Introduktion till Markovkedjor. Mattias Arvidsson

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Introduktion till Markovkedjor. Mattias Arvidsson"

Transkript

1 Introduktion till Markovkedjor Mattias Arvidsson

2 Örebro universitet Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik C, högskolepoäng Introduktion till Markovkedjor Mattias Arvidsson December 2011 Handledare: Holger Schellwat Examinator: Niklas Eriksen Självständigt arbete, 15 hp Matematik, C nivå, hp

3 Sammanfattning Uppsatsen är skriven med målet att introducera läsaren till de grundläggande egenskaperna hos diskreta och ändliga Markovkedjor. Innehållet är främst baserat på källorna [6] och [7]. I kapitel 1, avsnitt 1.1 introduceras Markovkedjor och deras grundläggande egenskaper och tolkningar, avsnitt 1.2 utvidgar de matematiska verktygen nödvändiga för att bevisa teorin kring Markovkedjor och avsnitt 1.3 presenterar uppsatsens teoretiska tyngdpunkt genom satser och exempel. Uppsatsen avslutas med kapitel 2 där en tillämpning av Markovkedjor presenteras, kapitlet är mer informellt upplagt jämfört med kapitel 1 och syftar till att genom datorsimuleringar visa läsaren hur en Markovkedja kan användas.

4

5 Innehåll 1 Markovkedjor Introduktion till Markovkedjor En fixpunktssats för affina avbildningar Irreducibla och reguljära Markovkedjor Metropolis Hastings algoritmen Inledning M H algoritmen för diskreta fördelningar M H algoritmen för kontinuerliga fördelningar

6

7 Kapitel 1 Markovkedjor 1.1 Introduktion till Markovkedjor Vi har ett antal tillstånd, S = (s 0,s 1,...,s r ), där en process börjar vid något tillstånd och successivt går från ett tillstånd till nästa. Varje övergång från ett tillstånd till nästa kallas ett steg. Om kedjan är i tillståndet s i går den till tillståndet s j med sannolikhet p ij, vilket kallas en övergångssannolikhet. Mängden av alla tillstånd, utfallsrummet Ω, definieras av användaren. Om vi exempelvis är intresserade av vädret kan vi tänka oss att tillstånden s i antar utfallen regnigt (R), molnigt (M) eller klart (K), vi får den diskreta utfallsrummet s i {R,M,K}. Om vi då under en femdagarsperiod registrerar R,R,R,M och K får vi S = (R,R,R,M,K). Det bör nämnas att vi som standard definierar en vektor som en radvektor x = ( x 1 x n ) Definition (Markovegenskapen). En Markovkedja är en stokastisk process på S med egenskapen P(s i+1 s i ) = P(s i+1 s i,s i 1,...,s 0 ) för alla s k S, vilket innebär att sannolikheten p ij enbart beror på s i. Den stokastiska processen beror alltså enbart på föregående utfall. Nedan ges definitionerna av stokastiska matriser och fördelningsvektorer som används genom uppsatsen Definition. En kvadratisk matris, P = [p ij ] n n, där elementen i varje radvektor är övergångssannolikheter som kan summeras till ett, j p ij = 1 för alla i, och 0 p ij för alla i,j, kallas en stokastisk matris för en Markovkedja. En radvektor, x, definierad som en radvektor i P, kallas en fördelningsvektor. En fördelningsvektor tillhör mängden K där { } n K = x = (x 1 x n ) R n : x i 0 för alla i och x i = 1. i=1 5

8 1.1.3 Definition. För en matris A = [a ij ] gäller A > 0 om a ij > 0 för alla i,j Lemma. För två matriser A = [a ij ] och B = [b kl ] sådana att A,B > 0, och matrisprodukten AB existerar gäller C := AB > 0. Bevis. För varje element i C gäller r a irb rl, där a ir > 0 och b rl > 0 ger att varje a ir b rl > 0. Vi får r a irb rl > 0. Nedan visas att produkten av två stokastiska matriser är en stokastisk matris, vi börjar med ett exempel för att illustrera den generella metoden Exempel. Låt A och B vara stokastiska matriser enligt a 11 a 12 a 13 b 11 b 12 b 13 A = a 21 a 22 a 23,B = b 21 b 22 b 23. a 31 a 32 a 33 b 31 b 32 b 33 Första radvektorn av AB är x 1 = ( a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 ). Vi visar att x 1 uppfyller definition 1.1.2:s krav på en fördelningsvektor. 0 a ij 1 och 0 b ij 1 för alla i,j medför 0 a ij b ij 1 för alla i,j. Vi har nu kvar att visa att elementen i x 1 kan summeras till ett. a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 + a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 + a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 = a 11 (b 11 + b 12 + b 13 ) + a 12 (b 21 + b 22 + b 23 ) + a 13 (b 31 + b 32 + b 33 ) = a a a 13 1 = 1. Detta gäller för alla radvektorer, x i, i matrisen AB Sats. Låt A = [a ij ] n n och B = [b kl ] n n vara stokastiska matriser. Då är matrisprodukten C := AB = [c ij ] n n en stokastisk matris. Bevis. 0 a ij 1 och 0 b kl 1 medför 0 a ij b kl 1 för alla i,j,k,l. För varje radvektor i matrisen C gäller c i = ( r a irb r1... r a ) irb rn. Summan av elementen i c i är r j a irb rj = r a ir j b rj = 1 1 = 1 för alla i. Genom sats kan lemma bevisas Lemma. Låt P > 0 vara en stokastisk matris. Då är P n > 0 en stokastisk matris för alla n N +. Bevis. Enligt sats är P 2 en stokastisk matris och enligt lemma gäller P 2 > 0. Låt P k > 0 för ett godtyckligt k N + vara en stokastisk matris. Då är P k P = P k+1 en stokastisk matris sådan att P k+1 > 0. Vi visar att produkten av en fördelningsvektor och en stokastisk matris är en fördelningsvektor. 6

