John Stillwell: Yearning for the impossible. The surprising truths of mathematics. AK Peters Ltd, sidor. Ca $30.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "John Stillwell: Yearning for the impossible. The surprising truths of mathematics. AK Peters Ltd, 2006. 230 sidor. Ca $30."

Transkript

1 R e c e n s i o n John Stillwell: Yearning for the impossible. The surprising truths of mathematics. AK Peters Ltd, sidor. Ca $ MATEMATIK - DET OMÖJLIGAS KONST John Stillwell (f. 1942) är matematiker ursprungligen från Australien, men numera (sedan 2002) professor i Kalifornien vid San Franciscos jesuit-universitet. Förutom sin forskning i topologi och geometri är Stillwell känd för sitt intresse för matematikhistoria. Han har översatt endel klassiska texter samt skrivit en matematikhistoriebok, Mathematics and its history (Springer 2002, 2.a uppl.), som tillhör mina favoriter. Föreliggande bok om matematiken som "längtan till det omöjliga" vänder sig till en bred men intellektuellt alert publik inkluderande gymnasieelever, lärare, professorer, och dem som är allmänt är intresserad av vad matematik går ut på. Boken kräver inga speciella förkunskaper men ett pensum motsvarande gymnasiematematik borde finnas i bakhuvudet. Bokens idé går tillbaka till en artikel om "matematiken som accepterar det omöjliga" vilken Stillwell skrev redan Kungstanken är att matematikens utveckling ofta drivits fram av försöken att förstå det skenbart omöjliga. Märkliga

2 begrepp såsom "irrationella tal", "imaginära tal", "transcendentala tal", osv, är benämningar vilka visar spår av deras förflutna mystiska status i gränslandet mellan det möjliga och omöjliga. Den tyske matematikern Leopold Kronecker är känd för sitt yttrande att "Die ganzen zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" (1886); dvs, Gud har skapat talen medan människan gjort resten. Man kunde egentligen tänka sig att matematiken skulle kunna begränsa sig till användningen av de naturliga talen 0,1, 2,... medan "resten" är onödigt påhitt. Men så fort vi har de hela talen kan vi ställa oss frågan om det exv finns ett tal (x) som multiplicerat med 5 är lika med 2 (5 * x = 2). Detta leder oss till att utvidga de "naturliga" talen till att omfatta bråktal som exv 2/5. Bråktal är användbara då man mäter eller väger eftersom vikter och längder sällan exakt sammanfaller med exakta multiplar av givna längd- och viktenheter. Storyn kunde ha slutat här eftersom bråktal skulle räcka för alla praktiska räknebehov. I antikens Grekland kring 500 före vår tideräkning började man emellertid alltmer betona matematiken som en teoretisk vetenskap där satser skulle härledas logiskt från givna premisser (som senare kom att kallas axiom). Detta ledde till utvecklingen av geometrin där man bl a ställdes inför följande problem: Ifall en kvadrat har sidorna 1 så är dess diagonal ett tal x som multiplicerat med sig självt är lika med 2 (x*x = 2). (Detta följer av att en kvadrat B med en sida av samma längd som en kvadrat A:s diagonal har dubbelt större area än A.) Man kom underfund med att inget bråktal m/n kunde uppfylla detta krav. Detta ledde till en kris inom grekisk matematik och man accepterade motvilligt den något vaga existensen av vad man kallade "alogos" tal som inte kan skrivas på bråkform, vilket på latin kom att heta "irrationella" tal eller "surdus" (besläktat med vårt absurd), en beteckning som förmedlades via arabiskans ord for stum.

