Matematikkunskaperna 2000 hos nybörjarna på civilingenjörsprogrammen vid KTH

Transkript

1 Matematikkunskaperna 2000 hos nybörjarna på civilingenjörsprogrammen vid KTH bearbetning av ett förkunskapstest av Lars Brandell Stockholm November

2 Innehållsförteckning INNEHÅLLSFÖRTECKNING 2 FÖRETAL 3 SAMMANFATTNING 4 INLEDNING 5 Provet 5 De svarande 5 Grupperingar av testuppgifterna 6 Lösningsfrekvenser 6 PROVRESULTAT FÖR SAMTLIGA 6 Resultat år Jämförelse med tidigare år 7 LÖSNINGSFREKVENSER FÖR DE OLIKA CIVILINGENJÖRSPROGRAMMEN. 9 Stora skillnader mellan resultaten på de olika programmen 9 Variationer av testresultaten inom de olika programmen. 13 LÖSNINGSFREKVENSERNA FÖR MÄN OCH KVINNOR 15 GYMNASIEBETYGENS BETYDELSE 18 Sambandet mellan betygen på olika kurser i gymnasieskolan 18 Lösningsfrekvenser för teknologer med olika betyg 19 BILAGA 1. BESKRIVNING AV UPPGIFTERNA OCH PROVRESULTATEN Vad innehåller provet? 22 Lösningsfrekvens 22 Kommentarer till de olika uppgifterna 22 2

3 Företal Denna rapport innehåller en bearbetning och sammanställning av resultaten på förkunskapsprovet år 2000 i matematik för nybörjarna på civilingenjörslinjerna vid Kungliga Tekniska Högskolan (KTH). Samma prov har tidigare givits år 1997, 1998 och Analyser liknande denna har gjorts tidigare av proven 1998 och Provet 1998 blev föremål för en mera ingående analys i anslutning till Högskoleverkets utredning om förkunskaperna i matematik från gymnasieskolan. 1 Provet 1999 har redovisats i en särskild rapport 2. Till denna rapport har i huvudsak framtagits samma tabeller som i de tidigare rapporterna, så att de skall vara lätt att göra jämförelser. Samtliga data har bearbetats av Jonas Öberg som också producerat tabellmaterialet. Bearbetningen har skett med hjälp av SPSS-systemet. Stockholm i november 2000 Lars Brandell 1 Högskoleverkets utredning är publicerad under rubriken Räcker förkunskaperna i matematik? ( Högskoleverket 1999). Se också Brandell, L & Mood-Roman, C: Matematikkunskaperna hos nybörjarna på civilingenjörsprogrammen vid KTH (Kungliga Tekniska Högskolan); bearbetning av ett förkunskapstest. Bedömningsgruppen för matematikkunskaper (Högskoleverket 1998). 2 Brandell, L: Matematikkunskaperna 1999 hos nybörjarna på civilingenjörsprogrammen vid KTH, (Stockholm 1999) 3

4 Sammanfattning Provet är samma prov som använts för nybörjarna på civilingenjörslinjerna sedan hösten Det gjordes av de allra flesta av nybörjarna på civilingenjörslinjerna hösten år Bortfallet var cirka 8 procent. Totalresultatet år 2000 på provet var sämre än de tre föregående åren. Lösningsfrekvenserna ligger på följande nivåer för de olika grupperingarna av uppgifterna: Grundkunskaper: 86%; Deriveringsmetoder: 61 procent; Matematisk allmänbildning: 59 %; Kreativ talkunskap 38 %; Läsförmåga (analys): 16 % och Okonventionella angreppssätt: 10 %. Jämfört med resultaten år 1998, som är de hittills bästa, har lösningsfrekvenserna minskat kraftigast inom det som vi kallat Deriveringsmetoder (- 9 procentenheter (pe)), och Läsförmåga (analys) (-7 pe). Även inom områdena Grundkunskaper och Kreativ talkunskap är minskningen påtaglig (i båda fallen fyra procentenheter). Andelen som fått 4 poäng eller mindre av 14 möjliga har ökat från 7,4 % år 1998 till 11,9 % år Andelen som har 7 poäng eller mer har minskat från 67 procent år 1998 till 57 procent år Totalresultaten på testen varierar kraftigt mellan de olika programmen. Variationen mellan bästa och sämsta program har dock minskat något jämfört med år I förhållande till medelvärdet de tre föregående åren har resultatet på programmen V och B minskat mest (-8 pe resp 7 pe) Även för F och E har resultatet minskat kraftigt (-6 pe i båda fallen). På övriga program ligger motsvarande minskning på cirka 4 procentenheter. Enda undantaget är D med i stort oförändrat resultat. Skillnaden mellan män och kvinnor är ganska liten vad avser totalresultaten. De kvinnor som deltog i testet hade något lägre resultat än männen (i genomsnitt). Skillnaderna förekom inom områdena: Matematisk allmänbildning, Deriveringsmetoder, Läsförmåga (analys) och Okonventionella angreppssätt. Inom övriga två områden (Grundkunskaper och Kreativ talkunskap) förekom ingen skillnad mellan kvinnor och män. På de flesta program är skillnaden mellan kvinnornas och männens resultat små. Undantagen är F och D där männens resultat är högre än kvinnornas ( som grupper betraktade) och B, där kvinnorna hade klart bättre resultat. Cirka 75 procent av deltagarna i provet hade betyg på kurserna Matematik D och Matematik E från gymnasieskolan ( övriga hade läst dessa kurser på annat håll, Komvux eller basåret). Av dessa hade 23 procent betyget G på kurs E och 17 procent betyget G på kurs D. Det är en ökning i förhållande till motsvarande siffror från föregående år. Det är inom alla områden ett kraftigt samband mellan gymnasiebetygen i matematik (kurserna D och E) och resultaten på förkunskapstestet. Jämfört med år 1998 är lösningsfrekvenserna lägre år 2000 för teknologer med ett visst betyg i matematik. De största minskningarna av resultaten vid konstant betygsnivå har skett inom områdena Deriveringsmetoder och Läsförmåga (analys) För teknologer som är 19 år (dvs kommer direkt från gymnasieskolan) med betygen G och VG på kurs E är resultatet år 2000 väsentligt sämre än För teknologer med betyget MVG har det däremot inte skett någon ändring. 4

5 Inledning Provet Provet som är identiskt med det som getts 1997, 1998 och 1999 (se bilaga 1) genomförs under en timme (60 minuter) i anslutning till det första undervisningstillfället på den repetitions och introduktionskurs i matematik som ges under de första två introduktionsveckorna för nybörjarna på civilingenjörslinjerna. Inga hjälpmedel (räknedosa, formelsamling) är tillåtna vid provet. I anslutning till provet får de skrivande också fylla i ett missivblad med uppgifter om tidigare matematikstudier, betyg etc. De svarande Nära 1500 svar Sammanlagt 1489 prov rättades. (Motsvarande siffra för år 1999 var 1376, för år och för år ). Det totala antalet nybörjare på civilingenjörslinjerna hösten 2000 uppgår till Bortfallet i undersökningen uppgår därmed till 8 procent. Tre fjärdedelar var 21 eller yngre 75 procent av de svarande var 21 år eller yngre, vilket är tre procentenheter mer än föregående år. 13 procent var 25 år eller äldre ( en minskning med en procentenhet). Något lägre andel kvinnor 71 % av de svarande var män och 29% kvinnor. Jämfört med föregående år (1999) innebär det en snedare fördelning. (År 1999 var proportionerna 69/31. År 1998 å andra sidan var motsvarande kvot 72/28). Bara 70 procent hade läst matematik något av de två senaste åren Två av fem (42%) skrivande hade fått sitt senaste betyg i matematik från innevarande år (2000). 30 procent läste senast matematik under förra året (1999). Motsvarande andelar vid 1999 års prov var 48 och 29 procent och vid 1998 års prov 44 resp 32 procent. Man kan konstatera att andelen av teknologerna som har färska kunskaper i matematik var lägre än tidigare år. Tre av fyra kom senast från gymnasieskolan Varje svarande fick ange vid vilken typ av utbildning de hade fått sitt senaste matematikbetyg. För 73 % av studenterna var detta ett betyg från svensk gymnasieskola. Elva procent angav Komvux och tio procent basåret. Fem procent angav annan utbildningsform. Fördelningen förra året var nästan densamma (70, 12, 13 och 5). 5

