Den inverterade pendeln med oscillerande fästpunkt
|
|
- David Gustafsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Den inverterade pendeln med oscillerande fästpunkt Den inverterade pendeln är ett klassiskt reglertekniskt problem, här behandlas den för de olika periodiska rörelser av fästpunkten som kan ge stabil jämvikt. PETER BERGSTRÖM KARIM GABER ANDERS MEURK Kandidatexamensrapport vid Mekanik Handledare: Hanno Essén, Gunnar Maxe Examinator: Hanno Essén, Gunnar Maxe
2 Referat Denna rapport undersöker den inverterade pendelns beteende när dess fästpunkt ges en påtvingad oscillation. Förutom rakt nedåt har systemet stabila jämviktslägen både för horisontell och vertikal oscillation av fästpunkten. I båda dessa fall uppkommer dessa jämviktslägen då a 2 ω 2 > 2gl vilket motsvarar en tillräckligt stark oscillation. Jämviktsläget uppkommer rakt uppåt för den vertikala rörelsen och snett nedåt för den horisontella rörelsen.
3 Abstract Inverted pendulum with oscillating pivot point This report investigates the behaviour of the inverted pendulum when its pivot point is given a forced oscillation. The system exhibits stable behaviour apart from the trivial downwards direction for both horizontal and vertical oscillations of the pivot point. In both these cases the stable equilibriums occur when a 2 ω 2 > 2gl which corresponds to a rapid enough oscillation. For the vertical oscillation the stable equilibrium occur upwards. However for the horizontal oscillation the stable equilibrium occur below the pivot point, but not downwards.
4 Innehåll 1 Bakgrund 1 2 Problemformulering 2 3 Den generella rörelseekvationen Massans kinematik Lagrangefunktionen Rörelseekvationen Fästpunktens rörelser Horisontell oscillation Rörelseekvationen Effektiva potentiella energin Jämviktslägen och stabilitet Bifurkation Vertikal oscillation Rörelseekvationen Effektiva potentiella energin Jämviktslägen och stabilitet Bifurkation Cirkulär oscillation Rörelseekvationen Effektiva potentiella energin Jämviktslägen och stabilitet Resultat Simulering Horisontell oscillation Vertikal oscillation Slutsats 15 Litteraturförteckning 16
5 Kapitel 1 Bakgrund Denna rapport är ett kandidatexamensarbete som ingår i civilingenjörsutbildningen vid Kungliga Tekniska Högskolan i Stockholm och ges av Mekanikinstitutionen. Arbetet genomförs VT 2009 och omfattar 15hp. Utvecklingen inom det reglertekniska området är idag viktig för att göra styrningen av instabila system säkrare. Flygplan, maskiner i industrin och hushållsprodukter är några få exempel på system som kan vara instabila eller ha instabila delsystem. Utöver den manuella styrningen kräver dessa system reglering för att kompensera omgivningens motverkan. JAS 39 Gripen är ett bra exempel på detta eftersom att stridsflygplanet är aerodynamiskt instabilt och kräver regulatorer för att stabilisera planet utan att påverka pilotens manövrering. Då dessa i vissa fall kan motverka varandra krävs ett väl fungerande reglersystem för att upprätthålla hög säkerhet och noggrann positionering. Vid testning av reglersystem är det vanligt att man använder sig av det klassiska ickelinjära problemet med den inverterade pendeln. Till skillnad från en vanlig pendel vars massa hänger nedanför sin upphängningspunkt och är naturligt stabil har den inverterade pendeln sin massa ovanför upphängningspunkten vilket medför att den istället blir väldigt instabil. Därför måste man ständigt balansera pendeln för att den ska hålla sig upprätt. Detta görs genom att anpassa upphängningspunkts position i förhållande till pendelns vinkel. Vad skulle hända om upphängningspunkten rörde sig med en oscillerande rörelse vid problemet med den inverterade pendeln? Skulle man kunna finna stabila jämviktslägen för pendeln? Hur skulle de i sådana fall se ut och med vilken precision skulle de upprätthållas? Kommer jämviktslägena att variera beroende på om upphängningspunkten oscillerar i horisontalled, vertikalled eller rent cirkulärt? Vilka samband finns mellan ingående parametrar och hur påverkar de stabiliteten? Detta arbete berör och diskuterar dessa frågor och ett resultat sammanställs tillsammans med en grundlig analys. 1
