Exempel på planering

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Exempel på planering"

Transkript

1 Gerd Brandell/Sigrid Sjöstrand Exempel på planering För att kursen ska kunna fungera måste studenterna ha installerat Maple på sina datorer. Datorerna måste föras med till lektionerna. Det är viktigt att studenterna får använda sina datorer på tentamen. Annars kommer de inte att vilja arbeta med Maple under kursens gång. På tentamen kan man ha delar utan datoranvändning. Vid LTH (ekosystemprogrammet) har vi prövat både att låta tentamen ha två separata delar och att helt enkelt skriva att vissa uppgifter ska lösas utan dator. Se nedan, där ett exempel på tentamen finns. Planeringen nedan är för en läsperiod med sju veckor. I varje vecka har studenterna tre lektioner à 90 minuter samt en eller två föreläsningar, också à 90 minuter. Allt hinner då inte föreläsas, utan studenterna måste läsa nya saker i boken. Vid lektionerna används samarbetslärande. Till varje lektion hör ett lektionsblad. De har samma struktur och börjar (utom det första) med en tillbakablick på förra lektionen. Sedan kommer punkterna med dagens arbete och sist en beskrivning av vad som ska förberedas till nästa lektion. Lektionsbladen nedan har använts på en kurs för civilingenjörsprogrammet Ekosystemteknik vårterminen 2013.

2 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell analys W kl Hjälpmedel: Datorprogrammet Maple med sparade filer och en kopia av bokens Maplekommandon (delas ut). Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Om du använder figurer som stöd bör dessa finnas med i lösningen. Alla svar skall förenklas så långt som möjligt. De Maplekommandon som används, de resultat som Maple ger och de slutsatser som motiveras av Maplekörningarna skall redovisas noga. 1. I denna uppgift är f(x, y) = 2x 2 + xy + y 2. a) Beräkna riktningsderivatan till f i punkten (1, 2) i riktningen ( 4, 3). (0.3) b) Låt K vara den nivåkurva till f som går genom punkten (1, 2). Bestäm en ekvation för nivåkurvans tangent t i punkten (1, 2). Rita en figur med kurvan och tangenten i samma figur. Finns det någon annan tangent till K som är parallell med t? Ange i så fall en ekvation för denna tangent. (0.7) 2. Denna uppgift ska lösas för hand. Bestäm den allmänna lösningen till den partiella differentialekvationen x 2 f x xy f y = y i området x > 0, y > 0 genom att införa nya variabler { u = x 2 v = xy. Bestäm också den lösning f(x, y) till differentialekvationen som uppfyller villkoret f(x, x) = x för alla x > a) Beräkna dubbelintegralen D (4 x 2 y 2 ) dx dy, där D är området x 2 y 1. (0.8) b) Värdet av dubbelintegralen D (4 x2 y 2 ) dx dy beror på hur området D väljs. Ett exempel på område finns i a). Hur ska området D väljas för att dubbelintegralen ska bli så stor som möjligt? (0.2) Var god vänd!

3 4. Denna uppgift ska lösas för hand. a) Ge definitionen av att den reellvärda funktionen U(x, y) är en potentialfunktion till vektorfältet F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) i området Ω. (0.2) b) Bestäm en potentialfunktion till vektorfältet F(x, y) = (3x 2 + y 2, 2xy) i området Ω = R 2. (0.4) c) Låt γ vara kurvan y = x 2 genomlöpt från origo till punkten (1, 1). Beräkna kurvintegralen (3x 2 + y 2 ) dx + 2xy dy. γ 5. Det är OK att lämna in lösningen till a) handskriven och lösningen till b) på USB. (0.4) a) Bevisa att om en partiellt deriverbar funktion f(x, y) har lokalt maximum i en inre punkt (a, b) i definitionsmängden, så är f x(a, b) = 0 och f y(a, b) = 0. (0.3) b) Låt f(x, y) = (x 2 y 2 )e 2x y, (x, y) R 2. Bestäm det största och det minsta värdet av f(x, y) i den slutna triangelskivan med hörn i punkterna (0, 0), (3, 0) och (0, 3). (0.7) 6. I en glasskiosk finns två olika glasstrutar för 18:- att köpa. Glassen i strutarna, G 1 respektive G 2, kan beskrivas med olikheterna respektive G 1 : z x 2 + y 2, x 2 + y 2 + z 2 16 G 2 : z 2 x 2 + y 2, z 8 x 2 y 2. Vilken strut ska man köpa om man vill få mest glass för pengarna?

4 Lektion 1 vt 2013 Viktigt idag: Maple Att kunna hantera aritmetiska och algebraiska uttryck utföra vanliga operationer på funktioner som derivering och integrering definiera egna funktioner lägga in textkommentarer spara filer, variabler och funktioner rita grafen y = f(x), a x b, för en given funktion f Mängder i R 2 Att kunna beskriva och tolka mängder med hjälp av olikheter med hjälp av begränsningskurvor 1 Att komma igång med Maple Förutsättningen för dagens lektion är att Maple är installerat på datorerna. Längst ner på (s. 370) står beskrivet hur man väljer Work Sheet Mode, vilket rekommenderas. Gå tillsammans igenom avsnitt A.2.2. Prova alla kommandon i exemplen och hitta på egna liknande exempel. Längst ned på s. 375 finns kommandot restart beskrivet. Det är mycket lämpligt att använda till exempel på tentamen, då man börjar på en ny uppgift. I slutet av avsnittet behandlas skillnaden mellan funktioner och uttryck och hur man använder dem i Maple. Denna skillnad är viktig att förstå, så diskutera tillsammans om det inte är helt klart. 2 Operationer på funktioner Gå tillsammans igenom avsnitt A.2.3 och prova som tidigare kommandona. Gör också egna exempel, där ni kan kontrollera resultaten med handräkning. I exempel A.13 (s.382) finns två förargliga tryckfel. På två ställen ska det efter x 2 vara en högerparentes. 3 Att spara Maple-filer Nu ska ni ta reda på hur man spar sina Maple-sessioner. En session är en rad kommandon och de resultat man får från Maple då kommandona exekveras. Om man vill se enbart sina aktuella kommandon kan man använda Remove Output i Edit-menyn i Maple. Det finns bland annat följande två sätt att spara filer i Maple. Man kan spara (1) en hel Maple-session i en Maple-fil (.mw), med alla resultat, även bilder (2) endast kommandona i en Maple-text-fil (.txt) I första fallet använder man Save As..., i det andra Export As, i File-menyn. Tänk på att ge filerna vettiga namn så att du kommer ihåg vad de innehåller. Läs om allt detta i avsnitt A.4 (s.391) och prova att spara och öppna en egen session.

5 4 Att lägga in textkommentarer Det är praktiskt att lägga in textkommentarer till sina Mapleräkningar. Hur detta går till beskrivs i avsnitt A.2.6 (s. 386). Prova själva! 5 Hjälp Nu har ni använt en massa Maple-kommandon, paletter och uttryck. Hur ska man kunna komma ihåg allt detta? Om man kan namnet på ett kommando, så kan man använda Maples hjälpfunktioner för att få veta precis hur man kan använda kommandot. Skriv till exempel?int och läs vad Maple säger om detta kommando. Mer om hjälp i Maple finns att läsa i avsnitt A.3 (s.388). 6 Beskrivningar av mängder i R 2 Nu lägger vi Maple åt sidan för idag och ägnar oss lite åt vanlig matematik. Läs igenom exempel 1.5 (s.5) i läroboken och lös sedan uppgift 1.1 a-g. Diskutera tillsammans vad en olikhet y f(x) respektive y f(x) betyder geometriskt, om f är en given funktion. Lös uppgift 1.2. Inför lektion 2 A Lös uppgifterna 1.1 h-l och 1.3. Ledning: Beteckningen max(a, b) (min(a, b)) betyder det största (minsta) av talen a och b. Till exempel är max(2, 3) = 3, max(4, 4) = 4 och min( 2, 1) = 2. B Läs igenom avsnitten i boken. Prova de numrerade Maplekommandona. Man kan kopiera över dem till en Maplesession direkt från en fil på kurshemsidan. C Läs följande mera noggrant. avståndsformeln (1.1) (s.6) cirkelns ekvation, sats 1.2 definition 1.1 exempel 1.9. definition 1.2 exempel 1.12 och dess fortsättning