3 Det verkar som om då man ger lillfingret åt matematiken så tar den snart hela armen. Har vi således accepterar hela tal kan vi t ex fråga efter ett tal x som adderat med 2 ger 1 (x+2 = 1). Detta är ett naturligt spörsmål då man har att göra med säg debet och kredit men ändå tog det länge innan man accepterade 'negativa' tal och lösningen x = -1. Har vi väl en gång accepterat negativa tal kan vi t ex fråga efter ett tal x som multplicerat med sig självt ger -1 (x*x = -1). Detta verkar ledda till en omöjlig situation eftersom då man multiplicerar ett positivit eller negativt tal med sig självt får vi alltid ett positivt tal som resultat. Detta (x*x = -1) är just den sorts omöjlighet som Stillwell hänvisar till och som driver matematiken framåt. Nämligen man frågar sig, vad händer om vi trots allt ponerar att det finns ett sådant 'imaginärt' tal som vi kan beteckna fast med 'i' och vilket alltså satisfierar i*i = -1? Faktiskt, de imaginära (eller komplexa) talen kom att revolutionera matematiken under 1800-talet. Stillwell tar upp ett flertal exempel på hur denna kreativa dynamik fortsatt (kvaternioner, octoioner, idealtal, oändliga serier, ickeeuklidisk geometri, 4-dimensionella rum, oändlighet, osv). Varje ny utvidning inom matematiken bär således fröet till nya generaliseringar. Det mest märkliga kanske är hur dylika skenbart abstrusa konstruktioner plöstligt kan komma att tillämpas på verkligheten själv så att säga; exempelvis komplexa tal inom kvantfysiken, och icke-euklidisk geometri inom relativitetsteorin. Slutligen är det värt att nämna en kort skoltidsstory som Stillwell berättar under rubriken "If you can read this, thank the english teacher". Engång vikarierades Stillwells matematiklärare av engelskläraren Mrs Burke. Hon lärde ut någonting som hon erinrade från sina egna skolår men som därefter fallit bort ur undervisningen. Nämligen hur man kan räkna ut decimalerna i den oändliga decimalserien

4 för kvadratroten av 2. Vidare berättade hon att ingen egentligen förstod sig på mönstret hos denna decimalutveckling; förekommer t ex 7 i decimalutvecklingen oändligt många gånger eller inte? Det var dessa spörsmål som fick den unge Stillwell att intressera sig för matematiken vilket slutligen ledde via unversitetskarriär till föreliggande bok. En sensmoral är kanske vikten av att även inflika utmanande exempel i skolläroböcker samt skriva ut att det finns olösa frågor. Och som källa till inspirerande material lönar det sig definitivt att ta en titt på Stillwells bok. Ett exempel är construzione legittima inom geometrin som säkert kunde fascinera många elever, och som beskriver hur man ritar perspektiv (projektiv geometri i matematik). I samma veva bör jag också rekommendera en gammal klassiker (som jag nyligen stötte på via ett antikvariat): Lancelot Hogben, Mathematics for the millions (orig. 1937, finns fortfarande i tryck) -- att ge till den som drabbats av matematikbacillen eller som tråkades ut av skolmatematiken och vill ta igen. Hogbens matematikfilosofi (betonar matematkens praktiska rötter) är kanske antipodisk till Stillwell men boken är likväl läsvärd. Stillwell och Hogben alltså obligatoriska böcker för bibilioteken! Frank Borg PS. Algoritm för att beräkna bättre och bättre approximationer för kvadraroten av 2. Starta med x1 = 1, beräkna sedan x2 = 1/2*(x1 + 2/x1); x3 = 1/2*(x2 + 2/x2); osv. Dvs, när man beräknat approximationen x får man den följande approximationen genom att ta medelvärdet av x och 2/x.

5

Intervju med Stefan, testingenjör på Sony

Intervju med Stefan, testingenjör på Sony s. 10 TALSYSTEMETS Intervju med Stefan, testingenjör på Sony Fråga: Använder du matematik på ditt jobb? Svar: Jag använder matematik när jag testar hur stor brandbredd mobiltelefoner klarar av. Hastigheten

Läs mer

Explorativ övning 11 GEOMETRI

Explorativ övning 11 GEOMETRI Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk

Läs mer

4-5 Kvadrater och rotuttryck Namn:...

4-5 Kvadrater och rotuttryck Namn:... 4-5 Kvadrater och rotuttryck Namn:... Inledning Du har nu lärt dig en hel del om kvadrater i kapitlet om ytorparallellogrammer. Du lärde dig bland annat att om kvadratens sida var given, säg 5 cm så kan

Läs mer

DE FARLIGA OÄNDLIGHETERNA

DE FARLIGA OÄNDLIGHETERNA DE FARLIGA OÄNDLIGHETERNA Grubblande över evigheten leder lätt till mental ohälsa! Det får man lära sig i en ovanligt läsvärd bok om de matematiska oändligheterna Det berättas att några judiska rabbiner

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.

