Simulering av mekaniska system med Lagranges metod
|
|
- Åke Åberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kungliga Tekniska högskolan Mekanik institutionen Rapport för kandidatexamensarbete (SA104X) Simulering av mekaniska system med Lagranges metod Av: Simon Velander Ruben Nilsson Handledare: Nicholas Apazidis Examinator: Mårten Olsson Maj 21, 2013
2
3 Referat Mekaniska system har länge varit av intresse för vetenskapen och vår förmåga att matematiskt beskriva dess dynamik är mycket god. Att effektivt kunna härleda de nödvändiga ekvationerna är dock inte trivialt och uttrycken som bildas är ofta icke-linjära differentialekvationer som ej leder till explicita lägesbeskrivningar av de rörliga komponenterna. Idag finns kraftfulla matematiska metoder och datorverktyg som möjliggör simulering av relativt komplicerade mekaniska system vilket denna rapport ägnats åt att undersöka med hjälp av exempelsystem. Två utvalda mekaniska systems beteenden med varierande begynnelsevillkor har undersökts med hjälp av datorsimuleringar. Det första systemet har bestått av två pendlar med en fjäder fastspänd mellan pendeländarna. Det andra systemet har bestått av en fritt rullande cylinder på horisontellt underlag med två pendlar fastspända på änden. Både konservativa och dissipativa system har modellerats. De konservativa systemens beteenden har genomgått enkel analys. Den matematiska metoden som använts är Lagranges metod [2] som utnyttjar systemets totala energi för att härleda rörelseekvationerna. Modellering, numerisk integrering, och grafisk simulering med animation har gjorts i programmet Maple, med tilläggspaketet Sophia [1]. Systemen har visualiserats framgångsrikt och analys av beteenden visade att båda systemen kan uppvisa periodiskt såväl som kaotiskt rörelsemönster beroende på energinivån i systemet.
4 Innehåll 1 Introduktion Syfte Problemformulering Teori Lagranges metod Dissipativa krafter Konservativa system Grafisk visualisering Utförande Fjädersystemet Cylindersystemet Konservativa varianterna Animation Resultat Fjädersystemet Konservativa system Dissipativa system Animation Cylindersystemet Konservativa system Dissipativa system Animation Slutsats 25 Litteraturförteckning 27 A Animation 29 B Maple-kod till fjädersystemet 31 C Maple-kod till cylindersystemet 35
5 1. Introduktion Denna rapport är ett kandidatexamensarbete som ingår i civilingenjörsutbildningen vid Kungliga Tekniska Högskolan och är utförd vid mekanikinstitutionen. Arbetet genomfördes under vårterminen 2013 och omfattar 15 högskolepoäng. 1.1 Syfte Mekaniska system har länge varit av intresse för vetenskapen och vår förmåga att matematiskt kunna förutspå dess beteenden är mycket god. Att effektivt kunna härleda rörelseekvationerna är i sig är dock inte trivialt och uttrycken som bildas är ofta icke-linjära differentialekvationer som inte leder till explicita lägesbeskrivningar av de rörliga komponenterna. Idag finns kraftfulla matematiska metoder och datorverktyg som möjliggör simulering av relativt komplicerade mekaniska system vilket denna rapport ägnas åt att beskriva med hjälp av exempel. Programmet vi använt är Maple, tillsammans med tilläggspaketet Sophia. Målet är att framgångsrikt utnyttja Lagranges metod för att skapa matematiska modeller av komplicerade mekaniska system och generera grafiska representationer av dem, både i form av grafer och animationer. Därefter vill vi analysera deras beteenden och utföra enklare analyser av deras eventuella periodicitet. 1.2 Problemformulering Vi utgår från två system där vi kallar det första för fjädersystemet. Detta system består av ett stativ med två armar och pendlar orienterade enligt Figur 1.1. Pendlarna har massan m. En viktlös fjäder är monterad i pendlarnas ändpunkter och är ospänd i pendlarnas vertikala lägen. Vi antar att fjädern aldrig slaknar och vi tar inte hänsyn till att fjädern i denna uppsättning kan linda in sig i armarna vid höga energier. De dissipativa krafterna uppkommer i form av visköst motstånd och friktion i pendelfästena. 1
6 KAPITEL 1. INTRODUKTION Det andra systemet kallar vi för cylindersystemet. Detta system har geometrin enligt Figur 1.2. Cylindern med massa m 0 rullar på horisontellt underlag och vi antar att den inte kan glida. Pendlarna har massorna m. De dissipativa krafterna uppkommer i form av visköst motstånd och friktion i pendelfästena. Figur 1.1: Fjädersystemet. Figur 1.2: Cylindersystemet. För båda systemen gäller att bilda Lagranges rörelseekvationer, skapa uttryck för de generaliserade koordinaternas värden i tiden, och rita upp systemens rörelser grafiskt och med animation. Beteendet hos de konservativa varianterna av systemen ska analyseras. Analysen ska försöka identifiera periodiska och kaotiska beteenden samt undersöka eventuella faktorer, som energimängd och parameterval, som korrelerar till dessa. 2
7 2. Teori 2.1 Lagranges metod För enstaka partiklar kan dess rörelser förklaras med simpla kraftsamband [3]. Om flera stela komponenter är sammanlänkade på något vis är det dock nödvändigt att använda någon mer praktisk metod. Lagranges metod utnyttjar systemets energiuttryck, som generellt är enklare att hantera än kraftsambanden för stora system. Sambandet mellan kraft och rörelse ges av Newtons andra lag: p = F (2.1) Denna ekvation kan sedan multipliceras med partikelns lägesvektor r deriverat med avseende på varje generaliserad koordinat q i. En generaliserad koordinat är en godtycklig men lämpligt vald specificerad koordinat som beskriver partikelns position. Dessa faktorer representerar således tangentvektorerna till partikelns rörelse. r t p = r t F (2.2) Ekvation (2.2) projicerar ekvation (2.1) på de generaliserade basvektorerna och skalärprodukten bildar rörelseekvationer anpassade för varje generaliserad koordinat. Dessa ekvationer är emellertid besvärliga att hantera då flera sammanlänkade komponenter är involverade. Lagrange visade dock att vänsterledet kan formuleras med hjälp av systemets totala kinetiska energi T på följande vis. d T T = dt q i q i k F k r (2.3) q i Högerledet i (2.3) brukar kallas de generaliserade krafterna och betecknas Q i, således skrivs ekvationen: 3
