare kan vi definiera dessa omgivningar så att M = N(T ) N(G) och att skärningen mellan dem är en gemensam kurva. Lyckas vi med det, är M homeomorf med en sfär. Det vi har visat med detta resonemang är att om χ(m) = 2, så är M homeomorf med en sfär. Tillsammans med den tidigare observationen att det gäller för en sfärlik yta att Eulerkarakteristiken är 2 följer att en sfärlik yta är homeomorf med en sfär. Noteringar 1. Jämför med hur vi skapade sfären från cirkelskivan då var en av halvcirklarna givna med motsatt orientering 2. Vi kan uttrycka det som att Eulerkarakteristiken för randkurvan är noll.