6 Lektion 2 vt 2013 Viktigt idag: Mängder i R 2 Avstånd mellan punkter Cirklar och andra andragradskurvor Skärningspunkter mellan kurvor Områden som beskrivs av olikheter Polära koordinater Maple Kommandona plot och implicitplot 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Avstånd mellan punkter och cirkelns ekvation Denna liksom nästa ruta är repetition av envariabelkursmoment. Avståndsformeln och cirkelns ekvation finns i avsnitt Lös uppgift 1.4 a,e. 3 Andragradskurvor Börja med uppgift 1.4 b,c,d,i. I dessa uppgifter ser man utan ansträngning kurvornas medelpunkter. Ibland måste man kvadratkomplettera för att hitta medelpunkten för en kurva. Se exempel 1.9 (s.13). Lös för hand uppgift 1.5 a,c. 4 Ritkommandon i Maple I avsnitt beskrivs hur man kan rita kurvor med kommandona plot och implicitplot. Gå igenom avsnittet genom att kopiera de numrerade kommandona från kurshemsidan och se vad Maple gör. Låt Maple också rita några av kurvorna i föregående ruta. 5 Skärningspunkter Nu ska ni bestämma skärningspunkterna mellan två kurvor med kända ekvationer. En skärningspunkts koordinater uppfyller båda ekvationerna. Lös uppgift Områden i planet (mycket viktigt) Under förra lektionen ritade ni områden som begränsas av räta linjer. Nu kommer begränsningarna att också vara kurvor. Läs först igenom exempel 1.7 (s.7). Lös först uppgift 1.8 d. Lös också 1.8 a,b. Arbeta både för hand och med Maple, när det är lämpligt. 7 Polära koordinater Kontrollera att ni kan sambanden mellan en punkts kartesiska koordinater (x, y) och dess polära koordinater (r, ϕ). Se avsnitt Rita också själva några av kurvorna i avsnittet, till exempel dem i exempel 1.12 (s.20) och 1.13 (s.21).

7 Inför lektion 3 A Lös uppgifterna 1.5 f,g och 1.8 e,f. B Läs igenom avsnitten Avsnitt kommer ni att arbeta igenom tillsammans på nästa lektion. C Läs mera noggrant definitionerna 1.3, 1.4 och 1.5 exemplen 1.14, 1.17 och 1.18

8 Lektion 3 vt 2013 Viktigt idag: Områden och ytor i R 3 Områden i R 3 som begränsas av plan Sfär och klot Cylindriska koordinater Sfäriska koordinater Andragradsytorna i rummet: cylinder, ellipsoid, paraboloid, hyperboloid, kon Maple Tredimensionell plottning med kommandot implicitplot3d 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Områden i R 3 som begränsas av plan När ni ritar för hand så ska ni lägga koordinatsystemet som det är gjort i figur 1.17 (s.23) i läroboken, dvs. så att en axel ligger i papperets plan (z-axeln) och de andra tänks riktade ut/in från papperets plan. Det fungerar nästan alltid bäst. Sätt pilar på axlarna åt det positiva hållet (vanlig konvention) och skriv ut vilka axlarna är. Använd positivt orienterade system. Exemplen (s.24-25) kan vara till stor hjälp. Lös för hand uppgiften 1.19 a-g. 3 Klot och sfär Avståndsformeln i R 3 har ni träffat på i linjär-algebra-kursen. Den finns i boken på s. 26. Lös uppgift 1.17 a,b. Sfären är skalet och klotet är allt på och innanför skalet. Enhetssfären har ekvationen x 2 + y 2 + z 2 = 1, och enhetsklotet beskrivs av olikheten x 2 + y 2 + z 2 1. Lös uppgift 1.32, bara den första frågan. 4 Cylindriska koordinater De finns beskrivna i början av avsnitt Studera tillsammans exempel 1.17 (s.28) och dess fortsättning. Lös uppgifterna 1.21 a,b. 5 Sfäriska koordinater De finns beskrivna i avsnitt Lös uppgifterna 1.22 a,b, 1.24 a,b,c och 1.25 a,b. 6 Tredimensionell plottning med Maple Gå tillsammans igenom avsnitt i läroboken och prova de olika ritkommandona. Glöm inte att kommandona kan kopieras från kurshemsidan! I avsnitt A.3 i boken kan man läsa om Maples hjälpsystem. Om man vet vad kommandot heter, kan man bara skriva ett frågetecken och kommandots namn. Prova att skriva?implicitplot3d. På tentamen kommer ni att få ha en kopia av bokens förteckning av Maplekommandon, och då kan ni få hjälp på detta sätt.

9 7 Andragradsytor De heter så eftersom de beskrivs med ekvationer av typ p(x, y, z) = 0, där p är ett andragradspolynom. Titta först på exempel 1.18 (s.38). Nu ska ni arbeta med uppgift Ni ska alltså titta på sådana ytor som definition 1.5 (s.37) handlar om. Rita med Maple och experimentera med olika värden på a, b och c. Kommandot implicitplot3d med optionerna scaling=constrained, grid=[20,20,20] och axes=boxed är mycket lämpligt att använda. En viktig teknik som används för att visualisera ytor i rummet är att studera skärningen med koordinatplanen och med andra plan parallella med dessa. Det kan man alltid börja med om man inte ser direkt vilken yta det blir. Pröva den metoden för någon ellipsoid och någon hyperboloid. Rita skärningskurvorna för hand. Inför lektion 4 A Lös uppgifterna 1.17 c,d, 1.19 h,i,j, 1.21 c, 1.22 c, 1.24 d,e,f, 1.25 c,d, B Läs igenom avsnitten och i boken. C Läs mera noggrant avsnitt fram till exemplen definition 1.6 exempel 1.25 och 1.26 D Undring: Varför håller vi på med alla dessa mängder, kurvor och ytor? Förklaring: Det vi ska syssla med i denna kurs är bl a funktioner av två variabler. För att kunna föreställa sig dessa låter man de oberoende variablerna beskrivas av punkterna i ett plan, ett xy-plan, och funktionens värde beskrivs då med en tredje axel, z-axeln. Därmed behöver man studera områden i det tredimensionella rummet. Då väljer man först så enkla saker som möjligt. Det innebär först och främst alla linjära objekt, som räta linjer och plan. Denna kurs bygger därigenom på kursen i linjär algebra. När man söker efter andra områden som är hyfsat enkla att beskriva så dyker andragradskurvor och -ytor upp. Studiet av räta linjer, plan och andragradskurvor och -ytor ger dessutom en bra känsla för det tredimensionella rummets egenskaper.

