Vridning av stabiliserande betongkärna med två hålrader

Transkript

1 Vridning av stabiliserande betongkärna med två hålrader Utveckling av analytisk modell Aleksander Larsson Anton Larsson Civilingenjör, Väg- och vattenbyggnad 016 Luleå tekniska universitet Institutionen för samhällsbyggnad och naturresurser

2 EXAMENSARBETE CIVILINGENJÖR Vridning av stabiliserande betongkärna med två hålrader Utveckling av analytisk modell Anton Larsson Aleksander Larsson Avdelningen för byggkonstruktion och produktion Institutionen för samhällsbyggnad och naturresurser Luleå tekniska universitet Luleå

3 I

4 Sammanfattning I detta examensarbete behandlas vridning av stabiliserande schakt med två hålrader för dörröppningar på varje våningsplan. Schakt av denna typ är vanligt förekommande som stabiliserande element i höga hus där vindlast orsakar stora påfrestningar. Av vindlasten uppstår ett vridande moment som för höga byggnader blir viktigt vid dimensioneringen. De kritiska elementen för schaktets styvhet är de så kallade kopplingsbalkarna som binder samman schaktets tvärsnitt ovanför varje dörröppning. I tidigare modeller beaktas ej kopplingsbalkarnas deformationer och inte heller hela tvärsnittets skjuvarbete, vilket leder till att schaktets styvhet överskattas. I modellen som utvecklas i detta arbete beaktas rörligheten i kopplingsbalkarnas leder samt skjuvarbetet för hela tvärsnittet. Då dessa justeringar adderas till den använda energiekvationen erhålls ett mer analytiskt korrekt resultat. Resultatet analyseras och jämförs sedan med äldre modeller och ett experiment utfört på en plexiglasmodell. För att verifiera resultatet modelleras schaktet i 3D Structure och beräkningar utförs med finita element metoden. Den utvecklade modellen ger den största topprotationen eftersom hänsyn tas till rörligheten i kopplingsbalkarnas infästningar vilket innebär att schaktets styvhet minskar på grund av kopplingsbalkarnas deformation. Schaktets styvhet minskar även då det övriga tvärsnittets skjuvarbete beaktas, vilket inte är fallet i äldre litteratur. Denna skillnad är dock inte lika påtaglig som för ledernas flexibilitet. Tidigare modeller använder sig även av det traditionella randvillkoret att skjuvflödet är noll i schaktets botten, vilket minskar schaktets styvhet och medför större rotation. Det analytiskt riktiga randvillkoret där skjuvflödet i inspänningssnittet beräknas ökar schaktets styvhet något. II

5 III

6 Abstract This thesis studies torsion in stabilizing concrete shafts with two doorways on every storey. Shafts of this kind are commonly used as stabilization in high rise buildings where wind loads of great magnitude come in to play. The wind load creates a torsional moment that needs to be considered in the structural design work. The critical elements when it comes to the shafts stiffness are the so called coupling beams that connect the shaft walls above every doorway. In the older methods neither the deformations of the coupling beams nor the shear flow of the entire cross section are considered. This leads to an overestimation of the shaft stiffness. In the method developed in this thesis the joint flexibility of the coupling beams and the shear flow of the entire cross section is considered. These adjustments provide a more accurate result. The results are analyzed and are then compared to the older methods and to an experiment on a plexiglass model. To verify the results the shaft is modeled in the software 3D Structure and finite element calculations are performed. The comparisons indicate that the developed method provides a more accurate result than the older methods. The developed method predicts the largest rotation at the top of the shaft since the joint flexibility is considered. Joint flexibility means that the stiffness of the shaft decreases due to the coupling beams deformations. The stiffness of the shaft also decreases when considering the shear flow of the other parts of the cross section. This difference in stiffness is smaller than that of joint flexibility. Earlier methods use the traditional boundary condition that the shear flow is zero in the clamped end of the shaft which decreases the stiffness and leads to a larger rotation; however this does not correspond with reality. The analytically correct boundary condition where the shear flow at the clamped connection is calculated increases the stiffness. IV

7 V

8 Förord Detta examensarbete är det avslutande momentet i vår civilingenjörsutbildning vid Luleå tekniska universitet. Arbetet motsvarar 30 högskolepoäng för oss vardera och är skrivet under våren och sommaren 015 på WSP byggprojektering i Stockholm. Ämnet som behandlas är vridning av schakt med två hålrader vilket är en vanligt förekommande del av dimensioneringen. Vi vill rikta ett speciellt tack till Tekn. Dr. Kent Arvidsson för idén till arbetet och värdefull handledning. Vi vill även tacka den övriga personalen på WSP som har varit behjälpliga med diverse frågor och problem. Augusti, 015 Larsson & Larsson VI

9 VII

10 Teckenförklaring α Styvhetsparameter för en kopplad skiva β Förhållandet mellan ekvivalent och faktisk tjocklek γ Koefficient för lokal välvning δ Ansatskoefficient ΔH Potentialförändring ΔI w Tröghetsmoment för lokal välvning ζ Ansatskoefficient η Koefficient för global välvning θ Vridningsvinkel ξ Koefficient för total välvning ρ Skjuvdeformationsvinkel υ Förskjutningen φ Vridningsvinkel ϕ Vridningsvinkel Ψ Reduktionsfaktor för skjuvflöde Ω Schaktets tvärsnittsarea a Tvärsnittets bredd A Kopplingsbalkens area A * Ekvivalent balkarea för skjuvning b Tvärsnittets höjd b b Kopplingsbalkens faktiska bredd b be Kopplingsbalkens ekvivalenta bredd B Bimomentet som ger böjning B Yttre vridande moment B Yttre vridande moment per längdenhet c e Koefficient för beräkning av b be C x Avståndet från skjuvcentrum till tyngdpunkten C 1- Korrektionsfaktor e excentricitet till skjuvcentrum E Elasticitetsmodul G Skjuvmodul h Våningshöjd h b Kopplingsbalkens höjd H Schaktets höjd H 0 Potential i icke deformerat läge H def Potential i deformerat läge H i Inre potential H TOT Total potential H y Yttre potential I be Ekvivalent tröghetsmoment * I w Totalt tröghetsmoment för välvning I w0 Tröghetsmoment för global välvning K 1-4 Korrektionsfaktor K v Vridstyvhetens tvärsnittsfaktor K w Välvstyvhetens tvärsnittsfaktor m v Vlasovskt moment per längdenhet M V Moment (Vlasovska) M VH Bredt s vridmoment M Skjuvkraft av välvning t e Skjuvmediets ekvivalenta tjocklek t ee Skjuvmediets ekvivalenta tjocklek utan joint flexibility T Vridningsmoment VIII

11 T Skjuvkraft av cirkulatoriskt flöde T p Partikulär lösning U Energi IX

12 Innehållsförteckning Sammanfattning... II Abstract... IV Förord... VI Teckenförklaring... VIII 1 Inledning Bakgrund Syfte Avgränsningar Metod Litteraturstudie Stabiliserande betongtorn Beräkningsmodeller St. Venantsk vridning Vlasovsk vridning Totalt vridmoment Joint flexibility Energimetod Variationskalkyl Finita elementmetoden Beräkningsgång Teoretiska förutsättningar Korrigerad analytisk modell Utveckling av resultat Verifikation FE-analys Resultat och analys Jämförelse av analytiska modeller Jämförelse av analytisk- och FE-modell Verifiering av skjuvflöde i inspänningssnittet Parametrisk studie Diskussion Utvecklad modell Jämförelser FEM X