8 KAPITEL 2. TEORI d T T = Q i (2.4) dt q i q i Ekvationen (2.4) är den mest generella formen av Lagranges rörelseekvationer och är till stor nytta för detta arbetes ändamål. Ur denna ekvation kan man lösa ut en generaliserad koordinats andraderivata med avseende på tiden, eller lösare sagt koordinatens acceleration. Denna omformulering av ekvationen kan vi betrakta som systemets rörelseekvation för denna generaliserade koordinat. Den resulterande ekvationen är en differentialekvation av andra ordningen och är endast i sällsynta specialfall linjär. Lösningen kan dock beräknas numeriskt med hjälp av Maple. Genom substitutionen: u = q (2.5) har vi gjort rörelseekvationen till ett tvåvariabelssystem. Varje generaliserad koordinats rörelseekvation behöver således denna substitutions ekvation för att kunna lösas helt. Vinsten med detta är att vi gjort om en differentialekvation av andra ordningen till två differentialekvationer av första ordningen. Ett sådant ekvationssystem kan lösas med Maples dsolve-funktion genom numerisk integrering av funktionerna Dissipativa krafter De dissipativa krafterna kan generellt sett behandlas enligt (2.3), där exempelvis luftmotstånd kan betraktas som en kraft som angriper på en rörlig punkt av komponenten med ett belopp som är proportionellt mot farten hos punkten. F kan därför skrivas som negativa hastighetsvektorn multiplicerat med en lämpligt vald konstant. Detta fungerar allmännt för viskös friktion. Friktion i leder uppkommer däremot av en motverkande momentkraft och kan inte behandlas enligt (2.3) då den är en storhet som inte har någon angreppspunkt. Om man undersöker arbetet U som den generaliserade kraften Q i uträttar fås sambandet: U i = Q i dq i (2.6) Momentarbete skrivs som: du = Mdθ (2.7) 4
9 2.1. LAGRANGES METOD Med hjälp av (2.6) och (2.7) kan vi konstatera att den generaliserade momentkraften kan i vårt fall skrivas som en lämpligt vald kraft som multiplicerat med den generaliserade koordinaten ger momentarbetet. Momentkraftens belopp kan likt anses vara proportionellt mot vinkelhastighetens belopp och kan därför skrivas som negativa vinkelhastigheten av pendeln multiplicerat med en lämpligt vald konstant Konservativa system För konservativa system med konservativa krafter gäller att integrationsvägen för partikeln inte spelar någon roll och arbetet alltid blir detsamma. Alltså är U = V (2.8) där V är den potentiella energin. Enligt (2.6) blir då den generaliserade kraften för det konservativa systemet: Q i = dv dq i (2.9) Vi kan substituera detta in i (2.4) och ersätta ännu ett led med ett mer lätthanterligt energiuttryck. Det eleganta sättet att skriva detta på är dock att bilda Lagrangefunktionen: L = T V (2.10) Detta reducerar (2.4) till Euler-Lagrange-ekvationerna : d dt ( L q i ) L q i = 0 (2.11) 5
10 KAPITEL 2. TEORI 2.2 Grafisk visualisering Att plotta de generaliserade koordinaternas värden mot tiden, eller mot sin ändringshastighet i ett fasrum, ger ofta en god representation av systemets beteenden om dessa är väl valda. För att åstadkomma detta kan man använda Maples odeplotfunktion som tar efterfrågade värden ur output-objektet genererat av dsolve-funktionen. För att skapa animationer tog vi procedurer skapade av N. Apazidis i ett extern grafikpaket gjort för Sophia. Dessa procedurer arbetar i två steg. Först tas partikelns läge i generaliserade koordinater som argument. Detta översätts till kartesiska koordinater och plottas i givet tidsintervall. Det andra steget skapar en sekvens av plottar från det första steget med bestämda små tidsintervall och visar dem i en snabb följd. Resultatet blir en serie streck som visar en partikels rörelse i rummet. För att visa objekt kan det första steget tillägga streck och cirklar med fästpunkter härledda ur de generaliserade koordinaternas värden. 6
11 3. Utförande De fullständiga koderna finns under bilagor. Denna del ägnas åt att kortfattat beskriva raderna för de dissipativa systemen, följt av vilka förenklingar som gjorts med Lagrangefunktionen i de konservativa fallen, följt av en förklaring av animeringsmetoderna. Observera att i koden läggs ett t till efter variabler istället för en prick som symbol för tidsderivata och därför görs likadant här, qt q. 3.1 Fjädersystemet Först deklareras de två nödvändiga generaliserade koordinaterna q 1 och q 2 och deras tidsderivator u 1 och u 2 som tidsberoende variabler. Lägesvektorer för pendlarnas lägen med avseende på dessa variabler måste skapas, så först deklareras koordinatsystemen A och B. Dessa koordinatsystem har origo i samma punkt som inertialsystemet N men roterar med vinklarna q 1 och q 2 enligt Figur 1.1 kring axel 1 respektive 2. Lägesvektorerna för pendeländarna r 1 och r 2 samt deras tyngdpunkter kan sedan enkelt bildas med hjälp av de anpassade koordinatsystemen. För att bilda det kinetiska energiuttrycket och de viskösa motstånden skapas även hastighetsvektorerna v 1 och v 2. Det kinetiska energiuttrycket T bildas som en summa av pendlarnas kinetiska energi. Varje pendels kinetiska energi har ban- och spinn-del enligt (3.1) T = 1 2 m v2 g I G (qt) 2 (3.1) vilket med tröghetsmomentet I G = 1 12 m l2 ger pendlarna de uttryck som de har i koden. På grund av hur Sophia hanterar tidsderivator användes skalärprodukt av hastigheterna istället för att skriva ut (l qt) 2 explicit då kvadrering orsakar buggar. 7