10 Lektion 4 vt 2013 Viktigt idag: Geometri i rummet och funktioner Rotationsytor Kroppar i rummet Begreppet funktion av två variabler, definitionsmängd och värdemängd Funktionsytor Nivåkurvor Maple Plottning av funktionsgrafer med kommandot plot3d Plottning av nivåkurvor med kommandona implicitplot och contourplot 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Rotationsytor i rummet Om man tar man en cirkel och roterar den runt en diameter, så får man en sfär. Roterar man en ellips runt en symmetriaxel får man en ellipsoid. Motsvarande med hyperbel och en parabel ger en hyperboloid respektive en paraboloid. TÄNK er hur detta ser ut! Speciellt spännande är det med hyperbeln! Vad händer? (Alla andragradsytor är inte rotationsytor. Det såg ni i punkt 7 förra lektionen.) Dessa konstruktioner ger exempel på rotationsytor en speciell sorts ytor som är mycket vanliga både i denna kurs och i verkliga tillämpningar, där man ofta har rotationssymmetrier. Hur kan man känna igen en rotationsyta från dess ekvation? Titta i början av avsnitt i läroboken. Där framgår det att svaret på frågan är att ytan ska ha en ekvation av typen z = f(r), där r = x 2 + y 2. Studera exemplen i detta avsnitt. Hitta på några egna exempel i samma stil och rita ytorna med Maple, både med hjälp av kartesiska och cylindriska koordinater. 3 Områden (kroppar) i R 3 Titta igen på exemplen 1.20 och 1.21 (s.44) och beskriv sedan geometriskt de fyra kroppar, som ges av följande olikheter: a) z < x 2 + y 2 b) z x 2 + y 2 c) z 5 cos(x2 +y 2 ) 1+x 2 +y d) 5 cos(x2 +y 2 ) 2 1+x 2 +y z 2 2 Svar: a) allt under ytan b) allt på och över ytan c) allt på och under ytan d) allt på och över ytan som ligger under planet z = 2 Lös uppgift Rita för hand men kontrollera gärna med Maple hur begränsningsytorna ser ut. Ta en olikhet i taget. Rita först den yta man får med likhet istället för olikhet. 4 Funktioner av två variabler Läs och diskutera tillsammans början av avsnitt tills alla kursiverade ord är helt begripliga. Definieras z som en funktion av (x, y) genom ekvationen x 2 + y 2 + z 2 = 1?

11 5 Definitionsmängd och värdemängd Lös först uppgift Be sedan Maple rita graferna till några av de fyra sista funktionerna på ett område som innehåller punkter utanför definitionsmängden och se vad Maple gör av detta. Använd kommandot plot3d och titta i exemplen i avsnitt hur det fungerar. 6 Funktionsytor Gå igenom exemplen i avsnitt i läroboken. Låt Maple rita och vrid och vänd på graferna. Maplesekvenserna kan kopieras från kurshemsidan. Ni minns väl punkt 2 ovan hur man känner igen en rotationsyta i vanliga koordinater? Nu handlar det om vissa funktionsytor z = f(x, y), som visar sig vara rotationsytor. Rita för hand graferna till de båda funktionerna g(x, y) = x 2 + y 2 och h(x, y) = x 2 + y 2. Titta igen på s.43 om det behövs. Kontrollera med Maple att ni har ritat rätt. En funktion f(x, y) kan bero på bara den ena variabeln, till exempel f(x, y) = x 2. Rita dess graf med Maple och tänk igenom varför grafen ser ut som den gör. Gör samma sak med funktionen g(x, y) = y. 7 Nivåkurvor Att rita nivåkurvor är ett sätt att illustrera funktioner. Om funktionsytan tänks som ett terrängavsnitt, så utgör en samling nivåkurvor kartan över terrängen. Begrunda definition 1.7 (s.55) och titta på fig (s.54). Gå tillsammans igenom exempel 1.33 (s.55) och dess fortsättning i boken och lös sedan uppgift 1.39 a,b,d för hand. I exempel 1.34 (s.56) visas hur man kan rita många nivåkurvor i samma figur och på så sätt få en karta över funktionsytan. Rita med denna metod tre eller fyra nivåkurvor till funktionerna i uppgift 1.39 a,b,d. Sätt er in i hur Maplekommandot contourplot fungerar och rita själva bilderna i exemplen 1.35 (s.57) och 1.36 (s.58). Glöm inte att ni kan kopiera Maplesekvenserna från en fil på kurshemsidan. Rita också nivåkurvorna i uppgift 1.39 a,b,d igen med hjälp av contourplot. Två av dessa funktioner har samma typ av nivåkurvor. Hur kan man se att det rör sig om olika funktioner om man jämför de två bilderna av nivåkurvorna?

12 Inför lektion 5 A Rotationsytor kring z-axeln har ju ekvationer av typ z = f(r), där r = x 2 + y 2. Betydelsen av r är avståndet från punkten (x, y) till origo. Ange f(r) för nedanstående rotationsytor och rita dem för hand. a) z = 3 x 2 y 2 b) z = 1 + x 2 + y 2 z = ln( x 2 + y 2 ) Svar: a) f(r) = 3 r 2 b) f(r) = 1 + r f(r) = ln(r) (Rita med Maples plot3d, om ni inte är säkra på att ni ritat rätt.) Beskriv också geometriskt de tre kroppar, som ges av följande olikheter: a) z 3 x 2 y 2 b) z 1 + x 2 + y 2 c) 1 + x 2 + y 2 z 3 x 2 y 2 Svar: a) allt på och under ytan z = 3 x 2 y 2 b) allt på och över ytan z = 1 + x 2 + y 2 c) den klump som ligger i båda kropparna i a) och b). Lös uppgifterna 1.39 c,e,f och gärna B Läs igenom avsnitten 1.4.3, och C Läs mera noggrant definition 1.8 och resten av avsnitt definitionerna sats 1.4 exemplen 1.40, 1.41, 1.49 definitionerna sats 2.1 exemplen 2.8 och 2.10

13 Lektion 5 vt 2013 Viktigt idag: Funktioner Nivåytor Kurvor på parameterform Terminologi för mängder Kontinuitet Maple Plottning av nivåytor med kommandona implicitplot3d och contourplot3d Kommandot display för att visa flera kurvor eller ytor i samma figur Kommandona plot och spacecurve för att rita kurvor på parameterform i planet och i rummet 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Nivåytor På förra lektionen lärde ni er om nivåkurvor för funktioner av två variabler. För funktioner av tre variabler är mycket analogt. En viktig skillnad är att man inte kan visualisera grafen till en sådan funktion. Men man kan ha glädje av en sådan funktions nivåytor. Läs början av avsnitt i boken, speciellt definition 1.8 (s.61). Lös gemensamt följande uppgift: Beskriv nivåytorna till funktionen f(x, y, z), om a) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 b) f(x, y, z) = x 2 + y 2 c) f(x, y, z) = x 2. Svar: Nivåytorna är a) sfärer med radien C b) cirkulära cylindrar med radien C och z-axeln som axel c) plan med ekvationerna x = C eller x = C. I alla tre fallen måste man välja C 0. 3 Kurvor och kurvtangenter Nu ska ni studera funktioner som tar punkter i R till punkter i planet eller rummet. Deras värdemängder kallas kurvor. Typexempel är en partikels rörelse i rummet eller planet. Tiden är endimensionell och läget, funktionsvärdet, är en punkt i R 2 eller R 3 (förutsatt att vi infört koordinater). Parameterframställningen av en rät linje i tre dimensioner är ett exempel på en vektorvärd funktion. Parametern är den oberoende variabeln. Titta först på definitionerna (s.63-64) samt exempel 1.39 (s.63). Lös uppgift 1.48 a,b. I exemplen 1.43 och 1.41 (s.65) i boken visas en tvådimensionell och en tredimensionell kurva. I exempel 1.46 (s.67) syns hur man ritar sådana kurvor med kommandona plot och spacecurve. Rita dessa kurvor själv och experimentera genom att ändra siffror eller hitta på helt egna exempel. Kommandona kan kopieras från kurshemsidan. Studera nu definition 1.11 (s.64) och sats 1.4 (s.69). Det handlar om derivatan av en vektorvärd funktion. Man deriverar helt enkelt varje koordinat för sig. Derivatan r (t) är en tangentvektor i punkten r(t). Den betyder också hastigheten om r(t) är läget vid tiden t för en partikel. Om man deriverar r (t), får man på motsvarande sätt accelerationen. Det finns beskrivet i avsnitt Lös uppgift 1.51.

