Varför lär sig mina elever inte funktioner?

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Varför lär sig mina elever inte funktioner?"

Transkript

1 Gudrun Malmers stipendium 2007 Varför lär sig mina elever inte funktioner? Ett försök att använda humaniora för att få elever att förstå matematiska begrepp Lotta Wedman Ludvika Handledare: Marie Jacobson

2

3 Innehåll 1. Inledning Bakgrund Syfte Metod Hur undervisar man om begrepp? Sätt fokus på begreppen Begreppens utveckling Matematik och språkinlärning Funktionsbegreppet Begreppskartor Historia Olika syner på hur matematiken och begreppen utvecklas Funktionsbegreppets historia Avslutning Sammanfattande diskussion Utvärdering Hur man kan gå vidare...48 Referenser...49 Bilaga A Planering för avsnittet om funktioner i kursen Matematik A...51 Bilaga B Hönsburen...52 Bilaga C Övningar utifrån funktionsmaskinen...54 Bilaga D Begreppskarta ekvationssystem...55 Bilaga E Begreppskarta algebra...56 Bilaga F Funktionsbegreppets åskådningsformer...57 Bilaga G Historisk översikt enligt Oswald Spengler...58

4 1. Inledning 1.1 Bakgrund Jag började bli intresserad av matematiska begrepp och begreppsinlärning när jag, efter att ha arbetat några år som lärare på gymnasiet, fick en elev som hade stora svårigheter med matematik. Lisa blandade ihop addition med multiplikation och hon kunde inte heller räkna utan miniräknare. Jag minns särskilt ett tillfälle när klassen arbetade med area och Lisa skulle räkna ut arean på en triangel. Jag kunde först inte förstå varför hon inte klarade av att använda formeln arean = basen höjden när det plötsligt gick upp för mig att hon inte visste vad triangelns höjd var. 2 Jag har senare märkt att det är flera elever som inte vet vad höjden i en triangel är och därför inte klarar av att räkna ut triangelns area. Efter lärarutbildning hade jag, när det här arbetet började, arbetat som gymnasielärare i matematik och filosofi i drygt sju år. Jag hade haft elever på de flesta program i matematik och jag hade även undervisat elever på samhällsprogrammet i filosofi. Både filosofi och matematik är ämnen där det finns många nya begrepp och där förståelsen av begrepp är viktig när man ska tillägna sig ämnet. Ändå var det stora skillnader mellan mina matematik- och filosofilektioner. När jag fick eleverna i filosofi var det första gången de läste ämnet och jag började från början med att bygga upp elevernas kunskap i ämnet. Det innebar att alla som ville kunde klara av kursen utan någon större ansträngning, vilket inte var fallet med matematikkurserna. En lärobok i filosofi var också upplagd på ett annat sätt än i matematik. När nya begrepp infördes så fick man en idéhistorisk förklaring till dem och en beskrivning av vad de betydde. I marginalen fanns dessutom förslag på diskussionsämnen som fick eleverna att reflektera över det som togs upp. En lektion i filosofi kunde gå till såhär: Vi började med att knyta an till det som vi gjorde förra lektionen. Sedan gick jag igenom något nytt på tavlan, med avbrott för att diskutera det nya innehållet. Efter detta fick eleverna någon typ av uppgift som knöt an till det nya innehållet, enskilt eller i grupp, och lektionen avslutades med att vi samlade ihop erfarenheterna från arbetsuppgifterna. Ofta fick eleverna i hemuppgift att läsa igenom det som vi hade gått igenom till nästa lektion. Under en matematiklektion däremot diskuterade vi sällan det nya innehållet. Elevernas uppgifter var också mer enahanda, ofta handlade det om att de skulle räkna i boken. Jag som lärare var dessutom sämre på att samla ihop eleverna efter att de hade arbetat under en matematiklektion. Min målsättning har blivit att kunna ha ungefär samma upplägg på mina lektioner i matematik som jag har i filosofi. Även om kunskapsinnehållet är olika så är många av svårigheterna desamma, att förstå begreppen och kunna använda dem. I filosofi ska begreppen användas för att diskutera omvärlden och lösa filosofiska problem och i matematik ska de användas för att lösa matematiska problem. För några år sedan hade vi i Ludvika ett projekt där en kollega och jag diskuterade matematiska begrepp tillsammans med personal från förskolan. Vi som var med i projektet Inlärning och användning av matematiska begrepp ett utbyte mellan förskola och gymnasium började med att gå på en föreläsning tillsammans, Mattepåsen1, vilket skapade många tankar och idéer kring hur matematikundervisning kunde bedrivas. Föreläsningen handlade om hur man kunde använda praktiskt material, litteratur och samhälle för att skapa en kommunikativ klassrumsmiljö, där det blev naturligt att diskutera det matematiska språket, på förskolan. 1 Föreläsningen ordnades då av Sama förlag. 1

5 Det var intressant att se hur de i förskolan arbetade med olika begrepp, både inom språk och matematik, med hjälp av sagor, sånger, lekar och diskussioner. På förskolan var det ingen skillnad mellan hur man arbetade med matematiska och språkliga begrepp; det verkade bli större skillnad ju högre upp i åldrarna eleverna kom. Efter projektet tillsammans med förskolelärarna har jag ofta saknat ett samarbete mellan språk- och matematikundervisning. Jag har också tidigare arbetat med begrepp i en D-uppsats i matematik2 som bland annat handlade om gränsvärdesbegreppet och den analys som fanns på universitetet. Arbetet grundade sig på en Duppsats i vetenskapsteori, som jag tidigare hade skrivit, om varför 0, = 1 i reell analys och hur det blir om man, istället för gränsvärden, använder oändligt små tal och den icke-standardanalys som Abraham Robinson har arbetat fram som en alternativ matematisk modell.3 Detta utvecklade jag i matematikarbetet och jag jämförde hur stora delar av analysen byggdes upp i de två modellerna.4 Skillnaden mellan inkrement, Δy, och differentialer, dy, som används för att definiera gränsvärden i icke-standardanalys. Jag analyserade också hur gränsvärdet definierades. Det fanns flera svårigheter med gränsvärdesbegreppet inom den reella analysen som gör att det blev särskilt svårt för studenterna att förstå. Många av de svårigheterna försvann i icke-standardanalys.5 2 Jag har en filosofie magisterexamen med matematik som huvudämne och med vetenskapsteori inriktad mot matematik (80 poäng) som biämne. 3 Karlsson (1999) 4 Wedman (2008) 5 Wedman (2008) 2

6 Erfarenheten jag fick från detta arbete var att jag blev medveten om matematikens uppbyggnad, hur de olika matematiska begreppen hängde ihop med varandra och hur viktigt det var att studenter på universitet eller högskola och elever på grundskola eller gymnasium hade korrekta mentala bilder, även om jag inte visste hur man skulle undervisa för att nå dit. Medan gränsvärdet var svårt för studenterna tyckte mina elever på gymnasiet att funktionsbegreppet var särskilt svårt. Det blev obegripligt för dem när man pratade om linjära funktioner och blandade in skrivsättet f(x). En av de stora svårigheterna var att få eleverna att förstå vad en riktningskoefficient är och göra kopplingen mellan räta linjens ekvation och den uppritade räta linjen. Därför ville jag arbeta med att få elever att förstå funktionsbegreppet och jag hade en idé om att om jag planerade matematiklektioner så att de mer liknade mina lektioner i filosofi så skulle begreppsinlärningen bli bättre och eleverna skulle få lättare att förstå. 1.2 Syfte Syftet med arbetet var att undersöka hur jag som lärare ska undervisa för att få eleverna att förstå matematiska begrepp. Jag ville också ändra arbetssätt för att få mina lektioner i matematik att mer likna de jag hade i filosofi och hämta inspiration av hur man arbetar i språkundervisning. Eftersom det ofta fanns ett idéhistoriskt perspektiv på begreppen i filosofi var min ambition att överföra även detta synsätt till matematiken. Frågeställningar I arbetet har jag studerat dessa frågeställningar: - Vad är ett matematiskt begrepp och hur ska jag som lärare undervisa om jag vill att eleverna ska förstå de matematiska begreppen? - Hur kan jag som matematiklärare använda mig av de undervisningsmetoder som man arbetar med i filosofi och olika språk? - Varför förstår mina elever inte funktioner? För att resultatet ska vara lätt att tillgodogöra sig har jag haft som ambition att beskriva hur jag har arbetat praktiskt med att planera avsnitt, hur jag har lagt upp lektioner och vilka övningar som främjar begreppsinlärning. 1.3 Metod Jag arbetade med att förändra min undervisning under åren Under vårterminen 2008 läste jag litteratur och planerade övningar som jag sedan försökte genomföra under läsåret 2008/2009 då jag arbetade med funktionsavsnittet i kursen Matematik B. Vårterminen och sommaren 2009 läste jag mer litteratur och läsåret 2009/2010 arbetade jag med funktionsavsnittet i Matematik A Dessa elever har jag arbetat med Under läsåret 2008/2009 hade jag två grupper som läste kursen Matematik B:6 Jag hade en grupp på 23 elever som gick på samhällsprogrammet och läste kursen obligatoriskt. På samhällsprogrammet läser man, i Ludvika, Matematik A på 72 timmar och Matematik B på 72 timmar. Gruppen bestod av 17 tjejer och 6 killar och jag hade haft 22 av dessa elever i A-kursen. 6 Det var en av de första gångerna som jag undervisade i B-kursen, vilket innebar att jag inte hade samma erfarenhet om kursen som jag hade om A-kursen. 3

