Normer och Kondition

Transkript

1 Norm Kondition Normer och Kondition Carmen Arévalo Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

2 Definition Norm Kondition Vanliga vektornorm Matrisnormer En norm på V (V kan vara R n, ett matrisrum, C[a, b], etc.) uppfyller tre räknelagar: För varje c R och varje u och v V, cv = c v, u + v u + v (triangelolikheten), v 0, med v = 0 om och bara om v = 0. Detta betyder att: 0 = 0, om v 0, så är v > 0. Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

3 Vektornorm: 2-normen 2-normen kan ses som längden av en vektor, x 2 = x1 2 + x x n 2 I minstakvadratmetoden såg vi att vi kunde lösa ett överbestämt system, Ax = b, genom att bestämma det x som minimerar b A x 2. Vi vet också att x 2 2 = x T x, och detta används för att bevisa att Qx 2 = x 2 om Q är en ortogonal matris. 2-normen kan användas för att beräkna egenvärdena ur motsvarande egenvektor: Rayleigh kvoten: v T Av v T v I MATLAB skriver vi norm(v,2) eller bara norm(v) Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

4 Vektornorm: 2-normen 2-normen kan ses som längden av en vektor, x 2 = x1 2 + x x n 2 I minstakvadratmetoden såg vi att vi kunde lösa ett överbestämt system, Ax = b, genom att bestämma det x som minimerar b A x 2. Vi vet också att x 2 2 = x T x, och detta används för att bevisa att Qx 2 = x 2 om Q är en ortogonal matris. 2-normen kan användas för att beräkna egenvärdena ur motsvarande egenvektor: Rayleigh kvoten: v T Av v T v I MATLAB skriver vi norm(v,2) eller bara norm(v) Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

5 Vektornorm: 2-normen 2-normen kan ses som längden av en vektor, x 2 = x1 2 + x x n 2 I minstakvadratmetoden såg vi att vi kunde lösa ett överbestämt system, Ax = b, genom att bestämma det x som minimerar b A x 2. Vi vet också att x 2 2 = x T x, och detta används för att bevisa att Qx 2 = x 2 om Q är en ortogonal matris. 2-normen kan användas för att beräkna egenvärdena ur motsvarande egenvektor: Rayleigh kvoten: v T Av v T v I MATLAB skriver vi norm(v,2) eller bara norm(v) Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

6 Vektornorm: 2-normen 2-normen kan ses som längden av en vektor, x 2 = x1 2 + x x n 2 I minstakvadratmetoden såg vi att vi kunde lösa ett överbestämt system, Ax = b, genom att bestämma det x som minimerar b A x 2. Vi vet också att x 2 2 = x T x, och detta används för att bevisa att Qx 2 = x 2 om Q är en ortogonal matris. 2-normen kan användas för att beräkna egenvärdena ur motsvarande egenvektor: Rayleigh kvoten: v T Av v T v I MATLAB skriver vi norm(v,2) eller bara norm(v) Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

7 Vektornorm: 2-normen 2-normen kan ses som längden av en vektor, x 2 = x1 2 + x x n 2 I minstakvadratmetoden såg vi att vi kunde lösa ett överbestämt system, Ax = b, genom att bestämma det x som minimerar b A x 2. Vi vet också att x 2 2 = x T x, och detta används för att bevisa att Qx 2 = x 2 om Q är en ortogonal matris. 2-normen kan användas för att beräkna egenvärdena ur motsvarande egenvektor: Rayleigh kvoten: v T Av v T v I MATLAB skriver vi norm(v,2) eller bara norm(v) Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

8 Enhetscirkeln i 2-normen Enhetscirkeln defineras som punkterna x med x = 1. I 2-normen är den x x 2 2 = 1. Enhetscirkel med 2 norm Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

9 Vektornorm: 1-normen I MATLAB: norm(v,1) x 1 = x 1 + x x n Hur långt måste man gå på Manhattan för att gå från P till Q norm Q (x 1,x 2 ) x P x Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

10 Enhetscirkeln i 1-normen x 1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 1 om x 1 0, x 2 0 x 1 x 2 = 1 om x 1 0, x 2 0 x 1 + x 2 = 1 om x 1 0, x 2 0 x 1 x 2 = 1 om x 1 0, x Enhetscirkel i 1 norm Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

