Varför lär sig mina elever inte funktioner?

Transkript

1 Gudrun Malmers stipendium 2007 Varför lär sig mina elever inte funktioner? Ett försök att använda humaniora för att få elever att förstå matematiska begrepp Lotta Wedman Ludvika Handledare: Marie Jacobson

2

3 Innehåll 1. Inledning Bakgrund Syfte Metod Hur undervisar man om begrepp? Sätt fokus på begreppen Begreppens utveckling Matematik och språkinlärning Funktionsbegreppet Begreppskartor Historia Olika syner på hur matematiken och begreppen utvecklas Funktionsbegreppets historia Avslutning Sammanfattande diskussion Utvärdering Hur man kan gå vidare...48 Referenser...49 Bilaga A Planering för avsnittet om funktioner i kursen Matematik A...51 Bilaga B Hönsburen...52 Bilaga C Övningar utifrån funktionsmaskinen...54 Bilaga D Begreppskarta ekvationssystem...55 Bilaga E Begreppskarta algebra...56 Bilaga F Funktionsbegreppets åskådningsformer...57 Bilaga G Historisk översikt enligt Oswald Spengler...58

4 1. Inledning 1.1 Bakgrund Jag började bli intresserad av matematiska begrepp och begreppsinlärning när jag, efter att ha arbetat några år som lärare på gymnasiet, fick en elev som hade stora svårigheter med matematik. Lisa blandade ihop addition med multiplikation och hon kunde inte heller räkna utan miniräknare. Jag minns särskilt ett tillfälle när klassen arbetade med area och Lisa skulle räkna ut arean på en triangel. Jag kunde först inte förstå varför hon inte klarade av att använda formeln arean = basen höjden när det plötsligt gick upp för mig att hon inte visste vad triangelns höjd var. 2 Jag har senare märkt att det är flera elever som inte vet vad höjden i en triangel är och därför inte klarar av att räkna ut triangelns area. Efter lärarutbildning hade jag, när det här arbetet började, arbetat som gymnasielärare i matematik och filosofi i drygt sju år. Jag hade haft elever på de flesta program i matematik och jag hade även undervisat elever på samhällsprogrammet i filosofi. Både filosofi och matematik är ämnen där det finns många nya begrepp och där förståelsen av begrepp är viktig när man ska tillägna sig ämnet. Ändå var det stora skillnader mellan mina matematik- och filosofilektioner. När jag fick eleverna i filosofi var det första gången de läste ämnet och jag började från början med att bygga upp elevernas kunskap i ämnet. Det innebar att alla som ville kunde klara av kursen utan någon större ansträngning, vilket inte var fallet med matematikkurserna. En lärobok i filosofi var också upplagd på ett annat sätt än i matematik. När nya begrepp infördes så fick man en idéhistorisk förklaring till dem och en beskrivning av vad de betydde. I marginalen fanns dessutom förslag på diskussionsämnen som fick eleverna att reflektera över det som togs upp. En lektion i filosofi kunde gå till såhär: Vi började med att knyta an till det som vi gjorde förra lektionen. Sedan gick jag igenom något nytt på tavlan, med avbrott för att diskutera det nya innehållet. Efter detta fick eleverna någon typ av uppgift som knöt an till det nya innehållet, enskilt eller i grupp, och lektionen avslutades med att vi samlade ihop erfarenheterna från arbetsuppgifterna. Ofta fick eleverna i hemuppgift att läsa igenom det som vi hade gått igenom till nästa lektion. Under en matematiklektion däremot diskuterade vi sällan det nya innehållet. Elevernas uppgifter var också mer enahanda, ofta handlade det om att de skulle räkna i boken. Jag som lärare var dessutom sämre på att samla ihop eleverna efter att de hade arbetat under en matematiklektion. Min målsättning har blivit att kunna ha ungefär samma upplägg på mina lektioner i matematik som jag har i filosofi. Även om kunskapsinnehållet är olika så är många av svårigheterna desamma, att förstå begreppen och kunna använda dem. I filosofi ska begreppen användas för att diskutera omvärlden och lösa filosofiska problem och i matematik ska de användas för att lösa matematiska problem. För några år sedan hade vi i Ludvika ett projekt där en kollega och jag diskuterade matematiska begrepp tillsammans med personal från förskolan. Vi som var med i projektet Inlärning och användning av matematiska begrepp ett utbyte mellan förskola och gymnasium började med att gå på en föreläsning tillsammans, Mattepåsen1, vilket skapade många tankar och idéer kring hur matematikundervisning kunde bedrivas. Föreläsningen handlade om hur man kunde använda praktiskt material, litteratur och samhälle för att skapa en kommunikativ klassrumsmiljö, där det blev naturligt att diskutera det matematiska språket, på förskolan. 1 Föreläsningen ordnades då av Sama förlag. 1

5 Det var intressant att se hur de i förskolan arbetade med olika begrepp, både inom språk och matematik, med hjälp av sagor, sånger, lekar och diskussioner. På förskolan var det ingen skillnad mellan hur man arbetade med matematiska och språkliga begrepp; det verkade bli större skillnad ju högre upp i åldrarna eleverna kom. Efter projektet tillsammans med förskolelärarna har jag ofta saknat ett samarbete mellan språk- och matematikundervisning. Jag har också tidigare arbetat med begrepp i en D-uppsats i matematik2 som bland annat handlade om gränsvärdesbegreppet och den analys som fanns på universitetet. Arbetet grundade sig på en Duppsats i vetenskapsteori, som jag tidigare hade skrivit, om varför 0, = 1 i reell analys och hur det blir om man, istället för gränsvärden, använder oändligt små tal och den icke-standardanalys som Abraham Robinson har arbetat fram som en alternativ matematisk modell.3 Detta utvecklade jag i matematikarbetet och jag jämförde hur stora delar av analysen byggdes upp i de två modellerna.4 Skillnaden mellan inkrement, Δy, och differentialer, dy, som används för att definiera gränsvärden i icke-standardanalys. Jag analyserade också hur gränsvärdet definierades. Det fanns flera svårigheter med gränsvärdesbegreppet inom den reella analysen som gör att det blev särskilt svårt för studenterna att förstå. Många av de svårigheterna försvann i icke-standardanalys.5 2 Jag har en filosofie magisterexamen med matematik som huvudämne och med vetenskapsteori inriktad mot matematik (80 poäng) som biämne. 3 Karlsson (1999) 4 Wedman (2008) 5 Wedman (2008) 2