Läs mer

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4 VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt

Läs mer

Roten ur två eller diagonalen och sidan i en kvadrat

Roten ur två eller diagonalen och sidan i en kvadrat Roten ur två eller diagonalen och sidan i en kvadrat Tomas Malm Bokförlaget Bärarna c 2015 Tomas Malm & Bokförlaget Bärarna Version av texten: 29 augusti 2016 Redigering/bearbetning av text & bild: Tomas

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

DIAMANT. NaTionella DIAgnoser i Matematik. Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9. Anpassat till Lgr 11. Löwing januari 2013

DIAMANT. NaTionella DIAgnoser i Matematik. Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9. Anpassat till Lgr 11. Löwing januari 2013 DIAMANT NaTionella DIAgnoser i Matematik Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9 Anpassat till Lgr 11 Diamantmaterialets uppbyggnad 6 Områden 22 Delområden 127 Diagnoser Till varje Område

Läs mer

Fira Pi-dagen med Liber!

Fira Pi-dagen med Liber! Fira Pi-dagen med Liber! Specialuppdrag från Uppdrag: Matte o Kul-diagram o Geometri med färg UPPDRAG: MATTE Mattedetektiverna Mattespanarna Hej! Den 14 mars är det Pi-dagen (3.14). Det är värt att uppmärksammas

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev

Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Projektarbete: bakgrund och idéer Etymologi Proicio: kasta fram, sträcka fram (latin) Projektarbetets historia Historiskt sätt har projektarbetet som arbetsform

Läs mer

Tal och polynom. Johan Wild

Tal och polynom. Johan Wild Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................

Läs mer

8-6 Andragradsekvationer. Namn:..

8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. 8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:.. Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman

Läs mer

Elevernas uppfattningar om alltmer digitaliserad undervisning

Elevernas uppfattningar om alltmer digitaliserad undervisning Resultat Elevernas uppfattningar om alltmer digitaliserad undervisning Fråga 1 Mycket inspirerande (6) till mycket tråkigt (1) att arbeta med etologisidan Uppfattas som mycket inspirerande eller inspirerande

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

Räknar du med hur barn tänker?

Räknar du med hur barn tänker? Räknar du med hur barn tänker? ULF SÖDERSTRÖM Vid en föreläsning kom tillvalskursen i matematik på M-linjen vid Högskolan i Växjö läsåret 80/81 i kontakt med problemställningen Hur tänker barn när de räknar?

Läs mer

Taluppfattning och allsidiga räknefärdigheter

Taluppfattning och allsidiga räknefärdigheter Taluppfattning och allsidiga räknefärdigheter Handbok med förslag och råd till lärare för att kartlägga, analysera och åtgärda elevers svårigheter och begreppsliga missuppfattningar inom området tal och

Läs mer

Dynamisk programvara, ett didaktiskt verktyg?

Dynamisk programvara, ett didaktiskt verktyg? Dynamisk programvara, ett didaktiskt verktyg? På SMDF:s årsmöte 24 jan 2003 höll Sveriges första professor i matematikdidaktik, Rudolf Strässer, ett föredrag rubricerat Learning Geometry in Secondary Schools.

Läs mer

Det övergripande syftet med min avhandling var att beskriva och

Det övergripande syftet med min avhandling var att beskriva och Eva Pettersson Elever med särskilda matematiska förmågor Får nyfikna och vetgiriga barn det stöd och den stimulans som de har rätt att förvänta sig då de börjar skolan? Barn och ungdomar som har exceptionell

Läs mer

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal Tal i bråkform Kapitlet behandlar Test Användning av hälften och fjärdedel 2 Representation i bråkform av del av antal och av del av helhet 3, Bråkform i vardagssituationer Stambråk, bråkuttryck med 1

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 3. Ekvationer och geometri. Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

När vi läste Skolverkets rapport Svenska elevers matematikkunskaper

När vi läste Skolverkets rapport Svenska elevers matematikkunskaper Florenda Gallos Cronberg & Truls Cronberg Två perspektiv på att utveckla algebraiska uttryck Svenska elever påstås ha svårt med mönstertänkande. Eller är det så att de inte får lärarledd undervisning i

Läs mer

Pedagogisk planering i matematik; Tal i bråkform, decimalform och procentform. Ur Lgr 11 Kursplan i matematik.

