Gauss lag på differentialform och Gauss lag på integralform uttrycker egentligen samma sak.

Transkript

1 Elektrostatiken baseras på tre olika postulat. Gauss lag på differentialform och Gauss lag på integralform uttrycker egentligen samma sak. Det elektrostatiska fältet är källfritt. Coloumbs kraftlag uttrycker att kraften mellan två punktladdningar är proportionell mot var och en av punktladdningarnas storlek och inverst proportionell mot avståndet mellan punktladdningarna. Det elektriska fältet från en punktladdning ökar med avståndet. I Exempel 2.1 i boken är kraften som laddning Q1 påverkar laddning Q2 med lika stor som kraften som laddning Q2 påverkar laddning Q1 med. I Exempel 2.1 i boken är kraften som laddning Q2 påverkar laddning Q3 med lika stor som kraften som laddning Q2 påverkar laddning Q1 med{,} om Q1 och Q3 är lika stora. Kraften på de två olika laddningarna är också riktad åt samma håll. Om man jämför bilderna 2.2 och 2.3 i boken så kan man säga att bilden 2.3 är vad man får om man lägger ihop de två fälten som är ritade i bild 2.2. Alla molekyler har ett dipolmoment Vatten har ett dipolmoment därför att väteatomerna drar till sig elektronerna mer än syreatomen Att polära molekyler tenderar att vilja ställa in sig ordnat i förhållande till elektriska fält kan förstås från figur 2.9. Gauss lag uttrycker att det elektriska flödet genom en sluten yta är proportionellt mot laddningen innanför ytan. Om man lägger en spänning på 2000 V mellan två plattor på avståndet 0.1 mm med luft emellan kommer man att få ett överslag I uppgift 2.2 på sidan 38 i boken är det bra att veta sambandet mellan laddning och ström Uppgift 2.2 på sidan 38 i boken bygger på kraften mellan två laddningar I uppgift 2.2 på sidan 38 i boken är det Gauss lag som ligger till grunden för kraften mellan laddningarna. I uppgift 2.3 på sidan 39 i boken är det bra att veta sambandet mellan laddning och ström för att kunna lösa talet Uppgift 2.5 på sidan 39 i boken bygger på kraftbalans I uppgift 2.6a och 2.6b på sidan 39 i boken får man göra olika approximationer om hur fältet ser ut. I uppgift 2.7a på sidan 39 i boken är det viktigt att människan är isolerad från marken Potentiell energi är relaterad till arbete Spänning eller potentialskillnad mellan två punkter är enligt definitionen lika med skillnaden i den potentiella energin. Exempel 3.1 på sidan 42 i boken bygger på energikonservering.

2 I figur 3.1 på sid 43 är spänningen mellan plattorna olika vid luft och de olika materialen. Spänningen kan skrivas som integralen av det elektriska fältet mellan två punkter Om man i exempel 3.3 på sid 44 lägger på en mycket stor spänning mellan inneroch ytterledare fungerar inte GM-röret. I svaret på uppgift 3.1 kan man se att man räknat med att spänningen mellan moln och mark är konstant under blixturladdningen I svaret på uppgift 3.1b kan man se att man inte räknat med friktionskraften I uppgift 3.3 på sid 49 kan man använda Gauss lag för att få sambandet mellan det elektriska fältet på ytan till satelliten och laddningen I uppgift 3.4 på sid 49 kan man använda Gauss lag för att få totala laddningen. I uppgift 3.4 på sid 49 kan man använda Coloumbs kraftlag för att få totala laddningen. Elektrostatikens postulat kan ses som en delmängd av Maxwells ekvationer vid låga frekvenser Det elektrostatiska fältet är rotationsfritt. Potentialen i två punkter som inte har någon spänningsskillnad mellan sig är noll. Från Gauss lag följer att fältlinjer börjar på negativa laddningar och slutar på positiva laddningar. En sfärisk symmetrisk laddningsfördelning ger samma fält utanför laddningen som en punktladdning med samma laddning En mycket lång linjeladdning ger E fältet cylindrisk symmetri. Om man sättar en metallstång i ett elektriskt fält{,} blir det inre av metallstången fält-fritt. Kirchhoffs strömlag uttrycker laddningskonservering. Vid seriekoppling av resistanser kommer strömmen genom varje resistans bli samma. Vid parallellkoppling av resistanser kommer spänningen över varje resistans bli samma. Vid parallellkoppling av resistanser lägger man ihop resistanserna. Spänningsdelning beskriver hur spänningen fördelar sig över två parallellkopplade resistanser. Strömdelning utrycker hur strömmen fördelar sig genom två parallellkopplade resistanser I uppgift 6.2 på sidan 89 i boken använder man lämpligen Kirchhoffs strömlag som en av flera ekvationer för att bestämma strömmarna. Kapacitansen för en kondensator beror på laddningen Kondensatorer kan användas för att lagra energi

