Pythagoreiska taltripplar

Transkript

1 Pythagoreiska taltripplar In right-angled triangles the square on the side subtending the right angle is equal to the squares on the sides containing the right angle. Euclid s Elements, Book I, Proposition 47 Euclid Emilia Dunfelt Hermods Distansgymnasium Höstterminen 2017 Handledare Andreas Josefsson

2 Abstract The following paper analyses the properties of the Pythagorean triplets - integer triplets satisfying the Pythagorean theorem. Three questions are reviewed and successfully answered. Several methods for efficiently constructing Pythagorean triplets, primitive as well as nonprimitive, are explored. The most famous, as well as effective method proved to be Euclid s method. Furthermore, possible integer sides of Pythagorean triangles are investigated, resulting in the conclusion that all positive integers n > 2, but no n 2 (mod 4), appear as either a leg or hypotenuse in at least one primitive Pythagorean triplet. Finally, formulas for determining the number of triplets with an integer side n are identified. It is deduced that the frequency of the occurrence of a number as a side in a Pythagorean triangle strongly correlates with its prime factorization. Mainly elementary proofs are used to prove and analyze the properties in question.

3 Innehåll 1 Inledning Syfte och frågeställning Bakgrund Metod Att konstruera pythagoreiska taltripplar Elementära begrepp Taltripplar med mönster Euklides metod Taltripplar med fibonaccital Sidor i pythagoreiska trianglar Den korta kateten Den långa kateten Hypotenusan Antalet trianglar med sidan n Antalet trianglar n kan vara katet i Antalet trianglar n kan vara hypotenusa i Antalet trianglar n kan vara sida i Antalet trianglar med hypotenusa < N Diskussion Slutsats Framtid Tack 23 Referenser 24 Bilaga A Trianglar med hypotenusa 100 Bilaga B Användbara program för TI-84

4 1 Inledning Ett av geometrins allra mest grundläggande samband är Pythagoras sats. Satsen ger ett vackert och samtidigt beundransvärt enkelt samband mellan sidornas kvadrater i en rätvinklig triangel. Redan i grundskolan introduceras Pythagoras sats som ett viktigt koncept inom geometrin, men det är först med en något djupare undersökning av satsen och dess konsekvenser som den nyfikne till fullo slås av dess rikedom och många tillämpningar. Vissa av de rätvinkliga trianglarna är extra lätta att räkna med eftersom alla deras tre sidor är naturliga tal. Dessa kallas för pythagoreiska trianglar, och det visar sig att de även besitter många, intressanta egenskaper. När jag påbörjade arbetet med föreliggande uppsats var de pythagoreiska trianglarna ett för mig relativt okänt område. Under arbetets gång har jag dock, med stigande glädje och förvåning, mötts av olika spännande resultat och en evig källa av ny kunskap kring detta område. Jag hoppas att detta arbete kan skänka denna glädje även till läsaren, och samtidigt uppmuntra och motivera till egna efterforskningar och funderingar kring koncepten som nämns. Förhoppningsvis kommer detta arbete vara till nöje både för de som besitter någorlunda grundläggande kunskaper i matematik, men även för de som är väl bekanta med ämnet. 1.1 Syfte och frågeställning Arbetets syfte är att undersöka de pythagoreiska trianglarna och deras egenskaper. Uppsatsens fokus ligger på de primitiva pythagoreiska taltripplarna, eftersom slutsatser kring icke-primitiva taltripplar ofta kan härledas ur de primitiva. Metoder för att finna och bestämma pythagoreiska taltripplar är till stor del centrum för uppsatsen. Uppsatsens frågeställningar kan därför sammanfattas i följande punkter. Hur kan pythagoreiska taltripplar konstrueras? Vilka tal kan förekomma i pythagoreiska taltripplar? I hur många pythagoreiska trianglar kan talet n vara sida? 1.2 Bakgrund Området pythagoreiska trianglar har en lång historia, kanske en av matematikens längsta. Naturligtvis resulterar detta i att det finns en uppsjö av litteratur i ämnet. Trots att Pythagoras är den som fått ge namn åt den viktiga satsen, återfinns material som tyder på att sambandet upptäckts betydligt 1

5 tidigare än på 500-talet f.kr. då Pythagoras levde. Det tidigaste beviset för att människor haft kunskap om de pythagoreiska talen härstammar från ca 1800 år f.kr. På babyloniska stentavlor hittar man en lista med pythagoreiska tal. Utöver detta finns det även spår av människors kunskap om dessa tal från exempelvis Kina och Indien, även om den första riktiga formeln för att generera pythagoreiska taltripplar presenteras i Euklides Elementa, skriven först på 300-talet f.kr. [5] I detta arbete har flera verk använts som grund för de matematiska undersökningarna. Målet är att i så stor utsträckning som möjligt på egen hand bevisa och förklara de flesta teorier och satser. I vissa fall är det dock motiverat att använda den litteratur som finns i ämnet för att ge en mer fördjupande förklaring och analys av begrepp och satser. Framförallt har verken Mathematics and Its History av John Stillwell [5], Recreations in the Theory of Numbers: the Queen of Mathematics Entertains av Albert H. Beiler [1] och An Introduction to the Theory of Numbers av G. H. Hardy och E. M. Wright [2] använts för att förklara olika satser och begrepp. Utöver detta har artiklarna Asymptotic Evaluation of Certain Totient Sums [4] av Lehmer och Fibonacci Number Triples av Hordaham [3] använts för att besvara och undersöka enstaka frågor i uppsatsen. 1.3 Metod De pythagoreiska talen undersöks först och främst genom att utgå ifrån fakta och satser i litteraturen. Dessa satser undersöks matematiskt och bevisas. I vissa fall används räknaren TI-84 till att skriva enklare program för att utföra olika beräkningar. Även programmet GeoGebra 5 används för att skapa simuleringar av matematiska situationer, samt för att skapa upplysande bilder. I uppsatsen används begreppen pythagoreisk taltrippel och pythagoreisk triangel i stort sett synonymt, ordet triangel används dock ofta för att belysa den geometriska konstruktionen. Resultaten grundar sig på olika litterära källor, varför arbetet delvis kan ses som en litteraturstudie. De verk som valts ut till uppsatsen är alla författade av erkända matematiker, och hänvisas till i andra artiklar om ämnet. Genom sökningar i biblioteksdatabasen Primo har intressanta och relevanta verk hittats. Efterforskningar på källornas upphovsmän resulterar i trovärdiga resultat vilket innebär att de använda verken utgör en lämplig grund för arbetet. 2

6 2 Att konstruera pythagoreiska taltripplar 2.1 Elementära begrepp För att kunna förstå och undersöka de pythagoreiska taltripplarna, krävs förståelse även för Pythagoras sats. Satsen ger ett enkelt samband mellan de tre sidorna i en rätvinklig triangel. Sats 2.1. För tre sidor a, b och c i en rätvinklig triangel gäller följande samband a 2 + b 2 = c 2 där a och b utgör kateter och c utgör triangelns hypotenusa. Bevis. Det finns otaliga bevis för Pythagoras sats, varav många är geometriska. Med hjälp av följande konstruktion kan Pythagoras sats bevisas på två sätt - dels geometriskt och dels algebraiskt. I den första figuren syns fyra trianglar, Figur 1. Bevis av Pythagoras sats. [5] och en inre kvadrat med arean c 2. I nästföljande figur har de fyra trianglarna flyttats och nu finns det i stället två mindre inre kvadrater a 2 och b 2. Av detta kan slutsatsen dras att a 2 + b 2 = c 2. Det går även att se att arean av den yttre kvadraten i den första figuren är (a+b) 2. Detta motsvarar summan av den inre kvadratens area och areorna hos de fyra trianglarna, enligt ( ) ab (a + b) 2 = c = c 2 + 2ab, 2 vilket innebär att a 2 + b 2 = c 2. 3

7 Således kan två tal, a och b, utgöra kateter i en rätvinklig triangel och längden på hypotenusan, c, kan beräknas med hjälp av Pythagoras sats. I en pythagoreisk triangel är både a, b och c heltal, vilket gör dessa trianglar till specialfall av Pythagoras sats. De tre talen (a, b, c) kallas för en pythagoreisk taltrippel. Den mista pythagoreiska taltrippeln är (3, 4, 5). Multipler av pythagoreiska taltripplar resulterar i nya pythagoreiska trianglar, (6, 8, 10) är exempel på en sådan. Därför kan slutsatsen dras att det finns ett oändligt antal pythagoreiska taltripplar eftersom man från trippeln (a, b, c) kan framställa nya tripplar (na, nb, nc). De pythagoreiska taltripplar vars tal inte har någon gemensam faktor kallas för primitiva, detta gör trippeln (3, 4, 5) till en primitiv pythagoreisk taltrippel [1]. Med hjälp av program 2 i Bilaga B är det möjligt att undersöka om en pythagoreisk taltrippel är primitiv eller inte. 2.2 Taltripplar med mönster Det finns många olika sätt att framställa pythagoreiska taltripplar. En metod är att identifiera återkommande mönster och använda dessa för att framställa nya taltripplar. Ett exempel på ett sådant mönster är att den större kateten, b, och hypotenusan, c, följer på varandra samt att den minsta kateten, a, är ett udda tal. En sådan taltrippel skulle kunna skrivas (a, b, b + 1), där a är ett udda tal 3. Med hjälp av detta samband är det alltså möjligt att generera tripplar som (3, 4, 5), (5, 12, 13) och (7, 24, 25). Bevis. Eftersom a är ett udda tal kan det skrivas som a = 2n + 1, där n 1. Ett led i att kunna bevisa att det går att finna pythagoreiska tripplar som uppvisar mönstret (a, b, b+1) är att hitta ett samband mellan a och b. Detta kan göras genom att utgå ifrån Pythagoras sats. Enligt satsen vet vi att a 2 + b 2 = (b + 1) 2, vilket innebär att b = a2 1 = 2n 2 + 2n. 2 Utifrån detta kan de tre talen undersökas med hjälp av Pythagoras sats. a 2 + b 2 = (2n + 1) 2 + (2n 2 + 2n) 2 = 4n 4 + 8n 3 + 8n 2 + 4n + 1 c 2 = (2n 2 + 2n + 1) 2 = 4n 4 + 8n 3 + 8n 2 + 4n + 1 a 2 + b 2 = (b + 1) 2 Det är därför möjligt att generera pythagoreiska trianglar som uppfyller (a, b, b + 1), där a är ett udda tal, för olika heltalsvärden på a och b. 4

8 Exempel 2.1. Låt oss nu konstruera en triangel av typen (a, b, b + 1). Om a = 25 så kan det fastställda sambandet mellan a och b användas för att beräkna längden på sidan b. b = a2 1 = = Detta ger taltrippeln (25, 312, 313). Genom att köra talen i program 2 i Bilaga B verifieras att det verkligen är en pythagoreisk taltrippel. Den visar sig dessutom vara primitiv. Ytterligare ett mönster som kan urskiljas när man tittar närmare är att det ofta förekommer taltripplar där skillnaden mellan kateten b och hypotenusan c är 2, samt där kateten a är ett jämnt tal. Dessa taltripplar kan skrivas som (a, b 1, b + 1), där a är ett jämnt tal. Detta samband ger bland annat de pythagoreiska taltripplarna (6, 8, 10), (8, 15, 17) och (10, 24, 26). Bevis. Enligt samma resonemang som tidigare kan a skrivas som a = 2n, eftersom det är ett jämnt tal, där n 3. Sambandet mellan a och b kan, liksom tidigare, hittas med hjälp av Pythagoras sats. a 2 + (b 1) 2 = (b + 1) 2 Detta innebär att b = a2 4 = n2. Nu kan talen undersökas för att verifiera att de uppfyller Pythagoras sats. a 2 + (b 1) 2 = (2n) 2 + (n 2 1) 2 = n 4 + 2n (b + 1) 2 = (n 2 + 1) 2 = n 4 + 2n a 2 + (b 1) 2 = (b + 1) 2 Det finns alltså ett oändligt antal pythagoreiska taltripplar av formen (a, b 1, b + 1), där a är ett jämnt tal. Exempel 2.2. För att konstruera en taltrippel av typen (a, b 1, b + 1) väljs inledningsvis ett värde för a. Om a = 32 kan sambandet mellan a och b användas för att bestämma b. b = a2 4 = = 256 Detta ger taltrippeln (32, 255, 257) som då den körs i program 2 i Bilaga B visar sig vara en primitiv taltrippel. Det finns fler mönster att upptäcka hos de pythagoreiska trianglarna, läsaren uppmanas att själv undersöka de mönster som går att hitta för att på så sätt kunna hitta egna metoder att framställa taltripplar av en vis typ. Till dylika undersökningar kan listan över alla pythagoreiska trianglar med hypotenusa 100 i Bilaga A vara till nytta. 5