6 Grupperingar av testuppgifterna Det aktuella provet innehåller sammanlagt 14 uppgifter. Några av dessa är kopplade till varandra (som a- och b-uppgifter på samma problem) 3. Liksom i tidigare års rapporter har de olika uppgifterna fördelats på sex olika grupper. Fyra uppgifter(nr 1 och 2 samt 4 a och 4b). är alla enkla uppgifter som finns med i grundskolans kurs (aritmetik, algebra och elementär geometri/trigonometri). Man kan säga att dessa uppgifter testar (matematiska) grundkunskaper. Uppgifterna 3 och 8a är elementära övningar på vad man skulle kunna kalla deriveringsmetoder. Det är metoder som lärs ut i gymnasieskolan. Uppgifterna 6 och 9 handlar båda om heltal och deras egenskaper och räkneregler. De bygger i stort på matematikkunskaper som lärs ut i grundskolan, men är av en typ som egentligen inte övas där. De kräver en viss matematisk kreativitet av den skrivande för att lösas. Vi använder här beteckningen kreativ talkunskap. Uppgifterna 8b och 10 och i viss mån även 4c testar förmågan att läsa, förstå och tillämpa matematisk text i första hand inom analysområdet: läsförmåga (analys). Uppgifterna 5 och 11 testar vad man skulle kunna kalla matematisk allmänbildning. Uppgift 7 slutligen förutsätter en förmåga att lösa uppgifter med vad som för dessa studenter skulle kunna kallas okonventionella angreppssätt. Lösningsfrekvenser Varje uppgift eller deluppgift bedömdes med 1, 0,5 eller 0 poäng. Sammanlagt kan man få 14 poäng på provet. Vid analysen i det följande av resultaten för de olika uppgifterna i provet används här begreppet lösningsfrekvens. För en grupp teknologer definieras för var och en av de olika uppgifterna i testet lösningsfrekvensen som andelen (i procent) utdelade poäng av antalet möjliga. Provresultat för samtliga Resultat år 2000 Lösningsfrekvenserna år 2000 för hela teknologgruppen på de olika uppgifterna redovisas i tabell 1. Vi har samma mönster som tidigare år: De standardiserade räkneuppgifterna klarar man bäst - allra bäst sådant som finns med redan i grundskolans kurs. På uppgifter som kräver vad man skulle vilja kalla självständigt matematiskt tänkande och matematisk förståelse är lösningsfrekvenserna lägre. 3 I bilaga 1 finns en genomgång av samtliga uppgifter och en analys av hur de kan lösas och en diskussion av vilka kunskaper och färdigheter som de mäter. 6

7 Tabell 1. Nybörjartest i matematik vid KTH 2000, 1999, 1998 och Lösningsfrekvenser för testuppgifter inom olika områden. Uppgifter Lösningsfrekvens (%) 2000 Lösningsfrekvens (%) 1999 Lösningsfrekvens (%) 1998 Lösningsfrekvens (%) 1997 Grundkunskaper 1 84,2 87, ,1 88, a 85,0 88, b 89,1 90, medelvärde 86,3 88,5 90,3 89,0 Deriveringsmetoder 3 67,8 71, a 54,1 59, medelvärde 61,0 65,2 69,5 63,0 Matematisk allmänbildning 5 73,2 78, ,2 46, medelvärde 59,2 62,5 61,0 59,0 Kreativ talkunskap 6 42,2 45, ,4 37, medelvärde 37,8 41,7 42,0 40,5 Läsförmåga (analys) 4c 10,4 13, b 20,8 22, ,2 19, medelvärde 15,8 18,6 23,0 19,3 Okonventionella angreppssätt 7 9,1 10, medelvärde 9,1 10,0 11,0 10,0 Genomsnittlig lösningsfrekvens 51,3 54,1 56,3 53,5 Jämförelse med tidigare år Sämre resultat än tidigare För en jämförelse finns i tabell 1 också resultaten från de tre tidigare tillfällen som testet har använts. Man kan konstatera att resultaten år 2000 är de lägsta under de fyra år som provet har givits. Sedan år 1998, som är den årgång som hittills haft det bästa resultatet har den sammantagna lösningsfrekvensen minskat med 5 procentenheter. ( se tabell 2). Inom det som vi kallat grundkunskaper, d v s enkla tillämpningar på grundskolan matematikkurs har lösningsfrekvensen sedan 1998 minskat med fyra procentenheter. Den största minskningen (6 procentenheter) har inträffat på uppgiften 1, som är en mycket enkel övning i reduktion av dubbelbråk. (se också bilaga 1) Sedan år 1998 har lösningsfrekvensen för det som här kallas Deriveringsmetodik och som hör till gymnasieskolans kurser minskat kraftigt ( 8,5 procentenheter). Inom det område som vi kallat matematisk allmänbildning är minskningen relativt kraftig på uppgiften 5. Här bör man rekommendera en viss försiktighet i tolkningen, eftersom uppgiften går ut på att motivera ett visst standardförfarande vid ekvationslösning, en typ av uppgifter där vi av erfarenhet vet att det är svårt att få oförändrad bedömningsnivå mellan olika rättare. På uppgift 11 däremot (som handlar om ett bevis av Pythagoras sats) har lösningsfrekvensen varit i stort sett oförändrad sedan

8 På de två uppgifter som handlar om kreativ talkunskap testas kunskaper på områden som inte direkt tas upp i gymnasieskolans kursplaner. Här har lösningsfrekvensen sedan 1998 minskat kraftigt (nära 7 procentenheter) på uppgift 6, där man förväntas använda enkla potensregler för att avgöra storleksordningen mellan tre tal. På uppgiften 9 som löses genom ett man generaliserar en given figur, och översätter den i siffror, har minskningen inte varit så stor. Variationerna genom åren kan kanske skyllas på slumpmässiga faktorer. Lösningsfrekvensen för de tre analysuppgifter som är kopplade till det som vi kallat läsförmåga (analys) har minskat kraftigt, från 23 procent år 1998 till 16 procent år Det är tre uppgifter som testar kunskaper om och förmågan att tillämpa resultat kopplade till teorien för gymnasiets kurs i matematisk analys. I den sista gruppen okonventionella angreppssätt, som bara utgörs av en uppgift är läsningsfrekvensen i stort sett oförändrad över åren (men låg - cirka 10 procent). Tabell 2: Nybörjartest i matematik vid KTH 2000, 1999, 1998 och Den årliga genomsnittliga förändringen av lösningsfrekvensen inom olika områden. Genomsnittlig förändring (procentenheter) Grundkunskaper -2,2-1,7 1,3 Deriveringsmetoder -4,2-4,3 6,5 Matematisk allmänbildning -3,3 1,5 2,5 Kreativ talkunskap -3,9-0,3 1,5 Läsförmåga (analys) -2,9-4,4 3,7 Okonventionella angreppssätt -0,9-1,0 1,0 Genomsnittlig lösningsfrekvens -2,8-2,2 2,8 Största minskningarna sedan 1998 på problem från skolan En sammanfattning av förändringarna i lösningsfrekvenserna på de sex grupperna ges i tabell 2. Resultatet av provet var något bättre år 1998 än år Men sedan 1998 har resultaten försämrats, först till år 1999, då man i stort sett var tillbaka på 1997 års nivå, och sedan till år 2000 då resultatet som sagt är det sämsta för de fyra år som testet har givits. Minskningarna sedan år 1998 har framförallt skett på uppgifter som är kopplade till det som behandlas i skolan (grundskola och gymnasieskola). På uppgifter som mera testar matematisk allmänbildning är förändringarna mindre. En möjlig slutsats är att teknologerna årgång 2000 som grupp inte är sämre än tidigare årgångarna när det gäller matematisk talang eller fallenhet men att de (fortfarande som grupp) fått med sig mindre matematikkunnande från grundskolan och gymnasieskolan än tidigare årskullar. 8