12 KAPITEL 3. UTFÖRANDE Vänsterledet i (2.3) är nu klart. För att skapa högerledet behövs kraftvektorerna och deras angreppspunkter deriverade med avseende på alla generaliserade koordinater. Vektorn rdist spänner sig mellan pendeländarna och har således samma riktning och längd som fjädern. Skalären rlangd är längden av rdist och rextend är hur långt fjädern blivit utsträckt, där negativt värde innebär ihoptryckning. Systemets krafter skapas sedan. F tyngd är tyngdkraften på pendlarna och är alltid nedåtriktad med beloppet m g. Vektorn F 1 är summan av den viskösa kraften och fjäderkraften på pendeln i armen a. Båda krafterna angriper på pendeländarna. Fjädern angriper med ett belopp proportionellt mot fjäderkonstanten k multiplicerat med rextend och med riktningen av negativa rdist, som i sin tur divideras med rlangd för att skapa enhetsvektorn. Motsvarande gäller för F 2. Angreppspunkternas lägesvektorer skapas i version för inertialsystemet N. Alla nödvändiga deriveringar med avseende på alla generaliserade koordinater görs sedan på dessa lägesvektorer. Därefter multipliceras de ihop med sina kraftvektorer och bildar de generaliserade krafterna Qi. Undantag för momentkrafterna Qf i som deklareras explicit, som beskrivet under Dissipativa krafter. Nu återstår endast att bilda Lagranges rörelseekvationer (2.4) och lösa dem. Substitution med qt = u görs för att slippa andraderivator senare. Lagranges rörelseekvationer eq1 och eq2 bildas genom att stegvis derivera energiuttrycket T, addera ihop dem, och sätta likhet med summan av alla generaliserade krafter Qi. Differentialekvationerna för substitutionerna packas in i kde och rörelseekvationerna löses för ut. Alla dessa differentialekvationer av första ordningen ges begynnelsevärden, görs tidsberoende utanför Sophia, ges parametervärden, och löses sedan med dsolve. 3.2 Cylindersystemet Först deklareras de tre nödvändiga generaliserade koordinaterna q 0, q 1, och q 2 och deras tidsderivator u 0, u 1, och u 2 som tidsberoende variabler. Lägesvektorer för pendlarnas och cylinders lägen i rummet med avseende på dessa variabler måste skapas, så först deklareras koordinatsystemen A, B, och C. Dessa koordinatsystem roterar med vinklarna q 0, q 1, och q 2 enligt Figur 1.2 kring axel 3. Lägesvektorerna för cylinders mittpunkt r0 och pendeländarna r 1 och r 2 samt deras tyngdpunkter kan sedan enkelt bildas med hjälp av de anpassade koordinatsystemen. För att bilda det kinetiska energiuttrycket och de viskösa motstånden skapas även hastighetsvektorerna v 0, v 1, och v 2. Det kinetiska energiuttrycket T bildas som en summa av cylinderns och pend- 8
13 3.3. KONSERVATIVA VARIANTERNA larnas kinetiska energi. Varje komponents kinetiska energi har ban- och spinndel enligt (3.1). Pendlarna har tröghetsmomentet I G,1 = 1 12 m l2 och cylindern I G,2 = 1 2 m r2 vilket ger komponenterna de uttryck som de har i koden. Likt i fjärdersystemet användes skalärprodukten av hastigheterna istället för att skriva ut (l qt) 2 explicit då kvadrering orsakar buggar med Sophia. Vänsterledet i (2.3) är nu klart. För att skapa högerledet behövs kraftvektorerna och deras angreppspunkter deriverade med avseende på alla generaliserade koordinater. Först skapas systemets krafter. F tyngd är tyngdkraften på pendlarna och är alltid nedåtriktad med beloppet m g. Vektorerna F 0v, F 1v, och F 2v är de viskösa krafterna på cylindern respektive pendlarna. Angreppspunkternas lägesvektorer skapas i version för inertialsystemet N. Alla nödvändiga deriveringar med avseende på alla generaliserade koordinater görs sedan på dessa lägesvektorer. Därefter multipliceras de ihop med sina kraftvektorer och bildar de generaliserade krafterna Qi. Undantag för momentkrafterna Qf i som deklareras explicit, som beskrivet under Dissipativa krafter. Momentkrafterna är proportionella mot pendlarnas vinkelhastigheter relativt cylindern, så vi måste kompensera för cylinderns egna vinkelhastighet. Nu återstår endast att bilda Lagranges rörelseekvationer (2.4) och lösa dem. Substitution med qt = u görs för att slippa andraderivator senare. Lagranges rörelseekvationer eq0, eq1, och eq2 bildas genom att stegvis derivera energiuttrycket T, addera ihop dem, och sätta likhet med summan av alla generaliserade krafter Qi. Differentialekvationerna för substitutionerna packas in i kde och rörelseekvationerna löses för ut. Alla dessa differentialekvationer av första ordningen ges begynnelsevärden, görs tidsberoende utanför Sophia, ges parametervärden, och löses sedan med dsolve. 3.3 Konservativa varianterna I det konservativa fallet utnyttjas Lagrangefunktionen (2.10) vilket förenklar modellerna avsevärt. Efter att alla relevanta vektorer skapats så deklareras det potentiella energiuttrycket V, som är en summa av pendlarnas lägesenergier, och även fjäderns lagrade potentiella energi i fjädersystemet. Därefter skapas Lagrangefunktionen som kan deriveras och sättas ihop till Euler-Lagrange-ekvationerna med avseende på de generaliserade koordinaterna på liknande sätt som i det allmänna dissipativa fallet. 9
14 KAPITEL 3. UTFÖRANDE Animation Proceduren som skapar animationen är en modifierad version av den grundläggande versionen som enbart skapar streckade linjer för lägesvektorernas bana i rummet. I det första steget som kallas plotpath_3d skapas först kartesiska koordinater för båda partiklarna. När fig skapas från odeplot läggs också en serie streck till som enbart gestaltar en specifik uppsättning av systemet till hands. I fjädersystemet finns dels tre streck som representerar de statiska stängerna och ändrar således aldrig position. Dels finns tre streck som representerar pendlarna och fjädern mellan dem. I cylindersystemet genereras en cirkel med mittpunkt i r0. Två linjer mellan cylindern och r1 och r2 representerar pendlarna och mellan fästpunkterna genereras ett streck för att se rotationen hos cylindern. Streckens dynamiska fästpunkter i x y z-led som funktion av de generaliserade koordinaterna är taget manuellt från uttrycken i plotpath_3d och värdena på dem tas direkt från output-objektet f f genererat av dsolve-funktionen. 10
15 4. Resultat 4.1 Fjädersystemet Konservativa system Medium begynnelseutslag, en radian, av pendel 1 med k=1 över 70 sekunder Figur 4.1 och Figur 4.2. Figur 4.1: Fasrum u1 mot q1 med k = 1 över tiden t = 70 sekunder. Figur 4.2: Vinkelutslag över tid. q1,q2 mot t där q1 är röd och q2 är blå. Medium begynnelseutslag, en radian, av pendel 1 med fjäderkonstanten k = 50 över 70 sekunder Figur 4.3 Figur