9 2.3 Euklides metod De metoder som användes i förra avsnittet för att konstruera pythagoreiska taltripplar byggde på att finna återkommande mönster. Denna metod, om än intressant, är dock inte särskilt effektiv för att finna alla pythagoreiska taltripplar. För att finna andra metoder som fungerar bättre krävs ett annat resonemang. Pythagoreiska taltripplar är tal som uppfyller Sats 2.1. Detta kan, efter division med c, skrivas om till ( ) 2 a + c ( ) 2 b = 1. c Låt nu a c = x och b c = y, vilket ger x 2 + y 2 = 1, det vill säga enhetscirkelns ekvation. Den rationella parametriseringen av denna är x = 1 t2 1 + t, y = 2t t 2 för olika värden på t = q, där p och q är naturliga tal [5]. Följaktligen går p det att hitta ett sätt att uttrycka a, b och c med hjälp av p och q. Vilket ger följande sats: x = a c = 1 t2 1 + t = p2 q 2 2 p 2 + q 2 y = b c = 2t 1 + t = 2pq 2 p 2 + q 2 Sats 2.2. Alla primitiva pythagoreiska taltripplar, (a, b, c), kan konstrueras genom a = p 2 q 2, b = 2pq, c = p 2 + q 2, där p och q är tal av olika paritet, p > q, samt GCD(p, q) = 1. 6

10 Detta kallas ibland för Euklides formel och genererar alla primitiva, samt vissa icke-primitiva, pythagoreiska taltripplar för olika värden på p och q. De flesta icke-primitiva taltripplar kan konstrueras genom att p och q har lika paritet eller genom att talen inte är relativt prima. Ett enkelt bevis för Sats 2.2. följer nedan. Bevis. Låt c vara hypotenusa i en primitiv pythagoreisk taltrippel. Det gäller då att c = p 2 + q 2 = (p + qi)(p qi). Detta ger c 2 = (p + qi) 2 (p qi) 2 = (p 2 + 2pqi q 2 )(p 2 2pqi q 2 ) = (p 2 q 2 ) 2 + (2pq) 2. Så Sats 2.2. visar sig vara sann då hypotenusan c faktoriseras i ringen av gaussiska tal. Alla multipler av de primitiva pythagoreiska taltripplarna kan som sagt inte konstrueras med hjälp av Sats 2.2., bland annat är det inte möjligt att finna trippeln 3 (3, 4, 5) = (9, 12, 15) för några värden på p och q. För att lösa detta problem kan Sats 2.2. skrivas som a = r(p 2 q 2 ) b = 2pqr c = r(p 2 + q 2 ) för något heltalsvärde på r. Detta är alltså en generell metod för att konstruera pythagoreiska taltripplar. I Bilaga B hittas program 1 som konstruerar pythagoreiska taltripplar med hjälp av Euklides formel. Exempel 2.3. En pythagoreisk taltrippel kan konstrueras med Euklides metod genom att först välja två värden för p och q. Låt p = 17 och q = 12, detta borde generera en primitiv pythagoreisk taltrippel. a = = 145 b = = 408 c = = 433 Detta ger taltrippeln (145, 408, 433), som mycket riktigt visar sig vara primitiv då den körs i program 2. 7

11 2.4 Taltripplar med fibonaccital Ytterligare ett sätta att generera pythagoreiska taltripplar, som bevisats av Alwyn Horadam, är med hjälp av fibonaccitalen. I Fibonaccis talserie motsvarar varje tal summan av de två föregående talen. De första talen i serien är 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8 och 13. Hordaham visade att pythagoreiska taltripplar kan konstrueras på följande vis: Sats 2.3. Primitiva pythagoreiska taltripplar kan konstrueras genom (H n H n+3 ) 2 + (2H n+1 H n+2 ) 2 = (2H n+1 H n+2 + H 2 n) 2 där H n, H n+1, H n+2 och H n+3 är fyra på varandra följande tal i Fibonaccis talserie [3]. Med hjälp av fibonaccitalen kan alla primitiva pythagoreiska taltripplar konstrueras, på samma sätt som med Euklides formel. Bevis. Låt (p q), q, p och (q+p) vara fyra på varandra följande fibonaccital. Enligt Sats 2.3. ger detta a = (p q)(q + p) = p 2 q 2 b = 2pq c = 2qp + (p q) 2 = p 2 + q 2 vilket känns igen från Sats 2.2. som Euklides formel. Detta innebär alltså att hos fyra fibonaccital motsvarar det andra och det tredje av fibonnacitalen p och q i Euklides formel. Exempel 2.4. Genom att först välja fyra fibonaccital kan en pythagoreisk taltrippel framställas. Vi använder fibonaccitalen, H n = 21, H n+1 = 34, H n+2 = 55 och H n+3 = 89. (21 89) 2 + ( ) 2 = ( ) = Detta ger alltså den primitiva pythagoreiska taltrippeln (1869, 3740, 4181). 3 Sidor i pythagoreiska trianglar Inledningsvis är det givande att undersöka hur sidornas paritet förhåller sig i primitiva såväl som icke-primitiva pythagoreiska taltripplar.vid en granskning verkar de bara förekomma som (udda, jämn, udda), (jämn, udda, udda) och (jämn, jämn, jämn). 8

12 Sats 3.1. I primitiva pythagoreiska taltripplar, (a, b, c), är c alltid udda, och en av kateterna a och b är udda. Bevis. Beviset är relativt enkelt att förstå. Villkoret utifrån Euklides formel är att p och q har olika paritet, att p > q samt att GCD(p, q) = 1. Kateten b = 2pq och kommer därför att vara ett jämnt tal. Därför måste den andra kateten a ges av p 2 q 2. Då p och q har olika paritet resulterar det i att a = (2n + 1) 2 (2m) 2 = 2(2n 2 + 2n 2m 2 ) + 1, vilket innebär att a är ett udda tal. Detta ger också en udda hypotenusa, c, eftersom (2i+1) 2 +(2j) 2 = 4(i 2 + i + j 2 ) + 1. Sats 3.2. För alla pythagoreiska taltripplar, (a, b, c), gäller antingen att c är udda och att a eller b är udda, eller att a, b, och c alla är jämna tal. Bevis. Det har redan visats att en av kateterna är jämn, b = 2pq, och eftersom hypotenusans paritet ges av kateternas behöver pariteten hos a undersökas. Som visats ovan ger en udda katet a en udda hypotenusa. Om a är ett jämnt tal innebär det att pariteten hos p och q är lika. Pariteten hos hypotenusan blir då (2n) 2 + (2m) 2 = 4(n 2 + m 2 ), vilket alltså innebär att alla tre sidorna är jämna. 3.1 Den korta kateten För att komma igång med undersökningen av sidornas längd i de pythagoreiska trianglarna kan listan i Bilaga A vara till hjälp. Efter en stunds granskning blir det tydligt att de enda tal som inte tycks förekomma som katet i någon pythagoreisk triangel är talen 1 och 2 samt talet 4 som inte förekommer som minsta katet. Vi formulerar och bevisar detta med följande lemma: Lemma 3.1. Talen 1 och 2 kan inte utgöra katet i någon pythagoreisk triangel, och talet 4 kan inte utgöra minsta katet. Bevis. Om talet 1 ska kunna vara katet i någon pythagoreisk triangel innebär det att likheten 1 = c 2 a 2, då b = 1 utan inskränkning av allmängiltigheten, måste uppfyllas för två heltal c och a. Att differensen mellan talens kvadrater är 1 innebär att de följer på varandra, vilket inte är möjligt för två kvadrattal. Den minsta möjliga differensen mellan två på varandra följande kvadrattal n och (n + 1) är (2n + 1), alltså är det omöjligt att talet 1 är katet i en pythagoreisk triangel. På samma sätt, om talet 2 är katet i en pythagoreisk triangel får vi likheten 4 = c 2 a 2. Detta skulle dels kunna innebära att c = 2 samt att a = 0, vilket inte är möjligt. Om uttrycket faktoriseras uppstår följande två 9

13 likheter c + a = 2 och c a = 2, vilket inte är möjligt för några heltalsvärden på a och c. Alltså kan inte heller 2 vara katet i någon pythagoreisk triangel. Det finns två sätt som talet 4 kan vara katet i en pythagoreisk triangel enligt Euklides formel. Det första alternativet innebär likheten 4 = p 2 q 2, detta innebär att p = 2 och q = 0 vilket är omöjligt i en pythagoreisk triangel. Det andra alternativet är att 4 = 2pq, vilket leder till att p = 1 och q = 2, men dessa två värden på p och q leder till den pythagoreiska taltrippeln (3, 4, 5). Således kan inte talet 4 vara minsta katet i någon pythagoreisk triangel. Låt oss nu gå vidare med problemet och avgöra vilka tal som kan utgöra minsta katet i de pythagoreiska trianglarna, med hjälp av följande sats: Sats 3.3. Alla tal n > 2, utom tal n 2 (mod 4) och talet 4, kan utgöra minsta katet i primitiva pythagoreiska trianglar. Bevis. För att avgöra om ett tal, n, kan vara minsta katet i en pythagoreisk triangel kan de olika möjliga pariteterna för sidans längd undersökas. Beviset delas upp i två fall. 1. Talet n är udda Låt den korta kateten a = n, där n är ett udda tal. För att detta ska gälla enligt Euklides formel är Detta ger sidorna p = n + 1 2, q = n 1. 2 b = n2 1, c = n Resultatet kan kontrolleras med Pythagoras sats, vilket ger ( ) n a 2 + b 2 = n = n4 + 2n ( ) n c = = n4 + 2n a 2 + b 2 = c 2 Här blir det också tydligt att det udda talet blir minsta katet medan den andra kateten är ett jämnt tal samt hypotenusan är udda, vilket stämmer med Sats 3.1. Det är alltså möjligt att skriva alla udda tal som en differens av två kvadrater. Enligt Euklides formel kan den udda 10

14 kateten ges av n = p 2 q 2, där p och q har olika paritet, gcd(p, q) = 1, samt p > q. Detta betyder antingen att n kan skrivas som 4m + 1 eller 4m 1 för något naturligt tal m. Alltså innebär det att för udda n är n 1 (mod 4) eller n 3 (mod 4). 2. Talet n är jämnt Om den korta kateten är ett jämnt tal kan dess längd ges av ekvationen a = 2pq, där exempelvis q = 1. Detta innebär, enligt Euklides formel att a = 2p, b = p 2 1 och c = p Eftersom q i det här fallet är ett udda tal måste p vara ett jämnt tal om triangeln ska vara primitiv, vilket innebär att den minsta kateten a 0 (mod 4). De andra två sidorna är udda tal, vilket stämmer med Sats 3.1. De andra jämna talen (exempelvis talet 6) kan skrivas som en produkt av 2 och ett udda tal, 2(2m + 1). Om denna sida ges av 2pq måste p och q ha lika paritet för att deras produkt ska kunna ge det udda talet 2m + 1. Om 2(2m + 1) istället ges av p 2 q 2 leder det också till slutsatsen att p och q måste ha samma paritet, vilket innebär att det inte är en primitiv taltrippel. Alltså kan endast jämna tal n 0 (mod 4) utgöra minska katet i primitiva pythagoreiska trianglar. 3.2 Den långa kateten En inledande observation vad gäller den långa kateten, b, är att alla tal tycks vara sammansatta, det verkar med andra ord inte finnas något primtal i mängden av alla långa kateter. Sats 3.4. Alla tal b, som uppfyller Pythagoras sats a 2 + b 2 = c 2 är sammansatta tal. Bevis. Vi utför ett motsägelsebevis. Antag att det finns primtal i mängden av alla långa kateter. Dessa måste ges av b = p 2 q 2, eftersom b = 2pq omöjligt kan ge ett primtal. Om uttrycket faktoriseras som b = (p + q)(p q) blir det tydligt att uttrycket (p q) måste vara enheten 1 om b är ett primtal. Kateten b kan då uttryckas som b = (q + 1) 2 q 2 = 2q + 1. Den andra kateten a blir då a = 2(q + 1)q = 2q 2 + 2q. Det visar sig nu att a > b eftersom 2q 2 + 2q > 2q + 1. Alltså är talet a den mellersta kateten om talet b är ett primtal. Längden hos den långa kateten kan beskrivas av två olika satser beroende på dess paritet. 11