6 Kapitel 2 Problemformulering Problemet är att analysera den inverterade pendelns beteende för olika påtvingade oscillationer av fästpunkten. De rörelser som kommer studeras är horisontell, vertikal och cirkulär oscillation. y ϕ l x Figur 2.1. Pendeln med införda storheter. Pendeln i Figur 2.1 består av en stång, som betraktas som lätt och utan luftmotstånd, och en punktmassa i änden med massan m. Den har längden l och bildar vinkeln φ mot y-axeln. Leden mellan pendeln och fästpunkten betraktas som friktionsfri. Pendeln befinner sig i ett gravitationsfält med accelerationen g. 2
7 KAPITEL 2. PROBLEMFORMULERING y ϕ l a x ωt Figur 2.2. Pendeln vid cirkulär oscillation av fästpunkten. När fästpunkten rör sig cirkulärt införs även frekvensen ω som en fysisk vinkel tillsammans med tiden t enligt Figur
8 Kapitel 3 Den generella rörelseekvationen Systemets rörelseekvation tas fram för godtyckliga påtvingade rörelser av pendelns fästpunkt. 3.1 Massans kinematik Massans läge i x- respektive y-led fås som och x m = l sin φ + x (3.1) y m = l cos φ + y (3.2) där x = x(t) och y = y(t) är fästpunktens påtvingade rörelse. Tidsderiveras dessa fås hastighetens båda komponenter ẋ m = l φ cos φ + ẋ (3.3) och ẏ m = l φ sin φ + ẏ. (3.4) 3.2 Lagrangefunktionen Dessa två hastighetskomponenter ger hastighetsvektorn ( v = l φ cos φ + ẋ, l φ ) sin φ + ẏ (3.5) vilket gör att systemets kinetiska energi kan skrivas som T = m 2 v v = m [ ( l 2 φ 2 ( cos φ + ẋ) + l φ ) ] 2 sin φ + ẏ = m [ ẋ 2 + ẏ 2 + l 2 2 φ2 + 2l φ(ẋ ] cos φ ẏ sin φ). (3.6) 4
9 KAPITEL 3. DEN GENERELLA RÖRELSEEKVATIONEN Systemets potentiella energi kan skrivas som om V y=0 = 0. Detta gör att Lagrangianen blir L = T V = m Rörelseekvationen V = mgl cos φ + mgy (3.7) [ l 2 φ2 + ẋ 2 + ẏ 2] + ml φ(ẋ cos φ ẏ sin φ) mgl cos φ mgy. (3.8) Derivering av (3.8) med avseende på φ ger L φ = mgl sin φ ml φ(ẋ sin φ + ẏ cos φ) (3.9) och derivering av (3.8) med avseende på φ ger L φ = ml2 φ + ml(ẋ cos φ ẏ sin φ), (3.10) tidsderiveras detta fås ( ) d L [ dt φ = ml 2 φ + ml ẍ cos φ ẋ φ sin φ ÿ sin φ ẏ φ ] cos φ (3.11) vilket gör att systemets rörelseekvation enligt Euler-Lagranges ekvationer blir d dt ( L φ ) L φ = ml2 φ + mlẍ cos φ mlÿ sin φ mgl sin φ = 0 (3.12) 5
10 Kapitel 4 Fästpunktens rörelser Tre fall för fästpunktens rörelse ska behandlas utifrån den rörelseekvation som härletts. Den effektiva potentiella energin U eff ställs upp och dess nollställen ger systemets jämviktslägen för olika parametrar. Denna metod approximerar för höga frekvenser oscillationen med ett effektivt tidsmedelvärde [1]. 4.1 Horisontell oscillation I detta fall rör sig fästpunkten periodiskt fram och tillbaka horistontellt enligt x = a cos ωt, y = Rörelseekvationen Efter två tidsderiveringar av de påtvingade rörelserna fås accelerationerna till ẍ = ω 2 a cos ωt (4.1) ÿ = 0. (4.2) Ersätts accelerationerna i (3.12) med (4.1) fås rörelseekvationen för denna påtvingade rörelse som ml 2 φ mlaω 2 cos ωt cos φ mgl sin φ = 0. (4.3) Rörelseekvationen är nu skriven på energiform, på kraftform blir den ml φ = maω 2 cos φ cos ωt + mg sin φ. (4.4) Ur (4.4) kan den oscillerande kraften f identifieras som Denna kraft består av två delar f = maω 2 cos φ cos ωt. (4.5) f = f 1 cos ωt + f 2 sin ωt (4.6) 6
11 KAPITEL 4. FÄSTPUNKTENS RÖRELSER där Effektiva potentiella energin Den effektiva potentiella energin U eff blir f 1 = maω 2 cos φ (4.7) f 2 = 0. (4.8) U eff = U g + f f 2 2 4mω 2 = +mgl cos φ + (maω2 cos φ) 2 4mω 2 = m a2 ω 2 cos 2 φ + mgl cos φ. (4.9) 4 Ekvationen är nu tidsinvariant och kan behandlas analytiskt. Energin normeras med den karakteristiska potentiella energin mgl som u = a2 ω 2 4gl cos 2 φ + cos φ (4.10) där u = U eff är dimensionslös energi och en dimensionslös parameter γ = a2 ω 2 mgl 2gl införs vilket ger den dimensionslösa ekvationen u = γ 2 cos 2 φ + cos φ. (4.11) Jämviktslägen och stabilitet Minimum för (4.11) ger systemets jämviktslägen, derivering med avseende på φ ger du = sin φ (1 + γ cos φ) = 0. (4.12) dφ Alltså fås jämvikt antingen då sin φ = 0 vilket motsvarar vinklarna φ = 0 eller φ = π eller då 1 + γ cos φ = 0 vilket bara kan inträffa om γ > 1 och då motsvarar vinkeln cos φ = γ 1. Stabiliteten bestäms av tecknet hos energifunktionens andraderivata d 2 u [ ] dφ 2 = cos φ γ 2 cos 2 φ 1. (4.13) Då andraderivatan är positiv är jämviktsläget stabilt och då andraderivatan är negativ är jämviktsläget instabilt. Jämviktslägenas stabilitet sammanfattas i Tabell