3 En kondensator som laddas upp får samma laddning men med olika tecken på de båda plattorna. Vid seriekoppling av kondensatorer lägger man ihop kapacitanserna Seriekoppling av kondensatorer ger samma formel för den totala kapacitansen som för den totala resistansen vid parallellkoppling av resistanser. Studera uppgift 4.12 på sidan 61 i boken. Kapacitansen på 200pF beror på spänningen Konduktiviteten bestämmer ensam resistansen för en ledare Att resistansen beror på temperaturen används i elektriska termometrar Studera kapitel 7 i boken. Om man sätter vänster hands tumme längs strömmen och böjer fingrarna pekar de längs magnetfältlinjerna. Studera kapitel 7 i boken. Magnetfältet mitt emellan två parallella raka ledare med olika riktning på strömmen är starkare än på samma avstånd på andra sidan av en av ledarna. Studera kapitel 7 i boken. Magnetfältet i en godtycklig punkt i rummet från ett litet strömelement dl är parallellt med strömmen och parallellt med vektorn mellan det strömförande elementet och punkten i fråga. Studera kapitel 7 i boken. I en tätlindad toroid är magnetfältet konstant till storlek men inte till rikning när man rör sig i toroiden på konstant avstånd R från centrumaxeln. Studera kapitel 7 i boken. Ett ferromagnetiskt material förstärker ett yttre pålagt magnetfält. Studera kapitel 7 i boken. Kraften från ett magnetfält på en laddad partikel i vila är noll Kirchofs spänningslag uttrycker att integralen av E-fältet runt en sluten slinga är noll. Studera kapitel 8 i boken. en transformatorkärna består av många tunna plåtar som ligger bredvid varandra för att virvelströmmarna i kärnan ska bli så stora som möjligt. Studera kapitel 8 i boken. man kan utnyttja fenomenet med virvelströmmar för att konstruera en kilowattimmätare. Studera kapitel 8 i boken. en likström i en ledare ger upphov till ett elektriskt fält som cirkulerar runt ledaren. Studera kapitel 8 i boken. om en ledare utsätts för ett varierande magnetiskt flöde induceras en ström i ledaren. Studera kapitel 8 i boken. en inducerad spänning har alltid en sådan riktning att den förstärker den förändring som orsakat den. Dubblering av antalet varv i en slinga ger dubbelt så stor självinduktans. I princip kan alla växelströmsproblem lösas genom att visardiagram ritas och strömmar och spänningar beräknas enligt kap 10 i boken. exp(-j0.5pi) i komplex notation är samma som att multiplicera med +j. (exp betyder "e upphöjt till")

4 Studera lösningen till exempel Fasen av spänningen över kapacitansen är lika stor som fasen av spänningen över resistansen. Kirchhoffs spänningslag och Kirchhoffs strömlag gäller även vid komplex notation. Uttrycken för parallellkoppling och seriekoppling gäller även vid komplex notation. Studera uppgift 14.1 på sid 235. Impedansen i problemet är en resistans. Studera uppgift 14.4 på sid 236. Vid mycket låga frekvenser blir impedansen praktiskt taget rent resistiv. Studera uppgift 14.5 på sid 236. Vid mycket små frekvenser blir impedansen noll. Studera uppgift 14.5 på sid 236. Vid mycket höga frekvenser blir impedansen mycket stor. Studera kapitel 10 i boken. i ett system med två parallellkopplade komponenter är strömmen genom de båda komponenterna alltid lika stora oberoende av vilka komponenter som är inkopplade. Studera kapitel 10 i boken. i ett system med två parallellkopplade komponenter är strömmen genom de båda komponenterna lika stor om de två komponenterna är identiska. Studera kapitel 10 i boken. för en resistans som man kopplar in till en växelström ligger ström och spänning i fas. Studera kapitel 10 i boken. för en kapacitans som man kopplar till en växelström ligger strömmen fasförskjuten 90 grader före spänningen Studera kapitel 10 i boken i ett system med två parallellkopplade komponenter är spänningen över de båda komponenterna alltid lika stora oberoende av vilka komponenter som är inkopplade. Studera kapitel 10 i boken. för en induktans som man kopplar till en växelström ligger strömmen fasförskjuten 90 grader före spänningen Studera kapitel 10 i boken. impedansen hos en resistans beror inte på frekvensen. Studera kapitel 10 i boken. impedansen hos en kondensator är proportionell mot frekvensen. Studera kapitel 10 i boken. impedansen hos en spole är proportionell mot frekvensen. Studera kapitel 10 i boken. om man seriekopplar en resistans{,} en kapacitans och en induktans kan man hitta en frekvens där kretsen uppför sig helt resistivt. Studera kapitel 9 i boken. enligt Kirchhoffs strömlag är summan av alla strömmar till och från en knutpunkt lika med noll. Studera kapitel 9 i boken. enligt Kirchhoffs spänningslag är summan av alla spänningar i en sluten slinga lika med noll. Studera föreläsningsanteckningarna samt kapitel 9 i boken. Maskanalys bygger på Kirchoffs strömlag. Studera material TG2. En Fergusonplot visar hur den normaliserade mobiliteten beror på gelkoncentrationen.