15 Sats 3.5. Kateten b = 2pq är ett jämnt tal, b 0 (mod 4), i en primitiv pythagoreisk taltrippel, då p < (1 + 2)q. Bevis. Om b är ett jämnt tal ges kateten av uttrycket 2pq. Detta ger olikheten p 2 q 2 < 2pq. Denna löses p 2 q 2 < 2pq p 2 2pq q 2 < 0 t 2 2t 1 < 0 för t = p q t < p < (1 + 2)q Utöver detta gäller som tidigare att p > q samt p > 0 och q > 0. Eftersom b ges av 2pq gäller det också att b 0 (mod 4). Sats 3.6. Kateten b = mn är ett udda tal, b 1 (mod 4) eller b 3 (mod 4), då m < (1 + 2)n. Bevis. Enligt Sats 3.4. är b ett sammansatt tal, och då b är udda kan talet därför skrivas b = mn för två udda tal m och n. Detta innebär också att b 1 (mod 4) eller b 3 (mod 4). För att kunna finna villkoret för att b ska vara den udda mellersta kateten måste uttryck för sidorna a och c hittas. Eftersom b är en produkt av två udda tal innebär det enligt Euklides formel att b = p 2 q 2 = (p + q)(p q), alltså är m = p + q och n = p q. Pythagoras sats ger dessutom likheten b 2 = c 2 a 2 = (c + a)(c a), vilket ger { c + a = m 2 c a = n 2. Detta resulterar i den pythagoreiska taltrippeln ( m 2 n 2 2, mn, m2 + n 2 2 För att b = mn ska vara den största kateten krävs det nu att olikheten m 2 n 2 2 < mn uppfylls. Denna olikhet kan lösas med hjälp av andragradsekvationen t 2 2t 1 = 0 på samma sätt som i beviset av Sats 3.5, detta ger olikheten 12 ).

16 m < (1 + 2)n. Utöver detta gäller naturligtvis även att m > n samt n > 0. Det är även möjligt att återsubstituera p och q i olikhetsuttrycket, vilket dock ger det mindre lättlästa uttryck som visas i följdsatsen nedan. Följande följdsats sammanfattar vilka tal som kan utgöra den längre kateten b. Följdsats 3.1. Talet n kan utgöra den långa kateten i primitiva pythagoreiska trianglar då 2pq för p < (1 + 2)q n = 2p p 2 q 2 för q < Hypotenusan Att bestämma vilka tal som kan vara hypotenusa, c, i en pythagoreisk taltrippel, är en betydligt mer komplicerad fråga att besvara än att avgöra vilka tal som kan vara kateter. Det handlar om att hitta tal som går att skriva som en summa av två heltalskvadrater, men som samtidigt är kvadrater själva. Problemet kan först ses som ett problem att finna alla tal som kan skrivas som en summa av två kvadrater. Genom att titta på Diofantos teori för produkten av summan hos två kvadrater kan man inse att problemet rör sig om att finna de primtal som kan skrivas som en summa av två kvadrater. Diofantus upptäckte följande samband (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd) 2 + (ad bc) 2 = (ac bd) 2 + (ad + bc) 2. Produkten av två olika tvåkvadratstal resulterar i ytterligare två nya tvåkvadratstal. [5] Ser man till de pythagoreiska trianglarna betyder detta att produkten av två hypotenusor ger ytterligare två pythagoreiska trianglar med samma hypotenusa. Därför gäller det att finna de primfaktorer som går att skriva som summan av två kvadrater, eftersom dessa kan ge alla andra hypotenusor. Detta problem löstes av Pierre de Fermat på 1600-talet: Sats 3.7. Ett primtal, p 1 (mod 4), kan skrivas som en summa av två kvadrater. 13

17 Det första beviset till denna sats gavs av Euler.[5] Ett mycket uttömmande bevis för denna sats finns bland annat att läsa i An Introduction to the Theory of Numbers av G. H. Hardy och E. M. Wright, kapitel 20 [2]. Denna typ av primtal kallas för pythagoreiska primtal, och är alltså de pythagoreiska primfaktorer vi ursprungligen sökte. Exempel 3.1. Ett pythagoreiskt primtal p 1 (mod 4), är talet 41. Detta tal kan skrivas som en summa av två kvadrater eftersom 41 = Därför kan talet även utgöra hypotenusa i den pythagoreiska triangel som Euklides formel ger för p = 5 och q = 4, det vill säga den primitiva trippeln (9, 40, 41). Med hjälp av Fermats sats blir det alltså tydligt att alla primtal p 1 (mod 4) kan vara hypotenusor i pythagoreiska trianglar. Frågan är nu hur alla tal som kan vara hypotenusa i primitiva taltripplar kan hittas. Sats 3.8. Om p är ett pythagoreiskt primtal, p 1 (mod 4), kan även alla tal p k vara hypotenusa i en primitiv pythagoreisk triangel. Bevis. Genom induktion. Låt p vara ett pythagoreiskt primtal p = a 2 + b 2, där a och b har olika paritet samt saknar gemensam nämnare. Induktionshypotesen, P (k), är att p k = x 2 + y 2, där x och y saknar gemensam nämnare samt har olika paritet. Induktionsbas: Bassteget, P (1), stämmer eftersom p 1 = a 2 + b 2. Induktionssteg: Antag nu att P (k) är sant, fallet P (k + 1) ger då p k+1 = p 1 p k = (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 + (ay bx) 2 = (ax by) 2 + (ay + bx) 2 vilket bevisar att hypotesen håller för P (k + 1). Så påståendet stämmer för k 1. Sats 3.9. Om p 1, p 2,..., p n är pythagoreiska primtal, p i 1 (mod 4), kan även produkten av flera pythagoreiska primtal, c = p k 1 1 p k p k n 1 n 1 p kn n vara hypotenusa i en primitiv pythagoreisk triangel. Bevis. Genom stark induktion. Låt p vara ett pythagoreiskt primtal p = c 2 + d 2, där c och d har olika paritet samt är relativt prima. Induktionshypotesen, P (n), är att produkten q = p k 1 1 p k p k n 1 n 1 p kn n kan skrivas som 14

18 q = x 2 + y 2, där x och y saknar gemensam nämnare samt har olika paritet. Induktionsbas: Bassteget, P (1), stämmer eftersom p k 1 1 = (c 2 + d 2 ) k 1, vilket enligt tidigare Lemma kan utgöra hypotenusa i en primitiv pythagoreisk triangel. Induktionssteg: Antag nu att P (1), P (2),..., P (n) stämmer. P (n + 1) ger då p k 1 1 p k p kn n p k n+1 n+1 = (x 2 + y 2 )p k n+1 n+1 Låt nu p k n+1 n+1 = a 2 + b 2, detta ger (x 2 + y 2 )p k n+1 n+1 = (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 + (ay bx) 2 = (ax by) 2 + (ay + bx) 2 vilket bevisar att hypotesen håller för P (n + 1). Alltså stämmer påståendet för P (n). Efter dessa satser är vi nu framme vid den slutliga satsen som är en naturlig följd av de två tidigare bevisen. Följdsats 3.2. Talet c är hypotenusa i en primitiv pythagoreisk triangel om och endast om alla dess primfaktorer är pythagoreiska p 1 (mod 4). Exempel 3.2. Om flera pythagoreiska primtal multipliceras samman fås ett tal som kan utgöra hypotenusa i en primitiv pythagoreisk taltrippel. c = = 6205 Då detta tal körs i program 3 i Bilaga 2 visar det sig att det kan utgöra hypotenusa i fyra olika primitiva pythagoreiska trianglar. Det går nu att notera att alla tal n > 2 utom tal n 2 (mod 4) kan utgöra sida i någon primitiv pythagoreisk triangel. För primitiva och ickeprimitiva pythagoreiska taltripplar gäller det därför att alla tal n > 2 kan utgöra sida. Detta eftersom alla jämna tal kan ges av n = 2pq där p = 1 och q = n, och de udda talen ges av n = 2 p2 q 2 där p = n+1 och q = n Som slutsats är det även värt att besvara frågan om vilka tal som kan vara hypotenusa i icke-primitiva pythagoreiska trianglar. Det har tidigare nämnts att för en pythagoreisk taltrippel (a, b, c) finns det ytterligare ett oändligt antal taltripplar (na, nb, nc). Detta innebär alltså att om c är sammansatt av enbart pythagoreiska primfaktorer och multipliceras med ett tal utan primfaktorer p 1 (mod 4), kan även detta tal, nc, utgöra hypotenusa - men endast i icke-primitiva trianglar. 15

19 4 Antalet trianglar med sidan n 4.1 Antalet trianglar n kan vara katet i Som tidigare nämnts kan alla tal > 2 utgöra katet i icke-primitiva pythagoreiska trianglar. När de pythagoreiska trianglarna undersöks framkommer det också att vissa tal förekommer oftare som kateter än andra tal. Ett exempel på ett ganska vanligt tal är talet 12, som förekommer fyra gånger som katet (se Bilaga A). Detta avsnitt behandlar frågan om hur antalet gånger ett tal förekommer som katet i en pythagoreisk triangel kan bestämmas. Sats 4.1. Det finns K p (n) = { 2 r 1 0 för n 2 (mod 4) antal primitiva pythagoreiska trianglar med kateten n, då n har den entydiga primtalsfaktoriseringen n = p e 1 1 p e p er r, samt n > 2. Bevis. Beviset delas in i två fall beroende på pariteten hos n. 1. Talet n är jämnt I primitiva pythagoreiska trianglar ges den jämna kateten av uttrycket n = 2pq. Eftersom p och q har olika paritet, samt p > q, gäller det också att n 4. Därför förekommer det inga kateter av formen n 2 (mod 4). Mängden P(n) av alla primfaktorer till talet n innehåller r stycken element. Eftersom n = 2pq kan primtalsfaktorerna för talet n delas in i två delmängder, p och q. Antalet möjliga delmängder hos en mängd med r element beräknas som summan av antalet kombinationer av s element valda bland r element, för s = 1, 2,..., r. Det vill säga r ( ) r = 2 r. s s=0 Denna ekvation ger dock alla delmängder av P(n), varav hälften motsvarar de alternativ då q > p. Därför måste uttrycket halveras, vilket ger då n är ett jämnt tal n 4. K p (n) = 2r 2 = 2r 1, 2. Talet n är udda I primitiva pythagoreiska trianglar ges den udda kateten av n = p 2 16

20 q 2 = (p + q)(p q). Detta innebär att dess primfaktorer kan delas in i två mängder (p + q) och (p q), på samma sätt som ovan, där (p + q) > (p q) samt båda är udda. Liksom tidigare ger detta K p (n) = 2r 2 = 2r 1. Exempel 4.1. Låt n = 36, talet kan då faktoriseras enligt n = Eftersom n har två primfaktorer kan det utgöra katet i = 2 primitiva pythagoreiska trianglar. I Bilaga A återfinns mycket riktigt en av de två primitiva tripplarna (36, 77, 85). Den andra primitiva taltrippeln är (36, 323, 325). En sats för att avgöra hur i hur många primitiva och icke-primitiva trianglar n kan vara katet i presenteras i A. H. Beilers Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, kapitel 14 [1]: Sats 4.2. Det finns { 1 ((2e )(2e 1 + 1)(2e 2 + 1)... (2e r + 1) 1) för jämna n K(n) = 1 ((2e )(2e 2 + 1)(2e 3 + 1)... (2e r + 1) 1) för udda n antal pythagoreiska trianglar med kateten n, där n kan faktoriseras som n = 2 e 0 p e 1 1 p e p er r. 4.2 Antalet trianglar n kan vara hypotenusa i För att kunna avgöra i hur många primitiva pythagoreiska trianglar ett tal n kan vara hypotenusa i krävs det flera steg. Enligt Följdsats 3.2. känner vi till att hypotenusor i primitiva pythagoreiska trianglar är en produkt av primtal p 1 (mod 4). Innan antalet primitiva pythagoreiska taltripplar med hypotenusan n bestäms, presenteras några inlednade hjälpsatser som rör de gaussiska talen. Gaussiska tal är komplexa tal z = a + bi där både a och b är heltal. Den euklidiska ringen av gaussiska heltal brukar betecknas Z[i]. Lemma 4.1. Om normen, N(z) = p, av ett gaussiskt heltal, z = a + bi, är ett primtal i Z, är z ett primtal i Z[i]. 17