13 5.4 Parametrisk studie Slutsatser Referenser Litteratur Elektroniska källor Artiklar Bilagor Härledning och lösning av differentialekvation Lösning av integrationskonstanter Traditionella randvillkor Utvecklat randvillkor Mathcad-dokument XI

14 1 Inledning 1.1 Bakgrund Inflyttningen till storstadsregionerna innebär brist på mark för nybyggnationer. Detta innebär att det byggs på höjden för att utnyttja ytan maximalt. Ett vanligt sätt att stabilisera höga hus är att använda sig av en stabiliserande betongkärna, exempelvis ett hisschakt eller ett trapphus. Höga hus exponeras för höga vindlaster, vilka kan bidra till ett icke försumbart vridmoment. De stabiliserande byggnadsdelarna måste då ha tillräcklig bärförmåga i detta avseende. I vanligt förekommande kurslitteratur anges idag att dörröppningar i schaktets väggar inte påverkar vridstyvheten på något avgörande sätt (Isaksson 010). Utgångsläget för detta arbete är dock att undersöka dörröppningarnas, det vill säga kopplingsbalkarnas inverkan. Kopplingsbalken är den del som tar ihop schaktet mellan dörröppningarna. Dess inverkan undersöks eftersom dagens analytiska beräkningar ofta skiljer sig från de finita elementberäkningar som används. I de vedertagna beräkningsmodellerna så beaktas inte skjuvarbetet i den St. Venantska- och den Vlasovksa moden. Det tas inte heller hänsyn till flexibiliteten i lederna för kopplingsbalkarna, det vill säga hur deformationer vid lederna påverkar schaktets bärförmåga (Petersson 1974). Detta medför att det finns utrymme att utveckla den vedertagna beräkningsgången för ett mer noggrant resultat (Rosman 1969). 1. Syfte Syftet med examensarbetet är att hitta den analytiskt riktiga lösningen till schaktets vridning. Detta innebär att utveckla en analytisk modell där skjuvarbetet beaktas i både den St. Venantska och den Vlasovska moden samt att flexibiliteten i lederna beaktas för kopplingsbalkarna. Vidare blir det då enkelt att i tidiga skeden göra rationella beräkningar. I dagsläget skiljer sig de analytiska beräkningsmodellerna från FE-datormodellen som vanligtvis används för den här typen av problem (Kaivan 010). En viktig del av kvalitetssäkringen är att kontrollera FE-beräkningar för att upptäcka eventuella fel. FE-modellen tar implicit hänsyn till rörligheten i kopplingsbalkarna. Den utvecklade analytiska modellen bör därför bidra till en bättre jämförelse med FE-modellen. 1.3 Avgränsningar Arbetet avgränsar sig till att studera schakt med två hålrader, en rad på vardera sidan om schaktet. För att jämföra resultatet med de befintliga modellerna används bara två dimensioner på schaktet genom hela arbetet, en fullskalig och en i samma dimension som en plexiglasmodell från ett experiment (Tso 1973). En parametrisk studie utförs för att undersöka olika variablers inverkan på resultatet. Den omfattar tre till fem schakt där endast en variabel ändras åt gången. 1

15 1.4 Metod För att få en djupare förståelse i ämnet inleds arbetet med en litteraturstudie. Syftet med litteraturstudien är att söka kunskap om hur de olika beräkningsmodellerna fungerar. Utveckling av beräkningsmodell sker med hjälp av energimetod och variationskalkyl, vilket ger en andragrads differentialekvation. Beräkningsmetoderna väljs eftersom att de används i en befintlig metod som kan modifieras för att uppnå syftet (Rosman 1969). Beräkningarna utförs med hjälp av Mathcad för möjligheten att snabbt och enkelt ändra parametrar samtidigt som det är möjligt att överblicka formlerna på ett tydligt sätt. Slutligen erhålls lösningen för rotationen vilken jämförs med resultatet från en FE-analys och äldre modeller. För FE-analysen används programvaran 3D Structure, ett par kontrollberäkningar görs även i Ansys för att säkerställa att valet av programvara inte påverkar resultatet. I den parametriska studien ändras en variabel åt gången. De variabler som studeras är kopplingsbalkens höjd, schaktets väggtjocklek och schaktets yttermått. 13

16 Litteraturstudie.1 Stabiliserande betongtorn Ett vanligt stomsystem för flervåningsbyggnader är så kallade skelettstommar, bestående av bärande pelare och balkar. Den absolut vanligaste metoden att stabilisera dessa stommar är att använda sig av ett eller flera hisschakt och trapphus som stabiliserande element, se Figur 1. De horisontella lasterna, främst vind- och snedställningslaster, förs genom stommen vidare till grunden via schaktet. Vindlasten får större betydelse ju högre en byggnad är. Hiss- och trapphusen är tillverkade av platsgjuten armerad betong, men kan även vara förtillverkade. Schaktet kan betraktas som en pelare fast inspänd i grunden. När laster angriper byggnaden från olika godtyckliga riktningar innebär detta att schaktet utsätts för ett vridande moment kring sin axel. Därmed måste schaktet ha en viss vridstyvhet för att motstå dessa laster (Isaksson 010). Figur 1. Stabiliserande betongkärna (Isaksson 010).. Beräkningsmodeller För att utveckla den analytiska modellen så används ett antal beräkningsmodeller. Verifieringen av resultatet sker med hjälp av finita elementmetoden. Nedan beskrivs teorin för dessa metoder...1 St. Venantsk vridning När ett tvärsnitt i ett element utsätts för vridmoment kommer varje tvärsnitt i elementet att vridas en vinkel φ, som varierar längs balkens axel. Vid cirkulärsymmetriska tvärsnitt, eller andra tvärsnitt till exempel massiva nära kvadratiska tvärsnitt, kommer enskilda materialelement att förflyttas vid vridning, men materialet ligger dock kvar i sitt ursprungliga plan (Höglund 009). För en konsolbalk eller pelare fast inspänd i ena änden kommer vinkeln φ att variera från 0 vid inspänningen till ett maxvärde längst ut på balken i den fria änden, se Figur. ϕ x Figur. Vinkelförändring längs kroppens axel (Borg 196). 14

17 Om ett tvärsnitt kan vriddeformeras utan motstånd vinkelrätt tvärsnittet uppstår vridning utan välvningsförhindring. Enbart skjuvspänningar uppstår då i tvärsnittet vars momentresultant är M x (x) eller T, se Figur 3(a). I tunnväggiga tvärsnitt löper skjuvspänningarna längs tvärsnittets mittlinje (Samuelsson 1988), se Figur 3(b). I massiva och tjockväggiga tvärsnitt löper skjuvspänningarna längs kanter. Figur 3. Vridning utan välvningsförhindring av olika balktyper (Samuelsson 1988). Vinkeländringen dφ för ett element med längden dx i längsgående riktning kallas förvridning. Grundekvationen för vridning är enligt Saint Venant: M S = GK V dφ dx = GK Vφ (1) där G är skjuvmodulen och K v vridstyvhetens tvärsnittsfaktor. Faktorn GK v kallas vridstyvhet. Figur 4 visar hur ett litet delelement påverkas av vridmomentet T. Figur 4. Ett litet element med längd dx utsatt för vridning av vridningsmomentet T (Höglund 009). Då tvärsnitt ej är cirkulärsymmetriska ligger inte materialet kvar i det ursprungliga planet efter vridning. Detta blir mest påtagligt för balkar med flänsar, se Figur 5.. Vid vridmoment medför detta ett annorlunda beteende jämfört med cirkulärsymmetriska tvärsnitt. För till exempel ett I-tvärsnitt medför vridningen att flänsarna böjer ut åt olika håll i sidled. Tvärsnitten blir därmed inte längre plana. Denna effekt kallas välvning. Välvning innebär även att balken deformeras i längdriktningen, vilket inte sker för cirkulärsymmetriska tvärsnitt. Om balken är fri att välva kommer inga spänningar att uppstå (Höglund 009). Då välvning är motverkad, vilket ofta är fallet i praktiken, uppstår spänningar, så kallad Vlasovsk vridning, se nedan. Det totala vridmomentet består således av en Saint-Venantsk och en Vlasovsk del. 15