7 Resultatet på nationella provet för Matematik A var 6 IG, 11 G och 5 VG.7 Jag hade också en grupp på 19 elever som gick på handelsprogrammet och läste Matematik B som valbar kurs. På handelsprogrammet läser man Matematik A på 96 timmar och Matematik B på 72 timmar. Gruppen bestod av 16 tjejer och 3 killar och jag hade haft hela gruppen i A-kursen. Resultatet på nationella provet för matematik A var 2 IG, 15 G, 1 VG och 1 MVG.8 Under läsåret 2009/2010 hade jag en grupp som läste kursen Matematik A. Eleverna gick på estetiska programmet och läste Matematik A på 72 timmar. Det var från början 31 elever i gruppen. I slutet av kursen var det av olika anledningar ca 21 elever kvar i klassen. Resultatet på nationella provet var 3 IG, 10 G, 1 VG och 2 MVG.9 2. Hur undervisar man om begrepp? 2.1 Sätt fokus på begreppen I början av projektet hade jag en vag uppfattning om vad ett begrepp var och jag blandade begrepp med ord utan att riktigt veta skillnaden. Det var svårt för mig att hitta en tydlig förklaring av begrepp. Till slut kombinerade jag Nationalencyklopedins beskrivning av begrepp med den språkfilosofiska teorin kring mening och referens. Som komplement läste jag en artikel om skillnaden mellan begreppsbilder och begreppsdefinitioner inom matematik och fick därmed en tydligare bild av begrepp och också en bättre grund för att arbeta med elevernas begreppsuppfattning. Det är två frågeställningar som jag främst vill ha svar på i detta avsnitt: Vad är ett begrepp? Hur underlättar man för eleverna att skapa sig relevanta begreppsbilder? Vad är ett begrepp? Definitionen av ett begrepp Enligt Nationalencyklopedin är ett begrepp det abstrakta innehållet hos en språklig term.10 Det är viktigt att skilja på begreppet och den språkliga termen och man ska inte heller förväxla begreppet med de konkreta eller abstrakta föremål som termen används för att beskriva. Med begreppet triangel avses den innebörd vi lägger i uttrycket triangel, vilket måste skiljas både från ordet triangel och från mängden av trianglar. 11 Mening och referens Dagfinn Føllesdal, Lars Walløe och Jon Elster, författare till Argumentationsteori, språk och vetenskapsfilosofi, skriver att det är svårt att förklara vad ett begrepp är. Därför använder de inte heller ordet begrepp utan diskuterar istället språkliga uttryck Sju av dessa läste senare matematik C 8 Fem läste senare matematik C 9 Resterande elever gjorde inte provet eller skrev bara ena delen. 10 Nationalencyklopedin (NE) (1990) använder term som enligt NE betyder ord eller uttryck med fastställd definition i en viss terminologi. 11 Nationalencyklopedin (1990): begrepp 12 Jag väljer att istället fortsätta använda begreppet term för att få en enhetlig terminologi. 13 Føllesdal m.fl. (1993): 257 4

8 Inom språkfilosofin skiljer man mellan meningen och referensen hos en term (ett uttryck): Meningen, eller betydelsen, är innebörden av termen. Meningen med en rektangel är att det är en tvådimensionell figur som bara har räta hörn. Meningen av fem är att det är ett tal med vissa egenskaper. 14 Referensen är det eller de ting vi talar om när vi använder ett ord. Medan meningen alltid är abstrakt, vi kan aldrig se eller ta i den, kan referensen däremot vara en eller flera saker som antingen är konkreta eller abstrakta. Rektangel refererar till mängden av alla rektanglar, inklusive specialfallet kvadraterna: Fem refererar till alla tillämpningar av ordet fem: Jag ser fem fåglar på himlen. Om man adderar två med tre så får man summan fem.15 Flera termer kan ha olika mening men samma referens: Fyrkant, en tvådimensionell figur med fyra raka kanter, och fyrhörning, en tvådimensionell figur med raka kanter och fyra hörn, har olika mening men refererar till samma mängd av polyedrar. Riktningskoefficient, k-värde och linjens lutning är ett annat exempel på att termer kan ha olika mening och samma referens. Däremot kan två termer inte ha samma mening men olika referens. Referensen är alltså en funktion av meningen; när vi vet meningen kan vi entydigt peka ut det som termen refererar till.16 Språkforskaren Charles Kay Ogden åskådliggör detta med hjälp av det som ofta kallas Ogdens triangel Føllesdal m.fl. (1993): Føllesdal m.fl. (1993): Detta förutsätter att vi har samma uppfattning om vilken mening termerna har. 17 Føllesdal m.fl. (1993): 253 5

9 Olika slags definitioner Ibland behöver lärare förklara meningen hos ett ord, det kan vara ett ord som eleverna inte hört tidigare eller ett ord där innebörden har ändrats på grund av att eleverna ska lära sig något nytt. En sådan förklaring kan vara en definition, men behöver inte vara det. Ibland räcker det med en beskrivning. Enligt Føllesdal m.fl. berättar en beskrivning vad termen refererar till, den beskriver referensen. I vissa vetenskaper, till exempel matematik, godtas dessa beskrivningar som definitioner. Man talar då om extensionella definitioner.18 För det mesta brukar man med en definition mena en precisering av termens mening. Det kallas då för en intensionell definition.19 Som lärare använder man ofta extensionella och intensionella definitioner för att få eleverna att förstå olika begrepp, man ger exempel på hur begrepp används och försöker få eleverna att förstå begreppens mening. Dessa pedagogiska definitioner ska man inte blanda ihop med begreppens formella definitioner. Med en formell definition av ett begrepp avses definitionen i sitt språkliga uttryck, vilken kan vara antingen extensionell eller intensionell. Enligt Kerstin Pettersson, universitetslektor i matematik vid högskolan Skövde, kan formella definitioner grundas på idéer som är svåra att använda vid kreativ problemlösning. Avsikten är istället att kunna använda definitionen för att konstruera ett stringent bevis i ett formellt system.20 Här kan jag ana en konflikt. För att eleverna ska kunna lösa problem behöver de relevanta pedagogiska definitioner. Om de senare ska kunna utföra formella bevis behöver de formella definitioner. Det är inte säkert att dessa definitioner stämmer överens Begreppsbilder och begreppsdefinitioner i matematik Begreppsbilder David Tall och Shlomo Vinner formulerar ett antal idéer om begrepp och begreppsinlärning i matematik i Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Tall och Vinner gör skillnad mellan hur matematiska begrepp definieras formellt och de mentala bilder som hör till begreppen. De skriver att den kognitiva strukturen runt ett begrepp är mer än en symbol eller en mental bild. Den innehåller många medvetna och omedvetna processer som är knutna till begreppet. Ordet begreppsbild används för att beskriva den 18 Føllesdal m.fl. (1993): Føllesdal m.fl. (1993): Pettersson (2008) 6

10 totala kognitiva strukturen som är knuten till ett begrepp.2122 Bild av begreppet begreppsbild För att en elev ska förstå ett begrepp krävs det att eleven har en korrekt begreppsbild som hjälper eleven i dess problemlösning. En elev kan ha flera olika bilder på samma gång som används vid olika tillfällen. Efter ett tag kan bilderna smälta samman eller så glöms någon av bilderna helt bort. Ju fler kopplingar som finns mellan begreppsbilden och begreppsdefinitionen23 desto bättre blir eleven på att lösa problem. Om eleven inte förstår definitionen kan begreppsbilderna däremot vilseleda och vid obekanta situationer kanske definitionen inte räcker till.24 För att eleven ska bli bra på problemlösning krävs alltså att: Hon har en korrekt begreppsbild. Hon förstår begreppsdefinitionen. Det finns många kopplingar mellan begreppsbilden och begreppsdefinitionen 21 Tall & Vinner (1981) 22 Bilden nedan är tagen från Bergsten m.fl. (1997) 23 Poängen med att använda ordet begreppsdefinition är att man tydliggör att det är en definition av ett begrepp. 24 Tall & Vinner (1981) 7