6 Erfarenheten jag fick från detta arbete var att jag blev medveten om matematikens uppbyggnad, hur de olika matematiska begreppen hängde ihop med varandra och hur viktigt det var att studenter på universitet eller högskola och elever på grundskola eller gymnasium hade korrekta mentala bilder, även om jag inte visste hur man skulle undervisa för att nå dit. Medan gränsvärdet var svårt för studenterna tyckte mina elever på gymnasiet att funktionsbegreppet var särskilt svårt. Det blev obegripligt för dem när man pratade om linjära funktioner och blandade in skrivsättet f(x). En av de stora svårigheterna var att få eleverna att förstå vad en riktningskoefficient är och göra kopplingen mellan räta linjens ekvation och den uppritade räta linjen. Därför ville jag arbeta med att få elever att förstå funktionsbegreppet och jag hade en idé om att om jag planerade matematiklektioner så att de mer liknade mina lektioner i filosofi så skulle begreppsinlärningen bli bättre och eleverna skulle få lättare att förstå. 1.2 Syfte Syftet med arbetet var att undersöka hur jag som lärare ska undervisa för att få eleverna att förstå matematiska begrepp. Jag ville också ändra arbetssätt för att få mina lektioner i matematik att mer likna de jag hade i filosofi och hämta inspiration av hur man arbetar i språkundervisning. Eftersom det ofta fanns ett idéhistoriskt perspektiv på begreppen i filosofi var min ambition att överföra även detta synsätt till matematiken. Frågeställningar I arbetet har jag studerat dessa frågeställningar: - Vad är ett matematiskt begrepp och hur ska jag som lärare undervisa om jag vill att eleverna ska förstå de matematiska begreppen? - Hur kan jag som matematiklärare använda mig av de undervisningsmetoder som man arbetar med i filosofi och olika språk? - Varför förstår mina elever inte funktioner? För att resultatet ska vara lätt att tillgodogöra sig har jag haft som ambition att beskriva hur jag har arbetat praktiskt med att planera avsnitt, hur jag har lagt upp lektioner och vilka övningar som främjar begreppsinlärning. 1.3 Metod Jag arbetade med att förändra min undervisning under åren Under vårterminen 2008 läste jag litteratur och planerade övningar som jag sedan försökte genomföra under läsåret 2008/2009 då jag arbetade med funktionsavsnittet i kursen Matematik B. Vårterminen och sommaren 2009 läste jag mer litteratur och läsåret 2009/2010 arbetade jag med funktionsavsnittet i Matematik A Dessa elever har jag arbetat med Under läsåret 2008/2009 hade jag två grupper som läste kursen Matematik B:6 Jag hade en grupp på 23 elever som gick på samhällsprogrammet och läste kursen obligatoriskt. På samhällsprogrammet läser man, i Ludvika, Matematik A på 72 timmar och Matematik B på 72 timmar. Gruppen bestod av 17 tjejer och 6 killar och jag hade haft 22 av dessa elever i A-kursen. 6 Det var en av de första gångerna som jag undervisade i B-kursen, vilket innebar att jag inte hade samma erfarenhet om kursen som jag hade om A-kursen. 3

7 Resultatet på nationella provet för Matematik A var 6 IG, 11 G och 5 VG.7 Jag hade också en grupp på 19 elever som gick på handelsprogrammet och läste Matematik B som valbar kurs. På handelsprogrammet läser man Matematik A på 96 timmar och Matematik B på 72 timmar. Gruppen bestod av 16 tjejer och 3 killar och jag hade haft hela gruppen i A-kursen. Resultatet på nationella provet för matematik A var 2 IG, 15 G, 1 VG och 1 MVG.8 Under läsåret 2009/2010 hade jag en grupp som läste kursen Matematik A. Eleverna gick på estetiska programmet och läste Matematik A på 72 timmar. Det var från början 31 elever i gruppen. I slutet av kursen var det av olika anledningar ca 21 elever kvar i klassen. Resultatet på nationella provet var 3 IG, 10 G, 1 VG och 2 MVG.9 2. Hur undervisar man om begrepp? 2.1 Sätt fokus på begreppen I början av projektet hade jag en vag uppfattning om vad ett begrepp var och jag blandade begrepp med ord utan att riktigt veta skillnaden. Det var svårt för mig att hitta en tydlig förklaring av begrepp. Till slut kombinerade jag Nationalencyklopedins beskrivning av begrepp med den språkfilosofiska teorin kring mening och referens. Som komplement läste jag en artikel om skillnaden mellan begreppsbilder och begreppsdefinitioner inom matematik och fick därmed en tydligare bild av begrepp och också en bättre grund för att arbeta med elevernas begreppsuppfattning. Det är två frågeställningar som jag främst vill ha svar på i detta avsnitt: Vad är ett begrepp? Hur underlättar man för eleverna att skapa sig relevanta begreppsbilder? Vad är ett begrepp? Definitionen av ett begrepp Enligt Nationalencyklopedin är ett begrepp det abstrakta innehållet hos en språklig term.10 Det är viktigt att skilja på begreppet och den språkliga termen och man ska inte heller förväxla begreppet med de konkreta eller abstrakta föremål som termen används för att beskriva. Med begreppet triangel avses den innebörd vi lägger i uttrycket triangel, vilket måste skiljas både från ordet triangel och från mängden av trianglar. 11 Mening och referens Dagfinn Føllesdal, Lars Walløe och Jon Elster, författare till Argumentationsteori, språk och vetenskapsfilosofi, skriver att det är svårt att förklara vad ett begrepp är. Därför använder de inte heller ordet begrepp utan diskuterar istället språkliga uttryck Sju av dessa läste senare matematik C 8 Fem läste senare matematik C 9 Resterande elever gjorde inte provet eller skrev bara ena delen. 10 Nationalencyklopedin (NE) (1990) använder term som enligt NE betyder ord eller uttryck med fastställd definition i en viss terminologi. 11 Nationalencyklopedin (1990): begrepp 12 Jag väljer att istället fortsätta använda begreppet term för att få en enhetlig terminologi. 13 Føllesdal m.fl. (1993): 257 4