16 KAPITEL 4. RESULTAT Figur 4.3: Fasrum u1 mot q1 med k = 50 över tiden t = 70 sekunder. Figur 4.4: Vinkelutslag över tid. q1,q2 mot t där q1 är röd och q2 är blå. Fasrummen då 700 sekunder förflutit med fjäderkonstanten k = 1 Figur 4.5 respektive fjäderkonstanten k = 50 Figur 4.6. Figur 4.5: Fasrum u1 mot q1 med k = 1 över tiden t = 700 sekunder. Figur 4.6: Fasrum u1 mot q1 med k = 50 över tiden t = 700 sekunder. Med k=50 får pendel 1 tillräckligt med energi för att slå runt vid begynnelsevinkelhastigheten 8,750 Figur 4.7 och en liten skillnad i begynnelsevinkelhastigheten ger ett helt anorlunda graf Figur
17 4.1. FJÄDERSYSTEMET Figur 4.7: Vinkelutslag över tid. Begynnelsevärde u1 = 8, 750 q1,q2 mot t där q1 är röd och q2 är blå. Figur 4.8: Vinkelutslag över tid. Begynnelsevärde u1 = 8, 751 q1,q2 mot t där q1 är röd och q2 är blå. Då k = 50 är systemet helt periodiskt vid begynnelsevinkelhastigheten 6.5 rad/s och helt kaotisk vid 6.6 rad/s. Figur 4.9 illustrerar fasrummet då t < 100 och Figur 4.10 illustrerar fasrummet då t > 200 vid begynnelsevinkelhastigheten rad/s. Figur 4.11 visar vinkelutslaget som funktion av tiden under hela detta förlopp. Figur 4.9: Fasrum u1 mot q1. Begynnelsehastighet u1(0) = 6.525, 0 < t < 100. Figur 4.10: Fasrum u1 mot q1. Begynnelsehastighet u1(0) = 6.525, 200 < t <
18 KAPITEL 4. RESULTAT Figur 4.11: Vinkelutslag över tid. Begynnelsehastighet u1(0) = 6.525, 0 < t < Dissipativa system I fjädersystemet har vi följande dissipativa krafter; viskös friktion c v samt friktion från momentet i infästningen c m. Exempel på en lägre energinivå där k = 50 och begynnelsevinkelhastigheten 5 rad/s illustreras i Figur I Figur 4.13 har dissipativa krafter lagts till. Figur 4.12: k = 50, u1 = 5. Figur 4.13: k = 50, u1 = 5, c v = 0.03, c m =
19 4.1. FJÄDERSYSTEMET Animation För att se rörlig.gif-animation se bilaga A. En bild ur denna.gif-animation visas i Figur 4.14 Figur 4.14: En bild ur animationen av fjädersystemet 15
20 KAPITEL 4. RESULTAT 4.2 Cylindersystemet Konservativa system Följande är konservativa system, friktionen har negligerats. Mycket litet begynnelseutslag på q1. Figur 4.15 visar hur fasrummet ändras och bildar en spiral. Figur 4.16 visar förloppet efter att spiralen genomfört två turer in och ut och har genomfört sin fulla period. Figur 4.15: Fasrum u1 mot q1 då en tur genomförts. Figur 4.16: Fasrum u1 mot q1 då fyra turer genomförts. Figur 4.17 och Figur 4.18 visar spåren efter pendeländarna i rummet. Ingen märkbar skillnad syns. Figur 4.17: Spår efter pendlarnas ändar vid begynnelsevillkor u0 = 4.00, u1 = 4.00, u2 = 4.00 rad/s. Figur 4.18: Spår efter pendlarnas ändar vid begynnelsevillkor u0 = 4.00, u1 = 4.01, u2 = 4.00 rad/s. Figur 4.19 och Figur 4.20 visar spåren efter pendeländarna i rummet. Spåren är lika i början men skilljer sig mot slutet. 16
21 4.2. CYLINDERSYSTEMET Figur 4.19: Spår efter pendlarnas ändar vid begynnelsevillkor u0 = 6.00, u1 = 6.00, u2 = 6.00 rad/s. Figur 4.20: Spår efter pendlarnas ändar vid begynnelsevillkor u0 = 6.00, u1 = 6.01, u2 = 6.00 rad/s. Denna avvikelse propagerar sedan för att ge ett totalt annorlunda förlopp. Vinkelutslagen efter längre tid visas i Figur 4.21 och Figur Figur 4.21: Pendlarnas vinkelutslag q1 q2, över en längre tid vid begynnelsevillkor u0 = 6.00, u1 = 6.00, u2 = 6.00 rad/s. Figur 4.22: Pendlarnas vinkelutslag q1 q2, över en längre tid vid begynnelsevillkor u0 = 6.00, u1 = 6.01, u2 = 6.00 rad/s. 17
22 KAPITEL 4. RESULTAT Resultatet av en undersökning av övergången till detta kaotiska beteende illustreras i Figur Där u0(0) är cylinderns begynnelsehastighet. Figur 4.23: Fasrum pendel 1. Begynnelsehastighet u0(0) = 3.5 rad/s. Figur 4.24: Fasrum pendel 2. Begynnelsehastighet u0(0) = 3.5 rad/s. Figur 4.25: Vinkelutslag över tid, q1,q2 mot t. Begynnelsehastighet u0(0) = 3.5 rad/s. 18
23 4.2. CYLINDERSYSTEMET Figur 4.26: Fasrum pendel 1. Begynnelsehastighet u0(0) = 3.55 rad/s. Figur 4.27: Fasrum pendel 2. Begynnelsehastighet u0(0) = 3.55 rad/s. Figur 4.28: Vinkelutslag över tid, q1,q2 mot t. Begynnelsehastighet u0(0) = 3.55 rad/s. 19
24 KAPITEL 4. RESULTAT Figur 4.29: Fasrum pendel 1. Begynnelsehastighet u0(0) = 3.75 rad/s. Figur 4.30: Fasrum pendel 2. Begynnelsehastighet u0(0) = 3.75 rad/s. Figur 4.31: Vinkelutslag över tid, q1,q2 mot t. Begynnelsehastighet u0(0) = 3.75 rad/s. 20
25 4.2. CYLINDERSYSTEMET Figur 4.32: Fasrum pendel 1. Begynnelsehastighet u0(0) = 3.9 rad/s. Figur 4.33: Fasrum pendel 2. Begynnelsehastighet u0(0) = 3.9 rad/s. Figur 4.34: Vinkelutslag över tid, q1,q2 mot t. Begynnelsehastighet u0(0) = 3.9 rad/s. 21
26 KAPITEL 4. RESULTAT Dissipativa system I cylindersystemet har vi följande dissipativa krafter: viskös friktion c v, friktion från momentet i infästningen c m samt luftmotstånd på cylindern c l. Resultatet av en undersökning av dessa illustreras i Figur där begynnelsehastigheten är u0(0) = 5, u1(0) = 7, u2(0) = 7. Figur 4.35: q0, q1, q2 mot t. c l = 0, c v = 0, c m = 0. Figur 4.36: q0, q1, q2 mot t. c l = 0.05, c v = 0, c m = 0. Figur 4.37: q0, q1, q2 mot t. c l = 0, c v = 0.05, c m = 0. Figur 4.38: q0, q1, q2 mot t. c l = 0, c v = 0, c m =
27 4.2. CYLINDERSYSTEMET Figur 4.39: q0, q1, q2 mot t. c l = 0, c v = 0.05, c m = Figur 4.40: q0, q1, q2 mot t. c l = 0.05, c v = 0, c m = Figur 4.41: q0, q1, q2 mot t. c l = 0.05, c v = 0.05, c m = 0. Figur 4.42: q0, q1, q2 mot t. c l = 0.05, c v = 0.05, c m =
28 KAPITEL 4. RESULTAT Animation För att se rörlig.gif-animation se bilaga A. En bild ur denna.gif-animation visas i Figur 4.43 Figur 4.43: En bild ur animationen av cylindersystemet 24