9 Lösningsfrekvenser för de olika civilingenjörsprogrammen. Stora skillnader mellan resultaten på de olika programmen Teknisk fysik redovisar det bästa resultatet Sammanlagt finns det 13 olika program vid KTH som leder fram till civilingenjörs-examen. Sedan föregående år har tillkommit ett nytt program Informationsteknik. I Tabell 3 ges lösningsfrekvenserna för de olika uppgifterna fördelade på de olika programmen. I tabellen är programmen ordnade efter fallande genomsnittlig lösningsfrekvens. På årets test har programmet Teknisk fysik (F), liksom tidigare, det högsta genomsnittliga resultatet med en lösningsfrekvens på 65 procent (även om resultatet är väsentligt sämre än föregående år, se nedan). Som klar tvåa kommer Datateknikprogrammet (D) (61 procent). Fyra program ligger mellan 55 och 58 procent (Bioteknik, Informationsteknik, Mediateknik och Industriell ekonomi). Samtliga tre program som introducerats under de två senaste åren ligger alltså bland de främsta avseende förkunskapsprovet i matematik. På tre program (Elektroteknik (E), Farkostteknik (T) och Kemiteknik (K)) ligger lösningsfrekvensen mellan 51 och 53 procent. I Maskinteknik (M) är den 45 procent, på Lantmäteri (L) är den 42 procent och slutligen på Väg och vatten (V) och Materialteknik (B) procent. Sämre resultat än förra året på de flesta programmen Tabellerna 4 och 5 innehåller samma uppgifter som tabell 3 för 1999 års och 1998 års nybörjarteknologer. Jämfört med förra året är resultatet sämre framförallt för F- (- 8,2 procentenheter)och E- programmen (-7,0). Det kan kanske bero på att man introducerat det nya Informationsteknikprogrammet med 158 nybörjare. På det programmet är resultatet på testet relativt bra (en lösningsfrekvens på 56 procent). Sannolikt har det skett en omfördelning så att vissa teknologer med goda kunskaper i matematik i år har valt Informationsteknik istället för de gamla närbesläktade F och E. Till skillnad från F och E har D lyckats hålla ställningarna. Datateknik är tillsammans med Mediateknik det enda programmet som redovisar bättre testresultat än förra året. Jämfört med föregående år är också minskningen av lösningsfrekvensen stor för V och B (en minskning med mer är fem procentenheter för båda). Bioteknik, Industriell ekonomi och Lantmäteri har minskat med cirka fyra procentenheter, Maskinteknik med tre, Farkostteknik med två och Kemiteknik med en procentenhet.. 9

10 Tabell 3:Nybörjartest i matematik vid KTH år Lösningsfrekvensen på de olika uppgifterna fördelad på de olika civilingenjörsprogrammen Utbildningsprogram Teknisk fysik Datateknik Bioteknik Informationsteknik Mediateknik Industriell ekonomi Elektroteknik Farkostteknik Kemiteknik Maskinteknik Lantmäteri Väg- och vattenbyggnadsteknik Materialteknik Samtliga civilingengörsprogram Uppgift Grundkunskaper 1 92,7 95,6 88,6 81,1 92,1 84,4 89,9 83,5 82,3 80,3 75,5 76,1 72,8 84,2 2 90,2 94,4 96,2 92,5 90,4 87,7 90,3 92,0 88,4 81,7 77,3 76,5 78,1 87,1 4a 91,5 89,7 89,4 90,2 83,3 86,3 86,0 85,3 90,5 81,7 79,1 76,9 68,4 85,0 4b 96,3 95,2 87,9 94,5 89,5 89,6 94,2 91,1 89,7 88,3 71,4 85,9 71,9 89,1 Medelvärde 92,7 93,7 90,5 89,6 88,8 87,0 90,1 88,0 87,7 83,0 75,8 78,9 72,8 86,3 Deriveringsmetoder 3 82,1 76,6 70,5 75,6 73,7 72,2 72,4 69,6 63,4 62,8 55,5 55,1 44,7 67,8 8a 74,8 67,5 52,3 58,3 50,0 57,5 57,1 52,7 54,3 49,3 43,2 40,2 33,3 54,1 Medelvärde 78,5 72,1 61,4 67,0 61,9 64,9 64,8 61,2 58,9 56,1 49,4 47,7 39,0 61,0 Matematisk 5 87,8 80,6 83,3 81,5 71,1 83,0 79,2 71,0 76,3 66,7 63,6 49,6 51,8 73,2 allmänbildning 11 67,5 62,3 63,6 52,4 61,4 48,6 47,4 50,0 41,8 29,1 30,0 25,6 21,9 45,2 Medelvärde 77,7 71,5 73,5 67,0 66,3 65,8 63,3 60,5 59,1 47,9 46,8 37,6 36,9 59,2 Kreativ talkunskap 6 57,7 58,3 45,5 50,0 51,8 40,1 44,8 39,7 37,9 31,7 39,5 26,1 31,6 42,2 9 42,3 38,1 49,2 41,3 44,7 50,0 23,1 29,9 34,5 30,0 25,0 15,8 22,8 33,4 Medelvärde 50,0 48,2 47,4 45,7 48,3 45,1 34,0 34,8 36,2 30,9 32,3 21,0 27,2 37,8 Läsförmåga (analys) 4c 24,0 15,1 18,2 14,6 12,3 10,8 10,4 10,3 6,0 4,1 10,0 1,7 0,9 10,4 Okonventionella 8b 43,5 34,9 31,1 24,4 19,3 27,8 22,7 20,1 16,4 11,2 8,6 4,3 7,0 20, ,8 28,2 23,5 21,7 36,8 23,6 10,4 13,4 14,7 5,5 3,6 2,6 4,4 16,2 Medelvärde 35,1 26,1 24,3 20,2 22,8 20,7 14,5 14,6 12,4 6,9 7,4 2,8 4,1 15,8 angreppssätt 7 24,0 16,7 14,4 11,8 8,8 7,6 8,8 7,1 10,8 3,2 4,6 0,9 1,8 9,1 Genomsnittlig Medelvärde 24,0 16,7 14,4 11,8 8,8 7,6 8,8 7,1 10,8 3,2 4,6 0,9 1,8 9,1 lösningsfrekvens 65,2 60,9 58,2 56,4 56,1 55,0 52,6 51,1 50,5 44,7 41,9 38,4 36,5 51,3 Tidigare genomsnittlig lösningsfrekvens ,4 58,0 62,2 51,8 58,9 59,6 53,0 51,8 48,1 45,5 43,7 41,9 54, ,1 65,4 65,5 59,1 57,1 56,9 51,0 45,5 46,0 46,9 56, ,3 60,7 54,3 57,1 55,7 54,3 46,4 46,4 50,0 42,1 53,5 10