12 KAPITEL 4. FÄSTPUNKTENS RÖRELSER Stabilitet då φ cos φ d 2 u dφ 2 γ > 1 γ < γ Instabil Instabil π 1 1 γ Instabil Stabil φ γ 1 γ ( 1 γ 2) Stabil Tabell 4.1. Jämvikternas stabilitet φ γ Figur 4.1. Bifurkationsdigram för horisontell rörelse Bifurkation Parametern γ gör att systemet genomgår en bifurkation vid det kritiska värdet γ = 1. En bra bild av dynamiken fås ur ett bifurkationsdiagram [2] där jämviktslägena samt deras stabilitet plottas som en funktion av parametern. Ur (4.12) får man φ(γ) = cos 1 γ 1 (4.14) vilket ger en bifurkationsdiagrammet i Figur 4.1. När fästpunkten oscillerar långsamt finns ett stabilt jämviktsläge längst ner och ett instabilt jämviktsläge längst upp. Däremot när fästpunkten oscillerar snabbt nog uppstår två nya stabila jämviktslägen medan jämviktsläget längst ner förlorar sin stabilitet i en superkritisk pitchforkbifurkation. 4.2 Vertikal oscillation I detta fall rör sig fästpunkten periodiskt upp och ner vertikalt enligt x = 0, y = a sin ωt. 8
13 KAPITEL 4. FÄSTPUNKTENS RÖRELSER Rörelseekvationen De påtvingade accelerationerna är ẍ = 0 (4.15) ÿ = ω 2 a sin ωt. (4.16) Sätts detta in i (3.12) fås rörelseekvationen för denna påtvingade rörelse till När ekvationen är skriven på kraftform ml 2 φ + mlaω 2 sin ωt sin φ mgl sin φ = 0. (4.17) ml φ = maω 2 sin φ sin ωt + mg sin φ (4.18) kan den oscillerande kraften f identifieras som där Effektiva potentiella energin För detta fall blir den effektiva potentiella energin f = maω 2 sin φ sin ωt (4.19) f 1 = 0 (4.20) f 2 = maω 2 sin φ. (4.21) U eff = U g + f f 2 2 4mω 2 = mgl cos φ + ( maω2 sin φ) 2 4mω 2 (4.22) = m a2 ω 2 sin 2 φ + mgl cos φ. 4 (4.23) Ekvationen normeras med mgl som u = γ 2 sin 2 φ + cos φ (4.24) där u = U eff mgl och γ = a2 ω 2 2gl Jämviktslägen och stabilitet Minimum för (4.24) ger systemets jämviktslägen. Derivering med avseende på φ ger du = sin φ(γ cos φ 1) = 0. (4.25) dφ 9
14 KAPITEL 4. FÄSTPUNKTENS RÖRELSER Alltså fås jämvikt antingen då sin φ = 0 vilket motsvarar vinklarna φ = 0 eller φ = π eller då γ cos φ 1 = 0 vilket bara kan inträffa om γ > 1 och då motsvarar vinkeln cos φ = γ 1. Stabiliteten bestäms av tecknet hos energifunktionens andraderivata d 2 u dφ 2 = γ(2 cos 2 φ 1) cos φ. (4.26) Då andraderivatan är positiv är jämviktsläget stabilt och då andraderivatan är negativ är jämviktsläget instabilt. Jämviktslägenas stabilitet sammanfattas i Tabell 4.2. Stabilitet då φ cos φ d 2 u dφ 2 γ > 1 γ < γ 1 Stabil Instabil π 1 γ + 1 Stabil Stabil φ γ 1 γ ( γ 2 1 ) Instabil Tabell 4.2. Jämvikternas stabilitet Bifurkation Precis som för den horisontella oscillationen gör parametern γ att systemet genomgår en bifurkation vid det kritiska värdet γ = φ γ Figur 4.2. Bifurkationsdigram för vertikal rörelse. Bifurkationsdiagrammet i Figur 4.2 visar hur den instabila punkten rakt upp blir stabil då γ > 1 medan två nya instabila punkter uppkommer. 10
15 KAPITEL 4. FÄSTPUNKTENS RÖRELSER 4.3 Cirkulär oscillation I detta fall rör sig fästpunkten periodiskt i en cirkelbana enligt x = a cos ωt, y = a sin ωt Rörelseekvationen De påtvingade accelerationerna är ẍ = ω 2 a cos ωt (4.27) ÿ = ω 2 a sin ωt. (4.28) Sätts detta in i (3.12) fås rörelseekvationen för denna påtvingade rörelse till ml 2 φ + mlaω 2 sin ωt sin φ mlaω 2 cos ωt cos φ mgl sin φ = 0 (4.29) vilket på kraftform blir ml φ = maω 2 cos ωt cos φ maω 2 sin ωt sin φ + mg sin φ. (4.30) Den oscillerande kraften f identifieras som där Effektiva potentiella energin f = maω 2 cos ωt cos φ maω 2 sin ωt sin φ (4.31) För detta fall blir den effektiva potentiella energin f 1 = maω 2 cos φ (4.32) f 2 = maω 2 sin φ. (4.33) U eff = U g + f f 2 2 4mω 2 = mgl cos φ + (maω2 cos φ) 2 + ( maω 2 sin φ) 2 4mω 2 (4.34) = m a2 ω 2 + mgl cos φ. 4 (4.35) Ekvationen normeras med mgl till u = γ 2 + cos φ (4.36) där u = U eff mgl och γ = a2 ω 2 2gl. 11