18 .. Vlasovsk vridning De typiska spänningarna enligt Saint Venants vridning uppstår endast då välvning kan ske oförhindrat. I praktiken är detta ovanligt då balkar och pelare ofta har någon grad av inspänning i ändarna. Detta förhindrar helt eller delvis balkens eller pelarens möjlighet att deformeras vinkelrätt tvärsnittet, se Figur 5 (Delft University of technology 006). Figur 5. Fri välvning (a) och förhindrad välvning (b) av en balk utsatt för ett vridande moment (Delft University of technology 006). Vridning med välvningsförhindring kallas för Vlasovsk vridning efter den ryske vetenskapsmannen (Vlasov 1959). Axiella spänningar som varierar både i längdriktningen och över tvärsnittet uppstår då välvning förhindras. Samma effekter uppstår om det inre vridmomentet varierar i balkens längdriktning. En balk inspänd i ena änden belastad med ett vridande moment, se Figur 6 (a), deformeras enligt Figur 6 (b) vilket resulterar i att flänsarna böjs och att tvärsnittet inte längre är plant (Samuelsson 1988). Figur 6. Vlasovsk vridning (Samuelsson 1988). Det delvridmomentet som beror på den förhindrade välvningen och därmed kallas för den Vlasovska delen skrivs: M V = EK w d 3 φ dx 3 = EK wφ () där EK w är tvärsnittets välvstyvhet. Effekten av välvningsförhindring är speciellt stor vid tunnväggiga öppna tvärsnitt till exempel en U- balkprofil (Samuelsson 1988). 16

19 ..3 Totalt vridmoment Då en profil utsätts för både Saint Venantsk- och Vlasovsk vridning, så kallad blandad vridning, består det totala vridmomentet av deras respektive delmoment enligt: M = M S + M V (3) Den inbördes relationen mellan de båda delmomenten varierar beroende på tvärsnittets utseende. Relationen varierar även längs balken (Samuelsson 1988)...4 Joint flexibility I ett stabiliserande schakt med håltagningar för exempelvis dörröppninar binds väggelementen kring öppningarna samman med kopplingsbalkar, se Figur 7. Håltagningarna reducerar schaktets vridstyvhet jämfört med om schaktet varit intakt, vridstyvheten blir således beroende av kopplingsbalkarna och dess egenskaper. Ett betongschakt utsätts för olika grad av Saint Venantsk- respektive Vlasovsk vridning beroende på kopplingsbalkarnas skjuvstyvhet. Ju högre styvhet kopplingsbalkarna har desto mer dominant blir den Saint Venantska vridningen. Detta på grund av att tvärsnittet då beter sig mer som ett slutet tvärsnitt. Figur 7. Väggarna i betongschaktet sammanfogas av kopplingsbalkarna till ett slutet tvärsnitt. Kopplingsbalkarna utsätts huvudsakligen för vertikala skjuvkrafter på grund av de anslutande väggarnas förskjutning. Förskjutningen bildar i sin tur deformationer vid infästningarna av kopplingsbalkarna, se Figur 8. Deformationer i lederna påverkar schaktets slutgiltiga bärförmåga och kallas joint flexibility. Figur 8. Kopplingsbalkarnas förskjutning och deformationer (Petersson 1974). För att beakta detta fenomen ges balken en ekvivalent bredd enligt ekvation (4): 17

20 b be = b b (1 + c e h b b b ) (4) där b b är kopplingsbalkens faktiska bredd, h b är kopplingsbalkens höjd och c e är en koefficient. Genom provning med finita elementberäkningar bestäms c e till 0,65 med ett grovt mesh eller 0,7 med ett finare mesh. När joint flexibility inte beaktas används bara den faktiska bredden. Värt att notera är att c e påverkas av kopplingsbalkens- och väggarnas dimensioner samt materialegenskaper, se Figur 9 (Petersson 1974). Figur 9. Värden på c e som en funktion av skjuvkrafterna T b /T b0 (Petersson 1974)...5 Energimetod Ett praktiskt tillvägagångssätt för att bestämma den teoretiska knäckningslasten är att använda sig utav energisamband och villoren för systemets totala potential. Den totala potentialen består av två delar, den yttre- och den inre potentialen, se ekvation (5). Den yttre potentialen beror av den yttre lasten och den inre består av den elastiska energi som lagras i konstruktionen. H TOT = H y + H i (5) Den totala potentialförändringen ΔH bestäms sedan med jämviktsvillkor. Vid knäckningsproblem där konstruktionen övergår från ett icke deformerat (H TOT,0 ) till ett deformerat läge (H TOT,def ) skrivs potentialförändringen enligt ekvation (6): H = H TOT,def H TOT,0 (6) Det är praktiskt att välja den totala potentialen i det icke deformerade läget till H 0 =0. Det ger att potentialförändringen är lika med den totala potentialen i deformerat tillstånd. Potentialen för en yttre last är lika med lasten multiplicerad med deformationen. Detta är även lika med det yttre arbetet A y av övergången från icke deformerat till deformerat tillstånd, se ekvation (8). Den inre potentialen är lika med det arbete som de inre krafterna åstadkommer vid övergången, se ekvation (7). H i = A i (7) 18

21 H y = A y (8) Det arbete som de yttre lasterna uträttar vid deformation övergår helt till inre elastisk energi i konstruktionen. Det ger att det yttre arbetet är lika stort som det inre arbetet, se ekvation (9) A y = A i (9) Ekvation (7), (8) och (9) ger: H y + H i = 0 (10) Den totala potentialen i deformerat läge är alltså noll. Då det icke deformerade tillståndet valdes till nollnivå innebär det att den totala potentialen inte ändras vid övergången mellan de två jämviktslägena. För potentialen fås då två villkor: H = H i + H y = min (11) H = H i + H y = 0 (1) Det första av villkoren gäller jämviktslägen i allmänhet, även sådana som inte har med instabilitet att göra. Det innebär variationer i utböjningskurvans form. Det andra gäller vid instabilitetsfall. För en korrekt lösning ska båda villkoren vara uppfyllda (Höglund 009)...6 Variationskalkyl Variationskalkyl är en metod för att bestämma det minsta värdet av en funktional, det vill säga en funktion där variabeln är en funktion (Gelfand 1963). Metoden kan användas för att lösa instabilitetsproblem där villkoret för minimipotential utnyttjas (Höglund 009) se ekvation (11). För att beakta en funktion y beroende av variabeln x fås följande funktional, se ekvation (13): b E(y) = F(x, y, y ) dx a y(a) = A, y(b) = B (13) Där E är minsta komplementära energin, F är en funktion beroende av funktionen y, a och b är gränsvärden och A och B är randvillkor. För att hitta den kontinuerligt deriverbara funktionen y kan Euler-Lagranges ekvation användas, se ekvation (14). Den sökta funktionen y är funktionalen E:s minimivärde. F y d dx F y = 0 (14)..7 Finita elementmetoden Många mekaniska fenomen inom ingenjörskonsten som ofta är för komplicerade för att beräkna analytiskt modelleras genom differentialekvationer. Finita elementmetoden är en numerisk metod för att lösa partiella differentialekvationer. Ekvationerna som beskriver det fysiska problemet sträcker sig över en viss region. Regionen kan sedan delas upp i en stor mängd små delområden, så kallade finita element (Ottosen 199). Den totala samlingen av alla element bildar ett så kallat finita elementnät. Detta nät kallas vanligtvis för dess engelska benämning mesh, se Figur