9 1.1.8 Sats. Låt x vara en fördelningsvektor och låt P vara en stokastisk matris. Då gäller xp = x (1) där x (1) är en fördelningsvektor, dvs. för avbildningen T : R n R n är x T(x) := xp linjär och T(x) K. Bevis. Låt x K och definiera avbildning T sådan att T(x) = ( n i=1 p i1x i n i=1 p i2x i n i=1 p inx i ) = xp. T är en linjär transformation då T(x + y) = (x + y)p = xp + yp = T(x) + T(y) och T(λx) = (λx)p = λ(xp) = λt(x) för x,y K. Vi visar att T(x) = x (1) K. 0 p ij för alla i,j och 0 x i för alla i ger 0 n i=1 p ijx i för alla j. Summan av alla j enheter i T(x) är n n j=1 i=1 p ijx i = n i=1 x n i j=1 p ij = 1 1 = 1. Nedan följer ett första exempel på en stokastisk matris. Det här exemplet återkommer genom större delen av uppsatsen Exempel. Övergångssannolikheterna utgör enheterna i en stokastisk matris P. Stokastiska matriser kan enkelt beskrivas genom ett exempel för väderprognoser. Säg att vädret för en dag kan vara regnigt (R), molnigt (M) eller klart (K). Sannolikheten att vädret från en dag till en annan går från R till R är 1/2, från R till M är 1/4, från R till K är 1/4, från M till R är 1/2, från M till M är 0, från M till K är 1/2, från K till R är 1/4, från K till M är 1/4 och från K till K är 1/2. I matrisform blir det P = R M K R,5,25,25 M,5 0,5. K,25,25,5 Sannolikheten att det exempelvis regnar två dagar från nu om det regnar i dag är p (2) 11 = p(regnar om två dagar valfritt väder imorgon, regnar idag) = p(regnar imorgon regnar idag) p(regnar om två dagar regnar imorgon) + p(molnigt imorgon regnar idag) p(regnar om två dagar molnigt imorgon) + p(klart imorgon regnar idag) p(regnar om två dagar klart imorgon) = 0,5 0,5 + 0,25 0,5 + 0,25 0,25 0,438. Det är skalär-produkten av matrisen P:s första rad och första kolumn Sats. Låt P vara en stokastisk matris för en Markovkedja och låt n N +. Den ij:te enheten p (n) ij i matrisen P n ger sannolikheten att Markovkedjan, om den startar i tillstånd s i, är i tillstånd s j efter n steg. 7

10 Bevis. Låt P = [p ij ] n n vara en stokastisk matris. Varje element, p ij, är sannolikheten att gå från ett tillstånd till ett annat i ett steg, vilket skrivs som p (1) ij. Enligt sats är P 2 en stokastisk matris med radvektorer r i och kolumnvektorer c i. Varje element i P 2 är skalär-produkten av matrisen P med sig själv enligt P 2 = r 1 c 1 r 1 c n..... r n c 1 r n c n Vilket är sannolikheten, p (2) ij, att gå från ett tillstånd till ett annat i två steg. Låt p (k) ij vara sannolikheten att gå från tillstånd s i till tillstånd s j i k steg för ett godtyckligt k N +. Sannolikheten att gå från ett tillstånd till ett annat i två steg från P k är p (k+1) ij vilket ges av matrisen P k+1. Genom induktion får vi att den ij:te enheten p (n) ij i matrisen P n ger sannolikheten att Markovkedjan, om den startar i tillstånd s i, är i tillstånd s j efter n steg. De sex första potenserna av den stokastiska matrisen för vår väderprognos är, med tre decimalers noggrannhet och utan ledande nollor, följande. R M K R M K R,500,250,250 R,438,188,375 P 1 = M,500,000,500, P 2 = M,375,250,375, K,250,250,500 K,375,188,438 R M K R M K R,406,203,391 R,402,199,398 P 3 = M,406,188,406, P 4 = M,398,203,398, K,391,203,406 K,398,199,402 R M K R M K R,400,200,399 R,400,200,400 P 5 = M,400,199,400, P 6 = M,400,200,400. K,399,200,400 K,400,200,400. För n större än sex är den stokastiska matrisen identisk med P 6 för tre decimalers noggrannhet. Om det är regnigt idag (s 0 = R) vad är då sannolikheten att Markovkedjan är i tillståndet regnigt (s 2 = R) om två dagar? Enligt den andra potensen av den stokastiska matrisen, P 2, är sannolikheten = 0,438, vilket är sannolikheten att Markovkedjan är i tillståndet regnigt efter två steg om vi börjar i tillståndet regnigt (som tidigare beräknades med betingade sannolikheter). p (2) Sats. Låt P vara en stokastisk matris för en Markovkedja och låt x vara en fördelningsvektor som representerar startfördelningen. Då är sannolikheten att Markovkedjan är i tillstånd s i efter n steg det i:te elementet i 8

11 vektorn x (n) = xp n. Bevis. Sannolikheten att Markovkedjan är i tillstånd s i efter ett steg är det i:te elementet i vektorn xp. Enligt sats ger P n att sannolikheten att Markovkedjan, om den startar i tillstånd s i, är i tillstånd s j efter n steg. Vi får att sannolikheten att en Markovkedja i tillstånd s i är i tillstånd s j efter n steg är det i:te elementet i vektorn x (n) = xp n. Om vi som tidigare antar att vädret är regnigt idag kan x sättas till x = ( ) Vi får x (1) = xp = ( ),500,250,250,500,000,500 = (,5,25,25 ),250,250,500 x (2) = x (1) P = (,5,25,25 ),500,250,250,500,000,500 = (,438,188,375 ).,250,250,500 Vilket är ekvivalent med x (2) = xp 2 = ( ),438,188,375,375,250,375 = (,438,188,375 ).,375,188,438 Som tidigare är sannolikheten att Markovkedjan är i tillstånd regnigt efter två steg 0,438. 9

12 1.2 En fixpunktssats för affina avbildningar Här ges den teori som behövs i avsnitt 1.3. Vi börjar med att definiera en fixpunkt Definition. En vektor x kallas en fixpunkt till en funktion T om T(x) = x Definition. Mängden K är konvex om för alla t [0,1] och för alla x,y K gäller det att tx + (1 t)y K. Genom definition kan lemma bevisas Lemma. Låt n N + och låt mängden K vara en konvex mängd. För x 1,...,x n K gäller det att 1 n (x x n ) K. Bevis. Beviset utförs genom induktion. Låt k N Induktionsantagande: x 1,...,x k K 1 k (x x k ) K 2. Induktionspåstående: x 1,...,x k+1 K 1 k+1 (x x k+1 ) K Vi skriver om induktionspåståendet. y := 1 k+1 (x 1+ +x k+1 ) = 1 1 k+1 (x 1 + +x k ) = 1 k+1 x k k (x 1 + +x k ). Vi ska visa att y K, k sätt z := 1 k (x x k ). Genom induktionsantagandet fås att z ligger i K. Vi får y = 1 k+1 x k z. Då 1+ 1 k+1 [0,1] och 1 [0,1] samt 1+ 1 k k = 1 om k N + får vi enligt definition att y K. 1 k k k+1 x k Definition. Låt K vara en konvex mängd. En affin avbildning T : K K är en avbildning för x 1,x 2 K med egenskapen T(r 1 x 1 + r 2 x 2 ) = r 1 T(x 1 ) + r 2 T(x 2 ) där 2 i=1 r i = 1 och r i 0. Genom definition kan sats bevisas Sats. Om T : K K är en affin avbildning följer det att för alla x 1,...,x n K och för alla r 1,...,r n R där r i 0 och n i=1 r i = 1 gäller det att T( n i=1 r ix i ) = n i=1 r it(x i ) K för n N +. Bevis. Beviset utförs genom induktion med utgångspunkt från beviset av sats 16.2 i [9]. Låt k N Induktionsantagande: k i=1 r i = 1 T( k i=1 r ix i ) = k i=1 r it(x i ) 2. Induktionspåstående: k+1 i=1 r i = 1 T( k+1 i=1 r i x i) = k+1 i=1 r i T(x i) 10