11 Tabell 4:Nybörjartest i matematik vid KTH Lösningsfrekvensen på de olika uppgifterna fördelad på de olika civilingenjörsprogrammen. Utbildningsprogram Teknisk fysik Bioteknik Elektroteknik Industriell ekonomi Datateknik Farkostteknik Kemiteknik Mediateknik Maskinteknik Lantmäteri Väg och vattenbyggnadstek nik Materialteknik Samtliga civilingengörsprogr am Uppgift Grundkunskaper 1. 96,7 94,6 90,8 97,7 93,0 80,4 87,6 78,6 86,3 74,7 78,2 82,7 87, ,3 92,9 93,2 92,1 91,5 89,7 88,5 85,7 81,7 79,1 79,7 82,2 88,0 4a. 99,1 96,4 92,4 96,3 91,1 83,9 90,3 75,0 82,4 85,4 77,2 80,8 88,0 4b. 97,2 91,1 92,6 91,6 92,6 92,9 87,6 92,9 89,8 83,5 85,1 88,0 90,6 Medelvärde 97,3 93,8 92,3 94,4 92,0 86,7 88,5 83,0 85,1 80,7 80,1 83,4 88,5 Deriveringsmetoder 3. 87,4 85,7 80,7 74,3 78,5 61,2 82,3 66,1 67,1 49,4 60,9 49,0 71,1 8a. 88,3 57,1 65,2 71,5 60,4 55,4 57,1 53,6 50,7 48,1 51,0 45,2 59,4 Medelvärde 87,9 71,4 73,0 72,9 69,4 58,3 69,7 59,8 58,9 48,7 55,9 47,1 65,2 Matematisk allmänbildning 5. 90,2 87,5 85,2 78,0 80,4 85,7 70,8 76,8 74,6 81,0 64,4 61,1 78, ,6 67,9 55,9 53,3 58,1 46,4 40,7 51,8 35,4 26,6 35,1 23,6 46,9 Medelvärde 83,4 77,7 70,6 65,7 69,3 66,1 55,8 64,3 55,0 53,8 49,8 42,3 62,5 Kreativ talkunskap 6. 74,3 57,1 52,7 43,0 53,7 41,1 40,7 53,6 39,8 32,9 36,6 26,0 45, ,7 33,9 42,4 45,3 29,5 42,0 35,4 28,6 37,8 44,9 21,8 19,7 37,9 Medelvärde 67,5 45,5 47,5 44,2 41,4 41,5 38,1 41,1 38,8 38,9 29,2 22,8 41,7 Läsförmåga (analys) 4c. 35,5 37,5 18,9 11,2 15,2 11,6 9,3 7,1 5,4 12,0 4,5 4,8 13,4 8b. 51,4 32,1 29,7 32,2 25,6 20,5 16,8 17,9 12,4 13,9 6,9 13,5 22, ,9 25,0 20,3 27,6 27,0 21,9 10,6 37,5 10,2 8,9 6,9 10,1 19,8 Medelvärde 46,0 31,5 23,0 23,7 22,6 18,0 12,2 20,8 9,3 11,6 6,1 9,5 18,6 Okonventionella angreppssätt 7. 32,2 12,5 13,7 10,3 16,7 9,4 7,1 0,0 2,9 3,8 3,5 0,5 10,0 Medelvärde 32,2 12,5 13,7 10,3 16,7 9,4 7,1 0,0 2,9 3,8 3,5 0,5 10,0 Genomsnittlig lösningsfrekvens 73,4 62,2 59,6 58,9 58,0 53,0 51,8 51,8 48,1 45,4 43,7 41,9 54,1 Tidigare genomsnittlig lösningsfrekvens ,1 59,1 65,5 65,4 57,1 56,9 51,0 45,5 46,0 46,9 56, ,3 57,1 54,3 60,7 55,7 54,3 46,4 46,4 50,0 42,1 53,5 11

12 Tabell 5: :Nybörjartest i matematik vid KTH Lösningsfrekvensen på de olika uppgifterna fördelad på de olika civilingenjörsprogrammen. Teknisk fysik Industriell ekonomi Datateknik Elektroteknik Farkostteknik Kemiteknik Maskinteknik Materialteknik Väg och vattenbyggnadsteknik Lantmäteri Samtliga civilingenjörsprogram Uppgift Grundkunskaper a b Medelvärde 97,5 95,5 93,8 91,3 91,3 93,3 88,3 87,3 80,5 84,5 90,3 Deriveringsmetoder a Medelvärde 86,0 81,0 79,5 71,0 69,0 75,5 65,5 56,5 56,0 54,0 69,5 Matematisk allmänbildning Medelvärde 76,0 72,0 73,0 67,5 67,0 60,0 53,5 51,0 45,5 46,0 61,2 Kreativ talkunskap Medelvärde 62,5 54,5 52,0 43,5 43,5 35,0 37,5 26,5 36,0 30,5 42,1 Läsförmåga (analys) 4c b Medelvärde 40,0 34,3 38,0 29,0 21,7 23,7 13,7 12,0 14,0 10,7 23,2 Okonventionella angreppssätt Medelvärde ,8 Genomsnittlig lösningsfrekvens ,1 65,5 65,4 59,1 57,1 56,9 51,0 46,9 46,0 45,5 56,3 Genomsnittlig lösningsfrekvens ,3 54,3 60,7 57,1 55,7 54,3 46,4 42,1 50,0 46,4 53,5 12

13 I ett längre perspektiv har resultaten på B och V minskat mest Det kan alltid finnas mer eller mindre slumpmässiga skillnader mellan åren (variationer i provsituationen, skillnader i rättningsprinciper mellan de olika rättarna etc). Därför kan det vara motiverat att studera utvecklingen över en längre tid. I detta fall har vi valt att för varje program jämföra den genomsnittliga lösningsfrekvensen innevarande år med medelvärdet av de tre föregående årens resultat. Det visar sig att resultatet har blivit sämre för praktiskt taget alla program. Den största minskningen i förhållande till medelvärdet för de tre åren 1997, 1998, 1999 har inträffat på V (-8,2 procentenheter) och B (- 7,1): Därnäst kommer E (-6,0 och F (-5,8). På övriga program ligger resultatet år 2000 kring 4 procentenheter lägre än medelvärdet för de föregående tre åren. Det enda undantaget är D- programmet som bara redovisar en marginell minskning. Av de två program som startade förra året redovisas för Bioteknik en minskning med 4 procentenheter i förhållande till förra året medan Mediateknik har en lika stor ökning Skillnaden mellan bästa och sämsta program har minskat något sedan förra året Det finns alltså stora variationer i de genomsnittliga resultaten på de olika programmen. Ett sätt att studera dessa skillnader och deras utveckling ges i tabell 6, som för var och en av de sex problemgrupperna ger högsta och lägsta värdet för de olika programmen. Mätt på detta sätt ökade skillnaden mellan bästa och sämsta program mellan 1998 och Mellan 1999 och 2000 däremot är utvecklingen delvis den motsatta. För ingen problemgrupp har differenserna ökat mer påtagligt, medan för vissa grupper har differenserna åter minskat. En förklaring är beräkningsmetoden, som är mycket beroende av det bästa programmets värden. I de flesta fallen är det F. För just detta program är resultatet för väsentligt sämre i år än tidigare. Tabell 6: Differensen mellan de olika programmen åren 2000, 1999 och högsta värde (%) högsta lägsta högsta lägsta differens värde värde differens värde värde (procentenheter ) (%) (%) (procentenheter ) (%) (%) lägsta värde (%) differens (procentenheter ) Grundkunskaper 93,7 72,8 20,9 97,3 80,1 17,2 97,5 80,5 17,0 Deriveringsmetoder 78,5 39,0 39,5 87,9 47,1 40,8 86,0 54,0 32,0 Matematisk allmänbildning 77,7 36,9 40,8 83,4 42,3 41,1 76,0 45,5 30,5 Kreativ talkunskap 50,0 21,0 29,0 67,5 22,8 44,7 62,5 26,5 36,0 Läsförmåga (analys) 35,1 4,1 31,0 46,0 6,1 39,9 40,0 10,7 29,3 Okonventionella angreppssätt 24,0 0,9 23,1 32,2 0,0 32,2 22,0 4,0 18,0 Genomsnittlig lösningsfrekvens 65,2 36,4 28,8 73,4 41,9 31,5 70,1 45,5 24,6 Variationer av testresultaten inom de olika programmen. Poängfördelningen varierar mellan de olika programmen Det är alltså stora variationer mellan genomsnittsresultaten i de olika programmen. Men det finns också stora variationer i resultat för teknologerna inom ett och samma program. I tabell 7 redovisas fördelningen i fyra olika grupper efter testresultatet för de olika programmen. 13