22 Figur 10. Stegen vid FE-modellering (Ottosen 199). En approximativ lösing beräknas sedan för varje element. Även om den sökta variabeln varierar på ett icke-linjärt vis över hela regionen så ger en linjär kombination en rättvis approximativ lösning. Variabeln antas vara känd i vissa punkter av elementet, dessa punkter kallas noder (Ottosen 199). Metoden kan appliceras på en mängd olika problem. Ett sådant problem kan exempelvis vara att bestämma variationen av spänning eller värme över en godtycklig kropp, se Figur 11. För ett noggrant resultat så delas problemregionen upp i ett stort antal element. Detta medför att det blir alldeles för tidskrävande att utföra beräkningarna för hand, därför används olika programvaror. Figur 11. Finita elementnätet och spänningsfördelningen för en balk analyserad med finita elementmetoden. 0

23 3 Beräkningsgång Detta kapitel behandlar utvecklingen av den analytiska modell som används för att bestämma skjuvkraften i kopplingsbalkarna och slutligen vridning av schaktet. Sedan används FE-analys för att lösa samma problem. 3.1 Teoretiska förutsättningar Osymetrisk vindlast på en byggnad stabiliserad med ett vertikalt hisschakt av betong orsakar vridning av schaktet, vilket medför olika typer av skjuvkraftsflöden för tvärsnittet. Den Saint Venantska vridningen ger ett cirkulärt skjuvflöde, se Figur 1. Figur 1. Cirkulärt skjuvflöde. Den Vlasovska vridning ger upphov till både global och lokal välvning se Figur 13 och Figur 14. Lokal välvning uppstår för att schaktet även kan betraktas som uppdelat i två U-profiler på vardera sida om kopplingsbalkarna. Lokal välvning innebär då att U-profilen roterar kring sin axel. Figur 13. Skjuvflöde av global välvning. 1

24 Figur 14. Skjuvflöde av lokal välvning. Dessa skjuvflöden summeras sedan, se Figur 15. Skjuvflödet i u-profilernas liv ger inget bidrag vid lokal välvning, eftersom att den positiva och negativa arean måste vara lika för att undvika translation. Figur 15. Totalt skjuvflöde. Genom momentjämvikt av U-profilen i global välvning fås att bidraget från flänsarna tar ut varandra, då endast livet kvarstår flyttas det till skjuvcentrum, se Figur 16. e M M b Figur 16. Skjuvcentrum flyttas då bidraget från flänsarna tar ut varandra.

25 Ur en momentjämvikt kring skjuvcentrum kan η lösas. Koefficienten η ger andelen av skjuvkraftsflödet för flänsarna vid global välvning. ηm b M e = 0 (15) η = e b (16) Välvstyvhetens tvärsnittsfaktor K w består av bidrag från både den globala och lokala välvningen, se ekvation (17). K w = K w0 + K w (17) Där K w0 är bidraget från global välvning och ΔK w är bidraget från lokal välvning. Skivorna bestående av liven ger tillsammans det totala tröghetsmomentet för global välvning, se Figur 17. K w0 = I xc x (18) Figur 17. Skivornas bidrag till välvstyvhetens tvärnsnittsfaktor. De vridande välvmomenten förhåller sig som välvstyvheterna, enligt ekvation (19) och Figur 18. Flödet av skjuvkrafter och dess hävarmar bildar välvmomenten. γm b M C x = K w K w0 (19) Figur 18. Flödet av skjuvkrafter och dess hävarmar bildar välvmomenten. 3

26 Ur ekvation (19) kan koefficienten γ lösas ut, vilket anger andelen av skjuvkraftsflödet från flänsarna för lokal välvning, se ekvation (0). γ = C x b K w I w0 (0) Den lokala och den globala välvningens skjuvkrafter summeras enligt ekvation (1). Figur 19 visar skjuvkrafterna per delskiva. ξ = η + γ (1) Figur 19. Skjuvkrafter per delskiva före och efter summering av välvningsbidragen. 4

27 Det inre vridande momentet från den Vlasovska moden som ger böjning kan lösas ur ekvation (). M a + ξm b = B ΩT () Där vänsterled är det inre Vlasovska momentet och högerledet det yttre. Det yttre vridande momentet erhålls genom att subtrahera det cirkulatoriska Saint Venantska skjuvflödet. Det inre momentet fås enligt ekvation (3): M = B ΩT a + ξb (3) Där B är det totala yttre vridande momentet, se Figur 0. Jämnt fördelat yttre vridande moment och punktmoment. Ω är schaktets area, det vill säga den area som det cirkulära skjuvflödet omsluter. M v m v Figur 0. Jämnt fördelat yttre vridande moment och punktmoment. Ekvationerna (4), (5) och (6) visar bimomentet B som ger böjning, derivatan av det ger det vridande momentet B som ger böjning och B det vridande momentet per längdenhet. För punktmoment blir B noll. B = M v x (4) (5) B = M v B = 0 (6) Ekvationerna (7), (8) och (9) visar bimomentet och dess derivator av utbrett moment. B = m v x (7) B = m v x B = m v (8) (9) 5

28 b 3. Korrigerad analytisk modell Schaktets håltagningar ökar deformationerna på grund av att kopplingsbalkarna inte är lika styva som resterande tvärsnitt. Därmed minskas schaktets styvhet och således även dess knäcklast. Kopplingsbalkarna bildar ett flergradigt statiskt obestämt system eftersom att skjuvkraften i varje kopplingsbalk bildar en obekant variabel. För att omvandla schaktet till ett engradigt statiskt obestämt system används två metoder. Den första metoden transformerar kopplingsbalkarna till ett kontinuerligt skjuvmembran med styvheten S, se Figur 1. b Figur 1. Transformation av kopplingsbalkar till skjuvmembran. b Vid transformering till ett kontinuerligt skjuvmembran antas att kopplingsbalkarna är utspridda med jämna avstånd samt att inflektionspunkter uppträder mitt på balkarna, det vill säga den punkt där den största skjuvkraften verkar. Det antas även att kopplingsbalkarna endast böj- och skjuvdeformeras. För att beakta deformationerna i kopplingsbalkarnas infästningar ges balkarna en förhöjd effektiv längd b e enligt ekvation (30) (Petersson 1974). Koefficienten c e väljs mellan 0,65-0,7, i detta fall väljs 0,65. b e = b b + 0,65h b (30) Kopplingsbalkarna ges böjstyvheten EI be där E är elasticitetsmodulen och I be är det ekvivalenta tröghetsmomentet som betraktar både böj- och skjuvdeformationer enligt ekvation (31). I be = I b (1 + 1EI b b e GA ) (31) där I b är tröghetsmomentet för kopplingsbalken och A * är den ekvivalenta balkarean för skjuvning (Samuelsson 1988). A = A 1, (3) Skjuvmembranets styvhet S definieras som kraft per enhetslängd enligt ekvation (33). S = 1EI be hb e 3 (33) 6