5 Studera material TG2 om Fergusonplottar. Olika makromolekyler har olika lutning på kurvorna därför att lutningen är proportionell mot koncentrationen. Studera material TG2. Till grunden för Fergusonplottarna ligger antaganden om hur sannolikheten för porstorleken i gelen är större än en tänkt effektiv radie hos de migrerande partiklarna Studera material TG2. Ogstons teori bygger på att man antar att den migrerande partiklarna beter sig som odeformerbara sfäriska partiklar. Studera material TG2. Ogstons teori betraktar den polymera gelen som en stor sil. Studera material TG2. I Ogstons teori tar man hänsyn till att makromolekylerna kan deformeras och pressa sig genom porerna i gelen. Studera material TG2. Det grundläggande i reptationsteorin är att en lång flexibel molekyl kan ändra sin form när den rör sig genom en polymer. Studera material TG2. kt kommer som kommer in i reptationsteorin för mobilitet i polymerer beror på den potentiella energin i det elektriska fältet. Studera material TG2. Stoke-Einsteins ekvation kopplar till Brownsk rörelse. {REFERENS} Studera material TG2. Reptationsteorin för elektrofores bygger på diffusion där den grundläggande steget i diffusionsprocessen är mycket längre än gyrationsradien. Studera material TG2. Modifierad reptationsteori förutsäger att för stora elektriska fält blir mobiliteten oberoende av storleken på molekylerna som skall separeras. Studera material TG2. Elektrofores kan användas för att separera godtyckligt stora makromolekyler. De elektriska fälten vid biologiska cellulära effekter ligger på mikrov/mm. Elektriska potentialskillnader i embryon kan ha betydelse för den normala utvecklingen. Ett utväxande nervutskott{,} en så kallad neurit{,} kan styras att röra sig mot ena polen i ett magnetiskt fält. Ett utväxande nervutskott{,} en så kallad neurit{,} kan styras att röra sig mot ena polen i ett elektriskt fält. En hel cells rörelse mot den negativa polen i ett elektriskt fält kallas för <94>cathodal migration<94>. En hel cells rörelse mot den negativa polen i ett elektriskt fält kallas för <94>anodal migration<94>. Man kan interagera med de cellulära elektriska fenomenen med hjälp av kemiska substanser. Läkningsprocessen i en skadad kornea (ögats främre hinna) blir opåverkad om man blockerar de elektriska fält som finns naturligt i kornean. Man har visat att prostaglandiner och östrogener är involverade i de elektriska fenomen man studerat i nervsystemet.

6 Man har använt sig av en teknik med vibrerande elektroder för att studera biologiska cellulära elektriska fält. Elektriska fält kan påverka hur många celler som delar sig under en viss tidsperiod. Natriumjoner är involverade i bildningen av endogena elektriska fält. Hjärtats elektriska aktivitet kan modelleras med en elektrisk dipol vars styrka och riktning ändras i tiden. Elektrokardiografi bygger på att man mäter strömmar som funktion av tiden mellan olika punkter på kroppen. Det är tidsvariationer i potentialen över cellmembranen som ger upphov till hjärtats elektriska aktivitet. En muskelcell i vila har en potentialskillnad på cirka 90 mv över cellmembranet. Nettobidraget till potentialen utanför en cell med ett polariserat cellmembran är noll Att en muskelcell polariseras betyder att positiv laddning på utsidan av cellmembranet transporteras genom membranet och potentialskillnaden över membranet blir noll. Om man vill beräkna hur potentialfördelningen på huden från aktiviteterna i hjärtat ser ut måste man lösa Laplaces ekvation. Man kan göra en grov uppskattning av hur potentialerna{,} fälten och strömmarna i kroppen{,} som hjärtats elektriska aktivitet orsakar{,} ser ut genom att göra en enkel beräkning på en elektrisk dipol som befinner sig i mitten av en sfärisk modell. Då en muskelcell depolariseras aktiveras den och dras ihop. Ett skalärt elektrokardiogram ger mer information om den elektriska aktiviteten i hjärtat än ett vektor-elektrokardiogram. Enligt Einthovens standard används sex elektroder för att mäta upp ett EKG. Genom geometriska uppskattningar kan man komma fram till att den maximala potentialskillnaden man kan mäta upp på huden i ett EKG är cirka en tjugondel av vilopotentialen över muskelcellernas membran. Ett polariserat cellmembran kan modelleras med en negativ ytladdningstäthet på insidan av cellmembranet och en positiv ytladdningstäthet på utsidan. Vågfronten mellan den depolariserade delen och den polariserade delen av muskelcellen rör sig med en hastighet av cirka fem till tio meter per sekund. Studera kapitel 11 i boken. i ett trefassystem är spänningarna mellan två faser 120 grader förskjutna i förhållande till varandra. Studera kapitel 11 i boken. i ett Y-kopplat trefassystem kan lasten kopplas mellan var och en av faserna och en gemensam nolledare. Studera kapitel 11 i boken. spänningen mellan två faser kallas huvudspänning och har effektivvärdet roten ur två gånger fasspänningan. (Fasspänningen ligger mellan fas och nolledare.) Elektricitetens farlighet beror på hur stor energi som förmedlas till kroppen.