13 Beviset delas upp i två fall: r 1 1 och r 1 = 1, för att undvika division med 0. Fallet då r 1 = 1 är trivialt, för fall r 1 1 får vi följande om vi bryter ut r k+1 x k+1 term2 term1 { T(r 1x r k+1 x { }} { [ }} ]{ k+1) = T r k+1 x k+1 + (1 r k+1 ) r 1 r k x 1 r x k+1 1 r k k+1 ([ ]) = r k+1 T(x k+1) + (1 r k+1 )T r 1 r k x 1 r x k+1 1 r k k+1 enligt definition Vi kollar om r i = 1 för båda termerna. 1. r k+1 + (1 r k+1 ) = 1 2. r 1 1 r k+1 = + + r k 1 r k+1 = r 1 + +r k 1 r k+1 [ r 1 + r 2 + r k+1 = 1 r 1 + r k = 1 r k+1 ] = 1 r k+1 1 r k+1 ([ ]) Av induktionsantagandet följer det att (1 r k+1 )T r 1 x 1 r r k x k+1 1 r k = k+1 ( ) (1 r k+1 ) r 1 T(x 2 ) r k T(x k ) = r 1 T(x 2) + + r k T(x k) 1 r k+1 1 r k+1 vilket sammanslaget med första termen ger T(r 1 x 1+r 2 x r k+1 x k+1) = r 1 T(x 2) + r 2 T(x 2) + + r k+1 T(x k+1) Lemma. Låt K vara en konvex mängd och låt T : K K vara en linjär avbildning. Då är T en affin avbildning. Bevis. Sätt x 1,x 2 K och r 1, r 2 R med r 1 + r 2 = 1. Då gäller T(r 1 x 1 + r 2 x 2 ) = T(r 1 x 1 ) + T(r 2 x 2 ) = r 1 T(x 1 ) + r 2 T(x 2 ), så T är affin enligt definition med tillägget att r i 0. Följande sats presenteras utan bevis. Den intresserade läsaren hänvisas till [1] Sats (Bolzano-Weierstrass). En begränsad talföljd i R innehåller alltid en konvergent delföljd. Genom sats kan sats bevisas. Beviset är avsett för vektorer i R n. Notera även att en delmängd i R n är kompakt om den är sluten och begränsad. = 1 11

14 1.2.8 Sats (Markov-Kakutani). Låt T vara en kontinuerlig affin avbildning av den icke-tomma, kompakta, konvexa mängden K till sig själv. Då har T en fixpunkt. Bevis. Låt z K och definiera T : K K. Vi har T(z) K vilket ger z,t(z), T(T(z)),...,T N (z) K för alla N N. Vi söker en fixpunkt, x, sådan att {T k (x) : k N} = {x} T(x) = x. Definiera genomsnittet N 1 k=0 T k (z). Enligt lemma får av N transformationer enligt x N = 1 N vi x N K. Då mängden K är kompakt är den sluten och en begränsad delmängd i R n. Enligt Bolzano-Weierstrass sats existerar det en konvergent delföljd x Np av x N K som konvergerar mot ett x K sådana att xnp x 0, p, då är x en fixpunkt. Det visas genom följande, m.h.a. sats x Np T(x Np ) = 1 N p = 1 N p N p 1 T k (z) T 1 N p 1 T k (z) N p k=0 k=0 N p 1 N p T k (z) T k (z) k=0 k=1 = 1 N p z T Np (z) 0, p Där z T N p (z) diam(k) är ändlig då K är begränsad. Det gäller även att T(x Np ) T(x) 0, p då T är kontinuerlig. Vi får x T(x) = lim p x Np T(x Np ) = 0 vilket ger att det existerar ett x sådant att T(x) = x. 12

15 1.3 Irreducibla och reguljära Markovkedjor Definition. En Markovkedja kallas irreducibel om det är möjligt att gå från varje tillstånd till varje tillstånd Definition. En Markovkedja kallas reguljär om någon potens av den stokastiska matrisen enbart har positiva element. Dvs. P k > 0 för något k N +. Varje reguljär kedja är irreducibel men en irreducibel kedja behöver inte vara reguljär. I den stokastiska matrisen P för vår väderprognos finns talet noll men exempelvis P 2 innehåller enbart positiva element och från definition är den stokastiska matrisen därför reguljär. Skillnaden mellan irreducibla och reguljära Markovkedjor kan visas genom följande exempel. ( 1 2 ) Exempel. Låt en stokastisk matris vara sådan att P = ( ) 0 1 För udda potenser får vi P 2n+1 = och för jämna potenser får 1 0 ( ) 1 0 vi P 2n =. Om vi börjar i tillstånd 1 har vi Markovkedjan S = 0 1 (1,2,1,2,...), det är alltså möjligt att gå från varje tillstånd till varje tillstånd så Markovkedjan är irreducibel men ingen potens av P är sådan att P k > 0 så Markovkedjan är inte reguljär. Sats och bevisas med utgångspunkt från [5] och [6]. Resultatet av sats används i beviset för sats Sats. Låt P > 0 vara en stokastisk matris. Låt ε vara det minsta elementet i P. Låt x T vara en kolumnvektor med största element M 0 och minsta element m 0. Låt Px T vara en kolumnvektor med största element M 1 och minsta element m 1. Då gäller M 1 M 0, m 1 m 0 och M 1 m 1 (1 2ε)(M 0 m 0 ). Bevis. Låt y T vara vektorn x T med alla element ersatta av M 0 förutom det minsta m 0 element. Då gäller y T x T. Varje element i Py T är som störst om ε multipliceras med m 0, dvs. det största elementet, M 1 i Py T måste vara begränsat av M 1 εm 0 + (1 ε)m 0. Analogt erhålls en undre gräns för det minsta möjliga värdet (x T ersätts av y T med alla element ersatta av m 0 förutom det största M 0 elementet och ε multipliceras med M 0 ) m 1 εm 0 + (1 ε)m 0. 13