29 Den andra metoden transformerar kopplingsbalkarna till ett fysiskt skjuvmedium med reducerad tjocklek, se Figur. Skjuvflödet antas då vara kontinuerligt kring tvärsnittet men reducerat över kopplingsbalkarna. Reduktionen av skjuvflödet beror av förhållandet β mellan den ekvivalenta tjockleken och den faktiska tjockleken. Den Saint Venantska och den Vlasovska moden separeras vilket möjliggör användandet av Bredt s andra formel för beräkning av den effektiva Saint Venantska vridstyvheten. Detta kan användas för enkla överslagsberäkningar då rimlighet utreds i tidiga skeden av projektering (Samuelsson 1988). Figur. Transformation av kopplingsbalkar till ett fysiskt skjuvmedium. Den ekvivalenta tjockleken på skjuvmediet bestäms genom antagandet att kopplingsbalkarnas och skjuvmediets nedböjning är lika stora, se ekvation (34), (35) och Figur 3. För kopplingsbalkens nedböjning ansätts den effektiva längden b e. Figur 3. Nedböjning av kopplingsbalk och skjuvmedium. δ kopplingsbalk = T hb e 3 1EI b δ Skjuvmedium = T hb Gt e h (34) (35) 7

30 Genom att sätta nedböjningarna lika med varandra kan den ekvivalenta tjockleken lösas enligt ekvation (36): t e = 1EI bb Ghb e 3 (36) Axialkraften T och skjuvflödet T illustreras genom att göra ett snitt längs mitten av skjuvmembranet på ett element med höjden dx, se Figur 4. Figur 4. Illustration av axialkraften T i schaktets väggar och skjuvflödet T' i skjuvmembranet. Den sökta variabeln T är axialkraften som verkar i schaktets väggar på grund av den yttre belastningen. Skjuvflödet T erhålls genom derivering av axialkraften T. Med hjälp av detta kan uttrycket för T skrivas som summan av alla skjuvkrafter T dx över höjden H, se ekvation (37). H T = T dx 0 (37) För att hitta den sökta variabeln T används principen om den minsta komplementära energin u (Rosman 1969). Uttrycket för den komplementära energin, det vill säga inre energin av deformationen, multiplicerat med E kan då skrivas enligt ekvation (38). B ΩT EU = [( ) + T 4I w S ] dx (38) Där I w är lika med K w, vilket innebär att välvningen beaktas men endast skjuvarbetet för kopplingsbalkarna är inkluderade. Samma princip används även i andra utredningar av ämnet (Tso 1973). För att erhålla en lösning som även beaktar skjuvarbetet i delskivorna måste inre arbetet utökas med två termer för flänsarna respektive liven: Flänsarna: 4(ξM + T c) (39) G E A 1 Där A 1 är flänsens area. 8

31 Liven: (M + T b) (40) G E A 3 Där A 3 är livets area. Den komplementära energin fås då enligt ekvation (41): B ΩT EU = [( ) + T 4I w S + (ξm + T c) + (M + T b) ] dx G E A G 1 E A 3 (41) Det vridande momentet M ersätts enligt ekvation (4): M = B ΩT a + ξb = B ΩT c x (4) Ekvation (41) skrivs då enligt ekvation (43): B ΩT EU = [( ) + T 4I w S + (ξb ξωt + c x ct ) 4c G x A 1 E + (B ΩT + c x bt ) ] dx 4c G x A 3 E (43) För att hitta den kontinuerligt deriverbara funktionen T används Euler-Lagranges ekvation (44): F T d dx F T = 0 (44) För att erhålla F T deriveras uttrycket med avseende på T sedan subtraheras uttrycket deriverat med avseende på T och ytterligare en gång med avseende på x. Detta ger ekvation (45): 4ΩB + 8Ω T T 4I w S (ξb ξωt + c x ct )(c x c ξω) c G x A 1 E (B ΩT + c x bt )(c x b Ω) = 0 c G x A 3 E (45) Förenkling av ekvation (45) ger ekvation (46): T ( S + K 1 + K ) + Ω T I w = ΩB I w B (K 3 + K 4 ) (46) 9

32 Vidare förenkling ger ekvation (47): T Ω I w ( S (K 1 + K )) T = B Ω I w ( S (K 1 + K )) + B (K 3 + K 4 ) ( S (K 1 + K )) (47) Där koefficienterna K är korrektionsfaktorer som tar hänsyn till de skjuvarbeten som adderades till grundekvationen, se ekvation (38). Koefficienterna K ges av ekvation (48), (49), (50) och (51): K 1 = (8ξΩc xc 4ξ Ω 4c x c ) c x A 1 G E K = (8Ωc xb 4Ω 4c x b ) c x A 3 G E K 3 = (ξ Ω ξc x c) c x A 1 G E K 4 = (Ω c xb) c x A 3 G E (48) (49) (50) (51) Ytterligare förenkling ger uttrycket enligt ekvation (5): T α T = BC 1 + B C (5) Där α, C 1 och C är koefficienter beroende av de adderade skjuvarbetena, se ekvation (53), (54) och (55): Ω α = I w [ S (K 1 + K )] (53) Ω C 1 = I w [ S (K 1 + K )] (54) C = (K 3 + K 4 ) [ S (K 1 + K )] (55) För att bestämma schaktets vridstyvhetsparameter multipliceras koefficienten α med schaktets höjd H. 30

33 Differentialekvationen löses genom att ansätta en homogen-, enligt ekvation (56) till (58), och en partikulär lösning. T h = Asinh(αx) + Bcosh(αx) T h = Aαcosh(αx) + Bαsinh(αx) (56) (57) T h = Aα sinh(αx) + Bα cosh(αx) (58) Insättning i vänsterledet av ekvation (5) ger ekvation (59)vilken visar att ansatsen är korrekt: Aα sinh(αx) + Bα cosh(αx) α (Asinh(αx) + Bcosh(αx)) = 0 (59) Partikulärlösningens ansats ges vid jämnt utbrett moment enligt ekvation (60). Samma beräkningsgång används vid punktmoment. ζ α (ζx + δ) = m vx C 1 + m v C (60) Ur ekvation (60) kan ζ och δ lösas enligt ekvation (61) och (6): ζ = C 1m v α (61) δ = C 1m v α 4 C m v α (6) Den allmänna lösningen för den sökta funktionen T erhålls genom att summera den homogena och den partikulära lösningen enligt ekvation (63). För fullt utvecklad härledning se bilaga 7.1 Härledning och lösning av differentialekvation. T(x) = Asinh(αx) + Bcosh(αx) ζx + δ (63) För att kunna bestämma konstanterna A och B krävs randvillkor. Det första randvillkoret ges av att det inte verkar någon axialkraft i schaktets högsta punkt, se ekvation (64). I tidigare modeller ansätts randvillkoret att det inte förekommer något skjuvflöde i schaktets inspänningssnitt (Rosman 1969, Tso 1973), vilket inte överensstämmer med verkligheten (Arvidsson 1996). Det andra randvillkoret ges således av skjuvflödet i schaktets inspänningssnitt, se ekvation (79). Skjuvflödet erhålls med hjälp av Bredt s formel (Wahlström 1971) modifierad med en faktor β för att ta hänsyn till förhållandet mellan verklig tjocklek och det fysiska skjuvmediets ekvivalenta tjocklek, se Figur 5. Skjuvflödet skiljer sig åt mellan lång- och kortsidorna, för att ta hänsyn till detta beräknas en transformationsfaktor som tar hänsyn till förhållandet mellan T 1 och T. 31