21 Bevis. Ett gaussiskt primtal är ett tal som inte vidare går att faktorisera i ringen av gaussiska tal. Låt z = uw vara ett gaussiskt tal med normen N(z) = p, där p är ett primtal i Z. På grund av normens multiplikativitet ger detta N(z) = N(u)N(w) = p. Eftersom p är ett primtal i Z kan N(w) = 1 utan inskränkning av allmängiltigheten. Detta innebär att w är en enhet i Z[i], och således är z ett primtal i Z[i]. Lemma 4.2. Alla gaussiska tal z, där N(z) > 1, har en unik, entydig primtalsfaktorisering z = p 1 p 2... p n, undantaget faktorernas ordning samt förekomsten av associerade primtal. Bevis. Genom välordningsaxiomet. Antag att det finns gaussiska heltal som inte kan faktoriseras på ett unikt sätt, låt C beteckna mängden av alla dessa tal. I enlighet med välordningsaxiomet finns det nödvändigtvis ett minsta element z C. Detta element kan faktoriseras på ett icke-unikt sätt, enligt z = p 1 p 2... p m = q 1 q 2... q n. Men eftersom primfaktorn p i z och q 1 z så p i q 1. Detta betyder att primtalen p i och q 1 är associerade, det vill säga att p i = eq 1, där e är en enhet i Z[i]. Detta resulterar i det gaussiska talet u = p 2... p m = eq 1 q 2... q n. Men det betyder att N(u) < N(z) och alltså att det inte finns något minsta element i mängden C, och således heller inget gaussiskt heltal med en icke-unik primtalsfaktorisering. Nu återgår vi till att undersöka de primitiva pythagoreiska trianglarna och deras hypotenusor. Lemma 4.3. Det finns inget primtal p 1 (mod 4) som kan utgöra hypotenusa i fler än en pythagoreisk triangel. Bevis. Om det pythagoreiska primtalet p kan utgöra hypotenusa i fler än en triangel uppfyller det likheten p = s 2 + t 2 = u 2 + v 2. Det gör att p kan faktoriseras i Z[i] enligt p = (s + ti)(s ti). Låt z = s + ti vara ett gaussiskt heltal, eftersom N(z) är ett primtal i Z innebär det att z är ett gaussiskt primtal, enligt Lemma 4.1. Men om p även kan faktoriseras som p = (u + vi)(u vi) innebär det även att w = u + vi är ett gaussiskt primtal. Enligt Lemma 4.2. är dock primtalsfaktoriseringen i Z[i] unik frånsett förekomsten av associerade tal, därför är s + ti = e(u + vi), där e är en enhet. Detta innebär att z och w är samma primtal i Z[i] och därför kan talet p bara utgöra hypotenusa i en pythagoreisk triangel. Sats 4.3. Om talet n kan faktoriseras som n = p e 1 1 p e p er r, där alla p är pythagoeriska primtal p 1 (mod 4), kan n vara hypotenusa i exakt primitiva pythagoreiska trianglar. H p (n) = 2 r 1 18

22 Bevis. Om n = p 1 innebär det att n är ett pythagoreiskt primtal som enligt Lemma 4.3. kan utgöra hypotenusa på exakt ett sätt. Detta ger r = 1 så = 1. Enligt Diofantos teori är det också sant att då n = p 1 p 2 kan n utgöra hypotenusa på exakt två sätt eftersom (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd) 2 + (ad bc) 2 = (ac bd) 2 + (ad + bc) 2 Vilket innebär att r = 2 så = 2. På samma sätt går det att fortsätta upp till r och det blir tydligt att H p (n) = 2 r 1. Exempel 4.2. I Exempel 3.2 togs talet 6205 som exempel på ett tal som endast har pythagoreiska primfaktorer eftersom 6205 = Med hjälp av program 3 i Bilaga B bestämdes att talet utgör hyptenusa i fyra olika primitiva pythagoreiska taltripplar. Detta kan nu också verifieras med hjälp av Sats 4.3. H p (6205) = = 4 Alltså finns det fyra primitiva tripplar med hypotenusan I A. H. Beilers Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, kapitel 14 [1], presenteras en sats för att bestämma i hur många primitiva och icke-primitiva pythagoreiska trianglar n kan vara hypotenusa. Sats 4.4. Det finns H(n) = 1 2 ((2e 1 + 1)(2e 2 + 1)(2e 3 + 1)... (2e r + 1) 1) antal pythagoreiska trianglar med hypotenusan n, där n kan faktoriseras n = 2 e 0 p e 1 1 p e p er r q f 1 1 q f qs fs där p i 1 (mod 4) och q i 3 (mod 4). 4.3 Antalet trianglar n kan vara sida i Med hjälp av slutsatserna i de föregående avsnitten är det lätt att bestämma i hur många pythagoreiska trianglar n kan vara sida. Sats 4.5. Talet n kan vara antingen katet eller hypotenusa i exakt primitiva pythagoreiska trianglar. S p (n) = K p (n) + H p (n) 19

23 På samma sätt är det möjligt att bestämma i hur många primitiva och icke-primitiva trianglar n kan vara sida. Sats 4.6. Talet n kan vara antingen katet eller hypotenusa i exakt pythagoreiska trianglar. S(n) = K(n) + H(n) 4.4 Antalet trianglar med hypotenusa < N Föregående avsnitt har gett verktyg för att bestämma på hur många sätt ett visst tal kan vara hypotenusa i en pythagoreisk triangel. Detta ger dock inget svar på antalet primitiva pythagoreiska trianglar, T (N), med en hypotenusa mindre än talet N. Denna fråga har besvarats av Derrick Norman Lehmer år Inledningsvis kan det observeras att då de olika värdena för hypotenusan i primitiva pythagoreiska trianglar ritas upp fås en tydligt linjär funktion som visas i Figur 2. Med hjälp av linjär regression visar det sig att denna linje har ekvationen T (N) = 0.16N då alla hypotenusor < 400 har prickats in. Enligt Lehmers funktion är förhållandet mellan N och T (N) T (N) N = 1 2π 0.16, då N går mot oändligheten [4]. Detta stämmer med den anpassade funktionen. Den lilla avvikelsen 0.18, som innebär att grafen inte exakt går genom origo, kan bortses från i det här fallet eftersom endast tal < 400 undersökts. I Bilaga A går det att utläsa att det finns 16 primitiva pythagoreiska trianglar med en hypotenusa < 100, Lehmers funktion ger π vilket stämmer väl med det förväntade svaret. Det blir genast enkelt att bestämma ungefär hur många primitiva pythagoreiska trianglar det finns upp till ett visst värde på N, exempelvis finns det omkring 159,154 trianglar med en hypotenusa mindre än

24 Figur 2. Antalet primitiva pythagoreiska trianglar, T (N), med hypotenusa < N för N < Diskussion 5.1 Slutsats I vart och ett av uppsatsens avsnitt har metoder för att besvara frågeställningarna presenterats och bevisats. Med hjälp av Euklides formel i Sats 2.2. är det möjligt att konstruera alla primitiva pythagoreiska trianglar, och genom en enklare utökning av satsen blir det också möjligt att konstruera de ickeprimitiva trianglarna. Det går dessutom att konstruera trianglar med hjälp av Fibonaccis talserie vilket visat sig vara ett annat sätt att framställa Euklides formel. Ytterligare ett sätt är att konstruera pythagoreiska trianglar av en viss typ, exempelvis där kateten b och hypotenusan c är på varandra följande tal. Det har också visat sig att talens paritet i primitiva pythagoreiska trianglar är (udda, jämn, udda). Frågan om vilka tal som kan utgöra kateter i primitiva taltripplar besvarades separat för a och b. Alla tal n > 2 utom tal n 2 (mod 4) kan utgöra den korta kateten, a, i primitiva taltripplar. Frågan var inte lika lätt att besvara för den längre kateten, b, men svaret gick att uttrycka i termer av p och q. Det observerades också, liksom för kateten a, att alla tal n > 2 utom n 2 (mod 4) kan utgöra längsta katet i primitiva 21

25 taltripplar. Vilka tal som kan utgöra hypotenusa, c, i en primitiv taltrippel avgörs helt av talets primfaktorer. Endast tal med primfaktorer enbart av typen p 1 (mod 4) kan skrivas som en summa av två kvadrater och således vara hypotenusa i primitiva trianglar. Om det även förekommer primtalsfaktorer av andra typer kan talet bara vara hypotenusa i icke-primitiva trianglar. Dessa tre slutsatser leder till att alla tal n > 2, förutom tal av typen n 2 (mod 4) kan utgöra sida i minst en primitiv pythagoreisk triangel, samt att alla tal n > 2 kan utgöra sida i någon pythagoreisk triangel, primitiv eller ej. Problemet att bestämma antalet trianglar ett tal n kan vara sida i bröts upp i två mindre delar - antalet trianglar n är katet i och antalet trianglar n är hypotenusa i. Antalet primitiva pythagoreiska trianglar n kan vara katet i avgörs helt av talets primfaktorer vilket blir tydligt då Euklides formel används som grund för undersökningen. Eftersom kateten n kan ges på två sätt ger det två olika sätt att faktorisera n, men det visar sig att båda dessa sätt resulterar i samma formel för antalet trianglar med kateten n. För att bestämma antalet trianglar med hypotenusan n användes till stor del slutsatserna från avsnitt 3, om vilka tal som kan utgöra hypotenusa. Några avgörande slutsatser var då att ett tal som är en produkt av två tvåkvadratstal kan uttryckas på två sätt som en summa av två kvadrater samt att produkter av pythagoreiska primtal kan utgöra hypotenusa. Med hjälp av ytterligare bevis för primtalen och primtalsfaktoriseringen av de gaussiska talen kunde ett samband, liknande det för antalet kateter n, bestämmas för hypotenusan. 5.2 Framtid Området pythagoreiska taltripplar är stort och innehåller många intressanta teorier. När hypotenusan undersöks dyker problemet i att framställa ett tal som en summa av två kvadrater upp. Detta problem har många matematiker arbetat med och intressanta upptäckter har gjorts. Pythagoras sats är i grund och botten en diofantisk ekvation a 2 +b 2 = c 2 och denna typ av ekvation, med olika potenser, är av stort intresse. Ett mycket berömt exempel och som relativt nyligen bevisats gäller Fermats stora sats, a n + b n = c n. Fermat påstod på 1600-talet att denna diofantiska ekvation helt saknar lösningar för n > 2. Detta bevisades dock först på 1990-talet av Andrew Wiles. Detta visar att pythagoras sats och de pythagoreiska trianglarna döljer matematiska frågor som är både intressanta och djupare än man kan ana. Ytterligare undersökningar inom området kan mycket väl leda till nya intressanta frågeställningar. Ett flertal områden inom detta ämne har utelämnats i uppsatsen - bland annat frågor som rör arean, omkretsen, den inskrivna cirkeln samt summan eller produkten av sidorna i pythagoreiska trianglar. 22

26 Tack Först och främst vill jag tacka Hermods för att de erbjuder ett sätt för elever att kunna studera gymnasiet på distans, en alldeles ovärdelig möjlighet som jag hoppas fler ungdomar får uppleva i framtiden. Jag vill även varmt tacka Maria Wersäll, tidigare utbildningschef i Lidingö stad, för att hon satsade på mig som elev och beviljade mig möjligheten till distansstudier. Många tack riktas också till personalen och läkarna på Barnonkologmottagningen på Karoliska Sjukhuset, för deras arbete att rädda mitt, och många andra barns, liv. Avslutningsvis vill jag tacka min underbara mamma - för hennes outtömliga stöd under flera mycket prövande år. Utan er alla skulle detta arbete med största sannolikhet aldrig blivit skrivet. 23