16 Vi får M 1 m 1 εm 0 + (1 ε)m 0 (εm 0 + (1 ε)m 0 ) = (1 2ε)(M 0 m 0 ). Genom sats kan sats bevisas Sats. Låt P = [p ij ] n n vara en reguljär stokastisk matris för en Markovkedja. Då gäller W = lim n P n, där W är en matris med alla radvektorer w lika och positiva. Vi säger att P konvergerar mot matrisen W. Bevis. En matris med alla radvektorer lika har identiska tal i varje kolumn. Vi bevisar existensen av W genom detta antagande. Låt 0 < ε (1 2ε) < 1 vara den stokastiska matrisens minsta element (då P minst är av ordning 2 kan ε som störst vara 1/2). Låt x T vara en kolumnvektor med största värde M 0 och minsta värde m 0. Låt M n respektive m n vara maximum respektive minimum elementen av vektorn P n x T. Låt M n 1 respektive m n 1 vara maximum respektive minimum elementen av vektorn P n 1 x T. Från sats fås M n m n (1 2ε)(M n 1 m n 1 ) för n 1. Dessutom gäller det att M 0 M 1... M n och att m 0 m 1... m n. Vi kan göra omskrivningen M n m n (1 2ε) n (M 0 m 0 ) 0, n. Alltså går P n x T mot en kolumnvektor med alla element lika. Det ger att radvektorerna w i W är lika. Det kan visas genom att sätta x T = e T, vi får We T = w T. Vi utvidgar beviset till reguljära matriser där ε 0. Enligt definition existerar det ett P k sådant att ε > 0, resten av beviset är analogt för P k, P 2k,...,P nk. Nedan följer ett alternativt bevis för fallet då kolumnvektorerna i P k inte har alla element lika för något k utom i det fall då P konvergerat mot W. Vi börjar med att bevisa ett lemma för viktade medelvärden. Varje fördelningsvektor uppfyller kraven på vikterna i ett viktat medelvärde Lemma. Låt x = w 1 x w n x n där 0 < w i < 1 för alla i, i w i = 1 och det existerar minst ett x i sådant att x i x j för alla i j. Då gäller min i x i < x < max i x i. 14

17 Bevis. Vi får x = n i x iw i < n i x maxw i = x n max i w i = x max då 0 < w i < 1 och i w i = 1. Vi får max i x i > x. Analogt fås att min i x i < x. För att beskriva metoden i det alternativa beviset börjar vi med ett exempel Exempel. Låt (P > 0) Mat(3,3) vara en stokastisk matris sådan att p 11 p 12 p 13 P = p 21 p 22 p 23. p 31 p 32 p 33 Vi får P 2 = p 11 p 11 + p 12 p 21 + p 13 p 31 p 11 p 12 + p 12 p 22 + p 13 p 32 p 11 p 13 + p 12 p 23 + p 13 p 33 p 21 p 11 + p 22 p 21 + p 23 p 31 p 21 p 12 + p 22 p 22 + p 23 p 32 p 21 p 13 + p 22 p 23 + p 23 p 33. p 31 p 11 + p 32 p 21 + p 33 p 31 p 31 p 12 + p 32 p 22 + p 33 p 32 p 31 p 13 + p 32 p 23 + p 33 p 33 Enligt lemma för en godtycklig kolumnvektor i P 2 (välj j godtyckligt) gäller följande. min i p ij < p 11 p 1j + p 12 p 2j + p 13 p 3j < max i p ij min i p ij < p 21 p 1j + p 22 p 2j + p 23 p 3j < max i p ij min i p ij < p 31 p 1j + p 32 p 2j + p 33 p 3j < max i p ij För ett godtyckligt element i P 2 (välj i godtyckligt) gäller max i {p ij } min i {p ij } = ε 1 > max{p i1 p 1j + p i2 p 2j + p i3 p 3j } min{p i1 p 1j + p i2 p 2j + p i3 p 3j } = ε 2. Om vi fortsätter resonemanget till P 3,...,P n får vi att ε 1 > ε 2 >... > ε n 0 då n. Differensen mellan två element i en godtycklig kolumn i P n går alltså mot noll när n går mot oändligheten. Vi får matrisen W = lim n P n = w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 w 3, w 1 w 2 w 3 där w = ( w 1 w 2 w 3 ) är en fördelningsvektor. Nedan ges det alternativa beviset. Bevis. Vi visar att en godtycklig kolumnvektor i W har alla element lika. Låt P > 0 vara en stokastisk matris sådan att p 11 p 1n P = p n1 p nn Enligt sats är P 2 en stokastisk matris. Vi får n k=1 P 2 p 1kp k1 n k=1 p 1kp kn = n k=1 p nkp k1 n k=1 p nkp kn 15

18 Enligt lemma för ett godtyckligt element i P 2 gäller max i {p ij } min i {p ij } = ǫ 1 > max i { k=1 p ikp kj } min i { k=1 p ikp kj } = ǫ 2 för alla j. Analogt fås att ǫ 1 > ǫ 2 >... > ǫ n = [max i {p ij } = min i {p ij }] = 0 då n. Alltså går differensen mellan det största och det minsta talet i varje kolumn i P n mot noll. I fallet då P innehåller något p ij = 0 existerar det enligt definition ett P k sådant att alla p ij > 0, resten av beviset är analogt för P k, P 2k,...,P nk. I den stokastiska matrisen P för vår väderprognos har vi att för tre decimalers noggrannhet W = lim n P n = R M K R,400,200,400 M,400,200,400. K,400,200,400 Sats är en fundamental sats för reguljära Markovkedjor och tyngdpunkten av den här uppsatsen. I beviset används mycket av den teori vi upp till nu presenterat. Beviset utförs med utgångspunkt från [7] och [5] Sats. Låt P vara en reguljär stokastisk matris, låt W = lim P n n där w är den gemensamma radvektorn av W. Då gäller wp = w och en godtycklig radvektor v uppfyller vp = v om och endast om v är en multipel av w, dvs. vektorn w är unik för matrisen P och kallas en fixerad radvektor. Bevis. K är enligt definition konvex. Låt x K och definera avbildningen T : K K enligt T(x) = ( n i=1 p i1x i n i=1 p i2x i n i=1 p inx i ) = xp som enligt sats är linjär. Enligt sats har T en fixpunkt w sådan att T(w) = w wp = w. Låt v vara en godtycklig vektor sådan att vp = v. Då gäller vp n = v vw = v. Låt r vara summan av elementen i vektorn v, då gäller vw = ( i v iw 1 i v ) ( ) iw n = r w1 w n = rw. Vi får v = rw, alltså är v en multipel av w. För den stokastiska matrisen P för vår väderprognos har vi att W = R M K R,400,200,400 M,400,200,400. K,400,200,400 16

19 Alltså är vår fixerade radvektor för P, w = (,4,2,4 ). Vi kan kontrollera att w uppfyller villkoret i sats wp = (,4,2,4 ),5,25,25,5 0,5 = (,4,2,4 ),25,25, Sats. Låt P vara en stokastisk matris för en reguljär Markovkedja med den fixerade radvektorn w. Då gäller det för en godtycklig fördelningsvektor x, xp n w då n. Bevis. Vi använder samma argumentation som i beviset för sats Låt x = ( ) x 1 x n vara en godtycklig fördelningsvektor. Enligt sats gäller P n W då n, där W är en stokastisk matris sådan att Vi visar att xw = w. xw = ( i x iw 1 W = w 1 w n..... w 1 w n. i x iw n ) = ( w1 w n ) = w. Vi kan alltså välja en godtycklig fördelningsvektor, säg x = (,2 0,8 ), och för W specificerad som innan får vi för vår väderprognos xw = (,2 0,8 ),400,200,400,400,200,400 = (,4,2,4 ).,400,200,400 Som ett sista exempel kan vi visa att w kan erhållas enligt sats ( ),5,25,25 w1 w 2 w 3,5 0,5 = ( ) w 1 w 2 w 3.,25,25,5 Vi får det linjära ekvationssystemet,5w 1 +,5w 2 +,25w 3 = w 1,25w 1 +,25w 3 = w 2,25w 1 +,5w 2 +,5w 3 = w 3. Sätt w 1 = 1 (w 1 kan väljas godtyckligt, det är enbart proportionerna mellan w 1, w 2 och w 3 som är intressanta). Vi får,5 +,5w 2 +,25w 3 = 1,25 +,25w 3 = w 2,25 +,5w 2 +,5w 3 = w 3, 17