7 Elektricitetens farlighet beror på hur stor laddning som förmedlas till kroppen. Värmeskador orsakas normalt av elenergi som värmer kroppen vid ungefär 110 volt. Vid glappkontakt kan förlusteffekten bli högst 50 procent av en resistiv belastnings märkeffekt. Vid ett direktjordat system delas den inkommande jordade nolledningen i en jordledning och en nolledning. I en elektrisk termostat används en metallstav av koppar för att koppar böjer sig vid temperaturvariationer. En människa som utsätts för 230 V mellan händerna kan få en ström genom kroppen på runt 2 A. En människa som utsätts för 230 V mellan händerna kan få en ström genom kroppen på runt 0.2 A. Jordfelsbrytare bygger på att en transformator känner av om den totala strömmen genom faserna och nollan skiljer sig från noll. Ett icke direkt jordat system används när man inte vill ha en jordfelsbrytare som skall bryta strömmen vid jordfel. En vuxen människa utvecklar en effekt på ca 0.1 kw. En vuxen människa utvecklar en effekt på ca 1 kw. En villapannas effekt kan vara på ca 20 kw. En reaktor på Barsebäck kunde ge ca 580 kw. En reaktor på Barsebäck kunde ge ca 580 MW. Vattenkraftverket Harsprånget kan enligt kursboken ge effekten 940 MW. Vattenkraftverket Harsprånget kan ge effekten 940 kw. En kwh är detsamma som 3.6 kj. En kwh är samma som 3.6 MJ levererade kärnkraften mer elenergi i Sverige än någon annan enskild energikälla. En anledningen till att man vill ha hög spänning vid kraftöverföring är att detta minskar förlusterna. Anledningen till att man vill ha hög ström vid kraftöverföring är att detta minskar förlusterna. En voltmeter kopplas in parallellt med den komponent man vill mäta spänningen över. En ideal voltmeter borde ha noll resistans. Många digitala voltmetrar har en inre resistans på cirka 10 MOhm. Man mäter på en komponent i en krets med en voltmeter. För att påverka kretsen så lite som möjligt bör voltmeterns inre resistans vara mycket mindre än resistansen hos komponenten man mäter på.

8 En amperemeter ska kopplas parallellt över den komponent man vill mäta strömmen i. En ideal amperemeter borde ha noll resistans. Istället för att ange inre resistans hos en amperemeter kan man lika gärna ange egenförbrukningen. Egenförbrukningen anger spänningen över amperemetern vid fullt utslag. Från en amperemeters egenförbrukning kan man beräkna den inre resistansen om man känner det aktuella mätområdet. Resistans kan mätas direkt med en Wheatstonebrygga (med trådtöjningsgivare inkopplad) eller en ohmmeter. Indirekt kan resistans mätas genom att mäta spänningen över och strömmen genom resistorn. En ohmmeter driver en ström genom den okända resistansen. Ju mindre okänd resistans desto mindre ström. Ett vridspoleinstrument är ett snabbt instrument som är effektivt då man vill studera snabba förlopp. För att mäta växelström med ett vridjärnsinstrument behöver man använda en likriktarbrygga. För att mäta växelström med ett vridspoleinstrument behöver man använda en likriktarbrygga. Ett vridspoleinstrument fungerar så att en spole vrider sig i ett magnetfält då en ström går genom spolen. Vridningen dämpas av en fjäder och vid en viss vridningsvinkel uppstår jämvikt. Vridningsvinkeln är proportionell mot strömmen i spolen. Ett vridjärnsinstrument fungerar så att två järnstycken magnetiseras i olika riktning och därmed attraherar varandra. En visare kopplas till det ena järnstycket som är rörligt. Visarutslaget blir proportionellt mot strömmen i kvadrat. En enkel digitalvoltmeter fungerar genom att mäta den tid det tar för en kondensator att laddas upp till samma spänning som mätspänningen. Tiden för uppladdningen av kondensatorn är ett mått på mätspänningen. Ett oscilloskop används för att studera hur en spänning ser ut i tiden. Ett oscilloskop använder sig av att kraften på en partikel som rör sig i ett elektriskt fält är lika med laddningen gånger fältstyrkan. I ett oscilloskop accelereras elektronstrålar som sedan avlänkas med elektriska fält. Avlänkningen i y-led är proportionell mot den pålagda spänningen. Då man vill studera en spänning som funktion av tiden i ett oscilloskop använder man en tidbasgenerator som alstrar en i tiden linjärt ökande spänning som läggs över plattorna i x-led. I en TV- eller dataskärm används elektriska fält{,} på samma sätt som för oscilloskop{,} för att avlänka elektronstrålen. Man kan använda samma tångamperemeter för att mäta både likström och växelström. Fördelen med en tångamperemeter är att man kan mäta växelström utan att behöva bryta kretsen för att koppla in en vanlig amperemeter.