27 Referenser [1] Beiler, Albert H. (1966). The eternal triangle. I Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. New York: Dover Publ, [2] Hardy, Godfrey Harold, Wright, E. M., Heath-Brown, D. R & Silverman, J. H. (2008). The representation of a number by two or four squares. I An Introduction to the Theory of Numbers. 6. ed. Oxford: Oxford University Press, [3] Horadam, Alwyn. (1961). Fibonacci Number Triples. The American Mathematical Monthly, 68(8), doi: / [4] Lehmer, Derrick. (1900). Asymptotic Evaluation of Certain Totient Sums. American Journal of Mathematics, 22(4), doi: / [5] Stillwell, John (2010). The theorem of pythagoras och Algebraic number theory. I Mathematics and Its History. 3rd ed. New York: Springer, 1-10,

28 A Trianglar med hypotenusa 100 Taltripplar Multipel Taltripplar Multipel (3, 4, 5) - (11, 60, 61) - (6, 8, 10) 2 (3, 4, 5) (16, 63, 65) - (5, 12, 13) - (25, 60, 65) 5 (5, 12, 13) (9, 12, 15) 3 (3, 4, 5) (33, 56, 65) - (8, 15, 17) - (39, 52, 65) 13 (3, 4, 5) (12, 16, 20) 2 (6, 8 10) (32, 60, 68) 4 (8, 15, 17) (7, 24, 25) - (42, 56, 70) 14 (3, 4, 5) (15, 20, 25) 5 (3, 4, 5) (48, 55, 73) - (10, 24, 26) 2 (5, 12, 13) (24, 70, 74) 2 (12, 35, 37) (20, 21, 29) - (21, 72, 75) 3 (7, 24, 25) (18, 24, 30) 2 (9, 12, 15) (45, 60, 75) 15 (3, 4, 5) (16, 30, 34) 2 (8, 15, 17) (30, 72, 78) 6 (5, 12, 13) (21, 28, 35) 7 (3, 4, 5) (48, 64, 80) 16 (3, 4, 5) (12, 35, 37) - (18, 80, 82) 2 (9, 40, 41) (15, 36, 39) 3 (5, 12, 13) (13, 84, 85) - (24, 32, 40) 8 (3, 4, 5) (36, 77, 85) - (9, 40, 41) - (40, 75, 85) 5 (8, 15, 17) (27, 36, 45) 9 (3, 4, 5) (51, 68, 85) 17 (3, 4, 5) (14, 48, 50) 2 (7, 24, 25) (60, 63, 87) 3 (20, 21, 29) (30, 40, 50) 10 (3, 4, 5) (39, 80, 89) - (24, 45, 51) 3 (8, 15, 17) (54, 72, 90) 18 (3, 4, 5) (20, 48, 52) 4 (5, 12, 13) (35, 84, 91) 7 (5, 12, 13) (28, 45, 53) - (57, 76, 95) 19 (3, 4, 5) (33, 44, 55) 11 (3, 4, 5) (65, 72, 97) - (40, 42, 58) 2 (20, 21, 29) (28, 96, 100) 4 (7, 24, 25) (36, 48, 60) 12 (3, 4, 5) (60, 80, 100) 20 (3, 4, 5)

29 B Användbara program för TI-84 Kod för TI-84 Prompt P, Q If P > Q Then P 2 - Q 2 A 2*P*Q B P 2 + Q 2 C Else Q 2 - P 2 A 2*P*Q A P 2 + Q 2 A End Disp A, B, C Prompt A, B, C gcd (A, gcd (B, C)) D If A 2 + B 2 = C 2 Then If D = 1 Then Disp " PRIMITIVE " Else Disp " MULTIPLE OF :" Disp (A/D), (B/D), (C/D) End Else Disp " NOT A TRIPLE " End Prompt N 0 R If ( round ( fpart (N /4) * 4, 0) = 1 and round ( fpart (N /3) * 3, 0) 0) Then For (I, 1, (N/2), 1) If fpart ( (N-I 2)) = 0 Then R + 1 R End End Disp R Else Disp R End Förklaring Program 1. Detta program tar emot två värden på P och Q som sedan används för att konstruera en pythagoreisk taltrippel enligt Euklides metod. Program 2. Ber användaren mata in en pythagoreisk taltrippel, (A, B, C), och avgör sedan om den utgör en primitiv eller ickeprimitiv trippel. I fall då det är en icke-primitiv taltrippel avgör programmet vilken primitiv taltrippel (A, B, C) är en multipel av. Program 3. Tar emot ett värde N och avgör om talet kan utgöra hypotenusa eller inte, samt i hur många pythagoreiska trianglar N kan vara hypotenusa.

30 HERMODS DISTANSGYMNASIUM Svenska 3 Naturvetenskapsprogrammet Vårterminen 2017 Emilia Dunfelt Litteraturens Stockholm - staden ur tre författarperspektiv Handledare Mikael Gappo

31 Abstract I uppsatsen undersöks hur Stockholm skildras i litteraturen, med utgångspunkt i de tre verken Röda rummet av August Strindberg, Förvillelser av Hjalmar Söderberg och Sommaren med Monika av Per Anders Fogelström. Beskrivningarna av tre olika platser i verken, samt beskrivningen av staden som helhet jämförs och diskuteras. De tre platser som jämförs är Humlegården, Slussen och Stockholms skärgård. Bakgrunden till uppsatsen är främst information om författarna själva samt om Stockholms historia. Stockholms beskrivs som en vacker stad med många möjligheter, men också som en plats där fattigdomen ständigt finns närvarande. De olikheter som finns i hur författarna beskriver staden bottnar till stor del i vilken bakgrund de har och vilka platser som varit viktiga i deras liv. Sökord: stockholm, strindberg, söderberg, fogelström, sekelskiftet, humlegården, slussen, skärgård, stockholmsskildring,

32 INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1. INLEDNING 1.1 Syfte 1.2 Bakgrund 1.3 Metod 2. FÖRFATTARNA 2.1 August Strindberg 2.2 Hjalmar Söderberg 2.3 Per Anders Fogelström 3. STOCKHOLM 3.1 Humlegården 3.2 Slussen 3.3 Stockholms skärgård 4. SLUTSATS 4.1 Staden 4.2 Platserna 5. DISKUSSION 6. LITTERATURFÖRTECKNING s. 1 s. 1 s. 1 s. 2 s. 3 s. 3 s. 5 s. 5 s. 6 s. 6 s. 7 s. 9 s. 10 s. 10 s. 10 s. 11 s. 13 BILAGOR Bilaga 1 Karta över Stockholm 1885

33 1. INLEDNING Otaliga forskare och författare har behandlat ämnet Stockholm i litteraturen. Det är knappast förvånande med tanke på den uppsjö av litteratur som finns att tillgå i ämnet. Stockholmsskildringar av författare som August Strindberg, Hjalmar Söderberg och Per Anders Fogelström räknas alla som klassiker inom den svenska litteraturen. Genom att läsa och ta del av litteratur som utspelar sig i Stockholm, kan bekanta platser upplevas i nytt ljus. Likt alla huvudstäder förändras Stockholm ständigt, vilket gör staden särdeles intressant att studera med några av våra största författare som ledsagare. 1.1 Syfte Uppsatsen avser att undersöka hur Stockholm skildras i litteraturen, med utgångspunkt i tre för staden utmärkande områden. Särskilt kommer områdena kring Humlegården, Slussen och Stockholms skärgård att undersökas. Verken Röda rummet av August Strindberg, Förvillelser av Hjalmar Söderberg och Sommaren med Monika av Per Anders Fogelström används som grund för undersökningen. Främst kommer Stockholm kring sekelskiftet att beskrivas, eftersom böckerna i första hand utspelar sig under denna tid. Frågeställningarna för uppsatsen är: Hur skildras staden som helhet, vilka intryck får läsaren? Hur beskrivs de tre områdena: Humlegården, Slussen och Skärgården? 1.2 Bakgrund Röda rummet är en av August Strindbergs mest lästa romaner. Den innehåller detaljrika beskrivningar av Stockholm, både sedd genom huvudpersonernas ögon och av en yttre betraktares allseende blick. Boken handlar den unge mannen Arvid Falk, som lämnat sin ämbetsmannatjänst för att istället bli litteratör. Det målande språket och de ingående beskrivningarna av Stockholms innerstad och Östermalmsområdet gör boken lämplig för undersökningen. Boken, som utkom 1879, anses vara början på den svenska realismen. Med flera för tiden uppseendeväckande samhällskritiska inslag blev boken mycket omdiskuterad. 1 Till hjälp att tolka Röda rummet, och förstå Strindbergs person och liv används boken Strindberg på Östermalm av Karl Olov Sommar och Vandra med August Strindberg av Anita Persson. Förvillelser, utkom 1895 och var Hjalmar Söderbergs första roman. Debutromanen satte omedelbart Söderberg på kartan som en stor stockholmsskildrare. 2 Även detta verk kretsar till största delen kring Stockholms överklass. Huvudpersonen Tomas Weber är en nyutexaminerad student som spenderar dagarna med att driva omkring i staden. Boken innehåller många intressanta miljöbeskrivningar och incidenter som inträffar under 1 Järv. August Strindberg. 2 Olofsson. Hjalmar Söderberg. 1

34 Tomas Webers strövtåg genom staden. Boken Hjalmar Söderbergs Stockholm av Bure Holmbäck, används i arbetet för att beskriva Söderbergs person och litteratur. Det tredje verket är Sommaren med Monika av Per Anders Fogelström. Detta är det yngsta av de tre verken vilket gör att det sticker ut i undersökningen. En stor del av handlingen utspelar sig på Södermalm och i Stockholms skärgård. Boken handlar om den brinnande ungdomskärleken mellan den allvarlige Harry Lund och den lekfulla Monika Eriksson. De två förälskade ungdomarna flyr stadslivet under sommaren och lever tillsammans på en motorbåt ute i skärgården. 1.3 Metod Uppsatsen har strukturerats med frågeställningarna i åtanke. Först beskrivs de tre författarna, deras person, den tid under vilken de verkade samt de platser i Stockholm där de ofta vistades. Detta ökar bakgrundsförståelsen för de tre verken och gör också att frågeställningen går att se ur ett bredare perspektiv och inte enbart utifrån beskrivningarna i böckerna. Därefter behandlas Humlegården, Slussen och Stockholms skärgård i tur och ordning. Platsens dåvarande utseende och historia sammanfattas och jämförs med beskrivningen i litteraturen. Dess nuvarande utseende kommer också till viss del beskrivas för att öka diskussionens djup. Slutligen följer jämförelsen mellan hur staden skildras av de olika författarna samt hur de enskilda platserna beskrivs. Genom litteraturstudier avses uppsatsens frågeställningar besvaras. De tre verken har valts ut med omsorg och efter hur stort utrymme stadsskildringen fått, de är alla kända för sina rika miljöbeskrivningar vilket gör dem lämpliga för undersökningen. Utöver de tre verken används även andra böcker som underlag för beskrivningen av författarna och deras verk. Boken Strindberg på Östermalm av Carl Olov Sommar ger mycket utförlig information om August Strindberg som person och om de platser han bodde på, vilket gör den intressant för uppsatsen. Carl Olov Sommar arbetade som vice VD för Dagens Nyheter under ca 20 års tid och har skrivit ett flertal böcker om olika svenska författare 3. Av den anledningen kan hans bok anses vara relevant och trovärdig som källa. Det är dock värt att notera att det alltid föreligger viss osäkerhet när personer som levt för länge sedan beskrivs. Mycket information hämtas från brev eller allmänna handlingar vilket aldrig kan ge en fullt tillräcklig bild av personen i fråga. Sommar nämner dock att Strindberg har fört dagbok under många år, och han citerar ofta ur denna. Detta ger en mer trovärdig och tydlig bild av vem Strindberg verkligen var. Ytterligare en bok, Vandra med August Strindberg av Anita Persson, används för att beskriva de platser som förekommer i Röda rummet samt de platser där Strindberg själv levde och verkade. På 3 Carl Olov Sommar. Nationalencyklopedin. 2