8 Inom språkfilosofin skiljer man mellan meningen och referensen hos en term (ett uttryck): Meningen, eller betydelsen, är innebörden av termen. Meningen med en rektangel är att det är en tvådimensionell figur som bara har räta hörn. Meningen av fem är att det är ett tal med vissa egenskaper. 14 Referensen är det eller de ting vi talar om när vi använder ett ord. Medan meningen alltid är abstrakt, vi kan aldrig se eller ta i den, kan referensen däremot vara en eller flera saker som antingen är konkreta eller abstrakta. Rektangel refererar till mängden av alla rektanglar, inklusive specialfallet kvadraterna: Fem refererar till alla tillämpningar av ordet fem: Jag ser fem fåglar på himlen. Om man adderar två med tre så får man summan fem.15 Flera termer kan ha olika mening men samma referens: Fyrkant, en tvådimensionell figur med fyra raka kanter, och fyrhörning, en tvådimensionell figur med raka kanter och fyra hörn, har olika mening men refererar till samma mängd av polyedrar. Riktningskoefficient, k-värde och linjens lutning är ett annat exempel på att termer kan ha olika mening och samma referens. Däremot kan två termer inte ha samma mening men olika referens. Referensen är alltså en funktion av meningen; när vi vet meningen kan vi entydigt peka ut det som termen refererar till.16 Språkforskaren Charles Kay Ogden åskådliggör detta med hjälp av det som ofta kallas Ogdens triangel Føllesdal m.fl. (1993): Føllesdal m.fl. (1993): Detta förutsätter att vi har samma uppfattning om vilken mening termerna har. 17 Føllesdal m.fl. (1993): 253 5

9 Olika slags definitioner Ibland behöver lärare förklara meningen hos ett ord, det kan vara ett ord som eleverna inte hört tidigare eller ett ord där innebörden har ändrats på grund av att eleverna ska lära sig något nytt. En sådan förklaring kan vara en definition, men behöver inte vara det. Ibland räcker det med en beskrivning. Enligt Føllesdal m.fl. berättar en beskrivning vad termen refererar till, den beskriver referensen. I vissa vetenskaper, till exempel matematik, godtas dessa beskrivningar som definitioner. Man talar då om extensionella definitioner.18 För det mesta brukar man med en definition mena en precisering av termens mening. Det kallas då för en intensionell definition.19 Som lärare använder man ofta extensionella och intensionella definitioner för att få eleverna att förstå olika begrepp, man ger exempel på hur begrepp används och försöker få eleverna att förstå begreppens mening. Dessa pedagogiska definitioner ska man inte blanda ihop med begreppens formella definitioner. Med en formell definition av ett begrepp avses definitionen i sitt språkliga uttryck, vilken kan vara antingen extensionell eller intensionell. Enligt Kerstin Pettersson, universitetslektor i matematik vid högskolan Skövde, kan formella definitioner grundas på idéer som är svåra att använda vid kreativ problemlösning. Avsikten är istället att kunna använda definitionen för att konstruera ett stringent bevis i ett formellt system.20 Här kan jag ana en konflikt. För att eleverna ska kunna lösa problem behöver de relevanta pedagogiska definitioner. Om de senare ska kunna utföra formella bevis behöver de formella definitioner. Det är inte säkert att dessa definitioner stämmer överens Begreppsbilder och begreppsdefinitioner i matematik Begreppsbilder David Tall och Shlomo Vinner formulerar ett antal idéer om begrepp och begreppsinlärning i matematik i Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Tall och Vinner gör skillnad mellan hur matematiska begrepp definieras formellt och de mentala bilder som hör till begreppen. De skriver att den kognitiva strukturen runt ett begrepp är mer än en symbol eller en mental bild. Den innehåller många medvetna och omedvetna processer som är knutna till begreppet. Ordet begreppsbild används för att beskriva den 18 Føllesdal m.fl. (1993): Føllesdal m.fl. (1993): Pettersson (2008) 6

10 totala kognitiva strukturen som är knuten till ett begrepp.2122 Bild av begreppet begreppsbild För att en elev ska förstå ett begrepp krävs det att eleven har en korrekt begreppsbild som hjälper eleven i dess problemlösning. En elev kan ha flera olika bilder på samma gång som används vid olika tillfällen. Efter ett tag kan bilderna smälta samman eller så glöms någon av bilderna helt bort. Ju fler kopplingar som finns mellan begreppsbilden och begreppsdefinitionen23 desto bättre blir eleven på att lösa problem. Om eleven inte förstår definitionen kan begreppsbilderna däremot vilseleda och vid obekanta situationer kanske definitionen inte räcker till.24 För att eleven ska bli bra på problemlösning krävs alltså att: Hon har en korrekt begreppsbild. Hon förstår begreppsdefinitionen. Det finns många kopplingar mellan begreppsbilden och begreppsdefinitionen 21 Tall & Vinner (1981) 22 Bilden nedan är tagen från Bergsten m.fl. (1997) 23 Poängen med att använda ordet begreppsdefinition är att man tydliggör att det är en definition av ett begrepp. 24 Tall & Vinner (1981) 7