11 Begreppsbilden förändras med tiden Ta exemplet med Emil som ska lära sig subtraktion: Första gången Emil lär sig subtraktion räknar han med naturliga tal och subtraktionen används för att räkna ut skillnaden mellan två tal: 1) 12 4 = 8 Den första termen (12) är alltid den största och differensen (8) blir alltid ett positivt, naturligt, tal. Med tiden kommer detta att ändras. När den första termen blir mindre än den andra får man ett negativt tal: 2) 4 12 = -8 Skillnaden mellan dessa två uträkningar och de mentala bilderna som är förknippade med dem är större än vad man först tror. Differensen i exempel 1 kan stå för en skillnad mellan de två talen, som alltid är positiv. I exempel 2 handlar det i stället om en förändring, som kan vara positiv eller negativ. På gymnasiet är det vanligt att elever får felet 4 12 = 8. Dessa elever är kvar på nivå 1 i sin begreppsuppfattning. I både 1 och 2 är differensen mindre än den första termen. När Emil senare ska subtrahera negativa tal har han med sig denna erfarenhet i begreppsbilden, vilket ytterligare kan förvirra och skapa problem när differensen blir större än den första termen: 3) 2 (-3) = 5 I exempel 3 finns flera svårigheter som måste hanteras. Dels den utvidgade subtraktionen, termerna kan nu vara negativa tal, och dels de två olika betydelserna av minustecknet. Ännu svårare och mer abstrakt blir det om man utgår från ett negativt tal: 25 4) -2 (-3) = 1 Begreppsbilden kan alltså innehålla motsättningar. Att Emil har med sig erfarenheten att en differens alltid är mindre än den första termen samtidigt som uträkningen ibland ger ett större resultat är ett exempel på en sådan motsättning där två erfarenheter säger emot varandra. En motsättning behöver dock inte leda till förvirring. Om olika delar av begreppsbilden väcks vid olika tillfällen upptäcker eleven inte att de säger emot varandra. Det är först när två motsättande aspekter väcks samtidigt, som i subtraktionsexemplet ovan, som det blir förvirring.26 Elever som håller på med matematik använder ofta olika processer i olika sammanhang. Ta till exempel Ulrika, som räknar ut 1 / / 4 korrekt eftersom hon har tydliga bilder av 1 / 2 och 1 / 4 och har förstått vad det innebär att addera två bråk. När hon sedan ska räkna ut 1 / / 4 misslyckas hon eftersom hon försöker med en annan metod som hon inte förstår (hon har ingen tydlig bild av metoden) och inte heller använder korrekt. Ulrika ser ingen konflikt i de olika metoderna eftersom hon använder den metod som verkar passa bäst vid varje tillfälle Hur man kan arbeta med formella definitioner Vi antar att en lärare på gymnasiet arbetar med att få eleverna i sin klass att förstå den formella definitionen av en funktion som är: en relation mellan två mängder A och B där varje element i A är kopplat till exakt ett element i B. 25 Fritt efter Tall & Vinner (1981) 26 Tall & Vinner (1981) 27 Fritt efter Tall & Vinner (1981) 8

12 En del av eleverna i klassen kommer ihåg denna formella definition, andra inte. En del av dem som kommer ihåg definitionen har dessutom skapat sig en mental bild av den och på så sätt försökt att förstå den. Andra har lärt sig den mekaniskt. Hur pass väl eleverna förstår definitionen beror på hur mycket eleverna har diskuterat den och arbetat med uppgifter där de får använda sig av definitionen. Läraren hamnar nu i ett dilemma: Hon kan planera kursen så att klassen först arbetar med den formella definitionen och begreppet i sin helhet. Därefter ägnar eleverna lång tid åt att räkna uppgifter där funktionen ges som en formel, som i början dessutom alltid är en rät linje, vilket kan resultera i att begreppsbilden utvecklas till ett mer begränsat begrepp som bara rymmer formler och räta linjer.28 Om läraren istället ägnar merparten av tiden till att först bygga upp en stark bild av funktionsbegreppet, som passar den matematik som eleverna håller på med för tillfället, och först på slutet tar upp den formella definitionen så kommer den begreppsbild som eleverna får att vara anpassad efter gymnasiematematiken och kan motsäga den formella definitionen. Begreppsbilden blir i båda fallen mycket starkare än bilden av definitionen och begreppsbilden kan, enligt Vinner och Tall, bli ett hinder för de elever som senare läser matematik på universitetet.29 Många begrepp som vi använder behöver vi inte definiera tydligt i undervisningen. Det kan vara begrepp som eleverna har med sig sedan tidigare men det kan också vara begrepp som liknar vardagliga begrepp och där man bara behöver precisera skillnaden mellan det eleverna redan kan och vad begreppet betyder i matematik. Största värdet är ett exempel på ett sådant begrepp där det räcker att visa några olika exempel på hur begreppet används så att eleverna får en extensionell definition.30 Ibland behöver vi dock precisera innebörden med ord. Eleverna bör till exempel få intensionella definitioner av de geometriska fyrhörningarna: Om man definierar vad en rektangel är och sedan använder den definitionen för att komma fram till att en kvadrat är ett specialfall av en rektangel, så får eleverna en djupare förståelse än om eleverna förklarar en rektangel med att det är en sådan där avlång sak. Den förståelse som eleverna får genom att arbeta med denna typ av pedagogiska definitioner är i många avseenden viktig för deras förmåga att lösa problem. När eleverna har vant sig vid definitionerna och löst olika typer av problem med hjälp av dem har de lättare att ta till sig de formella definitioner som behövs när eleverna ska utföra strikta bevis. Medan Tall och Vinner menar att kopplingar mellan begreppsbilden och den formella definitionen hjälper studenter på universitet och högskola att lösa problem menar jag att man på gymnasiet ska vänta med att lära ut de formella definitionerna och istället ge elever pedagogiska definitioner som är mer anpassade för problemlösning i gymnasiekurserna. De formella definitionerna kan läras ut i ett senare skede, om de till exempel behövs för bevisföring. Genom de pedagogiska definitionerna arbetar man med att bygga upp begreppsbilden för att eleverna senare ska kunna förstå en formell definition. 28 Tall & Vinner (1981) 29 Fritt efter Tall & Vinner (1981) 30 För en förklaring av extensionella och intensionella definitioner, se sidan 6 9

13 En begreppsdefinition kan också vara en personlig rekonstruktion av en vedertagen definition. Den är i så fall de ord som eleven använder som förklaring av sin begreppsbild och kan variera från tid till tid. Det är en bra övning att låta eleverna skriva ner egna definitioner för de begrepp som de arbetar med det blir ett sätt att synliggöra elevernas begreppsuppfattning. Tall och Vinner skriver att den personliga begreppsdefinitionen i regel skiljer sig från den formella begreppsdefinitionen, som är accepterad av matematiker i stort Diskussion Jag anser att det är viktigt att försöka ge eleverna olika pedagogiska definitioner, både intensionella definitioner genom att förklara ett begrepps mening och extensionella definitioner genom att ge exempel på hur begrepp används. Jag tycker inte att definitionerna behöver vara formellt korrekta utan det viktiga är att man anpassar innehållet efter den nivå man är på. Den stora nackdelen med att försöka lära eleverna formella definitioner, innan de är redo för det, är att man kan få de problem som visas i exemplet på sidan 8. Eftersom det sker en begreppsförskjutning under individens skolgång måste man som lärare vara medveten om att de begrepp som eleven har med sig inte alltid är anpassade för den nivå där man själv undervisar. Genom att vara medveten om och diskutera detta med eleverna kan läraren underlätta övergången. Det är min uppgift, som gymnasielärare, att se till att de begreppsbilder som eleverna har är anpassade efter gymnasiekurserna. Lärarna i grundskolan kan inte i förväg ge eleverna en begreppsbild som är anpassad till en matematik de ska lära sig om flera år utan det är deras uppgift att ge eleverna så bra begreppsbilder som möjligt, utan direkta felaktigheter och försvårande bilder, utifrån grundskolematematiken. På samma sätt som det inte är grundskolelärarens uppgift att ge eleverna begrepp för gymnasienivå är det inte heller gymnasielärarens uppgift att anpassa begreppsinlärningen till universitetet. Min uppgift som gymnasielärare är att ge eleverna så bra kunskaper som möjligt på den nivå där jag undervisar och överlåta ansvaret för universitetsmatematiken till de lärare som arbetar på universitetet. Det innebär att lärarna på universitetet måste vara medvetna om att de begreppsbilder som studenterna har med sig inte alltid passar deras kurser och ta hänsyn till detta Hur jag har arbetat med begreppsbilder och begreppsdefinitioner Efter att jag hade läst om intension, extension och vad ett begrepp är och dessutom fått ta del av Tall och Vinners uppdelning mellan begreppsbild och begreppsdefinition började jag arbeta på ett annat sätt. Jag var mycket mer medveten om elevernas begreppsbilder och försökte ge eleverna korrekta förklaringar och bilder att använda när de löste uppgifter Olika sätt att introducera begrepp För att eleverna ska förstå de matematiska begreppen har jag försökt att alltid introducera nya ord genom att först förklara ordens innebörd på olika sätt: Ge orden en historisk förankring Descartes uppfann koordinatsystemet på 1600-talet. Eftersom Descartes motsvaras av Cartesius på latin pratar man även om kartesiska koordinater. Skilja mellan ordens betydelse i vardag och matematik Vad betyder ordet funktion i vardagen? Vad betyder det i matematiken?33 31 Tall & Vinner skiljer inte mellan formella definitioner och andra slags vedertagna definitioner. 32 Tall & Vinner (1981) 33 Här kan man också dra en parallell till ordet function på engelska, är det någon skillnad på ordens mening? 10