29 5. Slutsats Lagranges metod är mycket effektiv för system av denna typ. Modellen för simulationerna kunde skapas snabbt och smidigt med Maple och Sophia som tillägg. De dissipativa krafterna mångdubblade komplexiteten i beräkningarna så om systemet i fråga inte har stora energiförluster bör Lagrangefunktionen användas direkt. Maple har inte många inbyggda hjälpmedel för att skapa animationer. Med Sophia och grafikpaketet till hjälp fanns någonting att börja med, men även med då krävdes mycket kod för att skräddarsy bilderna till det specifika systemet och det ledde också till mycket långsam rendering. Att kunna visualisera förloppen var ovärderligt för att kontrollera och förstå beteendet av systemen. Systemen uppvisade stor bredd av rörelsemönster trots deras enkla konstruktioner. Vid mycket låga energier dominerar de linjära termerna i rörelseekvationerna vilket gav fasrummen tydliga periodiska mönster. Längre körningar visar dock att fasrummen fylls, så perioderna är inte slutna. Det irrationella förhållandet mellan de naturliga oscillationerna av pendlarna och frekvenserna från de externa krafterna på dem gav upphov till dessa kvasiperiodiska beteenden i samtliga simulationer. Högre energier korrelerade till större influens från de icke-linjära termerna och mönstren blev mindre förutsägbara. I fjädersystemet var omslaget till ett helt kaotiskt system plötsligt och fasrummet hade ett distinkt turbulent utseende med ett komplext hoppande mellan två attraktorer. En exakt gräns mellan helt kvasiperiodiskt och helt kaotiskt beteende fanns inte. Istället fanns ett smalt intervall av begynnelsevillkor där systemet blev kaotiskt efter en viss tid. I cylindersystemet var övergången inte lika plötslig eller tydlig. I ett litet intervall var rörelsemönstret kaotiskt i helhet men nära origo fanns fortfarande spår av ordnade mönster. Denna oskarpa övergång berodde troligtvis på att energiutbytet med den massiva cylindern inte gav pendlarna lika fasta energinivåer som i fjädersystemet. 25
30
31 Litteraturförteckning [1] Nicholas Apazidis. Sophia. [2] Nicholas Apazidis. Mekanik II : partikelsystem, stel kropp och analytisk mekanik. Studentlitteratur AB, [3] Hanno Essén. Lagranges metod for en partikel. 27
32
33 A. Animation Länk till hemsida där animationerna finns: 29
34
35 B. Maple-kod till fjädersystemet > restart; read C:/Sophia/SophiaV6.txt ; read C:/Sophia/Graphics.txt ; with(plots); with(plottools); > dependstime(q1, u1, q2, u2); > &rot ([N, A, 1, q1]); > &rot ([N, B, 2, -q2]); > r1 := &++ ( &ev (N, [a, 0, 0]), &ev (A, [0, 0, -l])); r1tyngd := &++ ( &ev (N, [a, 0, 0]), &ev (A, [0, 0, -(1/2)*l])); > r2 := &++ ( &ev (N, [0, b, 0]), &ev (B, [0, 0, -l])); r2tyngd := &++ ( &ev (N, [0, b, 0]), &ev (B, [0, 0, -(1/2)*l])); > v1 := simplify( &fdt (N, r1)); > v2 := simplify( &fdt (N, r2)); > T := (1/6)*m* &o (v1, v1)+(1/6)*m* &o (v2, v2); > rdist := &-- (r1, r2); > rlangd := Emag(rdist); > rextend := rlangd-sqrt(a^2+b^2); > Ftyngd := &ev (N, [0, 0, -m*g]); > F1 := &-- ( &** (-k*rextend/rlangd, rdist), &** (c[v], v1)); > F2 := &-- ( &** (k*rextend/rlangd, rdist), &** (c[v], v2)); > rf1 := &to (N, r1); rf2 := &to (N, r2); rftyngd1 := &to (N, r1tyngd); rftyngd2 := &to (N, r2tyngd); > tf11 := [map(diff, rf1[1], q1), rf1[2]]; tf12 := [map(diff, rf1[1], q2), rf1[2]]; tf21 := [map(diff, rf2[1], q1), rf2[2]]; tf22 := [map(diff, rf2[1], q2), rf2[2]]; tft11 := [map(diff, rftyngd1[1], q1), rf1[2]]; tft12 := [map(diff, rftyngd1[1], q2), rf1[2]]; tft21 := [map(diff, rftyngd2[1], q1), rf1[2]]; tft22 := [map(diff, rftyngd2[1], q2), rf1[2]]; 31
36 BILAGA B. MAPLE-KOD TILL FJÄDERSYSTEMET > Q11 := simplify( &o (F1, tf11)); Q12 := simplify( &o (F1, tf12)); Q21 := simplify( &o (F2, tf21)); Q22 := simplify( &o (F2, tf22)); Qt11 := simplify( &o (Ftyngd, tft11)); Qt12 := simplify( &o (Ftyngd, tft12)); Qt21 := simplify( &o (Ftyngd, tft21)); Qt22 := simplify( &o (Ftyngd, tft22)); > Qf1 := -c[m]*q1t; Qf2 := -c[m]*q2t; > T := subs(q1t = u1, q2t = u2, T); > T_q1 := diff(t, q1); T_u1 := diff(t, u1); T_u1_t := &dt (T_u1); > eq1 := T_u1_t-T_q1 = Q11+Q21+Qt11+Qt21+Qf1; > eq1 := subs(q1t = u1, q2t = u2, eq1); > T_q2 := diff(t, q2); T_u2 := diff(t, u2); T_u2_t := &dt (T_u2); > eq2 := T_u2_t-T_q2 = Q12+Q22+Qt12+Qt22+Qf2; > eq2 := subs(q1t = u1, q2t = u2, eq2); > kde := {q1t = u1, q2t = u2}; > eq1 := {u1t = solve(eq1, u1t)}; > eq2 := {u2t = solve(eq2, u2t)}; > eqs := union ( union (eq1, eq2), kde); > InitCond := {q1(0) = 1, q2(0) = 0, u1(0) = 0, u2(0) = 0}; > eqst := subs(totimefunction, eqs); > param := {a =.5, b = 1.5, g = 9.8, k = 20, l = 1, m = 1, c[m] = 0, c[v] = 0}; eqst := subs(param, eqst); > ff := dsolve( union (eqst, InitCond), {q1(t), q2(t), u1(t), u2(t)}, type = numeric, maxfun = ); > odeplot(ff, [[t, q1(t)], [t, q2(t)]], , numpoints = 5000); > plotpath_3d := proc (int, radvect1, radvect2, curvepar, t0, t1, npoints_curve, clr, thick, framename) local x1, y1, z1, x2, y2, z2, fig; x1 := subs(curvepar, &c ( &to (framename, radvect1), 1)); x1 := subs(totimefunction, x1); x2 := subs(curvepar, &c ( &to (framename, radvect2), 1)); x2 := subs(totimefunction, x2); y1 := subs(curvepar, &c ( &to (framename, radvect1), 2)); y1 := subs(totimefunction, y1); y2 := subs(curvepar, &c ( &to (framename, radvect2), 2)); y2 := subs(totimefunction, y2); z1 := subs(curvepar, &c ( &to (framename, radvect1), 3)); z1 := subs(totimefunction, z1); 32
37 z2 := subs(curvepar, &c ( &to (framename, radvect2), 3)); z2 := subs(totimefunction, z2); fig := odeplot(int, [[x1, y1, z1], [x2, y2, z2]], t0.. t1, numpoints = npoints_curve, axes = FRAME, color = clr, thickness = thick, view = [-1.. 1, , ]), line([.5, 0, 0], [.5, sin(rhs(ff(t1)[2])), -cos(rhs(ff(t1)[2]))]), line([0, 1.5, 0], [sin(rhs(ff(t1)[3])), 1.5, -cos(rhs(ff(t1)[3]))]), line([.5, sin(rhs(ff(t1)[2])), -cos(rhs(ff(t1)[2]))], [sin(rhs(ff(t1)[3])), 1.5, -cos(rhs(ff(t1)[3]))]), line([0, 0, 0], [0, 0, -1.3]), line([0, 0, 0], [.5, 0, 0]), line([0, 0, 0], [0, 1.5, 0]), color = black, thickness = 2; display(fig) end proc; > animatepath_3d := proc (int, radvect1, radvect2, curvepar, t0, t1, npoints_curve, nframes, clr, thick, framename) local x1, y1, z1, x2, y2, z2, del, t00, t11, fig, n, npoints_frame, figg; del := (t1-t0)/nframes; npoints_frame := npoints_curve/nframes; thickness = thick; t00 := t0; t11 := t0+del; fig := plotpath_3d(int, radvect1, radvect2, curvepar, t00, t11, npoints_frame, clr, thick, framename); for n to nframes do t00 := t00+del; t11 := t00+del; figg := plotpath_3d(int, radvect1, radvect2, curvepar, t00, t11, npoints_frame, clr, thick, framename); fig := fig, figg end do; display(fig, insequence = true) end proc; > animatepath_3d(ff, r1, r2, param, 0, 1, 1, 200, red, 2, N); 33
38