11 Begreppsbilden förändras med tiden Ta exemplet med Emil som ska lära sig subtraktion: Första gången Emil lär sig subtraktion räknar han med naturliga tal och subtraktionen används för att räkna ut skillnaden mellan två tal: 1) 12 4 = 8 Den första termen (12) är alltid den största och differensen (8) blir alltid ett positivt, naturligt, tal. Med tiden kommer detta att ändras. När den första termen blir mindre än den andra får man ett negativt tal: 2) 4 12 = -8 Skillnaden mellan dessa två uträkningar och de mentala bilderna som är förknippade med dem är större än vad man först tror. Differensen i exempel 1 kan stå för en skillnad mellan de två talen, som alltid är positiv. I exempel 2 handlar det i stället om en förändring, som kan vara positiv eller negativ. På gymnasiet är det vanligt att elever får felet 4 12 = 8. Dessa elever är kvar på nivå 1 i sin begreppsuppfattning. I både 1 och 2 är differensen mindre än den första termen. När Emil senare ska subtrahera negativa tal har han med sig denna erfarenhet i begreppsbilden, vilket ytterligare kan förvirra och skapa problem när differensen blir större än den första termen: 3) 2 (-3) = 5 I exempel 3 finns flera svårigheter som måste hanteras. Dels den utvidgade subtraktionen, termerna kan nu vara negativa tal, och dels de två olika betydelserna av minustecknet. Ännu svårare och mer abstrakt blir det om man utgår från ett negativt tal: 25 4) -2 (-3) = 1 Begreppsbilden kan alltså innehålla motsättningar. Att Emil har med sig erfarenheten att en differens alltid är mindre än den första termen samtidigt som uträkningen ibland ger ett större resultat är ett exempel på en sådan motsättning där två erfarenheter säger emot varandra. En motsättning behöver dock inte leda till förvirring. Om olika delar av begreppsbilden väcks vid olika tillfällen upptäcker eleven inte att de säger emot varandra. Det är först när två motsättande aspekter väcks samtidigt, som i subtraktionsexemplet ovan, som det blir förvirring.26 Elever som håller på med matematik använder ofta olika processer i olika sammanhang. Ta till exempel Ulrika, som räknar ut 1 / / 4 korrekt eftersom hon har tydliga bilder av 1 / 2 och 1 / 4 och har förstått vad det innebär att addera två bråk. När hon sedan ska räkna ut 1 / / 4 misslyckas hon eftersom hon försöker med en annan metod som hon inte förstår (hon har ingen tydlig bild av metoden) och inte heller använder korrekt. Ulrika ser ingen konflikt i de olika metoderna eftersom hon använder den metod som verkar passa bäst vid varje tillfälle Hur man kan arbeta med formella definitioner Vi antar att en lärare på gymnasiet arbetar med att få eleverna i sin klass att förstå den formella definitionen av en funktion som är: en relation mellan två mängder A och B där varje element i A är kopplat till exakt ett element i B. 25 Fritt efter Tall & Vinner (1981) 26 Tall & Vinner (1981) 27 Fritt efter Tall & Vinner (1981) 8

12 En del av eleverna i klassen kommer ihåg denna formella definition, andra inte. En del av dem som kommer ihåg definitionen har dessutom skapat sig en mental bild av den och på så sätt försökt att förstå den. Andra har lärt sig den mekaniskt. Hur pass väl eleverna förstår definitionen beror på hur mycket eleverna har diskuterat den och arbetat med uppgifter där de får använda sig av definitionen. Läraren hamnar nu i ett dilemma: Hon kan planera kursen så att klassen först arbetar med den formella definitionen och begreppet i sin helhet. Därefter ägnar eleverna lång tid åt att räkna uppgifter där funktionen ges som en formel, som i början dessutom alltid är en rät linje, vilket kan resultera i att begreppsbilden utvecklas till ett mer begränsat begrepp som bara rymmer formler och räta linjer.28 Om läraren istället ägnar merparten av tiden till att först bygga upp en stark bild av funktionsbegreppet, som passar den matematik som eleverna håller på med för tillfället, och först på slutet tar upp den formella definitionen så kommer den begreppsbild som eleverna får att vara anpassad efter gymnasiematematiken och kan motsäga den formella definitionen. Begreppsbilden blir i båda fallen mycket starkare än bilden av definitionen och begreppsbilden kan, enligt Vinner och Tall, bli ett hinder för de elever som senare läser matematik på universitetet.29 Många begrepp som vi använder behöver vi inte definiera tydligt i undervisningen. Det kan vara begrepp som eleverna har med sig sedan tidigare men det kan också vara begrepp som liknar vardagliga begrepp och där man bara behöver precisera skillnaden mellan det eleverna redan kan och vad begreppet betyder i matematik. Största värdet är ett exempel på ett sådant begrepp där det räcker att visa några olika exempel på hur begreppet används så att eleverna får en extensionell definition.30 Ibland behöver vi dock precisera innebörden med ord. Eleverna bör till exempel få intensionella definitioner av de geometriska fyrhörningarna: Om man definierar vad en rektangel är och sedan använder den definitionen för att komma fram till att en kvadrat är ett specialfall av en rektangel, så får eleverna en djupare förståelse än om eleverna förklarar en rektangel med att det är en sådan där avlång sak. Den förståelse som eleverna får genom att arbeta med denna typ av pedagogiska definitioner är i många avseenden viktig för deras förmåga att lösa problem. När eleverna har vant sig vid definitionerna och löst olika typer av problem med hjälp av dem har de lättare att ta till sig de formella definitioner som behövs när eleverna ska utföra strikta bevis. Medan Tall och Vinner menar att kopplingar mellan begreppsbilden och den formella definitionen hjälper studenter på universitet och högskola att lösa problem menar jag att man på gymnasiet ska vänta med att lära ut de formella definitionerna och istället ge elever pedagogiska definitioner som är mer anpassade för problemlösning i gymnasiekurserna. De formella definitionerna kan läras ut i ett senare skede, om de till exempel behövs för bevisföring. Genom de pedagogiska definitionerna arbetar man med att bygga upp begreppsbilden för att eleverna senare ska kunna förstå en formell definition. 28 Tall & Vinner (1981) 29 Fritt efter Tall & Vinner (1981) 30 För en förklaring av extensionella och intensionella definitioner, se sidan 6 9