9 En tångamperemeter bygger på att det elektriska fält som omger en växelströmsledare inducerar en spänning i en spole. Den inducerade spänningen är ett mått på strömmen i ledningen och mäts på vanligt sätt. Halleffekten kan användas för att mäta statiska magnetfält. Enligt Halleffekten kommer en spänning att induceras vinkelrätt mot strömriktningen i en strömförande ledare som befinner sig i ett statiskt magnetfält. Enligt Halleffekten är spänningen{,} som uppstår på en strömgenomfluten ledare i ett magnetfält{,} proportionell mot magnetfältet i kvadrat. Halleffekten bygger på att en laddad partikel som rör sig i ett magnetfält avlänkas vinkelrätt mot sin rörelseriktning. En trådtöjningsgivare bygger på att tråden som givaren är uppbyggd av förändrar sin induktans då den deformeras. Bandbredden definieras med hjälp av den övre gränsfrekvensen och den undre gränsfrekvensen. Decibel defineras som 20 gånger log A/A0 (där A är mätt- och A0 en referensamplitud av signalen) Vid en pn-övergång uppstår genom diffusion laddade områden med ett starkt elektriskt fält från det positivt laddade skiktet i n-området till det negativt laddade skiktet i p-området. Både P-dopade och N-dopade halvledare har en konduktivitet som är skild från noll. Dioden är en linjär komponent. Om katoden i en diod läggs på en högre potential än anoden{,} sägger man att dioden framspänns. Dioden kan aldrig leda ström i backriktningen. I transistorn har emittern och kollektorn alltid samma typ av dopning. {REFERENS} För N-dopade halvledare ligger ferminivån lägre än i intrinsiska material. Vid höga temperaturer befinner sig ett större antal elektroner i ledningsbandet För att nå hög förstärkning i transistorn är det viktigt att dopkoncentrationen i emittern är mycket större än dopkoncentrationen i basen. När övergången mellan bas och emitter i NPN-transistorn är backspänd beter den sig som en backspänd diod. När basen hos en NPN-transistor läggs på högre potential än emittern så beter sig PN-övergången som en backspänd diod. När strömmen som flyter genom bas och emitter varierar{,} så varierar strömmen genom kollektor och emitter på samma sätt{,} även om strömmen är betydligt större. Förstärkningen hos en operationsförstärkare begränsas oftast och dess maxvärde med hjälp av återkoppling.

10 Studera TG8 och kapitel 17 i boken. Den ideal operationsförstärkare skall ha oändlig inimpedans och noll utimpedans. Studera TG8 och kapitel 17 i boken. En vanlig grundkopplinga för en operationsförstärkare är när den motkopplas med två resistorer för att ge en viss förstärkning. Studera TG8 och kapitel 17 i boken. Man kan bygga en enkel digital-analogomvandlare genom att 'smart välja' värdena på resistorerna på ingångarna hos en summations-krets. Studera TG8 och kapitel 17 i boken. En komparator utnyttjar en operationsförstärkare som opererar i saturation. Studera TG8 och kapitel 17 i boken. En integrator fungerar också som en lågpassfilter. Studera TG8 och kapitel 17 i boken. En derivator fungerar också som en lågpassfilter. Studera TG8 och TG9. En Bode-diagram är en graf av överföringsfunktionen som funktion av frekvensen. Det används för att visa systemets frekvensrespons. I komparatorkrets i figur 13{,} TG8{,} bestäms brytfrekvensen enbart av kapacitansen. Studera TG8 och TG9. I en Bode-diagram betyder noll magnitud noll förstärning av signalen. Studera TG8 och TG9. Man kan bygga ett enkelt filter med hjälp av en kapacitans och ett motstånd. Studera TG8 och TG9. Filtret har sin brytfrekvens där reaktansens har samma värde som resistansen. Studera TG8 och TG9. Ett högpassfilter är ett filter som dämpar höga frekvenser men som släpper igenom låga frekvenser. Operationförstärkare används i mättat tillstånd i en AD omvandlare En komparator kan användas i en AD omvandlare. Den jämför två signaler. -3 db innebär en halvering av signalen. En uppmätt analog tidssignal är definierad för alla tider som mätningen pågår. Lösningen på en differentialekvation kan betraktas som en kontinuerlig signal. Spänningen över en komponent i en elektrisk krets kan betraktas som ett exempel på en kontinuerlig signal. För att få en diskret signal från en kontinuerlig signal{,} för att tex styra en process med en dator{,} krävs en DA-omvandlare. För att med en diskret signal datorstyra en kontinuerlig process krävs en ADomvandlare. Time division multiplexing används vid överföring av flera telefonsamtal på en ledning och betyder att olika delar av frekvensbandet används av olika telefonsamtal. Data acquisition systems används för att automatiskt göra mätningar mha en dator.