39 C. Maple-kod till cylindersystemet > restart; read C:/Sophia/SophiaV6.txt ; read C:/Sophia/Graphics.txt ; with(plots); with(plottools); > dependstime(q0, u0, q1, u1, q2, u2); > &rot ([N, O, 3, q0]); > &rot ([N, A, 3, -q2]); > &rot ([N, B, 3, q1]); > r0 := &ev (N, [-q0*r, 0, 0]); > r1 := &++ ( &++ (r0, &ev (O, [r, 0, 0])), &ev (B, [0, -l, 0])); r1tyngd := &++ ( &++ (r0, &ev (O, [r, 0, 0])), &ev (B, [0, -(1/2)*l, 0])); > r2 := &++ ( &++ (r0, &ev (O, [-r, 0, 0])), &ev (A, [0, -l, 0])); r2tyngd := &++ ( &++ (r0, &ev (O, [-r, 0, 0])), &ev (A, [0, -(1/2)*l, 0])); > v0 := simplify( &fdt (N, r0)); > v1 := simplify( &fdt (N, r1)); > v2 := simplify( &fdt (N, r2)); > T := (1/6)*m* &o (v1, v1)+(1/6)*m* &o (v2, v2)+3*m0* &o (v0, v0)*(1/4); > Ftyngd := &ev (N, [0, -m*g, 0]); > F0v := &** (-c[l], v0); > F1v := &** (-c[v], v1); > F2v := &** (-c[v], v2); > rf1 := &to (N, r1); rf2 := &to (N, r2); rftyngd1 := &to (N, r1tyngd); rftyngd2 := > tf00 := [map(diff, r0[1], q0), rf1[2]]; tf01 := [map(diff, r0[1], q1), rf1[2]]; tf02 := [map(diff, r0[1], q2), rf1[2]]; tf10 := [map(diff, rf1[1], q0), rf1[2]]; tf11 := [map(diff, rf1[1], q1), rf1[2]]; tf12 := [map(diff, rf1[1], q2), rf1[2]]; tf20 := [map(diff, rf2[1], q0), rf2[2]]; tf21 := [map(diff, rf2[1], q1), rf2[2]]; tf22 := [map(diff, rf2[1], q2), rf2[2]]; 35
40 BILAGA C. MAPLE-KOD TILL CYLINDERSYSTEMET tft10 := [map(diff, rftyngd1[1], q0), rf1[2]]; tft11 := [map(diff, rftyngd1[1], q1), rf1[2]]; tft12 := [map(diff, rftyngd1[1], q2), rf1[2]]; tft20 := [map(diff, rftyngd2[1], q0), rf1[2]]; tft21 := [map(diff, rftyngd2[1], q1), rf1[2]]; tft22 := [map(diff, rftyngd2[1], q2), rf1[2]]; > Q00 := simplify( &o (F0v, tf00)); Q01 := simplify( &o (F0v, tf01)); Q02 := simplify( &o (F0v, tf02)); Q10 := simplify( &o (F1v, tf10)); Q11 := simplify( &o (F1v, tf11)); Q12 := simplify( &o (F1v, tf12)); Q20 := simplify( &o (F2v, tf20)); Q21 := simplify( &o (F2v, tf21)); Q22 := simplify( &o (F2v, tf22)); Qt10 := simplify( &o (Ftyngd, tft10)); Qt11 := simplify( &o (Ftyngd, tft11)); Qt12 := simplify( &o (Ftyngd, tft12)); Qt20 := simplify( &o (Ftyngd, tft20)); Qt21 := simplify( &o (Ftyngd, tft21)); Qt22 := simplify( &o (Ftyngd, tft22)); > Qf0 := -c[m]*(2*q0t-q1t+q2t); Qf1 := -c[m]*(q1t-q0t); Qf2 := -c[m]*(q2t+q0t); > T := subs(q0t = u0, q1t = u1, q2t = u2, T); > T_q0 := diff(t, q0); T_u0 := diff(t, u0); T_u0_t := &dt (T_u0); > eq0 := T_u0_t-T_q0 = Q00+Q10+Q20+Qt10+Qt20+Qf0; > eq0 := subs(q0t = u0, q1t = u1, q2t = u2, eq0); > T_q1 := diff(t, q1); T_u1 := diff(t, u1); T_u1_t := &dt (T_u1); > eq1 := T_u1_t-T_q1 = Q01+Q11+Q21+Qt11+Qt21+Qf1; > eq1 := subs(q0t = u0, q1t = u1, q2t = u2, eq1); > T_q2 := diff(t, q2); T_u2 := diff(t, u2); T_u2_t := &dt (T_u2); > eq2 := T_u2_t-T_q2 = Q02+Q12+Q22+Qt12+Qt22+Qf2; > eq2 := subs(q0t = u0, q1t = u1, q2t = u2, eq2); > kde := {q0t = u0, q1t = u1, q2t = u2}; > eq0 := {u0t = solve(eq0, u0t)}; > eq1 := {u1t = solve(eq1, u1t)}; > eq2 := {u2t = solve(eq2, u2t)}; > eqs := union ( union ( union (eq0, eq1), eq2), kde); > InitCond := {q0(0) = 0, q1(0) = 0, q2(0) = 0, u0(0) = 6, u1(0) = 0, u2(0) = 0}; > eqst := subs(totimefunction, eqs); > param := {g = 9.8, l = 1, m = 1, m0 = 4, r =.5, c[l] = 0., c[m] = 0., c[v] = 0.1e-1}; eqst := subs(param, eqst); > ff := dsolve( union (eqst, InitCond), {q0(t), q1(t), q2(t), u0(t), u1(t), u2(t)}, type = numeric, maxfun = 50000); 36
41 > odeplot(ff, [[t, q0(t)], [t, q2(t)], [t, q1(t)]], , numpoints = 5000); > plotpath_2d := proc (int, radvect1, radvect2, curvepar, t0, t1, npoints_curve, clr, thick, framename) local x1, x2, y1, y2, fig; x1 := subs(curvepar, &c ( &to (framename, radvect1), 1)); x1 := subs(totimefunction, x1); x2 := subs(curvepar, &c ( &to (framename, radvect2), 1)); x2 := subs(totimefunction, x2); y1 := subs(curvepar, &c ( &to (framename, radvect1), 2)); y1 := subs(totimefunction, y1); y2 := subs(curvepar, &c ( &to (framename, radvect2), 2)); y2 := subs(totimefunction, y2); fig := odeplot(int, [[x1, y1], [x2, y2]], t0.. t1, numpoints = npoints_curve, axes = FRAME, view = [ , ], color = clr, thickness = thick), line([.5*(-rhs(ff(t1)[2])+cos(rhs(ff(t1)[2]))),.5*sin(rhs(ff(t1)[2]))], [(-1)*.5*rhs(ff(t1)[2])+sin(rhs(ff(t1)[3]))+.5*cos(rhs(ff(t1)[2])),.5*sin(rhs(ff(t1)[2]))-cos(rhs(ff(t1)[3]))]), line([(-1)*.5*(rhs(ff(t1)[2])+cos(rhs(ff(t1)[2]))), (-1)*.5*sin(rhs(ff(t1)[2]))], [(-1)*.5*rhs(ff(t1)[2])+(-1)*.5*cos(rhs(ff(t1)[2]))-sin(rhs(ff(t1)[4])), (-1)*.5*sin(rhs(ff(t1)[2]))-cos(rhs(ff(t1)[4]))]), circle([(-1)*.5*rhs(ff(t1)[2]), 0],.5), line([.5*(-rhs(ff(t1)[2])+cos(rhs(ff(t1)[2]))),.5*sin(rhs(ff(t1)[2]))], [(-1)*.5*(rhs(ff(t1)[2])+cos(rhs(ff(t1)[2]))), (-1)*.5*sin(rhs(ff(t1)[2]))]), color = black, thickness = 2; display(fig) end proc; > plotpath_2d(ff, r1, r2, param, 0, 0, 800, red, 0, N); > animatepath_2d := proc (int, radvect1, radvect2, curvepar, t0, t1, npoints_curve, nframes, clr, thick, framename) local x1, x2, y1, y2, del, t00, t11, fig, n, npoints_frame, figg; del := (t1-t0)/nframes; npoints_frame := npoints_curve/nframes; thickness = thick; t00 := t0; t11 := t0+del; fig := plotpath_2d(int, radvect1, radvect2, curvepar, t00, t11, npoints_frame, clr, thick, framename); for n to nframes do t00 := t00+del; t11 := t00+del; figg := plotpath_2d(int, radvect1, radvect2, curvepar, t00, t11, npoints_frame, clr, thick, framename); fig := fig, figg end do; display(fig, insequence = true) end proc; > animatepath_2d(ff, r1, r2, param, 0, 0., 1, 70, red, 2, N); 37
Hanno Essén Lagranges metod för en partikel
Hanno Essén Lagranges metod för en partikel KTH MEKANIK STOCKHOLM 2004 1 Inledning Joseph Louis Lagrange (1763-1813) fann en metod som gör det möjligt att enkelt ta fram rörelseekvationerna för system
Läs merUndersökning av Mekaniska Problem med hjälp av Datoralgebra
Undersökning av Mekaniska Problem med hjälp av Datoralgebra Stefan Gramfält gramfalt@kth.se Maj 21, 2015 SA104X Examensarbete inom Teknisk Fysik, Grundnivå Institutionen för Mekanik Kungliga Tekniska Högskolan
Läs merMekanik SG1108 Mekanikprojekt Dubbelpendel
Mekanik SG1108 Mekanikprojekt Dubbelpendel Studenter: Peyman Ahmadzade Alexander Edström Robert Hurra Sammy Mannaa Handledare: Göran Karlsson karlsson@mech.kth.se Innehåll Sammanfattning... 3 Inledning...