13 En begreppsdefinition kan också vara en personlig rekonstruktion av en vedertagen definition. Den är i så fall de ord som eleven använder som förklaring av sin begreppsbild och kan variera från tid till tid. Det är en bra övning att låta eleverna skriva ner egna definitioner för de begrepp som de arbetar med det blir ett sätt att synliggöra elevernas begreppsuppfattning. Tall och Vinner skriver att den personliga begreppsdefinitionen i regel skiljer sig från den formella begreppsdefinitionen, som är accepterad av matematiker i stort Diskussion Jag anser att det är viktigt att försöka ge eleverna olika pedagogiska definitioner, både intensionella definitioner genom att förklara ett begrepps mening och extensionella definitioner genom att ge exempel på hur begrepp används. Jag tycker inte att definitionerna behöver vara formellt korrekta utan det viktiga är att man anpassar innehållet efter den nivå man är på. Den stora nackdelen med att försöka lära eleverna formella definitioner, innan de är redo för det, är att man kan få de problem som visas i exemplet på sidan 8. Eftersom det sker en begreppsförskjutning under individens skolgång måste man som lärare vara medveten om att de begrepp som eleven har med sig inte alltid är anpassade för den nivå där man själv undervisar. Genom att vara medveten om och diskutera detta med eleverna kan läraren underlätta övergången. Det är min uppgift, som gymnasielärare, att se till att de begreppsbilder som eleverna har är anpassade efter gymnasiekurserna. Lärarna i grundskolan kan inte i förväg ge eleverna en begreppsbild som är anpassad till en matematik de ska lära sig om flera år utan det är deras uppgift att ge eleverna så bra begreppsbilder som möjligt, utan direkta felaktigheter och försvårande bilder, utifrån grundskolematematiken. På samma sätt som det inte är grundskolelärarens uppgift att ge eleverna begrepp för gymnasienivå är det inte heller gymnasielärarens uppgift att anpassa begreppsinlärningen till universitetet. Min uppgift som gymnasielärare är att ge eleverna så bra kunskaper som möjligt på den nivå där jag undervisar och överlåta ansvaret för universitetsmatematiken till de lärare som arbetar på universitetet. Det innebär att lärarna på universitetet måste vara medvetna om att de begreppsbilder som studenterna har med sig inte alltid passar deras kurser och ta hänsyn till detta Hur jag har arbetat med begreppsbilder och begreppsdefinitioner Efter att jag hade läst om intension, extension och vad ett begrepp är och dessutom fått ta del av Tall och Vinners uppdelning mellan begreppsbild och begreppsdefinition började jag arbeta på ett annat sätt. Jag var mycket mer medveten om elevernas begreppsbilder och försökte ge eleverna korrekta förklaringar och bilder att använda när de löste uppgifter Olika sätt att introducera begrepp För att eleverna ska förstå de matematiska begreppen har jag försökt att alltid introducera nya ord genom att först förklara ordens innebörd på olika sätt: Ge orden en historisk förankring Descartes uppfann koordinatsystemet på 1600-talet. Eftersom Descartes motsvaras av Cartesius på latin pratar man även om kartesiska koordinater. Skilja mellan ordens betydelse i vardag och matematik Vad betyder ordet funktion i vardagen? Vad betyder det i matematiken?33 31 Tall & Vinner skiljer inte mellan formella definitioner och andra slags vedertagna definitioner. 32 Tall & Vinner (1981) 33 Här kan man också dra en parallell till ordet function på engelska, är det någon skillnad på ordens mening? 10

14 Förklara varför orden har de namn som de har och ge dem en språklig koppling Det heter exponentialfunktion för att det är en funktion som har variabeln i exponenten. Procent kommer från pro centum som betyder för varje hundra, det vill säga hundradel. På engelska heter det per cent eller percent. Ge definitioner till olika begrepp En rektangel är en fyrhörning med endast räta hörn Ge konkreta bilder Rektangel Diskutera hur olika begrepp används med eleverna Vilket är det minsta talet? Hur många siffror finns det? Genom att prata om begrepp på det här sättet arbetar man med ordens intension. När man sedan ger olika exempel och låter eleverna lösa uppgifter där orden används, arbetar man med ordens extension. Båda delarna behövs för att bygga upp elevernas begreppsbilder En lektion om funktioner Från tidigare gånger då jag arbetat med B-kursen visste jag att funktionsbegreppet är svårt att förstå, det är kanske det mest komplexa begreppet i gymnasiematematiken. Jag tänkte att problemet varit att jag pratat för lite om begreppet och förberedde därför en lektion som bara skulle handla om vad en funktion är. Under hösten 2008 introducerade jag funktioner i Matematik B genom en föreläsning som jag här beskriver kortfattat: Ett sätt att definiera en funktion är att prata om funktionsmaskinen: om man stoppar in ett värde så får man ut ett annat. I funktionen finns en regel eller en formel som gör något med de värden som man stoppar in. 11