20 vilket har lösningen w = ( 1,5 1 ) som ersatt med en proportionell fördelningsvektor är w = (,4,2,4 ). Slutligen bör det nämnas att w är vänster egenvektor med motsvarande egenvärde λ = 1 till den stokastiska matrisen P. Vi kan visa det genom att sätta wp = wλi wp wλi = 0 w(p λi) = 0. För sats utgörs egenrummet till egenvärde 1 av vektorerna som uppfyller {x : xw = x} som enligt beviset för sats enbart är vektorn w, så egenrummet är endimensionellt. 18

21 Kapitel 2 Metropolis Hastings algoritmen 2.1 Inledning Vi bekantar oss nu med en tillämpning av Markovkedjor. Under 1900-talet har statistiker utvecklat metoder för att dra urval ur fördelningar som enbart är möjliga att beräkna upp till en funktion proportionell mot den sökta. Flera algoritmer som approximerar en sökt fördelning har tagits fram; vi belyser Metropolis Hastings (M H) algoritmen. Vi skiljer på notationen för diskreta och kontinuerliga fördelningar. Teorin rörande M H algoritmen är identisk för båda fallen, skillnaden visar sig i deras tillämpningar. Vi börjar med att definiera en stokastisk variabel Definition. En stokastisk variabel, X, är en funktion som avbildar ett utfallsrum Ω på R. Till varje stokastisk variabel associerar vi i det diskreta fallet en sannolikhetsfunktion och i det kontinuerliga fallet en täthetsfunktion Definition. En stokastisk variabel kallas diskret om den kan anta ett ändligt antal olika värden. Funktionen P(X = x) = p X (x) kallas sannolikhetsfunktionen för den stokastiska variabeln X om den uppfyller p X (x) 0 för alla x och x p X(x) = Definition. En stokastisk variabel kallas kontinuerlig om det existerar en funktion f X (x) sådan att P(X A) = f X (x)dx för alla A R. Funktionen f X (x) kallas täthetsfunktionen för den stokastiska variabeln X om den uppfyller f X (x) 0 för alla x och R f X(x)dx = 1. A 19

22 I det diskreta fallet beskrevs sannolikheten att gå från ett tillstånd x till nästa tillstånd y av en stokastisk matris, P(x,y), av ändlig ordning med ett diskret utfallsrum. När vi talar om kontinuerliga funktioner ges övergångssannolikheten från x till y av P(x,y) = P(Y A X = x), som för varje x är en sannolikhetsfunktion dvs. P(x,y) 0 och R P(x,y)dy = 1. Vi betecknar en förslagsfördelning som den stokastiska matrisen Q(x,y) i det diskreta fallet och som täthetsfunktionen f Y (y) i det kontinuerliga fallet. En acceptanssannolikhet betecknas som funktionen α(x,y). M H algoritmen beskrivs som ett matematisk verktyg och uppställningen blir därför mer informell än tidigare, teorin som presenteras och deras tillämpningar är baserade på [8], [3] och [4]. 20

23 2.2 M H algoritmen för diskreta fördelningar Anta att vi vill simulera en sannolikhetsfunktion p X (x). Välj en reguljär stokastisk matris som förslagsfördelning, Q(x,y). M H algoritmen ger en Markovkedja som konvergerar mot fördelningen av X enligt { q(x,y)α(x,y) om x y P(x,y) = q(x,y), u x q(x,u)α(x,u) om x = y för acceptanssannolikheten α(x,y) = min ( 1, p ) X(y)q(y,x). p X (x)q(x,y) Algoritmen kan beskrivas genom exempel Exempel. Vi vill simulera en sannolikhetsfunktion p X (x) = ( 1/6 2/6 3/6 ) med den stokastiska matrisen för vår väderprognos i kapitel 1, Q(x,y) = R M K R 1/2 1/4 1/4 M 1/2 0 1/2, K 1/4 1/4 1/2 som förslagsfördelning. Vi har tidigare definierat utfallsrummet som Ω = {R,M,K}. Vi får acceptanssannolikheten ( ) ( 1 min 1, p X(M)q(M,R) p X (R)q(R,M) min ( ) ( A(x,y) = min 1, p X(R)q(R,M) p X (M)q(M,R) 1 min ( ) ( ) min 1, p X(R)q(R,K) p X (K)q(K,R) min 1, p X(M)q(M,K) p X (K)q(K,M) 1 ( ) ( ) 1 min 1, 2/6 1/2 1/6 1/4 min 1, 3/6 1/4 ( ) ( 1/6 1/4) = min 1, 1/6 1/4 2/6 1/2 1 min 1, 3/6 1/4 ( 2/6 1/2 ) ( ) min 1, 1/6 1/4 3/6 1/4 min 1, 2/6 1/2 3/6 1/ = 1/4 1 3/4. 1/ , p X(K)q(K,R) p X (R)q(M,K) 1, p X(K)q(K,M) p X (M)q(M,K) M H algoritmen ger följande stokastiska matris 1 (1 1/ /4) 1 1/4 1 1/4 P(x,y) = 1/4 1/2 1 (1/4 1/2 + 3/4 1/2) 3/4 1/2 1/3 1/4 1 1/4 1 (1/3 1/ /4) 1/2 1/4 1/4 = 1/8 1/2 3/8. 1/12 1/4 2/3 21 ) )

24 Vi kan enkelt se att p X (x)p = p X (x) och att 1/6 2/6 3/6 lim P n = 1/6 2/6 3/6. n 1/6 2/6 3/6 Från exempel ser vi att det finns en risk för division med noll för vissa val av p X (x) och q(x,y). 22