14 Förklara varför orden har de namn som de har och ge dem en språklig koppling Det heter exponentialfunktion för att det är en funktion som har variabeln i exponenten. Procent kommer från pro centum som betyder för varje hundra, det vill säga hundradel. På engelska heter det per cent eller percent. Ge definitioner till olika begrepp En rektangel är en fyrhörning med endast räta hörn Ge konkreta bilder Rektangel Diskutera hur olika begrepp används med eleverna Vilket är det minsta talet? Hur många siffror finns det? Genom att prata om begrepp på det här sättet arbetar man med ordens intension. När man sedan ger olika exempel och låter eleverna lösa uppgifter där orden används, arbetar man med ordens extension. Båda delarna behövs för att bygga upp elevernas begreppsbilder En lektion om funktioner Från tidigare gånger då jag arbetat med B-kursen visste jag att funktionsbegreppet är svårt att förstå, det är kanske det mest komplexa begreppet i gymnasiematematiken. Jag tänkte att problemet varit att jag pratat för lite om begreppet och förberedde därför en lektion som bara skulle handla om vad en funktion är. Under hösten 2008 introducerade jag funktioner i Matematik B genom en föreläsning som jag här beskriver kortfattat: Ett sätt att definiera en funktion är att prata om funktionsmaskinen: om man stoppar in ett värde så får man ut ett annat. I funktionen finns en regel eller en formel som gör något med de värden som man stoppar in. 11

15 En funktion kan även vara en graf eller en tabell: 34 Eftersom grafen är en rät linje så säger man att funktionen är linjär. Jag ritade upp några olika typer av funktioner på tavlan och pratade om hur man kan se i en graf att det är en funktion man har. Att ett x-värde inte får vara kopplat till två olika y-värden. Vilket x-värde man än stoppar in i funktionsmaskinen så får man alltid ut exakt ett y-värde. Jag hade först lektionen i en grupp med elever från handelsprogrammet där det gick ganska bra men när jag senare använde lektionen i min samhällsgrupp gick det sämre, några tongivande elever förstod/lyssnade inte och sedan hade de svårt att lösa uppgifterna i boken.35 Jag fick snabbt revidera upplägget för samhällsgruppen, jag bytte ut böcker och gjorde om planeringen för ett antal elever. Det var inte läge att experimentera för mycket med matematikinnehållet, eleverna var alltför skeptiska. Jag använde istället de metoder som jag var säker på i samhällsgruppen och använde handelsgruppen till experimenterandet Diskussion Om begreppen är enkla och lätta att förstå går det bra att introducera dem genom att arbeta med begreppens mening och referens på de sätt som jag beskriver i Funktionsbegreppet däremot är så komplicerat och innehåller så många olika delar att man inte kan introducera hela begreppet på en gång. Eleverna kan inte ta till sig informationen vid ett tillfälle. Läraren måste ha en strategi där hon arbetar med lite i taget så att eleverna ändå efter ett tag får en sammanhängande bild. En sådan strategi måste byggas på kunskap om hur elevernas begrepp utvecklas. 2.2 Begreppens utveckling Efter att jag hade förstått vad ett begrepp är och läst om och arbetat med elevernas begreppsbilder insåg jag att för att lyckas måste jag planera undervisningen utifrån kunskap om hur elevernas matematikkunskap och särskilt deras begreppsbilder utvecklas. Jag kunde inte förutsätta att bara för att jag har förstått begreppen så skulle eleverna anamma mina bilder när jag berättade om dem. Därför läste jag Jan Thompsons teori om hur man kan gå från det konkreta till det abstrakta och Tall och Vinners teori om begreppsutvecklingens fyra faser. Frågeställningarna som jag vill ha svar på i detta avsnitt är: Hur planerar man undervisningen utifrån kunskap om hur eleverna lär sig matematik? Hur går elevernas begreppsutveckling till? Hur kan man få kunskap om vilka begreppsbilder eleverna har med sig? 34 Ett misstag jag gör är att jag inte förklarar hur funktionsmaskinen hänger ihop med graf och tabell. 35 Jag hade olika böcker i de båda grupperna. I samhällsgruppen användes en bok som var inriktad på att eleverna skulle läsa vidare till C-kursen medan eleverna i handelsgruppen hade olika böcker, beroende på ambitionsnivå. 12

16 2.2.1 Gå från det konkreta till det abstrakta. Jan Thompson har skrivit boken Matematiken i historien där han först beskriver stora delar av den matematiska historien och sedan för fram teorier om matematikinlärning, som han menar ska utgå från hur matematiken har utvecklats historiskt. Thompson utgår från intentionalitet som är det som ger mening åt upplevelsen av ett begrepp. Intentionaliteten kan variera beroende på person och tid. Bråket ¾ kan till exempel uppfattas på minst två olika sätt: 1) Upplevelsen kan riktas mot objektet 3 fjärdedelar. Då kan meningen av upplevelsen bestå i föreställningen att dela t.ex. en kaka i fyra delar och ta tre av dem, vilket kan visualiseras i en bild: 2) Upplevelsen kan också riktas mot symbolen 0,75. Då kan meningen av upplevelsen bestå i symbolföljden 0, 7 5. Man kan också tänka sig att meningen består i 75 hundradelar.36 Intentionaliteten i 2 förutsätter att personen i fråga har en symbolisk färdighet (till exempel en förmåga att hantera tal av typen 0,75). Annars blir upplevelsen tom.37 Man kan skilja på en genetisk och en strukturell metod. En genetisk metod grundar sig bland annat på en koppling mellan matematik och det svenska språket medan en strukturell metod bygger på matematiska lagar och ett mer formellt språk. Till exempel kan man demonstrera att 3 * ¾ = 9/4 med de olika metoderna. Genetisk metod: 3 3 / 4 = 3 gånger 3 fjärdedelar = 9 fjärdedelar = 9 / 4 Strukturell metod: 3 3 / 4 = (3 / 1) (3 / 4) = (3 3) /(1 4) = 9 / 4 Thompson menar att matematisk didaktik till en början ska avstå från ett strukturellt grepp.38 Thompson skriver också att = 7 inte är själva operationen addition utan endast den symboliska beskrivningen av additionen. Själva operationen är föreställningen om en handling, till exempel att föra ihop tre klossar och fyra klossar. I skolan intresserar man sig mycket för den symboliska beskrivningen och kontrollerar inte om symbolerna betyder något för eleverna. Därför händer det då och då att man på gymnasiet får elever som blandar ihop multiplikation och addition.39 Ett exempel på en sådan felräkning är när Lisa räknade ut att 9 10 = 18, en uträkning som innehåller två fel. Hon blandade dels ihop multiplikation och addition och dels räknade hon fel när hon fick = 18. Om vi fortsätter att diskutera additionen så handlar det om tre nivåer: 1) Handlingen addition som består i att faktiskt föra samman tre och fyra klossar. 36 Thompson (1996): Thompson (1996): Thompson (1996): Thompson (1996):

17 2) Operationen som vi faktiskt kan kalla addition. Den äger rum i tanken och består av föreställningen av handlingen i nivå 1. 3) Den symboliska skrivningen av additionen:40 3+4=7 Additionen som tankeoperation ligger på nivå 2 och förståelsen av begreppet addition utgår från handlingen i nivå 2 och alltså inte från den symboliska beskrivningen av handlingen, nivå 3. Ett misstag som görs i elementär matematikundervisning är att man koncentrerar intresset till nivå 3, det vill säga till den symboliska skrivningen av operationen. När eleven förväntas ta det kognitiva språnget mellan nivå 2 och 3 måste läraren vara medveten om svårigheterna och kontrollera att eleven är med. För att underlätta övergåendet mellan nivå 2 och 3 kan man dela upp nivå 2 och skriva retoriskt: 2a) Tre klossar och fyra klossar är tillsammans sju klossar. 2b) 3 klossar + 4 klossar = 7 klossar 2c) 3k. + 4k. = 7k. (k. är en förkortning av klossar)41 Därefter följer nivå 3 som är en symbolisk nivå. Från 2c kan man också gå över till nivå 4 som är: 4) Symbolisk beskrivning med algebra 3x + 4x = 7x Thompson skriver att svårigheterna för eleverna att förstå algebra kanske skulle minska om eleverna har arbetat med nivåerna 2a 2c Begreppsutvecklingens fyra faser Enligt David Tall och Shlomo Vinner sker begreppsinlärning i fyra faser: A Vi träffar på och använder begreppen, utan att vi har definierat dem formellt. B Vi generaliserar erfarenheten och skapar oss mentala bilder av objekten som hjälper oss i problemlösning. C Vi använder bilderna i olika sammanhang och löser olika problem. D Begreppet preciseras. Vi får kanske ett namn eller en symbol som gör att vi kan kommunicera med varandra. Eventuellt får begreppet också en formell definition.43 Detta kan vi använda oss av när vi planerar undervisning kring begrepp. Jag har gjort om Tall och Vinners fyra faser till fyra motsvarande faser som handlar om undervisning: A* Vilken erfarenhet av begreppet har eleverna med sig? B* Skapa en samlad bild av begreppet. Komplettera elevernas erfarenhet med något som är nytt för det avsnitt vi ska jobba med just nu. Prata om begreppets betydelse och ge exempel på hur man kan använda begreppet. C* Låt eleverna använda begreppet i olika sammanhang och lösa olika typer av problem. D* Precisera begreppet på olika sätt. Man kan ta fram frågeställningar som eleverna får diskutera, Man kan lyfta fram nya, mer abstrakta sidor, av begreppet och eventuellt ge en formell definition. Här ser man att det är viktigt att inte definiera de matematiska begreppen formellt innan eleven har använt begreppen för att lösa problem. 40 Thompson (1996): Thompson (1996): Thompson (1996): Tall & Vinner (1981) 14