15 En funktion kan även vara en graf eller en tabell: 34 Eftersom grafen är en rät linje så säger man att funktionen är linjär. Jag ritade upp några olika typer av funktioner på tavlan och pratade om hur man kan se i en graf att det är en funktion man har. Att ett x-värde inte får vara kopplat till två olika y-värden. Vilket x-värde man än stoppar in i funktionsmaskinen så får man alltid ut exakt ett y-värde. Jag hade först lektionen i en grupp med elever från handelsprogrammet där det gick ganska bra men när jag senare använde lektionen i min samhällsgrupp gick det sämre, några tongivande elever förstod/lyssnade inte och sedan hade de svårt att lösa uppgifterna i boken.35 Jag fick snabbt revidera upplägget för samhällsgruppen, jag bytte ut böcker och gjorde om planeringen för ett antal elever. Det var inte läge att experimentera för mycket med matematikinnehållet, eleverna var alltför skeptiska. Jag använde istället de metoder som jag var säker på i samhällsgruppen och använde handelsgruppen till experimenterandet Diskussion Om begreppen är enkla och lätta att förstå går det bra att introducera dem genom att arbeta med begreppens mening och referens på de sätt som jag beskriver i Funktionsbegreppet däremot är så komplicerat och innehåller så många olika delar att man inte kan introducera hela begreppet på en gång. Eleverna kan inte ta till sig informationen vid ett tillfälle. Läraren måste ha en strategi där hon arbetar med lite i taget så att eleverna ändå efter ett tag får en sammanhängande bild. En sådan strategi måste byggas på kunskap om hur elevernas begrepp utvecklas. 2.2 Begreppens utveckling Efter att jag hade förstått vad ett begrepp är och läst om och arbetat med elevernas begreppsbilder insåg jag att för att lyckas måste jag planera undervisningen utifrån kunskap om hur elevernas matematikkunskap och särskilt deras begreppsbilder utvecklas. Jag kunde inte förutsätta att bara för att jag har förstått begreppen så skulle eleverna anamma mina bilder när jag berättade om dem. Därför läste jag Jan Thompsons teori om hur man kan gå från det konkreta till det abstrakta och Tall och Vinners teori om begreppsutvecklingens fyra faser. Frågeställningarna som jag vill ha svar på i detta avsnitt är: Hur planerar man undervisningen utifrån kunskap om hur eleverna lär sig matematik? Hur går elevernas begreppsutveckling till? Hur kan man få kunskap om vilka begreppsbilder eleverna har med sig? 34 Ett misstag jag gör är att jag inte förklarar hur funktionsmaskinen hänger ihop med graf och tabell. 35 Jag hade olika böcker i de båda grupperna. I samhällsgruppen användes en bok som var inriktad på att eleverna skulle läsa vidare till C-kursen medan eleverna i handelsgruppen hade olika böcker, beroende på ambitionsnivå. 12

16 2.2.1 Gå från det konkreta till det abstrakta. Jan Thompson har skrivit boken Matematiken i historien där han först beskriver stora delar av den matematiska historien och sedan för fram teorier om matematikinlärning, som han menar ska utgå från hur matematiken har utvecklats historiskt. Thompson utgår från intentionalitet som är det som ger mening åt upplevelsen av ett begrepp. Intentionaliteten kan variera beroende på person och tid. Bråket ¾ kan till exempel uppfattas på minst två olika sätt: 1) Upplevelsen kan riktas mot objektet 3 fjärdedelar. Då kan meningen av upplevelsen bestå i föreställningen att dela t.ex. en kaka i fyra delar och ta tre av dem, vilket kan visualiseras i en bild: 2) Upplevelsen kan också riktas mot symbolen 0,75. Då kan meningen av upplevelsen bestå i symbolföljden 0, 7 5. Man kan också tänka sig att meningen består i 75 hundradelar.36 Intentionaliteten i 2 förutsätter att personen i fråga har en symbolisk färdighet (till exempel en förmåga att hantera tal av typen 0,75). Annars blir upplevelsen tom.37 Man kan skilja på en genetisk och en strukturell metod. En genetisk metod grundar sig bland annat på en koppling mellan matematik och det svenska språket medan en strukturell metod bygger på matematiska lagar och ett mer formellt språk. Till exempel kan man demonstrera att 3 * ¾ = 9/4 med de olika metoderna. Genetisk metod: 3 3 / 4 = 3 gånger 3 fjärdedelar = 9 fjärdedelar = 9 / 4 Strukturell metod: 3 3 / 4 = (3 / 1) (3 / 4) = (3 3) /(1 4) = 9 / 4 Thompson menar att matematisk didaktik till en början ska avstå från ett strukturellt grepp.38 Thompson skriver också att = 7 inte är själva operationen addition utan endast den symboliska beskrivningen av additionen. Själva operationen är föreställningen om en handling, till exempel att föra ihop tre klossar och fyra klossar. I skolan intresserar man sig mycket för den symboliska beskrivningen och kontrollerar inte om symbolerna betyder något för eleverna. Därför händer det då och då att man på gymnasiet får elever som blandar ihop multiplikation och addition.39 Ett exempel på en sådan felräkning är när Lisa räknade ut att 9 10 = 18, en uträkning som innehåller två fel. Hon blandade dels ihop multiplikation och addition och dels räknade hon fel när hon fick = 18. Om vi fortsätter att diskutera additionen så handlar det om tre nivåer: 1) Handlingen addition som består i att faktiskt föra samman tre och fyra klossar. 36 Thompson (1996): Thompson (1996): Thompson (1996): Thompson (1996):