16 KAPITEL 4. FÄSTPUNKTENS RÖRELSER Jämviktslägen och stabilitet Minimum för (4.36) ger systemets jämviktslägen. Derivering med avseende på φ ger du = sin φ = 0 (4.37) dφ vilket ger jämvikt då φ = 0 eller φ = π. Jämviktslägenas stabilitet bestäms av energifunktionens andraderivata d 2 u = cos φ (4.38) dφ2 vilket betyder att φ = 0 är instabil medan φ = π är stabil, precis som för en vanlig pendel. 12
17 Kapitel 5 Resultat De viktigaste resultaten är att pendeln för vertikal och horisontell oscillation kan ha stabila jämviktslägen förutom nedåt. 5.1 Simulering Systemets beteende har simulerats med hjälp av numerisk integration av rörelseekvationen för de olika oscillationerna och för olika värden på parametern γ Horisontell oscillation Ekvation (4.4) kan skrivas om som φ = aω2 l cos ωt cos φ + g sin φ (5.1) l vilket kan integreras numeriskt med Matlab. I simuleringen valdes värdena på de olika storheterna till g = 9.81m/s 2, l = 1m, a = 0.05m och för att testa olika värden på parametern γ så varierades ω. Dessa värden valdes för att de motsvarar en pendel som är i den storleksordningen som skulle användas vid en demonstration av systemet. Vid dessa värden fås den kritiska frekvensen ω 88.59Hz. Alla simuleringar skedde från samma initialvärden φ(0) = φ(0) = 0 och φ(0) = 90. Resultatet av simuleringen syns i Figur Vertikal oscillation Precis som för den horisontella oscillationen kan (4.18) skrivas om som φ = g l sin φ aω2 l sin ωt sin φ (5.2) vilket kan integreras numeriskt. I simuleringen valdes samma värden på storheterna medan initialvinkeln valdes till φ(0) = 10. Resultatet av simuleringen syns i Figur
18 KAPITEL 5. RESULTAT φ [deg] t [s] Figur 5.1. Simulering av horisontell oscillation för ω = 50Hz, γ 0.3 (blå) och ω = 200Hz, γ 5.1 (röd) φ [deg] t [s] Figur 5.2. Simulering av vertikal oscillation för ω = 50Hz, γ 0.3 (blå) och ω = 200Hz, γ 5.1 (röd). 14
19 Kapitel 6 Slutsats Två av rörelserna visar upp intressant beteende med både stabila jämviktslägen och bifurkationer medan den tredje rörelsen beter sig som en vanlig pendel. Både den horisontella och den vertikala rörelsen är stabil åt ett annat håll än rakt ner då a 2 ω 2 > 2gl vilket motsvarar tillräckligt stark oscillation. Att den cirkulära rörelsen inte har någon stabilitet förutom nedåt kan tyckas vara konstigt då den är en kombination av de två första men det visar på systemets starka ickelinjäritet. Hade systemet varit linjärt hade de båda första fallen gått att superponera men det är inte fallet för ickelinjära system. Massans rörelse kring det stabila jämviktsläget för den horisontella oscillationen har en amplitud som beror på hur långt ifrån jämviktslägen initialvinkeln är. Efter en period har massan återvänt till initialvinkeln. Systemet beter sig i princip som en vanlig pendeln fast det oscillerar kring cos φ = γ 1 istället för φ = π. För den vertikala oscillationen bestäms amplituden av de instabila jämviktslägenas placering som befinner sig vid vinkeln cos φ = γ 1. Massan rör sig mellan de båda instabila jämviktslägena så amplituden är oberoende av initialvärdet. Det är även värt att notera att massan måste befinna sig ovanför dessa instabila jämviktslägen för att oscillera kring φ = 0. 15
20 Litteraturförteckning [1] L.D. Landau and E.M. Lifshitz. Mechanics: Volume [2] Steven H. Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos
Vågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 24 augusti 2009 klockan 08.30-12.30 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén. Obligatorisk del 1. Rätt svarsalternativ på de sex frågorna är:
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merLösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520)
Lösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520) Tid och plats: Tisdagen den juni 2014 klockan 08.0-12.0 i M-huset. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. Ren summering över de fyra
Läs merMekanik SG1108 Mekanikprojekt Dubbelpendel
Mekanik SG1108 Mekanikprojekt Dubbelpendel Studenter: Peyman Ahmadzade Alexander Edström Robert Hurra Sammy Mannaa Handledare: Göran Karlsson karlsson@mech.kth.se Innehåll Sammanfattning... 3 Inledning...