14 4 Terminologi för mängder Nu kommer vi snart in på differentialkalkylen, som handlar om derivator. För att kunna arbeta med sådana behövs begreppen kontinuitet och gränsvärden. Då behöver vi lite ny terminologi för mängder. Avsnitt 2.2 i läroboken handlar om det. Kontrollera att ni förstår innebörden i termerna omgivning, inre punkt, randpunkt, rand, öppen, sluten, begränsad, kompakt och sammanhängande. Tänk gärna på motsvarigheterna för mängder i R. Lös uppgift 2.1 a,b,c,f. 5 Kontinuitet Titta på definition 2.9 (s.97) i läroboken och försök tänka er in i att den innebär att f(x, y) ligger nära f(a, b) om (x, y) ligger nära (a, b). Teorin för kontinuerliga funktioner leder bl.a. fram till att alla normalt bildade funktioner är kontinuerliga i sina naturliga definitionsmängder. Till exempel är funktionen f(x, y) = kontinuerlig i sin definitionsmängd. x 2 y + sin(3xy) ln(x 3 2/y) 17e xy Titta nu på exempel 2.8 (s.99). Läs speciellt slutet av exemplet där det visas att man kan lösa problemet ganska enkelt. Lös med samma metod uppgift 2.6. Rita gärna f:s graf med Maple. Exempel 2.10 (s.100) visar en funktion som är diskontinuerlig i origo. Lös på samma sätt uppgift 2.7. Rita gärna f:s graf med Maple. Inför lektion 6 A Lös följande uppgift: Ange en så enkel ekvation som möjligt för den nivåyta till funktionen f, som går genom punkten ( 1, 2, 1), om a) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 b) f(x, y, z) = e x+y+z c) f(x, y, z) = ln( x + y + z) Svar: a) x 2 + y 2 + z 2 = 6 b) x + y + z = 2 c) x + y + z = 4 Lös uppgifterna 1.48c, 1.50 och 2.1 d,e,g. B Läs igenom avsnitten 2.5, i boken. C Läs mera noggrant definition 3.1 definition 3.2 samt texten fram till exemel 3.5 exempel 3.6 avsnitt till och med exempel 3.9 definition 3.6

15 Lektion 6 vt 2013 Viktigt idag: Partiella derivator, differentierbarhet, gränsvärden Partiella derivator Differentierbarhet Tangentplan och gradienter Gränsvärden Maple Kommandona diff, D, mtaylor, Gradient, gradplot och lim 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Repetition Hela avsnitt är repetition av differentialkalkylen från envariabelkursen. Studera exempel 3.1 (s.108) tillsammans. I detta exempel approximeras en funktion med sin tangent, och approximationen är då bra i närheten av tangeringspunkten. Längre fram i kapitlet görs motsvarande för funktioner av två variabler, och de kommer att approximeras med s.k. tangentplan. 3 Partiella derivator Titta först på definition 3.2 (s.118). När man ska beräkna f x(a, b), så ska man tydligen hålla y fixt = b. Då har man en funktion av x, som man deriverar. Till slut ersätts x med a. Träna först derivation för hand genom att lösa uppgift 3.1 a och 3.5 b,c. Lös sedan uppgift 3.5 b,c,d med Maple. Kommandona diff och D finns beskrivna i avsnitt i boken. I envariabelanalysen mäter derivatan lutningen för tangenten. Titta på figur 3.8 (s.124) och se hur f y(a, b) kan tolkas som lutningen för en viss tangent. 4 Differentierbarhet Att en funktion har partiella derivator behöver inte ens betyda att den är kontinuerlig. Man behöver ett starkare krav på en funktion om man vill att dess graf ska vara jämn och fin och ha tangentplan i alla punkter. Kravet är att funktionen ska vara differentierbar. Titta först på definition 3.1 (s.116)! Talen A och B visar sig längre fram i texten vara helt enkelt f x(a, b) resp. f y(a, b). Studera exempel 3.4 (s.117) och lös på samma sätt (om ni hinner) uppgift 3.4. Som tur är behöver man inte visa att vanliga funktioner är differentierbara med hjälp av definitionen, för man har sats 3.4 (s.127). Tänk igenom varför funktionen i uppgift 3.4 är differentierbar med hjälp av denna sats.

16 5 Tangentplan och gradienter Enligt resonemanget direkt efter definition 3.2 (s.118) är Taylorpolynomet p(x, y) det polynom av högst första graden som bäst approximerar f(x, y) nära punkten (a, b). Planet z = p(x, y) kallas tangentplanet i punkten (a, b, f(a, b)) till ytan z = f(x, y). Se första halvan av s.123 och fig. 3.8 (s.124)! Taylorpolynom kan beräknas med hjälp av Maplekommandot mtaylor. Se exempel 3.10 (s.125) i boken och prova själva. Lös uppgift 3.7 med hjälp av Maple. Läs definitionerna 3.4 (s.123) om tangentplan och 3.5 (s.124) om gradienter. Lös uppgift 3.1, 3.3 och 3.6 (bara a)) för hand. I exempel 3.11 (s.125) i boken visas hur man kan beräkna gradienter med hjälp av Maple. Prova att köra Maplesekvensen i exemplet. Lös också uppgiften 3.6 a igen med hjälp av Maple. 7 Gränsvärden Läs om gränsvärden i avsnitt 2.5 i läroboken. Titta speciellt på exemplen 2.14 och 2.15 (s.105) och lös sedan uppgift Inför lektion 7 A Lös uppgifterna 3.2 och 3.8 a,b,c. B Läs igenom avsnitten 3.3 och 3.4 i boken. C Läs mera noggrant definition 3.7 och exempel 3.16 sats 3.6 och exempel 3.19 sats 3.7 och exempel 3.21 sats 3.8 och exempel 3.23 figur 3.14

17 Lektion 7 vt 2013 Viktigt idag: Differentialer Kedjeregeln i tre versioner 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Differentialer Titta först på definition 3.7 (s.131). Lös sedan uppgift 3.10 a,b. Använd gärna Maple för deriveringen. Ta hjälp av exempel 3.16 (s.132), om det behövs. 3 Kedjeregeln, version 1 Den är formulerad i sats 3.6 (s.136) och innebär egentligen inget nytt utöver kedjeregeln från envariabelanalysen. Lös uppgifterna 3.11 a. Här stöter vi för första gången på partiella differentialekvationer. De behandlas mera utförligt längre fram i kursen. Nu ska ni bara verifiera att en given funktion är lösning till en given differentialekvation. 4 Kedjeregeln, version 2 Den är formulerad i sats 3.7 (s.138) och är den stora nyheten när det gäller derivering av sammansatta funktioner. Vi kommer att använda denna version av kedjeregeln ganska mycket längre fram i kursen. Lös uppgift Om ni behöver hjälp, så finns exempel 3.21 (s.139). Denna första uppgift var bara till för att bli varm i kläderna. Om man har konkret givna funktioner, så behövs inte kedjeregel 2 för deriveringen. Lös följande uppgift: Antag att den differentierbara funktionen f(x, y) är given. Sätt x(t) = cos t och y(t) = sin t. Låt h(t) vara den sammansatta funktionen h(t) = f(x(t), y(t)). Beräkna först h (t) och sedan h ( π 4 ) uttryckta i partiella derivator av f. Svar: h (t) = f x(x(t), y(t)) ( sin t) + f y(x(t), y(t)) (cos t) h ( π 4 ) = f x( 1 2, 1 2 ) ( 1 2 ) + f y( 1 2, 1 2 ) ( 1 2 ) 5 Kedjeregeln, version 3 Den är formulerad i sats 3.8 (s.140) och den följer lätt av sats 3.7. Också denna version av kedjeregeln kommer till stor användning längre fram i kursen. Lös uppgift 3.14 för hand först utan och sedan med kedjeregel 3. (Exempel 3.23 (s.140) är mycket likt.) Lös uppgift I denna uppgift har (x, y) och (u, v) bytt roller med varandra jämfört med sats 3.8. Svaret blev enklare än det ursprungliga uttrycket på så sätt att det nu bara innehåller ett slags derivata. Sådana variabelbyten kommer att användas snart för att vi ska kunna lösa vissa partiella differentialekvationer.