17 2) Operationen som vi faktiskt kan kalla addition. Den äger rum i tanken och består av föreställningen av handlingen i nivå 1. 3) Den symboliska skrivningen av additionen:40 3+4=7 Additionen som tankeoperation ligger på nivå 2 och förståelsen av begreppet addition utgår från handlingen i nivå 2 och alltså inte från den symboliska beskrivningen av handlingen, nivå 3. Ett misstag som görs i elementär matematikundervisning är att man koncentrerar intresset till nivå 3, det vill säga till den symboliska skrivningen av operationen. När eleven förväntas ta det kognitiva språnget mellan nivå 2 och 3 måste läraren vara medveten om svårigheterna och kontrollera att eleven är med. För att underlätta övergåendet mellan nivå 2 och 3 kan man dela upp nivå 2 och skriva retoriskt: 2a) Tre klossar och fyra klossar är tillsammans sju klossar. 2b) 3 klossar + 4 klossar = 7 klossar 2c) 3k. + 4k. = 7k. (k. är en förkortning av klossar)41 Därefter följer nivå 3 som är en symbolisk nivå. Från 2c kan man också gå över till nivå 4 som är: 4) Symbolisk beskrivning med algebra 3x + 4x = 7x Thompson skriver att svårigheterna för eleverna att förstå algebra kanske skulle minska om eleverna har arbetat med nivåerna 2a 2c Begreppsutvecklingens fyra faser Enligt David Tall och Shlomo Vinner sker begreppsinlärning i fyra faser: A Vi träffar på och använder begreppen, utan att vi har definierat dem formellt. B Vi generaliserar erfarenheten och skapar oss mentala bilder av objekten som hjälper oss i problemlösning. C Vi använder bilderna i olika sammanhang och löser olika problem. D Begreppet preciseras. Vi får kanske ett namn eller en symbol som gör att vi kan kommunicera med varandra. Eventuellt får begreppet också en formell definition.43 Detta kan vi använda oss av när vi planerar undervisning kring begrepp. Jag har gjort om Tall och Vinners fyra faser till fyra motsvarande faser som handlar om undervisning: A* Vilken erfarenhet av begreppet har eleverna med sig? B* Skapa en samlad bild av begreppet. Komplettera elevernas erfarenhet med något som är nytt för det avsnitt vi ska jobba med just nu. Prata om begreppets betydelse och ge exempel på hur man kan använda begreppet. C* Låt eleverna använda begreppet i olika sammanhang och lösa olika typer av problem. D* Precisera begreppet på olika sätt. Man kan ta fram frågeställningar som eleverna får diskutera, Man kan lyfta fram nya, mer abstrakta sidor, av begreppet och eventuellt ge en formell definition. Här ser man att det är viktigt att inte definiera de matematiska begreppen formellt innan eleven har använt begreppen för att lösa problem. 40 Thompson (1996): Thompson (1996): Thompson (1996): Tall & Vinner (1981) 14

18 Man kan också tänka sig att man har en spiral: Först får eleven lära sig en del enkla aspekter av ett begrepp. Sedan får hon lösa enkla problem som tränar detta. Sedan kan hon gå vidare i sin utveckling och förstå mer komplexa aspekter av begreppet, som finns längre in i spiralen, och lösa mer komplexa problem. Efter detta kanske eleven är mogen att förstå en formell definition innan hon slutligen löser problem där den formella definitionen behövs Hur jag har arbetat med att gå från det konkreta till det abstrakta Efter att jag hade läst Thompsons teori om hur man ska gå från det konkreta till det abstrakta och dessutom tagit till mig Tall och Vinners fyra faser som begreppsinlärningen följer så började jag planera lektionerna på ett något annorlunda sätt. Jag började med att förändra genomgångarna genom att dela upp dem i grundläggande genomgångar och preciseringar Hur jag har arbetat med inledande genomgångar Tidigare har jag inte tänkt på att gå från det konkreta till det abstrakta på det sätt som Thompson beskriver. Jag har ofta börjat på den strukturella nivån, nivå 3, utan att tänka på det. Därför är det inte konstigt att Oskar för några år sedan kommenterade en genomgång inom området bråk med: Det hade varit lättare att förstå om du hade förklarat med bilder. Jag vände mig om och såg en hel tavla full av olika beräkningar som denna: 1 / / 4 = (2 1) /( 2 2) + 1 / 4 = 2 / / 4 = 3 / 4 Istället kunde jag ha börjat med ett mer konkret problem, till exempel: Först äter du en halv pizza. Efter denna tar du en fjärdedels pizza. Hur stor del av en pizza har du ätit om du lägger ihop delarna? När vi löser problemet kan vi utgå från Thompsons tre nivåer: 1) Börja med konkreta bilder av problemet. 2) Utföra additionen i tanken och prata/skriva retoriskt Visa hur man kan pussla ihop de två delarna och att detta är samma sak som två fjärdedelars pizza plus en fjärdedels pizza: 3) Sedan när man har diskuterat sig fram till lösningen kan man gå över till den symboliska nivån. 1 / / 4 = (2 1) /( 2 2) + 1 / 4 = 2 / / 4 = 3 / 4 Ett annat misstag som jag tidigare har gjort är att jag har blandat grundläggande kunskaper om 15