14 Tabell 7. Matematiktest KTH hösten Procentuell fördelning av provresultaten för de olika programmen. Andelar (procent) med resultat i intervallet: 4 och 10 och under 4,5-6,5 7-9,5 över Summa Teknisk fysik 1,6 14,6 46,3 37,4 100,0 Datateknik 4,0 16,7 49,2 30,2 100,0 Bioteknik 7,6 21,2 42,4 28,8 100,0 Mediateknik 14,0 17,5 40,4 28,1 100,0 Industriell ekonomi 10,4 23,6 42,5 23,6 100,0 Informationsteknik 4,7 26,8 48,0 20,5 100,0 Elektroteknik 8,4 28,6 46,8 16,2 100,0 Kemiteknik 9,5 31,0 45,7 13,8 100,0 Farkostteknik 7,1 33,0 47,3 12,5 100,0 Maskinteknik 14,7 46,3 33,9 5,0 100,0 Lantmäteri 23,6 38,2 34,5 3,6 100,0 Materialteknik 33,3 45,6 17,5 3,5 100,0 Väg- och vatten 26,5 49,6 23,1 0,9 100,0 Samtliga teknologer ,9 31,3 40,5 16,3 100,0 Samtliga teknologer ,4 25,4 43,5 20,7 100,0 Samtliga teknologer ,4 25,3 43,7 23,6 100,0 Som synes har andelen teknologer som klarat högst fyra av de fjorton uppgifterna, ökat mellan 1988 och 1999 från sju till tio procent, och nu ökat ytterligare till cirka tolv procent. Även om provet görs under något pressade förhållanden och direkt efter sommaren är det inte bra att nära en av åtta nya teknologer har 4 poäng eller därunder. För att få fyra poäng räcker det t ex att klara de fyra uppgifter som här redovisas under rubriken Grundkunskaper. Även om testet inte med säkerhet kan säga något om den enskilde teknologen (alla kan ha en dålig dag), kan man nog konstatera att prognosen (som grupp) för dem som fått högst fyra poäng inte är speciellt god inför de kommande matematikstudierna. I detta perspektiv är det också anmärkningsvärt att på tre av programmen (L, B och V) är det en fjärdedel eller mer av de skrivande som har max fyra poäng på provet. De teknologer som klarat minst 7 rätt på provet ha löst åtminstone en uppgift utöver det som kan ses som standarduppgifter från grundskola och gymnasium. Andelen som har minst sju poäng på provet har minskat från 67 procent år 1998 till 57 procent innevarande år. Andelen som har sju poäng eller mer varierar också kraftigt mellan de olika programmen. Nio program ligger här på 60 procent eller mer (med F i topp på 83 procent). Två program (M och L) ligger något under 40 procent och för två av programmen (B och V) är det mindre än en fjärdedel som har sju rätt eller mer. Stora förändringar i poängfördelningen sedan förra året Förändringarna av fördelningarna mellan 1999 och innevarande år är också relativt stora ( se tabell 8) 14

15 Tabell 8. Matematiktest KTH: Ändringar i poängfördelningen mellan 1999 och 2000 Förändring mellan 1999 och 2000 (procentandelar) av andelen resultat i intervallet: 4 och 10 och Program under 4,5-6,5 7-9,5 över Summa Teknisk fysik -0,3 13,7 10,2-23,7 0,0 Datateknik -2,6-2,3 2,5 2,5 0,0 Bioteknik 7,6 6,9-14,7 0,2 0,0 Mediateknik -0,3-7,5-6,0 13,8 0,0 Industriell ekonomi 7,6 2,1-9,8 0,2 0,0 Informationsteknik Elektroteknik 5,9 8,1-2,8-11,3 0,0 Kemiteknik -0,2 0,9 2,3-3,0 0,0 Farkostteknik -5,4 8,8 4,0-7,5 0,0 Maskinteknik 3,0 9,9-9,8-3,3 0,0 Lantmäteri 2,4-0,5 5,8-7,7 0,0 Materialteknik 7,3 9,1-16,2-0,3 0,0 Väg- och vatten 3,7 15,9-16,5-3,1 0,0 Samtliga program 1,5 5,9-3,0-4,4 0,0 Andelen teknologer med resultat på 4 poäng eller mindre har ökat framförallt på programmen Bioteknik (+7,6 procentenheter), I (+ 7,6), E (+5,9)och B (+7,3). Andelen som har sju poäng eller mer har minskat mest på F(- 13,5 procentenheter), Bioteknik (-14,5), E (-14,0), M (-13,0), B (-16,5) och V (-19,6). Mediateknik däremot redovisar en ökning på 7,8 procentenheter. Anmärkningsvärt är också att andelen på F-programmet med 10 poäng eller mer har minskat från 61 procent 1999 till 37 procent år År 1999 var F.s andel här mer än dubbelt så hög som något av de övriga programmen. Näst bäst var Bioteknik, D och E, alla med 28 procent av de skrivande med detta resultat. I år är skillnaden mycket mindre. F med 37 procent i den bästa gruppen kan sättas motdatateknik, Bioteknik och Mediateknik med 30, 29 och 28 procent i samma grupp. Lösningsfrekvenserna för män och kvinnor I tabell 8 redovisas fördelningen av lösningsfrekvenserna för män resp kvinnor. Här är det viktigt att framhålla att resultaten inte kan användas för att dra slutsatser om matematikkunskaperna hos kvinnor resp män mera generellt. De uppgifter som redovisas gäller de män och de kvinnor som sökt och kommit in på de olika civilingenjörsprogrammen vid KTH. 15