35 sin hemsida beskriver Anita Persson sig själv som före detta intendent på Strindbergsmuseet samt numera föreläsare, vandrare och skribent på temat Strindberg. Hon leder ständigt olika vandringar i Stockholm där hon presenterar olika miljöer och berättelser med anknytning till August Strindberg. 4 Hennes bok kan därför påstås ge en god och trovärdig inblick i äldre tiders Stockholm, samt Strindbergs liv. Hjalmar Söderbergs Stockholm av Bure Holmbäck ger god insyn i Söderbergs liv och skrivande. Bure Holmbäck beskrivs enligt Nationalencyklopedin som en framstående kännare av Hjalmar Söderberg 5, vilket gör hans bok extra intressant. Holmbäck har skrivit flera studier om Söderberg samt en biografi. Hans bok kan därför ses som ett bra val för att fördjupa beskrivningarna av Hjalmar Söderberg. Liksom med Strindberg är det dock viktigt att betänka att Söderberg levde för ungefär hundra år sedan varför det finns viss osäkerhet kring hans person. Förutom att utgöra grunden för informationen om Per Anders Fogelström används Stockholmskällan för att hämta information, bilder och kartor som rör temat. Stockholmskällan är en tjänst som drivs av Stockholms stad i samarbete med ett flertal olika museer och institutioner. Syftet med projektet är att göra information från olika samlingar tillgängligt på nätet. Det är därför möjligt att direkt undersöka källmaterial, som exempelvis intressanta fotografier och kartor. Detta gör att Stockholmskällan är en intressant och ovärderlig tjänst för undersökningen. Andra böcker som används för att inhämta översiktlig information om olika platser är Stockholms historia av Lars Ericson Wolke och Stockholm från tid till annan av Svante Björkum. Utöver detta används även information från Nationalencyklopedin för att fylla ut informationen från böckerna. Nationalencyklopedin är en seriös tjänst som finns tillgänglig på nätet. De använder sig av riktiga källor som underlag för sina artiklar, och författarna är oftast specialister inom sitt område. 2. FÖRFATTARNA August Strindberg, Hjalmar Söderberg och Per Anders Fogelström räknas till de främsta stockholmsskildrarna. Det är därför ofta deras skildringar av staden som är passande att gå tillbaka till i undersökningar av hur Stockholm framställs och presenteras i litteraturen. 2.1 August Strindberg August Strindberg ( ), är en av de mest kända svenska författarna. Under sin levnad skrev han både romaner och dramer. I och med att boken Röda rummet publicerades 1879 påbörjade realismen sitt intåg i den svenska litteraturen. 4 Strindbergsvandringar med Anita Persson. Om Anita Persson. 5 Bure Holmbäck. Nationalencyklopedin. 3

36 Boken serverade svidande samhällskritik och blev genast mycket uppmärksammad, både som stockholmsskildring men även som satir. Strindberg fortsatte på den inslagna banan och fick på så sätt många fiender. I mitten av 80-talet flyttade Strindberg med familjen utomlands av samma skäl. Äktenskapet med hustrun Siri von Essen blev allt mer problematiskt, vilket även märks i hans verk från perioden, exempelvis i novellsamlingarna Giftas I-II. Strindberg återvände till Sverige igen 1889 och ett par år senare tog äktenskapet slut. 6 Han bosatte sig nu på Östermalm, på Karlavägen i det hus han kallade för Röda Huset 7, som tyvärr inte står kvar idag. Där kom han att bo under relativt lång tid, och det var där han bodde tillsammans med sin andra hustru, Harriet Bosse, innan även det äktenskapet tog slut efter endast tre år. När de båda makarna separerade 1903 upphörde de inte att träffas, Harriet kom ofta på besök till Röda huset och de fortsatte att spendera förvånansvärt mycket tid tillsammans. De hade även en dotter tillsammans, vilket självklart bidrog till en anledning att träffas. 8 Under denna tid tog Strindberg varje morgon långa promenader i Stockholm, Bild 1. Strindbergs bostad på Karlavägen 40. detta gav honom inspiration och uppslag till dagens skrivande. I en artikel för Dagens Nyheter som Strindberg skrivit 1905 beskriver han en av sina morgonpromenader längs Strandvägen. Strandvägen öppnar sig, och man står i ett ljushav; klockstapeln på Skansen är visarn, som pekar ut var solen i dag skall gå upp, och luften dallrar redan i brytningen mellan natt och morgon. Själva Strandvägen ligger som en terass med sina fint färgtonade hus på ena sidan och skutorna på den andra, vilka när de torka segel formera en tavla av gammal sjöbatalj och som vi östermalmare kalla Trafalger när vi får se den. Detta visar att Strindberg verkligen levde i samklang med sin stad, som han kände till punkt och pricka. Efter promenaden kunde han sätta sig vid sitt välordnade skrivbord och författa 9. Strindberg bjöd ofta in vänner till bostaden på Karlavägen. Främst träffade han konstnärer som Carl Eldh, men han umgicks även med musiker och ibland med andra författare. De närmaste vännerna bjöd han in till så kallade Beethovenkvällar då hans vän Tor Aulin spelade musik varefter gästerna 10 tog del av den tillredda Beethovensupén. 6 Järv. August Strindberg. 7 Hasselgren, Ingemar. Karlavägen 80 vid Karlaplan. T.h. Narvavägen. 8 Sommar. Strindberg på Östermalm, ibid, Persson, Anita. Vandra med August Strindberg, 132 f. 4

37 Strindberg vistades under sitt liv ofta på olika platser i Stockholms skärgård. En plats han besökte många somrar i sin ungdom var Kymmendö. Det är en plats han ofta hänvisar till i olika verk, bland annat i novellen Vidskepelse. I dikten Moln-Bilder beskrivs Kymmendö: Ö, du min grönskande ö, Blomkorg i havets våg 2.2 Hjalmar Söderberg Hjalmar Söderberg ( ) levde, liksom Strindberg inte enbart i Stockholm under sitt liv. Han bodde växelvis i Stockholm och i Köpenhamn från Trots det fortsatte han att skriva romaner som utspelade sig i hemstaden. Enligt Bure Holmbäck beskrev Söderberg inte bara Stockholm i sina verk, utan även andra städer. 11 Söderberg växte upp i närheten av Humlegården på Östermalm. Familjen bodde på olika adresser, men intrycken från dessa kvarter upphör inte att speglas i hans verk. Då hans debutroman Förvillelser publicerades bodde han på Nybrogatan 36, vilket låg mycket nära hans gamla barndomskvarter. 12 Hans litterära bana började redan när han var i 20 årsåldern, då han skrev för Dagens Nyheter. Egna romaner började han skriva först efter att han blivit känd som kulturjournalist. På slutet av 90-talet övergick han till att skriva för Svenska Dagbladet. 13 Romanen Förvillelser, som utkom 1895, försökte Söderberg ursprungligen få publicerad av förlaget Wahlström och Widstrand, men det blev Albert Bonniers förlag som valde att ge ut boken. I ett brev till Wahlström och Widstrand beskriver han själv boken: Det är en Stockholmsnovell, till innehåll och syfte gående i ungefär den riktning, som titeln angifver, nämligen pikant moralisk; dock är möjligt, att det pikanta elementet åtminstone vid en ytlig läsning något litet öfverväger det moraliska. När boken väl publicerades blev den mycket omdiskuterad och ledde till att Hjalmar Söderberg 14 kallades för en ungdomens förförare. På ålderdomen övergick Söderberg till att skriva böcker som behandlade mer religiösa teman. Han presenterade sin religionsforskning i tre olika verk Per Anders Fogelström Per Anders Fogelströn ( ) har skrivit en mängd böcker som utspelar sig i Stockholm, och hör till de främsta stockholmsskildrarna. Själv växte han upp med sin mor på Södermalm, vilket också är den miljö som hans verk ofta utspelar sig i. Han gick i skola på Östermalm, men hoppade av gymnasiet för att arbeta i en bokhandel. Hans litterära debut var diktsamlingen Orons giriga händer, som utkom Han började därefter arbeta som journalist, och skrev sin första roman två år senare. 11 Holmbäck. Hjalmar Söderbergs Stockholm, 11 f. 12 ibid, Olofsson. Hjalmar Söderberg. 14 Söderberg. Brev till Wahlström och Widstrand. 15 Olofsson. Hjalmar Söderberg. 5

38 Det stora genombrottet kom några år senare, när Sommaren med Monika publicerades. 16 De verk Fogelström är mest känd för är hans historiska romaner, däribland Mina drömmars stadserien. Även dessa verk utspelar sig på Södermalm. De handlar om livet som arbetare i Stockholm, den första boken i serien börjar mitt under industrialiseringen. 17 Fogelström var under hela sitt liv en mycket aktiv medlem av olika föreningar. Han kom från ett religiöst hem och var som barn medlem i Sofia kyrkas ungdomsverksamhet. När han var i 30- årsåldern grundade han en ny ungdomsverksamhet, utan religiösa inslag, Vitabergsklubben. Han bildade senare även Förbundet för religionsfrihet tillsammans med Ture Nerman. Under sitt liv engagerade han sig även i debatten mot en svensk atombomb och rivningen av Klarakvarteren. 18 Han utsågs 1963 till ordförande i världens äldsta fredsorganisation, svenska Freds- och 19 Skiljedomsföreningen. 3. STOCKHOLM 3.1 Humlegården Humlegården anlades under mitten av 1700-talet och är idag en av Stockholms äldsta parker. Området kallades då för Ladugårdslandet, och inte för Östermalm som idag. Parkens läge är markerad på kartan i bilaga 1. Utmärkande element i parken är det stora Linnémonumentet av Fritjof Kjellberg som avtäcktes , samt Kungliga biblioteket. I Röda rummet finns flera beskrivningar av området kring och i Humlegården. I början av det tredje kapitlet Nybyggarna på Lill-Jans beskrivs Arvid Falks väg från Norrlandsgatan och bort mot Stora Humlegårdsgatan och in i Humlegården. han vandrade utan mål och gick rätt fram; snart började stenläggningen bli ojämn, träkåkar efterträdde stenhusen, illa klädda människor kastade misstänksamma blickar på den snyggt klädde personen som så tidigt besökte deras kvarter och utsvultna hundar morrade hotande mot främlingen. ( ) Han gick in i Humlegården. Generalfälttygmästarens kor hade redan tagit sitt mulbete i anspråk, de gamla skralliga äppelträden gjorde försök att sätta i blom, lindarne stodo gröna och ekorrarne lekte uppe i kronorna. 21 Denna beskrivning av humlegården med omnejd känns mycket främmande idag. Östermalm kallades för Ladugårdslandet ända fram till 1885, och hela stadsdelen var mycket olik det område 16 Stockholmskällan. Per Anders Fogelström. 17 Nationalencyklopedin. Per Anders Fogelström. 18 Stockholmskällan. Per Anders Fogelström. 19 Nationalencyklopedin. Per Anders Fogelström. 20 Stockholmskällan. Linnémonumentet. 21 Strindberg. Nybyggarne på Lill-Jans, i Röda rummet. 6