19 begrepp med mer komplexa aspekter av begreppen i genomgångar, innan eleverna hade arbetat med begreppen. Efter att ha läst om Tall och Vinners faser börjar jag istället ett nytt område med att gå igenom begreppens grunder, på det sätt som jag tidigare har beskrivit.44 Sedan ger jag några exempel på hur begreppen används. Efter detta får eleverna arbeta med olika typer av uppgifter. På slutet av lektionen eller i början av nästa lektion kommer sedan preciseringen. Det omedelbara resultatet av att jag börjat arbeta på det här sättet är att det är färre elever som klagar över genomgångarna. Tidigare var det vanligt att eleverna sa: Du ska väl inte ha genomgång idag? Det har de slutat med nu. Dessutom har jag själv blivit mycket mer säker på att genomgångarna är viktiga. Tillsammans gör detta att både jag och eleverna tar lektionerna mer på allvar och det är lugnare i klassrummet Hur jag har arbetat med precisering av begrepp Efter att eleverna har arbetat med uppgifter inom det nya området är det så dags för precisering. Jag har använt olika sätt att precisera begreppen på. Ibland har jag avslutat lektionerna genom att gå igenom vissa problem tillsammans i klassen. Ibland har jag också gått igenom någon ny aspekt hos begreppet, i slutet av lektionen eller i början av nästa lektion. Flera gånger har jag också försökt få eleverna att diskutera vissa frågeställningar. Diskussioner i grupp och i helklass De elever som jag har är vana vid att använda begrepp passivt, de lyssnar på mig och läser uppgifter som de ska lösa. Ändå är det när eleverna använder begreppen aktivt, när de skriver och pratar, som man som lärare har störst chans att upptäcka deras begreppsbilder. Därför är det viktigt att man planerar undervisningen på ett sätt som gör att eleverna får prata och skriva matematik. Ett sätt att göra detta är att genom diskussioner ge eleverna en chans att utveckla sin förståelse och sitt matematiska språk. För att man ska få en bra diskussion krävs rätt slags diskussionsämne.45 Det får gärna vara något som knyter an till något vardagligt eller icke-matematiskt. Ämnen som jag har låtit klasserna diskutera i A-kursen är Kan man måla en area? och Är det bra att använda formeln för BMI?. I B-kursen är det svårare att hitta denna typ av frågeställningar. En fråga som vi har diskuterat är om det finns ekvationssystem som saknar lösning. Jag hade tidigare sagt att ett ekvationssystem kan ses som två räta linjer som möts och att man ska ta reda på var de möts. När vi diskuterade upptäckte vi att det är en felaktig beskrivning. Eftersom det finns ekvationssystem som saknar lösning behöver linjerna i ekvationssystemet inte mötas. Detta är ett exempel på att man genom diskussioner får en chans att rätta till om man sagt något felaktigt, utan att tänka på det, eller om eleverna på annat sätt fått en skev begreppsbild. Om man fortsätter med att diskutera om det finns ekvationssystem med fler än en lösning kan man, genom att rita, upptäcka att bilden av ett ekvationssystem som två linjer är ett specialfall. Eleverna kan mycket väl tänka sig att korsa en linje med en böjd kurva. Diskussionsämnet måste vara sådant att man kan komma fram till olika ställningstaganden. Elever ser ofta svaret som självklart och inget som behöver diskuteras. Om eleverna inte hittar olika aspekter själva krävs det att man som lärare ställer frågor och utmanar i diskussionen. Om man som lärare vill engagera eleverna i diskussionerna är det också bra att inte ställa frågorna rätt ut i klassrummet, då får man korthuggna svar. Det är bättre att först låta eleverna diskutera med grannar eller i smågrupper. 44 I avsnitt Det är inte lika lätt att hitta diskussionsämnen inom matematik som inom etikområdet i filosofi 16

20 Grupparbeten För att få eleverna att prata med varandra så kan man ge dem gruppuppgifter av olika slag. I grupparbetena får de diskutera med varandra och på det sättet utveckla sina begreppsbilder. Ett exempel på en enkel gruppövning som jag har använt är när jag i slutet av avsnittet om funktioner gav eleverna i uppgift att tillsammans gå igenom ett gammalt prov på räta linjen och se till att alla i gruppen skulle förstå problemen och hur man löste dem.46 Detta var en övning som gjorde att jag fick syn på elevernas bristande kunskaper och bristerna i min egen undervisning. Genom att lyssna på eleverna upptäckte jag att: eleverna hade stora svårigheter med att förstå lutning. elevernas bristande förståelse av negativa tal och tallinjen ställde till det för dem när de skulle hantera funktioner, de förstod inte koordinatsystemet. eleverna behövde bli bättre på att förstå funktionsbegreppet och hantera övergången mellan formel, tabell och graf Vid ett tillfälle fick jag gå in i en grupp för att försöka förklara för Elisabet när k-värdet blir positivt och när det blir negativt: E (Elisabet): Men det kan ju inte bli positivt när det är här borta (hon pekar på vänster sida om yaxeln). L (Lotta): Men k-värdet handlar inte om var i koordinatsystemet man är, bara om linjen går uppåt eller nedåt. E: Men om man kommer från det här hållet (hon drar med fingret längs med linjen från höger till vänster) då går ju linjen nedåt. L: Det är precis som när man läser. Man går från vänster till höger (jag drar med fingret längs med linjen från vänster till höger). E: Jag fattar ingenting. Du kan ju inte förklara. Misstaget jag hade gjort, var att förutsätta att eleverna hade förkunskaperna. Jag hade satsat energin på att fokusera på riktningskoefficienten som ett begrepp. I det här fallet hjälpte det inte Elisabet eftersom hon inte förstod koordinatsystemet och hur man ritar grafer. Jag hade ägnat för lite tid åt funktioner i A-kursen och för lite tid till att gå från det konkreta till det abstrakta Diskussion Genom att planera lektionerna utifrån Tall och Vinners fyra faser och planera genomgångarna utifrån Thompsons fyra nivåer fick jag en undervisning som följde elevernas begreppsinlärning. På detta sätt blev både jag och eleverna mer nöjda med lektionerna och det blev lättare för eleverna att hänga med. Genom att jag arbetade med diskussioner och grupparbeten som ett sätt att precisera elevernas kunskap och få eleverna att prata om sina begreppsbilder hittade jag flera brister, både i elevernas begreppsuppfattning och i min egen undervisning. Utifrån den kunskapen beslöt jag att jag i framtiden ska fokusera mer på följande i A-kursen: Arbeta mer med negativa tal och tallinjen. Arbeta mer med funktionsbegreppet och att gå mellan formel, tabell och graf. Min hypotes, som växt fram under projektets gång, är att de elever som har problem med k-värdet måste rita fler grafer för hand, med hjälp av tabell, för att senare kunna förstå hur k-värdet innebär att om man går ett steg till höger på x-axeln så ökar y-värdet med k. 46 Jag satte ihop grupperna så att det skulle vara en viss, men inte alltför stor, spridning i varje grupp. 17