16 Tabell 9. Nybörjartest KTH Lösningsfrekvensen (procent) för de i olika uppgifterna fördelade på män och kvinnor. Män Kvinnor Samtliga n=1022 n=423 n=1445 Grundkunskaper 1 83,1 87,9 84,5 2 87,9 86,8 87,5 4a 84,2 87,1 85,1 4b 90,8 86,1 89,4 Medelvärde 86,5 87,0 86,6 Deriveringsmetoder 3 68,9 66,0 68,0 8a 56,8 47,4 54,1 Medelvärde 62,8 56,7 61,0 Matematisk 5 74,3 70,9 73,3 allmänbildning 11 47,1 40,5 45,2 Medelvärde 60,7 55,7 59,2 Kreativ talkunskap 6 42,4 41,1 42,0 9 33,5 34,0 33,6 Medelvärde 37,9 37,6 37,8 Läsförmåga (analys) 4c 10,7 9,7 10,4 8b 22,1 17,4 20, ,8 12,1 16,1 Medelvärde 16,9 13,0 15,7 Okonventionella angreppssätt 7 10,8 4,6 9,0 Medelvärde 10,8 4,6 9,0 Genomsnittlig lösningsfrekvens 52,2 49,4 51,4 Anm: 44 svarande har ej uppgivit kön. Man kan konstatera att skillnaderna i resultat är mycket små mellan kvinnor och män när det gäller det som vi kallat grundkunskaper och kreativ talkunskap. Däremot är männens resultat (som grupp) högre inom de områden som kallats deriveringsmetoder, matematisk allmänbildning och okonventionella angreppsätt. Små förändringar i relationerna i lösningsfrekvens mellan män och kvinnor över åren I tabell 10 sammanfattas lösningsfrekvenserna för män och kvinnor för åren 1998, 1999 och Tabell 10: Lösningsfrekvensen för män och kvinnor för de olika problemgrupperna åren 1998, 1999 och Män Kvinnor Män Kvinnor Män Kvinnor N=1022 N=423 N=927 N=415 N=869 N=332 Grundkunskaper 86,5 87,0 88,9 88,2 90,1 91,2 Deriveringsmetoder 62,8 56,7 65,2 65,6 69,9 68,8 Matematisk allmänbildning 60,7 55,7 65,2 56,0 62,9 56,7 Kreativ talkunskap 37,9 37,6 42,2 41,0 42,7 41,6 Läsförmåga (analys) 16,9 13,0 20,1 15,6 24,9 19,7 Okonventionella angreppssätt 10,8 4,6 12,6 4,7 13,5 4,5 Genomsnittlig lösningsfrekvens 52,2 49,4 55,1 52,1 57,1 54,5 16

17 Sett över de tre åren kan man konstatera att även om lösningsfrekvenserna har blivit lägre för vissa problemtyper så har relationen mellan lösningsfrekvensen för män respektive kvinnor varit överraskande oförändrade. Ett undantag är gruppen Deriveringsmetoder där kvinnornas resultat år 2000 är lägre än männens, medan resultaten 1998 och 1999 var desamma för kvinnor och män. Omvänt gäller i gruppen Okonventionella angreppssätt, att männens lösningsfrekvens har minskat, medan den varit oförändrad för kvinnorna. Men i övrigt har relationen mellan lösningsfrekvenserna för män respektive kvinnor varit förvånansvärt konstanta. Detta förstärker intrycket att den varierande strukturen i lösningsfrekvenser för män respektive kvinnor (som grupper) inte beror på slumpen utan att det kan finnas underliggande mer fundamentala förklaringar. Skillnaden mellan resultaten för män och kvinnor är liten i de flesta programmen Lösningsfrekvenserna för kvinnor och män i de olika programmen ges i tabell 11. Sammantaget uppvisar alltså kvinnorna en något lägre sammantagen lösningsfrekvens än männen. I de flesta programmen är skillnaden liten. Det gäller på Bioteknik, Mediateknik, I, E, T, M, L och V. På D och F har männen (som grupp) bättre resultat än kvinnorna. Även på Informationsteknik och K ligger männens lösningsfrekvens några procentenheter högre än kvinnornas. På B däremot har kvinnorna klart högre testresultat än männen. Tabell 11 : Nybörjartest KTH Olika program. Genomsnittliga lösningsfrekvenser för män respektive kvinnor. (Programmen ordnade efter fallande lösningsfrekvenser). Utbildningsprogram Män N Kvinnor N Samtliga N Teknisk fysik 66, , ,2 123 Datateknik 62, , ,9 126 Bioteknik 57, , ,2 66 Informationsteknik 57, , ,4 127 Mediateknik 56, , ,1 57 Industriell ekonomi 54, , ,0 106 Elektroteknik 52, , ,6 154 Farkostteknik 50, , ,1 112 Kemiteknik 52, , ,5 116 Maskinteknik 44, , ,7 218 Lantmäteri 41, , ,9 110 Väg- och vattenbyggnadsteknik 38, , ,4 117 Materialteknik 34, , ,5 57 Total 52, , , Anm: 44 svarande har ej uppgivit kön. 17

18 Gymnasiebetygens betydelse Sambandet mellan betygen på olika kurser i gymnasieskolan Det är naturligt att jämföra resultaten på KTH-testet med betygen från gymnasieskolan. Idag får man betyg i matematik på fem olika kurser om man går i NV-programmet. De kurser som är bara förekommer på NV-programmet är Matematik D och Matematik E. ( De kan också läsas valfritt på andra program). Det visar sig att överensstämmelsen mellan betygen på dessa två kurser är stor. Tre fjärdedelar (74 %) av alla som skrev förkunskapsprovet hade betyg från gymnasieskolan både på kurs D och på kurs E. Av dessa var det i sin tur knappt tre fjärdedelar som hade samma betyg på de två kurserna (tabell 12). Tabell 12: Nybörjartest i matematik vid KTH Studenter som gått nya gymnasieskolan. Samband mellan betygen på kurserna D och E. Betyg från nya gymnasiet, kurs E Betyg från nya gymnasiet, kurs D G VG MVG totalt G VG MVG totalt Procentuell fördelning Betyg från nya gymnasiet, kurs E Betyg från nya gymnasiet, kurs D G VG MVG totalt G 13,3 3,7 0,1 17,1 VG 9,3 23,5 6,7 39,6 MVG 0,3 9,3 33,7 43,3 totalt 22,9 36,6 40,6 100,0 År 1999 hade drygt 60 procent av alla deltagare i förkunskapsprovet ( eller 848 av 1376) betyg från den nya gymnasieskolan. (se tabell 13). Mellan år 1999 och år 2000 har andelen med betyget G på kurs D ökat från 15 till 17 procent och andelen som har betyget G på kurs E ökat från 18 procent till 23 procent. Andelen som har MVG har inte förändrats mellan de två åren. 18

19 Tabell 13: Nybörjartest i matematik vid KTH Studenter som gått nya gymnasieskolan. Samband mellan betygen på kurserna D och E. Kurs E, betyg Kurs D, betyg G VG MVG Totalt G VG MVG Totalt procentuell fördelning Kurs E, betyg Kurs D, betyg G VG MVG Totalt G 9,4 5,1 0,1 14,6 VG 7,9 26,1 7,2 41,2 MVG 0,8 8,8 34,6 44,2 18,2 40,0 41,9 100,0 Lösningsfrekvenser för teknologer med olika betyg Starkt samband mellan gymnasiebetygen och provresultaten Tabell 14 ger sambandet mellan gymnasiebetygen på kurserna D resp E och resultaten på förkunskapstestet. Som synes är resultaten kraftigt kopplade till betygen. Det gäller både betygen på kurs E och på kurs D. Siffrorna är ungefär desamma för båda betygsslagen. Tabell 14. Nybörjartest i matematik vid KTH Lösningsfrekvensen (procent) för studenter från nya gymnasieskolan i relation till betygen på kurserna E och D. Betyg på Kurs E 2000 Från gymnasieskolan Betyg på kurs D 2000 Från gymnasieskolan G VG MVG Samtliga G VG MVG Samtliga Uppgift n=251 n= n=1098 n=200 n=441 n=483 n=1124 Grundkunskaper 1 71,3 81,3 92,7 83,7 72,3 78,8 92,4 83,5 2 76,3 86,3 94,7 87,4 75,0 85,5 94,4 87,5 4a 75,9 83,5 92,5 85,4 75,0 83,1 91,9 85,5 4b 81,3 88,8 95,6 89,9 81,0 86,5 96,3 89,7 Medelvärde 76,2 85,0 93,9 86,6 75,8 83,5 93,8 86,5 Deriveringsmetoder 3 48,6 64,8 81,8 68,0 45,8 65,9 79,2 68,0 8a 31,9 47,5 71,7 53,7 31,0 46,3 69,9 53,7 Medelvärde 40,2 56,2 76,8 60,9 38,4 56,1 74,5 60,9 Matematisk 5 59,6 70,4 83,5 73,2 64,8 68,8 80,9 73,3 allmänbildning 11 24,7 39,4 69,6 48,3 22,5 38,1 67,6 48,0 Medelvärde 42,1 54,9 76,5 60,8 43,6 53,5 74,2 60,6 Kreativ talkunskap 6 25,5 38,9 60,7 44,7 25,8 38,6 58,0 44,6 9 27,5 28,6 46,1 35,4 26,3 28,2 45,6 35,3 Medelvärde 26,5 33,8 53,4 40,1 26,0 33,4 51,8 40,0 Läsförmåga 4c 2,2 5,2 19,2 10,2 2,5 4,2 18,9 10,2 8b 8,6 13,1 39,7 22,8 7,0 12,5 38,1 22,5 10 6,8 9,2 32,0 17,9 5,0 8,2 31,9 17,8 Medelvärde 5,8 9,2 30,3 17,0 4,8 8,3 29,6 16,8 Okonventionella 7 4,8 5,2 19,4 10,9 6,3 5,1 17,9 10,8 angreppssätt Medelvärde 4,8 5,2 19,4 10,9 6,3 5,1 17,9 10,8 Genomsnittlig lösningsfrekvens 38,9 47,3 64,2 52,2 38,6 46,4 63,1 52,2 19