Pedagogisk planering i matematik; Tal i bråkform, decimalform och procentform. Ur Lgr 11 Kursplan i matematik. Pedagogisk planering i matematik; Tal i bråkform, decimalform och procentform. Ur Lgr 11 Kursplan i matematik. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl

Läs mer

Matematik Jag är... Jag går i årskurs... Det är roligt med matematik. Namn Antal % A. flicka B. pojke Total

Matematik Jag är... Jag går i årskurs... Det är roligt med matematik. Namn Antal % A. flicka B. pojke Total Matematik 2011 Jag är... A. flicka 127 50 B. pojke 127 50 Jag går i årskurs... A. 3 29 11,4 B. 4 13 5,1 C. 5 30 11,8 D. 6 18 7,1 E. 7 51 20,1 F. 8 38 15 G. 9 75 29,5 Det är roligt med matematik. 50 19,7

Läs mer

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext. PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät

Läs mer

Storvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5

Storvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5 2010-11-01 Storvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5 Skolan skall i sin undervisning sträva efter att eleven : utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den

Läs mer

1Mer om tal. Mål. Grunddel K 1

1Mer om tal. Mål. Grunddel K 1 Mer om tal Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: kunna multiplicera och dividera med positiva tal mi ndre än veta vad ett negativt tal är kunna addera och subtrahera negativa tal kunna

Läs mer

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer

Övningar - Andragradsekvationer

Övningar - Andragradsekvationer Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.

Läs mer

Måluppfyllelse i svenska/svenska som andraspråk vid nationella prov årskurs 3 vårterminerna 2009 och 2010 TOTALT ANTAL ELEVER 2009: 72

Måluppfyllelse i svenska/svenska som andraspråk vid nationella prov årskurs 3 vårterminerna 2009 och 2010 TOTALT ANTAL ELEVER 2009: 72 Sedan vårterminen 2009 görs nationella prov i svenska och matte för årskurs 3 i hela landet. Från och med höstterminen 2009 får varje elev i Valdemarsviks kommun skriftligt omdöme varje termin i de ämnen

Läs mer

När en Learning study planeras väljs ett område som upplevs som problematiskt

När en Learning study planeras väljs ett område som upplevs som problematiskt K. Drageryd, M. Erdtman, U. Persson & C. Kilhamn Tallinjen en bro mellan konkreta modeller och abstrakt matematik Fem matematiklärare från Transtenskolan i Hallsberg har under handledning av Cecilia Kilhamn

Läs mer

Positiv Ridning Systemet Negativ eller positiv? Av Henrik Johansen

Positiv Ridning Systemet Negativ eller positiv? Av Henrik Johansen Positiv Ridning Systemet Negativ eller positiv? Av Henrik Johansen Man ska vara positiv för att skapa något gott. Ryttare är mycket känslosamma med hänsyn till resultatet. Går ridningen inte bra, faller

Läs mer

Digitalt lärande och programmering i klassrummet

Digitalt lärande och programmering i klassrummet Digitalt lärande och programmering i klassrummet Innehåll Vad är programmering och varför behövs det? Argument för (och emot) programmering Programmering i styrdokumenten Kort introduktion till programmering

Läs mer

Elteknik. Komplexa tal

Elteknik. Komplexa tal Sven-Bertil Kronkvist Elteknik Komplexa tal Revma utbildning KOMPLEXA TAL Komplexa eller imaginära tal kan användas för algebraiska växelströmsberäkningar på samma sätt som i likströmsläran. Den läsare

Läs mer

Eulers polyederformel och de platonska kropparna

Eulers polyederformel och de platonska kropparna Eulers polyederformel och de platonska kropparna En polyeder är en kropp i rummet som begränsas av sidoytor som alla är polygoner. Exempel är tetraedern och kuben, men klotet och konen är inte polyedrar.

Läs mer

22,5 högskolepoäng. Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 3hp. Studenter i inriktningen GSME. TentamensKod:

22,5 högskolepoäng. Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 3hp. Studenter i inriktningen GSME. TentamensKod: SMID Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Matematik 3hp Studenter i inriktningen GSME 22,5 högskolepoäng Tentamensdatum: 12-08-30 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Inga Totalt antal poäng på

Läs mer

Centralt innehåll. I årskurs 1.3

Centralt innehåll. I årskurs 1.3 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

Om Pythagoras hade varit taxichaufför

Om Pythagoras hade varit taxichaufför 56 Om Pythagoras hade varit taichaufför i Luleå Andrejs Dunkels Högskolan i Luleå Fig 1. Om man vill ta sig från P-platsen i hörnet av Köpmangatan och Timmermansgatan till Vinbutiken (se fig 1) så går

Läs mer

Elevers utvärdering av Evolutionstrappan. Skola: Solängsskolan, Gävle Lärare: Gunilla Djuvfelt Antal elever: sex st. Metod.