Läs merAndra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Läs merMEKANIK LABORATION 2 KOPPLADE SVÄNGNINGAR. FY2010 ÅK2 Vårterminen 2007
I T E T U N I V E R S + T O C K H O L M S S FYSIKUM Stockholms universitet Fysikum 3 april 007 MEKANIK LABORATION KOPPLADE SVÄNGNINGAR FY010 ÅK Vårterminen 007 Mål Laborationen avser att ge allmän insikt
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket
Läs merInlupp 3 utgörs av i Bedford-Fowler med obetydligt ändrade data. B
Inlupp Sommarkurs 20 Mekanik II En trissa (ett svänghjul) har radie R 0.6 m och är upphängd i en horisontell friktionsfri axel genom masscentrum.. Ett snöre lindas på trissans utsida och en konstant kraft
Läs merKOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n
KOMIHÅG 1: ------------------------------------------------------ Ekvation för fri dämpad svängning: x + "# n x + # n x = a, Tre typer av dämpning: Svag, kritisk och stark. 1 ------------------------------------------------------
Läs merKOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi
KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag ----------------------------------------- Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi Definition av arbete: U 0"1 = t 1 t 1 # Pdt = # F v dt,
Läs merHanno Essén Lagranges metod för en partikel
Hanno Essén Lagranges metod för en partikel KTH MEKANIK STOCKHOLM 2004 1 Inledning Joseph Louis Lagrange (1763-1813) fann en metod som gör det möjligt att enkelt ta fram rörelseekvationerna för system
Läs merMekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av
Mekanik 2 Live-L A TEX:ad av Anton Mårtensson 2012-05-08 I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av ṗ = m r = F Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk
Läs merLösningar Heureka 2 Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse
Lösningar Heureka Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lo sningar Fysik Heureka Kapitel 7 7.1 a) Av figuren framgår att amplituden är 0,30 m. b) Skuggan utför en
Läs merOlinjära system (11, 12.1)
Föreläsning 2 Olinjära system (11, 121) Introduktion Vad menas med ett olinjärt system? Betrakta ett system där insignalerna u 1 (t) och u 2 (t) ger utsignalerna y 1 (t) respektive y 2 (t), d v s och u
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del (FFM51 och 50 Tid och plats: Lösningsskiss: Fredagen den 17 januari 014 klockan 08.30-1.30. Christian Forssén Obligatorisk del 1. Endast kortfattade lösningar redovisas. Se avsnitt
Läs merTFYA16/TEN :00 13:00
Link opings Universitet Institutionen f or fysik, kemi och biologi Marcus Ekholm TFYA16/TEN2 Ovningstentamen Mekanik 2015 8:00 13:00 Tentamen best ar av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 po ang.
Läs merModellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010
Modellering av Dynamiska system - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 21 Innehållsförteckning 1. Repetition av Laplacetransformen... 3 2. Fysikalisk modellering... 4 2.1. Gruppdynamik en sciologisk modell...
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
180111 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 180111 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Svar: 89 cm x = 0 t 3 dt = [ t 3 9 ] 0 = 8 m 89 cm 9 b) Om vi betecknar tågets (T) hastighet relativt marken med v T J, så kan vi
Läs merLÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse
LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse Utrustning: Dator med programmet LoggerPro LabQuest eller LabPro Avståndsmätare Kraftgivare Spiralfjäder En vikt Stativmateriel Kraftgivare Koppla mätvärdesinsamlaren
Läs merAlltså är {e 3t, e t } en bas för lösningsrummet, och den allmänna lösningen kan därmed skrivas
ektion 7, Envariabelanalys den 8 oktober 1999 Visa att funktionerna y 1 = e r 1t och y = e r t, där r 1 r, är linjärt oberoende. 17.7. Finn den allmänna lösningen till y 3y = 0. Vi ska visa implikationen
Läs merNewtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.
1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2
Läs mer9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar
9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar 9.5 Frilägg hjulet och armen var för sig. Normalkraften kan beräknas med hjälp av jämvikt för armen. 9.6 Frilägg armen, och beräkna normalkraften. a) N µn
Läs merÖvningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt
Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer
Läs merMekanik Föreläsning 8
Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln
Läs merTentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen
005-05-7 Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En homogen stång med massan m är fäst i ena änden i en fritt vridbar
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
014-06-04 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En boll skjuts ut genom ett hål med en hastighet v så att den
Läs merSvar och anvisningar
170317 BFL10 1 Tenta 170317 Fysik : BFL10 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Den enda kraft som verkar på stenen är tyngdkraften, och den är riktad nedåt. Alltså är accelerationen riktad nedåt. b) Vid kaströrelse
Läs merSvar och anvisningar
160322 BFL102 1 Tenta 160322 Fysik 2: BFL102 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Centripetalkraften ligger i horisontalplanet, riktad in mot cirkelbanans mitt vid B. A B b) En centripetalkraft kan tecknas:
Läs merBFL102/TEN1: Fysik 2 för basår (8 hp) Tentamen Fysik mars :00 12:00. Tentamen består av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poäng.