18 Man kan också tänka sig att man har en spiral: Först får eleven lära sig en del enkla aspekter av ett begrepp. Sedan får hon lösa enkla problem som tränar detta. Sedan kan hon gå vidare i sin utveckling och förstå mer komplexa aspekter av begreppet, som finns längre in i spiralen, och lösa mer komplexa problem. Efter detta kanske eleven är mogen att förstå en formell definition innan hon slutligen löser problem där den formella definitionen behövs Hur jag har arbetat med att gå från det konkreta till det abstrakta Efter att jag hade läst Thompsons teori om hur man ska gå från det konkreta till det abstrakta och dessutom tagit till mig Tall och Vinners fyra faser som begreppsinlärningen följer så började jag planera lektionerna på ett något annorlunda sätt. Jag började med att förändra genomgångarna genom att dela upp dem i grundläggande genomgångar och preciseringar Hur jag har arbetat med inledande genomgångar Tidigare har jag inte tänkt på att gå från det konkreta till det abstrakta på det sätt som Thompson beskriver. Jag har ofta börjat på den strukturella nivån, nivå 3, utan att tänka på det. Därför är det inte konstigt att Oskar för några år sedan kommenterade en genomgång inom området bråk med: Det hade varit lättare att förstå om du hade förklarat med bilder. Jag vände mig om och såg en hel tavla full av olika beräkningar som denna: 1 / / 4 = (2 1) /( 2 2) + 1 / 4 = 2 / / 4 = 3 / 4 Istället kunde jag ha börjat med ett mer konkret problem, till exempel: Först äter du en halv pizza. Efter denna tar du en fjärdedels pizza. Hur stor del av en pizza har du ätit om du lägger ihop delarna? När vi löser problemet kan vi utgå från Thompsons tre nivåer: 1) Börja med konkreta bilder av problemet. 2) Utföra additionen i tanken och prata/skriva retoriskt Visa hur man kan pussla ihop de två delarna och att detta är samma sak som två fjärdedelars pizza plus en fjärdedels pizza: 3) Sedan när man har diskuterat sig fram till lösningen kan man gå över till den symboliska nivån. 1 / / 4 = (2 1) /( 2 2) + 1 / 4 = 2 / / 4 = 3 / 4 Ett annat misstag som jag tidigare har gjort är att jag har blandat grundläggande kunskaper om 15

19 begrepp med mer komplexa aspekter av begreppen i genomgångar, innan eleverna hade arbetat med begreppen. Efter att ha läst om Tall och Vinners faser börjar jag istället ett nytt område med att gå igenom begreppens grunder, på det sätt som jag tidigare har beskrivit.44 Sedan ger jag några exempel på hur begreppen används. Efter detta får eleverna arbeta med olika typer av uppgifter. På slutet av lektionen eller i början av nästa lektion kommer sedan preciseringen. Det omedelbara resultatet av att jag börjat arbeta på det här sättet är att det är färre elever som klagar över genomgångarna. Tidigare var det vanligt att eleverna sa: Du ska väl inte ha genomgång idag? Det har de slutat med nu. Dessutom har jag själv blivit mycket mer säker på att genomgångarna är viktiga. Tillsammans gör detta att både jag och eleverna tar lektionerna mer på allvar och det är lugnare i klassrummet Hur jag har arbetat med precisering av begrepp Efter att eleverna har arbetat med uppgifter inom det nya området är det så dags för precisering. Jag har använt olika sätt att precisera begreppen på. Ibland har jag avslutat lektionerna genom att gå igenom vissa problem tillsammans i klassen. Ibland har jag också gått igenom någon ny aspekt hos begreppet, i slutet av lektionen eller i början av nästa lektion. Flera gånger har jag också försökt få eleverna att diskutera vissa frågeställningar. Diskussioner i grupp och i helklass De elever som jag har är vana vid att använda begrepp passivt, de lyssnar på mig och läser uppgifter som de ska lösa. Ändå är det när eleverna använder begreppen aktivt, när de skriver och pratar, som man som lärare har störst chans att upptäcka deras begreppsbilder. Därför är det viktigt att man planerar undervisningen på ett sätt som gör att eleverna får prata och skriva matematik. Ett sätt att göra detta är att genom diskussioner ge eleverna en chans att utveckla sin förståelse och sitt matematiska språk. För att man ska få en bra diskussion krävs rätt slags diskussionsämne.45 Det får gärna vara något som knyter an till något vardagligt eller icke-matematiskt. Ämnen som jag har låtit klasserna diskutera i A-kursen är Kan man måla en area? och Är det bra att använda formeln för BMI?. I B-kursen är det svårare att hitta denna typ av frågeställningar. En fråga som vi har diskuterat är om det finns ekvationssystem som saknar lösning. Jag hade tidigare sagt att ett ekvationssystem kan ses som två räta linjer som möts och att man ska ta reda på var de möts. När vi diskuterade upptäckte vi att det är en felaktig beskrivning. Eftersom det finns ekvationssystem som saknar lösning behöver linjerna i ekvationssystemet inte mötas. Detta är ett exempel på att man genom diskussioner får en chans att rätta till om man sagt något felaktigt, utan att tänka på det, eller om eleverna på annat sätt fått en skev begreppsbild. Om man fortsätter med att diskutera om det finns ekvationssystem med fler än en lösning kan man, genom att rita, upptäcka att bilden av ett ekvationssystem som två linjer är ett specialfall. Eleverna kan mycket väl tänka sig att korsa en linje med en böjd kurva. Diskussionsämnet måste vara sådant att man kan komma fram till olika ställningstaganden. Elever ser ofta svaret som självklart och inget som behöver diskuteras. Om eleverna inte hittar olika aspekter själva krävs det att man som lärare ställer frågor och utmanar i diskussionen. Om man som lärare vill engagera eleverna i diskussionerna är det också bra att inte ställa frågorna rätt ut i klassrummet, då får man korthuggna svar. Det är bättre att först låta eleverna diskutera med grannar eller i smågrupper. 44 I avsnitt Det är inte lika lätt att hitta diskussionsämnen inom matematik som inom etikområdet i filosofi 16