18 6 Illustrerande diagram Diagrammen över sammansatta funktioner i fig (s.143) kan vara bra att använda i samband med de olika varianterna av kedjeregeln. Lös uppgift Mapleanvändning Gör om några av uppgifterna med Maple som i exemplen på s.141. Inför lektion 8 A Lös uppgifterna 3.9a, 3.10c och B Läs igenom avsnitten 3.5 och 3.6 i läroboken. C Läs mera noggrant definition 3.8 (s.144) satserna 3.9 (s.145) och 3.10 (s.146) exempel 3.26 (med två fortsättningar) (s.145) sats 3.12 (s.149) exempel 3.30 (s.151) D Börja repetera kap. 1 och 2 genom att svara på instuderingsfrågorna 1 5.

19 Lektion 8 vt 2013 Viktigt idag: Riktningsderivata Att kunna bestämma riktingsderivatan till en funktion i en punkt och i en viss riktning Att känna till att funktionen växer snabbast i gradientens riktning och kunna använda detta för problemlösning Gradient Att känna till och kunna använda gradientens samband med nivåkurvan genom punkten Maple Att kunna rita en figur med gradienten till en funktion som riktningsfält och nivåkurvor till samma funktion i samma koordinatsystem med Maple 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Riktningsderivata Det gäller att tänka på båda representationsformerna för en funktion z = f(x, y). Dels kan vi tänka på funktionsytan som är en yta i R 3, dels kan vi tänka på nivåkurvorna som är en skara kurvor i planet. Titta först på definition 3.8 och figur 3.16 (s.144). Tolkningen är följande: Riktningsderivatan mäter förändringshastigheten i z-led då (x, y) ändras i viss riktning, dvs. lutningen för funktionsytan då (x, y) ändras i den givna riktningen utifrån punkten. Titta på definitionen och figuren igen. Sats 3.9 (s.145) anger hur man kan beräkna riktningsderivator med hjälp av gradienten. Gradienter behandlades på lektion 7. Lös uppgift 3.18 för hand. I exempel 3.26, fortsättningen på s.145 visas hur man kan beräkna riktningsderivator med Maple. Lös samma uppgift igen med Maple. Sats 3.10 handlar om vilka värden en riktningsderivata kan anta. Värdet är tydligen störst i gradientens riktning. Lös uppgift 3.21 a. (Slutet av exempel 3.26 (s.147) kan vara till hjälp om ni fastnar.) 3 Gradienter och nivåkurvor Vi tänker oss en given C 1 -funktion f. Genom varje punkt i planet, som hör till definitionsmängden, går en nivåkurva. I punkten kan man avsätta grad f som en vektor. Gör man det i varje punkt får man ett vektorfält, gradientfältet. Nivåkurvorna och gradientfältet hänger samman geometriskt. I exempel 3.28 (s.148) visas hur man kan låta Maple rita nivåkurvor och gradienter i samma koordinatsystem. Rita nivåkurvor och gradientfältet till funktionen f(x, y) = x 2 + xy i området 3 x 3, 2 y 2. Välj scaling=constrained. Kan ni i figuren se någon egenskap som sammanbinder nivåkurvor och gradientfältet? Titta på sats 3.12 (s.149) i boken. Där finns förklaringen till den geometriska egenskapen, som ni kunde observera. Den gäller alltså generellt, och grad f(a, b) är en normalvektor till nivåkurvan genom (a, b). Fråga: Varför är det viktigt med skalan 1:1? Syns det på kurvorna och gradientfältet?

20 3 Gradienter och nivåkurvor, forts. Lös uppgift (Exempel 3.30 (s.151) kan vara till hjälp.) Lös också uppgift Lös uppgift Man behöver komma ihåg från den linjära algebran hur vinkeln mellan två vektorer kan beräknas. Vinkeln α mellan två vektorer n 1 och n 2 kan fås ur formeln för skalärprodukt, n 1 n 2 = n 1 n 2 cos α. Inför lektion 9 A Lös uppgifterna 3.20, 3.26 och B Läs igenom avnitt 3.7 i läroboken. C Läs mera noggrant om gradienten och riktningsderivatan på s.155 exempel 3.33 (s.155) sats 3.13 (s.157) exempel 3.34 (s.157)

21 Lektion 9 vt 2013 Idag ska vi generalisera innehållet i lektionerna 6, 7 och 8 till funktioner av tre variabler. Dagens lektion kommer också att vara en repetition av de nämnda lektionerna. Viktigt idag: Differentialkalkyl för funktioner av tre variabler Partiella derivator Begreppet differentierbarhet Gradient Differentialer Kedjeregeln i tre versioner Att kunna bestämma riktingsderivatan till en funktion i en punkt och i en viss riktning Att känna till att funktionen växer snabbast i gradientens riktning och kunna använda detta för problemlösning Att känna till och kunna använda gradientens samband med nivåytan genom punkten 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Partiella derivator och differentierbarhet Definitionerna 3.9 och 3.10 (s.154) är naturliga generaliseringar av motsvarande för tvåvariabelfallet. När man deriverar en funktion av tre variabler partiellt, så håller man två av variablerna fixa och deriverar med avseende på den tredje. Lös uppgift 3.29 a,b. Växla mellan att räkna för hand och med Maple. Även om det inte står i boken, så finns det en motsvarighet till sats 3.4 (s.127). Motivera med hjälp av denna motsvarighet att funktionen f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) sin(x y + 2z) är differentierbar i alla punkter i R 3. 3 Differentialer Titta på definition 3.7 (s.131) och formulera motsvarande definition för funktioner av tre variabler. Beräkna differentialerna av funktionerna i uppgift 3.29 i punkten (1, 2, 1). Svar: df = 1 2 x + y 1 2 z och dg = 1 2 x y 2 z En utmaning att ta itu med sist på denna lektion, om ni hinner: Lös uppgift Gradient Generaliseringen till tre variabler är naturlig och finns i början av avsnitt (s.155). Lös uppgiften 3.29 c.

22 5 Kedjeregeln Det finns naturliga motsvarigheter till kedjereglerna för funktioner av två variabler. Lös uppgifterna 3.34 och Tycker ni att svaret är enklare än det ursprungliga uttrycket i uppgift 3.35? 6 Riktningsderivata För en funktion z = f(x, y) av två variabler kan vi tänka på funktionsytan, som en yta i R 3, och på nivåkurvorna som är en skara kurvor i planet. Det blir svårare att tänka åskådligt på en funktion u = f(x, y, z). Dess graf är en yta i R 4 och går inte att föreställa sig. Men funktionens nivåytor med ekvationer av typen f(x, y, z) = C, där C är olika konstanter, kan man rita och föreställa sig. Vi tittar nu först på riktningsderivator. Titta först på exempel 3.33 (s.155) om det behövs, och lös sedan uppgifterna 3.29 d och Gradienter och nivåytor Vi tänker oss en given C 1 -funktion f. Genom varje punkt i rummet, som hör till definitionsmängden, går en nivåyta. I punkten kan man avsätta grad f som en vektor. Då får man en normalvektor till nivåytan i punkten, och man kan med hjälp av den bestämma en ekvation för tangentplanet i punkten. Se sats 3.13 (s.157) och exempel 3.34, punkt 2 (s.158). Lös uppgiften 3.30 och Inför lektion 10 A Lös uppgifterna 3.32, 3.37 och Använd gärna Maple för att beräkna, illustrera och kontrollera svaren. B Läs igenom avsnitten i läroboken. C Läs mera noggrant definitionerna satserna exemplen 4.1, 4.3, 4.5, och 4.7.