Institutionen för fysik, kemi och biologi (IFM) Marcus Ekholm BFL102/TEN1: Fysik 2 för basår (8 hp) Tentamen Fysik 2 17 mars 2017 8:00 12:00 Tentamen består av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Lördagen den 19 januari 2013 klockan 08.30-12.30 i M. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med valfritt
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del (FFM50) Tid och plats: Tisdagen den 5 maj 010 klockan 08.30-1.30 i V. Lösningsskiss: Per Salomonsson och Christian Forssén. Obligatorisk del 1. Rätt svar på de fyra deluppgifterna
Läs merFöreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system
1 KOMIHÅG 16: --------------------------------- Ellipsbanans storaxel och mekaniska energin E = " mgm 2a ------------------------------------------------------ Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla
Läs merLösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT6) 216-1-15 1. (a) Känslighetsfunktionen S(iω) beskriver hur systemstörningar och modellfel påverkar utsignalen från det återkopplade systemet. Oftast
Läs mer" e n och Newtons 2:a lag
KOMIHÅG 4: --------------------------------- 1 Energistorheter: P = F v, U "1 = t 1 # Pdt. Energilagar: Effektlagen, Arbetets lag ---------------------------------- Föreläsning 5: Tillämpning av energilagar
Läs merTFYA16/TEN2. Tentamen Mekanik. 12 januari :00 13:00. Tentamen besta r av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poa ng.
Linko pings Universitet Institutionen fo r fysik, kemi och biologi Marcus Ekholm TFYA16/TEN2 Tentamen Mekanik 12 januari 2015 8:00 13:00 Tentamen besta r av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poa
Läs merLÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102
LÖSNINGAR TENTAMEN 16-10-20 MEKANIK II 1FA102 A1 Skeppet Vidfamne 1 har en mast som är 11,5 m hög. Seglet är i överkant fäst i en rå (en stång av trä, ungefär horisontell vid segling). För att kontrollera
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 23 maj 2011 klockan 14.00-18.00 i V. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Lexikon, typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med
Läs merProblemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2
2015-MM-DD Övningstentamen i Mekanik SG1130, grundkurs B1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Ett kraftsystem består av tre krafter som angriper
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v =)
Läs merDefinitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen ---------------------------------- Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del FFM50 Tid och plats: Måndagen den 3 maj 011 klockan 14.00-18.00 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. a 1 och är identiska vid ekvatorn. Centripetalaccelerationen
Läs mer6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar
6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill
Läs merTentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08
Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08 Onsdagen den 13 augusti 2008, kl. 8-12 Examinator: Jonas Stålhand Jourhavande lärare: Jonas Stålhand, tel: 281712 Tillåtna hjälpmedel: Inga hjälpmedel Tentamen
Läs merChalmers Tekniska Högskola och Mars 2003 Göteborgs Universitet Fysik och teknisk fysik Kristian Gustafsson Maj Hanson. Svängningar
Chalmers Tekniska Högskola och Mars 003 Göteborgs Universitet Fysik och teknisk fysik Kristian Gustafsson Maj Hanson Svängningar Introduktion I mekanikkurserna arbetar vi parallellt med flera olika metoder
Läs merFöreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 3 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 9 september 2013 Introduktion Förra gången: PID-reglering Dagens program: Stabilitet Rotort
Läs merMer Friktion jämviktsvillkor
KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F! µn. Viskös friktion: F = "cv. Extra villkor för jämvikt: risk för glidning eller stjälpning. ---------------------------------- Föreläsning
Läs merLaboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 3 april 007 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 7 april 007 Efter den här laborationen
Läs merPåtvingad svängning SDOF
F(t)=F 0 cosω 0 t Förflyttning x M k Vi betraktar det vanliga fjäder-massa systemet men nu påverkas systemet med en kraft som varierar periodiskt i tiden: F(t)=F 0 cosω 0 t Den periodiskt varierande kraften
Läs merFöreläsning 2. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 3 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 2 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 3 september 2013 Introduktion Förra gången: Dynamiska system = Differentialekvationer Återkoppling
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP00, Fysikprogrammet termin 2 Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Lödag 29 maj 200, kl 8 30 3 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merTentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen
010-05-6 Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1 En cylinder med massan M vilar på en homogen horisontell planka med
Läs mer" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar
KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merBeräkningsuppgift I. Rörelseekvationer och kinematiska ekvationer
1 Beräkningsuppgift I Vi skall studera ett flygplan som rör sig i xz planet, dvs vi har med de frihetsgrader som brukar kallas de longitudinella. Vi har ett koordinatsystem Oxyz fast i flygplanet och ett
Läs merKursinformation Mekanik f.k. TMMI39
Kursinformation Mekanik f.k. TMMI39 Uppdaterad 202--26 Linköpings universitet tekniska högskolan IEI/mekanik Joakim Holmberg Omfång 30 h föreläsningar och 24 h lektioner i period HT2, hösten 202. Kursansvarig,
Läs merAnalytisk mekanik för MMT, 5C1121 Tentamen, , kl
Kung Tekniska Högskoan 4 Institutionen för Mekanik Anaytisk mekanik för MMT, 5C Tentamen, 4, k 4.-8. Räkneproem Uppgift : En pende estår av en sma homogen stav, av ängd och massa m. Den kan svänga kring
Läs merHarmonisk oscillator Ulf Torkelsson
1 Haronisk rörelse Föreläsning 13/9 Haronisk oscillator Ulf Torkelsson Betrakta en potentiell energi, V (x), so har ett iniu vid x, och studera rörelsen i närheten av detta iniu. O vi släpper en partikel
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!