Läs merMekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av
Mekanik 2 Live-L A TEX:ad av Anton Mårtensson 2012-05-08 I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av ṗ = m r = F Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk
Läs meruniversity-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11
Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 03 18 1 / 11 Översikt Friläggning Newtons 2:a lag i tre situationer jämvikt partiklar stela kroppars plana rörelse Energilagen Rörelsemängd
Läs merVisualisering av mekaniska pendlar
Visualisering av mekaniska pendlar Ludvig Jangenstål (911203-1290) och Anton Dahlberg (910603-5893) Klass: CTFYS 10 Mailadress: ludvigja@kth.se och antondah@kth.se Handledare: Nicholas Apazidis 1 Sammanfattning
Läs merAndra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Läs merMekanik Föreläsning 8
Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln
Läs merSG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp)
Läsåret 11/12 Utförliga lärandemål SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp) Richard Hsieh Huvudsakligt innehåll: Vektoralgebra och dimensionsbetraktelser. Kraft och kraftmoment. Kraftsystem; kraftpar,
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen
010-01-14 Tentamen i SG1140 Mekanik II KTH Mekanik 1. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet
Läs mer" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar
KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------
Läs merKOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi
KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag ----------------------------------------- Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi Definition av arbete: U 0"1 = t 1 t 1 # Pdt = # F v dt,
Läs merDefinitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen ---------------------------------- Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK
Läs merTentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen
007-08-30 Tentaen i Mekanik SG1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpede föruto rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Probletentaen En hoogen stång ed assan är fäst i ena änden i en fritt vridbar led.
Läs merMer Friktion jämviktsvillkor
KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F! µn. Viskös friktion: F = "cv. Extra villkor för jämvikt: risk för glidning eller stjälpning. ---------------------------------- Föreläsning
Läs merFÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN
FÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN Repetera de övningsuppgifter som kännts besvärliga. Om du behöver mera övning så kan du välja fritt bland de övningsuppgifter i Problemsamlingen som överhoppats.
Läs merTentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen
006-08-8 Tentaen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpede föruto rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Probletentaen Ett glatt hoogent klot ed assan vilar ot två plana, hårda och glatta
Läs merNewtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.
1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2
Läs merInre krafters resultanter
KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F " µn Normalkraftens angrepp?? Risk för glidning eller stjälpning ---------------------------------- Föreläsning 7: Inre krafters resultanter
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tid och plats: Tisdagen den 27 augusti 2013 klockan 14.00-18.00. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta samt en egenhändigt handskriven A4 med valfritt innehåll (bägge
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merArbete och effekt vid rotation
ˆ F rˆ Arbete och effekt vid rotation = Betrakta den masslösa staven med längden r och en partikel med massan m fastsatt i änden. Arbetet som kraften ሜF uträttar vid infinitesimal rotation d blir då: ds
Läs mer= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O
1 KOMIHÅG 15: --------------------------------- Definitioner: Den potentiella energin, mekaniska energin Formulera: Energiprincipen ---------------------------------- Föreläsning 16: FLER LAGAR-härledning
Läs merAnalytisk mekanik med datoralgebra
Kungliga Tekniska Högskolan Instutitionen för Mekanik Kandidatarbete inom civilingenjörsprogrammet i teknisk fysik Analytisk mekanik med datoralgebra Författare: Emil Génetay Johansen (910914-3793) och
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v =)
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del (FFM51 och 50 Tid och plats: Lösningsskiss: Fredagen den 17 januari 014 klockan 08.30-1.30. Christian Forssén Obligatorisk del 1. Endast kortfattade lösningar redovisas. Se avsnitt
Läs merLÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102
LÖSNINGAR TENTAMEN 16-10-20 MEKANIK II 1FA102 A1 Skeppet Vidfamne 1 har en mast som är 11,5 m hög. Seglet är i överkant fäst i en rå (en stång av trä, ungefär horisontell vid segling). För att kontrollera
Läs merTentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen
010-06-07 Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1 Problemtentamen En homogen mast med massan M och längden 10a hålls stående i vertikalt
Läs merInledning. Kapitel 1. 1.1 Bakgrund. 1.2 Syfte
Sammanfattning Vi har i kursen Modelleringsprojekt TNM085 valt att simulera ett geléobjekt i form av en kub. Denna består av masspunkter som är sammankopplade med tre olika typer av fjädrar med olika parametrar.
Läs merHärled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B = v A + ω AB
. Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B v A + ω AB motsvarande samband för accelerationer: a B a A + ω ω AB + a AB. Tolka termerna i uttrycket för specialfallet plan rörelse
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merMekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete
Mekanik FK2002m Föreläsning 6 Kinetisk energi och arbete 2013-09-11 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 6 Introduktion Idag ska vi börja prata om energi. - Kinetisk energi - Arbete Nästa gång
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs mere 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2
Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π
Läs merKursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION
1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen
Läs merFöreläsning 2,dynamik. Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar.
öreläsning 2,dynamik Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar. Exempel ges på olika typer av krafter, dessa kan delas in i mikroskopiska och makroskopiska. De makroskopiska krafterna kan
Läs mer9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar
9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,
Läs merProblemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2
2015-MM-DD Övningstentamen i Mekanik SG1130, grundkurs B1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Ett kraftsystem består av tre krafter som angriper
Läs mer" e n och Newtons 2:a lag
KOMIHÅG 4: --------------------------------- 1 Energistorheter: P = F v, U "1 = t 1 # Pdt. Energilagar: Effektlagen, Arbetets lag ---------------------------------- Föreläsning 5: Tillämpning av energilagar
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merII. Partikelkinetik {RK 5,6,7}
II. Partikelkinetik {RK 5,6,7} med kraft att beräkna och förstå Newtons lagar och kraftbegreppet är mycket viktiga för att beskriva och förstå rörelse Kenneth Järrendahl, 1: Tröghetslagen Newtons Lagar
Läs merOrdinära differentialekvationer,
(ODE) Ordinära differentialekvationer, del 1 Beräkningsvetenskap II It is a truism that nothing is permanent except change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver förändring, ofta i tiden
Läs mer9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar
9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar 9.5 Frilägg hjulet och armen var för sig. Normalkraften kan beräknas med hjälp av jämvikt för armen. 9.6 Frilägg armen, och beräkna normalkraften. a) N µn
Läs merLösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520)
Lösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520) Tid och plats: Tisdagen den juni 2014 klockan 08.0-12.0 i M-huset. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. Ren summering över de fyra
Läs merMatematik D (MA1204)
Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och
Läs merDen inverterade pendeln med oscillerande fästpunkt
Den inverterade pendeln med oscillerande fästpunkt Den inverterade pendeln är ett klassiskt reglertekniskt problem, här behandlas den för de olika periodiska rörelser av fästpunkten som kan ge stabil jämvikt.
Läs merSG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY
Tentaen 101218 Lcka till! Tillåtna hjälpedel är penna och suddgui. Rita tdliga figurer, skriv grundekvationer och glö inte att sätta ut vektorstreck. Definiera införda beteckningar och otivera uppställda
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
014-06-04 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En boll skjuts ut genom ett hål med en hastighet v så att den
Läs merNEWTONS 3 LAGAR för partiklar
wkomihåg 12: Acceleration-med olika komponenter. ----------------------------------------- Föreläsning 13: Dynamik kraft-rörelse (orsakverkan) NEWTONS 3 LAGAR för partiklar 1 1. En 'fri' partikel förblir
Läs merOmtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen
2015-06-12 Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. Med hjälp av en tråd kan ett homogent block
Läs merANDREAS REJBRAND NV1A Matematik Linjära ekvationssystem
ANDREAS REJBRAND NVA 004-04-05 Matematik http://www.rejbrand.se Linjära ekvationssystem Innehållsförteckning LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM... INNEHÅLLSFÖRTECKNING... DEFINITION OCH LÖSNINGSMETODER... 3 Algebraiska
Läs merTentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!