11 En funktion måste vara tidsberoende för att man ska kunna fourierserieutveckla den. En periodisk funktion x(t) existerar för alla tider såvida man inte explicit infört inskränkningar. En periodisk funktion med periodtiden T är även periodisk med periodtiden nt där n är ett heltal. Den fundamentala periodtiden är den längsta periodtid som uppfyller periodicitetsvillkoret x(t)=x(t+t). För att härleda matematiska uttryck för fourierserierna kan man börja med att minimera felet i kvadrat mellan funktionen och den antagna fourierserien. Frekvensspektrat av en signal ger information om amplituden hos varje frekvenskomponent. Frekvensspektrat av en signal ger ingen information om fasen hos varje frekvenskomponent. DC-komponenten i en fourierserieutveckling är detsamma som medelvärdet i kvadrat av funktionen{,} x(t){,} som man utvecklar. Frekvensspektrat av ett impulståg är också ett impulståg. För en fyrkantvåg minskar amplituden i frekvensspektrat hos varje frekvenskomponent som ett delat med k (k är ordningsnumret på frekvenskomponenten). En fyrkantpuls som lågpassfiltreras ger som resultat en puls där alla skarpa hörn har filtrerats bort. En gråskalebild karakteriseras av en intensitet som varierar i två dimensioner. En gråskalebild karakteriseras av en intensitet och färg som båda varierar i två dimensioner. Ljuset i ett foto karakteriseras av mängden reflekterat ljus. Ljuset i en röntgenbild karakteriseras av mängden reflekterat ljus. Ljuset i en röntgenbild karakteriseras av mängden reflekterad strålning. En digital gråskalebilds detaljupplösning beror främst på hur många bitar som används för att beskriva gråskalan. En digital gråskalebilds detaljupplösning beror främst på hur många pixlar bilden innehåller. En digital bilds kvalitet karakteriseras av kontrasten och detaljupplösningen. En digital bilds kvalitet karakteriseras främst av kontrasten. En digital bilds kvalitet karakteriseras främst av detaljupplösningen. Ögat kan samtidigt observera 60 olika gråskalenivåer. Ögat kan samtidigt observera 600 olika gråskalenivåer. För att ögat skall kunna observera många olika intensiteter varieras pupillens öppning.

12 En digital bilds histogram uttrycker hur många pixlar en viss gråskalenivå har. En digital bilds histogram uttrycker hur många pixlar bilden har. Histogramutjämning ser till att alla gråskalenivåer är lika många gånger förekommande i bilden. Histogramutjämning ser till att alla färger är lika många gånger förekommande i bilden. Engelskans begrepp Convolution är det vi på svenska kallar faltning. Engelskans begrepp Convolution är det vi på svenska kallar ett filter. Begreppet faltning är starkt relaterat till begreppet impulsrespons. Medelvärdesbildning av en pixel med dess grannar är ett exempel på linjär filtrering. Medelvärdesbildning av en pixel med dess grannar är ett exempel på ickelinjär filtrering. När man kör ett medelvärdesbildande filter ett stort antal gånger blir det bara en gråton kvar. När man kör ett medelvärdesbildande filter ett stort antal gånger blir det bara svart i bilden. Histogrammet för en bild där man kört ett medelvärdesbildande filter ett stort antal gånger har en spik. Histogrammet för en bild där man kört ett medelvärdesbildande filter ett stort antal gånger har en jämn nivå. En bild där man först kört ett medelvärdesbildande filter ett mycket stort antal gånger och sedan gör histogramutjämning påminner om den ursprungliga bilden. Ett tre gånger tre filter med alla element i första kolonnen lika med minus 1{,} andra kolonnens element lika med noll och tredje kolonnens element lika med ett kommer att detektera variationer i bilden i x-led. Ett tre gånger tre filter med alla element i första kolonnen 0{,} andra kolonnens element lika med noll och tredje kolonnens element lika med noll kommer att detektera variationer i bilden i x-led. Ett tre gånger tre filter med alla element i första kolonnen lika med 1{,} andra kolonnens element lika med 2 och tredje kolonnens element lika med 2 kommer att detektera variationer i bilden i x-led. Ett tre gånger tre filter med alla element i första raden lika med minus 1{,} andra radens element lika med noll och tredje radens element lika med ett kommer att detektera variationer i bilden i y-led. Ett tre gånger tre filter med alla element i första raden lika med minus 1{,} andra radens element lika med noll och tredje radens element lika med ett kommer att detektera variationer i bilden i x-led. Ett tre gånger tre filter med alla element i första raden lika med minus 1{,} andra radens element lika med noll och tredje radens element lika med ett kommer att detektera variationer i bilden i y-led. Ett filter som använder en numerisk approximation av Laplaceoperatorn detekterar variationer i bilden i båda riktningarna.