014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 21 maj 2012 klockan 14.00-18.00 i M. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. Lösningsstrategi: Använd arbete-energi principen
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 16 augusti 2010 klockan 14.00-18.00 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén. Obligatorisk del 1. Rätt svar på de sex deluppgifterna: SFF SFS.
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
170418 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 170418 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vi är intresserade av största värdet på funktionen x(t). Läget fås genom att integrera hastigheten, med bivillkoret att x(0) = 0.
Läs merFöreläsning 1 Reglerteknik AK
Föreläsning 1 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik, KTH 29 augusti, 2016 2 Introduktion Example (Temperaturreglering) Hur reglerar vi temperaturen i ett hus? u Modell: Betrakta en
Läs merReglerteknik AK, FRTF05
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRTF05 Tentamen 3 april 208 kl 4 9 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar
Läs merFöreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system
Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system Reglerteknik, IE1304 1 / 26 Innehåll Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering 1 Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering
Läs merIntroduktion. Torsionspendel
Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet November 00 Fysik och teknisk fysik Kristian Gustafsson och Maj Hanson (Anpassat för I1 av Göran Niklasson) Svängningar Introduktion I mekanikkursen
Läs merMöjliga lösningar till tentamen , TFYY97
Tal Se kurslitteraturen. Möjliga lösningar till tentamen 069, TFYY97 Tal Det finns oändligt många lösningar till detta tal. En möjlig lösning skulle vara följand. Börja med att titta i -led. Masscentrum
Läs merSvängningar. Innehåll. Inledning. Litteraturhänvisning. Förberedelseuppgifter. Svängningar
Svängningar Innehåll Inledning Inledning... 1 Litteraturhänvisning... 1 Förberedelseuppgifter... 1 Utförande Det dämpade men odrivna systemet... 3 Det drivna systemet... 4 Observation av ett urval av svängande
Läs merTentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 2 Dynamik
Mekanik, LTH Tentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 2 Dynamik Måndagen den 8 April 2013, kl. 8-13 Namn(texta):. Personnr: ÅRSKURS M:... Namn(signatur).. Skrivningen består av 5 uppgifter. Kontrollera
Läs merSVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL
Institutionen för fysik 2012-05-21 Umeå universitet SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL SAMMANFATTNING Ändamålet med experimentet är att undersöka den matematiska modellen för en fysikalisk pendel. Vi har mätt
Läs merTentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Magnus Johansson Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68 Måndag 019-01-14 kl. 14.00-19.00 Tillåtna Hjälpmedel: Physics Handbook
Läs merLaboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 9 mars 6 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 5 april 6 Efter den här laborationen
Läs merTillämpad biomekanik, 5 poäng Övningsuppgifter
, plan kinematik och kinetik 1. Konstruktionen i figuren används för att överföra rotationsrörelse för stången till en rätlinjig rörelse för hjulet. a) Bestäm stångens vinkelhastighet ϕ& som funktion av
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merMekanik F, del 2 (FFM521)
Mekanik F, del (FFM51) Ledningar utvalda rekommenderade tal Christian Forssén, christianforssen@chalmersse Uppdaterad: April 4, 014 Lösningsskissar av C Forssén och E Ryberg Med reservation för eventuella
Läs merInstitutionen för Fysik och Astronomi! Mekanik HI: Rotationsrörelse
Rotationsrörelse I denna laboration kommer vi att undersöka dynamik rotationsrörelse för stela kroppar. Experimentellt kommer vi att undersöka bevarandet av kinetisk rotationsenergi och rörelsemängdsmoment
Läs mer2. Förklara vad en egenfrekvens är. English: Explain what en eigenfrequency is.
Linköpings Universitet, Hållfasthetslära, IEI/IKP TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, TMMI09 2007-10-16 kl 14-18 L Ö S N I N G A R ---- SOLUTIONS 1. Ange sambanden mellan vinkelfrekvens ω,
Läs merTentamensskrivning i Mekanik - Dynamik, för M.