23 Lektion 10 vt 2013 Viktigt idag: Största och minsta värde att kunna bestämma största och minsta värdet av en kontinuerlig funktion på en kompakt kurva att kunna bestämma alla stationära punkter till en given funktion att kunna bestämma största och minsta värdet av en kontinuerlig funktion på en kompakt mängd att veta något om optimering på obegränsade mängder Maple kommandona solve och allvalues 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Kompakta mängder, rep. Dagens avsnitt handlar om största och minsta värde av en funktion betraktad på en viss mängd. Problemets lösning beror inte bara på funktionen utan också på mängdens egenskaper. Så vi börjar med att repetera begreppet kompakt mängd. Se definition 2.7 s. 94 med efterföljande exempel. Ge själva exempel på mängder som är slutna men inte begränsade och på mängder som är begränsade men inte slutna. 3 Optimering på kurvor Avsnitt 4.2 i läroboken handlar om följande problem: Finn det eventuella största (minsta) värdet av den givna funktionen f(x, y), om (x, y) ligger på en given kurva. Kurvan kan vara given genom en parameterframställning eller som en funktionskurva. Se exempel 4.1 och 4.2 (s ). Lös uppgift Stationära punkter Sådana punkter ligger i xy-planet. Ni ska öva på att hitta alla stationära punkter till en given funktion. Titta först på definition 4.3 (s.167) och lös sedan uppgift 4.4. Nu ska ni bestämma stationära punkter med Maple. För att lösa ekvationssystemen används solve. Den sista raden på s.164 i boken visar hur det fungerar, om man först har definierat två ekvationer, eq1 och eq2. Om man till exempel har infört de partiella derivatorna med hjälp av kommandot diff och kallat dem fx och fy, så skriver man bara solve({fx=0,fy=0},{x,y}) eller solve({fx=0,fy=0}). Lös nu med Maple uppgift 4.5. När lösningar ges av Maple med Root of..., så kan man använda allvalues. Se längst upp på s.165 i boken. Det kommer till användning i nästa uppgift: Bestäm med Maple alla stationära punkter till funktionen g(x, y) = x 3 + y 2 6x 2y. (Svar: ( 2, 1) och ( 2, 1)) Varning: Det händer att Maple inte löser ekvationssystem fullständigt. Om resultatet inte stämmer med vad du förväntar dig utifrån funktionens utseende eller egenskaper kan det bli nödvändigt att lösa systemet för hand.

24 5 Största och minsta värden till en funktion på ett kompakt område Nu har vi gjort alla förberedelser för att kunna lösa optimeringsproblem där området både har rand och inre punkter. Rita alltid området först och kontrollera efter hand att alla funna punkter ligger i området. Läs sats 4.6 på s.171 och metodbeskrivningen strax efteråt. Lös uppgift 4.8. Allt grovarbete är redan gjort i tidigare uppgifter. Rita gärna ytan med Maple och jämför med svaren. Lös uppgift 4.9. Använd gärna Maple för att hitta stationära punkter. Rita ytan med Maple. I tillämpningar och på tentamen måste man ofta först införa den funktion som ska optimeras. Lös uppgift 4.34 b. Det är en ganska svår uppgift, och vi kan ta upp den på en kommande föreläsning, om det behövs. 6 Största och minsta värden om området inte är kompakt Diskutera hur det kan vara med största och minsta värde om området inte är kompakt. Ge exempel på olika situationer: Funktionen har ett största och ett minsta värde. Funktionen har ett största värde, men saknar ett minsta värde. Funktionen saknar största värde, men har ett minsta värde. Funktionen saknar både största och minsta värde. Lös uppgift Inför lektion 11 A Lös uppgifterna 4.6, 4.7 och Titta på ytorna med Maple och försök bedöma svaren. B Läs igenom avsnitten i läroboken. C Läs mera noggrant definitionerna satserna exemplen 4.12, 4.13, (s.181) samt 4.14 (s.183) och 4.16 (s.187)

25 Lektion 11 vt 2013 Viktigt idag: Lokala extremvärden Taylorutveckling av ordning 2 Kvadratiska former Att kunna bestämma lokala extremvärden till en given funktion Maple kommandona mtaylor och completesquare 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Taylorutveckling Vi vet sedan förra lektionen att ett nödvändigt villkor för att en inre punkt ska vara en lokal extrempunkt är att punkten är stationär. Se sats 4.4 (s.168). Dagens lektion handlar om tillräckliga villkor för att en funktion ska ha lokala extremvärden. Ett viktigt hjälpmedel är Taylorutveckling kring den aktuella (eventuella) extrempunkten. Se sats 4.8 (s.179) och sats 4.9 (s.180) (en användbar variant). Taylorpolynom kan beräknas för hand eller med Maple med kommandot mtaylor. Se exempel 4.12 och 4.13 (s.181). Lös uppgifterna 4.15 a och 4.16 a med Maple. 3 Kvadratkomplettering och klassificering av kvadratiska former Ett Taylorpolynom av ordning 2 består av ett förstagradspolynom plus andragradstermer. Andragradstermerna utgör tillsammans en s.k. kvadratisk form. För att kunna ha nytta av sådana, så måste man klassificera dem. Det kan man göra om man först kvadratkompletterar. Maple kan kvadratkomplettera med kommandot completesquare. Studera definition 4.11 (s.183) och lös uppgift Diskutera skillnaden mellan a) och b)! Ofta måste man kvadratkomplettera innan man kan klassificera en given kvadratisk form. Detta görs i exempel 4.14 (s.183) både för hand och med Maples kommando completesquare. Lös uppgift 4.18 a,b,e. Växla mellan handräkning och Maple. 4 Lokala extremvärden, tillräckliga villkor Studera först sats 4.11 (s.186) och exempel 4.16 (s.187)! För att bestämma alla lokala extrempunkter går man tydligen fram i flera steg: Bestäm alla stationära punkter som i förra lektionen. Beräkna den kvadratiska formen Q(h, k) för var och en av de stationära punkterna. Kvadratkomplettera och klassificera de kvadratiska formerna. Dra slutsatser med hjälp av sats Lös uppgift Använd både Maple och handräkning för de olika stegen. Rita ytorna med Maple och jämför med svaren.

26 Inför lektion 12 A Lös uppgiften 4.18 c,d,f och B Läs igenom kapitel 5 i boken. Avsnitt 5.2 är repetition av envariabelanalys. C Läs mera noggrant exempel 5.3 (s.193) och om kommandot dsolve sist i exemplet exemplen 5.4, 5.5 och 5.6 (s ) exemplen 5.4 (forts.), 5.7 och 5.8 (s ) exemplen 5.9 (s.201) om pdsolve och 5.10 (s.202) exemplen 5.13 och 5.14 (s.206) D Börja repetera kap. 3 genom att svara på instuderingsfrågorna 6-13.

27 Lektion 12 vt 2013 Viktigt idag: Differentialekvationer Direktintegration Randvillkor Variabelbyte i partiella differentialekvationer Partiella differentialekvationer som kan lösas med integrerande faktor Maple kommandona dsolve och pdsolve 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Direktintegration Det enda som ställer till helt nya problem med partiella derivator jämfört med vanliga derivator är det här med konstanter som inte är konstanter. När man integrerar med avseende på en av variablerna händer det egendomliga att integrationskonstanten inte är en konstant längre. Det beror på att en av variablerna hålls konstant när man beräknar en partiell derivata. Så en funktion av den ena variabeln har derivata noll om man deriverar med avseende på den andra. Om f är en funktion av x och y som bara beror på y så gäller f x = 0. Annorlunda uttryckt: En funktion som har ena partiella derivatan lika med 0 kan vara en konstant men den kan också vara en allmän funktion av den andra variabeln: f (x, y) = 0 f(x, y) = g(y) x (som kan vara konstant) vilket ska jämföras med där g är en godtycklig funktion, df (x) = 0 f(x) = C dx där C är en godtycklig konstant, för en funktion av en variabel. Lös uppgifterna 5.3 a,b och 5.16 a. 3 Randvillkor Vi har sett tidigare i lektionen att lösningarna till partiella differentialekvationer innehåller godtyckliga funktioner av en variabel. De motsvarar de godtyckliga konstanter, som man får i motsvarande situation i envariabelanalysen. Ibland kan dessa funktioner bestämmas, om man har ett (eller flera) randvillkor. Hur detta går till visas i exempel 5.7 (s.199) och i det lite svårare exemplet 5.8 (s.200). Lös uppgift 5.7.