014-03-17 Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 1 KTH Mekanik Problemtentamen En tunn homogen stav i jämvikt med massan m har i ena ändpunkten
Läs merMEKANIK LABORATION 2 KOPPLADE SVÄNGNINGAR. FY2010 ÅK2 Vårterminen 2007
I T E T U N I V E R S + T O C K H O L M S S FYSIKUM Stockholms universitet Fysikum 3 april 007 MEKANIK LABORATION KOPPLADE SVÄNGNINGAR FY010 ÅK Vårterminen 007 Mål Laborationen avser att ge allmän insikt
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Lördagen den 1 september 2012 klockan 08.30-12.30 i M. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med valfritt
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP00, Fysikprogrammet termin 2 Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Lödag 29 maj 200, kl 8 30 3 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merLösningar Heureka 2 Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse
Lösningar Heureka Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lo sningar Fysik Heureka Kapitel 7 7.1 a) Av figuren framgår att amplituden är 0,30 m. b) Skuggan utför en
Läs merVågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:
Läs merRepetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen
Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från
Läs merTentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08
Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08 Onsdagen den 13 augusti 2008, kl. 8-12 Examinator: Jonas Stålhand Jourhavande lärare: Jonas Stålhand, tel: 281712 Tillåtna hjälpmedel: Inga hjälpmedel Tentamen
Läs mer6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar
6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste
Läs merStelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra
Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra Rörelse relativt mass centrum Allmänt partikelsystem Stel kropp translation + rotation (cirkelrörelse) För att kunna beskriva och förstå
Läs merALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Rörelsemängd: p = mv, Kinematiska storheter: r ( t), v ( t), a ( t) Kinematiska samband med begynnelsevillkor 1 Föreläsning 9: ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska
Läs merKUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe
Tentamen i SG1102 Mekanik, mindre kurs för Bio, Cmedt, Open Uppgifterna skall lämnas in på separata papper. Problemdelen. För varje uppgift ges högst 6 poäng. För godkänt fordras minst 8 poäng. Teoridelen.
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!
014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar
Läs merMålsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.
1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller
Läs merTentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen
005-05-7 Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En homogen stång med massan m är fäst i ena änden i en fritt vridbar
Läs merTentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen
010-05-6 Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1 En cylinder med massan M vilar på en homogen horisontell planka med
Läs merMekanik FK2002m. Repetition
Mekanik FK2002m Föreläsning 12 Repetition 2013-09-30 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 12 Förflyttning, hastighet, acceleration Position: r = xî+yĵ +zˆk θ = s r [s = θr] Förflyttning: r
Läs merKOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n
KOMIHÅG 1: ------------------------------------------------------ Ekvation för fri dämpad svängning: x + "# n x + # n x = a, Tre typer av dämpning: Svag, kritisk och stark. 1 ------------------------------------------------------
Läs merKomihåg 5: ( ) + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A. = a B. + " # r BA
1 Föreläsning 6: Relativ rörelse (kap 215 216) Komihåg 5: ( ) Accelerationssamb: a A = a B + " # r BA + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A = a B " d BA # 2 e r + d BA # e # Rullning på plan
Läs merODE av andra ordningen, och system av ODE
ODE av andra ordningen, och system av ODE Exempel på di erentialekvation av andra ordningen (innehåller andra derivata) Pendel beskrives av Newtons andra lag: Kraft = massa Acceleration Acceleration =
Läs merTentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Magnus Johansson Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68 Måndag 019-01-14 kl. 14.00-19.00 Tillåtna Hjälpmedel: Physics Handbook
Läs merTvå gränsfall en fallstudie
19 november 2014 FYTA11 Datoruppgift 6 Två gränsfall en fallstudie Handledare: Christian Bierlich Email: christian.bierlich@thep.lu.se Redovisning av övningsuppgifter före angiven deadline. 1 Introduktion
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merTillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4-sida med valfritt innehåll.
Tentamen i Mekanik förf, del B Måndagen 12 januari 2004, 8.45-12.45, V-huset Examinator och jour: Martin Cederwall, tel. 7723181, 0733-500886 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat,
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merLÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse
LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse Utrustning: Dator med programmet LoggerPro LabQuest eller LabPro Avståndsmätare Kraftgivare Spiralfjäder En vikt Stativmateriel Kraftgivare Koppla mätvärdesinsamlaren
Läs merMekanik III, 1FA103. 1juni2015. Lisa Freyhult 471 3297
Mekanik III, 1FA103 1juni2015 Lisa Freyhult 471 3297 Instruktioner: Börja varje uppgift på nytt blad. Skriv kod på varje blad du lämnar in. Definiera införda beteckningar i text eller figur. Motivera uppställda
Läs merTid läge och accelera.on
Tid läge och accelera.on Tid t Läge x = x(t) Hastighet v(t) = dx dt x(t) = Acceleration a(t) = dv dt v(t) = t t0 v(t)dt t t 0 a(t)dt Eq 1 Eq 2 Eq 3 MEN KOM IHÅG: 1. För a> de>a skall vara användbart måste.dsberoendet
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 11, 2017 12. Tensorer Introduktion till tensorbegreppet Fysikaliska
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen
2010-10-23 Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merKapitel extra Tröghetsmoment
et betecknas med I eller J används för att beskriva stela kroppars dynamik har samma roll i rotationsrörelser som massa har för translationsrörelser Innebär systemets tröghet när det gäller att ändra rotationshastigheten
Läs merEnda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper.
KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Läsåret 05/06 Tentamen i 5C110 Mekanik mk, kurs E1 och Open 1 006-03-15 Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket
Läs merTentamensskrivning i Mekanik - Dynamik, för M.
Mekanik, LTH Tentamensskrivning i Mekanik - Dynamik, för M. Fredagen den 20 decemer 2013, kl. 14-19 Namn(texta):. Personnr: ÅRSKURS M:... Skrivningen estår av 5 uppgifter. Kontrollera att alla uppgifterna
Läs mer3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.
Tentamen 1, Mekanik KF HT2011 26:e November. Hjälpmedel: Physics handbook alt. Formelblad, Beta mathematics handbook, pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmmar. För godkänt krävs minst 18/36 på
Läs merHarmonisk oscillator Ulf Torkelsson
1 Haronisk rörelse Föreläsning 13/9 Haronisk oscillator Ulf Torkelsson Betrakta en potentiell energi, V (x), so har ett iniu vid x, och studera rörelsen i närheten av detta iniu. O vi släpper en partikel
Läs merInlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merVi har väl alla stått på en matta på golvet och sedan hastigt försökt förflytta
Niclas Larson Myra på villovägar Att modellera praktiska sammanhang i termer av matematik och att kunna använda olika representationer och se samband mellan dessa är grundläggande förmågor som behövs vid
Läs merLaboration 2 Ordinära differentialekvationer
Matematisk analys i en variabel, AT1 TMV13-1/13 Matematiska vetenskaper Laboration Ordinära differentialekvationer Vi skall se på begynnelsevärdesproblem för första ordningens differentialekvation u =
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 16 augusti 2010 klockan 14.00-18.00 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén. Obligatorisk del 1. Rätt svar på de sex deluppgifterna: SFF SFS.
Läs merGemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund
Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska
Läs merBasala kunskapsmål i Mekanik
Basala kunskapsmål i Mekanik I kunskapsmålen nedan används termerna definiera, förklara och redogöra återkommande. Här följer ett försök att klargöra vad som avses med dessa. Definiera Skriv ner en definition,
Läs merFöreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z )
1 Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: H O = "I xz e x " I yz e y + I z e z H G = "I xz ( ) ( G e x " I G yz e y + I G z e z ) # (fixt origo, kroppsfix bas) # (kroppsfix
Läs merSpeciell relativitetsteori inlämningsuppgift 2
Speciell relativitetsteori inlämningsuppgift 2 Christian von Schultz 2006 11 29 1 Tre satser Vi definierar en rumslik vektor A som en vektor som har A 2 < 0; en tidslik vektor har A 2 > 0 och en ljuslik
Läs merTentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 2 Dynamik
Mekanik, LTH Tentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 2 Dynamik Måndagen den 8 April 2013, kl. 8-13 Namn(texta):. Personnr: ÅRSKURS M:... Namn(signatur).. Skrivningen består av 5 uppgifter. Kontrollera
Läs merFöreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system
1 KOMIHÅG 16: --------------------------------- Ellipsbanans storaxel och mekaniska energin E = " mgm 2a ------------------------------------------------------ Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla
Läs mer