Elevers utvärdering av Evolutionstrappan. Skola: Solängsskolan, Gävle Lärare: Gunilla Djuvfelt Antal elever: sex st. Metod. Elevers utvärdering av Evolutionstrappan Skola: Solängsskolan, Gävle Lärare: Gunilla Djuvfelt : sex st Metod De elever som skulle delta i utvärdering av Evolutionstrappan fick information att ta hem till

Läs mer

Skolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan. Matematik

Skolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan. Matematik Matematik Matematiken har en mångtusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den har utvecklats ur människans praktiska behov och hennes naturliga nyfikenhet och lust att utforska. Matematisk verksamhet

Läs mer

1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen. 2x y + z = 3 x + 2y = 0

1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen. 2x y + z = 3 x + 2y = 0 1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen a 1 x 1 + a 2 x 2 + a n x n = b, med givna tal a 1,..., a n och b. Ett linjärt ekvationssystem

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

MATEMATIK 5.5 MATEMATIK

MATEMATIK 5.5 MATEMATIK 5.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

π-dagen TÄVLING & PRIS

π-dagen TÄVLING & PRIS π-dagen TÄVLING & PRIS Alla elever vid vår trevliga skola inbjuds att delta i årets stora π-tävling. Rikedom, ära och berömmelse, i måttlig grad, är vad som väntar de vinnande eleverna. Bakgrund: Den årliga

Läs mer

SKOLUTVECKLIGSPROJEKT MED GEOGEBRA. Jaana Zimmerl Suneson (Älvkullegymnasiet) jaana.zimmerl.suneson@alvkullegymnasiet.se

SKOLUTVECKLIGSPROJEKT MED GEOGEBRA. Jaana Zimmerl Suneson (Älvkullegymnasiet) jaana.zimmerl.suneson@alvkullegymnasiet.se ERFARENHETER FRÅN SKOLUTVECKLIGSPROJEKT MED GEOGEBRA Jaana Zimmerl Suneson (Älvkullegymnasiet Karlstad) jaana.zimmerl.suneson@alvkullegymnasiet.se mirela.vinerean@kau.se GeoGebra i matematikundervisningen

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken X

Sammanfattningar Matematikboken X Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för

Läs mer

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Tal Tal är organiserade efter några grundläggande egenskaper: Naturliga tal, N De naturliga talen betecknas med N och innehåller alla positiva heltal, N =

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,

Läs mer

2-1: Taltyper och tallinjen Namn:.

2-1: Taltyper och tallinjen Namn:. 2-1: Taltyper och tallinjen Namn:. Inledning I det här kapitlet skall du studera vad tal är för någonting och hur tal kan organiseras och sorteras efter storleksordning. Vad skall detta vara nödvändigt

Läs mer

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 12 mars 2012

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 12 mars 2012 Sommarmatte Matematiska Vetenskaper 1 mars 01 Innehåll 1 Aritmetik och algebra 5 1.1 Räkning med naturliga tal och heltal.................. 5 1.1.1 Naturliga tal.......................... 5 1.1. Negativa

Läs mer

Poolbygge. fredag 11 april 14

Poolbygge. fredag 11 april 14 Poolbygge Första lektionen vart jag klar med att rita och skriva ritningen. Först skrev jag poolen i skalan 1:60 vilket vi inte fick göra så jag gjorde den till 1:30, alltså har jag minskat den 30 gånger

Läs mer

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal Att förstå tal Tal i bråkform Kapitlet behandlar Test Användning av hälften och fjärdedel 2 Representation i bråkform av del av antal och av del av helhet 3, 4 Bråkform i vardagssituationer 4 Stambråk,

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet

Läs mer

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK 3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

Södervångskolans mål i matematik

Södervångskolans mål i matematik Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal

Läs mer

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet

Läs mer

LPP Matematik åk 4 Vt-14

LPP Matematik åk 4 Vt-14 LPP Matematik åk 4 Vt-14 Skolans värdegrund, uppdrag, mål och riktlinje Skolan ska vara öppen för skilda uppfattningar och uppmuntra att de förs fram. Den ska framhålla betydelsen av personliga ställningstaganden

Läs mer

Komplexiologi löser de accelererande problemen med psykisk ohälsa!