39 som existerar idag. På 1800-talet bosatte sig allt fler välbärgade familjer på Ladugårdslandet samtidigt som de tidigare fattigkvarteren var kvar. 22 Kungliga biblioteket i Humlegården stod färdigt 1878, och byggnaden kom att förändra parken. När biblioteket invigdes upphörde kor att släppas ut på bete i parken, och Humlegården antog mer rollen av en modern stadspark. August Strindberg arbetade under en tid på det nya biblioteket. 23 I Strindbergs beskrivning anas en park där kor ännu betar om somrarna, det är en plats där det ålderdomliga lever kvar sida vid sida med den snabbt växande staden. Fattigdomen är stor men samtidigt finns borgerskapets bostäder bara några kvarter bort. När Falk väl kommit in i parken och promenerar omkring i grönskan känner han sig fri, trotsigt fri, sommarljuset och parkens natur tränger in i hans inre och gör honom upprymd och glad. Hjalmar Söderberg beskriver i sin bok Förvillelser samma plats såhär: Och helt nära, framme i prosceniet, avskild från de andra träden, står en grön och stor och mycket gammal ask. Under dess krona drömmer skuggan mörk och sammetsdunkelt grön. Och lyser icke där i gräset något vitaktigt och mjukt, som kunde vara en kvinnas mjuka kropp? ( ) Om det vore Märta! Och åter fladdrade de gula fjärilarna för hans ögon, höjde sig och sänkte sig, nalkades och flydde. Och luften 24 var blå och tom, och vinden gnolade och somnade bort, och det blev tyst. Även här framställs Humlegården som en somrig idyll mitt i staden. I en annan del av boken befinner sig Tomas Weber i en villa strax intill Humlegården. Villan tillhör Konsul Arvidsson, vilket alltså även här antyder att området är hem åt de välbärgade. På ytterligare ett ställe i romanen sitter Tomas och dricker vichyvatten tillsammans med sin vän Recke i en vattenbutik i parken. Ett foto ur Stockholms Stadsmuseums arkiv från 1943 föreställer en vattenbutik 25. Kanske är det samma butik som stod där på Söderbergs tid. Bild 2. Vattenbutik i Humlegården år Förvånande, kan det kanske tyckas i dag, att kor har betat i parken och att det har funnits villor i Humlegården. 3.2 Slussen Slussen och dess närområde, har under de senaste hundra åren förändrats avsevärt. Byggnader har rivits och nya har byggts upp. Det är inte bara miljön som har ändrats, utan även människorna som bor på platsen. Detta framkommer mycket tydligt i litteraturen. Slussen finns markerad på kartan i bilaga Wolke, Lars Ericson. Stockholms historia, Sommar. Strindberg på Östermalm, Söderberg. Kapitel VI i Förvillelser. Petersens, Lennart af. Vattenbutik i Humlegården. 7

40 August Strindberg beskriver platsen sedd från Mosebacke i Röda rummet: Långt nere under honom bullrade den nyvaknade staden; ångvincharne snurrade nere i Stadsgårdshamnen, järnstängerna skramlade i järnvågen, slussvaktarnes pipor visslade, ångbåtarne vid Skeppsbron ångade, Kungsbacksomnibussarne hoppade skallrande fram på den kullriga stenläggningen; stoj och hojt i fiskargången, segel och flaggor som fladdrade ute på strömmen, måsarnes skri, hornsignaler från Skeppsholmen, gevärsrop från Södermalmstorg, arbetshjonens klapprande med träskorna på Glasbruksgatan, allt gjorde ett intryck av liv och rörlighet, som tycktes väcka den unge herrens energi 26 Här finns rikligt med beskrivningar av området kring Slussen, så som det såg ut i slutet av talet. Skeppsholmen, Stadsgårdshamnen och Södermalmstorg är platser som känns igen även idag, även om de förändrats mycket. En annan plats som beskrivs är fiskargången som låg under Östra Slussgatan där det på den tiden bedrevs försäljning av fisk. Den Glasbruksgata som nämns i utdraget finns inte kvar idag. Idag finns en liten bit av Glasbruksgatan kvar som en del av Klevgränd 27. Under denna tid var gatan mycket riktigt hem åt många av de som arbetade på arbetsinrättningen som låg på Stora Glasbruksgatan. Vid den tid då Röda rummet utspelar sig var Katarinahissen vid Slussen ännu inte byggd 28. Den ursprungliga Katarinahissen invigdes först I Hjalmar Söderbergs Förvillelser beskrivs också Stadsgårdshamnen: De trånga Skeppsbrogränderna defilerade förbi som en rad av svarta källargluggar, och i det nät av broar och viadukter, som bildar övergången från Staden till Söder, kröpo människorna om varandra som myror. I Stadsgården var det svart av kolångare med rött i vattengången och av kolbärare, på vilkas ansikten han trodde sig kunna se, hur kraftigt de svuro över hettan. 30 Även här beskrivs alltså hamnen som full av ångande ångbåtar med hårt arbetande människor. Övergången mellan innerstaden och Södermalm framställs som full av broar och viadukter, vilket stämmer med bilden av hur det såg ut kring sekelskiftet. Detta förändrades dock under 1900-talet vilket märks i Fogelströms Sommaren med Monika: Harry gick ner mot Slussen, kom fram till Södergatans sår, tittade automatiskt ut över Söderström mot Riddarholmen, jaha, så långt hade de alltså hunnit med brobygget. Ett gytter av kranar och träbryggor och några mönjegranna brobjälkar på stranden intill Mälartorgets fiskhallar. 31 Sommaren med Monika utspelar sig betydligt senare än både Röda rummet och Förvillelser vilket det här stycket tydligt visar. Brobygget som beskrivs är i själva verket bygget av Tunnelbanebron mellan Slussen och Gamla Stan 32. Denna bro finns kvar idag och binder samman söder med innerstaden. 26 Strindberg. Stockholm i fågelperspektiv i Röda rummet. 27 Björkum. Stockholm från tid till annan, Persson. Vandra med August Strindberg, Stockholmskällan. Slussen. 30 Söderberg. Kapitel VII i Förvillelser. 31 Fogelström. Sommaren med Monika. 32 Stockholmskällan. Byggnation av tunnelbanebron mellan Slussen och Gamla Stan. 8

41 3.3 Stockholms skärgård Det är förmodligen omöjligt att skriva om Stockholm utan att nämna Skärgården. Detta märks även i stockholmslitteraturen, skärgården upplevs alltid som närvarande, en plats där stockholmaren kan vila ut och ta en paus från den stökiga staden. Strindberg var själv ofta ute på olika öar i skärgården. Så gott som varje sommar reste han ut, ofta tillsammans med familjen, för att njuta av omgivningarna och skriva. Det är mycket från dessa resor han hämtat inspiration till ett av sina mest lästa verk - Hemsöborna. 33 I Röda rummet tvingas den nedbrutne Arvid Falk ut till ön Nämdö av sin vän Henrik Borg. I ett brev till Struve skriver Borg om hur det gick till när den hysteriske Falk skulle ut i skärgården: Emellertid mojnade han av, och när han fick se de stora vattnen och skären, så blev han sentimental och språkade en hel hop smörja om att han aldrig trott han skulle få se Guds (!) gröna jord mer o.d. 34 På Nämdö får Falk en chans att lugna sig och hitta tillbaka till sig själv. Bara åsynen av de vackra omgivningarna får honom att lugna sig från stadens stress. Även Hjalmar Söderbergs flanör Tomas Weber letar sig ut i skärgården när han känner sig orolig och kluven. Weber väljer på måfå ut en båt som går till Utö, en plats han aldrig tidigare besökt: Fjärdarna bredde sig blanka som glas för hans fötter, stumma, vida, kalla. Solen hade nyss gått ned och brett ett rödviolett töcken över den smala landremsan längst i väster. Två eller tre fiskarbåtar sökte långsamt mot land med slappa segel och jämna årtag, vilkas plaskande i vattnet indelade tiden lika 35 tröttande regelmässigt som ett urverk. Kapitlet som utspelar sig på Utö är mycket detaljrikt beskrivet och havets skönhet och storhet är nästan överväldigande. Detta förstärker intrycken och skapar en stark kontrast till staden. Fiskarnas årtag över havet känns tryggande och allt är stilla. Sommaren med Monika är den bok av de tre verken där Stockholms skärgård får ta mest utrymme. Nästan hela boken utspelar sig på olika platser i skärgården. Harry och Monika tuffar runt på motorbåten och lägger till där helst de passar dem. Även de flyr från storstaden för att vara fria i skärgården. Under sommaren lever ungdomarna i ett somrigt paradis, vilket tydligt kommer fram i följande stycke: Nerstänkta och prickiga av sand blev de tvungna att kasta sig i på nytt, simmade runt i viken, klättrade upp på några flata hällar som nätt och jämnt nådde över vattenytan. Sen vadade de tillbaka till stranden, drack ur mjölken de köpt på bondgården föregående dag, började känna sej väl solbrända, de skulle inte kunna sitta nakna i solskenet länge till. 36 I boken upplevs skärgården som ett oändligt paradis, så gott som tomt på människor. Det är en plats där absolut stillhet råder, och där den äkta friheten kan upplevas. 33 Persson. Vandra med August Strindberg, Strindberg. Brevväxling i Röda rummet. Söderberg. Kapitel VII i Förvillelser. Fogelström. Sommaren med Monika. 9

42 4. SLUTSATS 4.1 Staden En mycket tydlig likhet mellan de tre verken är att de till stor del utspelar sig under sommarhalvåret. Detta får staden att upplevas som ljus, luftig och mycket levande. Ofta beskrivs grönskande platser, exempelvis parker som Humlegården. Havet känns ständigt närvarande, då och då hörs måsar eller tutande båtar i bakgrunden. I alla tre verken finns passager där karaktärerna känner sig fria, vilket oftast inträffar när de befinner sig i naturen. Utifrån dessa beskrivningar kan alltså staden upplevas som grönskande, vacker och full av möjligheter. En annan sida av staden kommer också fram i miljöbeskrivningarna. Emellanåt i Röda rummet skymtar fattigdomens Stockholm förbi. I vissa beskrivningar speglas de delar av staden där arbetarna lever, det är smutsigt, stökigt och fattigt. Ibland kan det vara beskrivningar som att en skorsten i fjärran spyr ut smutsig rök vilket får läsaren att förstå att det även finns en annan sida av Stockholm - industristaden, arbetarnas stad. Det är denna sida av Stockholm som Per Anders Fogelström ofta valt att skildra i sina böcker. Sommaren med Monika handlar om dessa fattiga arbetarfamiljer på Söder. Barnen springer barfota på gatorna och deras fäder sitter på sjaskiga krogar och dricker upp familjens sista slantar. Harry är lyckligt lottad eftersom hans familj har tillräckligt med pengar för att klara sig, i Monikas familj ser det helt annorlunda ut. På detta sätt upplevs Stockholm som en stad full av kontraster: å ena sidan de grönskande parkerna, å andra sidan de fattiga slumkvarteren på Söder och gamla Ladugårdslandet. De karaktärer som böckerna kretsar kring har alla ont om pengar. Arvid Falk i Röda rummet har valt att slå in på den litterära banan vilket resulterar i att han tidvis har dåligt med pengar. Även de personer han umgås med, i huvudsak konstnärer och andra kulturpersonligheter, är nästan alltid fattiga och alla lånar pengar av varandra. När någon har råd går de till Röda rummet på Berns och äter. Det är möjligt att Strindberg mycket väl kände till dessa kretsar, eftersom han själv umgicks med konstnärer och musiker. Även Tomas Weber i Söderbergs Förvillelser är fattig. Hans far är rik, men Weber vill inte gärna låna pengar hela tiden. Därför lånar han av sina vänner, och skaffar sig stora skulder. Skulderna är något som jagar honom genom hela verket. Sommaren med Monika handlar också om människor som har ont om pengar. Både Harry och Monika är fattiga och arbetar för att ha råd med nöjen som biobesök, cigaretter och cafébesök. På så sätt finns fattigdomen närvarande i alla tre verken. Trots det upplevs bristen på pengar aldrig som hotfull eller oroande, i Stockholm finns det alltid möjligheter att klara sig. Det finns en slags rebellisk anda i alla böckerna. Huvudpersonerna känner sig fria i sin nöd, pengar är inte allt och saker och ting löser sig alltid till slut. 4.2 Platserna Humlegården fanns inte nämnd i Sommaren med Monika, men likväl i de båda andra böckerna. En stor del av Söderbergs Förvillelser utspelade sig i Humlegården och området i närheten. Detta beror troligtvis på att han själv bodde på flera olika platser kring parken. Östermalm utgjorde en 10