25 2.3 M H algoritmen för kontinuerliga fördelningar Anta att vi vill simulera en täthetsfunktion f X (x). Välj en förslagsfördelning f Y (y) där värdemängden av Y är definitionsmängden av f X (x). M H algoritmen ger en Markovkedja som konvergerar mot fördelningen av X enligt P(Y i,y i+1 ) = för acceptanssannolikheten { fy (Y i )α(y i,y i+1 ) om Y i Y i+1 f Y (Y i ) + Y i+1 Y i f Y (Y i )(1 α(y i,y i+1 )) om Y i = Y i+1, α(y i,y i+1 ) = min ( 1, f ) X(Y i+1 )f Y (Y i ). f X (Y i )f Y (Y i+1 ) Acceptanssannolikheten har för M H algoritmen egenskapen att för en täthetsfunktion som kan beräknas upp till en konstant, f X (x) = Kg X (x) där R g X(x)dx = 1 kommer K strykas i α(y i,y i+1 ) (vi säger att täthetsfunktionen inte behöver vara normerad). Algoritmen kan beskrivas genom följande steg. 1. Vi börjar i tillstånd s i = y i 2. Dra ett tal ur Y, vi får y i+1 3. Med sannolikhet α(y i, y i+1 ) [0,1] acceptera y i+1 : s i+1 = y i+1 4. Annars stanna i nuvarande tillstånd s i+1 = y i 5. Upprepa från steg 1 n antal gånger Exempel. Vi kan illustrera algoritmen med följande exempel. Säg att vi vill simulera en X χ 2 (3) fördelning på intervallet [0,10]. Vi får f X (x) = Kx 3/2 1 e x/2 där K = 2 3/2 Γ(3/2). Låt den stokastiska variabeln Y vara likformigt fördelad enligt Y U(0,10). Täthetsfunktionen för den likformiga fördelningen stryks i α(y i,y i+1 ). I simuleringsprogrammet R skriver vi med utgångspunkt från [8] en algoritm som gör följande. 1. Dra en startpunkt ur Y. Vi får y 0 = 7,627578, vilket ger S = (7,627578) 2. Dra ett tal ur Y, vi får y 1 = 1, ( ) 3. Med sannolikhet α(y 0,y 1 ) = min 1, f X(y 1 )f Y (y 0 ) f X (y 0 )f Y (y 1 ) vi får: acceptera 1,151297, 23

26 Figur 2.1: Exempel på stegen i en Markovkedja genererad av en M-H algoritm, referens [2]. ( ) α(7,627578; 1,151297) = min 1, K1, /2 1 e 1,151297/2 K7, /2 1 e 7,627578/2 ( ) = min 1, 1, /2 1 e 1,151297/2 7, /2 1 e 7,627578/2 = min(1; 9,901635) = 1 4. Vi accepterar 1, med 100% sannolikhet, vilket ger S = (7,627578; 1,151297) 5. Upprepa proceduren n antal gånger. Resultatet blir att S konvergerar mot fördelningen av X då n Resultatet av mymcmc2(10 2 ) ges i figur 2.2. Vid ett större antal iterationer ger S, genom P(x,y), dragningar ur en χ 2 (3) fördelning. Programkoden redovisas nedan. 24

27 Histogram of X[ seq(nsim * 0.25, nsim)] Histogram of X[ seq(nsim * 0.5, nsim)] Frequency Frequency X[ seq(nsim * 0.25, nsim)] X[ seq(nsim * 0.5, nsim)] Histogram of X[ seq(nsim * 0.75, nsim)] Histogram of X Frequency Frequency X[ seq(nsim * 0.75, nsim)] X Figur 2.2: Histogram av simuleringen för , , och 10 2 iterationer, röd linje är den sanna fördelningen. mymcmc2 <- function(nsim = 10^4){ X <- rep(runif(n = 1, min = 0, max = 1),nsim) # initialize the chain Z <- dchisq(seq(0, 10, length.out = nsim), df = 3) for (i in 2:nsim){ Y <- runif(n = 1, min = 0, max = 10) rho <- min(1,dchisq(y, df = 3)*dunif(X[i-1], min = 0, max = 10)/ (dchisq(x[i-1], df = 3)*dunif(Y, min = 0, max = 10))) X[i] <- X[i-1] + (Y-X[i-1])*(runif(n = 1, min = 0, max = 1)<rho) } attach(mtcars) par(mfrow=c(2,2)) hist(x[-seq(nsim*.25, nsim)]) par(new=true) plot(z, yaxt= n,xaxt= n, ann=false,col="red") hist(x[-seq(nsim*.5, nsim)]) par(new=true) plot(z, yaxt= n,xaxt= n, ann=false,col="red") 25

28 hist(x[-seq(nsim*.75, nsim)]) par(new=true) plot(z, yaxt= n,xaxt= n, ann=false,col="red") hist(x) par(new=true) plot(z, yaxt= n,xaxt= n, ann=false,col="red") return() } 26

29 Litteraturförteckning [1] D.A. Brannan. A first course in mathematical analysis. Cambridge Univ Pr, [2] I. Cosma. Markov chains and monte carlo methods. A.I.M.S, [3] P. Diaconis. The markov chain monte carlo revolution. Bull. Amer. Math. Soc.(NS), 46(2): , [4] R. Grey. Advanced statistical computing. Department of Biostatistics and Computational Biology, Harvard, [5] C.M. Grinstead and J.L. Snell. Introduction to probability. Amer Mathematical Society, [6] J.G. Kemeny and J.L. Snell. Finite markov chains. Springer, [7] G. Maltese. A simple proof of the fundamental theorem of finite markov chains. The American mathematical monthly, 93(8): , [8] C.P. Robert and G. Casella. Introducing Monte Carlo Methods with R. Springer Verlag, [9] S. Roman. Advanced linear algebra, volume 135. Springer,

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.

Läs mer

Begrepp :: Determinanten

Begrepp :: Determinanten c Mikael Forsberg 2008 1 Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Villkor och Repetition 1 Logiska uttryck Uppgift 1.1 Låt a=3 och b=6 Vad blir resultatet av testerna ab? Uppgift 1.2 Låt a, b,

Läs mer

Grafer och grannmatriser

Grafer och grannmatriser Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på

Läs mer

Markovkedjor. Patrik Zetterberg. 8 januari 2013

Markovkedjor. Patrik Zetterberg. 8 januari 2013 Markovkedjor Patrik Zetterberg 8 januari 2013 1 / 15 Markovkedjor En markovkedja är en stokastisk process där både processen och tiden antas diskreta. Variabeln som undersöks kan både vara numerisk (diskreta)

Läs mer

Kursombud sökes! Kursens syfte är att ge en introduktion till metoder för att förutsäga realtidsegenskaper hos betjäningssystem, i synnerhet för data- och telekommunikationssystem. Såväl enkla betjäningssystem,

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar

Läs mer

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat

Läs mer

Bayesianska numeriska metoder II

Bayesianska numeriska metoder II Bayesianska numeriska metoder II T. Olofsson Gibb's sampling Vi har sett att en viktig teknik vid Bayesiansk inferens är s.k marginalisering vilket, för kontinuerliga variabler, innebär att vi integrerar

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Permutationer med paritet

Permutationer med paritet 238 Permutationer med paritet Bernt Lindström KTH Stockholm Uppgift. Att studera permutationerna av talen 1 2... n och indelningen i udda och jämna permutationer ur olika aspekter. Permutationer är särskilt

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Storräkneövning: Sannolikhetslära

Storräkneövning: Sannolikhetslära UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jakob Björnberg Sannolikhet och statistik 2012 09 28 Storräkneövning: Sannolikhetslära 1. (Tentamen, april 2009.) Man har efter studier av beredskapen hos

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Den matematiska analysens grunder

Den matematiska analysens grunder KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande

Läs mer

Fixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).

Fixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x). Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 23:E MAJ 2013 KL 14.00 19.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt Tillåtna hjälpmedel: miniräknare, lathund

Läs mer

5 Kontinuerliga stokastiska variabler

5 Kontinuerliga stokastiska variabler 5 Kontinuerliga stokastiska variabler Ex: X är livslängden av en glödlampa. Utfallsrummet är S = x : x 0}. X kan anta överuppräkneligt oändligt många olika värden. X är en kontinuerlig stokastisk variabel.

Läs mer

Markovprocesser SF1904

Markovprocesser SF1904 Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 3 Markovprocesser 16 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 3 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Markovprocesser

Läs mer

Gaussiska primtal. Christer Kiselman. Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet

Gaussiska primtal. Christer Kiselman. Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet 195 Gaussiska primtal Christer Kiselman Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet 1. Beskrivning av uppgiften. De förslag som presenteras här kan behandlas på flera olika sätt. Ett första syfte är

Läs mer

Markovprocesser SF1904

Markovprocesser SF1904 Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 3 Markovprocesser 13 April 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 3 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Markovprocesser

Läs mer

FOURIERANALYS En kort introduktion

FOURIERANALYS En kort introduktion FOURIERAALYS En kort introduktion Kurt Hansson 2009 Innehåll 1 Signalanalys 2 2 Periodiska signaler 2 3 En komplex) skalärprodukt 4 4 Fourierkoefficienter 4 5 Sampling 5 5.1 Shannon s teorem.................................

Läs mer

P(X nk 1 = j k 1,..., X n0 = j 0 ) = j 1, X n0 = j 0 ) P(X n0 = j 0 ) = etc... P(X n0 = j 0 ) ... P(X n 1

P(X nk 1 = j k 1,..., X n0 = j 0 ) = j 1, X n0 = j 0 ) P(X n0 = j 0 ) = etc... P(X n0 = j 0 ) ... P(X n 1 Kaitel 1 Mer Markovkedjor Med att secificera en Markovkedja menar vi att man bestämmer övergångsmatrisen P. Detta säger ju allt om dynamiken för rocessen. Om vi dessutom vet hur kedjan startar, dvs startfördelningen

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 4

Diskret matematik: Övningstentamen 4 Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen

Läs mer

1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-04. 2.2 Angående grafisk presentation

1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-04. 2.2 Angående grafisk presentation LUNDS TEKNISKA HÖSKOLA ATEATIKCENTRU ATEATISK STATISTIK ATEATISK STATISTIK, AK FÖR L, FS 33, HT-4!"$&' (*) 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka hitta begripliga tolkningar av begreppen

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.''

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Hjälpmedel:'Valfri'räknare,'egenhändigt'handskriven'formelsamling'(4''A4Esidor'på'2'blad)' och'till'skrivningen'medhörande'tabeller.''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara

Läs mer

Kontinuitet och gränsvärden

Kontinuitet och gränsvärden Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika

Läs mer

Markov Chain Monte Carlo, contingency tables and Gröbner bases

Markov Chain Monte Carlo, contingency tables and Gröbner bases Markov Chain Monte Carlo, contingency tables and Gröbner bases Diaconis, P., Sturmfels, B. (998. Algebraic algorithms for sampling from conditional distributions. Gunnar Englund Annals of Statistics Vol.

Läs mer

bli bekant med summor av stokastiska variabler.

bli bekant med summor av stokastiska variabler. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF20 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse för diskreta, bivariate

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är

Läs mer

Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram

Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram 2.1 Grundläggande matematik 2.1.1 Potensfunktioner xmxn xm n x x x x 3 4 34 7 x x m n x mn x x 4 3 x4 3 x1 x x n 1 x n x 3 1 x 3 x0 1 1

Läs mer

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R Föreläsning Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen För att göra ett påstående av en öppen utsaga med flera variabler behövs flera kvantifierare.

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA STATISTIK VARIABLER. Tatjana Pavlenko. 8 september 2017

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA STATISTIK VARIABLER. Tatjana Pavlenko. 8 september 2017 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 5 FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 8 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av de viktiga begreppen diskret/kontinuerlig

Läs mer

DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03. bli bekant med summor av stokastiska variabler.

DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03. bli bekant med summor av stokastiska variabler. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse

Läs mer

Om Markov Chain Monte Carlo

Om Markov Chain Monte Carlo Om Markov Chain Monte Carlo Gunnar Englund Matematisk statistik KTH Ht 2001 1 Inledning Markov Chain Monte Carlo MCMC är en modern teknik att simulera komplicerade fördelningar som har fått stora tillämpningar

Läs mer

Uppgift 2 Betrakta vädret under en följd av dagar som en Markovkedja med de enda möjliga tillstånden. 0 = solig dag och 1 = regnig dag

Uppgift 2 Betrakta vädret under en följd av dagar som en Markovkedja med de enda möjliga tillstånden. 0 = solig dag och 1 = regnig dag Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER MÅNDAGEN DEN 26 AUGUSTI 203 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund tel. 073 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Statistikens grunder 1 och 2, GN, 15 hp, deltid, kvällskurs

Statistikens grunder 1 och 2, GN, 15 hp, deltid, kvällskurs Statistikens grunder 1 och 2, GN, 15 hp, deltid, kvällskurs TE/RC Datorövning 4 Syfte: 1. Lära sig beräkna konfidensintervall och täckningsgrad 2. Lära sig rita en exponentialfördelning 3. Lära sig illustrera

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer

Läs mer

Algebrans fundamentalsats

Algebrans fundamentalsats School of Science and Technology SE-701 8 Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, 61 75

Läs mer

TMS136. Föreläsning 1

TMS136. Föreläsning 1 TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill vi modellera och kvantifiera de risker som finns

Läs mer

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning ::

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning :: Datorlaboration :: Ett hyrbilsföretags problem Laborationen går ut på att lösa Labbuppgift 1 till 5. Laborationen redovisas individuellt genom att skicka laborationens Mathematicafil till Mikael Forsberg

Läs mer

Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys

Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys Density Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys 1.,3 Uniform; Lower=1; Upper=6,3,2,2,1,, 1 2 3 X 4 6 7 Figuren ovan visar täthetsfunktionen för en likformig fördelning. Kurvan antar värdet.2 över

Läs mer

Lösningar till linjära problem med MATLAB

Lösningar till linjära problem med MATLAB 5B1146 - Geometri och algebra Mikrolelektronik, TH ista ösningar till linjära problem med MATAB Av: oel Nilsson, alikzus@home.se atrik osonen, pkosonen@kth.se 26-12-4 roblem 1 Man ska bestämma ett tredjegradspolynom:

Läs mer

Sannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann

Sannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. I slutet av dokumentet hittar du uppgifter med vilka du kan testa om

Läs mer

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik 1, 7.5 hp Antal uppgifter: 5 Krav för G: 11 Lärare: Robert Lundqvist, tel

Läs mer

Tillämpad Matematik III Övningar i Statistik

Tillämpad Matematik III Övningar i Statistik Tillämpad Matematik III Övningar i Statistik (Med reservation för eventuella tryckfel.) Kap. Grundläggande sannolikhetsteori.. Drag utan återlägg gör att det nns 4 = (= m) möjliga och lika troliga utfall