Komplexiologi löser de accelererande problemen med psykisk ohälsa! Komplexiologi löser de accelererande problemen med psykisk ohälsa! En psykolog kan inte lösa flertalet av psykets problem eftersom de är komplexa, och då gäller givetvis samma sak för coacher, forskare

Läs mer

Under en forskningscirkel, som vi matematikutvecklare i Göteborg har

Under en forskningscirkel, som vi matematikutvecklare i Göteborg har Britt Holmberg Analysera mera i geometri Inom undervisningen i geometri behöver vi utmana elevernas nyfikenhet med frågeställningar och ge dem tid att undersöka geometriska objekt. Praktiskt arbete där

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

Taluppfattning åtgärda. Sammanfattning Västerås 3 och 4 februari 2009

Taluppfattning åtgärda. Sammanfattning Västerås 3 och 4 februari 2009 Taluppfattning åtgärda. Sammanfattning Västerås 3 och 4 februari 2009 Skriver först en liten sammanfattande inledning, tar upp de områden vi samtalade om och mycket av det vi tog upp hittar ni i Förstå

Läs mer

Min pool. Hanna Lind 7:2 Alfa

Min pool. Hanna Lind 7:2 Alfa Min pool Hanna Lind 7:2 Alfa RITNING Jag började med att räkna ut ett antal rimliga mått som jag visste blev heltal när jag delade dom på 30, det gjorde jag då skalan var 1:30. I min ritning visar jag

Läs mer

2-5 Decimaltal Namn: Inledning. Vad är ett decimaltal, och varför skall jag arbeta med dem?

2-5 Decimaltal Namn: Inledning. Vad är ett decimaltal, och varför skall jag arbeta med dem? 2-5 Decimaltal Namn: Inledning Tidigare har du jobbat en hel del med bråktal, lagt ihop bråk, tagit fram gemensamma nämnare mm. Bråktal var lite krångliga att arbeta med i och med att de hade en nämnare.

Läs mer

Mina videos Jag har satt samman en snabbkurs för er som behöver repetera grundskolans matematik:

Mina videos Jag har satt samman en snabbkurs för er som behöver repetera grundskolans matematik: Behov av förkunskaper i matematik För att du ska kunna följa med i undervisningen i rörelselära (IB4) krävs förkunskaper i grundskolans matematik, samt lite trigonometri. Jag medsänder därför ett förkunskapstest

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Stephen Hawking och Gud. Tord Wallström

Stephen Hawking och Gud. Tord Wallström Stephen Hawking och Gud Tord Wallström I en intervju för flera år sen berättade den engelske vetenskapsmannen Stephen Hawking om en audiens som han och några kolleger beviljats med påven i samband med

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

TALSYSTEM OCH RESTARITMETIKER. Juliusz Brzezinski

TALSYSTEM OCH RESTARITMETIKER. Juliusz Brzezinski TALSYSTEM OCH RESTARITMETIKER Juliusz Brzezinski MATEMATISKA INSTITUTIONEN CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET GÖTEBORG 2002 FÖRORD Detta häfte handlar om talsystem, restaritmetiker och polynomringar

Läs mer

LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo

LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET Andreas Wannebo Vi ska studera egenskaper för heltalen. Det finns heltal såsom 1,2,3,4,... De är de positiva heltalen och det är dem vi vill studera. Först kan man ställa

Läs mer

Nästan allt omkring dig har underliggande matematik. En del anser att den bara ligger där och väntar

Nästan allt omkring dig har underliggande matematik. En del anser att den bara ligger där och väntar Matematikplanering 7B Läsår 15/16 Nästan allt omkring dig har underliggande matematik. En del anser att den bara ligger där och väntar på att bli upptäckt. Mönster, statistik, överlevnad, evolution, mopeder

Läs mer

1. Öppna frågans argument

1. Öppna frågans argument 1. Öppna frågans argument ÖFA i enkel form: 1. För en given term eller beskrivning N, om det gick att definiera godhet som N, så skulle följande vara en stängd fråga: x är N, men är x gott? 2. För alla

Läs mer

fredag den 11 april 2014 M I N P O O L

fredag den 11 april 2014 M I N P O O L M I N P O O L http://en.wikipedia.org/wiki/file:backyardpool.jpg MIN FÖRSTA KLADD Min första kladd så kladda jag lite och då hade inte jag riktigt förstått uppgiften så jag bara kladda lite runt men det

Läs mer

8-4 Ekvationer. Namn:..