43 stor del av hans personliga bild av Stockholm, på samma sätt som Fogelströms stockholmsbild ofta kretsar kring Södermalm. Både Hjalmar Söderberg och August Strindberg beskriver Humlegården som en vacker, somrig och idyllisk plats i sina böcker. I båda verken upplevs platsen som en park där huvudsakligen medlemmar ur borgarklassen strövar omkring. Trots det går det att ana, framförallt i Röda rummet, att fattigdomen är mycket nära. Slussen med omnejd finns på olika sätt med i alla böckerna. Det var, och är ännu idag, en central plats, framförallt på grund av närheten till vattnet. Idag är Slussen en viktig knutpunkt för tunnelbanetrafiken, därför är byggandet av Tunnelbanebron som skildras i Sommaren med Monika, mycket intressant. I de tre böckerna märks det tydligt att det handlar om en helt annan del av staden än Humlegården och Östermalm. Den södra delen av Stockholm är stökigare, smutsigare och modernare. Arbetet är i full gång och läsaren kan nästan känna lukten av nyfångad fisk och eldat kol. Skärgården framställs på samma sätt i alla tre verken. Det är en plats dit stockholmsbon kan åka för att få ro och kunna känna sig ung på nytt. Alla löften om strålande sommardagar och ljumma havsbriser infrias på de otaliga öarna och det är nästan förvånande att det ligger så nära den bullriga staden. I böckerna ges också intrycket att Stockholms skärgård är en plats där människorna fortfarande lever på det gamla sättet. I Sommaren med Monika beskrivs bondgårdar, och i Förvillelser möter läsaren invånare på Utö som tycks leva endast av fisket. 5. DISKUSSION Av slutsatsen går det att se att Stockholm i litteraturen är en vacker, somrig stad som dock har sina mörka sidor. Fattigdomen är utbredd, men borgerskapet kan promenera Strandvägen fram utan att behöva se smutsen bortom Slussen. I stockholmsskildrarnas stad finns både nöden och lusten närvarande. Det som skiljer de tre berättelserna åt tycks till stor del bero på författarnas egen bakgrund. Mycket av deras egen uppväxt och levnadsmiljö speglas i deras berättelser om Stockholm. Strindberg kom från en ganska god bakgrund, men i hans litteratur märks medvetenheten om fattigdomen som finns bland Stockholms arbetare. Han drar sig inte för att skildra hur Arvid Falks väg till den idylliska Humlegården ser ut. Nöden som finns bara runt hörnet är ingenting han blundar för. Detta förhållningssätt färgar hela verket och ger en rik och varierad bild av Stockholm. Hjalmar Söderberg lägger inte lika mycket intresse vid arbetarklassens Stockholm, utan fokuserar mer på de finare familjerna. Han var uppvuxen på Östermalm, och bodde i närheten av Humlegården, vilket märks tydligt i hans debutroman. Söderbergs stockholmsbild upplevs som ljusare än Strindbergs och Fogelströms. Kanske är det Fogelströms Stockholm som mest sticker ut jämfört med de andra två. Det beror inte enbart på att Sommaren med Monika är skriven betydligt senare än de andra verken, utan främst på valet av miljö. Det märks att Fogelström vuxit upp på Södermalm, eftersom han skildrar Stockholm sedd genom ögonen på de två söderungdomarna Harry och Monika. I hans verk är människorna och 11

44 platserna mycket olika de som skildras i exempelvis Förvillelser. Här visas en annan del av livet. Stockholm blir en stad med skarpare kontraster, men kanske också en mer naturtrogen bild av staden som den verkligen är. Stockholm är, liksom de flesta större städer, i stor förändring. Människorna ändras och så gör även deras städer. De stockholmsskildringar som skrivs i dag kommer visa en helt annan bild av staden och dess invånare. Det gör Stockholmsmotivet till en evig källa av överraskningar och nya berättelser. 12

45 6. LITTERATURFÖRTECKNING Björkum, Svante. Stockholm från tid till annan. Stockholm: Natur och Kultur, Fogelström, Per Anders. Sommaren med Monika. Stockholm: Albert Bonniers Förlag, E-bok. Hasselgren, Ingemar. Karlavägen 80 vid Karlaplan. T.h. Narvavägen [Fotografi] Stockholmskällan. (Hämtad ) Holmbäck, Bure. Hjalmar Söderbergs Stockholm. Stockholm: Höjerings, Järv, Harry. August Strindberg. Nationalencyklopedin. lång/august-strindberg (Hämtad ) Lindgren, Herbert. Utsikt från Skinnarviksparken mot Stadshuset och Norrmalm [Fotografi] Stockholmskällan. (Hämtad ) Lundgren, A.R., Markman, Herman. Karta öfver Stockholm upprättad och utgifven af A. R. Lundgren år 1885 [Karta] Stockholmskällan (Hämtad ) Bure Holmbäck. Nationalencyklopedin. (Hämtad ) Carl Olov Sommar. Nationalencyklopedin. (Hämtad ) Per Anders Fogelström. Nationalencyklopedin. per-anders-fogelström (Hämtad ) Olofsson, Tommy. Hjalmar Söderberg. Nationalencyklopedin. encyklopedi/lång/hjalmar-söderberg (Hämtad ) Persson, Anita. Vandra med August Strindberg, 12 vandringar i Stockholm och Stockholms skärgård. Stockholm: Prisma, Petersen, Lennart af. Vattenbutik i Humlegården [Fotografi] Stockholmskällan. stockholmskallan.stockholm.se/post/11792 (Hämtad ) Sommar, Carl Olov. Strindberg på Östermalm. Stockholm: Billbergs, Strindberg, August. Röda rummet, Skildringar ur artist- och författarlivet. Samlade verk. Nationalupplaga. 6. Stockholm: Almqvist & Wiksell, E-bok. Strindbergsvandringar med Anita Persson. Om Anita Persson. (Hämtad ) 13

46 Stockholmskällan. Byggnation av tunnelbanebron mellan Slussen och Gamla Stan. stockholmskallan.stockholm.se/post/11492 (Hämtad ) Stockholmskällan. Linnémonumentet. (Hämtad ) Stockholmskällan. Per Anders Fogelström. (Hämtad ) Stockholmskällan. Slussen. slussen/ (Hämtad ) Söderberg, Hjalmar. Förvillelser. Stockholm: Albert Bonniers Förlag, E-bok. Söderberg, Hjalmar. Hjalmar Söderberg erbjuder Wahlström & Widstrand debutromanen Förvillelser - brev Stockholmskällan. (Hämtad ) Söderberg, Hjalmar. Hjalmar Söderberg skriver till polisen efter att hustrun sett en karl i sovrummet. Stockholmskällan. (Hämtad ) Wolke, Lars Ericson. Stockholms historia. Lund: Historiska Media,

47 Bilaga 1 Karta över Stockholm 1885

48 HERMODS DISTANSGYMNASIUM Naturvetenskapsprogrammet Emilia Dunfelt Engelska An Epilogue to A Family Supper by Kazuo Ishiguro By Emilia Dunfelt Inspector Nakamaro took a brief moment to close his eyes and rest, it was a luxury he seldom granted himself, though, on this particular night he thought it appropriate, considering what lay ahead. As his grainy eyes opened, they were met with the sophisticated web of small brooks and streams restlessly pacing down the window of his car. Autumn night rain. Tokyo rain. Stepping out of the car, into the heavy rainfall, he gazed towards the house. Through squinted eyes, he saw the well lit veranda, the garden, the gaping front door, the darkness inside. There was a faint light coming from somewhere further within. It wasn t always like this, the thought flashed through his mind as he stepped into the spotlights like an actor on a stage. The protagonist has arrived, or rather, the antagonist. A few colleagues were waiting by the front door, none over the age of 35. He pictured iron shoes on his feet, dragging him down towards the center of the earth. Not letting a single syllable pass his clenched teeth, he passed the young officers and entered the doorway. The feeling of passing through a portal to a distant world came upon him, and he welcomed it. This world was dark, with faint apparitions of once familiar shapes scattered across the dimly lit rooms. He passed the kitchen, everything neatly cleaned. Barren, without a trace of life. Because there is no other life, he thought. A distant smell of fish lingered in the deserted room, perhaps it was emitted from the walls, oozing out through every microscopical crack and crevice. Like the scent of warm, well-lit family meals, or the odor of mortal fear and nervous chefs. Purposefully, like a machine made of sturdy steel, he pressed on through the gloomy rooms. He could still see the light coming from the three half closed bedroom doors. Luminous angels were in those rooms, claiming the souls of weary bodies. Upon entering the first bedroom his eyes, as if under the influence of an outer force, immediately turned towards the girl. The white lamp made her face seem like that of a mask. One half paper white, the other filled with sharp shadows drawn with paint on her waxen face, her dark hair adding to the effect. She looked so young and virtuous, but he knew this could not be the case. He turned, reaching his hand out to the cold plastic of the lamp. With a slight movement he let the darkness swallow the girl in the room. The second bedroom was bare with the exception of a futon and its former occupant. The sheets were in disarray, as if a struggle had occurred. One glance at the young man was all it took to determine the cause of his current disposition. His distorted facial expression, his western haircut and the neatly folded branded clothes next to him. There was no other way.

49 Moving on through the dark void of the house, he finally reached the last room. This room held the truth, the key to the riddle. After a moment s pause, he pushed the door open, ignored the sight of yet another young officer standing in the room, and instead turned his head towards the man lying in the center of the well lit circle, formed by the surrounding lamps. He knew this man, they came from the same world, the same epoch. It was an honorable man, a man worthy of respect. This was how things used to be harsh, perhaps, but honest and true. There is only one path through life, a path that always should be followed and not strayed from.

50 HERMODS DISTANSGYMNASIUM Naturvetenskapsprogrammet Emilia Dunfelt Fysik Ljusets interferens Sammanfattning I försöket undersöks ljusets vågegenskaper med hjälp av gitterekvationen. Två olika laserljus används för att skapa olika interferensmönster genom en dubbelspalt och ett gitter. Spaltavståndet i dubbelspalten samt våglängden för det ena ljuset beräknas.

51 Introduktion Mysteriet om ljusets natur har länge förundrat människor. Vi omges ständigt av det i olika former, ljus används i allt från datorskärmar till avancerad forskning. På 1700-talet började Isaac Newton ifrågasätta den då gällande teorin om att ljuset var en vågrörelse. Han menade istället att ljus bestod av partiklar. Genom försök med speglar drog han slutsatsen att ljuset studsade tillbaka liksom om det bestod av små bollar. Under 1800-talet började dock andra vetenskapsmän ifrågasätta Newtons teori 1. År 1801 visade Thomas Young genom ett försök med en dubbelspalt att ljuset böjdes av vid de två koherenta ljuskällorna på samma sätt som andra vågor. Interferensmönstret som uppstod förnekade således Newtons idé. Även forskaren A.J. Fresnel kunde bevisa att ljuset betedde sig som en våg. Under 1800-talets slut fortsatte mer forskning att bevisa vågteorin 2. Först på 1900-talet, inom kvantmekaniken, återuppstod Newtons s.k. korpuskelteori. På senare tid har det gått att bevisa att ljus besitter både partikel- och vågegenskaper. Det har dock ännu inte genomförts ett försök där de båda egenskaperna bevittnats samtidigt 3. Det finns således olika sätt att betrakta ljus på. Ljus är i själva verket benämningen på den del av det elektromagnetiska spektrat som är synlig för oss människor, det vill säga mellan 400 nm och 700 nm. De olika färgerna i det synliga spektrat bildar tillsammans vitt ljus. Färger uppkommer tillföljd av att olika ämnen absorberar ljus av olika våglängd. Vitt ljus träffar ett föremål och exempelvis absorberas då rött och blått ljus. Ljus med andra våglängder reflekteras då och ger upphov till den färg vi ser. Således är färg egentligen någonting relativt som endast beror på de nervsignaler som skickas från synsinnescellerna i våra ögon till hjärnan då det reflekterade ljuset når ögat 4. Ljuset uppvisar som sagt vågegenskaper. Förutom reflektion kan ljusvågorna även böjas av och interferera liksom vågor i vatten. Det var detta som Young visade i sitt försök. Genom att sätta upp två smala dubbelspalter och låta ljuset flöda genom dessa skapades två koherenta vågkällor, d.v.s. två vågkällor ur vilka ljuset svängde i takt och med samma frekvens. På en skärm projicerades då en bild av ett referensmönster. På vissa punkter lös det, och på andra fanns det inget ljus alls. Detta motsvarade ljusvågornas maximum och deras minimum. Där det rådde konstruktiv interferens uppstod ett maxima, och där det rådde destruktiv interferens uppstod minima. Bilden visar Youngs försök med dubbelspalter. S 1 och S 2 är koherenta vågkällor, det bildas ett interferensmönster på skärmen mittemot. 5 1