11 Vektornorm: -normen I MATLAB: norm(v,inf) Tillämpningar: x = max{ x 1, x 2,..., x n } En vara auktioneras på ebay. Hittills har n personer lämnat buden x 1, x 2,..., x n. Hur mycket måste man bjuda för att lyckas köpa varan? I ett klassrum finns n studenter, med längderna x 1, x 2,..., x n. Man vill konstruera en nödutgång. Hur hög måste dörren vara för att alla ska kunna springa ut utan slå i huvudet när de passerar dörren? Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

12 Vektornorm: -normen I MATLAB: norm(v,inf) Tillämpningar: x = max{ x 1, x 2,..., x n } En vara auktioneras på ebay. Hittills har n personer lämnat buden x 1, x 2,..., x n. Hur mycket måste man bjuda för att lyckas köpa varan? I ett klassrum finns n studenter, med längderna x 1, x 2,..., x n. Man vill konstruera en nödutgång. Hur hög måste dörren vara för att alla ska kunna springa ut utan slå i huvudet när de passerar dörren? Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

13 Vektornorm: -normen I MATLAB: norm(v,inf) Tillämpningar: x = max{ x 1, x 2,..., x n } En vara auktioneras på ebay. Hittills har n personer lämnat buden x 1, x 2,..., x n. Hur mycket måste man bjuda för att lyckas köpa varan? I ett klassrum finns n studenter, med längderna x 1, x 2,..., x n. Man vill konstruera en nödutgång. Hur hög måste dörren vara för att alla ska kunna springa ut utan slå i huvudet när de passerar dörren? Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

14 Rotation av en stelkropp En rotationsmatris är ortogonal. Vi vet att Qx 2 = x 2, men det gäller varken för 1-normen eller -normen. Rotation 5 x 1 =7 Qx 1 =5.66 x 2 =5 Qx 2 =5 x =4 Qx =4.95 y x Qx x Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

15 Vanliga matrisnormer A 2 = A 1 = max 1 j n { kol j 1 }, norm(a,1) ρ(a T A), ρ(b) = max{ λ i (B) }, norm(a,2) A = max 1 i n { rad i 1 }, norm(a,inf) Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

16 Vanliga matrisnormer A 2 = A 1 = max 1 j n { kol j 1 }, norm(a,1) ρ(a T A), ρ(b) = max{ λ i (B) }, norm(a,2) A = max 1 i n { rad i 1 }, norm(a,inf) Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

17 Vanliga matrisnormer A 2 = A 1 = max 1 j n { kol j 1 }, norm(a,1) ρ(a T A), ρ(b) = max{ λ i (B) }, norm(a,2) A = max 1 i n { rad i 1 }, norm(a,inf) Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

18 Konditionstal Norm Kondition Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen beror på vilken norm man använder. κ(a) = A A 1 I MATLAB: cond(a,1), cond(a,2), cond(a,inf) x x x b A x = κ(a) b Om konditionstalet κ(a) och residualen b A x är små, då är felet x x också litet. Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

19 Norm Kondition Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen Enhetsmatris och Hilbertmatris κ(i ) = 1 κ(a) 1 Hilbertmatriser är ett exempel på illakonditionerade matriser. Hilbertmatrisen har element H(i, j) = 1/(i + j 1). >> A=hilb(4) A = >> cond(a,2) ans = e+004 Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

20 Norm Kondition Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen Exempel i MATLAB H=hilb(10); A=rand(10); condh=cond(h) conda=cond(a) x=rand(10,1); bh=h x; ba=a x; xtildeh=h\bh; xtildea=a\ba; resh=norm(h xtildeh-bh) resa=norm(a xtildea-ba) errh=norm(x-xtildeh) erra=norm(x-xtildea) condh = e+013 conda = Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

21 Norm Kondition Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen Exempel i MATLAB condh = e+013 conda = resh = e-016 resa = e-015 errh = e-004 erra = e-015 fel med illakonditionerad matris fel med välkonditionerad matris Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

22 Norm Kondition Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen Exempel i MATLAB condh = e+013 conda = resh = e-016 resa = e-015 errh = e-004 erra = e-015 fel med illakonditionerad matris fel med välkonditionerad matris Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

23 Norm Kondition Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen Exempel i MATLAB condh = e+013 conda = resh = e-016 resa = e-015 errh = e-004 erra = e-015 fel med illakonditionerad matris fel med välkonditionerad matris Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12

24 Norm Kondition Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen Exempel i MATLAB condh = e+013 conda = resh = e-016 resa = e-015 errh = e-004 erra = e-015 fel med illakonditionerad matris fel med välkonditionerad matris Carmen Arévalo Normer och Kondition / 12