Mekanik, LTH Tentamensskrivning i Mekanik - Dynamik, för M. Fredagen den 20 decemer 2013, kl. 14-19 Namn(texta):. Personnr: ÅRSKURS M:... Skrivningen estår av 5 uppgifter. Kontrollera att alla uppgifterna
Läs merFigure 1: Blockdiagram. V (s) + G C (s)y ref (s) 1 + G O (s)
Övning 9 Introduktion Varmt välkomna till nionde övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Repetition Känslighetsfunktionen y ref + e u F (s) G(s) v + + y Figure : Blockdiagram Känslighetsfunktionen
Läs merLösningsförslag TSRT09 Reglerteori
Lösningsförslag TSRT9 Reglerteori 6-8-3. (a Korrekt hopparning: (-C: Uppgiften som beskrivs är en typisk användning av sensorfusion, där Kalmanfiltret är användbart. (-D: Vanlig användning av Lyapunovfunktioner.
Läs merReglerteknik I: F1. Introduktion. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik
Reglerteknik I: F1 Introduktion Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 14 Vad är reglerteknik? Läran om dynamiska system och deras styrning. System = Process = Ett objekt vars
Läs merMekanik FK2002m. Repetition
Mekanik FK2002m Föreläsning 12 Repetition 2013-09-30 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 12 Förflyttning, hastighet, acceleration Position: r = xî+yĵ +zˆk θ = s r [s = θr] Förflyttning: r
Läs merMekanik III Tentamen den 19 december 2008 Skrivtid 5 tim De som klarat dugga räknar ej uppgift m/2
Mekanik III Tentamen den 19 december 8 Skrivtid 5 tim De som klarat dugga räknar ej uppgift 1. 1. r mg/r m mg/r 9m/ En klots med en cylinderformad urgröpning med radie r glider på ett horisontellt, friktionsfritt
Läs merReglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 24 oktober 26 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merFrån tidigare: Systemets poler (rötterna till kar. ekv.) påverkar egenskaperna hos diffekvationens lösning.
Föreläsning 4 Stabilitet (2.5) Från tidigare: Systemets poler (rötterna till kar. ekv.) påverkar egenskaperna hos diffekvationens lösning. Definition av insignal-utsignalstabilitet: OH-bild Sats 2.1: OH-bild
Läs merTFYA16/TEN2. Tentamen Mekanik. 7 april :00 19:00. Tentamen besta r av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poa ng.
Linko pings Universitet Institutionen fo r fysik, kemi och biologi Marcus Ekholm TFYA16/TEN2 Tentamen Mekanik 7 april 2015 14:00 19:00 Tentamen besta r av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poa
Läs mer6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar
6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste
Läs merLösningar till Tentamen i fysik B del 1 vid förutbildningar vid Malmö högskola
Lösningar till Tentamen i fysik B del 1 vid förutbildningar vid Malmö högskola Tid: Måndagen 5/3-2012 kl: 8.15-12.15. Hjälpmedel: Räknedosa. Bifogad formelsamling. Lösningar: Lösningarna skall vara väl
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merReglerteknik AK, FRTF05
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRTF05 Tentamen 23 augusti 207 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar
Läs merKUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe
Tentamen i SG1102 Mekanik, mindre kurs för Bio, Cmedt, Open Uppgifterna skall lämnas in på separata papper. Problemdelen. För varje uppgift ges högst 6 poäng. För godkänt fordras minst 8 poäng. Teoridelen.
Läs merIntrohäfte Fysik II. för. Teknisk bastermin ht 2018
Introhäfte Fysik II för Teknisk bastermin ht 2018 Innehåll Krafter sid. 2 Resultant och komposanter sid. 5 Kraft och acceleration sid. 12 Interna krafter, friläggning sid. 15 1 Kraftövningar De föremål
Läs merReglerteori. Föreläsning 11. Torkel Glad
Reglerteori. Föreläsning 11 Torkel Glad Föreläsning 11 Torkel Glad Februari 2018 2 Sammanfattning av föreläsning 10. Fasplan Linjärisering av ẋ = f(x) kring jämviktspunkt x o, (f(x o ) = 0) f 1 x 1...
Läs merSvängningar. TMHL09 - Övningstal till avsnittet. Övningstal: Tal 1, 2, 3 nedan (variant av 14/28) Hemtal: 14/23, 14/12, Tal 4 nedan
TMHL09 - Övningstal till avsnittet Svängningar Övningstal: Tal 1,, 3 nedan (variant av 14/8) Hemtal: 14/3, 14/1, Tal 4 nedan Tre tal (en frihetsgrad - Tal 1, två frihetsgrader - Tal och kontinuerligt system
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merLösningar Reglerteknik AK Tentamen
Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 060 Uppgift a G c (s G(sF (s + G(sF (s s + 3, Y (s s + 3 s ( 3 s s + 3 Svar: y(t 3 ( e 3t Uppgift b Svar: (i insignal u levererad insulinmängd från pumpen, mha tex spänningen
Läs mer