8-4 Ekvationer. Namn:.. 8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar

Läs mer

Betyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik

Betyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik Betyg i årskurs 6 Betyg i årskurs 6, respektive årskurs 7 för specialskolan, träder i kraft hösten 2012. Under läsåret 2011/2012 ska kunskapskraven för betyget E i slutet av årskurs 6 respektive årskurs

Läs mer

Matematiska begrepp kan ibland vara svåra att visualisera, exempelvis

Matematiska begrepp kan ibland vara svåra att visualisera, exempelvis Kajsa Bråting Tolka visualiseringar Vilken roll kan visualiseringar ha i skolmatematiken? Några elever på gymnasiet tar sig an ett historiskt problem som handlar om att utifrån en visualisering avgöra

Läs mer

Vardagsord. Förstår ord som fler än, färre än osv. Har kunskap om hälften/dubbelt. Ex. Uppfattning om antal

Vardagsord. Förstår ord som fler än, färre än osv. Har kunskap om hälften/dubbelt. Ex. Uppfattning om antal TALUPPFATTNING Mål som eleven ska ha uppnått i slutet av det femte skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer

Läs mer

Olika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften.

Olika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften. Karin Landtblom & Anette De Ron Gruppera mera! Dubbelt och hälften är vanliga inslag i den tidiga matematikundervisningen. Elever ska ringa in hälften av något eller rita så att det blir dubbelt så många.

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

identifiera geometriska figurerna cirkel och triangel

identifiera geometriska figurerna cirkel och triangel MATEMATIK F-klass Genom att använda matematik i meningsfulla sammanhang visar vi barnen vilka möjligheter den ger. Ex datum, siffror och antal, ålder, telefonnummer mm. Eleven bör kunna: benämna siffrorna

Läs mer

Gemensam presentation av matematiskt område: Geometri Åldersgrupp: år 5

Gemensam presentation av matematiskt område: Geometri Åldersgrupp: år 5 Gemensam presentation av matematiskt område: Geometri Åldersgrupp: år 5 Mål för lektionen: Eleverna skall kunna skilja på begreppen area och omkrets. Koppling till strävansmål: - Att eleven utvecklar intresse

Läs mer

Mei UPPGIFT 8 - PEDAGOGIK. Framförandeteknik. Jimmie Tejne och Jimmy Larsson

Mei UPPGIFT 8 - PEDAGOGIK. Framförandeteknik. Jimmie Tejne och Jimmy Larsson Mei UPPGIFT 8 - PEDAGOGIK Framförandeteknik Jimmie Tejne och Jimmy Larsson Innehåll Inledning... 1 Retorik för lärare... 2 Rätt röst hjälper dig nå fram konsten att tala inför grupp... 3 Analys... 4 Sammanfattning:...

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Rationella tal. R. Området består av följande tre delområden: Sambanden mellan delområden ser ut så här: RB Bråk. AG Grundläggande Aritmetik

Rationella tal. R. Området består av följande tre delområden: Sambanden mellan delområden ser ut så här: RB Bråk. AG Grundläggande Aritmetik . Diagnoserna i området avser att kartlägga elevernas förståelse och färdighet avseende tal i bråkform, tal i decimalform, proportionalitet och procent. Området består av följande tre delområden: B Bråk

Läs mer

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri 94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Klara målen i 3:an - undervisa i matematik!

Klara målen i 3:an - undervisa i matematik! Klara målen i 3:an - undervisa i matematik! Att få chans att lyckas i matematik De flesta elever älskar matte under sitt första skolår. Allas vår önskan är att eleverna ska få en fortsatt intressant och

Läs mer

Planeringsstöd. Kunskapskrav i fokus

Planeringsstöd. Kunskapskrav i fokus Planeringsstöd Kunskapskrav i fokus Svenska Du kan med flyt läsa texter som handlar om saker du känner till. Du använder metoder som fungerar. Du kan förstå vad du läser. Du berättar på ett enkelt sätt

Läs mer

Studenter i lärarprogrammet Ma 4-6 I

Studenter i lärarprogrammet Ma 4-6 I Ma 4-6 I Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 4hp Studenter i lärarprogrammet Ma 4-6 I 15 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 12-08-16 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Skrivmaterial och

Läs mer

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK TETIK 3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ABSOLUTBELOPP Några eempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) c) 5 5 Alltså et av ett tal är lika med själva talet om talet är positivt eller lika med et av är lika med det motsatta talet om är negativt

Läs mer