13 Ett filter som använder en numerisk approximation av Laplaceoperatorn detekterar variationer i bilden bäst i x-led. Bilder med mycket konstanta områden har Fouriertransformer med mycket energi i rumsfrekvensen noll. En vanlig gråskalebild kan byggas upp av en summa av sinus- och cosinustermer. Argumenten i de trigonometriska funktionerna innehåller bland annat ljusets frekvens. En vanlig gråskalebild kan byggas upp av en summa av sinus- och cosinustermer. Argumenten i de trigonometriska funktionerna innehåller bland annat bildens dimensioner. Faltning övergår i rumsfrekvensplanet till en vanlig fourierintegral. Faltning övergår i rumsfrekvensplanet till en vanlig multiplikation. Bilder med mycket konstanta områden har Fouriertransformer med mycket energi i vid höga rumsfrekvenser. Fasinformationen i en Fouriertransform av en bild är viktig för att tala om var i bilden detaljerna finns. Amplitudinformationen i en Fouriertransform av en bild är viktig för att tala om var i bilden detaljerna finns. Fouriertransformationen av ett digitalt foto är inte möjlig att göra för hand. Fouriertransformationen av ett digitalt foto är lätt att göra för hand. Näthinnan i ögat har en filtrering som påminner om en Laplacefiltrering och därför är bra på att detektera kanter. Näthinnan i ögat har en filtrering som är medelvärdesbildande och är därför bra på att detektera kanter. Medianfilter är bra på att ta bort så kallat salt- och pepparbrus. Medianfilter som är bra på att ta bort så kallat salt- och pepparbrus är ett ickelinjärt filter. Medianfilter som är bra på att ta bort så kallat salt- och pepparbrus är ett linjärt filter. Diskreta tidssignaler{,} tex från en mätning{,} är definierade för alla tider som mätningen pågår. Med röntgentomografi söker man bestämma olika vävnaders förmåga att absorbera fotoner. MRI lämpar sig väl för att avbilda olika anatomiska strukturer. Röntgentomografi kan användas för att undersöka förekomsten av olika kemiska ämnen i kroppen på spektroskopisk väg. Röntgenstrålar genereras av att man accelererar positroner mot en wolframanod. Positronerna interagerar med anoden vilken sänder ut röntgenfotoner. Intensiteten hos röntgenstrålar avtar exponentiellt med den tillryggalagda sträckan då den passerar genom kroppen. Ju högre atomnummer en atom har{,} desto kraftigare absorberar materialet (som utgörs av atomerna) röntgenstrålning.

14 För att kunna avbilda kärlsystemet med röntgentomografi kan man injicera en kontrastvätska innehållande ett ämne med högt atomnummer i blodet. En fotomultiplikator används i bildgenereringsutrustning för att detektera enskilda elektroner. Vid MRI använder man spinnet hos olika atomkärnor för att göra avbildningar av kroppen. När kärnspinnet återgår till sitt ursprungsläge efter att ha exciterats till en högre energinivå utsänds radiovågor med en frekvens som är lika med halva Larmorfrekvensen. Larmorfrekvensen för en atomkärna ändras något i olika kemiska omgivningar. Detta kan utnyttjas för att detektera olika ämnen i kroppen. Endast atomer med ett jämnt antal kärnpartiklar (neutroner och protoner) kan avbildas med MRI. Vid bildgenerering med MRI utnyttjar man bland annat tiden det tar för kärnspinnet att återgå till sitt ursprungsläge från ett exciterat tillstånd. I en MRI-maskin krävs ett starkt statiskt elektriskt fält för att linjera upp kärnspinnet längs fältlinjerna. För att kunna få spatiell information ur mätningarna i en MRI-maskin använder man en gradient i magnetfältet. Gradienten gör att Larmorfrekvensen blir olika i olika positioner. Detta kan man detektera och därmed kan man få spatiell information om varifrån en signal kommer. För att förstärka konturerna hos ett rekonstruerat objekt kan man lågpassfiltera bilden. Radon transformen beräknas med ett flertal parallella linjeintegraler i en viss vinkel till objektet. I definitionen av Radontransformen ingår Fouriertransformen. Projektionsteoremet säger att 1D Fouriertransformen av projektionsdata (Radontransformen) vid en given vinkel är lika med den radiella data vid samma vinkel i 2D Fouriertransform domänen. Sinogrammet visualiserar ett antal Radontransformer i olika vinklar. Bildrekonstruktion med filtrerad bakåtprojektionsalgoritmen (filtered backprojection algorithm)kan sägas utgöras av en invers Radontransform. Bildrekonstruktionsalgoritmen vid ett solfjäderformat strålknippe använder sig inte av Radontransformen. Bildrekonstruktion vid ett solfjäderformat strålknippe kan göras med samma algoritm som då man använder parallella strålar. Förutsättningen är att de uppmätta solfjäderformade strålarna sorteras om till projektioner av parallella strålar. Bildrekonstruktion med algoritmen för ett solfjäderformat strålknippe ger ofta sämre upplösning än då man använder parallella strålknippen. Ett objekt i origo ger upphov till ett sinusformat spår på kanten av sinogrammet. Filtrering med en filterfunktion lika med absolutbeloppet av omega leder till att höga frekvenskomponenter filtreras bort.