20 Grupparbeten För att få eleverna att prata med varandra så kan man ge dem gruppuppgifter av olika slag. I grupparbetena får de diskutera med varandra och på det sättet utveckla sina begreppsbilder. Ett exempel på en enkel gruppövning som jag har använt är när jag i slutet av avsnittet om funktioner gav eleverna i uppgift att tillsammans gå igenom ett gammalt prov på räta linjen och se till att alla i gruppen skulle förstå problemen och hur man löste dem.46 Detta var en övning som gjorde att jag fick syn på elevernas bristande kunskaper och bristerna i min egen undervisning. Genom att lyssna på eleverna upptäckte jag att: eleverna hade stora svårigheter med att förstå lutning. elevernas bristande förståelse av negativa tal och tallinjen ställde till det för dem när de skulle hantera funktioner, de förstod inte koordinatsystemet. eleverna behövde bli bättre på att förstå funktionsbegreppet och hantera övergången mellan formel, tabell och graf Vid ett tillfälle fick jag gå in i en grupp för att försöka förklara för Elisabet när k-värdet blir positivt och när det blir negativt: E (Elisabet): Men det kan ju inte bli positivt när det är här borta (hon pekar på vänster sida om yaxeln). L (Lotta): Men k-värdet handlar inte om var i koordinatsystemet man är, bara om linjen går uppåt eller nedåt. E: Men om man kommer från det här hållet (hon drar med fingret längs med linjen från höger till vänster) då går ju linjen nedåt. L: Det är precis som när man läser. Man går från vänster till höger (jag drar med fingret längs med linjen från vänster till höger). E: Jag fattar ingenting. Du kan ju inte förklara. Misstaget jag hade gjort, var att förutsätta att eleverna hade förkunskaperna. Jag hade satsat energin på att fokusera på riktningskoefficienten som ett begrepp. I det här fallet hjälpte det inte Elisabet eftersom hon inte förstod koordinatsystemet och hur man ritar grafer. Jag hade ägnat för lite tid åt funktioner i A-kursen och för lite tid till att gå från det konkreta till det abstrakta Diskussion Genom att planera lektionerna utifrån Tall och Vinners fyra faser och planera genomgångarna utifrån Thompsons fyra nivåer fick jag en undervisning som följde elevernas begreppsinlärning. På detta sätt blev både jag och eleverna mer nöjda med lektionerna och det blev lättare för eleverna att hänga med. Genom att jag arbetade med diskussioner och grupparbeten som ett sätt att precisera elevernas kunskap och få eleverna att prata om sina begreppsbilder hittade jag flera brister, både i elevernas begreppsuppfattning och i min egen undervisning. Utifrån den kunskapen beslöt jag att jag i framtiden ska fokusera mer på följande i A-kursen: Arbeta mer med negativa tal och tallinjen. Arbeta mer med funktionsbegreppet och att gå mellan formel, tabell och graf. Min hypotes, som växt fram under projektets gång, är att de elever som har problem med k-värdet måste rita fler grafer för hand, med hjälp av tabell, för att senare kunna förstå hur k-värdet innebär att om man går ett steg till höger på x-axeln så ökar y-värdet med k. 46 Jag satte ihop grupperna så att det skulle vara en viss, men inte alltför stor, spridning i varje grupp. 17

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

Graärgning och kromatiska formler

Graärgning och kromatiska formler Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt Lokal pedagogisk planering Matematik år 2 Syfte Undervisningen i matematikämnet ska syfta till att eleverna ska utveckla kunskaper om matematik och visa intresse och tilltro till sin förmåga att använda

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Matematikplan Förskolan

Matematikplan Förskolan Matematikplan Förskolan Utarbetad 2014 Sammanfattning Ett matematikprojekt har pågått i Munkedals kommun under åren 2013-2014 där grundskolan har deltagit. Som ett led i det arbetet har denna plan för

Läs mer

Gemensam presentation av matematiskt område: Ekvationer Åldersgrupp: år 5

Gemensam presentation av matematiskt område: Ekvationer Åldersgrupp: år 5 Gemensam presentation av matematiskt område: Ekvationer Åldersgrupp: år 5 Mål för lektionen: Eleven skall laborativt kunna lösa en algebraisk ekvation med en obekant. Koppling till strävansmål: - Att eleven

Läs mer

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 8: 1 1.1 ANDELEN 2 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 3 FORTS. 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 4 1.3 HUR STOR ÄR DELEN 1 5 AKTIVITET + 1.4 HUR STOR ÄR

Läs mer

Studiehandledning. kurs Matematik 1b

Studiehandledning. kurs Matematik 1b Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik

Läs mer

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 1 (6) 2005-08-15 Matematik, år 9 Mål för betyget Godkänd Beroende på arbetssätt och arbetsmaterial kan det vara svårt att dela upp dessa uppnående mål mellan skolår 8 och skolår 9. För att uppnå godkänd

Läs mer

Vad skall en matematiklärare kunna? Översikt. Styrdokument. Styrdokument. Problemlösning

Vad skall en matematiklärare kunna? Översikt. Styrdokument. Styrdokument. Problemlösning Vad skall en matematiklärare kunna? Andreas Ryve Stockholms universitet och Mälardalens Högskola. Översikt 1. Vad skall en elev kunna? 2. Matematik genom problemlösning ett exempel. 3. Skapa matematiska

Läs mer

Uppsala Universitet Instutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Matematik 2, Ht 2014 Tilde Henriksson, Hannah Kling, Linn Kristell

Uppsala Universitet Instutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Matematik 2, Ht 2014 Tilde Henriksson, Hannah Kling, Linn Kristell Del 1: Pedagogisk planering a) Vi har gjort två lektionsplaneringar med fokus på tvådimensionella geometriska figurer för årskurs 1-3. Utifrån det centrala innehållet i Lgr11 för årskurs 1-3 ska eleverna

Läs mer

Prata matematik. Bengt Drath. Stöpenskolan i Skövde kommun

Prata matematik. Bengt Drath. Stöpenskolan i Skövde kommun Prata matematik Bengt Drath Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun Matematikkunnande Vad ingår i begreppet matematikkunnande? eller som elever skulle tänka: Hur skall en duktig elev i matte vara?

Läs mer

Gymnasial vuxenutbildning

Gymnasial vuxenutbildning Gymnasial vuxenutbildning Kursutbud och schematider Skolan har gemensamma provtider vissa onsdagar klockan 13.00 16.00. Det innebär att skriftliga prov för en del kurser/lärare endast görs under denna

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Gymnasial vuxenutbildning

Gymnasial vuxenutbildning Gymnasial vuxenutbildning Kursutbud och schematider Skolan har gemensamma provtider vissa onsdagar klockan 13.00 16.00. Det innebär att skriftliga prov för en del kurser/lärare endast görs under denna

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret Balderskolan, Uppsala musikklasser 2009 Matematik Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret läsa och skriva tal inom talområdet 0 10 000 räkna de fyra räknesätten med olika metoder

Läs mer

Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av år 5 enligt nationella kursplanen

Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av år 5 enligt nationella kursplanen MATEMATIK Mål att sträva mot enligt nationella kursplanen Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den

Läs mer

Kursplan Grundläggande matematik

Kursplan Grundläggande matematik 2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs

Läs mer

Matematiklyftet 2013/2014

Matematiklyftet 2013/2014 Matematiklyftet 2013/2014 Didaktiskt kontrakt Ruc 140522 AnnaLena Åberg 79 Matematiklärare 9 skolor? Elever 10 Rektorer 1 Förvaltningschef 2 Skolområdschefer 5 Matematikhandledare Hur ser ni på det didaktiska

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Undervisning Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Mål att uppnå i år 9, ur Lpo 94 Utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och

Läs mer

Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att:

Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att: Matematik Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Bedömning. Formativ bedömning - en väg till bättre lärande. Formativ bedömning. Formativ bedömning. Visible teaching - visible learning

Bedömning. Formativ bedömning - en väg till bättre lärande. Formativ bedömning. Formativ bedömning. Visible teaching - visible learning Formativ bedömning - en väg till bättre lärande Inger Ridderlind Stina Hallén www.prim-gruppen.se Bedömning Bedömning av kunskap - summativ Bedömning för kunskap - formativ Från att mäta kunskap till pedagogisk

Läs mer

KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng

KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng 1(5) KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng Mathematics för Teachers, 61-90 credits, 30 credits Kurskod: LMGN12 Fastställd av: Utbildningsledare 2012-06-15 Gäller fr.o.m.: HT

Läs mer

Med denna aktivitet försöker jag

Med denna aktivitet försöker jag LAURA FAINSILBER Ett funktionsrum Under Vetenskapsfestivalen i Göteborg 2001 bjöd matematiska institutionen på Chalmers och Göteborgs universitet på matematiska experiment för skolklasser. I en av aktiviteterna

Läs mer

KVALITETSINDIKATOR FÖR FÖRSKOLANS VERKSAMHET 2013

KVALITETSINDIKATOR FÖR FÖRSKOLANS VERKSAMHET 2013 UTBILDNINGSFÖRVALTNINGEN TILLHANDAHÅLLARAVDEL NINGEN SID 1 (8) 2012-10-12 KVALITETSINDIKATOR FÖR FÖRSKOLANS VERKSAMHET 2013 Självvärdering av hur förskolan utifrån läroplanen skapar förutsättningar för

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

Bedömning av muntliga prestationer

Bedömning av muntliga prestationer Bedömningsstöd i matematik på gymnasial nivå Bedömning av muntliga prestationer Materialet har framställts under 2013 av PRIM-gruppen vid Stockholms universitet i samarbete med Institutionen för tillämpad

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

Innehållsförteckning. Installation Inledning Pedagogisk bakgrund Arbeta med Matematik Screening Basnivå Kalkylator Inställningar Namn Period.