34 1 1 Figur 5. Modifierat skjuvflöde. T(0) = 0 (64) För att härleda randvillkoret ställs först en momentjämnviktsekvation över tvärsnittet upp, se ekvation (65). M V = T bc + βt bl + T 1ab (65) Där β är förhållandet mellan skjuvmembranets ekvivalenta tjocklek och den faktiska tjockleken på kopplingsbalken enligt ekvation (66). Den ekvivalenta tjockleken för skjuvmembranet beräknas med kopplingsbalkens faktiska längd, det vill säga utan joint flexibility eftersom att ingen deformation påverkar i inspänningssnittet, se ekvation (67). β = t ee t balk (66) t ee = t el b e (67) Skjuvflödet för membranet och flänsarna adderas till ett skjuvflöde verkande över sida a enligt ekvation (68). T TOT = T + l (68) a βt För att beräkna de globala rotationsvinklarna φ bestäms först de lokala deformationsvinklarna ρ och förskjutningarna υ av skjuvningen enligt ekvation (69), (70), (71) och (7), se Figur 6. Figur 6. Lokal skjuvdeformation för en sida. 3

35 ρ 1 = T 1b GA 3 (69) ρ = T TOTa GA a (70) Där A 3 är arean för ett liv och A a är den sammanslagna arean för flänsarna och skjuvmembranet. υ 1 = ρ 1 t liv (71) υ = ρ t fläns (7) Vinklarna för tvärsnittets globala rotation fås då enligt ekvation (73) och (74). φ 1 = υ 1 a/ (73) φ = υ b/ (74) Då tvärsnittet ej rombifieras blir vinklarna för de båda sidorna lika med varandra. Med ekvationerna (69) - (7) insatta i (73) och (74) erhålls ekvation (75). T 1t liv GA 3 a = T TOTt fläns GA a b (75) T TOT kan då lösas ut i termer av T 1 enligt ekvation (76). T TOT = ΨT 1 (76) Där Ψ ges av ekvation (77). Ψ = t liva a b t fläns A 3 a (77) Genom insättning av ekvation (76) i (75) erhålls momentekvationen enligt ekvation (78). M V = ΨT 1bc + βψt 1bl + T 1ab (78) Slutligen fås randvillkoret genom att lösa ut T 1 med avseende på höjden H enligt ekvation (79). T 1(H) = M V ΨT 1bc + βψt 1bl + T 1ab (79) Där M V är det vridande momentet enligt Bredt s formel (Wahlström 1971), se ekvation (80). M V = A TOT T (80) Där A TOT är arean som tvärsnittet omsluter. 33

36 Konstanterna A och B löses ut ur ett ekvationssystem skapat med hjälp av randvillkoren. Detta ger värden på konstanterna enligt ekvation (81) och (8): B = m vc α m vc 1 α 4 (81) A = βm VH (ΨT 1bc + βψt 1bl + T 1ab)αcosh (αh) Bsinh(αH) cosh(αh) m vc 1 H α 3 cosh (αh) (8) Den sökta axialkraften T kan då beräknas enligt ekvation (63). Med axialkraften känd kan sedan andra faktorer beräknas till exempel skjuvflödet, momentet, utböjningen och vridningen. Dessa resultat kan användas för jämförelser med andra analytiska- eller FE-modeller Utveckling av resultat Med axialkraften känd kan sedan andra faktorer beräknas till exempel skjuvflödet, momentet, utböjningen och vridningen. Dessa resultat är relevanta för dimensioneringen och kan användas för jämförelser med andra analytiska- eller FE-modeller. Den sökta funktionen T för axialkraft fås enligt ekvation (83): T(x) = Asinh(αx) + Bcosh(αx) ζx + δ (83) Där konstanterna A, B, α, ζ och δ redovisas i kap 3.. Skjuvflödet bestäms genom derivering av funktionen för axialkraft, se ekvation (84): T (x) = Aαcosh(αx) + Bαsinh(αx) ζx (84) Vridande moment beräknas enligt ekvation (4): M (x) = B (x) ΩT (x) c x Då translationen av liven beaktas fås utböjningen av schaktet bestående av bidrag från böjmoden och skjuvmoden. Andraderivatan av utböjningen från böjmoden beräknas enligt ekvation (85): y (x) = M(x) EI x (85) Där M(x) är momentet som ger böjning, enligt ekvation (86): M(x) = B(x) ΩT(x) c x (86) Utböjningen från skjuvmoden beräknas med avseende på de skjuvkrafter som verkar på liven. Detta ger uttrycket för vinkeländringen enligt ekvation (87) och Figur 7. Bidraget från skjuvmoden multipliceras med en konstant bestående av förhållandet mellan avståndet till skjuvcentrum och halva schaktets bredd, se ekvation (87). Detta på grund av att avståndet till skjuvcentrum används för böjmodens beräkningar och halva bredden för skjuvmoden. Vridningen kan då beräknas genom division av hela uttrycket med endast ett av avstånden, i detta fall avståndet till skjuvcentrum. 34

37 y (x) = (M (x) + (T (x))b c x a ) GA 3 (87) Figur 7. Schaktets utböjning av skjuvarbetet. Genom derivering av vinkeländringen fås andraderivatan av utböjningen från skjuvmoden, enligt ekvation (88): y (x) = (M (x) + (T (x))b c x a ) GA 3 (88) Det slutgiltiga uttrycket för andraderivatan av utböjningen erhålls genom summering av bidragen från moderna, enligt ekvation (89): ( d y (x) = M (x) dx M (x) + ( d dx T(x)) b c x a ) (89) + EI x GA 3 För att bestämma utböjningen integreras ekvation (89) två gånger, enligt ekvation (90): x x y(x) = y (x) dx dx 0 0 (90) Vridning sker enligt Figur 8 och ekvation (91): θ(x) = y(x) c x (91) 35

38 Figur 8. Rotation av schaktet. 3.3 Verifikation Metoden att transformera kopplingsbalkarna till ett kontinuerligt, fysiskt skjuvmedium verifieras genom en jämförelse med skjuvarbetet beräknat med Bredt s andra formel. Vid utbrett moment skrivs skjuvarbetet enligt ekvation (9): T S (9) Skjuvarbetet enligt Bredt s andra formel skrivs enligt ekvation (93): M sv (93) GK v Där K v är den St. Venantska vridstyvhetens tvärsnittsfaktor. I detta fall beaktas endast skjuvarbetet i skjuvmediet, väggarna antas således vara oändligt styva, se ekvation (94): K v = 4(ab) S Skjuvmedium t e + S vägg = 4(ab) b e t e (94) Genom att beakta satsen om parvis lika skjuvspänningar kan det St. Venantska vridmomentet beräknas enligt ekvation (95): M sv = T ab (95) Genom insättning av ekvation (94) och (95) i (36) fås ekvation (96): M sv = GK v (T ab) 0,4E 4(ab) = 30 I be t e T 1EI be 3 hb e = T S (96) Bredt`s skjuvarbete motsvarar metodens. Detta bevisar att metoden är mekaniskt korrekt. 36