20 Sämre resultat i år än tidigare vid fixt betyg För varje betygsnivå är resultaten år 2000 sämre än de var två år tidigare, år I vissa fall är skillnaden stor. Den kraftigaste minskningen mellan de två åren gäller området Deriveringsmetoder, som innehåller två uppgifter som har direkt anknytning till gymnasieskolans kurs (tabell 15). Även inom det andra området som har direkt koppling till gymnasiekursen (Läsförmåga, (analys)) är minskningen mellan de två åren kraftig och gäller för alla tre betygsnivåerna. Tabell 15: Lösningsfrekvenser för olika betygsnivåer. Jämförelse mellan teknologerna år 1998 och år betyg på kurs E i gymnasieskolan Differens G VG MVG G VG MVG G VG MVG N=251 N=401 N=445 N=92 N=262 N=300 Grundkunskaper 76,2 85,0 93,9 82,0 90,3 95,8-5,8-5,3-1,9 Deriveringsmetoder 40,2 56,2 76,7 52,0 69,5 85,0-11,8-13,3-8,3 Matematisk allmänbildning 42,1 54,9 76,5 41,5 62,5 76,0 0,6-7,6 0,5 Kreativ talkunskap 26,5 33,8 53,4 35,0 39,5 57,5-8,5-5,7-4,1 Läsförmåga (analys) 5,8 9,2 30,3 12,0 18,0 39,7-6,2-8,8-9,4 Okonventionella angreppssätt 4,8 5,2 19,4 8,0 7,0 21,0-3,2-1,8-1,6 Genomsnittlig lösningsfrekvens 38,9 47,3 64,2 44,9 54,6 68,6-6,0-7,3-4,4 Man kan finna fler förklaringar till att resultaten för de olika betygsgrupperna har försämrats. En kan var att vi haft en betygsinflation. Kraven för de olika betygen har minskats mella år 2000 och år Men förklaringen kan också sökas i att populationerna har varit olika. Alla vet att man glömmer kunskaper som inte övas. Det gäller också kunskaper i matematik. Det skulle kunna vara så att vi år 2000 har en större andel bland de skrivande från nya gymnasieskolan som läste sina matematikkurser för länge sedan. För att kontrollera om detta kan vara fallet görs i tabell 16 en jämförelse mellan resultaten för studenterna som kom direkt från gymnasieskolan år 1998 och år För studenter som kommer direkt från gymnasieskolan är försämringen större, om de har G eller VG på kurs E. Ingen förändring för dem som har MVG Tabell 16: Nybörjare 19 år, KTH år 1998 och år Lösningsfrekvensen i relation till gymnasiebetyget på kurs E i matematik. Betyg på kurs E år G VG MVG n=35 n=116 n= ,1 56,8 67,0 n=77 n=118 n= ,1 47,8 66,6 Som synes är minskningarna i resultaten för dem som har betygen G och VG ännu större när vi jämför dessa delgrupper än när man jämför de totala populationerna. För dem som har fått 20

21 betyget MVG finns det däremot ingen skillnad mellan de två årgångarna. (För samtliga med MVG är däremot minskningen omkring fyra procentenheter). Även om materialet i vissa fall är något tunt (små studentgrupper) talar mycket för att studenter som har G och VG från gymnasiet i år hade sämre förmåga att klara förkunskapstestet när de slutade skolan än motsvarande elever hade två år tidigare. En förklaring, som redan nämnts kan vara att det har blivit lättare att få betygen VG och G. En annan skulle kunna vara att gymnasisterna har lärt sig att bättre optimera sina kunskaper. Allt fler lär sig precis så mycket matematik som behövs för ett visst betyg. Överinlärning blir mer sällsynt. Detta är ett för den enskilde rationellt handlande, eftersom det är viktigast för att komma in är att medelvärdet på samtliga kurser i slutbetyget är så högt som möjligt. Då skall man inte ägna mer tid åt en kurs än som är nödvändigt för få det betyg man siktar mot. 21

22 Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten I det följande redovisas lydelsen på de olika uppgifter som ingår i testet och resultatet för de fyra år som testet hittills har använts. Härigenom kan man göra jämförelser mellan olika årgångarna teknologer. Syftet är att även i framtiden använda samma test för att kunna följa utvecklingen av nybörjarnas matematikkunskaper. Mot denna bakgrund är det viktigt att information om uppgifterna i provet bevaras inom den grupp som tar del av denna rapport och att den inte sprids till elever i gymnasieskolan. För att inte förstöra möjligheten att göra jämförelser mellan olika årgångar KTHteknologer är det också viktigt att test-uppgifterna inte används i prov eller övningar för elever i gymnasieskolan eller andra skolor (motsv) som utbildar studerande som skall läsa vid universitet eller högskola. Vad innehåller provet? Det bör framhållas att det givna provet inte svarar mot de förkunskaper som behövs för att kunna följa studierna i civilingenjörsprogrammen. Inte heller gör provet något anspråk att täcka det matematikstoff som de nyblivna teknologerna har träffat på under sina tidigare studier i grundskola och gymnasieskola. Istället kan man se provet mera som ett test inför studierna i matematik, som på något sätt visar i vilken riktning man kommer att gå i den kommande undervisningen. Klart är i alla fall att provet testar kunskaper och färdigheter som man på KTH anser vara viktiga för de fortsatta studierna. Lösningsfrekvens Det aktuella provet innehåller sammanlagt 14 uppgifter. Några av dessa är kopplade till varandra (som a och b uppgifter på samma problem). Varje uppgift eller deluppgift bedömdes med 1, 0,5 eller 0 poäng. Sammanlagt kunde man få 14 poäng på provet. Vid analysen i det följande av resultaten för de olika uppgifterna i provet används här begreppet lösningsfrekvens. d v s andelen utdelade poäng av antalet möjliga. Kommentarer till de olika uppgifterna Uppgift nr 1. ac ( ) Förenkla b c ( a ) till högst ett bråkstreck i svaret Lösningsfrekvens (%) 84,2 87, Kommentar: Dubbelbråk är en klassiker som ofta skapar problem även för studenter på högskolenivå. Denna uppgift är dock av den allra enklaste typen. Den löses lämpligen genom att man multiplicerar täljare och nämnare i det stora bråket med ab. Därefter förkortas de små bråken var för sig. Slutligen förkortas (divideras täljare och nämnare) med c : 22