Innehållsförteckning. Installation Inledning Pedagogisk bakgrund Arbeta med Matematik Screening Basnivå Kalkylator Inställningar Namn Period. 2 Resultat Innehållsförteckning Installation Inledning Pedagogisk bakgrund Arbeta med Matematik Screening Basnivå Kalkylator Inställningar Namn Period Screeningmoment Talserier Jämnt - udda Tal och obekanta

Läs mer

Under en forskningscirkel, som vi matematikutvecklare i Göteborg har

Under en forskningscirkel, som vi matematikutvecklare i Göteborg har Britt Holmberg Analysera mera i geometri Inom undervisningen i geometri behöver vi utmana elevernas nyfikenhet med frågeställningar och ge dem tid att undersöka geometriska objekt. Praktiskt arbete där

Läs mer

Klassrumshantering Av: Jonas Hall. Högstadiet. Material: TI-82/83/84

Klassrumshantering Av: Jonas Hall. Högstadiet. Material: TI-82/83/84 Inledning Det som är viktigt att förstå när det gäller grafräknare, och TI s grafräknare i synnerhet, är att de inte bara är räknare, dvs beräkningsmaskiner som underlättar beräkningar, utan att de framför

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Kan utan tvekan säga att jag hade svårt för det här pusslet själv men med tiden så knäcker man koden och vet hur man skall lägga pusslet.

Kan utan tvekan säga att jag hade svårt för det här pusslet själv men med tiden så knäcker man koden och vet hur man skall lägga pusslet. Skapande skola Enligt grundskolans läroplan ska skolans elever fostras till medborgare som har en fri och kritisk analysförmåga. Skolans uppgift lär vara att förse dem med de kunskaper som de kan behöva.

Läs mer

Centralt innehåll som vi arbetar med inom detta område:

Centralt innehåll som vi arbetar med inom detta område: BRÅK & PROCENT PEDAGOGISK PLANERING/KUNSKAPSKRAV MATEMATIK Ö7 HT 2012 Syfte Lgr 11 Meningen med att läsa matematik i skolan är att du ska utveckla din förmåga att ü formulera och lösa problem med hjälp

Läs mer

Bilaga till ansökan om bidrag för utveckling av undervisningen

Bilaga till ansökan om bidrag för utveckling av undervisningen 1 (6) Bilaga till ansökan om bidrag för utveckling av undervisningen i matematik Matematiksatsningen 2010 Uppgifter om skolhuvudmannen Kommunens namn (om huvudmannen är en kommun) Den fristående huvudmannens

Läs mer

NYA KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN MATEMATIK GRUNDSKOLAN

NYA KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN MATEMATIK GRUNDSKOLAN NYA KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN Den 17 mars 1994 fastställde regeringen KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN att gälla i årskurserna 1 7 från läsåret 1995/96, i årskurs 8 läsåret 1996/97 och i årskurs 9 läsåret 1997/98.

Läs mer

KRAVNIVÅER. Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK

KRAVNIVÅER. Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK KRAVNIVÅER Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK Reviderade april 2009 Förord Välkommen att ta del av Åtvidabergs kommuns kravnivåer och bedömningskriterier för grundskolan. Materialet har tagits fram

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

Bengt Drath. Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun

Bengt Drath. Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun Prata matematik Bengt Drath Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun Matematikkunnande tikk Vad ingår i begreppet matematikkunnande? eller som elever skulle tänka: Hur skall en duktig elev i matte

Läs mer

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper

Läs mer

BLODGIVNINGSBEFRÄMJANDE ARBETE OCH SAMTALSTEKNIK. DEN 2 APRIL 2014 Antal svar 32 av 38 Hur givarna förstår information och frågor var?

BLODGIVNINGSBEFRÄMJANDE ARBETE OCH SAMTALSTEKNIK. DEN 2 APRIL 2014 Antal svar 32 av 38 Hur givarna förstår information och frågor var? BLODGIVNINGSBEFRÄMJANDE ARBETE OCH SAMTALSTEKNIK DEN 2 APRIL 2014 Antal svar 32 av 38 Hur givarna förstår information och frågor var? Kommentar till: Hur givarna förstår information och frågor. Bra att

Läs mer

Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik

Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik Skolverket Stockholm 2012 www.skolverket.se ISBN: 978-91-87115-68-4 Innehåll 1. Inledning... 4 Vad materialet är och inte är...4 Materialets disposition...5

Läs mer

DD2458-224344 - 2014-12-19

DD2458-224344 - 2014-12-19 KTH / KURSWEBB / PROBLEMLÖSNING OCH PROGRAMMERING UNDER PRESS DD2458-224344 - 2014-12-19 Antal respondenter: 26 Antal svar: 18 Svarsfrekvens: 69,23 % RESPONDENTERNAS PROFIL (Jag är: Man) Det var typ en

Läs mer

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter.

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter. Kurskod: MATMAT02a Kursen matematik 2a omfattar punkterna 1 7 under rubriken Ämnets syfte. Centralt innehåll Kommentar Begrepp i kursen matematik 2a Metoder för beräkningar vid budgetering. Budgetering

Läs mer

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson Talsystem Teori Av Johan Johansson Vad är talsystem? Talsystem är det sätt som vi använder oss av när vi läser, räknar och skriver ner tal. Exempelvis hade romarna ett talsystem som var baserat på de romerska

Läs mer

Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper.

Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper. Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper. Lokala mål Tala och lyssna: Jag kan lyssna och förstå

Läs mer

Kommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9

Kommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9 Kommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9 Många skolor har lagt ner mycket tid på att omforma de mål som anges på nationell nivå till undervisningsmål på den egna skolan. Tanken är att vi nu ska kunna

Läs mer

520 Symbolhanterande miniräknare - ett pedagogiskt hjälpmedel att räkna med

520 Symbolhanterande miniräknare - ett pedagogiskt hjälpmedel att räkna med 520 Symbolhanterande miniräknare - ett pedagogiskt hjälpmedel att räkna med Lennart Berglund är lärare i matematik, datakunskap och webdesign på Värmdö Gymnasium. I samma projekt om symbolhanterande räknare

Läs mer

Högskolepedagogisk utbildning-modul 3-perspektivkurs nov 2004

Högskolepedagogisk utbildning-modul 3-perspektivkurs nov 2004 Genus och programmering av Kristina von Hausswolff Inledning Under läsåret 3/ var jag med i ett projekt om Genus och datavetenskap lett av Carin Dackman och Christina Björkman. Under samma tid, våren,

Läs mer

Hur lär barn bäst? Mats Ekholm Karlstads universitet

Hur lär barn bäst? Mats Ekholm Karlstads universitet Hur lär barn bäst? Mats Ekholm Karlstads universitet Ståndpunkter som gäller de ungas motivation o För att lära bra behöver de unga belönas för vad de gör. Betyg är den främsta sporren för lärande. o För

Läs mer

Konkretisering av matematiska begrepp i skolan

Konkretisering av matematiska begrepp i skolan Karin Kairavuo Konkretisering av matematiska begrepp i skolan Den kinesiska författaren och nobelpristagaren i litteratur, Gao Xingjian, använder en spännande metod i sitt arbete. Han talar in sina blivande

Läs mer

Övergripande mål och riktlinjer - Lgr 11

Övergripande mål och riktlinjer - Lgr 11 Övergripande mål och riktlinjer - Lgr 11 2.1 NORMER OCH VÄRDEN Skolan ska aktivt och medvetet påverka och stimulera eleverna att omfatta vårt samhälles gemensamma värderingar och låta dem komma till uttryck

Läs mer

Lässvårigheter och räknesvårigheter pedagogiska förslag och idéer

Lässvårigheter och räknesvårigheter pedagogiska förslag och idéer Lässvårigheter och räknesvårigheter pedagogiska förslag och idéer Görel Sterner Artikel ur Svenska Dyslexiföreningens och Svenska Dyslexistiftelsens tidskrift Dyslexi aktuellt om läs- och skrivsvårigheter

Läs mer

Digitala verktyg i matematik- och fysikundervisningen ett medel för lärande möten

Digitala verktyg i matematik- och fysikundervisningen ett medel för lärande möten Digitala verktyg i matematik- och fysikundervisningen ett medel för lärande möten Ulrika Ryan Hur bygger jag den vetenskapliga grunden för min undervisning? Styrdokument Forskning Beprövad erfarenhet Matematik

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Storyline och entreprenörskap

Storyline och entreprenörskap Storyline och entreprenörskap Av: Ylva Lundin Entreprenöriellt lärande - ett ord som många pedagoger kämpar med både när det gäller att säga och förstå. Ibland tolkas entreprenörskap som att vi i skolan

Läs mer

Den saknade kamelen. 308 Äventyr med problemlösning

Den saknade kamelen. 308 Äventyr med problemlösning Matematikbiennett i Malmö, 12 mars 2011 308 Äventyr med problemlösning goran.emanuelsson@ncm.gu.se lars.mouwitz@ncm.gu.se http://ncm.gu.se/problem Vad är ett problem? Varför ska vi lösa problem? Vem behöver

Läs mer

Titel: Undertitel: Författarens namn och e-postadress. Framsidans utseende kan variera mellan olika institutioner

Titel: Undertitel: Författarens namn och e-postadress. Framsidans utseende kan variera mellan olika institutioner Linköping Universitet, Campus Norrköping Inst/ Kurs Termin/år Titel: Undertitel: Författarens namn och e-postadress Framsidans utseende kan variera mellan olika institutioner Handledares namn Sammanfattning

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

Information om bedömning av reell kompetens

Information om bedömning av reell kompetens Information om bedömning av reell kompetens Reell kompetens Det är möjligt att söka till Lernia Yrkeshögskola på reell kompetens och få denna bedömd i förhållande till den grundläggande behörigheten för

Läs mer

Projektbeskrivning. Gymnasieskolans mål och Högskolans förkunskapskrav. En jämförande studie om matematikundervisningen.