39 3.3 FE-analys För att utföra FEM-beräkningarna valdes programvaran FEM-Design 3D Structure och Ansys. 3D Structure lämpar sig för analys av allt från enskilda element till större konstruktioner. Dimensioneringen i programmet av stål-, betong- och träkonstruktioner utförs enligt Eurocode (Strusoft 015). FE-analys beaktar indirekt joint flexibility och hela tvärsnittets skjuvarbete. Schaktet modelleras även i de två programvarorna för att jämföra eventuella skillnader. Ansys fungerar i grunden på samma sätt som 3D Structure men används ofta för mer komplexa modeller (Ansys 015). Schaktet modelleras med samma tvärsnitt och antal våningar som i de analytiska beräkningarna. Figur 9. Schaktet modellerat i 3D Structure. Det vridande punktmomentet erhålls genom att ansätta ett kraftpar i schaktets topp. För att undvika lokala deformationer på grund av kraftparet placeras en tunn skiva över tvärsnittet, enligt Figur 30. För att staga schaktet mot rombisk deformation placeras även skivor i mitten av varje kopplingsbalk. I praktiken motsvarar detta våningsbjälklag. För att simulera ett jämnt utbrett moment över schaktets höjd ansätts linjelaster enligt Figur 31. Figur 30. Punktmoment bildas genom ansättning av ett kraftpar. 37

40 Figur 31. Ett jämnt utbrett moment över höjden bildas genom ansättning av linjelaster. Nästa steg är att generera ett finit elementnät. Storleken och antalet noder per element påverkar beräkningarnas noggrannhet, således provas ett antal olika nät för att optimera resultatet. Mindre nät ger noggrannare resultat men även mer tidskrävande beräkningar. Elementen väljs till en storlek så att antalet element går jämnt ut över bredden och höjden, enligt Figur 3. Antalet noder bestäms till nio för rektangulära element och sex för triangulära element. Programmet utformar automatiskt ett lämpligt nät. Beräkningarna utförs sedan med linjär statisk analys. Figur 3. Modellen fördelad i element av ett mesh. 38

41 4 Resultat och analys Nedan redovisas resultaten för ett 30 våningar högt schakt med måtten a=10 m, b=8 m, t=0,4 m, h balk =0,8 m, l= m, våningshöjden h=3 m och den totala höjden H=90 m. Elasticitetsmodulen E=30 GPa och skjuvmodulen G=0,4E. Schaktet belastas med ett jämnt utbrett moment på 30 knm/m. I Diagram 1 visas axialkraften i schaktet som är beroende av höjden. Axialkraften är noll i schaktets topp för att sedan anta sitt största värde i schaktets botten. Den största kraften uppgår till 610 kn. Diagram 1. Axialkraften beroende av höjden. I Diagram visas skjuvflödet i skjuvmediet beroende av höjden. Kurvan över skjuvflödet får sin form på grund av samtidig skjuvning och böjning. Diagram. Skjuvflöde i skjuvmediet beroende av höjden. 39

42 I Diagram 3 visas reaktionsmomentet i schaktet beroende av höjden. Det största momentet uppstår i schaktets inspänning för att sedan minska och avta mot toppen. Diagram 3. Moment beroende av höjden. Diagram 4 visar schaktets rotation runt sin axel beroende av höjden. Den största rotationen sker i toppen av byggnaden för att sedan avta och gå mot noll i schaktets botten. Diagram 4. Rotation beroende av höjden. 40

43 4.1 Jämförelse av analytiska modeller För att fastställa skillnaderna i resultat mellan den utvecklade modellen och tidigare metoder jämförs rotationen i schaktets topp. De utvalda metoderna är hämtade från Torsion of perforated concrete shafts (Rosman 1969), Bredts formel (Wahlström 1971) och Analysis of core wall structure subjected to applied torque (Tso 1973). Eftersom den utvecklade metoden baseras på Rosmans energiekvation är det av intresse att jämföra skillnaden i resultat då skjuvarbetet för hela schaktet samt joint flexibility (Petersson 1974) beaktas. Bredt s formel tar endast hänsyn till den St. Venantska vridningen. Då kopplingsbalkarna ersätts av ett skjuvmedium med ekvivalent tjocklek ger dock Bredt s formel en grov uppskattning, metoden lämpar sig således för överslagsberäkningar. Tso och Biswas använder sig av samma tillvägagångssätt som Rosman men ansätter rotation till sökt variabel istället för axialkraft. Tso och Biswas utför även ett experiment på en fysisk plexiglasmodell genom att belasta modellen med ett vridande moment i toppen. Modellen är 0 våningar hög och i skala 1:40 med dimensionerna a=0,16 m, b=0,14 m, l=0,038 m, t=0,006 m, h=0,06 m, H=1,4m och h balk =0,0095 m. Elasticitetsmodulen uppmäts till,96 GPa och skjuvmodulen till 1,1 GPa. Det pålagda momentet uppgår till,6 Nm. En jämförelse mellan de äldre metoderna och plexiglasmodellen visas i Diagram 5 och Tabell 1. Diagram 5. Jämförelse av den utvecklade modellen, äldre modeller och plexiglasmodell. 41

44 Tabell 1. Jämförelse av rotationen i schaktets topp och botten Utvecklad modell Rosman Bredt Tso & Biswas Plexiglasmodell Rotation i topp (rad) 10, , , , , Ur Diagram 5 utläses att Bredt`s formel ger den minsta vridningen till följd av att den endast beaktar St. Venantsk vridning. Tso & Biswas samt Rosman ger en större rotation då även Vlasovsk vridning beaktas. Den utvecklade modellen grundar sig i Rosmans energiekvation samt att hänsyn även tas till joint flexibility och hela schaktets skjuvarbete istället för endast kopplingsbalkarna. För följande jämförelser sätts schaktets dimensioner till 30 våningar, a=10 m, b=8 m, t=0,4 m, h balk =0,8 m, l= m, våningshöjden h=3 m och den totala höjden H=90 m. Elasticitetsmodulen E=30 GPa och skjuvmodulen G=0,4E. Schaktet belastas med ett jämnt utbrett moment på 30 knm/m. Plexiglasexperimentet är ej tillämpbart för fallet med jämntutbrett moment. Resultatet visas i Diagram 6 och Tabell. Diagram 6. Jämförelse av den utvecklade modellen och äldre modeller vid utbrett moment. 4

45 Tabell. Jämförelse av rotationen i schaktets topp och botten. Utvecklad modell Rosman Bredt Tso & Biswas Rotation i topp (rad) 9, , , , I Diagram 7 och Tabell 3 redovisas skjuvflödet beroende av höjden mellan den utvecklade modellen och Rosman, Bredt och Tso & Biswas modeller. Principen för beräkning av skjuvflödet mellan Tso & Biswas och Rosman är densamma vilket ger ett större maximalt skjuvflöde än den utvecklade modellen. I Bredt s formel antas skjuvflödet vara linjärt över höjden. Diagram 7. Jämförelse av skjuvflöde mellan den utvecklade modellen och traditionella modeller. Tabell 3. Jämförelse av skjuvflöde. Skjuvflöde i toppen (N/m) Skjuvflöde i botten (N/m) Maximalt skjuvflöde (N/m) Utvecklad modell, , , Rosman 1, , Bredt 0 16, , Tso & Biswas 1, ,