23 ac ( b ) ( ) c a = ac ab b ab c a 2 a bc b a c = = = abc bc a a b 2 2 Ett annat sätt att lösa uppgiften är att man erinrar sig att division med ett bråk är det samma som multiplikation med bråkets invers: ac ( b ) c ( a ) ac a a c = = = b c bc a b 2 2 Uppgift nr 2. Bestäm x ur ekvationen x + x 2 3 = Lösningsfrekvens (%) 87,1 88, Kommentar: Uppgiften är av grundskolekaraktär. Den kan lösas genom att båda leden i ekvationen multipliceras med 6: x x 6x 6x + = 1 + = 6 3x + 2x = 6 5x = 6 x = Man kan också bryta ut x vilket leder till uppgiften att addera 1 2 och 1 3 : Uppgift nr Derivera ( x + 1)( x + 2) x x = 1 x 1 x 1 x = = = Lösningsfrekvens (%) 67,8 71, Kommentar: Uppgiften förutsätter att den svarande kan derivera ett polynom (vilket vanligen hör till kurs C i gymnasieskolan). Innan man kan derivera måste man multiplicera ihop de två binomen: ( )( ) ( ) D x + 1 x + 2 = D x + x + 2x + 2 = 100x + 99x + 2 Man kan också derivera de två faktorerna som de står med hjälp av deriveringsregeln för en produkt (kurs D från gymnasieskolan). Detta upplevs nog av de skrivande som mer avancerat : 23

24 ( + )( + ) = ( + )( + ) + ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) D x 1 x 2 D x 1 x 2 x 1 D x 2 x 2 x 1 99x = x x + 99x = 100x + 99x + 2 För att kunna lösa uppgiften på det enklaste sättet måste man dels identifiera och kunna skriva uttrycket som ett polynom dels kunna derivera ett sådant. Sannolikt är det den första delen som man har missat på. Det kräver en förtrogenhet med (och kanske också förståelse för) matematiska uttryck, medan den andra delen av uppgiften (att derivera ett polynom) är en mer mekanisk kunskap. Uppgift 4. I figuren ser du en rätvinklig triangel med sidolängderna a, b och c och vinkeln x. x c b a a. Uttryck sin x och cos x i a, b och c. b. Uttryck c i a och b. 4c. Uttryck sin 2x i enbart a och b Lösningsfrekvens (%) a) 85,0 88, b) 89,1 90, c) 10,4 13, Kommentar: Uppgifterna a och b hör hemma i kurs A i gymnasieskolan (sannolikt krävs det bara grundskolekunskaper för att lösa dem). Lösningsfrekvenserna är också bland de allra högsta på hela materialet. Uppgift a) frågar efter det samband som är mest fundamentalt om man vill använda sinus och cosinusfunktionerna i geometrin. (Ibland används dessa samband som definitionen av de trigonometriska funktionerna): a b sin x = ; cos x = c c Svaret i uppgift b) följer direkt ur Pythagoras sats: 2 2 c = a + b I uppgiften c) krävs dels att man kommer ihåg formeln för sinus för dubbla vinkeln, dels att man använder resultatet i uppgift a) för att ersätta sin x och cos x och resultatet i uppgift b) för att eliminera c : a b ab 2ab sin2x = 2sin x cos x = 2 c = c = c a + b Uppgift 5. Då man löser ekvationer så säger man ibland att man flyttar över och byter tecken. (Ex x + 4 = 3 ger x = 3 4 ). Förklara varför man kan göra så. 24

25 Lösningsfrekvens (%) 73,2 78, Kommentar: Uppgiften förväntar sig att den svarande känner till (eller har förstått ) att sanningsvärdet för en likhet (i detta fall en ekvation) inte förändras om man subtraherar (eller adderar) båda leden med samma uttryck. ( Eller: ett sätt att lösa en ekvation är att minska båda leden med samma uttryck ). Egentligen borde det också krävas att den svarande kan göra ett formellt bevis för överflyttningssatsen för en godtycklig ekvation innehållande x : ( ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) f x g x h x f x g x g x h x g x f x h x g x Sannolikt har det vid rättningen inte krävts en generell behandling enligt ovanstående för att få full poäng på uppgiften. Uppgift Ordna följande tal i växande storleksordning: 10, 2, (Ledning: 2 = 8, ) Lösningsfrekvens (%) 42,2 45, Kommentar: Uppgiften kräver dels att den svarande i enkla fall kan hantera potensräkneregeln: ( a ) = a b c bc dels att han/hon kan organisera behandlingen av de tre uttrycken och använda ledningarna till att göra om det första och det tredje talet till potenser av 2: ( ) ( ) ( ) ; ( ) 10 = 10 2 = 2 8 = 2 = Detta medför att < 10 < 8 Uppgift 7. Har ekvationen x = cos x någon lösning? I så fall hur många? Svar och motivering: Lösningsfrekvens (%) 9,1 10, Kommentar: Detta är den uppgift som hade lägst lösningsfrekvens av samtliga. Uppgiften är tänkt att lösas grafiskt. Man söker antalet skärningspunkter mellan kurvorna y = x och y = cos x. Det är möjligt att studenterna i gymnasieskolan någon gång har sett en liknande uppgift, men det vanliga har nog varit att man studerat antalet skärningspunkter mellan en kurva och x-axeln. För att lösa uppgiften krävs därför antingen vad man skulle kunna kalla matematisk allmänbildning eller att man kan översätta formler till kurvor och dessutom har ett visst mått av kreativt tänkande. 25

26 Uppgift 8. ( ) = ( ) Kedjeregeln för derivering säger att om h( x) f g( x) ( ) ( ) ( ) (Ex: om h( x) = e x 2 kan vi välja f ( x) = så är h x g x f g x. = e x och g( x) = x 2 ) 8a: Vad är derivatan av e x2? 8b: Finn funktioner f ( x) och g( x) så att sin 2 x f g( x) ( ) = Lösningsfrekvens (%) a) 54,1 59, b) 20,8 22, Kommentar: Kedjeregeln introduceras i kurs D i gymnasieskolan. I formuleringen av uppgiften anger man också formeln för kedjeregeln och ger också i ledningen precisa uppgifter om hur man skall välja funktionerna f och g för att formeln skall kunna användas i uppgift 8 a. Det är möjligt att denna ledning har varit svår att förstå och att många av dem som löst uppgift 8 a snarare gått på tidigare inlärda ( mekaniska ) deriveringsregler (med inre derivata o.s.v.): 2 2 x x De = e 2x Ett argument för en sådan slutsats är att betydligt färre än de som löste uppgift 8a klarade av uppgift 8b, där man skulle visa att man förstått den givna formeln genom att sätta: ( ) ( ) f x = x 2 ; g x = sin x En förklaring till att inte så många har klarat uppgiften 8b kan vara att man skriver f ( x) med f y och ( ) g x så att är det möjligt att flera hade kunnat lösa uppgiften. Erfarenheterna visar att även efter högskolestudier i matematik har många studenter svårigheter att hantera uppgifter av den typ som ges i 8 b. x som variabel. Om man istället hade skrivit: Finn funktioner ( ) Uppgift 9. Summan av de första udda talen beskriver ett enkelt mönter: Visa att mönstret fortsätter att stämma, t ex genom att motivera varför = (Ledning: Titta på prickkvadraterna till höger.) 1 = 1, 1+ 3 = 2, = Lösningsfrekvens (%) 33,4 37,