Projektbeskrivning. Gymnasieskolans mål och Högskolans förkunskapskrav. En jämförande studie om matematikundervisningen. Projektbeskrivning Gymnasieskolans mål och Högskolans förkunskapskrav. En jämförande studie om matematikundervisningen. Bakgrund KTH och LHS har ett regeringsuppdrag att tillsammans utveckla nya inriktningar

Läs mer

Talområden. Utvidga talområden: - naturliga tal. - hela tal. -100, -5 0, 1, 2 o.s.v. - rationella tal. - reella tal. π, 2 o.s.v.

Talområden. Utvidga talområden: - naturliga tal. - hela tal. -100, -5 0, 1, 2 o.s.v. - rationella tal. - reella tal. π, 2 o.s.v. TALUPPFATTNING Mål som eleven ska ha uppnått i slutet av det nionde skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa

Läs mer

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK 5 F-KLASS TALUPPFATTNING ALGEBRA Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas Matematiska likheter och likhetstecknets

Läs mer

Vi i Vintergatan ett språk- och kunskapsutvecklande projekt i årskurs 2-5 med stöd av Cirkelmodellen Bakgrund Syfte och mål

Vi i Vintergatan ett språk- och kunskapsutvecklande projekt i årskurs 2-5 med stöd av Cirkelmodellen Bakgrund Syfte och mål Vi i Vintergatan ett språk- och kunskapsutvecklande projekt i årskurs 2-5 med stöd av Cirkelmodellen Text: Annika Mindedal, språkutvecklare och lektor i Katrineholms kommun Foto: Jenny Ahlforn Westdahl

Läs mer

NpMa2b Muntlig del vt 2012

NpMa2b Muntlig del vt 2012 Till eleven - Information inför den muntliga provdelen Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

Min man kommer ursprungligen från

Min man kommer ursprungligen från t í m e a d a n i Varför räknar du just så? Denna artikel bygger på ett examensarbete för lärarutbildningen. I arbetet undersöktes skillnader mellan lärares, svenska föräldrars och invandrarföräldrars

Läs mer

En noggrant planerad och organiserad kurs i matematik är ibland alltför lik en fjällvandring som aldrig lämnar den markerade leden.

En noggrant planerad och organiserad kurs i matematik är ibland alltför lik en fjällvandring som aldrig lämnar den markerade leden. En noggrant planerad och organiserad kurs i matematik är ibland alltför lik en fjällvandring som aldrig lämnar den markerade leden. Man ser en jämn ström av uppseendeväckande scenarier. Man undviker nog

Läs mer

Pedagogisk planering aritmetik (räkning)

Pedagogisk planering aritmetik (räkning) Pedagogisk planering aritmetik (räkning) Vi kommer att arbeta med de fyra räknesätten i matematik. Syfte (ur Skolverkets kursplan) Under det här arbetsområdet kommer vi att arbeta med att utveckla följande

Läs mer

VISÄTTRASKOLANS MATEMATIKUTVECKLINGSPLAN

VISÄTTRASKOLANS MATEMATIKUTVECKLINGSPLAN VISÄTTRASKOLANS MATEMATIKUTVECKLINGSPLAN Syftet med den här utvecklingsplanen är att synliggöra hur vi på Visättraskolan ska arbeta för att all undervisning på vår skola ska vara matematik- och kunskapsutvecklande.

Läs mer

Begrepps- och taluppfattning Du förstår sambandet mellan tal och antal, t.ex. genom att hämta rätt antal föremål till muntligt givna tal.

Begrepps- och taluppfattning Du förstår sambandet mellan tal och antal, t.ex. genom att hämta rätt antal föremål till muntligt givna tal. MATEMATIK ÅR1 MÅL Begrepps- och taluppfattning Kunna talbildsuppfattning, 0-10 EXEMPEL Du förstår sambandet mellan tal och antal, t.ex. genom att hämta rätt antal föremål till muntligt givna tal. Kunna

Läs mer

Om kompetens och lärande

Om kompetens och lärande Om kompetens och lärande Vi bär på mycket mer kunskap än vi tror och kan så mycket mer än vi anar! När som helst i livet har du nytta och glädje av att bli medveten om delarna i din kompetens. Du funderar

Läs mer

Steg-Vis. Innehållsförteckning

Steg-Vis. Innehållsförteckning Innehållsförteckning SIDAN Förord 6 Inledning 7 Målgrupp och arbetssätt 8 Dåligt minne? 9 Nyckelfakta 10 Råd till pedagog 11 Tre matematiska lagar 12 10-komplement 14 Från subtraktion till addition 15

Läs mer

Att påverka lärande och undervisning

Att påverka lärande och undervisning Camilla Skoglund Elevers medskapande i lärprocessen 7,5 p Att påverka lärande och undervisning 2008-02-11 Inledning Jag har intervjuat fyra elever, i den klass som jag är klassföreståndare för, kring vad

Läs mer

Kursledaren: Serguei Shimorin. Övningsledarna: Daniel Zavala Svensson, Shiva Samieinia, Nils Dalarsson.

Kursledaren: Serguei Shimorin. Övningsledarna: Daniel Zavala Svensson, Shiva Samieinia, Nils Dalarsson. Kursanalys av SF1624 för CINTE, vårtermin 2015 1 Kvantitativa data Moment TEN1 Poäng på moment 7.5hp Antal registrerade 83 Antal godkända på moment 33 Prestationsgrad 40% Antal med slutbetyg 33 Examinationsgrad

Läs mer

Matematik sommarskola

Matematik sommarskola Matematik sommarskola Metodkategori 4. Individuellt anpassat stöd/utbildning Problemet: Elever från grundskolan saknar i högre grad betyg i matematik än i andra kärnämnen. Detta leder till att de ej är

Läs mer

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte):

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte): Linjära samband Räta linjens ekvation Förmågan att se, analsera och förstå olika samband är egenskaper som är viktiga att ha i vardagslivet men oundvikliga för kommande studier och arbetsliv. Med ett samband

Läs mer

PROGRAMMET MANAGEMENT IN SPORT AND RECREATION 120/160 POÄNG Program for Management in Sport and Recreation, 120/160 points

PROGRAMMET MANAGEMENT IN SPORT AND RECREATION 120/160 POÄNG Program for Management in Sport and Recreation, 120/160 points UTBILDNINGSPLAN PROGRAMMET MANAGEMENT IN SPORT AND RECREATION 120/160 POÄNG Program for Management in Sport and Recreation, 120/160 points Utbildningsplanen är fastställd av fakultetsnämnden för humaniora

Läs mer

Rymdutmaningen koppling till Lgr11

Rymdutmaningen koppling till Lgr11 en koppling till Lgr11 När man arbetar med LEGO i undervisningen så är det bara lärarens och elevernas fantasi som sätter gränserna för vilka delar av kursplanerna man arbetar med. Vi listar de delar av

Läs mer

Reell kompetens - grundläggande behörighet för utbildning till grundnivå Behörig på annat sätt!

Reell kompetens - grundläggande behörighet för utbildning till grundnivå Behörig på annat sätt! Reell kompetens - grundläggande behörighet för utbildning till grundnivå Behörig på annat sätt! 1 (5) Vad är det? Om du saknar den formella grundläggande behörigheten, dvs. du har t.ex. inte ett slutbetyg

Läs mer

Kursplan Samhällskunskap

Kursplan Samhällskunskap Kursplan Samhällskunskap Undervisning motsvarande Samhällskunskap 1b respektive Samhällskunskap A Kursen syftar till att ge deltagarna ökad förståelse och insyn i hur samhället fungerar och i förlängningen

Läs mer

Om ämnet Engelska. Bakgrund och motiv

Om ämnet Engelska. Bakgrund och motiv Om ämnet Engelska Bakgrund och motiv Ämnet engelska har gemensam uppbyggnad och struktur med ämnena moderna språk och svenskt teckenspråk för hörande. Dessa ämnen är strukturerade i ett system av språkfärdighetsnivåer,

Läs mer

Bedömning för lärande. Per Berggren och Maria Lindroth 2012-11-13

Bedömning för lärande. Per Berggren och Maria Lindroth 2012-11-13 Bedömning för lärande Per Berggren och Maria Lindroth 2012-11-13 Förmågor - Bild Genom undervisningen i ämnet bild ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att kommunicera

Läs mer

Matematikundervisning för framtiden

Matematikundervisning för framtiden Matematikundervisning för framtiden Matematikundervisning för framtiden De svenska elevernas matematikkunskaper har försämrats över tid, både i grund- och gymnasieskolan. TIMSS-undersökningen år 2003 visade

Läs mer