15 Ett sätt att göra bildrekonstruktionen är att med hjälp av 1D Fouriertransformen av de uppmätta projektionerna fylla upp en 2D frekvensdomän via projektionsteoremet. Bilden rekonstrueras sedan via en invers 2D Fouriertransform. Den filtrerade bakåtprojektionsalgoritmen kräver att data är uppmätt vid vinklar jämt fördelade över hela varvet runt objektet. Dessutom krävs att de parallella strålarna är fördelade med samma avstånd mellan varandra. Aliasproblem kan uppstå vid bildrekonstruktionen om man samlar in data med för stort avstånd mellan de parallella strålarna. Intuitivt kan rekonstruktionsprocessen med den filtrerande bakåtprojektionsalgoritmen förstås som att projektionerna smetas tillbaka jämt fördelade ut över bildområdet i den riktning de mättes upp. Filtreringen med funktionen absolutbelopp av omega kan ses som ett sätt att kompensera för att varje uppmätt projektion endast ger data i 2D Fouriertransformens frekvensrum på linjer och inte på tårtbitsformade områden. Den röntgenstrålning som genereras i ett röntgenrör består av karakteristisk strålning och bromsstrålning. När man genererar röntgenstrålning bombarderar man ett anodmaterial med elektroner. De mest effektiva materialen består av atomer med lågt antal protoner i kärnan. Den karakteristiska strålningen genereras då en elektron deexciteras från en högre till en lägre energinivå. Teorin bakom den sk bromsstrålningen bygger på klassisk fysik och kan förstås utan hjälp av kvantmekanik. Ett scintillatormaterial omvandlar röntgenfotoner till ljusblixtar. En gasdetektor för röntgenstrålning bygger på att röntgenfotonen joniserar en atomer i gasform som sedan accelereras mot en anod respektive en katod. Detta ger upphov till en ström som kan registreras. I en fotomultiplikatortub avges en elektron från fotokatoden. Denna elektron accelereras mot en anod och slår loss ett flertal elektroner som sedan accelereras mot en annan anod. I en flerstegsprocess fås på så vis en kraftig förstärkning av en enda ursprunglig elektron. Med denna metodik kan en enskild elektron förstärkas och ge en mätbar ström ut ut fotomultiplikatortuben. Wolfram används ofta som anodmaterial i röntgenrör. Röntgenbaserad CT kan inte avbilda och skilja mellan grå och vit hjärnsubstans. I de mest moderna CT systemen görs en spiralformad mätning av patienten. På detta sätt kan 3D bilder av hela patienten genereras mycket snabbt. Röntgenstrålningen dämpas i kroppsvävnad pga Comptonspridning av röntgenfotoner. Bromsstrålning genereras då laddade partiklar accelereras. En foton med hög energi joniserar gasen i en gasdetektor lättare än en foton med lägre energi. Gas detektorer innehåller oftast Xenon-gas. Den högsta toppen i det uppmätta spektrumet från en fotomultiplikator härrör sig från Comptonspridda fotoner i scintillatorkristrallen.

16 Rekonstruktionsalgoritmen för parallella strålknippen (som i första generationens CT-system) som vi härlett i kursen är direkt användbar även i femte generationens CT-system. Magnetkamera tekniken fungerar endast med väteatomer. Varje atomkärna med ett kärnspinn som utsätts för ett starkt magnetfält orienterar sig parallellt med magnetfältslinjerna. I en MR kamera kan man använda radiofrekventa signaler med samma frekvens som Larmorfrekvensen för att tillfälligt styra om riktningen på nettomagnetiseringen för att möjliggöra mätning av T1 och T2 relaxationstiderna. Nettomagnetiseringen i ett material för en given magnetfältsstyrka kan ökas genom att sänka temperaturen i materialet. Den gyromagnetiska konstantens värde för ett atomslag beror endast på vilken typ av atom det gäller. I ett kordinatsystem som roterar med nettomagnetiseringsvektorn M_0 ser det ut som om H-fältet är lika med det konstanta statiska fältet plus en komponent som beror av att koordinatsystemets rotation och den gyromagnetiska konstanten. Man kan styra hur mycket man vill vrida nettomagnetiseringsvektorn genom att applicera den radiofrekventa pulsen under lämplig tid. Omedelbart då man stänger av det rafiofrekventa fältet efter att ha vridit nettomagnetiseringsvektorn på önskat sätt startar en relaxationsprocess där magnetiseringen återgår till ursprungsläget. Blochs ekvation är en rörelseekvation som beskriver hur nettomagnetiseringsvektorn rör sig i ett magnetfält. Det radiofrekventa magnetfältet som används för att vrida nettomagnetiseringen appliceras med en vinkel på 90 grader mot det statiska fältet i MR kameran.

Gauss lag på differentialform och Gauss lag på integralform <BR>uttrycker egentligen samma <BR>sak.