46 I Diagram 7 visas att den utvecklade modellen ger ett skjuvflöde i schaktets inspänningssnitt till skillnad från Rosman och Tso & Biswas. Vid ren Saint Venantsk vridning fås ett skjuvflöde enligt Bredt s formel, för de övriga modellerna ges kurvans form av samtidig skjuvning och böjning. Skjuvflödet enligt Rosman och Tso & Biswas blir lika. Nedan studeras skillnaden mellan den utvecklade modellen med nya respektive traditionella randvillkor, det vill säga att skjuvflödet i inspänningssnittet är skilt från noll respektive är lika med noll, och med hela tvärsnittets respektive endast kopplingsbalkarnas skjuvarbete. Rörligheten i kopplingsbalkarnas leder beaktas i samtliga modeller, även i Rosmans och Bredt`s. Se Diagram 8 och Tabell 4. Diagram 8. Jämförelse av den utvecklade modellen och olika modifikationer. Tabell 4. Jämförelse av rotationen i schaktets topp och botten. Utvecklad modell Utv. Modell med traditionella randvillkor Utv. Modell med endast kb skjuvarbete Rotation i toppen (rad) 9, , ,

47 Rotation Rosman med joint flexibility Bredt`s med joint flexibility 10, , Det traditionella randvillkoret där skjuvflödet i schaktets botten är noll ger en större rotation än randvillkoret i den utvecklade modellen. Detta på grund av att det nya randvillkoret bidrar till att göra schaktet något styvare. Den utvecklade modellen med traditionella randvillkor istället för det nya ger således den största rotationen. Rosman använder sig av traditionella randvillkor, rotationen blir mindre eftersom att endast kopplingsbalkarnas skjuvarbete beaktas. I Diagram 8 visas även att rotationen minskar då hänsyn endast tas till kopplingsbalkarnas skjuvarbete i den utvecklade modellen. Även då ledernas flexibilitet ansätts i Bredts formel erhålls en mindre rotation. I Diagram 9 jämförs den utvecklade modellen med de äldre modellerna. Bidragen från ledernas flexibilitet och det adderade skjuvarbetet redovisas för den utvecklade modellen [rad] Ledernas flexibilitet Diagram 9. Jämförelse av den utvecklade modellen och äldre modeller. I Diagram 10 jämförs bidragen från ledernas flexibilitet och skjuvarbetet då de äldre modellerna modifierats i dessa avseenden. I den utvecklade modellen används dess nya randvillkor. 45

48 Rotation Rotation 10 5 [rad] Ledernas flexibilitet Diagram 10. Jämförelse av den utvecklade modellen med äldre modeller. I Diagram 11 utförs samma jämförelse men med traditionella randvillkor i den utvecklade modellen [rad] Ledernas flexibilitet Diagram 11. Jämförelse av modeller med traditionella randvillkor. 4. Jämförelse av analytisk- och FE-modell Det vridande momentet ger en deformation enligt Figur 33. Rotationen kan sedan mätas som vinkeländringen mellan ursprungsläget och det deformerade tillståndet. 46

49 Rotation Figur 33. Schaktets deformation av vridande moment. Vid ett ansatt punktmoment ger 3D Structure en rotation i toppen på 9,9*10-3 radianer vilket kan jämföras med 9,5*10-3 radianer för den utvecklade modellen, se Diagram 1. Den procentuella skillnaden blir således 4 % [rad] Diagram 1. Jämförelse av topprotation vid ett ansatt punktmoment. Vid ett jämnt utbrett moment ger 3D Structure en rotation i toppen på 10,4*10-3 radianer vilket kan jämföras med 9,1*10-3 radianer för den utvecklade modellen, se Diagram 13. Den procentuella skillnaden blir således 1 %. Ansys ger en rotation på 10,6*10-3 radianer vilket innebär en skillnad på 14 %. 47

50 Rotation Rotation 10 5 [rad] Diagram 13. Jämförelse av topprotation vid ett jämnt utbrett moment. I Diagram 14 redovisas resultatet från samtliga metoder och plexiglasmodellen. Till skillnad från det fullskaliga schaktets resultat ger här den utvecklade modellen en större rotation än 3D Structure och Ansys [rad] Diagram 14. Jämförelse mellan samtliga metoder och plexiglasmodellen Verifiering av skjuvflöde i inspänningssnittet Metoden att transformera kopplingsbalkarna till ett kontinuerligt skjuvmembran kontrolleras genom jämförelse av skjuvflödet i schaktets inspänningssnitt. Detta kan även användas för att analysera inverkan av randvillkoret i den analytiska modellen. Skjuvflödet för ett schakt modellerat med kopplingsbalkar redovisas i Figur

51 [kn/m] Figur 34. Skjuvflöde i inspänningssnittet för FE-modell. I Figur 35 visas skjuvflödet då kopplingsbalkarna ersatts med ett kontinuerligt skjuvmembran med ekvivalent tjocklek. [kn/m] Figur 35. Skjuvflöde i inspänningssnittet för FE-modell med skjuvmembran. Skjuvflödet stämmer väl överrens mellan de två modellerna vilket visar att transformationen till skjuvmembran är en god approximation. Resultatet visar även att skjuvflödet i skjuvmembranet är större i FE-modellen än i den analytiska modellen. Skjuvflödet i skjuvmembranet i den analytiska modellen uppgår till,7 kn/m att jämföra med 6 kn/m i FE-modellen. Det framgår även av Figur 35 att skjuvflödet ej är konstant över membranet. 49

52 Rotation 4.3 Parametrisk studie För att få en indikation över hur olika parametrar påverkar resultatet och jämförelsen med FEM utförs en parametrisk studi. Modell 1 i studien motsvarar det tidigare studerade schaktet. I Diagram 15 visas rotationen av tre olika modeller där endast kopplingsbalkens höjd ändras medan övriga variabler bibehålls konstanta. Modell 1, och 3 har en kopplingsbalkshöjd på 0,8 m, 0,6 m respektive 0,4 m. Samtliga modeller kontrolleras mot 3D Structure [rad] Ledernas flexibilitet Diagram 15. Parametrisk studie där kopplingsbalkens höjd ändras. Resultatet i Diagram 15 visar att skillnaden mellan den utvecklade modellen och 3D Structure är proportionell mot förändringen av balkhöjden. I Diagram 16 visas rotationen av tre olika modeller där endast schaktets väggtjocklek ändras medan övriga variabler bibehålls konstanta. Modell 4, 1 och 5 har en väggtjocklek på 0,5 m, 0,4 m respektive 0,3 m. Samtliga modeller kontrolleras mot 3D Structure. 50

53 Rotation Rotation 10 5 [rad] Ledernas flexibilitet Diagram 16. Parametrisk studie där väggtjockleken ändras. I Diagram 16 minskar skillnaden mellan den utvecklade modellen och 3D Structure med ökande balkhöjd. I Diagram 17 visas rotationen av tre olika modeller där endast schaktets yttermått ändras medan övriga variabler bibehålls konstanta. Modell 6, 1, 7, 8 och 9 har yttermåtten 1x8 m, 10x8 m, 8x8 m, 8x10 m respektive 8x1 m. Samtliga modeller kontrolleras mot 3D Structure. Observera att håltagningarna är på kortsidan i modell 8 och [rad] Ledernas flexibilitet Diagram 17. Parametrisk studie där schaktets yttermått ändras. Resultatet i Diagram 17 visar att avvikelsen i rotation skiljer sig beroende på förhållandet mellan yttermåtten. 51