28 4 Variabelbyte i partiella differentialekvationer Om en partiell differentialekvation innehåller mer än en sorts derivata, blir det i allmänhet problem. Ibland klarar Maple att lösa ekvationen med kommandot pdsolve. Ibland kan man klara problemet genom att göra ett variabelbyte. Allt detta demonstreras i exemplen 5.9 (s.201) och 5.10 (s.202), och kedjeregeln version 3 kommer till användning. Lös uppgift 5.14 dels med pdsolve som i exempel 5.9 (s.201), dels för hand som i exempel 5.10 (s.202). Lös uppgift 9.20 för hand. (Det är inget tryckfel. Det ska vara 9.20.) Exempel 9.11 (s.364) är en förebild. I exempel 5.11 (s.203) visas hur man kan gå tillväga för att med Maples hjälp utföra ett variabelbyte. Prova detta på uppgift Partiella differentialekvationer som kan lösas med integrerande faktor Lös som repetition uppgift 5.2 både för hand och med Maples dsolve. (Bokens exempel 5.3 (s.193) är mycket likt.) Lös uppgift 5.4 a både för hand och med Maple. Exempel 5.5 (s.197) och 5.6 (s.199) kan vara till hjälp. Inför lektion 13 A Lös uppgifterna 5.3 c, 5.5 b, 5.11, 5.15, 5.16 b och B Läs igenom avsnitten i läroboken. C Läs mera noggrant sats 6.1 (s.212) och sats 6.2 (s.223) definitionerna 6.1 (s.222) och 6.4 (s.223) exemplen 6.1 (s.213), 6.7 (s.218) och 6.8 (s.219) avsnittet Om teorin känns svår, kan man till att börja med koncentrera sig på avsnitt D Börja repetera kap. 4 genom att svara på instuderingsfrågorna

29 Lektion 13 vt 2013 Viktigt idag: Dubbelintegraler Riemannsummor Definitionen av dubbelintegral Tolkningen av dubbelintegraler som volymer med tecken Maple Summation Gränsvärde av summor 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Repetition av enkelintegraler Integralen har en tolkning som area med tecken. Vad säger den? En enkelintegral kan approximeras med hjälp av en Riemannsumma. Gå tillsammans igenom exempel 6.1 (s.213) och utför Maplekommandona. Rita också en tydlig figur i stil med figur 6.1 (s.213). Försök förklara intuitivt utifrån figuren varför Riemannsumman blir ungefär lika med arean under kurvan (med tecken om funktionen är negativ någonstans). Varför blir approximationen bättre om indelningen blir finare dvs. indelningspunkterna ligger tätare? Lös uppgift Dubbelsummor Riemannsummor för dubbelintegraler är dubbelsummor, och därför är det bra att öva lite på sådana. Lös först uppgift 6.4 a för hand. Lös uppgift 6.5 och använd gärna ledtråden. 4 Volymberäkning En dubbelintegral kan tolkas som volym med tecken. Man definierar den utifrån Riemannsummor. Studera tillsammans exempel 6.8 (s.219). Titta speciellt på figur 6.4 och övertyga er om att ni förstår alla beteckningar och hur det kommer sig att det blir en volym. (Summan i exemplet visar sig vara en Riemannsumma.) Hela summan är svår att illustrera för figuren blir så grötig. Studera också exempel 6.9 (s.220), där volymen beräknas som gränsvärdet för summor. Utför själva alla Maplekommandon. Lös uppgift 6.6.

30 5 Integrationsområden Vi kan bara använda integrationsområden för vilka areorna kan beräknas. Sådana områden kallas mätbara. Titta på figur 6.6 (s.221) och läs definition 6.1 (s.222). Lös uppgift 6.7 a. 6 Dubbelintegralens definition Studera s om definitionerna av Riemannsummor och dubbelintegraler. Diskutera sedan avsnitt och den viktiga tolkningen av dubbelintegraler som volymer med tecken. Med hjälp enbart av denna tolkning kan man beräkna vissa dubbelintegraler. Lös uppgift 6.8. Rita en figur för hand och tänk efter vilken volym (med tecken) som är aktuell. Nästa uppgift är att lösa uppgift Använd ledtråden, om ni inte ganska fort kan lösa uppgiften. Inför lektion 14 A Lös uppgift 6.2, 6.7 b, 6.9 och B Läs som repetition igenom avsnitten igen. C Läs igenom avsnitten och och titta speciellt på satserna och exemplen.

31 Lektion 14 vt 2013 Viktigt idag: Dubbelintegraler Beräkning av dubbelintegraler med upprepad integration Integrationsteknik Kunna tolka och uppskatta svar Maple De två integrationskommandona int och Int. Att uppskatta volym och integral från en funktionsgraf. 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Upprepad integration De satser som används är sats 6.5 (s.229) och sats 6.6 (s.231). Man säger att man använder upprepad eller itererad integration. Vid problemlösning är det viktigt att först rita en figur över integrationsområdet. Man håller först den ena variabeln fix och ser i figuren gränserna för den andra variabeln. Ofta spelar det ingen roll vilken variabel man väljer att först hålla fix. Ibland kan det bli väldigt mycket besvärligare räkningar på ena sättet än på andra. Det spelar inte så stor roll för er eftersom Maple sköter räkningarna, men det finns tillfällen då man behöver ta hänsyn till detta. I Maple finns kommandona int och Int. Med hjälp av dem klarar man beräkningar av enkelintegraler. Se början av avsnitt (s.240). Gå tillsammans igenom exempel 6.12 (s.232) och kontrollera räkningarna med Maple. 3 Integrationsteknik Exempel 6.13 (s.233) visar ett fall då man måste välja den ena riktningen först därför att integralen inte går att beräkna annars. Det finns funktioner som inte har någon enkel primitiv funktion. Gör exemplet med Maple på båda sätten och se hur Maple reagerar. Exempel 6.14 är intressant. Där bör man välja en viss ordning av ett annat skäl än för att lättare finna primitiva funktioner. Vad beror det på att det är bäst att integrera i x-led först? Beräkna integralen med Maple. Lös uppgifterna 6.12, 6.13, 6.14 och Rita integrationsområdet varje gång och märk ut i figuren hur ni integrerar. Använd Maple för enkelintegralsberäkningar när ni tycker att det behövs. Sats 6.7 (s.236) är mycket praktisk att använda, men precis alla förutsättningar måste vara uppfyllda om man vill att det ska bli rätt. Lös uppgift 6.16 a.

32 4 Uppskattning och tolkning av svar Om integranden f(x, y) är 0 i integrationsområdet, så innebär det att ytan z = f(x, y) ligger ovanför xy-planet. Vid integralberäkning får man då en viss volym som räknas med med plustecken. Det innebär att svaret måste vara positivt. Om man alltså får negativt svar eller svaret noll, så måste det vara fel. Uppgift 6.25 är för svår att lösa med de metoder vi har hittills, men tänk efter vilket tecken svaret måste ha. Rita grafen till integranden i uppgift 6.13 och försök uppskatta volymen av kroppen mellan funktionsytan och xy-planet. Stämmer det någorlunda med svaret? Inför lektion 15 A Lös uppgifterna 6.16 b, 6.17 och B Läs igenom avsnitten 6.2.8, och C Läs mera noggrant sats 6.8 (s.237) exemplen 6.17, 6.18 (s.239) samt 6.19 och 6.20 (s.240) definition 6.5 (s.243) sats 6.9 (s.245) exemplen 6.21 med fortsättning (s ) samt exempel 6.23 (s.247). D Börja repetera kap. 5 genom att svara på instuderingsfrågorna