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Matematik Åk 9 Provet omfattar stickprov av det centrala innehållet i Lgr-11. 1. b) c) d)

Matematik Åk 9 Provet omfattar stickprov av det centrala innehållet i Lgr-11. 1. b) c) d) 1. b) c) d) a) Multiplikation med 100 kan förenklas med att flytta decimalerna lika många stg som antlet nollor. 00> svar 306 b) Använd kort division. Resultatet ger igen rest. Svar 108 c) Att multiplicera

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Läs mer

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Läs mer

Stokastiska processer

Stokastiska processer Stokastiska processer Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet Dessa förläsningsanteckningar kommer att behandla diskreta

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 24 januari 2004, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 24 januari 2004, kl. 09.00-13.00 Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 4 januari 004, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare:

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på

Läs mer

9.3. Egenvärdesproblem

9.3. Egenvärdesproblem 9.3. Egenvärdesproblem Problem som innehåller en parameter men endast kan lösas för speciella värden av denna parameter kallas egenvärdesproblem. Vi skall här nöja oss med ett exempel på ett dylikt problem.

Läs mer

1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser

1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida

Läs mer

TAMS79: Föreläsning 4 Flerdimensionella stokastiska variabler

TAMS79: Föreläsning 4 Flerdimensionella stokastiska variabler TAMS79: Föreläsning 4 Flerdimensionella stokastiska variabler Johan Thim (johan.thim@liu.se) 1 november 18 Vi fokuserar på två-dimensionella variabler. Det är steget från en dimension till två som är det

Läs mer

Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14

Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 14 Februari 2014 Disposition ion Funktioner av stokastiska variabler E[aX + b] = ae[x ] + b Var(aX + b) = a 2 Var(X ) E[g(X { )] = x i Ω g(x i)p(x =

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

a) Vad är sannolikheten att det tar mer än 6 sekunder för programmet att starta?

a) Vad är sannolikheten att det tar mer än 6 sekunder för programmet att starta? Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 2008-01-18 1. Ett företag som köper enheter från en underleverantör vet av erfarenhet att en viss andel av enheterna kommer att vara felaktiga. Sannolikheten

Läs mer

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del II

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del II Lösningsförslag till övningsuppgifter del II Obs! Preliminär version! Ö.1. För varje delare d till n låt A d var mängden av element a sådana att gcd(a n = d. Partitionen ges av {A d : d delar n}. n = 6:

Läs mer

Matrisexponentialfunktionen

Matrisexponentialfunktionen U.U.D.M. Project Report 206:2 Matrisexponentialfunktionen Neda Farzaneh Examensarbete i matematik, 5 hp Handledare: Martin Herschend Examinator: Jörgen Östensson Juni 206 Department of Mathematics Uppsala

Läs mer

Vektorer, matriser, nätverk - några elementa

Vektorer, matriser, nätverk - några elementa Vektorer, matriser, nätverk - några elementa Innehåll: Vektorer Radvektorer och kolumnvektorer Operationer med vektorer Input- och outputvektorer i neurala nätverk Utvikning om kompetitiva nät Matriser

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 2015 04 08, kl. 8.00 13.00

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 2015 04 08, kl. 8.00 13.00 REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL0 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 05 04 08, kl. 8.00 3.00. (a) Signalen u har vinkelfrekvens ω = 0. rad/s, och vi läser av G(i0.) 35 och arg G(i0.)

Läs mer

ALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...

ALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14... ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................

Läs mer

Matematik F Ett försök till kursmaterial

Matematik F Ett försök till kursmaterial Matematik F Ett försök till kursmaterial Olle the Greatest Donnergymnasiet, Sverige Skrivet i L A TEXε juni 005 Innehåll Inledning 4 Matematisk grammatik 5. Skriva matematik...........................

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

Grafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann

Grafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann 1 En graf är en struktur av prickar förbundna med streck. Ett tidsenligt exempel på en sådan struktur är ett social nätverk, där prickarna motsvarar personer och en streck mellan två prickar

Läs mer

Exempel. Vi observerar vädret och klassificerar det i tre typer under en följd av dagar. vackert (V) mulet (M) regn (R)

Exempel. Vi observerar vädret och klassificerar det i tre typer under en följd av dagar. vackert (V) mulet (M) regn (R) Exempel Vi observerar vädret och klassificerar det i tre typer under en följd av dagar. vackert (V mulet (M regn (R Exempel Vackert idag vackert imorgon sannolikheten 0.6 Vackert idag mulet imorgon sannolikheten

Läs mer

Stokastiska processer och simulering I 24 augusti

Stokastiska processer och simulering I 24 augusti STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd Matematisk statistik 24 augusti 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 augusti 2016

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk

Läs mer

MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB

MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med kombinationer

Läs mer

Lycka till!

Lycka till! VK Matematiska institutionen avd matematisk statistik TENTAMEN I 5B1555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN 24 MAJ 2006 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7907416. Email: gunnare@math.kth.se

Läs mer

TAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010

TAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010 TAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010 1 1 Stokastiska processer Definition 1.1 En stokastisk process är en familj {X(t);t T } (kan även skrivas {X

Läs mer

k x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p)

k x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2009 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 74 16. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9

ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 STOKASTISKA VARIABLER 1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga: a. X = En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös, där x antar

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19.

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter

Läs mer

DATORÖVNING 4: DISKRETA

DATORÖVNING 4: DISKRETA IDA/Statistik 2008-09-25 Annica Isaksson DATORÖVNING 4: DISKRETA SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR. I denna datorövning ska du illustrera olika sannolikhetsfördelningar samt beräkna sannolikheter i dessa m h a

Läs mer

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (9 uppgifter) Tentamensdatum 2011-10-25 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Lennart

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

1 Stora talens lag. Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT Teori. 1.2 Uppgifter

1 Stora talens lag. Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT Teori. 1.2 Uppgifter Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT-15 Syftet med denna laboration är att du skall bli förtrogen med två viktiga områden

Läs mer

Tentamen MVE265 Matematisk statistik för V, 2013-01-19

Tentamen MVE265 Matematisk statistik för V, 2013-01-19 Tentamen MVE6 Matematisk statistik V, 03-0-9 Tentamen består av åtta uppgifter om totalt 0 poäng. Det krävs minst 0 poäng betyg 3, minst 30 poäng 4 och minst 40. Examinator: Ulla Blomqvist Hjälpmedel:

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter

Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter VK Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter Tomas Ekholm Niklas Eriksen Magnus Rosenlund Matematiska institutionen, 2002 48 Grupper. Lösning 1.1. Vi väljer att studera varje element i G H för

Läs mer

Lotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning

Lotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Ingemar Holgersson Högskolan Kristianstad grupper elever Gr, 7, 9 och. grupp lärarstudenter inriktning matematik Ca i varje grupp Gjord i Israel

Läs mer