33 Lektion 15 vt 2013 Viktigt idag: Integraler Polära koordinater. Beskriva områden i planet med polära koordinater. Beräkning av integraler med hjälp av polära koordinater. Generaliserade dubbelintegraler Maple Rita funktionsytor och områden i planet uttryckta med polära koordinater med hjälp av Maple. Beräkning av generaliserade dubbelintegraler 1 Diskutera eventuella kvarstående problem från förra lektionen. 2 Polära koordinater I många tillämpade uppgifter finns en rotationssymmetri som inte alls kommer till sin rätt när man använder kartesiska koordinater (vanliga koordinater). Man kan få mycket enklare formler och räkningar om man istället använder polära koordinater. Det här kan användas i dubbelintegraler. Om integrationsområdet kan beskrivas i polära koordinater så att r och ϕ ligger mellan fixa gränser, så kan det passa bra med polära koordinater. Även om ni nu använder Maple så ska ni lära er hur formeln för dubbelintegral ser ut med polära koordinater därför att det blir mycket enklare att bestämma gränser för vissa områden om man använder polära koordinater. Exempel på sådana områden finns på s.237. Lös uppgift Ytor i Maple med polära koordinater Som ett första steg innan ni börjar integrera så ska ni undersöka hur man ritar funktionsytor över en cirkelskiva i xy-planet med centrum i origo. Ni ska parameterframställa ytan med hjälp av polära koordinater och sedan använda kommandot plot3d. Gör följande så att ser ni hur metoden fungerar: Rita funktionsytan z = f(x, y) = 6 x 2 y 2 över området D : x 2 + y 2 9 med hjälp av Maple. Vi byter variabler genom att ersätta x och y med deras uttryck i polära koordinater och bestämmer sedan z som den sammansatta funktionen. Man får då en parameterframställning av ytan z = f(x, y) = g( x 2 + y 2 ): x = r cos v, y = r sin v, z = f(r cos v, r sin v) = g(r) = 6 r 2. (Vi skriver v istället för ϕ, för det är lättare i Maple.) I plot3d-kommandot går det bra att använda en parameterframställning av ytan. Kör Maplekommandot enligt nedan. > plot3d([r cos(v), r sin(v), 6 r 2 ]}, v = 0..2 P i, r = 0..3)

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 3 Institutionen för matematik KTH VT 2018 Previously on Flervariabel 1 Analytisk geometri i R n, kap 10 1. Topologiska begrepp a. Omgivning b. Randpunkter, Inre punkter c. Öppen mängd, Sluten

Läs mer

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer). Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian. MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell

Läs mer

Datorövning 2 med Maple

Datorövning 2 med Maple Datorövning 2 med Maple Flerdimensionell analys, ht 2008, Lp1 15 september 2008 Under denna datorövning skall vi lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella derivator,

Läs mer

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de

Läs mer

Extra datorövning med Maple, vt2 2014

Extra datorövning med Maple, vt2 2014 Extra datorövning med Maple, vt2 2014 FMA430 Flerdimensionell analys Denna datorövning är avsett för självstudie där vi skall lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys 1 / 21 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 1 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 3 2 / 21 SF1626 Flervariabelanalys Välkomna till kursen! Föreläsare: Henrik Shahgholian,

Läs mer

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08 Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht8 Omfattning och innehåll 2.7 Gradienter och riktningsderivator. 2.8 Implicita funktioner 2.9 Taylorserier och approximationer 3. Extremvärden 3.2 Extremvärden under bivillkor

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).

Läs mer

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =

Läs mer

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.

Läs mer

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Lektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln

Lektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln Lektion 3 Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln Innehål 1. Partiella derivator (12.3) 2. Differentierbarhet och tangentplan till

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Differentialens geometriska betydelse

Differentialens geometriska betydelse Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Differentialens geometriska betydelse Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Differentialens geometriska betydelse 1 (9) Introduktion

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det

Läs mer

Lösning till kontrollskrivning 1A

Lösning till kontrollskrivning 1A KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017 Tavelpresentation - Flervariabelanalys 1E January 2017 1 Innehåll 1 Partiella derivator 3 2 Differentierbarhet 3 3 Kedjeregeln 4 3.1 Sats 2.3.4............................... 5 3.2 Allmänna kedjeregeln........................

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det

Läs mer

Läsanvisningar Henrik Shahgholian

Läsanvisningar Henrik Shahgholian Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Läsanvisningar Henrik Shahgholian Läsanvisningarna nedan är har tagits fram som hjälpmedel för de studenter som vill helst ha en snabb tillgång till

Läs mer

SF1646, Analys i flera variabler, 6 hp, för CBIOT1 och CKEMV1, VT 2009.

SF1646, Analys i flera variabler, 6 hp, för CBIOT1 och CKEMV1, VT 2009. SF1646, Analys i flera variabler, 6 hp, för CBIOT1 och CKEMV1, VT 2009. Kurt Johansson, Inst för Matematik, KTH 2 mars 2009 Kursinnehåll: Grundläggande kurs i differential- och integralkalkyl i flera variabler.

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN1) 212-5-22 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:

Läs mer

Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed.

Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed. Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed. Del 2 (funktioner av flera variabler). Omfattning: Kapitel 8.2, 8.3 t.o.m. s 497, 8.4, endast båglängd, 8.5 tom s. 506, 10.1, 10.5,

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).

Läs mer

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Dag 1 Avsnitt 6.1 Definition av trappfunktion och integral av en trappfunktion. Räkneregler (de är mer eller mindre uppenbara). Definition av Riemannintegralen

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t

Läs mer

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z. Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Lektionsblad 9, tis 16/2 2010

Lektionsblad 9, tis 16/2 2010 Lektionsblad 9, tis 16/2 2010 Först en gång till optimering med bivillkor. Lös uppgifterna 4.25 (om du har problem med denna väldigt typiska uppgift, så studera även lösningen till 4.24), 4.26 (nästan

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

= 0 genom att införa de nya

= 0 genom att införa de nya UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, IT, W Flervariabelanals 9 1 19 Skrivtid: 8 13. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer.

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva

Läs mer

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf. TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad

Läs mer

Julia Viro KURSBESKRIVNING

Julia Viro KURSBESKRIVNING Analys MN2 Uppsala universitet Matematiska institutionen Kursbeskrivning och läsanvisningar Julia Viro 2007-01-22 KURSBESKRIVNING Lärare: Julia Viro (julia@math.uu.se), föreläsningar och lektioner för

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära

Läs mer

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd

Läs mer

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.) Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg

Läs mer

Datorövning 2 med Maple, vt

Datorövning 2 med Maple, vt Flerdimensionell analys, vt 1 2009 Datorövning 2 med Maple, vt 1 2009 Under denna datorövning skall vi lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella derivator, transformera

Läs mer

Övningstenta: Lösningsförslag

Övningstenta: Lösningsförslag Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys 1 / 15 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 6 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 3 2 / 15 SF1626 Flervariabelanalys Dagens Lektion För funktioner från R n till R ska

Läs mer

Tavelpresentation. Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom. Januari 2018

Tavelpresentation. Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom. Januari 2018 Tavelpresentation Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom Januari 2018 1 Partiella derivator och deriverbarhet Differentierbarhet i en variabel

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är

Läs mer

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt. 1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.

Läs mer

Dubbelintegraler och volymberäkning

Dubbelintegraler och volymberäkning ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),

Läs mer

Tentamen: Lösningsförslag

Tentamen: Lösningsförslag Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

Om att rita funktioner av två variabler

Om att rita funktioner av två variabler Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Om att rita funktioner av två variabler Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om att rita funktioner av två variabler 1 (10) Introduktion

Läs mer

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,

Läs mer

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola Datum: -- kl 4 8 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel 3-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv

Läs mer

Övningsuppgifter. 9 Linjer i planet och rummet Plan i rummet : 32, 33 Övningar4(sida 142) exempel

Övningsuppgifter. 9 Linjer i planet och rummet Plan i rummet : 32, 33 Övningar4(sida 142) exempel Detaljplanering: Kurs: Matematik I HF1903, År 2013/14 Period: P1, Rekommenderande uppgifter i boken Matematik för ingenjörer, Rodhe, Sollervall er finns på kursens webbadress : www.sth.kth.se/armin/ar_13_14/hf1903/dirhf1903_13_14.html

Läs mer

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation. SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 15.1 Vektorfält och skalärfält 15.2 Konservativa vektorfält (t.o.m. exempel 5) 15.3 Kurvintegraler 15.4 Kurvintegral av vektorfält 15.5 Ytor

Läs mer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2 TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer